Riassunto Nell'esercitazione di oggi e' stata introdotta la codifica binaria naturale, intera e razionale in virgola fissa. Il materiale teorico

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1 Riassunto Nell'esercitazione di oggi e' stata introdotta la codifica binaria naturale, intera e razionale in virgola fissa. Il materiale teorico utilizzato e' disponibile nella Dispensa sulla codifica dell'informazione. Gli esercizi svolti sono i seguenti: 1. Esercizio codifica binaria intera 2. Trasformazione di un numero razionale da base 10 a base 2 3. Trasformazione di un numero decimale in virgola mobile IEEE Quesiti sulla rappresentazione in virgola mobile

2 Esercizio 1 (Codifica Binaria Intera) Riepologo e appunti sulla Codifica Binaria Intera Algoritmo trasformazione da numero intero decimale a binario P=numero intero decimale (input) S=numero intero binario (output) in n bit, formato dalle cifre b n-1...b 1 b 0 1. i=0 (contatore), b n-1 =...=b 1= b 0 =0 2. Dividere P per 2 e assegnare il resto della divisione R alla cifra b i 3. Se P>0, incrementare i di 1 e tornare al punto 2 Esempio: trasformazione del numero naturale 44 in binario a 8 bit. P=44, n=8 44:2=22 R=0=b 0 22:2=11 R=0=b1 11:2=5 R=1=b2 5:2=2 R=1=b3 2:2=1 R=0=b4 1:2=0 R=1=b5

3 S=b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 = Algoritmo per il calcolo dell'opposto di un numero binario in complemento a due PRIMO METODO: Esempio: P= P= = SECONDO METODO: Esempio: 1. Complemento (cioe' sistituisco 0 con 1 e viceversa) tutti i bit del numero dato 2. Sommo 1 al risultato 1. Leggo il numero da destra verso sinistra (dal bit meno significativo al piu' significativo) 2. Copio tutti i bit che leggo nel risultato, sempre da destra verso sinistra, fino a quando non incontro il primo 1 (compreso) 3. Copio i restanti complementati P= <--- leggo da destra -P=...10 <--- copio i bit del numero di partenza nel risultato fino al primo uno -P= <--- copio i restanti bit, complementati Testo Esercizio Dati inumeri interi P1=32 e P2=-59: 1. indicare il numero minimo N1 di bit necessari per rappresentare il sol o P1 in complemento a 2

4 2. indicare il numero minimo N2 di bit necessari per rappresentare il sol o P2 in complemento a 2 3. indicare il numero N di bit necessari per rappresentare sia P1 che P2 in complemento a 2 4. trasformare entrambi i numeri in complemento a 2 su N bit ed esegui re quindi la somma algebrica P1 + P2 (Somma non trattata a Lezione) 5. trasformare entrambi i numeri in complemento a 2 su N bit ed esegui re quindi la sottrazione P1 P2 (Non Trattato a Lezione) 6. dopo aver eseguito la somma e la sottrazione, indicare se si e' generat o riporto, overflow, entrambi, nessuno dei due. (Non Trattato a Lezione) Soluzione punto 1 Dati n bit, è possibile rappresentare i numeri interi P in complemento a 2 compresi nel seguente intervallo: -2 n-1 <= P <= +2 n-1-1 Siccome P1=32>=0, N1=ceil(log2(32+1))+1=6+1=7 Per verifica basta vedere che la relazione <= P1 <= e' vera: -64<=32<=63 Soluzione punto 2 Siccome P2=-59<0, N2=ceil(log2(59))+1=6+1=7 Per verifica basta vedere che la relazione <= P2 <= e' vera: -64<=-59<=63 Soluzione punto 3 N=valore massimo tra N1 e N2, quindi N=7 Soluzione punto 4 32>0 allora 32 : 2 = 16 R=0 16 : 2 = 8 R=0 8 : 2 = 4 R=0 4 : 2 = 2 R=0 2 : 2 = 1 R=0 1 : 2 = 0 R=1, quindi 32 su 7 bit = <0 allora calcoliamo prima 59 e poi il suo opposto

5 59 : 2 = 29 R=1 29 : 2 = 14 R=1 14 : 2 = 7 R=0 7 : 2 = 3 R=1 3 : 2 = 1 R=1 1 : 2 = 0 R=1, quindi 59 su 7 bit = , percio' -59 = Somma: P1+P2=(32)+(-59) = (- 27) Soluzione Punto 5 Differenza: P1-P2 = (32)-(-59) = = (overflow!) Soluzione Punto 6 Nel punto 4 non e' presente alcun riporto (non c'e' un ipotetico ottavo bit pari a uno), ne' overflow perche' i due addendi hanno segno discorde. Nel punto 5 non e' presente alcun riporto (non c'e' un ipotetico ottavo bit pari a uno), ma e' presente overflow perche' i due addendi hanno lo stesso segno e il risultato ha segno diverso. Esercizio 2. (Trasformazione di un numero razionale da base 10 a base 2) Si trasformi il numero in un numero binario in virgola fissa avente 11 bit nella parte intera e 5 bit nella parte frazionaria. Descrizione Metodo La trasformazione della parte intera di un numero decimale si effettua come sempre usando il metodo delle divisioni ripetute. La trasformazione della parte frazionaria di un numero in base 10 si effettua invece nel seguente modo: 1. Si scrive la parte frazionaria del numero e la si moltiplica per 2. Il risultato e' una parte intera che puo' essere 0 o 1, e una nuova parte frazionaria. 2. Si annota il valore della parte intera ottenuta nel punto precedente e si riesegue il punto 1 utilizzando solo la nuova parte frazionaria. Il valore della parte intera ottenuto nel punto 1 corrisponde ad un bit della parte frazionaria del numero binario. La condizione di uscita dall'algoritmo precedente e' il raggiungimento del numero massimo di bit a disposizione per rappresentare la parte frazionaria (se esistente) oppure se la nuova parte frazionaria vale zero (in questo caso eventuali bit restanti avranno valore zero).

6 Soluzione parte intera 331 : 2 = 165 R=1 165 : 2 = 82 R=1 82 : 2 = 41 R=0 41 : 2 = 20 R=1 20 : 2 = 10 R=0 10 : 2 = 5 R=0 5 : 2 = 2 R=1 2 : 2 = 1 R=0 1 : 2 = 0 R=1, quindi 331 su 11 bit = Soluzione parte frazionaria * 2 Attenzione! Moltiplichiamo solo la parte frazionaria! * 2 primo bit frazionario = * 2 secondo bit frazionario = terzo bit frazionario = quarto bit frazionario = = Si noti che e' stato aggiunto un quinto bit alla parte frazionaria in quanto il testo dell'esercizio chiedeva una parte frazionaria di 5 bit. La prova e' la seguente: =1x2-1 +0x2-2 +1x2-3 +1x2-4 +0x2-5 = = Soluzione complessiva = Ovviamente nell'elaboratore essendo i numeri di bit della parte intera e frazionaria fissi non e' necessario rappresentare la posizione della virgola, ma basta semplicemente: E' importante tener presente che questo tipo di codifica non viene solitamente usato e la sua descrizione e' propedeutica al fine di comprendere la codifica in virgola mobile che sara' presentata nella prossima esercitazione. Esercizio 3. (Trasformazione di un numero decimale in virgola mobile IEEE ) Si rappresenti il numero 331,6875 in virgola mobile IEEE in precisione singola, ricordando che un numero in precisione singola ha 32 bit totali di cui 1 bit per il segno, 8 bit per l'esponente e 23 bit per la mantissa. a) rappresentare tale numero riportando tutti i calcoli b) se si cambia a 1 l'ultimo bit dell'esponente, come cambia il numero? c) qual e' il numero immediatamente precedente e immediatamente successivo al numero rappresentato? Lo si rappresenti sia in forma binaria che in forma decimale (e' permesso esprimerlo in forma simbolica per semplicita').

7 Soluzione parte a Il procedimento per questa parte dell'esercizio e' il seguente: 1. Determino il bit di segno del numero in virgola mobile in questo modo: se il numero decimale e' positivo il bit sara' 0, se e' negativo sara' Trasformo la parte intera del numero (ignorando il segno) in binario. 3. Trasformo la parte frazionaria (mantissa) del numero in binario. 4. Metto insieme la parte intera e frazionaria trovate nei punti 2 e 3 ottenendo il numero in virgola fissa. 5. Normalizzo il numero in virgola fissa ottenendo un numero che inizia per 1,... moltiplicato per 2 spostamenti_virgola. Se sposto la virgola a sinistra l'esponente sara' positivo, se sposto la virgola a destra l'esponente sara' negativo, se non la sposto l'esponente sara' zero. 6. La parte dopo la virgola del numero normalizzato corrispondera' ai bit della mantissa. Se i bit sono di meno rispetto a quelli della codifica (23 in questo esempio) saranno aggiunti degli zeri fino ad arrivare al bit 23, se sono di piu' saranno ignorati i bit successivi al 23esimo. 7. Si somma K all'esponente ottenuto al punto 5, dove K=2 bit_esponente-1-1 (ma lo si puo' trovare gia' calcolato nelle tabelle dello standard). Il nuovo esponente dovra' essere convertito in binario naturale a 8 bit (perche' in precisione singola abbiamo 8 bit di esponente) e il suo valore corrisponde ai bit di esponente del numero. 8. Il risultato sara': [1bit segno][8bit esponente][23bit mantissa] Eseguo il procedimento: Bit di segno=0 (perche' il numero e' positivo) Converto 331 in binario: 331 : 2 = 165 R=1 165 : 2 = 82 R=1 82 : 2 = 41 R=0 41 : 2 = 20 R=1 20 : 2 = 10 R=0 10 : 2 = 5 R=0 5 : 2 = 2 R=1 2 : 2 = 1 R=0 1 : 2 = 0 R= = Converto 0,6875 in binario: 0,6875 x2 1,3750 x2 0,7500 x2 1,5000 x2 1,0000 0, =0, , = , (virgola fissa, come visto nell'esercitazione precedente) Converto in formato normalizzato 1,... 2 esponente : , =1,

8 Bit mantissa (23 bit) = (SI NOTI CHE L'1 PRIMA DELLA VIRGOLA VIENE OMESSO!) Esponente in eccesso K = 8 + K = =8+127=135 Converto esponente in eccesso K in binario a 8 bit: 135 : 2 R=1 67 : 2 R=1 33 : 2 R=1 16 : 2 R=0 8 : 2 R=0 4 : 2 R=0 2 : 2 R=0 1 : 2 R= = Bit esponente (8 bit) = Numero 331,6875 in virgola mobile = Soluzione parte b Cambiando l'ultimo bit dell'esponente da 0 a 1 e' come se si incrementasse l'esponente di 1, quindi, siccome la base dell'esponente e' 2 e' come se si moltiplicasse tutto il numero per 2. Il nuovo numero e' quindi 331,6875 2=663,375. Soluzione parte c In questo caso il numero immediatamente successivo a X=331, = si ottiene incrementando la mantissa di 1. Il numero incrementato e' quindi: Y= Analogamente il numero decrementato si rappresenta decrementando la mantissa di 1. Il numero decrementato e' quindi: Z= La differenza Y-X e Z-X in questo caso ha lo stesso esponente di X, per cui l'unica differenza e' una quantita' pari a quella che caratterizza il 23esimo bit della mantissa. La quantita' puo' essere calcolata come segue: Y-X=Z-Y=2 E-K *2-23 = =2-15 (si ricorda che E e' l'esponente del numero in eccesso K). Quindi il numero successivo a 331,6875 e' uguale a 331, , mentre quello immediatamente precedente e' uguale a 331, Esercizio 4. (Quesiti sulla rappresentazione in virgola mobile) 1. Cosa succede se incremento o decremento l'esponente di un numero in virgola mobile? 2. Cosa succede se incremento o decremento la mantissa di un numero in virgola mobile? 3. Come si codifica il numero 1 in precisione singola? 4. Come si codifica il numero 0?

9 Soluzione punto 1 Incrementare (decrementare) l'esponente di un numero in virgola mobile equivale a moltiplicare (dividere) per la base dell'esponente (che nel sistema binario vale sempre 2). Per cui incrementare l'esponente di uno equivale a raddoppiare il numero, mentre decrementare l'esponente di uno equivale a dimezzare il numero. Soluzione punto 2 La mantissa gode della stessa notazione posizionale dei numeri in virgola fissa. Per cui il peso di ogni bit dipende dalla sua posizione. Quello piu' significativo "pesa" 2-1 mentre quello meno significativo "pesa" 2-23 (supponendo di essere in precisione singola e quindi di avere 23 bit per la mantissa). Ne consegue che incrementare (decrementare) la mantissa significhi sommare (sottrarre) al numero il peso del suo ultimo bit (che in precisione signola e' 2-23 ) moltiplicato per la parte esponenziale del numero. Soluzione punto 3 1 si puo' scrivere come +1.0x2 0 Il bit di segno vale 0 perche' 1 e' positivo. L'esponente reale vale 0, per cui in eccesso K vale 127 che in binario a 8 bit si rappresenta come La mantissa vale 1.0 ed e' gia' normalizzata, per cui, tenendo conto che nella rappresentazione in virgola mobile l'1 prima della virgola si sottintende, i 23 bit di mantissa saranno: Il numero 1 si scrive in virgola mobile come: Soluzione punto 4 Per definizione il numero 0 si rappresenta con tutti 0: In precisione singola sara' quindi: