1 LE BASI DEL CALCOLO LETTERALE

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1 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale MATEMATICA C ALGEBRA LE BASI DEL CALCOLO LETTERALE Ssmallfry, Ernest! CALCOLO LETTERALE

2 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale ESPRESSIONI LETTERALI E VALORE NUMERICO DI UN ESPRESSIONE. Lettere per esprimere formule In tutte le villette a schiera di recente costruzione del nuovo quartiere Stella, vi è un terreno rettangolare di larghezza m e lunghezza m. Quanto misura la superficie del terreno? Il prodotto delle dimensioni rappresenta la misura richiesta: m S = ( )m = 00m Il semplice problema che abbiamo risolto è relativo ad un caso particolare; quel terreno con quelle dimensioni. Ma se le m dimensioni fossero diverse? La procedura per determinare la misura della superficie ovviamente è sempre la stessa e la possiamo esprimere con una formula: A= b h, nella quale abbiamo indicato con b la misura di una dimensione e con h la misura dell altra dimensione, assegnate rispetto alla stessa unità di misura. La formula ha carattere generale; essa serve ogni qualvolta si chiede di determinare la superficie di un rettangolo, note le misure delle dimensioni (base e altezza) rispetto alla stessa unità di misura. In geometria si utilizzano tantissime formule che ci permettono di determinare perimetro e area delle figure piane, superficie laterale e totale e volume dei solidi. Nelle formule le lettere sostituiscono le misure di determinate grandezze, tipiche di quella figura o di B quel solido. E Esprimi con una formula l area della superficie della zona colorata, indicando con l la misura del lato AB e con b la misura di AC. Svolgimento: l area del quadrato è., l area di ciascuno dei quadratini bianchi è. Pertanto l area della superficie in grigio è. C A. Lettere per descrivere schemi di calcolo L insegnante chiede agli alunni di scrivere il doppio della somma di due numeri. Antonella scrive: ( + 78) Maria chiede quali sono i numeri? Se non li conosco non posso soddisfare la richiesta Giulia scrive: ( a + b) Maria si è posta il problema ma non ha saputo generalizzare la richiesta. Antonella si è limitata ad un caso particolare. Giulia ha espresso con una formula l operazione richiesta dall insegnante. L uso di lettere dell alfabeto per indicare numeri ci permette di generalizzare uno schema di calcolo E Scrivi l espressione algebrica letterale relativa alla frase eleva al quadrato la differenza tra il cubo di un numero e il doppio del suo quadrato Svolgimento: detto a il numero generico, il cubo di a si indica con, il doppio quadrato di a si indica con e infine il quadrato della differenza sarà:. E Traduci in parole della lingua italiana il seguente schema di calcolo: ( a b) Svolgimento: indicati con a e b due generici numeri la traduzione dell espressione algebrica in parole sarà: DEFINIZIONE. Un espressione letterale o espressione algebrica è uno schema di calcolo in cui compaiono numeri e lettere legati dai simboli delle operazioni. CALCOLO LETTERALE

3 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Osservazione : per scrivere un espressione letterale ci si deve attenere a regole precise, quelle stesse che utilizziamo per scrivere espressioni numeriche. Per esempio, la scrittura + non è corretta, in quanto il simbolo + dell addizione deve essere seguito da un altro numero per completare l operazione. Analogamente non è corretta l espressione letterale a c + Osservazione : come nelle espressioni numeriche le parentesi indicano la priorità di certe operazioni rispetto ad altre. La formula a ( x + y) specifica il prodotto di un numero per la somma di due altri. Essa è diversa da a x + y che rappresenta la somma del prodotto di due numeri con un terzo numero. E Individua tra quelle sottostanti le espressioni letterali scritte correttamente: 7 ) b + a a ) a + b ) (x ( a b) + ( x ) y ) x a: ) a+ b c Svolgimento: sono corrette la, la e la ; la presenta un doppio segno di operazioni +, la ha la prima parentesi tonda che non è stata chiusa.. Lettere per esprimere proprietà Per esprimere le proprietà delle operazioni tra numeri si usano le lettere per indicare che valgono per numeri qualsiasi. La scrittura ( a + b) + c = a + ( b + c) esprime la proprietà associativa dell addizione. In essa le lettere a, b, c indicano numeri qualsiasi. I due schemi di calcolo ci dicono che per sommare tre numeri, è indifferente aggiungere alla somma dei primi due il terzo oppure aggiungere al primo la somma degli altri due. E Collega con una freccia la proprietà dell operazione con la sua scrittura attraverso lettere: PROPRIETÀ ESPRESSIONE a x + y = a x + a Commutativa dell addizione ( ) y Associativa della moltiplicazione ( a b) c = a ( b c) Distributiva del prodotto rispetto alla somma a + b = b + a E6 Esprimere con le lettere la proprietà commutativa della moltiplicazione Svolgimento: considerati a e b due numeri qualsiasi, la proprietà commutativa si esprime per mezzo dell espressione ; cioè.. Il valore numerico di un espressione letterale Ogni espressione letterale rappresenta uno schema di calcolo in cui le lettere che vi compaiono sostituiscono numeri. L espressione letterale x + x traduce una catena di istruzioni che in linguaggio naturale sono così descritte: prendi un numero; fanne il quadrato; raddoppia quanto ottenuto; aggiungi al risultato il numero preso inizialmente. Questa catena di istruzioni si può anche rappresentare in modo schematico x x x x + x e usata per istruire un esecutore a calcolare l espressione letterale quando al posto della lettera x si sostituisce un numero. Calcoliamo il valore dell espressione x + x, sostituendo alla lettera il numero naturale. Seguiamo la schematizzazione x x x x + x e otteniamo: 0. Il risultato è. CALCOLO LETTERALE

4 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Più brevemente scriviamo nell espressione letterale al posto di x: otteniamo l espressione numerica + il cui risultato è. E se al posto di x sostituiamo -? Cambia il risultato? Bene, eseguiamo la sostituzione: (-) + (-) =.. Lasciamo a te il calcolo finale! Ti sei accorto che il risultato è cambiato. DEFINIZIONI In un espressione letterale le lettere rappresentano le variabili che assumono un preciso significato quando vengono sostituite da numeri. Chiamiamo valore di un espressione letterale il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni indicate dallo schema di calcolo quando alle lettere sostituiamo un numero. Il valore dell espressione letterale dipende dal valore assegnato alle sue variabili. E7 Consideriamo l espressione letterale E = a + (-a + ). Osserviamo che vi compare una sola variabile, la lettera a; supponiamo che E rappresenti uno schema di calcolo tra numeri interi relativi. Determiniamo il valore dell espressione per alcuni valori assegnati alla sua variabile: a = ( ) + + = = 6+ 6= ( ( ) ) ( ) () ( ) ( ) a = () + + = +... =... a = Possiamo costruire una tabella ponendo in una riga i valori assegnati alla variabile, in un altra riga i corrispondenti valori ottenuti per E: a - - E - E8 L espressione letterale E = a + (-a + ) rappresenta ora uno schema di calcolo tra numeri razionali relativi; completa la tabella: a 7 0 E 9 Risposte: ; ;7;. Conclusione: ad ogni valore razionale attribuito alla variabile, corrisponde un numero razionale come valore dell espressione assegnata. = le cui variabili a, b 7 rappresentano numeri razionali, per i valori assegnati nella tabella sottostante: Svolgimento: se vogliamo calcolare il valore dell espressione letterale dobbiamo scegliere due numeri razionali, uno da assegnare alla variabile a, l altro alla variabile b, cioè dobbiamo scegliere una coppia di numeri razionali. E9 Calcola il valore dell espressione letterale E a b ( a b) + a b A 0 B - 0 E CALCOLO LETTERALE

5 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale 6 7 Risposte: (, ) ; 0, ; (, 0) ;, 7 8 In conclusione, ad ogni coppia di numeri razionali, corrisponde un numero razionale come valore dell espressione assegnata. a a b per a =, b = E0 Calcolare il valore numerico della seguente espressione: ( ) Svolgimento: ( ) = 0 = 0. E Calcolare il valore numerico della seguente espressione: 0 Svolgimento: + =. 0 E Calcoliamo il valore dell espressione letterale a b + a b per a = -, b = 0 x y E = costruita con le due variabili, x e y che x rappresentano numeri razionali. L espressione letterale assegnata traduce il seguente schema di calcolo: la divisione tra la differenza di due numero e il triplo del primo numero Completa la seguente tabella: x Y E Ti sarai accorto che nelle caselle colorate compare lo stesso valore per E: perché secondo te succede questo fatto? Vi sono secondo te altre coppie che fanno assumere ad E quello stesso valore?. Condizione di esistenza di un espressione letterale Ti proponiamo adesso alcuni casi particolari, sempre riferiti alla stessa espressione caso: x Y E 0 E = x y x Il numeratore della frazione è 0, mentre il denominatore vale ; il calcolo finale è dunque 0 0. = E Vi sono secondo te altre coppie che fanno assumere ad E quello stesso valore? caso: x Y E 0 Invece di mettere un valore ad E, abbiamo messo dei punti di domanda perché in questo caso: il numeratore della frazione è mentre il denominatore vale 0; il calcolo finale è dunque = Impossibile. 0 E Vi sono, secondo te, altre coppie che rendono impossibile il calcolo del valore per E? CALCOLO LETTERALE

6 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Non possiamo allora concludere che per ogni coppia di numeri razionali ( x, y ) l espressione E assume un numero razionale. Per poter calcolare il valore di E non dobbiamo scegliere coppie aventi x uguale a zero. Scriveremo quindi come premessa alla ricerca dei valori di E la Condizione di Esistenza x 0. L esempio appena svolto ci fa capire che di fronte a un espressione letterale dobbiamo riflettere sullo schema di calcolo che essa rappresenta prima di assegnare valori alle variabili che vi compaiono. Se l espressione letterale presenta una divisione in cui il divisore contiene variabili, dobbiamo stabilire la Condizione di Esistenza, eliminando quei valori che rendono nullo il divisore. Per comprendere la necessità di porre le condizioni d esistenza ricordiamo la definizione di divisione. Quanto fa diviso? Perché? In forma matematica: : = perché =. Quindi, generalizzando; a: b= cse cb = a. Vediamo ora cosa succede quando uno dei numeri è 0. Quanto fa 0:? Devo cercare un numero che moltiplicato per mi dia 0: trovo solo 0; infatti 0 = 0. Quanto fa : 0? Devo cercare un numero che moltiplicato per 0 mi dia : non lo trovo; infatti nessun numero moltiplicato per 0 fa. Quindi, : 0 è impossibile perché non esiste x per il quale x 0=. Quanto fa 0:0? Devo cercare un numero che moltiplicato per 0 mi dia 0: non né trovo solo uno. Infatti, qualunque numero moltiplicato per 0 fa 0. Per esempio, 0:0= infatti 0 = 0, anche 0 : 0 = 89,67 infatti 99 89,67 0 = 0, 0:0= 0 infatti 00 = 0, ancora 0:0= 0 infatti = 0. Quindi 0:0 è indeterminato, perché non è possibile determinare un x tale che x 0= 0, per qualunque valore di x si ha x 0= 0. a - b Consideriamo l espressione letterale E = dove a e b rappresentano numeri razionali. Premettiamo : a + b la descrizione a parole dello schema di calcolo: divisione tra la differenza di due numeri e la loro somma la domanda che riguarda il denominatore: quando sommando due numeri razionali otteniamo 0 al denominatore? la Condizione di Esistenza: a e b non devono essere numeri opposti. Siamo ora in grado di completare la tabella: a B E Dalla Condizione di Esistenza, ci accorgiamo subito che la prima coppia e la quarta sono formate da numeri opposti, pertanto non possiamo con esse calcolare il valore di E. L ultima coppia è formata da numeri uguali pertanto la loro differenza è 0; il numeratore si annulla e quindi il valore di E è 0. Per la coppia 0, il valore di E è - mentre è per la coppia,0 vale. La tabella verrà quindi così completata A 0 B - 0 E - impossibile 8 8 impossibile CALCOLO LETTERALE

7 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E Adesso prova tu con l espressione x 0 E x - E = completando la tabella: x 8 E6 Calcola il valore numerico dell espressione: x per x = 0 x Svolgimento: Sostituendo alla x il valore assegnato si ha una divisione per... e quindi. 6. Altri esercizi E7 Scrivi la formula che ci permette di calcolare l area di un trapezio avente base maggiore base minore b = cm e altezza h = cm. E8 Scrivi la formula che ci consente di calcolare il perimetro di un quadrato di misura l. E9 Determina l altezza h i relativa all ipotenusa del triangolo rettangolo ABC. CASO NUMERICO: AB = 8m. AC = m. B = cm, CASO GENERALE: Indica con x e y le misure dei cateti, e determina la formula per calcolare la misura di h i. E0 Il volume della scatola avente le dimensioni di 7cm. 0cm. cm. è. Generalizza la questione indicando con a, b, c la misura delle sue dimensioni.. b Se raddoppiamo ciascuna dimensione allora il volume diventa α) a b c β )a b c γ )6 a b c δ )8 a b c a c Scrivi sotto forma di espressioni letterali le seguenti frasi E Moltiplica a per l inverso di a. a a E Moltiplica a per l opposto del cubo di a. E Sottrai ad a l inverso dib. a b E Somma al triplo di a il doppio quadrato di b. E Sottrai il doppio di a al cubo di a. a a E6 Moltiplica il reciproco di b per il quadrato dell inverso di a. E7 Somma al cubo di a il quadrato della somma di a e b. E8 Dividi il quadrato di a per il triplo cubo di b. E9 Moltiplica il quadrato di b per l inverso del cubo di a. Scrivi con una frase le seguenti espressioni E0 a [Il triplo di a ] E b a E a a CALCOLO LETTERALE 7

8 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale a E b E ( a+ b) x + y E x Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche: a+ a per E6 E7 a+ a per E8 x + y ( xy) per x= ; y = E9 a b + ab per a ; b E0 ab 7ab+ a per a ; b E xy x + y per [Dividi il doppio di a per il triplo del quadrato di b ] a = [ 6 ] a = [ ] CALCOLO LETTERALE 8 = = [ ] = = [ ] x= ; y = E Calcola il valore numerico della seguente espressione: x Svolgimento: =... =. 6 E ( ) a a b per ; E xy + xy x per ; E ( a+ b) + a+ b per a= ; b= ab E6 x x + xy + y per x= ; y = y E7 ( a 7b ) ab per a= ; b= ( a+ b) x xy x + y E8 + y per x= ; y = x + xy ( ) E9 Calcola il valore numerico della seguente espressione: x per x = = = [ 6] = = [ 7] a b per a =, b = Svolgimento: sostituiamo alle lettere il valore assegnato ed otteniamo che =. a a b ab+ a per a= ; b= [ ] b x xy + y per x= ; y = [ 0] 6x+ y E= a + a per a = 0 ; a = ; a = E0 ( ) E E

9 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale 9 E E= -a bc per ( a= 0,b=,c= ) ; a=,b =,c= 6 E E = a + b + per a =, b = ; a =, b = 0 E E= x 8 x + x + x 7 x+ 8 per x = 0 ; x = ; x = E7 E= -a + a per a = a ; a = ; a = 0 ; a = Sostituendo alle lettere i numeri, affianco indicati, stabilisci se le seguenti espressioni hanno significato: x + E7 x per x = 0 SI NO E8 x + y xy per x= ; y = 0 SI NO E9 ( ) a+ b a b per a= ; b= [non ha significato perché non è un numero] 0 E60 ( ) x + y xy ( x + y) per x= ; y = SI NO a + b+ 6a E6 per a= ; b= SI NO a + b + ab a Lettere per verificare/ confutare uguaglianze o proprietà E6 Sostituendo alle lettere numeri razionali arbitrari, determina se le seguenti uguaglianze tra formule sono Vere o False a) ( ) + b = a b V F a + b) ( ) ( ) a b a + a b + b = a b V F c) ( a b) ( a + b) = a + a b b E6 Se n è un qualunque numero naturale, l espressione n + V F dà origine ad un numero primo a un numero dispari ad un quadrato perfetto ad un numero divisibile per E6 Quale formula rappresenta, qualunque sia il valore naturale attribuito ad n, un multiplo di? [A]+ n [B] n [C] n [D] n E6 Quali formule rappresentano, qualunque sia il valore naturale attribuito ad n, quadrati perfetti? [A] + n [B] 6 n [C] n [D] n CALCOLO LETTERALE 9

10 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale MONOMI E OPERAZIONI CON I MONOMI. L insieme dei monomi D ora in poi quando scriveremo un espressione letterale in cui compare l operazione di moltiplicazione, tralasceremo il puntino fin qui usato per evidenziare l operazione. Così l espressione a + a b 7 b verrà scritta in modo più compatto a + ab 7b. 8 8 DEFINIZIONE. Una espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio. Esempi L espressione nelle due variabili a e b E = a ab7b è un monomio perché vediamo che 8 numeri e lettere sono legate solo dalla moltiplicazione. L espressione E= a ab non è un monomio poiché tra le lettere compare anche il segno di sottrazione. E66 Individua tra le espressioni letterali di seguito elencate, quelle che sono monomi: E = x + y ; E = - ab c ; E = y ; E = - x z x Per rispondere in modo corretto devo individuare quelle espressioni in cui compare solamente la ; pertanto sono monomi. OSSERVAZIONI Gli elementi di un monomio sono fattori, perché sono termini di una moltiplicazione ma possono comparire anche potenze, infatti la potenza è una moltiplicazione di fattori uguali. Non possono invece comparire esponenti negativi o frazionari. In un monomio gli esponenti delle variabili devono essere numeri naturali. DEFINIZIONE. Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali con basi diverse. Il monomio E = a ab7b non è scritto in forma normale: tra i suoi fattori vi sono numeri 8 diversi e le potenze letterali hanno basi ripetute, la a e la b compaiono due volte ciascuna. 0 Moltiplichiamo tra loro i fattori numerici otteniamo ; eseguiamo il prodotto di potenze con le stesse basi otteniamo a b 0. Il monomio in forma normale è a b E = PROCEDURA. Per ridurre in forma normale un monomio occorre: moltiplicare tra loro i fattori numerici moltiplicare le potenze con la stessa base E67 Scrivi in forma normale i seguenti monomi:... ab8c a b a b c 9... = ; ( ) CALCOLO LETTERALE 0 9 y y 7 -x + =...

11 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale DEFINIZIONE. La parte numerica del monomio ridotto a forma normale si chiama coefficiente. Nella tabella seguente sono segnati alcuni monomi e i rispettivi coefficienti: monomio abc x y a b 7 k coefficiente DEFINIZIONI Se il coefficiente del monomio è zero il monomio si dice nullo. Il complesso delle lettere che compaiono nel monomio ridotto a forma normale ne costituisce la parte letterale. L espressione letterale a bc è un monomio dal momento che il numero e le lettere a b c sono legate dall operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero la parte letterale è a bc. Controesempi L espressione letterale a + bc non è un monomio dal momento che numeri e lettere sono legati oltre che dalla moltiplicazione anche dalla addizione. L espressione letterale a bc rappresenta una divisione, infatti a non è un monomio in quanto la potenza con esponente negativo a =. DEFINIZIONE. Due o più monomi che hanno parte letterale identica sono simili.. Il monomio a bc è simile a 68a bc e anche a 0.a bc L ultimo monomio ha le stesse lettere degli altri ma sono elevate ad esponenti diversi. Il monomio nullo si considera simile a qualunque altro monomio., ma non è simile a a bc. DEFINIZIONE. Due monomi simili che hanno coefficiente opposto si dicono monomi opposti. I monomi a bc e a bc sono opposti, infatti sono simili e hanno coefficienti opposti. Non sono opposti a bc e 7a bc, ma semplicemente simili. I loro coefficienti hanno segno diverso, ma non sono numeri opposti CALCOLO LETTERALE

12 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E68 Nell insieme M = a b, a b, ab, a b, a, 7a b, ab, 89a b dei monomi, determina i sottoinsiemi S dei monomi simili e in essi le coppie di monomi opposti facendone una rappresentazione con diagrammi di Venn. M DEFINIZIONI Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale. Quando il monomio è ridotto a forma normale, l esponente di una sua variabile ci indica il grado del monomio rispetto a quella variabile. Il monomio a bc ha grado complessivo 6 ottenuto sommando gli esponenti della sua parte letterale (++=6). Rispetto alla variabile a è di terzo grado, rispetto alla variabile b è di primo grado ed infine è di secondo grado rispetto alla variabile c. Abbiamo detto che gli esponenti della parte letterale del monomio sono numeri naturali, dunque possiamo anche avere una o più variabili elevate ad esponente 0. Cosa succede allora nel monomio? 0 Consideriamo il monomio 6a b c, sappiamo che qualunque numero diverso da zero elevato a zero è uguale a, quindi possiamo sostituire la variabile b che ha esponente 0 con e otteniamo: 6a c = 6a c. Se in un monomio ogni variabile ha esponente 0, il monomio rimane solamente con 0 0 il suo coefficiente numerico: per esempio - a x = =. Osservazione Esistono monomi di grado 0; essi presentano solo il coefficiente e pertanto sono equiparabili ai numeri razionali.. Il valore di un monomio Poiché il monomio un espressione letterale, possiamo calcolarne il valore quando alle sue variabili sostituiamo numeri. Calcola il valore del monomio x y z per i valori x = ; y = ;z = 0 Sostituendo i valori assegnati otteniamo ( ) 0 = 0 essendo uno dei fattori nullo. Il valore di un monomio è nullo quando almeno una delle sue variabili assume il valore 0. Molte formule della geometria sono scritte sotto forma di monomi: area del triangolo = bh ; area del quadrato = l ; perimetro del quadrato = l ; area del rettangolo = bh ; volume del cubo = l ecc. CALCOLO LETTERALE

13 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Esse acquistano significato quando al posto delle lettere sostituiamo numeri positivi che rappresentano le misure della figura considerata. b =. Il monomio che permette di calcolare l area del triangolo è, sostituendo i valori numeri alle variabili ottengo E69 Calcola l area di un triangolo che ha altezza h =, e base Individua l esatta definizione tra quelle proposte E70 Un monomio è: a) un espressione algebrica letterale nella quale figurano soltanto operazioni di moltiplicazione e potenza con esponente intero b) un espressione algebrica letterale nella quale figurano soltanto addizioni e moltiplicazioni tra termini numerici e termini letterali c) un espressione algebrica letterale nella quale figurano soltanto prodotti di fattori numerici e letterali d) un espressione algebrica letterale nella quale numeri e lettere sono legati dalle operazioni razionali E7 Il grado complessivo di un monomio è: a) l esponente della prima variabile che compare nel monomio b) la somma di tutti gli esponenti che compaiono sia ai fattori numerici sia a quelli letterali c) il prodotto degli esponenti delle variabili che compaiono nel monomio d) la somma degli esponenti di tutte le variabili che vi compaiono E7 Quale delle seguenti definizioni è corretta?: a) il grado di un monomio è l esponente della prima variabile che compare in esso b) il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti che compaiono sia nei fattori numerici che in quelli letterali c) il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le variabili che vi compaiono d) il grado di un monomio è il prodotto degli esponenti delle variabili che vi compaiono E7 Nell insieme E, i cui elementi sono espressioni letterali, determina il sottoinsieme M dei monomi: ( x + 6z ); 7 E = + ab; a; ab²; ; a²bc ; a b²c ; x ; 8x x²; y a M = { } E7 Completa. Nel monomio m = a x y z 8 distinguiamo Coefficiente =. Parte letterale =.. Grado complessivo = Il grado della lettera x è Scegli la o le proposizioni vere: E7 L insieme dei monomi: M = abc²; a²bc; abc²; abc² contiene a) monomi aventi lo stesso coefficiente b) monomi con la stessa parte letterale c) monomi nelle stesse variabili d) monomi dello stesso grado e) monomi di grado dispari E76 Motiva brevemente la verità o falsità delle seguenti proposizioni: Se due monomi hanno ugual grado allora sono simili se due monomi sono simili allora hanno lo stesso grado 9 abc + 7 CALCOLO LETTERALE

14 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E77 Quale diagramma di Venn rappresenta in modo corretto la seguente proposizione: alcune espressioni letterali non sono monomi legenda: L insieme della espressioni letterali M insieme dei monomi M L L Fig M Fig E78 Attribuisci il valore di verità alle seguenti proposizioni: a) Il valore del monomio a è negativo per qualunque a diverso da zero V F b) Il valore del monomio a è negativo per qualunque a diverso da zero V F c) Il monomio b 6 è il cubo di b V F d) L espressione ab è un monomio V F e) Il valore del monomio ab è nullo per a = e b = - V F. Moltiplicazione di due monomi Ci proponiamo ora di introdurre nell insieme dei monomi le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, potenza, divisione. Ricordiamo che definire in un insieme un operazione significa stabilire una legge che associa a due elementi dell insieme un altro elemento dell insieme stesso. La moltiplicazione di due monomi si indica con lo stesso simbolo della moltiplicazione tra numeri; i suoi termini si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto, proprio come negli insiemi numerici. DEFINIZIONE. Il prodotto di due monomi è il monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti, per parte letterale il prodotto delle parti letterali dei monomi fattori. Assegnati i monomi m = 6 6 = x yz m x z il monomio prodotto è ( x x ) y ( z z ) = x m = yz 6 Procedura per moltiplicare due monomi La moltiplicazione tra monomi si effettua moltiplicando prima i coefficienti numeri e dopo le parti letterali: nella moltiplicazione tra i coefficienti usiamo le regole note della moltiplicazione tra numeri razionali. nella moltiplicazione tra le parti letterali applichiamo la regola del prodotto di potenze con la stessa base. E79 Determina il prodotto dei monomi delle seguenti coppie: m = x y ; m 8 8 = x y; m m = m =+ x y 7 m = xy ; m = x y ; m m = m = m = a b y ; m = a y b ; m m = m =... CALCOLO LETTERALE

15 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E80 Determina il grado dei monomi fattori dati nell esercizio precedente e determina il grado del monomio prodotto: grado di m grado di m grado di m E8 Puoi concludere che il grado del monomio prodotto è a) Il prodotto dei gradi dei suoi fattori b) La somma dei gradi dei suoi fattori c) Minore del grado di ciascuno dei suoi fattori d) Uguale al grado dei suoi fattori Le proprietà della moltiplicazione: commutativa: m m = m m associativa: m m m = ( m m ) m = m ( m m ) è l elemento neutro: m = m = m se uno dei fattori è uguale a 0 il prodotto è 0, cioè 0 m = m 0 = 0 xy ax 6a ab a b E8 ( ) ( ) + ( )( ) x( x ) E8 ( )( ab), ab ab E8 +, 6xa(, xy ) mn 7 mn 7 E8 ab a b xz z 7x 9. Potenza di un monomio ( ) CALCOLO LETTERALE 7 0 xy z 8 x xa 6 at t x 8 \ xy Ricordiamo che tra i numeri l operazione di elevamento a potenza ha un solo termine, la base, sulla quale si agisce a seconda dell esponente Potenza = base esponente = base base base.. base Analogamente viene indicata la potenza di un monomio: la base è un monomio e l esponente è un numero naturale. DEFINIZIONE. La potenza di un monomio è un monomio avente per coefficiente la potenza del coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale. Esempi Calcoliamo il quadrato e il cubo del monomio m m = a b. = a b elevo al quadrato ab = ( a) ( b) = ab Tanta volte quanto indica l esponente 6 = a b elevo al cubo ab = ( a) ( b) = ab m 8 Calcoliamo il quadrato e il cubo del monomio m = a b c

16 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale m m 6 = a b c elevo al quadrato ( a b c ) = ( ) ( a ) ( b ) ( c ) = a b c = a b c elevo al quadrato ( a b c ) = ( ) ( a ) ( b ) ( c ) = a b c Procedura per eseguire la potenza di un monomio: Applichiamo la proprietà relativa alla potenza di un prodotto, eseguiamo cioè la potenza di ogni singolo fattore del monomio. applichiamo la proprietà relativa alla potenza di potenza, moltiplicando l esponente della variabile per l esponente delle potenza. Esegui le potenze indicate E86 ( x y z) = 9x y z abx y =... ab x y E87 ( ab ) 8 ( ab) 7 ( ab c) E88 ( + ax y ) E89 xy E90 ( rs t). Addizione di due monomi axy ab xy CALCOLO LETTERALE 6 x y a ab ab L addizione di due monomi si indica con lo stesso simbolo dell addizione tra numeri; i suoi termini si chiamano addendi e il risultato si chiama somma. caso: addizione di due monomi simili DEFINIZIONE. La somma di due monomi simili è un monomio simile agli addendi e avente come coefficiente la somma dei coefficienti. Calcoliamo x ( 6x ) +. I due addendi sono monomi simili dunque la somma è ancora un monomio ed è simile ai singoli x + 6x = + 6 x = x addendi. Precisamente ( ) ( ) ( ) Osserva che la somma di monomi si riduce alla somma algebrica tra i coefficienti. E9 Determina la somma dei monomi simili 8a b + a b + a b 6 La somma è un monomio agli addendi; il suo coefficiente è dato da 8 + =... 6 Quindi la somma = Proprietà della addizione: commutativa: m + m = m + m associativa: m + m + m = ( m + m ) + m = m + ( m + m ) 0 è l elemento neutro: 0 + m = m + 0 = m per ogni monomio m esiste il monomio opposto, cioè un monomio m* tale che m + m* = 0.

17 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale L ultima proprietà enunciata ci permette di definire nell insieme dei monomi simili anche la sottrazione di monomi. Essa si indica con lo stesso segno della sottrazione tra numeri e il suo risultato si chiama differenza. DEFINIZIONE. Per sottrarre due monomi simili si aggiunge al primo l opposto del secondo. Assegnati m = a b m = a b determina m m L operazione richiesta a b - ( a b) diventa a b + a b = a b Sulla base di quanto detto, possiamo unificare le due operazioni di addizione e sottrazione di monomi simili in un unica operazione che chiamiamo somma algebrica di monomi DEFINIZIONE. La somma algebrica di due monomi simili è un monomio simile agli addendi avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti. Determiniamo la somma x x + x + x x x. Osserviamo che tutti gli addendi sono tra loro simili dunque: x x + x + x x x = + + x CALCOLO LETTERALE 7 = x 0 caso: addizione di monomi non simili Analizziamo il caso della seguente addizione: 7a b a b + a b. Si vuole determinare la somma. I monomi addendi non sono tutti tra loro simili; lo sono però il primo e il terzo. La proprietà associativa ci consente di riscrivere l addizione precedente avvicinando i monomi simili e sostituendo ad essi la loro somma: 7a b a b + a b = L espressione così ottenuta è la somma richiesta. E9 Determina la somma S = a ab a + 7ab + a. ( 7a b + a b ) a b = 8a b a b I monomi addendi non sono tra loro simili, modifico la scrittura dell operazione applicando la proprietà associativa in modo da affiancare i monomi simili: (...) + (...)... S = a ab a + 7ab + a = = La somma ottenuta non è un Il procedimento che abbiamo seguito per determinare il risultato dell addizione assegnata viene chiamato riduzione dei termini simili. In conclusione, l operazione di addizione tra monomi ha come risultato un monomio solo se gli addendi sono monomi simili; in caso contrario la somma viene effettuata riducendo i monomi simili e lasciando indicata l addizione tra gli altri monomi. Esempi Calcola la seguente somma: s = a 7a+ a+ a s è un monomio poiché gli addendi sono monomi simili: s = a 6 Calcola la seguente somma: s = a + b a b

18 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale s non è un monomio poiché gli addendi non sono monomi simili: s = - a b E9 ab ab ab ab x + x E9 xy + xy ax ax 7xy xy E9 ab ab xy + xy ab ab E96 9 ax ax ( ) xy xy xy + xy E97 6xy + xy xy 6xy E98 ab ab + ( ab) ( + ab) + ab E99 6ab a + ab + a E00 ab ab + ab ab E0 xy + xy + ( xy) + xy E0 ( ) xy xy + xy xy 6 6. Divisione di due monomi Premessa: ricordiamo che assegnati due numeri razionali d e d con d 0, eseguire la divisione d: d significa determinare il numero q che moltiplicato per d dà d. Nell insieme Q basta la condizione d 0 per affermare che q esiste ed è un numero razionale. DEFINIZIONE: assegnati due monomi m e m con m diverso dal monomio nullo, se è possibile determinare il monomio q tale che m = q m, si dice che m è divisibile per m e q è il monomio quoziente. Vogliamo eseguire la seguente divisione ( 6x y ): ( 8x y) ( 6x y ) q ( 8x y) q = -x y. Infatti ( x y) ( 8x y) = ( 6x y ) Per quanto detto sopra, vogliamo trovare, se esiste, il monomio q tale che = e ripensando alla moltiplicazione di monomi possiamo dire che. Il monomio q è quindi il quoziente della divisione assegnata. Procedura per calcolare il quoziente di due monomi Il quoziente di due monomi è un monomio così composto: il coefficiente è il quoziente dei coefficienti dei monomi dati la parte letterale ha gli esponenti ottenuti sottraendo gli esponenti delle stesse variabili se la potenza di alcune delle lettere risulta negativa il risultato della divisione non è un monomio. CALCOLO LETTERALE 8

19 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Eseguiamo la seguente divisione 7 a x y : ax y 8 Procediamo seguendo i passi sopra descritti: a x y : ax y = a x y = a x y 8 Nell eseguire la divisione non abbiamo tenuto conto della condizione esplicitata nella definizione il divisore diverso dal monomio nullo ; questa condizione ci obbliga a stabilire per la divisione la Condizioni di Esistenza (C.E.). Completiamo l esercizio precedente: C.E. = = = 8 9 Eseguiamo la seguente divisione a b : a b 0 8 Procediamo seguendo i passi sopra descritti con la C.E. a 0 et b 0: a b : a b = ( 8) a b = a b a 0 ex 0e y 0 a x y : ax y a x y a x y Osserva che il quoziente ottenuto non è un monomio perché l esponente della variabile a è negativo. Il risultato è un espressione frazionaria o fratta. In conclusione, l operazione di divisione tra due monomi ha come risultato un monomio se ogni variabile del dividendo ha esponente maggiore o uguale all esponente con cui compare nel divisore. E0 Esegui le divisioni indicate e poni le C.E.: 8 0 b : b = xyz : xyz = C. E. C. E. Determina il quoziente dei monomi q = a 7 b c : 8ab c E0 ( ) ( ) Il quoziente q è un monomio perché. 6 q = + a bc C.E. a 0 e b e c E0 q = ( a : a ) Il monomio q non è un monomio perché q = a 8... C.E. CALCOLO LETTERALE 9

20 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E06 q = ( ) ( x y : yz ) Il monomio q è un monomio? Perché q =+ 7x y z C.E.. E07 q = ( 7 ) ( 7 a : 8a ) Il monomio q è un monomio? Perché. q = C.E. E08 Assegnati i monomi: 8 m = a b m = ab m = a m = b m = b 8 Calcola il risultato delle seguenti operazioni, ponendo le opportune C.E.: A = m m D = m m ( m ) B = m m ( m ) m C = ( m m ) m E = m : m + m F = m E09 Quando sottraiamo due monomi opposti otteniamo : m m [A] Il doppio del primo termine [B] Il doppio del secondo termine [C] 0 [D] il monomio nullo E0 Quando dividiamo due monomi opposti otteniamo: [A] - [B] 0 [C] [D]il quadrato del primo monomio E Attribuisci il valore di verità alle seguenti proposizioni: a. La somma di due monomi opposti è il monomio nullo V F b. Il quoziente di due monomi simili è il quoziente dei loro coefficienti V F c. La somma di due monomi è un monomio V F d. Il prodotto di due monomi è un monomio V F e. L opposto di un monomio ha sempre il coefficiente negativo V F 7. Espressioni con i monomi Consideriamo l espressione letterale E = a b : ( a b) + ( ab) b + b + ab Vediamo che è in due variabili, le variabili sono infatti a e b. Inoltre, i termini delle operazioni che compaiono sono monomi Se volessimo calcolare il valore di E per a = 0 ; b = - dobbiamo sostituire nell espressione tali valori e risolvere l espressione numerica che ne risulta. Inoltre se dovessimo calcolare il valore di E per altre coppie dovremmo ogni volta applicare questo procedimento. Dal momento che abbiamo studiato come eseguire le operazioni razionali con i monomi, prima di sostituire i numeri alle lettere, applichiamo le regole del calcolo letterale in modo da ridurre E, se possibile, in una espressione più semplice. Prima di procedere, essendovi una divisione poniamo innanzi tutto la C.E. a 0 e b 0 ed eseguiamo rispettando la precedenza delle operazioni come facciamo nelle espressioni numeriche. CALCOLO LETTERALE 0

21 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale 6 E = a b :( a b) + ( ab) b + b + ab = a b : ( a b) + ( ab) b + ab = 8 ab ab ab = + sommando i monomi simili otteniamo ab 8 8 E è dunque un monomio e calcolare il suo valore è decisamente più semplice! Calcola il valore dell espressione assegnata per i valori dati a fianco, prima di sostituire i numeri alle lettere esegui il calcolo algebrico sui monomi. E Calcola ab c :( ab ) per a= ; b= ; c= E Calcola 0 x y xz ( xy) 0,6x yz( 0,7xy z) per x=, y =, z = 0, 9 E x x + x x+ x E 8 x x+ x x x+ x+ x E6 a+ a a a+ ( a a) + 0,a a E7, x x + 0,x( x) ( x ) E8 E9 E0 E x ab : xab + xa x y : xy + xy x y 6 ab b + ba : ab + ab ab 6 7 x + x : x + x + x : x x + x + abx abx : a b x xy x y x y xy x x y x xy x + + y 7 E ( ) ( ) ( ) CALCOLO LETTERALE

22 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale. POLINOMI ED OPERAZIONI CON ESSI. Definizioni fondamentali Un polinomio è un espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi. Sono polinomi: 6a+ b; ab+ b ; 6x yx ; ab a b +. 7 Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice in forma normale o ridotto; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale. Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un monomio di grado 0 viene comunemente chiamato termine noto. Il polinomio: ab + b ba + 6ab + b ; ridotto in forma normale diventa ab + 6b 6ab +. Il termine noto è E Riduci in forma normale il seguente polinomio: a ab + a + ab a a. Svolgimento: Evidenziamo i termini simili e sommiamoli tra di loro a ab + a + ab a a, in modo da ottenere. Il termine noto è. Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, pertanto un monomio è anche un polinomio. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio. Esempi xy x y è un binomio; ab + a a è un trinomio; a 6ab + ab b è un quadrinomio. Due polinomi, ridotti in forma normale, formati da termini uguali si dicono uguali, più precisamente vale il p( x) q principio di identità dei polinomi: due polinomi e ( x) sono uguali se, e solo se, sono uguali i coefficienti dei termini simili. Se due polinomi sono invece formati da termini opposti, allora si dicono polinomi opposti. Definiamo, inoltre, un polinomio nullo quando i suoi termini sono a coefficienti nulli. Il polinomio nullo coincide con il monomio nullo. Esempi I polinomi: xy+ y x;y x+ xy sono uguali. I polinomi: 6ab a + b ;a b 6ab sono opposti. Il polinomio: 7ab + a ab + b a b 6ab + b è un polinomio nullo, infatti riducendolo in forma normale otteniamo il monomio nullo 0. Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini. Si chiama, invece, grado di un polinomio rispetto ad una data lettera l esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio. Esempi Il polinomio ab + a b ha grado complessivo perché il monomio con grado massimo è a b, che è un monomio di quarto grado. CALCOLO LETTERALE

23 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Il grado del polinomio a + b a ba rispetto alla lettera a è perché l esponente più alto con cui tale lettera compare è. E a) Individua il grado complessivo del polinomio: x y y + yx 6y x. Svolgimento: il grado del polinomio è perché il monomio di grado massimo è. b) Individua il grado del polinomio: a b+ ab rispetto alla lettera b. Svolgimento: il grado di tale polinomio rispetto alla lettera b è perché. Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono sono dello stesso grado. Il polinomio: a b + ab è un polinomio omogeneo di grado. E Stabilire quali dei seguenti polinomi sono omogenei: 6 axy ) + yx x; b)x+ y xy ; c)x y y x + x Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) di una lettera, quando i suoi termini sono ordinati in maniera tale che gli esponenti di tale lettera decrescono (crescono), leggendo il polinomio da sinistra verso destra. Il polinomio: x + xy xy + y è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera 8 x, e secondo le potenze crescenti della lettera y. Un polinomio di grado n rispetto ad una data lettera si dice completo se contiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a n, compreso il termine noto. Il polinomio: x x + x + x è completo di grado e inoltre risulta ordinato rispetto alla lettera x. Il termine noto è. Osservazione Ogni polinomio può essere scritto sotto forma ordinata e completa: l ordinamento si può effettuare in virtù della proprietà commutativa della somma, mentre la completezza si può ottenere mediante l introduzione dei termini dei gradi mancanti con parte letterale uguale a 0. Per esempio il polinomio può essere scritto sotto forma ordinata e completa come:. E6 Individuare quali dei seguenti polinomi sono ordinati rispetto alla lettera x con potenze crescenti 7 a) x + x ; b) x+ x + x ; c)x x + x x+ 8 E7 Relativamente al polinomio b + a + a + a Il grado massimo è Il grado rispetto alla lettera a è Rispetto alla lettera b è Il polinomio è ordinato? SI NO Completo? SI NO Omogeneo? SI NO E8 Scrivere un polinomio di terzo grado nelle indeterminate a e b che sia omogeneo. E9 Scrivere un polinomio di quarto grado nelle indeterminate x e y che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze decrescenti della seconda indeterminata. E0 Scrivere un polinomio di quinto grado nelle indeterminate r e s che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze crescenti della prima indeterminata. E Scrivere un polinomio di quarto grado nelle indeterminate z e w che sia omogeneo e ordinato secondo le potenze crescenti della prima indeterminata e decrescenti della seconda. E Scrivere un polinomio di sesto grado nelle indeterminate x, y e z che sia completo e ordinato secondo le potenze decrescenti della seconda variabile. CALCOLO LETTERALE

24 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale. Somma algebrica di polinomi I polinomi sono somme algebriche di monomi e quindi le espressioni letterali che si ottengono dalla somma o differenza di polinomi sono ancora somme algebriche di monomi. In definitiva diciamo che la somma di due o più polinomi è un polinomio avente per termini tutti i termini dei polinomi addendi. E Calcolare la somma dei due polinomi: x + yx, x xy + y x + y , eliminando le parentesi otteniamo il polinomio x + yx+ x xy+ yx+ y, sommando i monomi simili otteniamo... x x y... xy+ y +... Svolgimento: Indichiamo la somma ( x yx ) ( x xy yx y ) La differenza di due polinomi si può trasformare in somma del primo polinomio con l opposto del secondo. + a + b ab a + ab b = a + b ab a ab + b = a + ab + b = = a ab+ b Esegui le seguenti somme di polinomi + a b b E a b b E a ( b b) E6 a b ( a b) + a+ b ( b) a+ b+ ( a+ b) a+ b+ ( a+ b) + a + a b (b a) ( a+ ) ( a ) E7 ( a b) + ( b+ a ) + ( a b) ( a b ) + ( 6a + b ) + ( a b ) E8 7 x x + x x x + x E9 + a + x a + ax + ax+ x + a E0 9 a + b ab ab + a b + 6ab a 6 8. Prodotto di un polinomio per un monomio Consideriamo il monomio x y e il polinomio xy ( x y) ( xy x y ) moltiplicazione rispetto all addizione, otteniamo:( ) ( ) + x y ; indichiamo il loro prodotto con +. Per eseguire tale moltiplicazione applichiamo la proprietà distributiva della x y xy+ x y = 6x y + x y. Pertanto il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio avente come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio. Nel caso in cui il monomio è nullo il risultato della moltiplicazione è il monomio nullo. ( x y) x y + xy = ( x y) x y + ( x y) xy = x y + x y Esegui i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio: CALCOLO LETTERALE

25 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E x y xy+ x y Svolgimento: x y xy+ x y = x y + x y. E (a + b)b (a - b)b (a + b)(-b) ab + b,..., ab b E (a b + )b (-a b - )(-b) (a - a)a ab b + b,..., a a E (a - a)(-a) (a a - )a -a(a a - )(-a )...,...,a a a..., ab E (a b ab - )(ab) (ab ab - )(ab) [ ] E6 (a b ab - )(a b ) (a b ab - )(ab) ab abab,... E7 ab(a b ab - )ab [a b a b - a b ] a a a 8 E8 + + ( a ) E9 ( a + a + a )( b ) abx + a b + ax + a a + x ax bx a a ab + a b a b E0 E99 ( ) ( ) E E99 ( ) ( ). Quoziente tra un polinomio e un monomio CALCOLO LETTERALE 6 a + a + a ab + ab + ab Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all addizione. Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio, dà come risultato il polinomio di partenza; il monomio si dice divisore del polinomio. Osservazioni Poiché ogni monomio è divisibile per qualsiasi numero diverso da zero, allora anche ogni polinomio è divisibile per un qualsiasi numero diverso da zero. Un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni fattore del monomio divisore compare, con grado uguale o maggiore, in ogni monomio del polinomio dividendo. La divisione tra un polinomio e un qualsiasi monomio non nullo è sempre possibile, tuttavia il risultato è un polinomio solo nel caso in cui il monomio sia divisore di tutti i termini del polinomio. Il quoziente tra un polinomio e un monomio suo divisore è un polinomio ottenuto dividendo ogni termine del polinomio per il monomio divisore. Eseguiamo la seguente divisione tra polinomio e monomio: 6x y+ 9 x y : x y = x y + x y = x + xy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Svolgi le seguenti divisioni tra polinomi e monomi: x y+ 8 xy : xy E ( ) ( ) Svolgimento:( ) ( ) x y 8 xy : xy x... y... x... y E ( 6x y + x y 6 ):( x y ) Svolgimento:( xy xy 6 ) ( xy ) + = + =. 6 + : =... E (a + a):a (a - a):a (a - a):(-a) [ a+,..., a+ ]

26 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E (a - ) : ( a - ): ( a - ): a, a,... a a E6 a : a a a : a (a + a - a):a,..., 8 a a a + E7 (8a + a - a):a (a b + a b- ab):ab (a b + a b- ab):b E8 (a b - a b - ab ):(-ab ) (a + E9 ( 6x x + x ): ( x ) E60 ( 6 ):( ) a - ab ab ab ab b + n+ n+ n n+ n+ n+ n n 6a b a b + a b : a b E6 ( ) ( ) n n n E6 ( 6a 6 a ):( 6a ). Prodotto di polinomi a a ) : ( ) ( x + x 0x+ ) : ( ) CALCOLO LETTERALE 6 ab ab : ab Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio. Consideriamo ora due polinomi ( ab+ a ab) e ab a+ ab, eseguiamo il prodotto, si ha ( ab+ a ab) ab a+ ab = ab ab+ ab + ab a + 9ab ab + ab a b riducendo i termini simili ab ab+ ab + ab a + 9ab + ab ab. Esempi Eseguiamo la seguente moltiplicazione tra polinomi ( x y xy)( x y+ y). Procediamo moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo ( x y xy)( x y+ y) = x y+ xy+ x y y + 6x y 9xy. In questo caso non ci sono termini simili e quindi l operazione è completata. Calcoliamo il prodotto dei polinomi x x, x +. x x x+ = x + x x x, riduciamo i termini simili, otteniamo 8 8 x x x. E6 x x x x Svolgimento: x+ x x x+ = 8x + x... x+ x x + x =... E6 ( x x + x )( x ) ( x + x + x+ )( x)

27 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E6 ( a + ab+ b )( a+ b) ( a )( a )( a ) E66 ( a )( a )( a ) E67 ( x+ )( x )( x+ )( x ) + ( a+ )( a + a)( a a ) Esercizi sui prodotti di polinomi con esponenti letterali n + n + n + a a a a n a n n + [ + n a + a ] E68 ( )( ) E69 ( n n + n + a a a )( a n a n ) n n+ n+ n+ n E70 ( a + a + a )( a a ) n+ n+ n+ n+ E7 ( + a )( a + a ) n+ n+ E7 ( + )( a ) 6. Altri esercizi + [ a [ CALCOLO LETTERALE 7 [ n n+ n+ n a a + a a ] n n+ a + a ] n+ n+ n+ a + a + a ] a [ a n+ a n+ ] E7 (-a - ) (- a + a) [ a] E7 (a b) [(b + a ) - (a b)] [ 9b] E7 (a b) [(b + a ) - (a b)] 9b [ 8b] E76 a + a a E77 x + xy + y ( x y) E78 xy + x xy ( 6xy) ab ab + ab : ab E79 ( ) ( ) E80 ( a a + a ): ( a ) E8 a b ab + a b : ab x x+ 6x + x+ + x x E8 ( )( ) ( ) ( ) a + a a x y+ 9x y + x y 9 x y + x y x y ab a + b a + a a b+ a E8 a b a ab a ( a b) a( a ab) E8 ( x 6xy y ) 8 + xy y x y x y 6xy y + + E8 ( ) x x y x y x xy ( y) x x y xy E86 ( ) 8 a b a + ab b a a b + ( b) 6 6 E87 9 a b a b a b a n+ n+ n+ + n E88 ( a a + a ): a a+ a n+ n+ n+ n+ E89 ( + a )( a ) a a

28 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale n n n+ n n+ n E90 ( a a )( a + a )( a + a ) + n+ n n n n n n E9 x x x x ( x + x) E9 Se si raddoppiano i lati di un rettangolo, come varia il suo perimetro? E9 Se si raddoppiano i cateti di un triangolo rettangolo, come varia la sua area? E9 Se si raddoppiano gli spigoli a, b, e c di un parallelepipedo, come varia il suo volume? E9 Come varia l area di un cerchio se si triplica il suo raggio? E96 Determinare l area di un quadrato avente come dimensioni e. E97 Determinare la superficie laterale di un cilindro avente raggio di base pari a e altezza. a a CALCOLO LETTERALE 8

29 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale PRODOTTI NOTEVOLI Il prodotto fra due polinomi si calcola moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine dell'altro e sommando poi i monomi simili. Talvolta i polinomi da moltiplicare presentano delle caratteristiche per le quali dopo aver eseguito la moltiplicazione ed aver ridotto i termini simili, si ottiene un'espressione algebrica in cui lo schema di calcolo rimane invariato. Tali prodotti vengono chiamati prodotti notevoli. In questi casi è utile, dopo avere individuato uno specifico prodotto notevole e averne dimostrato la validità, scrivere direttamente il risultato evitando i passaggi intermedi. Con l espressione prodotti notevoli si indicano alcune identità che si ottengono in seguito alla moltiplicazione di polinomi le quali hanno caratteristiche particolari facili da ricordare. Quadrato di un binomio Consideriamo il binomio A+B in cui A e B rappresentano due monomi ed analizziamo che cosa succede A+ B A+ B moltiplicando il binomio per se stesso, eseguendo cioè la moltiplicazione ( )( ) che sotto forma di potenza si scrive ( ) ( ) ( ) ( ) A+ B. A + B = A + B A + B = A + AB + BA + B = A + AB + B Pertanto, senza effettuare i passaggi intermedi si ha A+ B = A + AB+ B () ( ) Espressa nel linguaggio comune: il quadrato di un binomio è uguale alla somma tra il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine e il doppio prodotto del primo termine per il secondo. Analizzando il prodotto ottenuto si può notare che è costituito da tre termini ed in particolare due termini sono costituiti dal prodotto di ciascun monomio per se stesso, un termine è costituito dal prodotto dei due monomi moltiplicato a sua volta per. Nella identità precedente, A e B rappresentano due monomi qualsiasi, quindi la scrittura A + B deve intendersi come somma algebrica di due monomi che, rispetto al segno, possono essere concordi o discordi. Ne consegue che: A e B sono sempre positivi perché prodotto di fattori uguali e quindi concordi. AB è positivo se A e B sono concordi, negativo se sono discordi. E98 (x + y) = [(x) + (y)] = (x)(x) + (x)(y) + (y)(y) = 9x + 6xy + E99 (-x + y) = [(-x) + (y)] = (-x)(-x) + (-x)(y) + (y)(y) = E00 (-x - y) = [(-x) + (-y)] = (-x)(-x) + = 9x + 6xy + y E0 (x - y) = [(x) + (- y)] = = E0 ( x+ y) = ( x) + ( x) ( y) + ( y) =... x y = x y = =... E0 ( ) ( ) A + B = A + AB+ B sostituendo È possibile dare anche un interpretazione geometrica della formula ( ) A e B rispettivamente con le misure a e b di due segmenti. Prendiamo due segmenti di lunghezza a e b, portiamo a coincidere il secondo estremo del segmento lungo a con il primo estremo del segmento di lunghezza b: in questo modo otteniamo un segmento di lunghezza. Costruiamo il quadrato di lato, il quale avrà area, e dividiamolo come in figura : CALCOLO LETTERALE 9

30 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale a b a ba ab b Figura. Scomposizione dell area di un quadrato di lato a+b. Si può notare che il quadrato di lato a+ b è composto da due quadrati di area rispettivamente a e b e da due rettangoli di area ab. Di conseguenza l area del quadrato è uguale a: ( ) a + b = a + b + ab + ab = a + b + ab E0 Disegna un quadrato il cui lato è composto da due segmenti lunghi rispettivamente cm e cm. Esegui la scomposizione del quadrato in modo analogo a come fatto per la figura e verifica la seguente uguaglianza: ( ) + = + +. Sviluppa i seguenti quadrati di binomio E0 ( x + ) ( x + ) ( x ) ( x ) E06 ( x + y) ( x y) ( x + y) ( x + y) E07 ( a+ b) ( a ) ( a + ) ( a+ b) E08 ( a+ b) ( a b) ( a+ b) ( + b) E09 E0 E a+ b a a n n x x x y 7 x n n ( x + + x ) x y + ax n ( a + ) ( a + a n ) Riconosci quali dei seguenti polinomi sono quadrati di binomi a + ab+ b SI NO E E a + b 0ab SI NO + SI NO 6 E a b a b a ab b ; SI NO 9 9 a a b + b SI NO 6 a + b + a b 9 6 SI NO CALCOLO LETTERALE 0

31 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Quadrato di un polinomio Si consideri il trinomio A + B+ C, il suo quadrato sarà dato da: ( A + B + C) = ( A + B + C) ( A + B + C) = A + AB + AC + BA + B + BC + CA+ CB + C = = A + B + C + AB+ AC+ BC Pertanto, senza effettuare i passaggi intermedi si può scrivere () ( ) A + B + C = A + B + C + AB + AC + BC In generale, il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati dei monomi che lo compongono e dei doppi prodotti di ogni termine per ciascuno dei successivi. Nel caso di un polinomio composto da quattro monomi si ha: ( ) x + y+ z+ t = x + y + z + t + xy+ xz+ xt+ yz+ yt+ zt Completa i seguenti quadrati E ( ) x + y = x xy x 6y E6 x y+ = x + y +... x y+... y x x E7 x + = x + x... Calcola i seguenti quadrati di polinomi E8 ( a b c) + ( a b+ c) ( a+ b c) E9 ( x + x+ ) ( x x + ) ( x x ) E0 E E x y + x + y x x x E ( ba + 6ab + b ) E a ab a E ( ab + a b b ) E6 E7 xy yx+ x + x + xy xy+ y 8 (x + z y ) ( 6a y z ) 7 + y x z CALCOLO LETTERALE

32 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza Si consideri il seguente prodotto: ( A+ B)( A B) = A AB+ BA B = A B Pertanto, quando eseguiamo il prodotto tra due binomi che hanno due termini uguali e due termini opposti i prodotti incrociati si annullano e rimangono i due prodotti del termine uguale per se stesso e dei due termini opposti, il primo prodotto risulterà sempre positivo, il secondo prodotto risulterà sempre negativo. Senza eseguire i passaggi intermedi si ha () ( A+ B)( A B) = A B In generale, il prodotto tra due binomi che hanno due termini uguali e due termini opposti si ottiene semplicemente moltiplicando tra di loro i due termini uguali e i due termini opposti.. Esempi Per calcolare ( ) ( a + ab a ab) moltiplichiamo a per se stesso e ( + ab)( ab), otteniamo 9a a b Per calcolare x + b + x + b osserviamo che il monomio che cambia di segno è x, nella forma generale () occorre porre A = b ; B = x. Il risultato è quindi A B = b x. 6 Senza utilizzare la calcolatrice, calcola mentalmente il prodotto 8. Svolgimento Senza utilizzare la calcolatrice, calcolare mentalmente i seguenti prodotti: E8 Esegui i seguenti prodotti applicando la regola ( A + B)( A B) = A B E9 ( x )( x+ ) ( a+ )( a ) ( b )( b+ ) E0 ( a+ b)( a b) ( a+ b)( a b) ( a+ b)( a b) E l+ m l m u+ v u v x + y x y E x x + ( a y)( a y) x y x+ y 7 7 E x + z x z x + y x + y E 7 7 a + y a + y a y a + y E 6 x y x + y a + y a y E6 8 x x x x x + y x y CALCOLO LETTERALE

33 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Cubo di un Binomio Si consideri il binomio A + B, il suo cubo sarà dato da: A+ B = A+ B A+ B = A + AB+ B A+ B = A + A B+ A B+ AB + AB + B = ( ) ( ) ( ) ( )( ) = A + A B+ AB + B Pertanto, senza eseguire i passaggi intermedi si ha A+ B = A + A B+ AB + B () ( ) In generale, il cubo di un binomio è uguale alla somma tra il cubo del primo monomio, il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo, il triplo prodotto del quadrato del secondo monomio per il primo e il cubo del secondo monomio. Essendo ( ) ( ) A B = A+ B, il cubo della differenza di due monomi si ottiene facilmente dal cubo A B = A A B+ AB B della somma, quindi ( ) E7 ( a b ) ( a) ( a) b ( a) ( b ) ( b ) + = = E8 ( ) x y = x 6x y+ xy... y E9 ( x + y) ( x y) ( x + y) E0 ( a + ) ( a ) ( a + ) E ( x + y) ( y x) ( x + y) E ( ) E xy ( x y) ( xy ) a b + E ( x y ) E x z+ y z x a b xy + zx ( ab c a b) Riconosci quali dei seguenti polinomi sono cubi di binomi a a b+ ab + b SI NO a 6a b a b 8b SI NO 8a b 6b a + a b SI NO a 8b + a b a b SI NO 7 E6 E E8 E9 6 a b xyz + abc abc CALCOLO LETTERALE

34 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Potenza n-esima di un binomio Finora abbiamo calcolato le potenze del binomio fino all ordine tre, in questo paragrafo ci si propone di fornire un criterio che permetta di calcolare la potenza, con. Osserviamo le potenze ottenute: Si può notare che: lo sviluppo di ciascuna potenza dà origine a un polinomio omogeneo dello stesso grado dell esponente della potenza, completo e ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b; il primo coefficiente è sempre uguale a ; i coefficienti di ciascuna riga si ottengono utilizzando una disposizione dei numeri a triangolo, detto triangolo di Tartaglia Figura. Il triangolo di Tartaglia In questo triangolo i numeri di ciascuna riga (tranne il primo e l ultimo che sono uguali a ) sono la somma dei due soprastanti della riga precedente. Con questa semplice regola si hanno gli sviluppi: a+ b = ( ) 0 ( a+ b) = a+ b Figura. Costruzione del triangolo di Tartaglia CALCOLO LETTERALE

35 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale ( ) a+ b = a + ab+ b ( ) a+ b = a + a b+ ab + b ( ) a+ b = a + a b+ 6a b + ab + b ( ) a+ b = a + a b+ 0a b + 0a b + ab + b Sviluppa le seguenti potenze di binomio E0 ( a b ) ( a) ( a) ( b ) 6 ( a) ( b )... ( a) ( b ) ( b ) = = E ( a + ) ( x ) 6 ( y) 7 ( x a) E ( a + ) ( a ) 6 ( a ) ( x ) 7 E E a x a ( x a a ) 6 Prodotti notevoli applicati ai polinomi a x Tutti i procedimenti di calcolo presentati in questo paragrafo si applicano non soltanto a monomi ma anche a polinomi. Esempi Per calcolare ( ) a+ b c possiamo anche applicare la regola () del quadrato del binomio dove A= a+ b e B c a+ b + a+ b c + c, ecc. a+ b+ c a+ b c possiamo applicare la regola () ponendo A= a+ b e =, si ottiene ( ) ( )( ) ( ) Per calcolare ( ) ( ) B = c, quindi il risultato A B diventa ( a b) ( c) 6 +, sviluppando i quadrati si ottiene a + ab+ b c. a + ab b a ab+ b possiamo riscrivere il prodotto come Per calcolare( )( ) a + ( ab b ) a ( ab b ), quindi moltiplicando soltanto il monomio uguale per se stesso e i binomi opposti ( ) ( ) ( ) 6 6 a ab b = a a b ab + b = a a b + ab b. E a+ ( b c) a ( b c) a b a a a b x + y x y x+ y + x y a + b + ab a b ab E6 ( ) ( ) E7 ( ) ( ) ( ) ( ) E8 CALCOLO LETTERALE

36 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale 7. Altri esercizi E9 ( x y) + ( x+ y)( y x) E60 ( a b) + ( a+ b)( a b) ( a+ b)( b a) E6 x y x+ y + x+ y x+ y + ( x y) E6 ( a+ b c)( a+ b+ c) + ( a b)( a b) + ( a b) x x+ y x y x x y 7 x yx + x y y z x + yx + b + a + a + a x xy + y x + y + x y + y x y y zx xy zx+ xy + xyz+ zxy E6 ( )( ) E6 E6 E66 E67 n n n+ E68 ( ) ( ) ( ) ( n )( n x x x + x x + ) E69 Trova una regola generale per calcolare il cubo di un trinomio ( A + B+ C) CALCOLO LETTERALE 6

37 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale DIVISIONE TRA DUE POLINOMI Ricordiamo la divisione tra due numeri, per esempio 7:. Si tratta di trovare un quoziente q e un resto r <, in modo che 7 = q + r. Un algoritmo per trovare questi due numeri è il seguente: Verifichiamo che 7 = 6 +, dunque q = 6 e r = soddisfano la nostra richiesta. In questo paragrafo ci proponiamo di estendere questo algoritmo dal calcolo numerico al calcolo letterale, in particolare alla divisione tra polinomi.. Polinomi in una sola variabile Nell insieme dei polinomi in una sola variabile, ad esempio x, vogliamo definire l operazione di divisione, cioè, assegnati due polinomi, A(x) dividendo e B(x) divisore, vogliamo determinare altri due polinomi, Q(x) quoziente e R(x) resto, con grado di R(x) minore del grado di B(x), per i quali: A(x) = B(x) Q(x) + R(x). Per eseguire l operazione si usa un algoritmo molto simile a quello usato per la divisione tra numeri interi. Illustriamo l algoritmo con un esempio. dividendo resto Vogliamo eseguire la divisione tra i polinomi A( x) = x + x x e B( x) x =. Prima di eseguire l algoritmo dobbiamo sempre controllare: - che il dividendo sia di grado maggiore o uguale a quello del divisore. Vero: A( x ) è di grado, B ( x ) è di grado. - che i polinomi siano ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile. Poiché ciò non è vero per A( x ) lo riscriviamo ordinato: A( x) = x x + x. - che dividendo e divisore siano in forma completa. Nel nostro esempio, i due polinomi non sono in forma completa, quindi inseriamo i termini mancanti ponendo 0 come coefficiente delle potenze mancanti: A x = x x + 0x + x B ( x) = x + 0x ( ) divisore quoziente Passo Disponiamo i polinomi secondo il seguente schema, del tutto simile a quello usato per la divisione tra numeri. dividendo x x + 0x + x Spazio per i calcoli divisore x + 0x Spazio per il quoziente CALCOLO LETTERALE 7

38 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Passo Dividiamo il primo termine del dividendo x per il primo termine del divisore x, otteniamo x che è il primo termine del quoziente e va riportato nello spazio dedicato al quoziente. Passo Moltiplichiamo il primo termine ottenuto per tutti i termini del divisore e trascriviamo il risultato del prodotto sotto il dividendo, avendo cura, per essere facilitati nel calcolo, di: x x + 0x + x x x + 0x + x x 0x + x x + 0x x x + 0x x incolonnare i termini con lo stesso grado, ossia scrivere i risultati del prodotto in ordine da sinistra verso destra; cambiare tutti i segni ottenuti, in questo modo risulta più pratico eseguire la somma algebrica dei polinomi invece della sottrazione. Passo Sommiamo il dividendo con il polinomio sottostante e riportiamo il risultato in un altra riga. Questo polinomio si chiama primo resto parziale. Notiamo che ha grado, maggiore del grado del divisore, pertanto la divisione va continuata. x x + 0x + x x 0x + x + + x x x x + 0x x Passo Ripetiamo il procedimento tra il resto parziale ottenuto x + x + x e il divisore x + 0x. Dividiamo il primo termine del resto che è x per il primo termine del divisore che èx. Otteniamo x che è il secondo termine del quoziente. Passo 6 x x + 0x + x x 0x + x + + x x x x + 0x x x Proseguiamo moltiplicando x per ( ) B x, riportiamo il risultato del prodotto cambiandolo di segno sotto i termini del primo resto parziale e addizioniamo i due polinomi: x x + 0x + x x 0x + x + + x x x x + 0x x x + x x + 0x x x CALCOLO LETTERALE 8

39 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Passo 7 Possiamo ripetere per l ultima volta il procedimento precedente tra il resto parziale ( ) Rp x = x + x e il divisore B ( x ) in quanto hanno lo stesso grado. Dividendo il termine di grado maggiore di R x, che è x, per il termine di grado p ( ) maggiore di B ( x ) che è x si ottiene che è il terzo termine del polinomio quoziente. x x + 0x + x x 0x + x + + x x x x + 0x x x + x x + 0x+ + x x + 0x x x+ Non possiamo più ripetere l algoritmo poiché il resto ottenuto ha grado minore del grado del divisore. In conclusione A( x) : B( x ) ha quoziente Q(x) = x x+ e resto R(x) = + x. Verifichiamo se abbiamo svolto correttamente i calcoli; dovrebbe risultare, come detto sopra: A x = Q x B x + R x ( ) ( ) ( ) ( ) ( x ) x x+ + x = x x + x x + x + x = x x + x = x x + x = A( x) I polinomi Q( x ) e R ( x ) soddisfano quindi le nostre richieste. Ma sono unici? E sempre possibile trovarli? A queste domande risponde il TEOREMA DELLA DIVISIONE EUCLIDEA: Siano A( x ) e B ( x ) due polinomi in una sola variabile, esistono e sono unici due polinomi Q( x ) e R ( x ), con gradi di R ( x ) minore o uguale del grado di ( ) tali che A( x) = Q( x) B( x) + R( x). Osservazioni Nel caso in cui il grado di A( x ) sia minore del grado di ( ) caso Q( x ) = 0 e R ( x) = A( x). B x, B x il teorema resta valido, in questo Nel caso di polinomi in più variabili il teorema della divisione euclidea non vale. DEFINIZIONE. Si dice che un polinomio A (dividendo) è divisibile per un polinomio B (divisore) se esiste un polinomio Q (quoziente) per il quale A= Q B. Eseguiamo la divisione tra A ( x) = x x + x e B( x) = x + CALCOLO LETTERALE 9

40 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale I due polinomi sono ordinati secondo potenze decrescenti della variabile, il grado di A è maggiore del grado di B e quest ultimo deve essere completo. Inseriamoli nella schema per eseguire l algoritmo. Risulta: x x + x x 0x x x + 0x x + 0x 0 x + 0x + x Quindi ( x x x ):( x ) ( x ) Infatti ( x ) ( x + ) = ( x x + x ). + + = e il resto R(x) è il polinomio nullo. Conclusione Sia A( x) un polinomio di grado n e B ( x ) un polinomio di grado m con n m divisione tra A e B si ottiene un polinomio quoziente Q( x ) di grado n m e un polinomio ( ) grado g < m. Si dimostra che i polinomi Q( x ) e R ( x ) sono unici. Se R ( x ) è il polinomio nullo, la divisione è esatta e il polinomio A è divisibile per il polinomio B. Se n < m, allora la divisione non si può eseguire e si ottiene la frazione algebrica In quali dei seguenti casi il quoziente è un polinomio? xy y y S N E70 ( ): E7 ( ) E7 ( ) x y y : x S N xy+ x : x S N E7 Completa la divisione 7x + 0x x + x x + 0x A B., quando si esegue la R x di + x x 7 x 7 x Esegui le divisioni E7 ( x x+ ):( x ) E7 ( x x + x ):( x ) ; x 6 9 x x+ ; CALCOLO LETTERALE 0

41 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale E76 ( a a ):( a ) E77 ( 6y y + y ):( y ) E78 ( 7a + a + a) :( a ) E79 ( x 7 ):( x x + x 7) E80 x + x x+ : ( x + x) E8 x x + x x+ : x+ E8 ( 7a+ a a + a ):( a ). Polinomi in più variabili a + 9a+ 8; 9 7 y y + y ; y 7 a;a a x + x + x + x+ 7;x 0x+ 7 x ; x x x + x ; 7 a ; a 7a Per la divisione tra polinomi in più variabili riportiamo soltanto qualche esempio. Siano Aab (, ) = ab+ ab + a b e B( ab, ) = a b rispettivamente dividendo e divisore di una divisione tra polinomi; essi sono due polinomi omogenei nelle due variabili a e b rispettivamente di grado e grado. Per eseguire la divisione procediamo come nel caso di polinomi in una sola variabile. E8 Dividiamo il polinomio Aab (, ) = ab+ ab + a b per il polinomio B( ab, ) = a b rispetto alla variabile a. Controlliamo le condizioni: A e B sono ordinati rispetto alla variabile a? No. A non lo è. Quindi ordiniamo A: Aab (, ) = a + ab+ ab b Il grado di A è maggiore o uguale al grado di B? Sì A e B sono completi rispetto alla variabile a? Sì Costruiamo lo schema per eseguire l algoritmo e procediamo: a + a b + ab b a b a... Il quoziente è Q =.. ; il resto R = 68b. Verifica... Se avessimo eseguito la divisione rispetto alla variabile b, avremmo ottenuto stesso quoziente e stesso resto? Proviamo. Controlliamo le condizioni: A e B sono ordinati rispetto alla variabile b? No. Ordiniamo A, risulta Aab (, ) b ab ab a B ab, = b+ a. = ; ordiniamo B, risulta ( ) CALCOLO LETTERALE

42 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Il grado di A è maggiore o uguale al grado di B? Sì A e B sono completi rispetto alla variabile b? Sì Costruisci lo schema dell algoritmo e concludi. E8 Dividi il polinomio Axy (, ) = x + xy+ xy per il polinomio B( xy, ) = x+ y. Il quoziente è Q(x,y) =, il resto è R(x,y) = 0. Ordina il polinomio A(x,y) in modo decrescente rispetto alla variabile y ed esegui nuovamente la divisione. Il quoziente è sempre lo stesso? Il resto è sempre zero?. Regola di Ruffini Per eseguire la divisione tra due polinomi, nel caso in cui il divisore sia di grado si può applicare una regola nota come regola di Ruffini e che si basa sui seguenti teoremi. TEOREMA. Il resto della divisione di un polinomio A( x ) per un binomio del tipo x che A( x ) assume quando al posto della variabile x si sostituisce il valore k, R Ak ( ) =. k è uguale al valore Dimostrazione Dalla divisione di A( x ) per x k otteniamo la seguente uguaglianza: A( x) = ( x k) Q( x) + R in cui si è preferito scrivere R anziché R(x), poiché è una costante. Essendo tale relazione valida per qualsiasi valore che si attribuisce alla variabile x, sostituiamo al suo posto il valore k e otteniamo: Ak ( ) = ( k k) Qk ( ) + R= R Ciò vuol dire che il valore assunto da ( ) A x quando x 0 = k è proprio uguale al resto della divisione. Dimostriamo ora il Teorema di Ruffini. TEOREMA DI RUFFINI. Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio A( x ) sia di-visibile per un binomio del tipo x Dimostrazione k Ak =. è che risulti ( ) 0 Prima implicazione: A( x ) divisibile per x k Ak ( ) = 0. Poiché A( x ) è divisibile per x k R = resto, Ak ( ) = R= 0, quindi, per la proprietà transitiva dell uguaglianza, ( ) 0 Seconda implicazione: Ak ( ) = 0 A( x ) divisibile per x k., per definizione di divisibilità deve essere 0. Ma, per il teorema del Ak =. CALCOLO LETTERALE

43 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Il resto della divisione del polinomio ( ) R = Ak ( ) e per ipotesi ( ) 0 divisione pari a zero, segue che ( ) A x per il binomio x k, per il teorema del resto risulta Ak =, ne segue che R = 0. Per definizione di divisibilità, essendo il resto della A x è divisibile per x k. Procedura per dividere un polinomio con la regola di Ruffini calcolo del resto applicazione del procedimento di divisione verifica Aa a a Dividiamo con la regola di Ruffini il polinomio ( ) = + per il binomio ( ) quoziente Q( a ) e resto R ( a ). ( a a+ ) :( a ) B a = a, cer-cando Passo Calcolo del polinomio resto Si considera il termine numerico del polinomio divisore cambiato di segno (nell esempio è ) e si sostituisce alla lettera del polinomio dividendo Aa ( ): Il resto della divisione è -. () () + = + = - Passo Applicazione del procedimento di divisione Disegnare il seguente schema di Ruffini: scrivere i coefficienti numerici del polinomio dividendo, secondo le potenze decrescenti della variabile. Se manca un termine occorre mettere 0. l ultimo termine numerico è messo esternamente alla griglia. Nell angolo a sinistra dello schema si pone il termine numerico del polinomio divisore cambiato di segno, nell esempio è. Coefficienti numerici del dividendo Termine noto del divisore cambiato di segno - Termine noto del dividendo Il primo termine si riporta inalterato nella parte sottostante: - Moltiplicare il termine noto del divisore (cambiato di segno) per il primo coefficiente appena tras-critto e si riporta il risultato sotto il secondo coefficiente - Sommare i due termini appena incolonnati -+=- CALCOLO LETTERALE

44 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Moltiplicare il termine noto del divisore (cambiato di segno) per la somma appena ottenuta ( ) = Addizionare gli ultimi due numeri incolonnati -= quoziente - - resto Infine si ricostruisce il polinomio quoziente, tenendo presente che i coefficienti numerici sono quelli trovati da questa divisione, cioè e -. Il quoziente è resto sono allora Q x = a R = ( ) Passo Verifica Come nella divisione con i numeri si moltiplica il polinomio risultato per il polinomio divisore e si somma il polinomio resto. Il risultato deve essere il polinomio dividendo. (a )(a ) + (-) = a a - a + = a a + (x - x + 6) : (x + ) Applicazione del procedimento di divisione Termine noto del divisore cambiato di segno Coefficienti del polinomio quoziente + 7 Resto della divisione Verifica Q x B x + R= A x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x = x x R = 7 x x x+ + 7= x + x x x x + 7= x x+ 6 CALCOLO LETTERALE

45 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Risolvere le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini E8 (x x + ) : (x ) = Calcolo del resto ( + ) ( + ) + = x x+... = x x+ Verifica ( ) Q( x) = x+ 0= x R =... E86 (x - x + x ) : (x ) = E87 (x - x + x ) : (x ) = E88 (x - 0x + 9) : (x ) = E89 (x + x + x x 6) : (x + ) = E90 ( x x + x ):( x+ ) E9 y y + y : y+ E9 x x : ( x+ ) E9 a a a : a E9 y y + y : ( y+ ) x + x+ 9;7 x + x + x+ ; 0 x + x x ;0 x + x x ;0 x 6x+ 8; 7 6 y y y+ ; x x + x x+ ; 6 7 a a a+ ; 6 0 y y + y ;6 Vediamo il caso in cui il binomio che fa da divisore ha coefficiente numerico della variabile diverso da. Dividere con la regola di Ruffini (x x x + x + 7) : (x ) In questo tipo di esercizi si deve rendere il divisore del tipo x + n, quindi nel nostro caso si deve dividere sia il dividendo sia il divisore per ; sappiamo, infatti, dalla proprietà invariantiva della divisione che dividendo per uno stesso numero dividendo e divisore il quoziente della divisione non cambia, mentre il resto risulterà diviso per. Quindi applichiamo l algoritmo precedente e ricor-diamoci al termine della divisione di moltiplicare il resto per. 7 La divisione allora diventa x x x + x+ : x Calcolo del resto Si considera il termine numerico del polinomio divisore cambiato di segno (nell esempio è + ) e si sostituisce alla lettera del polinomio dividendo. Il risultato che si ottiene è il resto della nuova divisione = + + = resto della divisione 6 6 CALCOLO LETTERALE

46 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Applicazione del procedimento di divisione Adesso si pone la lettera per ogni termine del polinomio risultato partendo dal grado del polinomio dividendo diminuito di. Il risultato è quindi il polinomio x x, il resto è 7 7 =. Verifica Per la proprietà della divisione si moltiplica il quoziente per il polinomio divisore e si somma il resto ottenuto. Il risultato deve essere il polinomio dividendo. ( x x)( x ) + 7= x x x + x+ 7 nx α, utilizzando la proprietà In generale, se si vuole dividere il polinomio A( x ) per il binomio ( ) invariantiva della divisione, basta dividere dividendo e divisore per n e si otterranno come quoziente Q( x ), il resto R ( x ) risulta diviso per il coefficiente n. Infatti si ha: ( ) = ( α ) ( ) + ( ) A x nx Q x R x e, dividendo ambo i membri per n, si ha: A ( x ) α x Q( x) ( ) R x = + n n n E9 ( 7 x x + x ):( x ) x x+ ; 8 8 E96 ( x x + x ):( x ) x + x + x+ ; E a a + a : ( a ) ; a + a a E98 ( ab ab + ab ab+ ):( ab ) ab + ab + ab+ ; E99 ( ) ( ab ab : ab ) ab+ ; E00 Per quale valore di k il polinomio x x + kx+ è divisibile per x? [ k = ] E0 Per quale valore di k il polinomio x x + kx è divisibile per x? [nessuno] E0 Per quale valore di k il polinomio x x + x k è divisibile per x +? [ k = ] E0 Scrivi, se possibile, un polinomio nella variabile a che, diviso per a dà come quoziente a + e come resto -. E0 Trovare un polinomio di secondo grado nella variabile x che risulti divisibile per (x-) e per (x-) e tale che il resto della divisione per (x-) sia uguale a - CALCOLO LETTERALE 6

47 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale 6 M.C.D. E m.c.m. TRA MONOMI. Massimo Comune Divisore Il calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore, studiato per i numeri, si estende anche ai monomi. Premettiamo intanto le seguenti definizioni. Un monomio A si dice multiplo di un monomio B se esiste un monomio C per il quale A= B C; in questo caso diremo anche che B è divisore del monomio A. DEFINIZIONE. Il massimo comune divisore tra due o più monomi è il monomio che, tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, ha grado massimo. Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro M.C.D., se non lo sono è opportuno scegliere. Dati i monomi a b e 6a b sono divisori comuni a a b ab ab a a b ab a b a a b ab a b Il monomio di grado massimo è ab, il M.C.D. tra i coefficienti è. Pertanto il M.C.D. dei monomi è a b. Procedura per calcolare il M.C.D. tra monomi Il M.C.D. di un gruppo di monomi è il monomio che ha: per coefficiente numerico il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende ; la parte letterale formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l esponente minore con cui compare. Calcolare M. CD..( abc ; ab ;8abc ) Per prima cosa calcoliamo il M.C.D. tra i coefficienti numerici, e 8 che è. Per ottenere la parte letterale si mettono insieme tutte le lettere comuni, ciascuna con l esponente minore con cui compare: ab. M. CD.. abc ; ab ;8abc = ab. In definitiva, ( ) Calcolare il massimo comune divisore tra x yz; xyz;7xyz 8 Si osservi che i coefficienti numerici dei monomi non sono numeri interi quindi si prende come coefficiente del M.C.D. Le lettere in comune sono xyz, prese ciascuna con l esponente minore con cui compaiono si ha xyz. Quindi, M. CD.. xyz; xyz;7xyz = xyz 8 CALCOLO LETTERALE 7

48 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Osservazione La scelta di porre uguale a il coefficiente numerico del M.C.D., nel caso in cui i monomi abbiamo coefficienti razionali, è dovuta al fatto che una qualsiasi frazione divide tutte le altre e quindi una qualsiasi frazione potrebbe essere il coefficiente del M.C.D. Ad essere più precisi, occorrerebbe, quando si parla di monomi e polinomi, chiarire a quale degli insiemi numerici,,, appartengono i loro coefficienti. Qui stiamo considerando coefficienti numerici in. DEFINIZIONE. Due monomi si dicono monomi primi tra loro se il loro M.C.D. è.. Minimo comune multiplo Estendiamo ora ai monomi la nozione di minimo comune multiplo DEFINIZIONE. Il minimo comune multiplo di due o più monomi è il monomio che, tra tutti i monomi multipli comuni dei monomi dati, ha il grado minore. Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro m.c.m., se non lo sono è opportuno scegliere. Per calcolare il minimo comune multiplo tra a b e 0a b dovremmo costruire i loro multipli finché non incontriamo quello comune che ha coefficiente numerico positivo più piccolo e grado minore: a b alcuni multipli 0a b 0a b 0a b a b 0a b alcuni multipli 0a b Il minimo comune multiplo è 0a b. 0a b CALCOLO LETTERALE 8 0a b 0a b In realtà applicando la definizione è poco pratico calcolare il m.c.m., è utile invece la seguente Procedura per il calcolo del m.c.m. tra due o più monomi Il m.c.m. di un gruppo di monomi è il monomio che ha: per coefficiente numerico il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende ; la parte letterale formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l esponente maggiore con cui compare. Calcola il minimo comune multiplo tra abc; abc;0abc. Il m.c.m. tra i coefficienti,, 0 è 60. Per ottenere la parte letterale osservo il grado più alto delle lettere componenti i monomi, riporto tutte le lettere, comuni e non comuni, una sola volta con il grado maggiore con cui ciascuna compare: abc. m. c. m. a bc; ab c;0a bc = 60a b c. In definitiva, ( ) Calcola il minimo comune multiplo tra 6 x y; xy z; x yz. I coefficienti numerici dei monomi non sono interi quindi il m.c.m. avrà come coefficiente. La parte letterale si costruisce mettendo insieme tutte le lettere che compaiono, prese una sola volta, x, y, z; ciascuna presa con l esponente massimo, quindi x yz. In definitiva mcm... 6 xy; xyz; xyz = xyz.

49 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Osservazione Assegnati due monomi, per esempio x y e xy z, calcoliamo M.C.D. e il m.c.m. ( ) = xy mcm...( x y; xy z) M. CD.. x y; xy z Moltiplichiamo ora M.C.D. e m.c.m., abbiamo: MCD mcm = xy x y z = x y z Moltiplichiamo ora i monomi assegnati, abbiamo: x y xy z = x y z ( ) ( ) CALCOLO LETTERALE 9 = x y z Il prodotto dei due monomi è uguale al prodotto tra il M.C.D. e il m.c.m. Si può dimostrare che questa proprietà vale in generale: PROPRIETÀ. Dati due monomi, il prodotto tra il loro massimo comun divisore e il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto tra i monomi stessi. E0 Vero o falso? a. a bc è un multiplo di abc V F b. xy è un divisore di x V F c. a è divisore di ab V F d. -b è divisore di ab V F e. 8ab è multiplo di ab V F 7 f. a b è multiplo di 60a b V F g. è divisore di a V F E06 Vero o falso? a. il mcm fra monomi è divisibile per tutti i monomi dati V F b. il MCD fra monomi è multiplo di almeno un monomio dato V F c. il mcm è il prodotto dei monomi tra di loro V F Calcola il m.c.m e il M.C.D dei seguenti gruppi di monomi E07 x y xy x y [ ] 8x y, xy E08 xyz x y z [x y z ; xyz ] E09 ab a b ab [0a b ; ab ] E0 a bc ab c a bc [a b c ; abc] E 6a x ax x c [a c x ; x] E 0ab c a c abc [60a b c ; ac] E x y z xz y z [x y z ; z] E a y y c ac [60a c y ; ] E xyc x y c 6c [78c x y ; c ] E6 a n b m z m+ a n b m+ a n b m+ n m+ m+ n m a b z, a b E7 xy z, 6 xyz, 8xz E8 ab c, a b c, ab c E9 x y, xy z, xyz 6 E0 Dati i monomi xy e xz a. Calcola il loro M.C.D. b. Calcola il loro m.c.m. c. Verifica che il loro prodotto è uguale al prodotto tra il loro m.c.m. e il loro M.C.D. d. Verifica che il loro M.C.D. è uguale al quoziente tra il loro prodotto e il loro m.c.m. x yz, xz abc, abc x yz, xy

50 Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale Copyright Il presente documento è rilasciato sotto Copyright 009 degli autori di seguito elencati. È possibile distribuire e/o modificare il documento nei termini della GNU General Public License, versione o successiva ( o della Creative Commons Attribution License, versione.0 o successiva ( Autori Cristina Mocchetti: teoria, esercizi Erasmo Modica: teoria, integrazioni Angela D Amato: integrazioni Germano Pettarin: esercizi Claudio Carboncini: integrazioni Francesco Daddi: esercizi Francesco Speciale: esercizi Anna Maria Cavallo: teoria Silvia Monatti: integrazioni Vittorio Patriarca: osservazioni Dorotea Jacona: osservazioni Luciano Sarra: correzioni Laura Todisco: correzioni Pierluigi Cunti: esercizi Alessandro Castelli: revisione Raffaele Santoro: revisione Angela Iaciofano: annotazioni Michela Todeschi: integrazioni Antonio Bernardo: coordinamento Collaborazione, commenti e suggerimenti Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica C, o se vuoi inviare dei commenti e/o suggerimenti scrivi a [email protected] Versione del documento Versione.0 del CALCOLO LETTERALE 0