Sistemi numerici: numeri senza segno

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1 Programmazione in C Sistemi numerici: numeri senza segno Conversione di numeri interi Numeri frazionari Conversione di numeri frazionari Operazioni in base 2 Osservazioni conclusive Esercizio conclusivo Sommario Politecnico di Torino 1

2 Riferimenti bibliografici Testi P. Tosoratti Introduzione all informatica Ambrosiana, 1998, ISBN Capitolo 1 Risorse on-line Wikipedia The free encyclopedia 3 Sistemi numerici: numeri senza segno 2006 Politecnico di Torino 2

3 Sistemi numerici Sistemi posizionali Sistemi a base fissa Sistemi principali Osservazioni Proprietà Politecnico di Torino 3

4 Introduzione Obiettivo dell unità Analizzare le metodologie di rappresentazione delle informazioni nei calcolatori digitali Quesiti Quali informazioni dobbiamo rappresentare? Come possiamo rappresentare tali informazioni? 7 Informazioni (1/2) Numeriche Numeri r x π x 2 + y 2 Non numeriche Testi Nel mezzo del cammin di nostra vita... Immagini Suoni Politecnico di Torino 4

5 Informazioni (2/2) Numeriche Numeri Non numeriche Testi Immagini Suoni Rappresentazione numerica Codifica Tecnologia comune per manipolare, memorizzare, trasmettere informazioni 9 Codifica delle informazioni Ogni codifica è basata su Insieme di simboli L affidabilità diminuisce con il numero di simboli utilizzati Minimo numero di simboli: 2 I simboli sono generalmente denominati cifre Le cifre hanno valore prestabilito Insieme di regole Politecnico di Torino 5

6 Codifica delle informazioni Ogni codifica è basata su Insieme di simboli Insieme di regole Sistemi non posizionali: il valore di una cifra è indipendente dalla sua posizione Romano: 1=I, 5=V, 10=X, 50=L, 100=C, 500=D, 1000=M Esempio: 1=I, 2 = II, 3 = III, etc. Sistemi posizionali: a ogni cifra (posizione) è associato un peso Maya: ventesimale Arabo: decimale (0,, 9) Esempio: 1, 2, 3, 11, 111, etc. III vs Politecnico di Torino 6

7 Notazione e terminologia N = numero R N = rappresentazione di N V N = valore di N c = cifre Pedice = posizione cifra n Esempio: c 0,c 1, c 2,, c i,, c n 1 = numero di cifre Posizione delle cifre da 0 a n 1 13 Rappresentazione Rappresentazione di N R N = c n 1 c n 2... c i... c 1 c 0 Dove c 0 c n 1 = Cifra meno significativa (peso minore) = Least Significant Digit - LSD = Cifra più significativa (peso maggiore) = Most Significant Digit MSD Politecnico di Torino 7

8 Valore Valore di N V N = c n 1 p n 1 + c n 2 p n c i p i c 1 p 1 + c 0 p 0 Ogni cifra c i ha il proprio peso p i (fattore moltiplicativo) i= n 1 = c i p i i= Politecnico di Torino 8

9 Definizione Sono sistemi posizionali in cui p i = b i Peso della cifra di posizione i b elevato a i Che cosa è b? 17 Definizione Sono sistemi posizionali in cui p i = b i b = base o radice Per cui V N = c n 1 b n c i b i c 1 b 1 + c 0 b 0 i= n-1 = c i b i i=0 c i = [0, b-1] Per ogni base b ci sono b cifre di valore compreso da 0 a b Politecnico di Torino 9

10 Sistema decimale Decimale (10, D) b = 10 c = {0, 1, 2,..., 9} Esempio N = 215 V N = c 2 b 2 + c 1 b 1 + c 0 b 0 = = 215 Centinaia Decine Unità Politecnico di Torino 10

11 Sistema binario Binario (2, B) b = 2 c = {0, 1} Esempio N = vs millecentouno V N = = Sistema ottale Ottale (8, O) b = 8 c = {0, 1, 2,..., 7} Esempio N = 236 V N = = Politecnico di Torino 11

12 Sistema esadecimale Esadecimale (16, H) b = 16 c = {0, 1,..., 9, A, B, C, D, E, F} Esempio N = 1A7 V N = = , 11, 12, 13, 14, Esempio b=10 b=2 b=8 b=16 b=10 b=2 b=8 b= A B C D E F Politecnico di Torino 12

13 Rappresentazioni e basi Per ogni base b c i = [0, b 1] Quindi 847 non è un numero base non è un numero base 2 etc. Per ogni numero occorre specificare la base Ambiguità di interpretazione sono risolte indicando come pedice la base del sistema , , (101) 16, (257) 10, (7546) (16), 257 (10), 7546 (8) Utilizzata Politecnico di Torino 13

14 Cifre e gruppi di cifre Terminologia digit = cifra bit = cifra binaria (0, 1) BInary digit byte = 8 bit Esempi: , , etc. word = n byte (n generalmente multiplo di 2) Esempi: per n = 2, , etc. 27 Potenze di 2 e multipli Kilo K 2 10 (10 3 ) un migliaio Mega M 2 20 (10 6 ) un milione Giga G 2 30 (10 9 ) un miliardo Tera T 2 40 (10 12 ) mille miliardi Politecnico di Torino 14

15 Proprietà Principali proprietà dei sistemi posizionali a base fissa Rango illimitato Rappresentano qualsiasi numero N Rappresentazione unica Esiste un solo insieme ordinato di cifre per ogni N Irridondante Esiste un N unico per ogni insieme ordinato di cifre Politecnico di Torino 15

16 V n vs n? (1/2) Dato N, qual è la relazione tra V N e n? V N = c n 1 b n c 1 b 1 + c 0 b 0 V Nmin = 0 b n b b 0 = 0 V Nmax = (b 1) b n (b 1) b 0 = (b 1) [b n b 1 + b 0 ] = (b 1) = b n 1 b n -1 b V n vs n? (2/2) Pertanto 0 V N b n 1 V N b n 1 V N +1 b n log b (V N + 1) log b b n n log b (V N +1) n log b (V N +1) Ceiling x : Minore intero maggiore o uguale a x Esempi: 3.8 =4, 4.1 =5, etc Politecnico di Torino 16

17 Esempio Quante cifre occorrono per rappresentare in base 2 il numero 52 10? n log 2 (52+1) Dato che n 6 n = = = 64 log 2 (52+1) =? 33 Osservazione (1/2) Relazione tra n e V N nella base b n log b (V N +1) Sistema decimale (b=10) d log 10 (V N +1) Sistema binario (b=2) b log 20 (V N +1) Il rapporto b/d non è costante Tuttavia occorrono circa 10 bit ogni 3 cifre decimali b/d 1 / (log 10 2) 1 / Politecnico di Torino 17

18 Osservazione (2/2) Esempio 09 bit 2 9 = bit 2 10 = Politecnico di Torino 18