Scheda - Le basi della Matematica I numeri razionali

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Lazzaro Simonetti
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Scheda - Le basi della Matematica I numeri razionali Nota importante Per vericare l'esattezza dei tuoi procedimenti sul calcolo del mcm, del MCD, delle espressioni numeriche puoi usare la

org/classic Figure 1 Uso del programma Geogebra per controllare le operazioni svolte.

1 Scheda - Le basi della Matematica I numeri razionali Nota importante Per vericare l'esattezza dei tuoi procedimenti sul calcolo del mcm, del MCD, delle espressioni numeriche puoi usare la tua calcolatrice scientica oppure il software gratuitamente disponibile online all'indirizzo https// Figure 1 Uso del programma Geogebra per controllare le operazioni svolte. Per vericare l'esattezza dei tuoi procedimenti sul calcolo delle espressioni numeriche o algebriche e delle equazioni puoi utilizzarre il software Minimath, gratuitamente disponibile online. E' interessante che questo programma ti permette di vedere tutti i passaggi risolutivi!! ( Figure 2 Uso del programma Minimath per controllare le operazioni svolte. 1

2 L'insieme Q dei numeri naturali Ricordiamo la tabella delle operazioni tranquille che abbiamo scritto nella sezione precedente Operazione in Z Somma Sottrazione Moltiplicazione Divisione Caratteristica Non tranquilla L'unica operazione a non essere rimasta tranquilla è proprio la divisione. Infatti è facile vericare che 3 2 =? ovvero non esiste un numero intero che rappresenti il risultato della divisione 3 2. Così, per rendere tutte le operazioni tranquille, si amplia l'insieme dei numeri interi e si ottiene l'insieme Q ovvero l'insieme dei numeri razionali o frazioni { a } Q = dove a e b sono numeri interi b Osservazione Tra i numeri razionali e quelli che abbiamo studiato in precedenza c'è una dierenza sostanziale. Se scegliamo un numero dall'insieme N o da Z, possiamo facilmente osservare che nessun altro elemento dell'insieme assume lo stesso valore numerico. Per fare un esempio, nessun altro numero naturale o intero, oltre al 2, descrive il numero degli occhi di una persona. Viceversa, se allarghiamo il nostro orizzonte ai numeri razionali, possiamo subito osservare che vi sono inniti altri elementi di Q, ovvero frazioni, che rappresentano il valore 2, ad esempio 4 2, 6 3, 8 4, 10 5, Questa situazione ci induce a voler scegliere una frazione che rappresenti tutta la famiglia delle frazioni ad essa equivalenti. Per scegliere un tale rappresentante, dobbiamo scegliere una frazione che abbia particolari qualità rispetto alle altre della sua famiglia. La caratteristica che possiamo scegliere per identica un tale rappresentante è questa il fatto che il numeratore ed il denominatore della frazione non abbiano alcun fattore in comune. Questo ci porta a trovare una regola di comportamento che dobbiamo seguire quando trattiamo con le frazioni, nell'ottica di voler operare con i rappresentanti delle varie famiglie, ovvero semplicare tra loro numeratore e denominatore, in modo da ridurre la frazione ai minimi termini, come mostrato nella seguente gura 2

3 Figure 3 La semplicazione di una frazione Per quanto riguarda le operazioni tra le frazioni, bisogna seguire le regole espresse dalla gura seguente 3

Figure 4 Le regole per operare con le frazioni La risoluzione delle espressioni Per risolvere correttamente le espressioni devi ricordare, tra le altre cose, alcune semplici regole Precedenze tra le

4 Figure 4 Le regole per operare con le frazioni La risoluzione delle espressioni Per risolvere correttamente le espressioni devi ricordare, tra le altre cose, alcune semplici regole Precedenze tra le operazioni Le operazioni di un'espressione vanno svolte nel seguente ordine 1. Prima le parentesi tonde; 2. Poi le parentesi quadre; 3. Poi le parentesi grae. Inoltre, in assenza di parentesi, bisogna eettuare le operazioni nel seguente ordine (tra perentesi ricordiamo l'illustrazione che si basa sul codice stradale 1. Prima le potenze (che corrispondono all'ambulanza); 2. Poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell'ordine in cui compaiono (che corrispondono alla polizia) ; 3. Poi le addizioni e le sottrazioni, nell'ordine in cui compaiono (che corrispondono agli autoveicoli comuni) 4

5 Esercizi Esercizio - (Semplicazione di frazioni) Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni ; ; ; 15 9 Esercizio (Espressioni in Q) Calcola il valore delle seguenti espressioni ( a) ) ( ) ( ) + 41 [0] 3 12 b) ( ) 4 [ 1] 12 3 [( c) 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 )] 2 [ ] [ ( 1 d) ( 3 4) ( 2) 1 )]( 2 6 ) [ 1 e) ( ) 1 ] [( ) ] 2 [( 1 f) ( 1 3) 6 3) 5 ( ( 4 3) )] [ 13 ( g) 9 13 ) + 2 ] [ 2 ( ) ]

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