Le coordinate polari

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1 Le coordinate polari Se nel piano fissiamo una semiretta di origine O (orientata) possiamo individuare la posizione di un qualsiasi punto P indicando la sua distanza da O e l angolo formato tra la semiretta fissata e la semiretta OP. OP P, O (angolo orientato) La semiretta si chiama asse polare, O si dice polo e si parla di sistema di riferimento polare., si dicono le coordinate polari di P. Se scriviamo 1 questa risulta, in coordinate polari, l equazione della circonferenza di centro il polo O e raggio r = 1 poiché tutti i suoi punti hanno distanza 1. Se scriviamo avremo la semiretta in figura: 4 Esercizio L equazione a quale curva corrisponde? Nota Possiamo passare da coordinate polari a coordinate cartesiane osservando: x cos y sen 108

2 L equazione delle coniche in coordinate polari Ricordiamo che le coniche possono essere definite anche in modo unitario come luogo dei punti P PF del piano per cui si abbia, fissati un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice), e. d( P, d) Se e =1 si ottiene una parabola; se 0< e <1 si ottiene un ellisse; se e >1 si ottiene un iperbole. Proviamo a determinare l equazione di una conica in un sistema di riferimento polare: fissiamo, per esempio, il polo nel fuoco F e l asse polare perpendicolare alla direttrice. Avremo, indicando con d la distanza asse y direttrice: e quindi PF cos d e d( P, dir) cos d e( cos d) (1 ecos) ed e quindi, ponendo ed a, abbiamo l equazione della conica in coordinate polari: a 1 ecos 109

3 Trigonometria e problemi astronomici Confronto tra la distanza Terra-Sole e la distanza Terra-Luna E stato l astronomo greco Aristarco a studiare questo problema: nell unica sua opera a noi pervenuta, cioè il breve trattato Sulle dimensioni e distanze del Sole e della Luna, ha cercato di misurare il rapporto tra la distanza Terra-Luna e la distanza Terra-Sole. Quando la luna è in quadratura, ossia è illuminata per metà, essa, con la Terra e il Sole, forma il triangolo rettangolo mostrato in figura ( ). Misurando in tale condizione l'angolo β compreso tra la direzione Terra-Luna e la direzione Terra-Sole è possibile calcolare il rapporto tra il cateto e l ipotenusa di un triangolo simile. Terra, Luna e Sole durante una quadratura Aristarco stimò l angolo 87 (di conseguenza LST 3 ) e stimò il rapporto tra la distanza 1 1 Terra-Luna e Terra-Sole (il nostro sen3 ) come compreso tra e : quindi il Sole risultava 0 18 circa 0 volte più lontano della Luna rispetto alla Terra. In realtà l angolo 8950' e quindi la distanza Terra-Sole è circa 400 volte la distanza Terra- Luna, ma il metodo di Aristarco è comunque uno dei primi esempi di un metodo trigonometrico applicato per la risoluzione di un problema astronomico. 110

4 La misura del raggio terrestre Il matematico, geografo ed astronomo Eratostene (III secolo a.c.), era direttore della grande biblioteca di Alessandria d'egitto quando formulò il metodo per calcolare le dimensioni della Terra. Dai suoi studi, era venuto a conoscenza del fatto che a Syene (l'attuale Assuan), a mezzogiorno del solstizio d'estate, il Sole si trovava proprio sullo zenit, tanto che il fondo di un pozzo profondo ne veniva illuminato, perciò un bastone piantato verticalmente in un terreno perfettamente pianeggiante non avrebbe proiettato alcuna ombra in terra. Invece ad Alessandria questo non succedeva mai, gli obelischi proiettavano comunque la loro ombra sul terreno. Ciò era già una dimostrazione pratica della rotondità della Terra (come ampiamente dimostrato da Aristotele). L'idea che la Terra dovesse avere una forma sferica era comunque già accettata. Questa convinzione scaturiva dall'osservazione delle eclissi di Luna durante le quali la forma dell'ombra terrestre appariva sempre come un arco di circonferenza. Eratostene perciò, per procedere con i suoi calcoli, ipotizzò la Terra perfettamente sferica ed il Sole sufficientemente distante da considerare paralleli i raggi che la investono. Inoltre assunse che Alessandria e Syene si trovassero sullo stesso meridiano. Durante il solstizio d'estate calcolò l'angolo di elevazione del Sole ad Alessandria, misurando l'ombra proiettata proprio da un bastone piantato in terra, ricavando approssimativamente un valore di 1/50 di circonferenza (cioè 7 1'). La distanza tra le due città, basata sui trasferimenti delle carovane, era stimata in stadia (circa 800 km, tuttavia il valore preciso dello stadium, usato a quell'epoca ad Alessandria, non è attualmente conosciuto). Perciò la circonferenza della Terra doveva essere di 50 * = stadia (circa km, valore straordinariamente vicino a quello ottenuto con metodi moderni: km). Una volta stabilito un valore per essa, il raggio terrestre si ricavava dalla nota relazione che lega la circonferenza ed il suo raggio. 111

5 Indicando con: h :lunghezza del palo l :lunghezza dell'ombra proiettata dal palo sul terreno α :angolo di elevazione del Sole dalla misura di h e l Eratostene ricavò e poiché dove D : distanza tra Alessandria (punto A) e Syene (punto S), situate sullo stesso meridiano R : raggio della Terra, per ipotesi una sfera perfetta si può ottenere R. I valori ricavati da Eratostene furono: circa 169 km per il diametro terrestre ovvero un raggio pari a 6314,5 km (incredibilmente prossimo alla stima media condotta con mezzi attuali). 11

6 ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE I) Risolvi le seguenti disequazioni goniometriche 1. cos x 3cos x k x k 3. tg x k x 3 k, x k 3. senx 3 cos x 3 1 tg x senx cos x k x k k x k k x k k x k, x k sen x cos x senx 1 [ k x k 3 ] II) Problemi 1) Due località A e B sono separate da un ostacolo ma entrambe sono accessibili: si fissa un 1 punto C e si misura AC 50m, BC 70m, cos ACB. Determina AB. AB 6, 5m ) Due località A e B sono separate da un torrente. Se prendiamo una posizione C dalla parte di B e misuriamo BC 1Km, CBA, tg ACB, determina AB. 3 [ AB 1, 96 km] 3) Determina e disegna il triangolo (o i triangoli) aventi, usando le consuete convenzioni, a 6, b 5,. 3 46,, 73,8, c 6,65 4) Disegna il grafico corrispondente all equazione in coordinate polari. E diverso da 4 quello che corrisponde all equazione tg 1? 5) Trasforma l equazione cos in coordinate cartesiane e determina il grafico della curva corrispondente. 113