La Rappresentazione delle Informazioni

Transcript

1 La Rappresentazione delle Informazioni

2 Rappresentazione dei caratteri: la codifica ASCII Q W E R T Y A S D F G H codice ASCII della lettera A tastiera La Codifica ASCII serve a codificare i caratteri alfanumerici. È un sistema di codifica dei caratteri a 7 bit. Estensione ad 8 bit per raddoppiare il numero di caratteri rappresentabili (extended ASCII). In questo caso sono codificati simboli speciali per i diversi alfabeti quali lettere greche, lettere accentate, etc.

3 La Codifica ASCII: codifica tabellare Come sequenza di codifiche ASCII la parola CANE sarà: Per la decodifica si decompone la sequenza di bit in byte e si determina il carattere corrispondente ad ogni byte.

4 La Codifica Unicode E un sistema di codifica che assegna un numero (o meglio, una combinazione di bit) a ogni carattere in maniera indipendente dal programma, dalla piattaforma e dalla lingua (e dal suo sistema di scrittura). E compatibile col codice ASCII. Attualmente codifica i simboli di quasi tutti gli alfabeti moderni. Nato come codice a 16 bit (corrispondenti a caratteri diversi), per permettere la rappresentazione della totalità dei caratteri si basa su tre tipi di codifiche diverse: UTF-8 a 8 bit (1 byte), UTF-16 a 16 bit (word) e UTF-32 a 32 bit (double word).

5 Rappresentazione dei numeri Concetti da chiarire: Cardinalità di un insieme è il numero totale di elementi da rappresentare : l inseme P = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} ha cardinalità P = 16 l insieme Q = ha cardinalità Q = 4 Base della rappresentazione Gli esseri umani contano in base 10 (probabilmente deriva dal numero delle dita) I computer in base 2 (bit) Quanti bit servono per memorizzare informazioni relative ai due insiemi? n = log2 (. ) nq= 2 corrispondenti a np= 4 corrispondenti a??? Abbiamo bisogno di un metodo di codifica più efficiente di quello tabellare visto con i caratteri * Per approfondimento è possibile consultare

6 Rappresentazione dei numeri Tra i primi sistemi di numerazione abbiamo quello romano: Cifre Sistema addizionale poco adatto per la rappresentazione di numeri molto grandi Non era rappresentato lo zero Operazioni complesse Base di numerazione araba Cifre: È una rappresentazione posizionale possibile per la presenza dello zero Operazioni più semplici Esempio: 3201 = (3x10 3 ) + (2x10 2 ) + (0x10 1 )+(1x10 0 )

7 In generale Rappresentazione in base B B cifre B-1 d i = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } in base 10 d i = { 0, 1 } in base 2 d i = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } in base 16 Conversione verso la base decimale: d 31 d d 2 d 1 d 0 è un numero a 32 cifre valore = d 31 x B 31 + d 30 x B d 2 x B 2 + d 1 x B 1 + d 0 x B 0

8 Esempio di conversione in base 10 da B=2 : cifre: x x x x x x2 + 0x1 = = 90 7 cifre binarie 2 cifre decimali da B=16 : cifre: A B C D E F 524 5x x16 + 4x1 = cifre esadecimali 4 cifre decimali

9 Conversione esadecimale-binario Siccome 16=2 4, il passaggio tra le rappresentazioni in base 2 e in base 16 è molto semplice: 3F base A B C D E F 1111

10 Quale base usare? Decimale naturale per gli esseri umani. Esadecimale utile (agli esseri umani) per esaminare lunghe stringhe di bit Binaria rappresentazione ottimale per il calcolatore perché non usare una codifica binaria della rappresentazione in base 10?

11 Conversione base 10 base 2 (interi) Come ottenere la rappresentazione in base 2 di un numero intero T rappresentato in base 10? Non si conoscono né le cifre né il numero di cifre. Si divide il numero per la base e si prende il resto in ordine inverso. Es.: 43/2 = 21 con resto 1 21/2 = 10 con resto = /2 = 5 con resto 0 5/2 = 2 con resto 1 2/2 = 1 resto 0 1

12 Aritmetica in base 2 Le operazioni aritmetiche si svolgono in maniera analoga a quanto si fa in base * tavola pitagorica in base 2

13 Aritmetica in base = x x 1 1 = x x = Schift a sinistra di una posizione!

14 Aritmetica dei registri I registri di memoria sono supporti di lunghezza finita Ciò impone delle restrizioni all insieme di numeri rappresentabili e di conseguenza, dei vincoli all aritmetica Registro a N bit 2 N valori diversi rappresentabili Es.: 8 bit 256 valori possibile rappresentare l intervallo [0,255] N

15 Aritmetica dei registri Non ci sono problemi nel caso in cui l operazione produce un risultato rappresentabile nel registro = =

16 Aritmetica dei registri Se l operazione fornisce un risultato R non rappresentabile, si produce un riporto uscente dal registro, mentre all interno rimane solo una parte della rappresentazione del risultato (ossia R mod 2 N ) = = * Operazione di modulo consiste nel calcolare il resto della divisione tra due numeri: A mod b = A - parte_intera( A div b) x b. Es. 15 mod 7 = 15 2 x 7 = 1 dove parte_intera(15/7)= parte_intera(2,14) = 2

17 Rappresentazione dei numeri negativi Dobbiamo tener conto del segno del numero. La soluzione più immediata è quella di utilizzare un bit del registro come segno del numero. I restanti bit costituiscono il numero in valore assoluto. +/- modulo Possibile convenzione: L intervallo di rappresentazione è [-2 N-1 +1, +2 N-1-1]. La posizione del bit di segno diventa di notevole importanza. Con questa rappresentazione si ha un ambiguità nello 0. Lo zero può essere rappresentato sia dalla stringa tutti zero sia dalla stringa uno (come bit di segno) seguito da tutti zero. Le operazioni diventano alquanto complicate. Somma e sottrazione sono operazioni nettamente diverse.

18 Rappresentazione in complemento alla base Complementi alla base: i numeri aventi segno negativo sono rappresentati come complemento a 2 del numero rappresentato, ossia: La rappresentazione di un numero x nell intervallo [0,2 N ] è RappB(x) = x se x>= 0 2 N -x se x<0 o anche per le proprietà della rappresentazione su un registro lungo N: Rapp(x)=(x+2 N ) mod 2 N. Il bit più significativo è indicativo del segno ( bit di segno ). In questo caso il valore 1 rappresenta il segno negativo. L intervallo di numeri rappresentati [-2 N-1,+2 N-1-1], asimmetrico. Risolve l ambiguità dello zero che viene rappresentato dalla stringa tutti zero mentre la stringa 1 e tutti zero ora rappresenta il -1.

19 Calcolo rapido del complemento alla base Per ottenere rapidamente la rappresentazione in complemento alla base di un numero negativo su N bit si estrae la rappresentazione del valore assoluto del numero su N bit si complementano le cifre ad una ad una si aggiunge 1 Es.: complemento alla base su 8 bit di = = Si passa cioè dalla rappresentazione per complementi alla base diminuiti che corrisponde al complementamento ad 1 bit. Più rigorosamente la rappresentazione per complementi alla base diminuiti è: RappBD(x) = x se x>= 0 (2 N -1) - x se x<0

20 Operazioni in complemento alla base Vantaggio dei complementi è che le operazioni di somma e differenza si realizzano eseguendo sempre delle somme: Le addizioni si realizzano direttamente sulle rappresentazioni in quanto Rapp(x+y)= Rapp(x)+Rapp(y) Anche le sottrazioni si valutano tramite addizioni, ponendo x-y come x+(-y); di conseguenza R(x-y)=R(x)+R(-y) Nel caso in cui l operazione produce un numero al di fuori dell intervallo di rappresentazione si ha un overflow.

21 Operazioni in complemento alla base overflow

22 Rappresentazione per eccessi Un altro metodo per la rappresentazione dei numeri interi è la rappresentazione per eccessi. In generale nella rappresentazione per eccesso k il numero x viene rappresentato come RappE(x) = x+k Per un registro di N bit l intervallo di valori da rappresentare viene diviso in 2 (2 N /2 = 2 N-1 ) la rappresentazione di un numero x nell intervallo è data da RappE(x) = x+2 N-1 Anche in questo caso il bit più significativo è indicativo del segno ma questa volta lo zero rappresenta i numeri negativi. L intervallo di numeri rappresentati è [-2 N-1,+2 N-1-1]. Lo 0 è rappresentato dalla stringa 1 e tutti

23 Operazioni in eccessi Le addizioni si realizzano direttamente sulle rappresentazioni in quanto RappE(x+y)=RappE (x)+rappe (y) Anche le sottrazioni si valutano tramite addizioni, ponendo x-y come x+(-y); RappE(x-y) = RappE(x) + RappE (-y) ma dato che RappE(x)+RappE(y)=x+y+2 N-1 +2 N-1 il risultato necessita di una correzione (sottraendo un 2 N-1 ) Nel caso in cui l operazione produce un numero al di fuori dell intervallo di rappresentazione si ha un overflow

24 Confronto tra complementi alla base ed eccessi Entrambe permettono di realizzare una sottrazione tramite addizione (macchine aritmetiche più semplici). Le operazioni in eccessi richiedono un aggiustamento finale. La rappresentazione in complementi rende più difficile il confronto.

25 Rappresentazione dei numeri reali La rappresentazione dei numeri reali in base 2 è completamente analoga a quella in base 10: Parte intera + parte frazionaria, separate da un punto La parte frazionaria è formata da cifre che pesano le potenze di 2 a esponente negativo. Esempio: = Conversione: si convertono separatamente la parte intera e quella frazionaria. Esempio: = x 2 = con parte intera x 2 = con parte intera x 2 = con parte intera x 2 = con parte intera 1

26 Rappresentazione in virgola fissa Si assume prefissata la posizione del punto all interno del registro (fixed point) p = 4 N = 8 p Con questa convenzione, il valore x rappresentato nel registro è k*2 -p, dove k è il valore che otterremmo se interpretassimo come un intero il contenuto del registro. Qual è l insieme dei valori rappresentabili su un registro a N bit? k: 0,1,2,,2 N -1 x: 0, 2 -p, 2*2 -p,, (2 N -1)*2 -p Esempio: N=8, p=4 x = 0, , 0.125, ,, I numeri sono rappresentati con una certa approssimazione (ricordiamo la quantizzazione uniforme: l errore della rappresentazione equivale a metà intervallo) N Esempio: Tutti i valori compresi tra e sono rappresentati da Tutti i valori compresi tra 0 e sono rappresentati da underflow

27 Esempio di numero in virgola fissa Supponiamo di voler rappresentare il numero in virgola fissa in un registro ad 8 bit con p=3. Separiamo parte intera e parte frazionaria: Posizione del punto p=3

28 Virgola fissa con segno La codifica dei numeri relativi in complementi alla base si applica in maniera immediata ai numeri reali rappresentati in virgola fissa. La rappresentazione di un numero reale con segno (N bit, punto in posizione p) si ottiene tramite la regola: R(x) se x 0 b N-p - R(x) se x < 0 dove R(x) è la rappresentazione in virgola fissa di x

29 Virgola fissa con segno Esempio (N=8, p=3): R(-3.7) = 2 5 -R(3.7) R(-3.7)

30 Virgola fissa con segno Possiamo comunque applicare il criterio già visto per ottenere velocemente la rappresentazione in complementi alla base: Per ottenere R(-3.7) si considera R(3.7) e si complementa cifra per cifra aggiungendo 1 al bit meno significativo: R(3.7)

31 Precisione della virgola fissa L errore massimo assoluto della rappresentazione si commette nel rappresentare il numero più piccolo diverso da 0, ed equivale al primo semi intervallo: Err max =2 -p /2 per p=4 Err max = p / p /2 Come fare per diminuire l errore? basta aumentare p. In queto modo però si riduce il range dei numeri rappresentabili. Se al contrario si aumenta il range dei valori (N grande p piccolo) si riduce la precisione. Per migliorare globalmente la rappresentazione bisogna ridurre l errore relativo Errore relativo 50% 45% 40% 35% 30% 25% 20% 15% E rel =Err max /x numeri enormi non hanno bisogno di una grande precisione, mentre numeri piccoli si. Raggio della terra = 6378,388 Km (+/ mm)!!??! Raggio dell atomo di idrogeno = 53 x m 10% 5% 0% Rappresentazione

32 Vantaggi e svantaggi della virgola fissa vantaggi Semplicità Piena compatibilità con la rappresentazione degli interi e possibilità di usare circuiti aritmetici comuni. svantaggi: Errore relativo elevato per x prossimi a zero Compromesso range/precisione Entrambi legati al fatto che il fattore di scala è fisso.

33 Rappresentazione in virgola mobile Si potrebbero mitigare i problemi andando a rappresentare esplicitamente il fattore di scala. In questo modo la virgola non è più fissa, ma diventa mobile. Fissata la base b, il valore viene considerato nella forma M*b E (notazione scientifica) ed è rappresentato tramite la coppia (M,E) Esempio: = *10 2 ( ,2) = *2 3 ( ,11) Nel registro saranno quindi prefissate zone diverse per la mantissa e per l esponente.

34 Rappresentazione in virgola mobile Solitamente M viene rappresentato come numero reale in virgola fissa e in segno e modulo mentre E si rappresenta come numero intero con segno per eccessi. M è rappresentato su m bit con p cifre frazionarie M: 0, 2 -p, 2*2 -p,, (2 m -1)*2 -p mentre E è rappresentato su e bit E: -2 e-1, -1,0,1,,+2 e-1-1. Gli estremi dell intervallo, quindi, sono: N min =M min *2 E min = 2 -p *2-2^(e-1) N max =M max *2 E max = (2 m -1)* 2 -p *2 +2^(e-1)-1

35 Esempio sulla virgola mobile Rappresentazione in FP di 12.6: = = * 2 4 Segno: 1 Mantissa: Esponente: = =

36 Rappresentazione normalizzata Con la virgola mobile non la rappresentazione non è unica: N = M*2 E = (M*2)*2 E-1 = (M*4)*2 E-2 = (M/2)*2 E+1 Il numero più piccolo rappresentabile viene modificato in funzione di p, posizione della virgola N min =2 m-1 *2 -p *2-2^(e-1) Quale scegliere? Quella che ha la prima cifra della mantissa diversa da 0 rappresentazione normalizzata

37 Rappresentazione normalizzata Esempio: N = mantissa a 5 cifre decimali Diverse rappresentazioni possibili: * * * *10-3 normalizzata Poiché in bit la prima cifra dopo la virgola è sempre 1 si decide di non rappresentarla per evitare la ridondanza ed avere a disposizione un bit in più.

38 Rappresentazione normalizzata Valutiamo l errore di approssimazione: Pro Contro Errore assoluto massimo è Err max = (2 -p /2)*2 E Errore relativo: E rel = Err max /x Questa volta varia in funzione dell esponente: l errore commesso su numeri grandi è proporzionale a 2 E mentre quello commesso nelle vicinanze dello zero è proporzionale a 2 -E Precisione variabile a seconda del numero rappresentato: alta per numeri piccoli e bassa per numeri alti: ; ; Underflow più frequente nella rappresentazione normalizzata perché abbiamo fissato la rappresentazione del numero più piccolo a x 2 -E Per poter rappresentare con maggiore precisione i valori prossimi allo 0 la rappresentazione viene denormalizzata

39 Lo standard IEEE754 Tre formati: Singola precisione (32 bit: 23 bit mantissa + 8 bit esp. + 1 bit segno) Doppia precisione (64 bit: 52 bit mantissa + 11 bit esp. + 1 bit segno) Quadrupla precisione (128 bit: 112 bit mantissa + 15 bit esp. + 1 bit segno)

40 Operazioni in floating point Molto più complicate rispetto agli interi e alla virgola fissa Diverse operazioni necessarie: Denormalizzazione per allineare i valori all esponente più alto Sommare le mantisse Normalizzare il risultato e verificare se si è in under/overflow Arrotondare se necessario Se i segni sono diversi, bisogna calcolare la differenza tra le mantisse e determinare il segno del risultato Operazioni troppo complesse per poter essere effettuate con l unità aritmetica per gli interi.