INUMERI. b c ¼ a : c c 6¼ 0

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1 INUMERI n Frazioni [p. ] n Numeri razionali [p. ] n Operazioni con i numeri razionali [p. ] n Potenze dei numeri razionali [p. ] n Esercizi di riepilogo sulle operazioni con i numeri razionali [p. ] n Frazioni e numeri decimali [p. 0] n Proporzioni [p. ] n Percentuali [p. ] U. NUMERI RAZIONALI Frazioni RICORDIAMO LA TEORIA n Frazione èun espressione del tipo n o n=d che indica il risultato della divisione tra i numeri interi d relativi n e d, con d 0. n Termini di una frazione numeratore n denominatore d con d 0 n Frazioni equivalenti a b c d se c b a d Frazioni equivalenti rappresentano lo stesso quoto!! n Proprietà invariantiva delle frazioni Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di una frazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data a b a c b c a c c 0 b c n Riduzione ai minimi termini Una frazione è ridotta ai minimi termini o irriducibile se il MCD dei valori assoluti dei suoi termini è. Per ridurre una frazione ai minimi termini si dividono entrambi i suoi termini per il MCD dei loro valori assoluti. n Riduzione al minimo comune denominatore Il minimo comune denominatore di due o più frazioni, ridotte ai minimi termini, è il mcm dei loro denominatori. Per ridurre due o più frazioni al minimo comune denominatore occorre A B C ridurre le frazioni ai minimi termini, se possibile calcolare il mcm dei denominatori, che è appunto il minimo comune denominatore moltiplicare il numeratore di ciascuna frazione ridotta per il quoto tra il minimo comune denominatore e il corrispondente denominatore. Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

2 QUESITI Che cosa rappresenta una frazione? Come si chiamano i termini di una frazione? Quando si dice che due frazioni sono equivalenti? Enuncia la proprietà invariantiva delle frazioni. Come si procede per ridurre una frazione ai minimi termini? Quale proprietà si applica? Che cos è il minimo comune denominatore di due o più frazioni? Come devi procedere per ridurre due frazioni al minimo comune denominatore? COMPLETARE... þ þ þ þ 0 þ þ Riduci ai minimi termini la frazione MCDð Þ 0 Riduci ai minimi termini la frazione 0 MCDð0 Þ 0 Riduci ai minimi termini la frazione 0 0 MCDð0 0Þ Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

3 INUMERI Riduciamo al minimo comune denominatore le frazioni e 0. n Riduciamo ai... le due frazioni MCDð Þ MCDð 0Þ 0 0 n Determiniamo il minimo comune denominatore tra i denominatori delle frazioni ridotte mcmð Þ 0 n Dividiamo il... comune denominatore 0 per il denominatore di ciascuna frazione ridotta, quindi moltiplichiamo entrambi i termini di ciascuna frazione per il rispettivo quoto! 0!! 0!. Riduciamo al minimo comune denominatore le frazioni n Riduciamo le tre frazioni ai minimi termini MCDð Þ MCDð Þ MCDð Þ U. NUMERI RAZIONALI n Determiniamo il... tra i denominatori delle nuove frazioni mcmð Þ n Dopo aver diviso il mcm per i nuovi denominatori delle tre frazioni, moltiplichiamo i... ottenuti ciascuno per il rispettivo numeratore delle frazioni ridotte... QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA Una frazione si dice apparente se &a &b il numeratore è minore del denominatore il numeratore è maggiore del denominatore numeratore e denominatore sono uguali Due frazioni si dicono equivalenti se &a &b rappresentano lo stesso quoto hanno lo stesso denominatore Una frazione è irriducibile se &a &b il denominatore è multiplo del numeratore il numeratore è multiplo del denominatore &d il numeratore è multiplo del denominatore &e il denominatore è Il minimo comune denominatore di due o più frazioni irriducibili è &a &b il massimo comune divisore dei denominatori il minimo comune multiplo dei denominatori &d hanno lo stesso numeratore hanno i termini rispettivamente uguali numeratore e denominatore sono uguali &d il MCD di numeratore e denominatore è &d il prodotto dei denominatori la somma dei denominatori Quale delle seguenti è una frazione apparente? &a &b &d Quale delle seguenti frazioni è irriducibile? &a &b 0 0 &d Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

4 0 Quale delle seguenti frazioni non è irriducibile? &a Quale delle seguenti frazioni è uguale a? &a Quale delle seguenti frazioni è uguale a? &a Riducendo ai minimi termini la frazione 0 ottieni &a &b 0 Il minimo comune denominatore delle frazioni 0 e è &b &b &b &d &a 0 &b þ &d 0 &d &d 0 &d 0 Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni Quali tra le seguenti frazioni sono equivalenti tra loro? Riduci al minimo comune denominatore le frazioni dei seguenti gruppi Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

5 INUMERI Numeri razionali RICORDIAMO LA TEORIA n Numero razionale èl insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione. Per indicare un numero razionale si utilizza una frazione di tale insieme, preferibilmente quella irriducibile. n Insieme dei numeri razionali L insieme dei numeri razionali si indica con il simbolo Q. L insieme Z dei numeri interi e l insieme N dei numeri naturali sono sottoinsiemi di Q N Z Q n Opposto di un numero razionale L opposto di un numero razionale a si indica con a ed è il numero che si ottiene cambiando il segno di a a > 0! a < 0 a < 0! a > 0 n Valore assoluto di un numero razionale Il valore assoluto di un numero razionale a si indica con jaj ed è così definito jaj a se a 0 a se a < 0 n Confronto tra numeri razionali Per confrontare due numeri razionali concordi occorre esprimerli come frazioni con lo stesso denominatore positivo. Si confrontano quindi i loro numeratori, considerando negativi i numeratori delle frazioni negative. n Proprietà dell insieme dei numeri razionali L insieme dei numeri razionali è infinito. L insieme dei numeri razionali non ha un elemento minimo. L insieme dei numeri razionali non ha un elemento massimo. Tra due numeri razionali sono compresi infiniti numeri razionali (Q è denso). U. NUMERI RAZIONALI QUESITI Che cos è un numero razionale? Quale frazione è preferibile scegliere per rappresentare un numero razionale? Esiste un numero razionale uguale al suo opposto? E se esiste, qual è? 0 In quale caso un numero razionale è uguale al suo valore assoluto? Spiega come si possono rappresentare su una retta i numeri razionali. Perché il concetto di successivo non ha senso nell insieme dei numeri razionali? Esponi le proprietà dell insieme dei numeri razionali. COMPLETARE... n L insieme A o 0 0 rappresenta un numero razionale perché tutte le frazioni che appartengono ad A sono tra loro... Per rappresentare questo numero razionale si sceglie preferibilmente la frazione perché è Tale numero razionale è positivo perché le frazioni di A sono... n L insieme B o rappresenta un numero razionale perché tutte le frazioni che appartengono a B sono tra loro... Per rappresentare questo numero razionale si sceglie preferibilmente la frazione perché è Tale numero razionale è... perché le frazioni di B sono... Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

6 n L insieme C o non rappresenta un numero razionale perché le frazioni che appartengono a C non sono... L opposto di þ è l opposto di è l opposto di 0 è... j0j a 0 0 a a a jaj jaj jaj jaj jaj jaj ðaþ ðaþ 0 j aj j aj QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA 0 Un numero razionale è &a una frazione &b una frazione irriducibile &d un insieme di frazioni tra loro equivalenti &e una frazione apparente un qualsiasi insieme di frazioni Un numero razionale è positivo se è costituito da un insieme di frazioni &a positive &b concordi apparenti &d irriducibili &e delle quali almeno una è positiva COMPLETARE... Scrivi il simbolo < oppure > al posto dei puntini QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA Quale tra i seguenti numeri razionali è il minore? &a &b &d Quale tra i seguenti numeri razionali è il maggiore? &a &b &d Quale dei seguenti numeri razionali è compreso tra e? &a &b Quale dei seguenti numeri razionali è compreso tra e? &a &b &d &d Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

7 INUMERI Scrivi in ordine crescente i numeri 0. Scrivi in ordine crescente i numeri 0. 0 Scrivi in ordine decrescente i numeri 0. Scrivi in ordine decrescente i numeri. Quanti e quali sono i numeri interi relativi compresi tra e þ? Rappresenta su una stessa retta orientata i seguenti numeri razionali. Operazioni con i numeri razionali RICORDIAMO LA TEORIA n Addizione La somma di due frazioni con lo stesso denominatore positivo è la frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma algebrica dei numeratori. In generale, per sommare due o più frazioni è necessario prima ridurle allo stesso denominatore, che di solito è il minimo comune denominatore. U. NUMERI RAZIONALI n Sottrazione La differenza di due frazioni è la somma della prima con l opposta della seconda. n Moltiplicazione Il prodotto di due frazioni è la frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Per eseguire la moltiplicazione è opportuno, quando sia possibile, ridurre ai minimi termini le frazioni ed eseguire le cosiddette semplificazioni in croce il numeratore di una frazione e il denominatore di un altra possono essere divisi entrambi per il loro massimo comune divisore. n Reciproci Due numeri razionali si dicono reciproci se il loro prodotto è. Il reciproco di a, con a 0, si può indicare con a. n Divisione Il quoto di due numeri razionali, il secondo dei quali diverso da 0, è il prodotto del primo per il reciproco del secondo. Ricordiamo che la linea di frazione può essere utilizzata per indicare una divisione. QUESITI Si possono sommare due frazioni che non hanno lo stesso denominatore? E come si ottiene la loro somma? Che cosa è la differenza di due frazioni? Si possono moltiplicare due frazioni che hanno denominatori diversi? E come si ottiene il loro prodotto? 0 Come si esegue la divisione tra due frazioni? Qual è il reciproco di? E il reciproco di? Esiste il reciproco di 0? Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

8 Addizione, sottrazione e somma algebrica VERO O FALSO? a. La somma di due frazioni si esegue sommandone sia i numeratori sia i denominatori. b. Se due frazioni hanno denominatori diversi non si possono sommare. c. La differenza di due frazioni è la somma della prima con l opposta della seconda. d. La somma di due frazioni può essere un numero intero. a. þ b. þ QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA In quale caso la somma di due numeri razionali è 0? &a &b Quando i due addendi sono opposti. Quando i due addendi sono discordi. La differenza tra due razionali relativi è 0 quando 0 &a &b sottraendo e minuendo sono concordi sottraendo e minuendo sono opposti 0 þ 0 &a þ &a þ &a þ þ 0 &a COMPLETARE... þ þ þ þ 0 þ 0 þ 0 þ þ þ þ 0 0 þ 0 &b þ 0 þ þ &b 0 &b &b 0 c. d. 0 Quando i due addendi sono concordi. &d Quando uno dei due addendi è 0. &d þ 0 0 sottraendo e minuendo sono discordi il sottraendo è uguale al minuendo 00 &d &d &d þ &e &d þ 0 þ þ þ 0 þ 0 þ 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

9 INUMERI Calcola il valore delle seguenti espressioni. 00 ESERCIZI SVOLTI þ þ 0 þ þ þ þ þ þ þ 0 þ 0 ESERCIZI SVOLTI 0 þ 0 þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ 0 0 þ þ þ þ 0 þ þ þ þ þ 0 þ 0 0 þ þ 0 þ þ þ þ þ 0 þ þ 0 þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ 0 ½Š U. NUMERI RAZIONALI Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

10 In ciascuno dei seguenti esercizi, individua il passaggio in cui è stato commesso un errore e correggilo. þ þ þ 0 þ þ þ þ þ þ þ 0 þ Moltiplicazione e divisione VERO O FALSO? a. Il prodotto di due frazioni può essere un numero intero. 0 þ b. Il prodotto di due frazioni concordi è una frazione positiva. c. Il reciproco di un numero razionale si ottiene cambiando il segno di numeratore e denominatore. d. Per dividere due frazioni si moltiplica la prima per il reciproco della seconda. a. b. a. b. QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA Il prodotto di due numeri razionali è uguale a solo se &a entrambi i fattori sono uguali a &b almeno uno dei due fattori è uguale a c. Il reciproco di d. è c. d. Il quoto di due numeri razionali diversi da zero è uguale a solo se &a entrambi i numeri sono uguali a &b almeno uno dei due numeri è uguale a &d &a &b 0 ðþ &a 0 0 &a 0 0 Il reciproco di è &a &d &b &b &b 0 &b Il reciproco di è &a þ &b i due fattori sono reciproci i due fattori sono uguali i due numeri sono reciproci i due numeri sono uguali &d &d 0 &d 0 &d 0 &d &d ðþ 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

11 INUMERI &a &b &d 0 &a &b &d &a &b &d COMPLETARE ðþ ðþ ð Þ 0 ðþ 0 0 ð Þ 0 Calcola il valore delle seguenti espressioni. U. NUMERI RAZIONALI ESERCIZI SVOLTI ðþ 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

12 ESERCIZI SVOLTI Dobbiamo rispettare le priorità delle operazioni eseguiamo la moltiplicazione prima della sottrazione 0 Eseguiamo ora la sottrazione riduciamo al minimo comune denominatore, ricordando che 0 0 þ In questo caso, oltre a rispettare le priorità delle operazioni, occorre tenere conto delle parentesi 0 0 þ þ þ ðþ þ þ þ 0 0 þ 0 þ þ þ þ þ 0 þ þ ðþ þ þ þ þ þ þ þ þ 0 þ 0 þ 0 ½ Š ½0Š Scrivi i reciproci dei seguenti numeri þ þ þ 0 Calcola il valore delle seguenti espressioni. ESERCIZI SVOLTI 0 þ 0 þ þ þ þ Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

13 INUMERI 0 0 þ þ þ 0 þ þ þ 0 þ 0 þ þ þ þ þ ðþþ ðþ 0 þ þ ½Š þ þ þ þ ½Š þ þ þ þ þ þ þ þ þ ½Š 0 þ þ þ þ ½0Š þ þ þ þ þ þ 0 þ þ þ þ þ ½ðÞ Š ½Š U. NUMERI RAZIONALI Individua il passaggio in cui è stato commesso un errore e correggilo. Il reciproco di þ ðþ è þ. ðþ ðþ Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

14 Calcola il valore delle seguenti espressioni. ESERCIZIO SVOLTO n Dobbiamo ricordare che la linea di frazione rappresenta una divisione 0 0 n I calcoli si possono anche svolgere in questo modo 0 þ þ þ 0 þ þ þ 0 þ þ ðþþ þ 0 þ þ 0 þ þ 0 þ þ þ þ C A þ 0 þ þ þ þ þ ðþ ðþ þ 0 ½l espressione non ha significatoš 0 Individua il passaggio in cui è stato commesso un errore e correggilo Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

15 INUMERI Potenze dei numeri razionali RICORDIAMO LA TEORIA n Potenze con esponente naturale a n a a a in particolare n 0 n 0 (per n 0) n fattori a a a 0 (per a 0) 0 0 non ha significato Se il numeratore e il denominatore sono due numeri naturali m, n ðn 0Þ q m m q n n q m d m d n n d ðd dispariþ n Proprietà delle potenze ðq numero naturaleþ m p þ m p n n p a m a n a mþn a m a n a mn ða m Þ n a mn a m b m ða bþ m a m b m ða bþ m n Potenze con esponente intero negativo a n n n p q a n q p ðp pariþ p n q n a p q 0 q p U. NUMERI RAZIONALI QUESITI 0 Come si calcola la potenza di una frazione? 0 La potenza di una frazione negativa è sempre negativa? 0 0 Qual è il valore di?edi 000 0?Edi? Enuncia le proprietà delle potenze. 0 Che cosa significa a n? Per quali valori di a edinha significato? Qual è il segno di?edi 00? 00 Qual è il valore di?ediðþ? E di 0? Potenze con esponente naturale QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA La potenza di una frazione può essere 0 se &a l esponente è 0 &b il denominatore è 0 il numeratore è 0 &d l esponente è La potenza di una frazione m n è se &a l esponente è &b il denominatore è il numeratore è &d m n 0 La potenza di un numero razionale è se &a la base è negativa &b la base è la base è &d la base è e l esponente è dispari Quale delle seguenti espressioni è uguale a? 0 &a &b 0 &d 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

16 Quale delle seguenti espressioni è uguale a? &a 0 &b La potenza di un numero razionale è negativa se &a la base è negativa &b la base è negativa e l esponente è pari &a þ &b 0 &a þ &a 0 &a þ 0 &a þ &b &b þ &b þ 0 &d 0 0 &d þ la base è negativa e l esponente è dispari la base è positiva e l esponente è pari &d þ 0 &d þ &d &e 0 &e 0 &e 0 &d &e &b &d 0 &a &b 0 &d &e 0 &e 0 COMPLETARE... 0 þ þ 0 þ þ þ þ Calcola il valore delle seguenti potenze. þ þ Calcola, applicando le proprietà delle potenze. ESERCIZI SVOLTI þ Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

17 INUMERI Le potenze da moltiplicare non hanno la stessa base, ma l esponente della prima è un numero pari quindi è Possiamo procedere in questo modo þ Il risultato può indifferentemente essere espresso in una delle tre forme þ 0 " # " # " # U. NUMERI RAZIONALI 0 ESERCIZIO SVOLTO þ þ þ þ þ " # " # ESERCIZIO SVOLTO 0 ESERCIZIO SVOLTO 0 0 þ Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

18 0 " # " # " # " # QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA &a &b &d &a &b 0 &d 0 &a &a &b COMPLETARE þ 0 þ &b 0 0 þ ðþ &d ðþ &d &e 0 þ 0 0 þ þ þ þ þ 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

19 INUMERI Calcola. ESERCIZI SVOLTI 0 0 þ COMPLETARE þ ½ð0Þ Š ½Š 0 0 þ þ þ 0 U. NUMERI RAZIONALI 0 Applicando le proprietà delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni. þ þ þ 0 þ þ ðþ þ ðþ ½ Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

20 0 þ þ Individua il passaggio in cui è stato commesso un errore e correggilo. þ þ þ þ þ þ þ þ ð Þ QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA &a &b þ &a þ &a &b þ &b &d &d &d Calcola il valore delle seguenti espressioni. ESERCIZIO SVOLTO 00 0 þ þ þ þ þ þ þ ðþ þ þ ð Þþ ½Š þ ½Š ½Š 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

21 INUMERI þ ðþ þ þ þ 0 þ 0 Potenze con esponente intero negativo QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA 0 &a &b 0 &a &b &d þ &d ðþ U. NUMERI RAZIONALI &a &a &a &b &b 0 &b &d &d &d &a &b &d COMPLETARE... 0 a a n a þ b 0 a b Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

22 a b a b ðaþ b b a 0 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Calcola le seguenti potenze con esponente negativo. ðþ ðþþ ðþ ðþ ðþþ ðþ ðþ 0 ðþ ðþþ ðþ ðþþ ðþ ðþ ðþþ ðþ þ þ Scrivi le seguenti espressioni sotto forma di potenze di un numero intero. ESERCIZIO SVOLTO ðþ þ ½ ðþ Š ðþ 0 ½ 0 Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

23 INUMERI Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze. ESERCIZI SVOLTI þðþ þ 0 oppure þ 0 ð0þ þ0 oppure 0 0 þ0 ð Þ ðþ 0 þðþþ 0 0ðÞðÞþ 0þþþ U. NUMERI RAZIONALI ½ Š ðþ f½ðþ Š g þ ½ðÞ Š þ þ 0 f½ðþ Š g ½ðÞ Š f½ðþ Š g f½ðþ Š g 0 ðþ 0 þ 0 0 ðþ ð þ Þ 00 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

24 Individua l errore e correggilo. þ þ ð Þ 0 ðþ þ ðþ COMPLETARE... 0 ð Þ ð Þ Applicando le opportune proprietà delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni. ESERCIZI SVOLTI ð Þ ½ð Þ Š ð Þ ð Þ ð Þ ð þ Þ ð Þ ð Þ 0 ½ ð Þ Š ð Þ ð Þ ð Þ ð þ Þ ð Þ ðþ ðþ ½ Š ð Þ ðþ 0 ðþ ðþ 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

25 INUMERI ðþ þ þ 0 0 ½Š ESERCIZIO SVOLTO Possiamo scrivere l espressione data nella forma Ora conviene scomporre in fattori primi le basi delle potenze e applicare le varie proprietà delle potenze. L espressione considerata diventa così ð Þ ð Þ ð Þ 0 þð0þþ þðþþ Il risultato dell espressione data può essere scritto anche oppure U. NUMERI RAZIONALI ½ Š ðþ þ 0 ðþ þ A 0 non ha significato ESERCIZI DI RIEPILOGO SULLE OPERAZIONI CON I NUMERI RAZIONALI Indica e poi calcola il quoziente tra il reciproco di e l opposto della somma tra e. 0 Indica e calcola la somma tra il quadrato dell opposto di e il reciproco della differenza tra e. Traduci in un espressione le seguenti operazioni dividere l opposto della somma tra il quadrato di e il cubo di per il reciproco della differenza tra þ e il cubo di þ. Calcola poi il valore dell espressione ottenuta. Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

26 Verifica se l uguaglianza þ þ èvera o falsa e giustifica la risposta. ½falsaŠ Moltiplica il reciproco del quadrato della somma di 0 con il cubo di per la somma del quadrato di con il prodotto di per la quarta potenza di. Calcola il valore dell espressione che traduce le operazioni indicate. ½Š Il quadrato della differenza fra þ eþ deve essere sottratto dal cubo del reciproco di il risultato deve essere diviso per l opposto del quadrato di. Calcola il valore dell espressione che traduce le operazioni indicate. Aggiungi al quadrato della differenza tra e la differenza tra il quadrato di e il quadrato di moltiplica il reciproco del risultato per l opposto del cubo di. Calcola il valore dell espressione ottenuta. Il reciproco del cubo dell opposto di deve essere sottratto dall opposto del cubo di þ il risultato deve essere diviso per il prodotto di þ per il quadrato di il valore dell espressione che traduce le operazioni indicate.. Calcola 0 La somma di con l opposto di deve essere sottratta dal cubo di il risultato deve essere moltiplicato per il quadrato di. Che numero si ottiene? 0 La differenza tra il reciproco di e il quadrato di deve essere sottratta dal reciproco del quadrato della differenza tra e. Scrivi l espressione che traduce le operazioni indicate e calcolane il valore. La somma del quadrato di con il cubo di deve essere sottratta dal prodotto di per l opposto di 0 il risultato deve essere diviso per la differenza tra il quadrato di e il reciproco di. Scrivi l espressione che traduce le operazioni indicate e calcolane il valore. 0 Scrivi l espressione che traduce le seguenti operazioni e calcolane il valore la somma di di viene elevata a ðþ e il risultato viene diviso per il triplo della differenza tra il cubo di quadrato del reciproco di. Calcola il valore delle seguenti espressioni. þ þ þ 0 ðþ ½ ð ÞŠ con l opposto eil ½Š ½0Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

27 INUMERI þ þ ðþ þ þ 0 þ þ þ þ þ þ þðþ ½Š 0 þ þ þ þðþ ½ ðþ Š þ ½ðÞ Š U. NUMERI RAZIONALI 0 ½0Š 0 þ ½Š þ þ þ þ þ þ 0 þ þ ½Š 00 þðþ þ þ ðþ þ þ þ 0 ½Š ½0Š 0 þ þ þ 0 ½0Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

28 þ þ þ þ þ ½ðÞ ðþ Š ðþ ðþ ðþ þ ½þðÞ Š " # " # ðþ ½Š ½Š 0 þ þ ½Š þ ð Þ ðþ þ ðþ ðþ þ ½ð Þ ð ÞŠ ðþ ðþ ½Š 0 ð ÞðÞ þ þ þ ½0Š þ þ ðþ ðþ þ ðþ ðþ þ ðþ þ þ þ ½ðÞ ðþ Š 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

29 0 INUMERI 0 þ þ ðþ þ þ ð Þ ð Þ þ ð Þ þ þ ðþ þ þ ðþ þðþ þ ðþþ ðþ þ ðþ ðþ ðþ þ þðþ þ þ þ þ þ ½non ha significatoš ½Š ½Š ½Š U. NUMERI RAZIONALI ð ÞðÞ þ þ >< > þ þ ðþ þðþ þ ðþ þðþ 0 >= > ½non ha significatoš ½Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

30 ðþ ðþ ð Þ ð Þ ðþ ð Þ ð Þ 0 ½ Š ½ Š Calcola il valore dell espressione A e, successivamente, quello dell espressione B A þ. ½A B Š 0 Spiega perché le seguenti espressioni non hanno significato. þ ðþ ðþ ðþ ðþ ðþ þ ð þ Þ ð þ Þ 0 ð þ Þ ðþ ½ ðþ ðþ ð ÞŠ ½ðÞ ð þ Þ Š ð Þ ðþ þ Frazioni e numeri decimali RICORDIAMO LA TEORIA n Frazione decimale èuna frazione che ha per denominatore una potenza di 0. n Numero decimale n Per trasformare una frazione in numero decimale si divide il numeratore per il denominatore. n Per trasformare un numero decimale finito in frazione si scrivono al numeratore le cifre del numero, senza la virgola, e al denominatore si scrive seguito da tanti zeri quante sono le cifre che seguono la virgola. n Per trasformare un numero decimale periodico in frazione si procede così. Si esegue la sottrazione tra il numero intero formato dalle cifre del numero dato, scritto senza virgola, e il numero intero formato dalle cifre che precedono il periodo quindi si scrive al numeratore la differenza ottenuta. Si scrive al denominatore un numero formato da tanti quante sono le cifre del periodo, seguito da tanti zeri quante sono le cifre dell antiperiodo. n Notazione esponenziale Un numero è espresso in forma esponenziale quando è scritto come prodotto di un numero decimale finito (parte significativa) per una potenza di 0. n Notazione scientifica La notazione scientifica è un caso particolare di notazione esponenziale, in cui il valore assoluto della parte significativa è maggiore o uguale a e minore di 0. 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

31 INUMERI QUESITI Indica la parte intera e la parte frazionaria del numero,. Come si trasforma una frazione in numero decimale? Quando si può dire che il numero ottenuto è decimale finito? Che cos è un numero decimale periodico? Che cosa s intende per periodo e per antiperiodo di un numero periodico? Quando un numero periodico è detto periodico semplice? Quando periodico misto? Quali tipi di numero decimale sono generati dalle frazioni,,,? Spiega perché il numero 0 non è espresso in notazione scientifica. VERO O FALSO? a. Una frazione decimale è una frazione che ha 0 al numeratore. b. La parte intera di un numero decimale è quella che precede la virgola. c. Una frazione che ha denominatore uguale a 00 genera un numero decimale finito. d. La frazione generatrice di un numero periodico ha al denominatore un numero le cui cifre sono tutte uguali a. a. Il numero 000, scritto in notazione scientifica, è 0 0. b. Un numero si può scrivere in un solo modo in notazione scientifica. c. Forma esponenziale e notazione scientifica sono la stessa cosa. d. I numeri negativi non si possono scrivere in forma esponenziale. U. NUMERI RAZIONALI QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA 0 &a, &b, 0 &d 0, &a 0 &b 0,, &d, 00 0 &a 0, &b 00,0 0,00 &d, 00 &a, &b,00 00, &d &e 0 &a &b &d 0 0 &a &b 0 00 &d 0 &a &b &d &e 00 0 &a 0 &b &d &e &a &b &d &e &f &a &b &d &a 0 &b 0 &d &a 0 &b 0 0 &d &a 0 &b 0 0 &d 0 Trasforma le seguenti frazioni decimali in numeri decimali ½ Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

32 ½ 00 00Š ½ 000Š Scrivi i seguenti numeri decimali sotto forma di frazioni decimali. 0,0,,,,00 0, ,00,0 0,00 0,0000 0, 0,000, 0,00 0,00 0,00 0,00, Calcola i numeri decimali finiti o periodici generati dalle seguenti frazioni ½ Š ½ Š Determina le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali., 0,0,0,00 0,000, ,000 0,00,,,, Esegui le seguenti operazioni con i numeri decimali ð 0Þ ð Þ ½ 0Š ð þ 0Þ0 ð þ 00 Þ 0 ½ Š ð0 0Þ ð 0 Þ ½ 0Š 0 ð00 þ Þð 0 Þ ½Š 0 0 þ ð 0Þ ½00Š þ 0 ð Þþð þ 0Þ ð þ Þ0 ½Š ð Þ0 þ 0 þ 0 0 ½Š Calcola il valore delle seguenti espressioni sostituendo alle frazioni decimali i numeri decimali corrispondenti þ þ þ 00 ½Š ½Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

33 00 þ þ þ 0 0 þ 00 þ INUMERI 0 ½Š ½Š Esegui le seguenti operazioni con i numeri decimali e verifica i risultati eseguendo le stesse operazioni dopo aver trasformato i numeri decimali in frazioni decimali COMPLETARE... 0 þ 0 þ 0 þ 0 ð0 Þ 0 ð þ Þ 0 þ 0 ð0 Þ0 0 U. NUMERI RAZIONALI Calcola il valore delle seguenti espressioni. þð 0Þ½ þð ÞþŠ ½Š ð0 0 þ 0 ð ÞÞ ð 0Þ ½Š 0 ½ 0 ð 0 0 0ÞŠ 0 ½Š 00 þ þf0 þ½ ð 0 ÞŠg ð 0Þ ½Š fð Þþð00 þ Þ½ ð þ 0ÞŠg 0 ½Š 0 þ ð 0Þ ð0 þ 0Þ ½Š ½ þ 0 0 ð 0ÞŠ ð0 0Þ ½Š ð 0Þþ ð0 Þ ½0Š þ 0 ðþþð þ 0Þ ð þ Þ ½Š 0 0 þ 0 þ 00 0 ½Š 0 þðþ00þ 0 0 þ 0 0 ð 0Þ ð0þ 0 ð0 þ 0 Þ 0 þðþ 00 0 ð 0 þ 0Þ0 0 þ 0 ð00þ 0 0 þ 0 0 þ 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

34 0 ð0 0Þ 0 ðþ þðþ 0 ½ ðþ Š ð0þþþ0 ½ð ÞŠ ð0þ ð Þ þ 0 þ þ þ þ ð0 þ 0Þ þ ð0 þ 0Þþ 0 ð þ 0Þð 0Þ 0 þð 0Þ þ 0 þ 0 0 þ 0 þ 0 þ ½Š ð0 0Þ þ ðþ 0 ð0 0Þ þ 0 0 þ 0 þ 0 f0 þ þ ½ 0 0 þ 0 ð0þ Šg þ 0 þ 0 ð þ Þðþ0Þ þ 0 þ 0 >< > þ ð0þ ð0þ þ 0 0 ð0þ ð0þ þ 0 ð0 Þ ð0þ ½ð0Þ ð0þ Š ½ð0Þ Š ð0þ ðþ ½0 Š þ >= ð0þ > ½Š ½0Š ½Š ½0ðÞŠ ½0ðÞŠ 0 þ þ C A þ ð0þ þ þ þ þ Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

35 INUMERI þ 0 þ þ ð0 þ Þþ0 0 þ þ ð0 þ 0Þ þðþ ðþ 00 þðþ þ 0 B 0 þ þ 0 >< > ð0þ ð0þ þ 0 00 C 0 þ A 0 >= > þ 0 ð þ Þðþ0Þ >< >= 0 þ 0 ð0 þ Þ þ 0 0 þ > > 0 0 þ ½ð0Þ Š ð Þ ðþ ½Š ½Š ½0Š ½Š ½non ha significatoš ½Š U. NUMERI RAZIONALI Notazione esponenziale e notazione scientifica Di ciascuno dei seguenti numeri, scritti in forma esponenziale, indica qual è la parte significativa I seguenti numeri sono scritti in forma esponenziale riscrivili sotto forma di numero decimale e, quando è possibile, anche sotto forma di frazione decimale Scrivi i seguenti numeri in forma esponenziale con due cifre intere nella parte significativa ½ Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

36 Scrivi i seguenti numeri in notazione esponenziale in modo che la parte significativa sia minore di e maggiore di un decimo ½ Š Esprimi ciascuno dei seguenti numeri in almeno tre notazioni esponenziali diverse. 0, ,000, 0,0 0,00, 0,0, , Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri ½ 0 0 Š ½0 0 0 Š ½ Š ½ Š Esegui le seguenti operazioni ed esprimi poi il risultato in notazione scientifica. ESERCIZI SVOLTI 0 0 Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione, risulta ð Þ0 0 0 e quindi, leggendo tale uguaglianza da destra a sinistra, possiamo scrivere 0 0 ðþ Nell esercizio precedente abbiamo potuto applicare la proprietà distributiva perché in entrambi i termini era presente lo stesso fattore 0. In questo caso ciò non accade, ma possiamo trasformare il secondo termine spostando a sinistra di un posto la virgola della parte significativa e sommando all esponente di 0. In questo modo in entrambi i termini si presenta il fattore 0 0 e potremo quindi applicare la proprietà distributiva ð0þ Se vogliamo esprimere il risultato in notazione scientifica, possiamo ora spostare a destra la virgola di un posto e sottrarre all esponente di ð 0 0 Þð0 Þ Applichiamo le proprietà associativa e commutativa della moltiplicazione e le proprietà delle potenze ð 0 0 Þð0 Þ ðþ0 0þ 0 Per esprimere il risultato in notazione scientifica spostiamo la virgola della parte significativa a sinistra di una posizione, aggiungendo all esponente di þ 0 0 þ ½ Š 0 þ ½ Š 0 þ 0 0 þ 0 ½ 0 0 Š 0 þ ½ 0 0 Š ½ 0 0 Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

37 INUMERI 0 0 þ ½ 0 0 Š ðþ ð0000þ ½ Š ð000000þ ð00þ ½ Š 0 ð0000þ ðþ000þ ½ Š ð000þ ðþ 0000 ð000 0Þ ½ Š 0 00 ð 0 Þ ½ 0 0 Š ½ 0 0 Š 0 ð0 000Þ 0 ð Þ ½ 0 0 Š ð00 000Þ 0 ½ Š Esprimi in notazione scientifica il numero di secondi che costituiscono un anno non bisestile. Scrivi in notazione scientifica la distanza minima della Terra dal Sole, di circa miliardi di metri. Scrivi in notazione scientifica il diametro equatoriale della Terra, di circa.. metri. Esprimi in millimetri i seguenti ordini di grandezza, espressi in metri Proporzioni U. NUMERI RAZIONALI RICORDIAMO LA TEORIA n Rapporto tra due numeri, di cui il secondo diverso da zero è il quoto della divisione del primo per il secondo. n Proporzione èun uguaglianza di due rapporti. n Termini di una proporzione 0 0 è il quarto proporzionale dopo 0, e 0 n Proporzione continua èuna proporzione i cui termini medi sono uguali. Il termine medio si chiama medio proporzionale tra i due termini estremi. L ultimo termine si chiama terzo proporzionale dopo i primi due. n Proprietà delle proporzioni Proprietà fondamentale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Proprietà del permutare se si scambiano tra loro i termini medi o i termini estremi, si ottiene una nuova proporzione. Proprietà dell invertire se si scambia ogni antecedente con il rispettivo conseguente, si ottiene una nuova proporzione. Proprietà del comporre la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto). Proprietà dello scomporre la differenza dei primi due termini sta al primo (o al secondo) come la differenza degli altri due termini sta al terzo (o al quarto). Dalla proprietà fondamentale si deduce che un estremo è uguale al rapporto tra il prodotto dei medi e l altro estremo un medio è uguale al rapporto tra il prodotto degli estremi e l altro medio. Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

38 VERO O FALSO? 0 a. La proporzione ècontinua. b. Nella proporzione il medio proporzionale è. c. Nella proporzione il terzo proporzionale è. d. Il quarto proporzionale dopo, e è. In una proporzione a. il prodotto degli antecedenti è uguale al prodotto dei conseguenti b. si possono scambiare tra loro i termini medi, ottenendo una nuova proporzione c. la differenza dei primi due termini sta al primo come la differenza degli altri due termini sta al quarto d. il primo e il quarto termine sono detti estremi Se a b c d allora a. a c b d b. b a c d c. d a c b d. d b c a e. ða þ bþ b ðc þ dþ d f. ða bþ a ðc dþ d Determina il valore del termine x nelle seguenti proporzioni. ESERCIZIO SVOLTO x Ricordando che un medio è uguale al prodotto degli estremi diviso l altro medio, otteniamo x! x 0 x x ½ 0Š x x 0 ½ Š x x ð0þ ½ Š 0 x x ½ Š 0 x x þ x ð 0Þ ð 0Þ x 0 x x 0 0 x x þ þ x þ x ESERCIZIO SVOLTO Determiniamo il medio proporzionale tra e 0, sapendo che esso è un numero negativo. Dobbiamo determinare il termine x nella proporzione x x 0. Ricordando che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, si ha x 0! x 00 Quindi x potrebbe essere 0 oppure 0 poiché è richiesto che x sia negativo, avremo x 0. Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

39 INUMERI x x, con x > 0 x x, con x < 0 ½ Š x x, con x < 0 x x, con x > 0 ½ Š x x x x Calcola il terzo proporzionale dopo i numeri delle seguenti coppie. ESERCIZIO SVOLTO e Dobbiamo determinare il termine x nella proporzione continua e e 0 x! x e 0 e e þ e þ e þ e þ þ e e þ 0 0 U. NUMERI RAZIONALI QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA Il quarto proporzionale dopo, e è &a &b &d Il medio proporzionale positivo tra e è &a &b &d x &a x &b x x &d x 0 0 x &a x &b x 0 x 00 &d x 0 x x (x > 0) &a x 0 &b x x &d x Il medio proporzionale positivo tra e è &a &b Il terzo proporzionale dopo e è &a &b Il quarto proporzionale dopo,, è &a &b 0 0 &d &d &d Applicando la proprietà del comporre o dello scomporre, trova il termine x nelle proporzioni seguenti. 0 ESERCIZIO SVOLTO x x 0 Applichiamo la proprietà del comporre x þ x x ð0 þ Þ! x Quindi si ha x! x Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

40 x x þ x x ð xþ x 0 ðþxþ x ½ Š ð þ xþ x 0 ðxþþ x ð xþ x x ðxþ þ x x x x þ þ x x ð þ xþ x ð þ xþ x x x x ð xþ x x x þ x x x þ þ ð0 þ xþ x ð0 xþ x x ð xþ ð xþ x ðx Þ 0 Applicando opportunamente le proprietà del comporre o dello scomporre, determina i valori di x e di y nelle seguenti proporzioni. 0 x y, sapendo che x þ y. ½ Š 0 x y, sapendo che x y. ½0 Š 0 x y, sapendo che x þ y. 0 x y, sapendo che x y. ESERCIZI SVOLTI 0 Dividiamo il numero in due parti proporzionali a e a. Indicando con x e con y le due parti, si ha la proporzione x y. Sappiamo, inoltre, che è x þ y possiamo quindi applicare la proprietà del comporre, ottenendo ðx þ yþ y ðþþ! y oppure ðx þ yþ x ðþþ! x Dalle due proporzioni ricaviamo, rispettivamente, y Le due parti richieste sono quindi 0 e. e x 0 0 Determiniamo due numeri il cui rapporto è, sapendo che la loro differenza è. Indichiamo rispettivamente con x e con y i due numeri richiesti di cui sappiamo che x y, cioè che x y Sappiamo, inoltre, che x y e, quindi, applicando la proprietà dello scomporre, otteniamo ðx yþ x ðþ cioè x 0 Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

41 INUMERI da cui risulta x! x Applicando ancora la proprietà dello scomporre alla proporzione x y potremmo ricavare y. Tale valore, però, si può anche determinare, più facilmente, dalla relazione x y se in essa sostituiamo al posto di x, otteniamo y, da cui y. Risulta così che i due numeri richiesti sono e. 0 Trova due numeri il cui rapporto è e la cui somma è. ½ 0Š 0 Determina due numeri proporzionali a e a, sapendo che la loro differenza è. ½ Š Risolvi i seguenti problemi. ESERCIZIO SVOLTO 0 La ricetta di una torta per persone prevede che si utilizzino, oltre ad altri ingredienti, 0 g di farina e 0 g di zucchero. Quanta farina occorre per preparare la stessa torta per persone? Occorre che gli ingredienti siano proporzionali al numero di porzioni che si vuole preparare. Perciò, visto che per persone occorrono 0 g di farina, per calcolare quanta ne occorre per persone, risolviamo questa proporzione 0 x! x 0! x 0 Procediamo allo stesso modo per calcolare la quantità di zucchero necessaria 0 x! x 0! x 0 Quindi per persone occorreranno 0 g di farina e 0 g di zucchero. U. NUMERI RAZIONALI 0 Per trattare l acqua di una piscina contenente 000 m di acqua occorrono litri di cloro. Quanti ne occorrono per una piscina di 00 m? ½Š Se con 0 g di farina si fanno 0 g di pane, quanta farina occorrerà per produrre kg di pane? ½ kgš Compro, kg di mele, spendendo 0 E quanto avrei speso se, nello stesso giorno, avessi comprato kg di mele della stessa qualità? ½0 EŠ Spendo 0 E per acquistare quaderni quanto spenderei se ne comprassi? ½00 EŠ Con grammi di bozzoli si ottengono grammi di seta pura. Quanti kg di seta si otterranno con kg di bozzoli? ½ kgš Per ottenere kg di calce viva si adoperano 0, tonnellate di calcare quanta calce viva si ottiene con 00 tonnellate di calcare? ½0 tš Nella fabbricazione del gas di illuminazione, 0 t di carbone fossile danno, t di catrame. Quanto carbone fossile si deve lavorare per ottenere 0 t di catrame? ½00 tš Con kg di filo si tessono m di tela alta 0 cm. Quanto filo occorrerà per tessere 0 m di tela alta,0 m? ½0 kgš Se con 0 kg di caffè crudo si possono ottenere kg di caffè tostato, quanti kilogrammi di caffè crudo bisogna tostare per ottenere 0, kg di caffè tostato? ½Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

42 Percentuali RICORDIAMO LA TEORIA n Per cento x è il p% dia! x A p 00 ossia x A n Per mille x è il p% di A! x A p 000 ossia x A p 00 e anche p x A 00 p 000 e anche p x A 000 VERO O FALSO? a. Il 0% di un numero è la sua metà. b. Per ottenere il 0% di un numero è sufficiente dividere il numero per dieci. c. Il % di 00 è 0. d. Il 0% equivale al %. 0 a. Il % di 000 è. b. Il % equivale allo 0,%. c. Il 0% del 0% equivale al %. d. 0 è il 0% di 0. Risolvi i seguenti problemi (nei problemi di carattere finanziario applica le formule viste nel PARAGRAFO, relative al regime d interesse semplice). ESERCIZI SVOLTI Una giacca, del prezzo di 0 E, viene venduta in saldo con uno sconto del 0%. Al prezzo scontato si deve però aggiungere l IVA del 0%. Quanto si pagherà per quella giacca? Lo sconto del 0% ammonta a 0 0 E E. Il prezzo scontato, in euro, è perciò L IVA del 0% dev essere calcolata rispetto a questo prezzo scontato e perciò ammonta, in euro, a Quindi si dovranno pagare ð þ 0Þ E 000 E. Compro un libro con lo sconto del 0%, spendendo E. Quanto avrei speso se non avessi goduto di alcuno sconto? Avere lo sconto del 0%, cioè di 0 euro ogni 00 euro, significa anche che ogni 00 euro di spesa ne pago solo 0, cioè pago solo l 0%. Indicando con x il costo del libro senza lo sconto, si ha quindi la proporzione 00 0 x! x Dunque senza lo sconto avrei speso 0 E Calcola il % di 00, di.00 e di.000. ½00 00 Š Calcola il % del % di 00, di.000 e di.000. ½ Š Il % di una certa somma equivale a 000 E qual è la somma? ½0000 EŠ Su 00 pezzi prodotti in una fabbrica, sono inutilizzabili, sono difettosi, i rimanenti sono perfetti. Calcola le rispettive percentuali. ½% % %Š Un certo vino ha la gradazione alcolica del % quanto alcol si può ricavare da 000 litri di quel vino? ½0 litriš Un certo sapone contiene l % di potassio, il % di materie grasse e il 0% di acqua. Quanti grammi di ciascuna sostanza si trovano in, kg di quel sapone? ½ 00Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

43 INUMERI A un esame erano iscritti 00 candidati se ne presentarono e solo superarono la prova. Calcola la percentuale dei candidati presenti e la percentuale di quelli promossi sia rispetto agli iscritti sia rispetto ai presenti. ½% % %Š 0 Compro della merce con il % di sconto spendendo 0 E quanto avrei speso se non avessi goduto di alcuno sconto? ½00 EŠ Una lega di ottone è formata da rame per il % del suo peso e per il resto da zinco. Determina la quantità di rame contenuto in un blocco di ottone che contiene, kg di zinco. ½ kgš Calcola quale interesse frutta un capitale di 0000 E investito per anni al tasso annuo del,%. ½00 EŠ Calcola a quale tasso si deve investire il capitale di 000 E per avere l interesse annuo di 0 E. ½%Š Quale capitale bisogna investire al % per avere in anni e mesi un interesse di 00 E? ½000 EŠ Calcola a quale tasso si deve investire il capitale di 0000 E per avere l interesse annuo di 00 E. E di 00 E? ½% %Š Un capitale di 000 E è stato investito per anni e mesi, fruttando 0 E calcola il tasso al quale è stato investito. ½%Š Per quanto tempo occorre investire la somma di 000 E al % per avere un interesse di 0 E? ½ anniš Un capitale di 000 E, investito al tasso del %, frutta 0 E. Determina il tempo dell investimento. (Nelle applicazioni commerciali l anno si considera formato da mesi di 0 giorni e quindi da 0 giorni). ½ mesi e giorniš Calcola il capitale che in mesi frutta E, se è investito al %. ½0 EŠ 0 A quale tasso la somma di 0 E frutta l interesse di E in 0 giorni? (Ricorda che l anno finanziario si considera di 0 giorni). ½%Š Il Consiglio di Istituto di una scuola secondaria di secondo grado decide, se non ci saranno sovvenzioni da parte di alcun ente, di operare dei tagli sulle spese abolendo alcune attività pomeridiane. Il criterio che viene adottato è quello di sostenere le attività che percentualmente sono state frequentate dal maggior numero di ragazzi il corso di cinematografia, aperto a studenti, ha avuto adesioni il corso di teatro, aperto a 0 studenti, ha avuto adesioni il corso di fotografia, aperto a studenti, ha avuto solo adesioni il corso di pittura, rivolto a studenti, ne ha visti partecipare. Qual è il primo corso che sarà abolito se non arriverà alcuna sovvenzione? (Approssima a meno di un centesimo). ½teatro con %Š In una località di montagna l Azienda Turistica organizza una serata musicale alla quale partecipano, oltre agli abitanti del luogo e a numerosi villeggianti, clienti dell albergo Dolomiti, dell Hotel Arcobaleno e del Residence Belvedere. Considerando che nelle tre strutture alberghiere sono ospitate rispettivamente,, persone, determina la percentuale (approssimata a meno dell unità) di adesione all iniziativa di ciascuna di esse e la percentuale (sempre approssimata a meno dell unità) degli ospiti che non hanno accolto l invito. ½% 0% % %Š Giulio, una volta giunto al Centro Commerciale, si accorge di aver dimenticato a casa la carta di credito. Disposto a spendere anche tutti i soldi che ha nel portafogli e nel portamonete, che ammontano a E, decide di comperare alcuni articoli in vendita promozionale. Cerca dunque di scegliere, fra ciò che gli serve, quegli articoli che gli sembrano più convenienti, cioè maggiormente scontati. Le offerte dei prodotti che deve acquistare sono le seguenti kit scrittoio porta PC E (invece di E), giubbotto in pelle scamosciata E (invece di 0 E), zaino tempo libero 00 E (invece di E), polo manica lunga E (invece di 00 E), cartone con bottiglie di vino 0 E (invece di 0 E), cartone di confezioni, da litro, di latte parzialmente scremato E (invece di 0 E). Che cosa comprerà Giulio? E che cifra gli rimarrà nel portamonete? ½Giulio non comprerà né giubbotto né polo gli rimarranno EŠ U. NUMERI RAZIONALI Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara

44 Un agenzia specializzata ha effettuato un sondaggio su un campione di 00 persone di età superiore ai anni chiedendo di rispondere alle due domande «Qual è la cosa più importante per il tuo benessere?» e«qual è il livello di soddisfazione sul tuo benessere personale?». Alla prima domanda le risposte sono state di vario tipo e quindi sono state raggruppate in categorie ne citiamo solo alcune persone hanno risposto «Salute», 0 «Serenità, pace, tranquillità», solo hanno risposto «Cura dell aspetto fisico» e sempre hanno risposto «Leggere». Alla seconda domanda le risposte sono state meno varie il,% degli intervistati ha dichiarato di essere «Per niente soddisfatto», l,% «Poco soddisfatto», il % «Abbastanza soddisfatto» e il,% «Molto soddisfatto». Qual è la percentuale degli intervistati che ha dichiarato «Serenità, pace, tranquillità»? Quale quella di coloro che hanno risposto «Leggere» alla prima domanda? Quanti sono coloro che hanno risposto «Abbastanza soddisfatto» alla seconda domanda? E quanti coloro che hanno risposto «Per niente soddisfatto»? ½0% % Š Due amiche vanno da un dietologo che, sentite le loro abitudini alimentari e il loro stile di vita, dopo una visita accurata, dispone che la prima mantenga il proprio peso entro limiti, superiori o inferiori, del % rispetto a quello attuale, che è di kg, e che la seconda, che pesa kg, perda kg. Fra quali due valori può oscillare il peso della prima? E, percentualmente, di quanto deve diminuire la seconda? ½ kg e 0 kg %Š In una pensione con una capienza di ospiti, hanno scelto il trattamento pernottamento þ prima colazione hanno optato per il trattamento di mezza pensione e i restanti per quello di pensione completa. Qual è la percentuale di ospiti che ha scelto il trattamento di pensione completa? E quale la percentuale di quelli che hanno scelto di consumare almeno un pasto in pensione? (La percentuale è da intendersi a meno dell unità). ½% %Š In una comunità nel 00 furono spesi 000 E per la cucina e 000 E per le spese sanitarie nel 00 furono spesi 00 E per la cucina e 00 E per le spese sanitarie. Quanto ha inciso ciascuna di queste spese sul bilancio della comunità se il totale delle spese in ciascuno dei due anni fu rispettivamente 00 E e 0 E? Quale delle due spese percentualmente è scesa maggiormente? (Calcola la percentuale a meno di un centesimo). ½nel 00,0%,,% nel 00,%,,%Š Secondo studi recenti, l essere umano ricorda il 0% di ciò che ascolta e il 0% di ciò che ha discusso con altri, ma dopo giorni l 0% delle informazioni apprese per essere usate a breve termine svanisce. Se dunque uno studente ha semplicemente assistito a una lezione senza prendere appunti e senza nemmeno aprire il libro di testo, quanto ricorderà di quanto è stato spiegato dall insegnante dopo una settimana? E nel caso, invece, in cui lo studente abbia discusso l argomento con i compagni e con il docente? ½% %Š Un opera caritativa assistenziale può contare su un crescente numero di volontari per i vari servizi offerti nel 00 i volontari furono e nel 00 ben. Fra costoro, nel 00 prestarono il loro servizio alla Mensa per i Poveri, alle docce/guardaroba, al Segretariato Sociale, al Centro Raccolta, al Poliambulatorio in qualità di medici e infermieri nel 00 nei vari settori furono rispettivamente, 0,,,,. Qual è il settore che percentualmente ha visto crescere maggiormente il numero dei volontari e quale quello nel quale c è stata minore motivazione? (Calcola la percentuale a meno di un decimo). ½mensa ðþ%þ centro raccolta ð%þš 0 Una signora ultranovantenne alla sua morte lascia = del suo patrimonio, cioè 0000 E, a un amica ricoverata in una casa di riposo, = del patrimonio a una Fondazione che promuove ricerca contro il cancro e devolve i restanti = del patrimonio a favore di una casa di accoglienza per bambini orfani e abbandonati. A quanto ammontava il patrimonio della signora? Qual è la percentuale di esso lasciata alla casa di accoglienza per bambini? ½0000 E %Š L apporto di calorie di una tazzina di caffè amaro è mediamente pari a se però al caffè vengono aggiunti 0 g di latte, le calorie diventano 0. Se invece il caffè viene dolcificato con un cucchiaino di zucchero, le calorie diventano 0. Di quanto aumenta, in termini di percentuale, il valore energetico (in calorie) di una tazzina di caffè se si aggiungono al caffè amaro sia g di latte sia mezzo cucchiaino di zucchero? L aggiunta di un cucchiaino di zucchero in una tazzina di caffè di quanto fa aumentare percentualmente le calorie? ½0% 00%Š Materiale didattico a cura di N. Dodero, P. Baroncini, R. Manfredi & 00 De Agostini Scuola S.p.A. Novara