TORINO, FEBBRAIO 2012 COMPENDIO ALGEBRA. di BART VEGLIA

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1 TORINO, FEBBRAIO 2012 COMPENDIO DI ALGEBRA di BART VEGLIA 1

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3 1.1 I NUMERI E LE OPERAZIONI CON ESSI Comprendono i numeri assoluti, i frazionari, i relativi, i razionali, gli irrazionali, i reali, gli immaginari, i complessi 1.2 Numeri assoluti o naturali o interi Sono i numeri studiati in Aritmetica (1, 2, 3, ecc.) che si possono sommare (con l operazione di addizione, il cui risultato è la somma ); sottrarre (con l operazione di sottrazione,il cui risultato è la differenza ); moltiplicare ( con la operazione di moltiplicazione, il cui risultato è il prodotto); dividere ( con l operazione di divisione il cui risultato è il quoto o quoziente ). Le operazioni suddette prendono il nome di operazioni elementari dette anche operazioni razionali. Mentre con i numeri assoluti le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono sempre possibili, quelle di sottrazione e di divisione non sempre sono possibili. Ad es. con i numeri assoluti la sottrazione è possibile solo quando il minuendo (V. 1.12) è superiore (o uguale) al sottraendo. Così la divisione di un intero a per un altro b 0 quando la si consideri come un operazione atta a determinare due numeri interi q (quoziente intero) ed r (resto) che soddisfino le condizioni a = b q + r ; r < b, è sempre possibile. Considerata invece come operazione inversa della moltiplicazione, cioè come operazione con lo scopo di determinare un intero q che moltiplicato per b dia a, essa è possibile solo se a è un multiplo di b. Per rendere possibili queste operazioni si è dovuto introdurre lo zero, i numeri frazionari e i numeri relativi. 1.3 I numeri frazionari I numeri frazionari o fratti sono normalmente definiti come rapporto tra due numeri, a e b, che viene rappresentato con il simbolo a/b, detto quoziente di a per b. La frazione (o numero frazionario) è formata da un numeratore, che è rappresentato dalla lettera a situata superiormente nel simbolo succitato e da un denominatore, rappresentato inferiomente dalla lettera b, che deve essere I numeri relativi I numeri relativi sono gli stessi numeri dell Aritmetica ma, mentre nell Aritmetica i numeri sono senza segno, i relativi sono dotati di un segno: più (+) o meno ( -) L Algebra è appunto definita la matematica dei numeri con segno I numeri con segno più (+) si dicono positivi; quelli con segno meno ( ) negativi. Si può pure scrivere per indicare un numero positivo a>0 e un negativo b<0 Per convenzione i numeri positivi vengono spesso scritti senza il segno + Due numeri relativi si dicono uguali se hanno segno e modulo uguali (Es +5 e +5) diseguali se non sono uguali. Il modulo è il numero privo di segno Due o più numeri relativi con lo stesso segno, ma modulo diverso, diconsi concordi (Es. -5 e -12), con segno contrario si dicono discordi (Es.+5 e -12) Due numeri relativi si dicono opposti o contrari quando hanno lo stesso modulo ma segno contrario ( Es. +8 e -8 ) 3

4 1.5 Valore assoluto di un numero relativo E il numero stesso privato del suo segno e lo si indica scrivendo il numero tra due barrette verticali Es. Il valore assoluto di -3 è -3 che vale Proprieta dei numeri relativi Come per i numeri naturali anche per i numeri relativi valgono le leggi delle uguaglianze Proprietà riflessiva Ogni numero relativo è uguale a se stesso (a =a) Proprietà simmetrica: Se un numero relativo è uguale ad un secondo, questo è uguale al primo ( Se a = b è b = a ) Proprietà transitiva: Se un numero relativo è uguale ad un secondo e questo è uguale ad un terzo, il primo e uguale al terzo ( Se a = b e b = c è a = c) 1.7 Rappresentazione grafica del numeri relativi Retta orientata.. Se su una retta si fissa un verso positivo di percorso (solitamente da sinistra a destra) si dice che la retta è orientata. Su di essa si fissa un punto-zero detto origine, indicato con O e si stabilisce un unità di misura costituita da un segmento di lunghezza arbitraria U Se si fa coincidere con l origine il numero zero, si può far corrispondere ai punti della retta, a destra di O, i numeri positivi ed a sinistra, quelli negativi U Numeri negativi \ Numeri positivi Ogni punto della retta orientata è l immagine di un numero relativo ed è detto ascissa di quel numero. Per segnare sulla retta orientata un numero relativo si portano sulla retta stessa, a partire dall origine e verso sinistra, se si tratta di un numero negativo o verso destra, se si tratta di un numero positivo, tante unità di misura quante sono quelle del modulo del numero dato. 1.8 Confronto tra numeri relativi Due o più numeri relativi si possono confrontare osservando la retta orientata. Tale esame permette di affermare che: Lo zero è maggiore dei numeri negativi e minore dei numeri positivi Un numero positivo è maggiore dei numeri negativi Di due numeri positivi diseguali è maggiore quello che ha modulo maggiore Di due numeri negativi diseguali è maggiore quello che ha modulo minore 1.9 L addizione di due o più numeri relativi E l operazione con cui si calcola la somma di due o più numeri relativi, detti termini o addendi Es. ( + 5 ) + ( - 7 ) + (+ 9 ) + ( - 1 ) = + 6 4

5 La somma di due numeri relativi con lo stesso segno è un numero relativo con lo stesso segno avente per modulo la somma dei moduli. La somma di due relativi di segno opposto è un numero relativo avente il segno del numero con il modulo maggiore e per modulo la differenza dei moduli. La somma di due numeri relativi contrari è uguale a zero In pratica, per calcolare la somma di più relativi si possono sommare separatamente i relativi positivi e quelli negativi e infine sommare algebricamente i due risultati così ottenuti Proprietà della somma di più numeri relativi La somma dei relativi gode delle proprietà fondamentali della somma dei numeri assoluti Proprietà commutativa: La somma di più relativi è indipendente dall ordine degli addendi Es. a b + c + d = a + d + c b Proprietà associativa: Una somma non cambia se alcuni suoi addendi vengono sostituiti dalla loro somma Es = 5 + ( ) Se due numeri sono uguali, le loro somme con un terzo sono uguali. Cioè se è a = b è anche a + m = b + m Infatti (a+m)-m= (b+m) m cioè a+(m-m)=b+(m-m) da cui a+0 = b+0 e quindi a=b e viceversa Da questa proprietà deriva la seguente regola pratica per spostare dei termini di una uguaglianza da un membro all altro In una uguaglianza si può trasportare uno o più termini da un membro all altro purché ai termini trasportati venga cambiato il segno 1.11 La sottrazione di due numeri relativi E l operazione con cui si calcola la loro differenza, i cui termini si chiamano: minuendo, il primo e sottraendo, il secondo La differenza di due numeri relativi è un relativo che si trova aggiungendo al primo numero il contrario del secondo. Es. ( -1 ) - ( +5 ) = ( -1 ) + ( -5 ) = -1-5 = Proprietà della differenza tra due relativi Una parentesi preceduta dal segno - si può sopprimere cambiando i segni di tutti i termini in essa contenutii E viceversa Alcuni termini di una somma si possono chiudere in parentesi preceduta dal segno - purché si cambi il segno ad ognuno di essi. 5

6 1.13 La somma algebrica Si chiama somma algebrica un espressione algebrica contenente i segni delle operazioni di addizione e di sottrazione. Se tale espressione contiene delle parentesi, occorre innanzitutto liberare la somma algebrica dalle parentesi, rispettando le regole esposte al La moltiplicazione di due o più numeri relativi E l operazione con cui si calcola il loro prodotto Il prodotto di due numeri relativi con lo stesso segno, entrambi diversi da zero, è quel numero relativo, positivo, avente per modulo il prodotto dei moduli. Il prodotto di due numeri relativi di segno opposto, entrambi diversi da zero, è il numero relativo, negativo, che ha per modulo il prodotto dei moduli Proprietà del prodotto di più numeri relativi Il prodotto di più numeri relativi gode delle proprietà fondamentali dei numeri assoluti. Proprietà commutativa: Il prodotto di più relativi non dipende dall ordine dei fattori Proprietà associativa Il prodotto di più relativi non cambia se ad alcuni suoi fattori si sostituisce il loro prodotto Es. abcd = a(bc)d Proprietà distributiva rispetto alla somma Il prodotto di una somma di numeri relativi per un numero relativo è uguale alla somma dei prodotti di tutti i termini della somma per il numero Es. (a+ b)(- m) = - am bm Il prodotto di un prodotto di due o più numeri relativi per un numero si effettua moltiplicando uno solo dei fattori per quel numero ( e non tutti i fattori per il numero) Il prodotto di due somme di numeri relativi è uguale alla somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ogni termine di una somma per ogni termine dell altra Il modulo di un prodotto di due o più numeri relativi è uguale al prodotto dei moduli dei fattori Due numeri relativi si dicono inversi o reciproci, quando il loro prodotto è uguale a +1 Es. I numeri - 3/4 e - 4/3 sono reciproci perché il loro prodotto vale +1 Di solito il reciproco di un numero m si indica con la stessa lettera munita di apice m 1.16 La divisione di due numeri relativi E l operazione con cui si calcola il quoziente del primo, detto dividendo, rispetto al secondo: detto divisore (che deve essere 0) Il quoziente di due numeri relativi, di cui il secondo deve essere diveso da zero, si ottiene moltiplicando il primo per l inverso del secondo. Es. m : n = m n (v. 1.15) 6

7 1.17 Proprietà della divisione di due numeri relativi Proprietà distributiva Per dividere una somma per un numero si può dividere ciascun termine della somma per quel numero e sommare i quozienti ottenuti 1.18 Raccogliere a fattor comune (o mettere in evidenza un fattore comune) Dalla proprietà citata al numero precedente deriva la seguente proposizione: Una somma algebrica si può considerare come il prodotto di un numero relativo, non nullo, per la somma algebrica dei quozienti dei suoi termini per quel numero a + b + c = m ( a/m + b/m + c/m ) In questo caso si dice che quel fattore (m) è stato raccolto a fattore comune dei termini della somma, ossia che quel fattore è stato messo in evidenza 1.19 La potenza ennesima di un numero relativo Ricordando che, se a ed n sono dei numeri, al simbolo a n si dà il nome di potenza ennesima di a, che significa un prodotto di n fattori uguali ad a, che si chiama base della potenza, mentre n ne è l esponente Se a ed n sono dei numeri relativi, si definisce potenza ennesima di un numero relativo il numero relativo che ha per modulo la potenza ennesima del modulo della base e, per quanto concerne il segno, se la base è positiva, esso sarà positivo, mentre se la base è negativa, esso sarà positivo o negativo a seconda che l esponente è pari o dispari. Es. (+2) 4 = +16; ( -2) 4 = +16; (+2) 5 = +32; (-2) 5 = -32; (-1) 2n = +1; (-1) 2n+1 = -1 Se l esponente è maggiore di 1 la potenza è uguale al prodotto di n fattori uguali alla base; se l esponente è 1 la potenza è uguale alla base; se l esponente è 0 la potenza è uguale a +1,.qualunque sia la base, purché diversa da 0. Es a 1 = a; a 0 = Valore assoluto della potenza di un numero relativo Per determinare il valore assoluto della potenza di un numero relativo, basta moltiplicare i valori assoluti dei fattori, cioè calcolare la potenza del valore assoluto della base Il prodotto di potenze di ugual base E una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Es. a 3 a 2 = a 3+2 = a Il prodotto di potenze di ugual esponente E una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente Es. a 3 b 3 = (a b ) Il quoto di due potenze di ugual base E una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti Es. a 8 : a 3 = a 8 3 = a 5 7

8 1.24 La potenza di potenza E una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Es. (a 3 ) 2 = a 3 2 = a La potenza di un prodotto E il prodotto delle potenze dei singoli fattori Es. (a b c) 4 = a 4 b 4 c La potenza di un quoziente. E uguale al quoziente delle potenze dei singoli termini. Es. (a/b) 3 = a 3 / b Potenze di un numero relativo ad esponente jntero La potenza di un numero relativo ad esponente intero, positivo, è la potenza che ha per base la stessa base e per esponente il modulo dell esponente. Es. a +m = a m La potenza di un numero relativo ad esponente intero, negativo, e base diversa da 0, è la potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente il modulo dell esponente. Es. a m = (1/a) m (-5) -3 =1 / (-5) 3 = 1 / Scrittura di un numero in notazione scientifica La notazione scientifica è una particolare notazione esponenziale che viene spesso impiegata per rappresentare dei numeri troppo grandi o troppo piccoli. Essa consiste nel trasformare il numero dato in un prodotto di un numero decimale compreso tra 1 e 10, per una potenza di 10 con esponente positivo o negativo. Ecco alcuni esempi di come viene attuata la trsformazione suddetta = 1, ; = 7, ; 0,0024 = 2, Non sono invece espressi in notazione scientifica i seguenti numeri 0,0127 = 12, ; 2400 = 0, perché il primo fattore del prodotto non è compreso tra 1 e Numeri razionali I numeri interi e frazionari, positivi e negativi e lo zero si dicono numeri razionali ed il loro insieme si dice campo razionale. I numeri razionali possono sempre essere rappresentati con un numero decimale limitato o illimitato periodico Su questi numeri si possono effettuare tutte le operazioni elementari, dette anche operazioni razionali, eseguibili con i numeri assoluti (eccetto la divisione per lo zero, che non ha nessun significato) e si perviene sempre ad un unico numero, pure razionale Numeri irrazionali Sono i numeri diversi dagli interi, dai frazionari e dallo zero, sui quali non si possono eseguire le operazioni elementari che portano ad un unico numero del campo razionale. I numeri irrazionali possono essere rappresentati in forma decimale, ma, a differenza dei numeri razionali, con un numero di cifre illimitato e non periodico. 8

9 Ad es. è un numero irrazionale la radice quadrata di 2, perché non esiste nessun numero razionale il cui quadrato sia 2. La radice quadrata di 2 è uguale a 1, In generale si può affermare che la radice ennesima di un numero razionale, che non sia una potenza perfetta, è un numero irrazionale 1.31 Numeri reali I numeri razionali e quelli irrazionali formano il campo dei numeri reali Numeri immaginari L introduzione dei numeri irrazionali non rendeva ancora possibile l effettuazione di alcune operazioni non elementari (come ad esempio l estrazione della radice di indice pari da un numero negativo) Si sono quindi introdotti dei nuovi numeri, concettualmente diversi da quelli presentati nei precedenti: i numeri immaginari ed i numeri complessi. Ad esempio per estrarre la radice quadrata di un numero negativo si è creato un nuovo numero, esterno al campo reale: i = -1, detto unità immaginaria. Risulta quindi i 2 = -1 e anche (-i) 2 = -1 Inoltre, come per i numeri reali, si è posto i 1 = 1 e i 0 = 0 Se r è un numero reale il monomio r i si chiama numero immaginario Proprietà dei numeri immaginari Per questi numeri valgono le seguenti proprietà: La proprietà commutativa r i = i r La convenzione: Se r ed r sono due numeri reali uguali è r i = r i Le consuete regole di calcolo: i r + i r = i ( r + r ) r i r = i ( r r ) i r s = s ( i r ) = i ( r s ) i r : s = i (r / s ) I numeri r i e -r i si dicono numeri immaginari opposti o contrari Le prime potenze di i sono le seguenti: i 1 = i i 2 = -1 i 3 = -i i 4 = 2 i 5 = i i 6 = -1 i 7 = -i i 8 = 2 L addizione e la sottrazione di due numeri immaginari danno come risultato un numero immaginario Invece La moltiplicazione e la divisione di due numeri immaginari danno come risultato un numero reale. In particolare: Mediante i numeri immaginari si può sempre estrarre la radice quadrata di un numero negativo, che ha due valori opposti. Infatti è (ai) 2 = a 2 i 2 = -a 2 Quindi -a 2 = ± a i 9

10 1.34 Numeri complessi Le espressioni della forma a + i b (con a e b numeri reali), che sono la somma di un numero reale e di un immaginario si dicono numeri complessi. a è detto parte reale del numero complesso; b è il coefficiente dell immaginario Proprietà dei numeri complessi Due numeri complessi sono uguali, quando sono uguali le parti reali ed i coefficienti degli immaginari Di due numeri complessi diseguali non è possibile stabilire quale sia il maggiore, quale il minore Due numeri complessi con uguale la parte reale ed opposti i coefficienti dell immaginario si dicono complessi coniugati. Es i e 5 3 i Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposti sia la parte reale che la parte immaginaria Es. a + b i e -a b i 1.36 La somma di due numeri complessi \ E un numero immaginario avente per parte reale la somma delle parti reali degli addendi e per coefficiente della parte immaginaria la somma dei coefficienti delle parti immaginarie degli addendi. In particolare la somma di due numeri complessi opposti è uguale a zero 1.37 La differenza di due numeri complessi E la somma del primo numero con l opposto del secondo Es (7 + 4 i) - ( i) = (7 2) + (4 15) i = 5 11 i In particolare, la differenza dì due numeri complessi coniugati immaginario Es ( a + b i ) ( a b i ) = 2 b i è un numero 1.38 Il prodotto di due numeri complessi E simile al prodotto di due binomi ( v. 3.15), ricordando che è i 2 = -1 Es. ( a +b i).( c+ d i ) = ( a c b d) + ( b c +a d )i In particolare il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale e positivo, uguale alla somma del quadrato della parte reale col quadrato dell immaginario Cioè (a +bi) (a bi) = a 2 + b 2 Es. (5 + 3i) (5-3i) = 25 9 i 2 = = 34 E viceversa: la somma di due quadrati è sempre decomponibile nel prodotto di due 10

11 numeri complessi coniugati Es = ( i ) ( 9 5 i ); = ( i ) ( 5 9 i ) c d i Si chiama reciproco del numero complesso c + d i (diverso da zero) il numero c 2 + d 2 Questa definizione si spiega ricordando che il prodotto di due numeri reciproci è = Il quoziente di due numeri complessi E il prodotto del primo numero per il reciproco del secondo Es. a+bi 1 (c-di) (ac+bd)+(bc-ad)i (ac+bd) (bc-ad) = (a+bi) = (a+bi) = = + c+di c+di c 2 +d 2 c 2 +d 2 c 2 +d 2 c 2 +d La potenza di un numero complesso Si calcola con le regole solite ricordando quanto valgono le potenze di i ( v. il 1.33) Es. (5 + 2 i) 2 = i = i (2 3 i) 2 = i = i (3 + 2 i) 3 = i i = i (1 - i 3) 3 = 1 3 i i i 3 = i i = -8 11

12 2.1 I RADICALI E LE OPERAZIONI CON ESSI Prima di introdurre i radicali algebrici è opportuno richiamare le nozioni principali relative ai radicali aritmetici. Se n è un numero naturale, positivo ed a è un numero reale maggiore o uguale a zero, si definisce radice ennesima di a, quel numero reale b, maggiore o uguale a zero, la cui potenza ennesima è uguale ad a. La radice ennesima di a si rappresenta con il simbolo n a. Il simbolo n a si chiama radicale, il numero a radicando, il numero n indice della radice, il simbolo segno di radice, L operazione con cui, dati a ed n, si calcola la radice ennesima di a, si chiama estrazione di radice. L estrazione della radice ennesima è l operazione inversa dell elevamento alla ennesima potenza n a = b; e quindi b n = a. Un radicale si chiama aritmetico se il suo radicando è un numero aritmetico, si chiama algebrico se il suo radicando è un numero con segno. La radice di indice 2 si chiama radicale quadratico e la relativa radice è detta radice quadrata; quella di indice 3 radicale cubico e la radice si chiama radice cubica, La radice di indice 1 di a è uguale ad a: 1 a = a perché a 1 = a 2.2 Radicali quadratici aritmetici L estrazione della radice quadrata da un numero positivo o nullo è l operazione inversa dell elevamento al quadrato a = b b 2 = a ( a 0 b 0 ) Il radicale quadratico di a si indica con il simbolo a, in cui il radicando a deve essere 0 Infatti, dovendosi ad es. determinare la radice quadrata di 4 si deve tenere presente che esistono due numeri il cui quadrato è 4: +2 e -2. Tuttavia nella trattazione dei radicali aritmetici si sceglie unicamente la soluzione positiva e non si tiene conto di quella negativa, che verrà invece considerata quando si tratteranno i radicali algebrici. Non è invece possibile, nel campo dei numeri reali, l estrazione della radice quadrata da un numero < 0, dal momento che non esiste nessun numero reale, positivo o negativo, che, elevato al quadrato dia un numero negativo. Quindi l espressione -a con a > 0, è priva di significato nel campo dei numeri reali. Poiché è 0 2 = 0 si deduce che 0 = 0 Quando si vuole determinare la radice quadrata di un numero positivo, si possono presentare due casi: se il radicando è un quadrato di un numero intero o di un numero razionale, quel numero, preso con il segno positivo, è senz altro la radice cercata; Se, invece, il radicando non è un quadrato perfetto la radice quadrata è un numero irrazionale di cui si possono determinare quante cifre decimali si vogliono Quanto detto prima può essere così riassunto: la radice quadrata di un numero negativo non esiste; la radice quadrata di 0 è 0 la radice quadrata di un numero reale positivo esiste sempre ed è un numero reale, positivo (razionale o irrazionale) 12

13 2.3 Radicali cubici aritmetici L estrazione della radice cubica da un numero reale è l operazione inversa dell elevamento al cubo. 3 a = b b 3 = a (a e b sono numeri reali) Il radicale cubico di a si indica con il simbolo 3 a Per questo tipo di radicale non è necessario che sia a 0; infatti,,a differenza dalla radice quadrata, la radice cubica di un numero negativo esiste ed è un numero negativo. Ad es. essendo (-2) 3 = -8 si ha 3-8 = Radicali ennesimi aritmetici L estrazione della radice ennesima da un numero, positivo o nullo, è l operazione inversa dell elevamento alla ennesima potenza. n a = b b n = a ( a 0 b 0 n = numero naturale 0 ) La radice ennesima di un numero positivo è sempre un numero positivo, sia per n dispari, sia per n pari. Poiché per qualunque valore di n si ha 1 n = 1 è anche n 1 = 1 Analogamente è n 0 = 0 perché 0 n = Proprietà fondamentali dei radicali aritmetici N.B. In quanto segue si suppone che le radici ed i radicandi siano tutti numeri positivi. 1 a Proprietà Dalla definizione di radice ennesima di un numero positivo o nullo si deduce la seguente proprietà: La radice ennesima di un numero positivo o nullo, elevato alla ennesima potenza è uguale al numero stesso ( n a) n = a (a 0 n = numero naturale 0 ) 2 a Proprietà Il valore di un radicale aritmetico non cambia se il suo indice e l esponente del radicando vengono moltiplicati per uno stesso numero naturale, positivo. n a m = n p a m p ( a 0 n, m, p = numeri naturali 0 ) 3 a Proprietà Il valore di un radicale aritmetico non cambia se il suo indice e l esponente del radicando vengono divisi per un loro comune divisore. n p a m p = n a m ( a 0 n, m, p = numeri naturali 0 ) 2.6 Semplificazione dei radicali aritmetici Grazie alla 3 a proprietà del precedente un radicale si può semplificare, dividendo, se possibile, l indice della radice e l esponente del radicando per il loro M.C.D. Quando non è più possibile procedere oltre in tale semplificazione, il radicale si dice irriducibile. 13

14 Es. Es a 6 b 9 = 6 (3 a 2 b 3 ) 3 = 3 a 2 b 3 Irriducibili 6 a a = 6 ( a 2 + 1) 2 = 6 a N.B. Bisogna notare che quando il radicando è una potenza con esponente pari, non è determinato il segno della base della potenza; occorre quindi verificare, ricordando che si stanno considerando solo radicali aritmetici, che, dopo la semplificazione, il risultato abbia ancora significato. Ad es. volendosi semplificare il radicale 4 a 2 in cui il radicando è positivo sia per a = 2, sia per a = -2, se si scrivesse 4 a 2 = a l uguaglianza sarebbe valida solo per a > 0, mentre per a < 0 si avrebbe una falsa uguaglianza, dal momento che il primo membro rappresenta un numero reale, positivo ed il secondo membro non rappresenta alcun numero reale. In tali casi si deve scrivere 4 a -2 = a, oppure considerare i due casi: per a > 0 4 a 2 = a ; per a < 0 4 a 2 = -a 2.7 Riduzione di più radicali aritmetici allo stesso indice Due o più radicali aventi indice diverso, possono essere ridotti allo stesso indice con un procedimento simile a quello seguito per la riduzione di più frazioni allo stesso denominatore. Si deve procedere nel modo seguente: Dopo avere reso irriducibili tutti i radicali, si cerca un qualunque multliplo comune, ( preferibilmente il loro m. c.m. ) e lo si assume come indice comune; si trova poi l esponente di ogni fattore di ciascun radicando, moltiplicando il suo esponente primitivo per il quoziente fra l indice comune e l indice primitivo. Es. Si vuole ridurre allo stesso indice i seguenti radicali: 18 a 12 ; 4 b 3 ; a + b Si eseguono dapprima le semplificazioni possibili, ottenendo: 3 a ; 4 b 3 ; a + b Gli indici dei nuovi radicali sono, nell ordine 2, 3, e 4. Il m.c.m. è 12 che si può assumerre come indice comune dei radicali. Per ottenere tre radicali di indice 12, uguali a quelli dati, occorre moltiplicare gli indici dei tre radicali rispettivamente per 4, 3, e 6 ( perché 4 = 12 : 3, 3 = 12 : 4; 6 = 12 : 2); ricordando la 2 a delle proprietà enunciate nel 2.5 è necessario contemporaneamente elevare i radicandi corrispondenti, agli esponenti 4, (a 2 ) 4 ; 4,3 (b 3 ) 3 ; 2,6 a + b I radicali dati risultano così trasformati nei seguenti radicali di uguale indice (a 2 ) 4 ; 12 (b 3 ) 3 ; 12 a + b 2.8 Operazioni sui radicali aritmetici Nei seguenti vengono esposte le regole da seguire per effettuare le operazioni sui radicali aritmetici. 14

15 2.9 Prodotto di radicali con lo stesso indice Il prodotto di più radicali aventi lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice, avente per radicando il prodotto dei radicandi n a n b = n a b ( a 0 b 0 n = numero naturale 0 ) Es. Es = 5 32 = = 2 4 (a 2 + 1) 3 4 (a 2 + 1) 4 = a Quoziente di radicali con lo stesso indice Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice, avente per radicando il quoziente dei radicandi. n a / n b = n a/b ( a 0 b 0 n = numero naturale 0 ) o anche n a : n b = n a : b24 Es. ( 27 / 3) : (3 / 3 ) = ( 3 3 / 3) ( 3 / 3) = 81 / 9 = Prodotto e quoziente di radicali con indice diverso. Tali operazioni si possono eseguire con le stesse modalità descritte nei precedenti, dopo aver ridotto i radicali allo stesso indice. Es a 2 b 4 2(a-b) = a a 4 b (a-b) = = a a 4 b (a-b) 3 = a 10 b 2 (a-b) Addizione e sottrazione di radicali Le operazioni di addizione e di sottrazione di radicali non godono di proprietà simili a quelle studiate nei relativi al prodotto ed al quoziente dei radicali. Infatti, in generale, n a + n b è da n a + b Analogamente per la sottrazione. Ad es., = = 7 risultato corretto = = 25 = 5 risultato errato In alcuni casi, tuttavia, si possono semplificare delle espressioni relative alla addizione ed alla sottrazione di radicali con lo stesso indice e lo stesso radicando, come si vede nell esempio seguente: Es = (2 + 4 ) 5 = Trasporto di un fattore sotto il segno di radice Quando un radicale è moltiplicato per un fattore positivo, si può portare tale numero entro il segno di radice, come fattore del radicando, dopo averlo elevato alla potenza con l esponente uguale all indice della radice. Infatti se a è un numero positivo poiché è (V 2.5 Proprietà) a = n a n si può scrivere a n b = n a n n b = n a n b Es. 2a 2 b 4 4 3ab = a 8 b 16 3ab = 4 48 a 9 b 17 Occorre però esaminare, mediante esempi, due casi particolari 15

16 1 Caso Il fattore fuori radice è negativo Es. Es = = (1-2) a = -( 2 1) a = - ( 2-1) 2 a 2 Caso Il fattore fuori radice è di segno non noto Dato il prodotto a 2, non sapendo se a è > o < 0 occorre esaminare due casi 1) per a > 0 è senz altro lecito scrivere a 2, = 2 a 2 2) per a < 0 si deve scrivere a 2 = - a 2 = - 2 a Trasporto di un fattore fuori del segno di radice Un fattore positivo del radicando avente l esponente multiplo dell indice della radice si può portare fuori radice, come fattore del radicale, dividendo l esponente per l indice Es. ax 2 + bx 2 = (a + b) x 2 = x a + b 1 a N.B. Se il numero positivo da portare fuori radice è una potenza con esponente pari, non si pu essere certi che anche la base di tale potenza sia positiva e quindi si deve portare fuori della radice anche il valore assoluto della base, come nell esempio sopra. 2 a N.B. Se nel radicando c è un fattore positivo con l esponente maggiore, ma non multiplo, dell indice, si può portare fuori della radice quel fattore con l esponente uguale al quoziente fra l esponente e l indice, lasciando sotto radice lo stesso fattore con esponente uguale al resto della suddetta divisione. Es. a 5 = a 2 a 5 a 27 = a 5 5 a 2 Es a 4 x 5 = 3 a x 3 3 a x 2 E opportuno considerare il caso di a 3 b Essendo la radice quadratica si sa che il radicando è > 0 per cui a e b possono essere entrambi > 0 oppure entrambi < 0 Nel caso di a > 0 si potrà semplicemente scrivere a 3 b = a ab Nel caso di a < 0 si dovrà scrivere a 3 b = - a ab Senza distinguere i due casi si può scrivere a 3 b = a ab 2.15 Potenza di un radicale Per elevare a potenza un radicale aritmetico si deve elevare a quella potenza il radicando ( n a) m = n a m Es. ( 3 2a 2 b) 2 = a 4 b 16

17 2.16 Radice di un radicale Per estrarre la radice ennesima aritmetica da una potenza a base positiva si può estrarre la radice ennesima dalla base, lasciando inalterato l esponente. m n a = mn a ( a 0 m, n = numeri naturali 0 ) N.B. Talvolta ci possono essere nel radicando dei fattori esterni a qualcuna delle radici che figurano nel radicando: in tal caso prima di procedere come è stato detto precedentemente occorre portare i fattori esterni sotto il segno di radice. Es. 2 2 = = 4 8 Es. 3 (a+b) a+b = 3 (a+b) 2 (a+b) = 6 (a+b) 3 = a + b 2.17 Espressioni radicali Si chiamano espressioni radicali o irrazionali le espressioni in cui compaiono, insieme con le solite operazioni razionali anche delle operazioni di estrazione di radice. Talvolta un espressione radicale si può semplificare, come è mostrato nell esempio: 3 a 4 + a 3 b + 3 ax 3 + bx 3-3 ab 3 + b 4 = 3 a + b + x 3 a + b - b 3 a + b = = 3 a + b ( a + x - b ) 2.18 Razionalizzazione del denominatore di una espressione radicale Un espressione radicale si dice intera quando nei denominatori non compaiono radicali. Un espressione radicale non intera si può sempre trasformare con appositi accorgimenti in un altra intera. Questo procedimento, che consiste nell eliminazione dei radicali dal denominatore di una frazione, si chiama razionalizzazione. Si.esaminano ora alcuni casi di razionalizzazione 1 Caso Sia data la frazione a / b Per trasformare un espressione intera, come quella qui sopra, basta moltiplicare numeratore e denominatore, per b E infatti a / b = (a b) /( b b) = a b /b 2 Caso Sia data la frazione a / m b n supponendo m > n. Per razionalizzare il denominatore della frazione data bisogna moltiplicare il numeratore ed il denominatore per m b m-n a / m b n = a m b m-n / m b n m b m-n = a m b m-n / m b m = a m b m-n / b 3 Caso Sia data una delle frazioni del tipo c / a + b ; c / a + b ; c / a + b Per razionalizzare i denominatori si deve ricordare il prodotto notevole (a + b)(a b) = a 2 b 2. Si dovrà quindi moltiplicare numeratore e denominatore delle frazioni sopra riportate, rispettivamente per a - b ; a - b ; a b, ottenendo i seguenti risultati c( a - b) / a b ; c (a - b) / a 2 - b; c( a b),/ a b 2 17

18 Ovviamente i denominatori delle frazioni date potrebbero avere il segno invece del segno +. In tal caso i binomi per cui moltiplicare numeratori e denominatori devono avere il segno + 4 Caso Sia data l espressione m / ( a + b + c) Ricordando il prodotto notevole citato nel 3 Caso, per razionalizzare il denominatore basta moltiplicare numeratore e denominatore per ( a + b) - c con il che il denominatore diventa ( a + b) 2 c 2 = a + b c +2 ab A questo punto si deve effettuare una seconda moltiplicaziome di numeratore e denominatore per (a + b c) - 2 ab ed il denominatore, viene razionalizzato diventando (a + b c) 2 4ab 5 Caso Sia data l espressione m / ( a + b + c + d) Per razionalizzare il denominatore occorre moltiplicare numeratore e denominatore per ( a + b) ( c + d) ed il denominatore diventa ( a + b) 2 - ( c + d) 2 = (a + b c d) + 2 ab - 2 cd e si ricade così nel caso precedente. 6 Caso Sia data l espressione c / ( 3 a + 3 b) Per razionalizzare il denominatore occorre tenere presente l identità (V 4.2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) Infatti, moltiplicando i due termini della frazione per 3 a 2-3 ab + 3 b 2 si ottiene a denominatore l espressione a + b priva di radicali. In modo analogo si può razionalizzare l espressione data, nella quale il denominatore ha il segno - anziché il +. Però in questo caso occorre far ricorso alla identità a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 2.19 Radicali doppi Si chiamano radicali (quadratici) doppi le espressioni della forma a + b o a - b Se il numero a 2 b è positivo, i due radicali sopra riportati possono essere trasformati come segue a + b = (a + a 2 b)/ 2 + (a - a 2 b)/ 2 a - b = (a + a 2 b)/ 2 - (a - a 2 b)/ 2 Queste espressioni sono molto utili quando a 2 b è un quadrato perfetto perché in tal caso il radicale doppio si trasforma nella somma di due radicali semplici Es = ( ) / 2 + ( ) / 2 = (8+4)/2 + (8-4)/2 = Radicali algebrici I radicali algebrici sono i radicali in cui il radicando è un numero relativo. Le regole viste per i radicali aritmetici sono valide anche per i radicali algebrici solo quando si è certi che i radicali esaminati non sono privi di significato. 18

19 Es. E esatto scrivere 6 5 / 6 3 = 6 5/3 e così pure = 3 10 perché gli indici della radice sono dispari. Non è invece corretto scrivere: = 4 10 e 6-5 / / 6-3 = 6 5/3 perché essendo gli indici delle radici, pari, i primi membri delle suddette uguaglianze non hanno significato nel campo dei numeri reali Radice di un numero negativo Nel 2.4 è stata definita la radice ennesima di un numero reale, positivo o nullo, e si è detto che essa esiste sempre ed è un numero positivo o nullo. Ma al 2.3 si è visto che è possibile estrarre la radice cubica da un numero negativo ed il risultato è un numero negativo. Si può generalizzare quanto detto qui sopra mediante la seguente definizione: Se l indice della radice n è dispari ed il radicando a è un numero reale negativo,si definisce radice ennesima di a quel numero negativo b la cui potenza ennesima è uguale ad a n a = b b 2 = a (a < 0 b < 0 n = numero naturale 0, dispari) Si può quindi affermare che Mentre l estrazione di radice pari può essere effettuata solo se il radicando è positivo o nullo, l estrazione di radice con indice dispari può essere eseguita anche se il radicando è negativo Generalizzazione di radice ennesima A questo punto si può generalizzare la definizione di radice ennesima, come segue: Se n è un numero naturale 0, si definisce radice ennesima del numero reale a 0, indicata con il simbolo n a, quel numero reale b, se esiste, che ha lo stesso segno di a, tale che sia b n = a, Per a = 0 si pone b = n 0 = Proprietà fondamentali dei radicali algebrici 1 a Proprietà In simbolo ( a ) n = a (a 0 n = numero naturale 0) Questa proprietà era stata esposta per i radicali aritmetici al 2.5 Si vuole ora verificare se essa è valida anche per i radicali algebrici a) Sia n dispari Per quanto precedentemente affermato l espressione ( n a ) n = a vale anche per a < 0. b) Sia n pari Per quanto detto in precedenza se a < 0 la n a non esiste Riassumendo: Tutte le volte che n a esiste si ha ( n a ) n = a 19

20 Cioè La potenza ennesima di una radice ennesima di un numero ( quando essa esiste) è il numero stesso. 2 a Proprietà In simbolo n a n = a Anche questa proprietà era stata esposta al 2.5 per i radicali aritmetici Si vuole ora verificare se essa è valida anche per i radicali algebrici e ad a < 0 a) Sia n dispari L espressione n a n = a è valida per le radici di indice dispari anche per a < 0 b) Sia n pari Essendo il radicando a n una potenza con esponente pari, non è negativo, ma l uguaglianza n a n = a non è valida per a < 0 perché il primo membro è positivo ed il secondo negativo Riassumendo: per n dispari n a n = a se a <=> 0 per n pari a se a 0 n a n = -a se a < 0 Quindi ricordando la definizione di valore assoluto (V. 5) si può scrivere per n pari n a n = a a = numero reale 3 a Proprietà, cioè la proprietà invariantiva, anch essa già vista per i radicali aritmetici secondo la quale n a m = np a mp ( a 0 m,n,p, = numeri naturali 0) non si può estendere alle radici dei numeri negativi, tuttavia essa è valida se il numero per cui si moltiplicano o si dividono l indice della radice e l esponente del radicando, è dispari Semplificazione dei radicali algebrici La semplificazione dei radicali algebrici viene effettuata mediante l applicazione della proprietà invariantiva. La semplificazione dei radicali algebrici, quando non si conosce il segno di a, può essere effettuata tenendo presente quanto è stato esposto nei precedenti Prodotto e quoziente dei radicali algebrici Ai 2.9 e 2.10 relativi al prodotto ed al quoziente dei radicali aritmetici, si era visto che n a n b = n a b ( a 0 b 0 n = numero naturale 0 ) n a / n b = n a/b ( a 0 b 0 n = numero naturale 0 ) 20

21 Per i radicali algebrici, Se n è pari le relazioni sopracitate sono valide; se n è dispari, poiché è n a = - n -a è, come si vede, possibile fare in modo di avere il radicando positivo. Quindi per n dispari le espressioni soprariportate valgono qualunque sia il segno di a e quello di b Trasporto di un fattore sotto radice, nel caso di radicali algebrici Vengono qui di seguito esaminati alcuni esempi: 1 Es. Sia data l espressione a 3 a Si vuole verificare se il fattore a esterno alla radice, può essere trasportato sotto il segno di radice. Per a 0 tale trasporto è senz altro lecito Es. a 3 a = 3 a 4 Per a < 0 essendo -a > 0, si può scrivere: a 3 a = a 3 -(-a) = 3 (-a) 3 (-a) = 3 (-a) 4 = 3 a 4 e si può concludere che a 3 a = 3 a 4 qualunque sia a ( appartenente ai reali) e, entrambi i membri di questa uguaglianza sono positivi, sia per a > 0 che per a < 0 2 Es. Sia data l espressione (a 1) a Si vuole portare il fattore esterno entro la radice. L espressione esiste per a 0 essendo pari l indice della radice. Poiché si trasportano sotto radice solo fattori positivi si deve esaminare il segno di (a - 1). E a 1 0 per a 1 e a 1 < 0 per a < 1 Tenendo conto delle condizioni di esistenza del radicale, si può concludere: Per a 1 è (a 1) a = (a-1) 2 a Per 0 a 1 è (a 1) a = -(1 a) a = - a(1 - a) 2 = - a(a 1) Trasporto di un fattore fuori della radice nel caso di radicali algebrici Se si vuole trasportare fuori di radice, di indice pari, un fattore di cui non si conosce il segno, questo deve essere portato fuori in valore assoluto. Invece se si vuole trasportare fuori di radice, di indice dispari, un fattore di segno qualsiasi, questo fattore viene portato fuori con il proprio segno Estrazione di radice da un radicale algebrico Vengono presi in esame alcuni esempi 1 Es Sia dato il radicale 3 a 3 a Questo radicale è valido per qualsiasi a reale.operando come è stato fatto in precedenza si ottiene 3 a 3 a = 3 3 a 3 a = 9 a 4 L operazione è valida perché anche l ultimo membro esiste per ogni a reale; inoltre il primo e l ultimo membro sono concordi, essendo entrambi positivi, sia per a 0. sia per a < 0 21

22 2 Es. Sia dato il radicale 3 a 4 a Se è a 0 tutto il radicale sarà positivo o nullo. Risulta 3 a 4 a = 3 4 a 4 a = 12 a 5 3 Es. Sia dato il radicale 3 -a 4 a Per la realtà della espressione data deve essere a 0 3 -a 4 a = - 3 a 4 a = a 4 a = - 12 a Potenze con esponente frazionario Oltre alle potenze con esponente intero, positivo: a n = prodotto di n fattori uguali ad a ed alle potenze con esponente negativo a -n = 1/ a n con la convenzione a 0 = 1. Il concetto di potenza si può estendere alle potenze con esponente frazionario per le quali vale la seguente definizione: La potenza di un numero reale positivo avente per esponente una frazione è uguale al radicando che ha per indice il denominatore della frazione e per esponente del radicando il numeratore della stessa frazione: a m/n = n a m (a > 0 ; m = numero naturale; n = numero naturale 0) Per quanto sopra ricordato circa le potenze con esponente negativo, anche le potenze con esponente frazionario negativo sono il reciproco delle potenze con esponente frazionario positivo a m/n = 1/ a m/n = 1/ n a m ( a > 0 ; m = numero naturale ; n = numero naturale 0) N.B. Va tenuto presente che le potenze con esponente frazionario si possono definire solo nel caso che la base sia positiva, per non andare incontro ad ambiguità, come quella dell esempio che segue Le potenze (-8) 2/6 e (-8) 1/3 sono apparentemente equivalenti essendo 2/6 = 1/3 Applicando la definizione si ha però (-8) 2/6 = 6 (.8) 2 = 6 64 = 2 (-8) 1/3 = 3-8 = --2 Contrariamente a quanto supposto le due potenze considerate non sono uguali. Si è quindi convenuto di non tenere conto, tra le potenze con esponente frazionario, di quelle con base negativa Proprietà delle potenze con esponente frazionario Le potenze con esponente frazionario godono delle stesse proprietà delle potenze con esponente intero Semplificazioni di espressioni con radicali Le potenze con esponente frazionario permettono talvolta la semplificazione dei calcoli di espressioni contenenti radicali, supponendo che essi siano tutti positivi. 22

23 Es. Si voglia semplificare l espressione 5 a 2 3 a 2 Supponendo che sia a > 0 si può scrivere 6 a 5 4 a 3 (a 2 a 2/3 ) 1/5 (a 2 + 2/3 ) 1/5 (a 8/3 ) 1/5 1 1 = = = a 8/15 19/12 = a -63/60 = a -21/20 = = a 5/6 a 3/4 a 5/6 + 3/4 a 19/12 20 a 21 a 20 a 23

24 3.1 IL CALCOLO LETTERALE Si è già visto, nei precedenti, che per una maggiore generalità i numeri sono stati sostituiti da lettere minuscole dell alfabeto. Ad esse si può dare qualsiasi valore relativo, cioè positivo o negativo, escluso lo zero. 3.2 L espressione algebrica Una scrittura formata da numeri relativi o da lettere e numeri relativi, collegati tra loro da segni di operazioni fondamentali, da eseguirsi con quei numeri e con quelle lettere, prende il nome di espressione algebrica Ad es. sono espressioni algebriche le seguenti: a 2 + b 2 ; (2 3 a) / 4 a c 2 ; 3 a (2 a b)- 2 b (3 a 4 b) Il valore delle espressioni algebriche puramente numeriche è il numero che si ottiene dopo aver eseguito tutte le operazioni indicate. Per calcolare il valore di una espressione algebrica si devono seguire delle ben precise regole di priorità 1) Se l espressione non contiene parentesi si devono calcolare prima le potenze, poi effettuare le moltiplicazioni e le divisioni (nell ordine in cui sono scritte) e alla fine le addizioni e le sottrazioni. 2) Se l espressione contiene delle parentesi, si devono innanzitutto eliminare le parentesi, incominciando da quelle più interne, effettuando nell ordine indicato al punto 1), le operazioni contenute in esse. Si procede quindi come indicato al punto 1) 3.3 Monomi Si chiama monomio una espressione algebrica formata da lettere e numeri legati tra di loro da operazioni di moltiplicazione e divisione, ma non di addizione e sottrazione. Un monomio è sempre formato da due parti: il coefficiente e la parte letterale. La parte letterale è costituita dalle sole lettere che compaiono nel monomio. Il coefficiente è il numero relativo per cui è moltiplicata la parte letterale. Se in un monomio non compare il coefficiente si sottintende che esso è l unità, con il segno + o - a seconda del segno che ha la parte letterale Ad es. Il monomio ( 1/3) ab 2 /c 3 ha il coefficiente -1/3 e la parte letterale ab 2 / c 3 I monomi ab 2 n 3 e -xy hanno rispettivamente per coefficiente 1 e Monomi ridotti a forma normale Un monomio si dice ridotto a forma normale quando contiene un solo fattore numerico e potenze di lettere tutte diverse tra loro Es Il monomio (-3/5)a 2 b 3 c(75/2)a 1 b 3 c 2 ridotto a forma normale diventa - (45/2)ab 6 c 3 24

25 3.5 Monomi interi e fratti Si dice intero un monomio, ridotto a forma normale, in cui nessuna lettera compare come divisore Nel caso contrario si dice monomio fratto o frazionario Un monomio si dice intero rispetto ad una lettera se questa lettera non compare come divisore 3.6 Monomi simili e opposti I monomi in cui la parte letterale è uguale si dicono simili Ad es. sono simili i monomi 2 ab 2 ; -ab 2 ; (3/5) ab 2 Due monomi simili che hanno per coefficienti numeri opposti si dicono opposti 3.7 Grado di un monomio, Il grado di un monomio intero rispetto ad una lettera è l esponente che essa ha nel monomio Ad es il monomio -5 a 2 b 3 ha grado 2 rispetto alla lettera a e il grado 3 rispetto alla b Il grado complessivo di un monomio intero è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere Ad es. il monomio 7 a 2 b 3 c è di 6 grado Un monomio privo di parte letterale dicesi di grado zero In un monomio fratto il grado rispetto ad una lettera del divisore (denominatore), va preso con il segno - Ad es. il monomio -3 a/b 3 c 2 ha grado 1 rispetto alla lettera a e grado -3 rispetto alla lettera b e -2 rispetto alla lettera c Il grado complessivo di un monomio fratto è dato dalla differenza tra il grado del dividendo del monomio ed il grado del divisore. Nel caso dell esempio precedente il grado complessivo è 1 5 = Somma algebrica di due o più monomi La somma algebrica di due o più monomi è l espressione che si ottiene scrivendo i monomi da sommare uno di seguito all altro con il proprio segno Ad es. la somma dei monomi +3 ab; -5 a 2 ; 2 b 3 è 3 ab 5 a b 3 La somma di monomi simili è un monomio simile a quelli dati, avente come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti 25

26 3.9 Riduzione dei termini simili Quando in una somma figurano due o più gruppi di monomi simili, è opportuno calcolare separatamente la somma di ogni gruppo di monomi. Tale operazione prende il nome di riduzione dei termini simili Es. -4 a b ab b 2 +7 a 2 5 ab = (-4+7) a 2 + (3-1) b 2 + (3-5) ab = 3 a 2 +2 b 2-2 ab 3.10 Moltiplicazione di due o più monomi Il prodotto di due o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti dei monomi fattori e per parte letterale tutte le lettere che figurano nei vari monomi, scritte ciascuna una sola volta, con un esponente uguale alla somma degli esponenti che essa ha nei monomi fattori Es (-3ab 2 )(+2a 2 b)(-5a 3 bc 2 ) = (-3)(2)(-5) a (1+2+3) b (2+1+1) c (2) = 30 a 6 b 4 c Potenza di un monomio E un monomio che si ottiene elevando tanto il coefficiente quanto ogni fattore della parte letterale all esponente della potenza data Es (- 3 a 3 b 2 c) 3 = -27 a 9 b 6 c Divisibilità tra due monomi Affinché un monomio sia divisibile per un altro è necessario che il dividendo contenga tutte le lettere che figurano nel monomio divisore, ciascuna con un esponente almeno uguale a quello del monomio divisore. N.B. Quando una lettera compare senza esponente. la si deve considerare con esponente 1 Quando in un monomio non compaiono delle lettere, esse vanno considerate con esponente zero 3.13 Divisione tra due monomi Il quoziente di due monomi (con tutte le lettere comuni) è un monomio avente per coefficiente il quoziente dei coefficienti e per la parte letterale le lettere comuni al divisore ed al dividendo, ciascuna elevata ad un esponente uguale alla differenza tra gli esponenti con cui essa compare nel dividendo e nel divisore Es -(3/4)x 2 y : (-1/8)xy = 6x Definendo reciproco di un monomio il monomio stesso fatto divisore dell unità, si può anche dire: il quoziente di due monomi è uguale al prodotto del monomio dividendo per il reciproco del monomio divisore Es 15x 3 yz 2 15x 3 yz 2 : (-7x 2 y) = 15x 3 yz 2 [-1/ (7x 2 y)] = - = - (15/7)xz x 2 y

27 Il quoziente di due monomi si può presentare anche come frazione in cui il monomio dividendo è il numeratore e il monomio divisore è il denominatore Es -5a 3 b 2 c -5a 2 = 2ab 4 c 2 2b 2 c 3.14 Massimo Comun Divisore (MCD) e minimo comune multiplo (mcm) di monomi Il MCD di più monomi interi è un monomio di grado massimo, che sia un divisore comune di tutti i monomi dati, avente come coefficiente il MCD dei coefficienti dei suddetti monomi e come parte letterale i fattori letterali comuni ai monomi stessi, ognuno preso, una sola volta, con il minimo esponente con cui esso compare nei monomi suddetti. Es MCD (12a 5 b 2 c 3 ; -4ab 3 c 5 ; 10a 4 b 3 c 2 ) = 2ab 2 c 2 Il mcm di più monomi interi è un monomio intero, uguale al prodotto di tutti i fattori letterali comuni e non comuni ai monomi dati, presi ciascuno una sola volta con il massimo esponente, avente come coefficiente il m.c.m.dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati, se tali coefficienti sono tutti numeri interi, oppure il numero 1 se non sono tutti interi. Es m.c.m. ( 8 a 3 x 6 ; -6 a 2 x 2 y 2 ; (-2 / 3) a 4 b x 3 ) = 72 a 4 bx 6 y Polinomi e binomi Si chiama polinomio l espressione rappresentata da una somma di monomi, Se i monomi sommati sono solo due il polinomio si chiama binomio Un polinomio si dice ridotto a forma normale dopo che è stata fatta la riduzione dei termini simili (V. seguente) 3.16 Polinomio intero Un polinomio si dice intero se sono interi tutti i suoi termini Un polinomio si dice intero rispetto ad una lettera, se, rispetto a questa sono interi tutti i suoi termini- (Si deve ricordare che intero significa che nessuna lettera figura come divisore) Ad es. il polinomio 2-3 x x 2 /a è intero rispetto alla x, ma non rispetto alla a) 3.17 Grado di un polinomio Se un polinomio è intero rispetto ad una lettera il grado rispetto a tale lettera è il massimo grado dei suoi termini rispetto ad essa Ad es. il polinomio 3 a b 3 x 2 a 2 b 2 + a b x 4 è di 2 grado rispetto ad a., di 3 grado rispetto a b, di 4 grado rispetto a x Ad es, il grado del polinomio dell esempio precedente è 6 Quando tutti i termini di un polinomio hanno lo stesso grado il polinomio si dice omogeneo 27

28 Ordinare un polinomio secondo le potenze decrescenti di una data lettera significa scrivere i suoi termini in modo che il grado di ogni termine, rispetto a quella lettera, non superi il grado del termine precedente. Un polinomio ordinato rispetto ad una data lettera si dice completo quando contiene un termine di ogni grado di quella lettera, da quello di grado più alto a quello di grado 0 Esempio dl due polinomi completi rispettivamente di grado 1 e di grado 3 rispetto ad a a+2b; a 3 a 2 b 2 a +b Somma di polinomi La somma di due o più polinomi o di polinomi con monomi è il polinomio che si ottiene aggiungendo successivamente al primo polinomio i monomi che compongono il secondo 3.19 Differenza di polinomi La differenza di due polinomi è un polinomio che si ottiene aggiungendo al primo polinomio i termini del secondo, cambiati di segno Come racchiudere un polinomio tra parentesi o torglierlo Alcuni termini di un polinomio possono essere racchiusi tra parentesi, mantenendo il proprio segno, se la parentesi è preceduta dal segno più, oppure cambiando il segno se la parentesi è preceduta dal segno meno Per togliere un polinomio da una parentesi preceduta dal segno più o meno - si devono scrivere i termini in essa contenuti, rispettivamente con i segni inalterati o con i segni cambiati 3.21 Prodotto di un polinomio per un monomio o per un polinomio E un polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del polinomio per il monomio o per il polinomio, sommando poi i risultati ottenuti 3.22 Prodotti notevoli Alcuni importanti prodotti di binomi e di polinomi cui sono dedicati i seguenti sono definiti prodotti notevoli 3.23 Quadrato di un binomio Il quadrato di un binomio è un trinomio i cui termini sono: il quadrato dei due termini del binomio ed il loro doppio prodotto. (E un prodotto notevole) Il doppio prodotto ha il segno + se il binomio è del tipo (a + b); ha il segno - se il binomio è del tipo (a b) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2-2ab + b 2 28

29 3.24 Quadrato di un polinomio Il quadrato di un polinomio è un polinomio i cui termini sono: il quadrato di tutti i termini del polinomio e tutti i loro doppi prodotti ( E un prodotto notevole) (a + b +c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2 ac + 2bc Nei polinomi che contengono termini col segno + o col segno - i doppi prodotti hanno ovviamente il segno dipendente da quello dei loro fattori 3.25 Cubo di un binomio Poiché è (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) è anche (a + b) 3 = (a 2 + 2ab + b 2 ) (a + b) da cui (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Si può quindi dire che Il cubo di un binomio è un quadrinomio di cui due termini sono i cubi dei termini del binomio dato e gli altri due sono il triplo prodotto di ciascuno dei due termini per il quadrato dell altro ( E un prodotto notevole) Analogamente si calcola (a b) 3 = a 3-3a 2 b + 3ab 2 b Successive potenze del binomio (Triangolo di Tartaglia) I termini della potenza ennesima di un binomio sono: la potenza ennesima dei due termini del binomio, con coefficiente 1; i loro doppi prodotti con il relativo segno, nei quali l esponente di a decresce da n -1 a 1 e l esponente di b cresce da 1 a n-1, i cui coefficienti si possono ricavare dal cosidetto triangolo di Tartaglia, riportato qui sotto. Il suddetto triangolo è costituito da tante righe di numeri ognuna delle quali corrisponde ad 1 (a + b) 0 un esponente del binomio 1 1 (a + b) 1 Nella prima riga c è solo il numero 1, nella (a + b) 2 seconda due numeri 1 sistemati a sinistra (a + b) 3 ed a destra dell 1 che sta sopra; i numeri (a + b) 4 delle righe successive, i cui estremi sono (a + b) 5 sempre degli 1, si ricavano sommando (a + b) 6 i due numeri che, nella riga superiore, e così via stanno a sinistra ed a destra del numero da determinare, Ad es i numeri della quinta riga, che sono i coefficienti della quarta potenza del binomio, di cui il primo e l ultimo sono degli 1, si ottengono dai numeri della quarta riga, come segue = 4; = 6; = 4 Per cui si può scrivere (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale alla differenza tra il quadrato del primo monomio ed il quadrato del secondo (E un prodotto notevole) (a + b) (a b) = a 2 b 2 29

30 3.28 Divisione di un polinomio per un monomio Il risultato della divisione di un polinomio per un monomio, è il polinomio i cui termini si ottengono dividendo ogni termine del polinomio dato per il monomio e sommando i quozienti Es ( 2ax 4-3a 2 x 3 x 2 ) : x 2 = 2ax 2 3a 2 x 1 ( 2a 5 b 2 3a 2 b 3 + ab 3 ) : (- 3ab 2 ) = (-2/3)a 4 + ab b/3 Se il polinomio ed il monomio sono interi e se tutti I termini del primo sono divisibili per il secondo, si dice che il polinomio è divisibile per il monomio In tal caso conviene trasformare la divisione nella moltiplicazione del polinomio per il reciproco del monomio divisore 3.29 Raccoglimento di un fattore comune ai termini di un polinomio Dato un polinomio, si può talvolta raccogliere ( si dice mettere in evidenza) un fattore comune fra tutti i termini del polinomio, trasformando così il polinomio dato nel prodotto di un monomio, consistente nel fattore comune, per un polinomio uguale al quoziente della divisione del polinomio dato per il fattore comune. Es. 10a 3 b 2 5a 2 b 5 15a 2 b 2 = 5a 2 b 2 ( 2a - b ) Il fattore comune può anche non essere un monomio, come nel seguente esempio Es. 3m-9am+6bm+3n-9an+6bn = 3(m+n) 9a(m+n)+6b(m+n) =3(m +n)(1+3a+2b) 3.30 Raccoglimento a fattore comune parziale Talvolta alcuni termini di un polinomio hanno un fattore comune, altri ne hanno un altro e così via. In tal caso si può fare un raccoglimento a fattore comune parziale come nell esempio seguente Es, am + bn + cm + dn = m(a + c) + n(b + d) 3.31 Divisione di polinomi Dati due polinomi, ordinati secondo le potenze decrescenti di una lettera, detta ordinatrice, si può dire che il polinomio A è divisibile per il polinomio B (o per un binomio) quando esiste un terzo polinomio C che, moltiplicato per B dà come prodotto A. A è il dividendo, B il divisore, C il quoziente. In certi casi la divisione dà un resto R tale che A = B C + R Quando il resto della divisione è zero, si dice che il polinomio dividendo è divisibile per il polinomio divisore 3.32 Grado del quoziente di due polinomi Il grado del quoziente di due polinomi è uguale al grado del dividendo diminuito del grado del divisore e il grado dell eventuale resto è inferiore di almeno un unità rispetto al grado del divisore 30

31 3.33 Divisione di un polinomio per un binomio di primo grado- Teorema del resto Indicando con A(x) un polinomio-dividendo, con x a il binomio-divisore, con C(x) il quoziente della divisione di A(x) per x a e con R (non funzione di x ma numero puro) il resto della divisione suddetta si può scrivere A(x) = (x a) C(x) + R Attribuendo alla x il valore a l espressione precedente diventa A(a) = (a a) C(a) + R ossia R = A(a), cioè il resto è il valore che il polinomio A(x) assume quando alla x si sostituisce a. Si può quindi affermare: Il resto della divisione di un polinomio A(x) per il binomio x a vale A(a) Così pure Il resto della divisione di un polinomio A(x) per il binomio x + a vale A(-a) 3.34 Divisione di somme o differenze di due potenze dello stesso grado, per la somma o la differenza delle basi Si devono considerare 4 casi Se n è pari a n + b n non è divisibile né per (a+b) né per (a-b) Se n è dispari a n + b n è divisibile per (a+b) ma non per (a-b) Se n è pari a n b n è divisibile per (a-b) e per (a+b) Se n è dispari a n b n è divisibile per (a-b) ma non per (a+b) Si possono quindi riassumere i quattro casi come segue La somma di due potenze di ugual grado non è mai divisibile per la differenza delle basi, mentre è divisibile per la somma delle basi solo se il grado è dispari. La differenza di due potenze di ugual grado è sempre divisibile per la differenza delle basi mentre è divisibile per la somma delle basi solo se il grado è pari 3.35 Regola di Ruffini E un procedimento abbreviato per eseguire la divisione di un polinomio ordinato per un binomio del tipo x a o x + a Es. Sia dato il polinomio ordinato x 4 + 3x 3-2x Sia esso da dividere per x Si adotta uno schema come quello rappresentato a fianco (resto) Sulla prima riga si scrivono i coefficienti delle x, mettendo uno zero al posto dei coefficienti delle Polinomio quoziente: x 3 + x 2 2x + 2 potenze di x mancanti Nella seconda riga si scrivono, in colonna con i numeri della prima riga, i risultati dei prodotti di + a ( o - a) (nell esempio -2) per i numeri della terza riga. Questi ultimi sono le somme dei numeri della prima e della seconda riga. L ultimo numero della terza riga è il Resto, che è nullo se gli ultimi numeri della prima e della seconda riga sono uguali. I numeri della terza riga sono i coefficienti del quoziente della divisione del polinomio dato per il binomio x a (o x + a ). Tale quoziente ha un grado in meno rispetto al polinomio della prima riga. Il polinomio dato è quindi uguale a (x + 2) (x 3 + x 2-2x + 2) -5 31

32 3.36 Scomposizione di un polinomio in fattori Per scomporre in fattori un polinomio P(x) mediante la regola di Ruffini si deve individuare uno o più binomi del tipo x a (oppure x + a) per cui P(x) è divisibile. Questo si verifica quando P(a) = 0. I binomi (x+a) e (x-a) si chiamano fattori lineari Si tratta quindi di trovare i valori di a per cui P(a) = 0 Questi valori di a si chiamano radici del polinomio P(x). Per trovare le eventuali radici (jnfatti non sempre esistono) si può applicare la regola seguente: Dato un polinomio A(x), a cofficienti interi, le eventuali radici intere del polinomio si devono cercare tra i divisori, positivi o negativi, del termine noto Es. Sia da scomporre in fattori il polinomio A(x) = x 3 x 6 Le eventuali radici intere si devono cercare per tentativi, mediante la regola di Ruffini, tra i divisori, positivi e negativi, del termine noto -6, che sono ±1 ; ±2 ; ±3 ; ±6 Calcolando i valori assunti da A(x) quando ad x si sostituiscono, uno dopo l altro, gli 8 valori precedenti, si ottengono i seguenti risultati. A(1) = -6 0 A(-1) = 6 0 A(3) = 18 0 A(-3) = A(2) = 0 A(-2) = A(6) = A(-6) = Solo A(2) = 0 per cui l unica radice, intera, di A(x) è il numero 2. Avendo allora trovato che il polinomio è divisibile per (x 2), con la regola di Ruffini si calcola il Quoziente Q(x) che è x 2 + 2x + 3 Alla fine si può scrivere A(x) = x 3 x 6 = (x 2)( x 2 + 2x + 3) Si potrebbero anche cercare le radici frazionarie di P(x) tra le frazioni aventi un numeratore che sia divisore, positivo o negativo, del termine noto ed un denominatore che sia divisore, positivo o negativo, del primo coefficiente (supponendo che P(x) sia ordinato secondo le potenze discendenti della variabile). Es. Si vuole scomporre il polinomio B(x) = 6x 2 + x - 1 di cui si sa che le eventuali radici intere potrebbero essere ±1, Tali valori non sono accettabili perché sostituendoli alla x il polinomio non si annulla. Le eventuali radici frazionarie razionali si devono cercare tra i numeri ±1/2 ; ±1/3 ; ±1/6 Sostituendoli uno ad uno nel B(x) si scopre che il solo valore che annulla B(x) è -1/2 per cui, dopo aver diviso il polinomio dato per x + ½ e trovato il Quoziente, si può scrivere B(x) = 6x 2 + x 1 = (x + ½)(6x 2) = [2(x + ½)](3x 1) = (2x + 1)(3x 1) 3.37 Altri esempi di scomposizione di polinomi Seguono altri esempi di scomposizione di polinomi in cui, mediante un raccoglimento di fattori, si trasformano i polinomi in prodotti Es. a 2 x b 2 x + ax bx = (a 2 b 2 + a b) x = (v 101) = [(a + b) (a b) + (a b)] x = = [(a b) (a + b + 1)] x 32

33 Es ax 2 + 2ax + a = a(x 2 + 2x + 1) = (v 3.23) = a(x + 1) 2 Es a 3 + a 2 b a b = a 2 (a + b) (a + b) = (a + b) (a 2 1) = (a + b)(a + 1)(a 1) 3.38 Scomposizione di un trinomio di secondo grado Un trinomio di secondo grado è scomponibile nel prodotto di due binomi quando si trovano due numeri la cui somma sia uguale al coefficiente della x ed il cui prodotto sia uguale al termine noto. In altri termini Dato un trinomio di secondo grado del tipo x 2 +sx +p se esistono due numeri a e b la cui somma a + b sia = s ed il cui prodotto a b sia = p il trinomio si può scomporre in (x + a)(x + b) Es Dato il trinomio x 2 + 6x 7 si cercano due numeri la cui somma sia +6 ed il cui. prodotto sia -7. Tali numeri esistono e sono -1 e 7 Il trinomio si può quindi scrivere (x 1)(x + 7) La formula precedente vale anche se al posto della variabile x si sostituisce un monomio m e se a e b sono due monomi. Il trinomio cioè si può scrivere m 2 + sm + p = (m + a)(m + b) in cui s = a + b ; p = ab Es. Sia da scomporre il trinomio x 2 + 6xy + 8y 2 Si può scrivere x 2 + 6y x + 8y 2 = x 2 + (2y + 4y)x + 2y 4y = (x + 2y)(x + 4y) in cui m = x s = a + b = 6y p = a b = 8y 2 e quindi a = 2y ; b =4y 3.39 La frazione algebrica Le frazioni algebriche si indicano con il simbolo A / B dove A e B rappresentano dei monomi o dei polinomi ed il simbolo precedente indica il quoziente di A rispetto a B A è detto numeratore, B è detto denominatore. Esempi di frazioni algebriche 2ab 4 a + 2b 2xy 2 a 2-3ab 3 ; ; ; 5x 2 y 3 a 3b x 2 + y ab Una frazione algebrica non ha significato per quegli eventuali valori delle lettere che rendano il denominatore uguale a zero Due frazioni algebriche si dicono equivalenti quando assumono valori numerici uguali, qualunque sia il valore attribuito alle lettere Una fzione algebrica i cui termini non hanno fattori comuni si dice ridotta ai minimi termini o irriducibile 33

34 3.40 Proprietà della frazione algebrica-semplificazione di una frazione algebrica Proprietà Invariantiva Moltiplicando numeratore e denominatore di una frazione algebrica per una stessa espressione, diversa da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data a / b = am / bm Dividendo numeratore e denominatore di una frazione algebrica per un divisore comune, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data. Quando si applica questa seconda parte si dice che si semplifica la frazione Per semplificare una frazione algebrica bisogna scomporre il più possibile il numeratore ed il denominatore in fattori e poi dividerli entrambi per tutti i divisori comuni 12a 3 b 2 c Es. I due termini della frazione algebrica da semplificare hanno in comune il fattore 4a 2 b 2. La semplificazione dà 3ac / b 3 4a 2 b 5 3x 2 6xm m Es. Per semplificare la frazione algebrica si deve scomporre numeratore e x 2 4y 2 3x(x 2y) denominatore in fattori, ottenendo la frazione equivalente (x +2y)(x 2y) Si vede così che i due termini della frazione hanno in comune il fattore (x 2y) per il quale essi vanno divisi. Il risultato della semplificazione è 3x / (x + 2y) Proprietà distributiva del quoziente, rispetto alla somma Il quoziente di una somma per un numero è uguale alla somma dei quozienti dei termini della somma per quel numero a + b + c a b c Es. = + + m m m m 3.41 Riduzione di due o più frazioni algebriche allo stesso denominatore Per ridurre più frazioni algebriche allo stesso denominatore si deve procedere nel modo seguente: a) Si scompongono i denominatori in fattori e, se è il caso,si riducono le frazioni b) Si trova il multiplo comune, di grado il minore possibile; c) Si divide il suddetto multiplo per ognuno dei denominatori; d) Si moltiplica il quoziente così calcolato per il corrispondente numeratore, ottenendo così i numeratori delle nuove frazioni, delle quali il comune multiplo è il denominatore comune La somma algebrica di più frazioni algebriche Date più frazioni algebriche delle quali si vuole calcolare la somma, bisogna innanzitutto ridurle allo stesso denominatore, dopodichè, si fa la somma algebrica dei numeratori 34

35 3.43 Il prodotto di due o più frazioni algebriche E una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori 3.44 Il quoto di due frazioni algebriche- La frazione reciproca o inversa di una data La frazione reciproca di una frazione data è la frazione che, moltiplicata per quella data, dà come prodotto +1 Ciò premesso si può dare la definizione dei quoziente di due frazioni algebriche: E una frazione algebrica che si ottiene moltiplicando una frazione per la reciproca dell altra, che deve essere 0. Es. (3a / b) : (- 2/3) = (3a / b) ( -3/2) = - (9a / 2b) N.B. E consigliabile non effettuare subito i suddetti prodotti, ma soltanto indicarli, perché in tal modo si possono vedere alcune semplificazioni che, a prodotto eseguito, non si vedrebbero. Es x 2 y 2 x y (x + y)(x y) 2 = x 2 2xy y 2 3 (x + y) (x y) 2 3 (x + y) 3.45 La potenza di frazioni algebriche La potenza, con un dato esponente, di frazioni algebriche è uguale alla frazione che ha per termini le potenze, con lo stesso esponente dei termini della frazione data Costanti e variabili In una espressione algebrica (V. 3.2) certe lettere vengono denominate costanti o parametri, che nella espressione in questione, mantengono sempre lo stesso valore. Si dicono,invece variabili le lettere che, nella medesima espressione, possono assumere valori diversi. Normalmente le costanti vengono indicate con le lettere minuscole a, b, c,.e le variabili con le lettere minuscole x, y, z,w La funzione algebrica La funzione algebrica y è una espressione algebrica nella quale compare la variabile x ed è detta funzione di x La si indica comunemente con la scrittura simbolica y = f(x) La x è anche detta variabile indipendente mentre la y è detta variabile dipendente perché i suoi valori dipendono da quelli della x I tipi di funzioni più importanti sono:le funzioni razionali fratte,le funzioni intere, le funzioni algebriche, le funzioni analitiche,le funzioni trascendenti,le funzioni trigonometriche, ecc. 35

36 3.48 Rappresentazioni grafiche - Diagrammi Allo scopo di studiare le proprietà di una funzione è molto utile rappresentarla graficamente in un piano sul quale sia stato stabilito un sistema di coordinate. Infatti tale rappresentazione rende più evidenti le caratteristiche della funzione stessa. La curva che rappresenta graficamente una funzione si chiama diagramma o grafico, che è costituito da tutti i punti del piano suddetto le cui coordinate soddisfano l equazione della funzione. Il piano è detto cartesiano 3.49 Coordinate cartesiane nel piano Ascisse e ordinate Al 1.7 si è definita la retta orientata sulla quale si è fissato un verso positivo di percorso (normalmente da sinistrta a destra), si è stabilito un punto-zero detto origine, indicato con O, ed è stata scelta un unità di misura per le lunghezze (ad es. 1 cm, oppure un segmento OA = u scelto arbitrariamente) Ad ogni punto P della retta suddetta si può far corrispondere un numero relativo, detto ascissa del punto P, che può essere positiva o negativa, secondo che P sia situato a destra o a sinistra di O Le due semirette uscenti da O si dicono semiasse positivo (a destra di O) e semiasse negativo (a sinistra di O) delle ascisse. Se le rette orientate sono due, ortogonali tra di loro ed entrambe con origine in O, esse costituiscono gli assi cartesiani che sono detti, asse delle ascisse o asse x, quello orizzontale, con il verso positivo a destra di O, e asse delle ordinate o asse y, quello verticale con il verso positivo al di sopra di O Ad ogni punto P del piano cartesiano corrispondono un ascissa (x p ) ed un ordinata (y p ) che prendono il nome di coordinate cartesiane e che si indicano con il simbolo (x p ; y p ) y Le due rette coordinate dividono il piano cartesiano 3 P(3;3) in quattro angoli retti, detti quadranti. 2 Partendo dall angolo in alto a destra e procedendo 2 Q 1 1 Q in senso antiorario essi si chiamano:: primo, secondo, terzo e quarto quadrante x Il punto P giace nel 1 Quadrante ed ha coordinat e -2 (3 ; 3). Il punto R sta nel 3 Quadrante ed ha 3 Q -3 4 Q coordinate (-5 ; -4) R(-5; -4) -4 E evidente che ogni punto dell asse x ha ordinata nulla per cui l equazione di tale asse è y = 0. Così pure, essendo nulla l ascissa dell asse y, l equazione di tale asse è x = 0 L origine degli assi O, ha coordinate (0 ; 0) Il semipiano situato a destra dell asse y è detto semipiano delle x positive; quello a sinistra semipiano delle x negative. Analogamente il semipiano posto al di sopra dell asse x è detto semipiano delle y positive; quello al di sotto semipiano delle y negative. 36

37 3.50 Problemi risolti con le coordinate cartesiane Seguono due esempi di problemi risolti con le coordinate cartesiane che sono oggetto con altri del Compendio di Geometria Analitica.dello stesso autore a) Distanza tra due punti di coordinate note C(-1; 2) A(4;2) Siano dati nel piano cartesiano il punto A (4 ; 2) 3/2 ed il punto B (-1 ; -3). Si vuole calcolare la -1 O 4 distanza tra i due punti, cioè la lunghezza del -1/2 M segmento AB. La lunghezza del segmento AB si può calcolare B (-1;-3) -3 mediante il teorema di Pitagora applicato al triangolo ACB. C(1; 2) AB 2 = AC 2 + BC 2 AC = 4 (-1) = 5 BC = 2 (-3) = 5 AB 2 = = 50 Quindi AB = 50 = ,b) Coordinate del punto medio di un segmento Facendo riferimento al disegno del problema precedente, si vuole calcolare l ascissa e l ordinata del punto medio M del segmento AB. Le coordinate ( x M ; y M ) del punto medio M del segmento AB sono uguali alla media delle ascisse e a quella delle ordinate di A e di B x M = = ; y M = = Pertanto si può scrivere simbolicamente M ( 3/2 ; -1/2 ). M è rappresentato nel disegno del precedente Rappresentazione grafica delle funzioni algebriche Delle funzioni algebriche e delle loro caratteristiche si è gia detto al Qui si vuole soltanto fare presente che le funzioni algebriche possono essere rappresentate graficamente sul piano cartesiano. Ad es. la funzione y = 2x + 2 è rappresentata su tale piano dalla retta r (V. disegno) passante per M(0;4) 4 A (0 ; 2) e B (-1; 0 ), avente il coefficiente angolare (m), cioè la pendenza della retta r sull asse delle ascisse, uguale a 2 La funzione y = -2x + 4 è rappresentata dalla retta A(0;2) 2 s che passa per il punto M (0 ; 4) e N (2 ; 0 ) ed ha coefficiente angolare m = -2-1 O 2 Per le altre funzioni geometriche relative B(-1;0) N(2;0) x alle rette ed alle coniche, si rimanda al Compendio di Geometria Analitica dello stesso autore r s 37 y

38 4.1 EQUAZIONI E PROBLEMI RELATIVI Le equazioni sono uguaglianze tra due espressioni algebriche che sono vere solo per alcuni valori attribuiti alla variabile, o alle variabili, dette incognite, in esse contenute Risolvere un equazione significa trovare i valori che si devono dare alle incognite affinché il primo membro (l espressione scritta a sinistra del segno =) sia uguale al secondo membro (quella a destra), in modo cioè che l equazione diventi una identità. (V. seguente) Questi valori si chiamano soluzioni o radici dell equazione e sono uguali in numero al grado dell equazione Si dice razionale un equazione nella quale, sulle incognite, si devono effettuare soltanto le quattro operazioni razionali L equazione si dice impossibile se non ammette soluzioni. Si dice indeterminata quando esistono infinite soluzioni. Si dice intera un equazione in cui l incognita non si presenta come divisore; fratta o frazionaria in caso contrario, cioè se l incognita è presente in almeno un denominatore Si dice numerica un equazione in cui, oltre all incognita, compaiono solo dei numeri Si dice letterale un equazione in cui, oltre all incognita, compaiono delle costanti letterali, dette anche parametri, cui si possono dare infiniti valori diversi. Si dicono equivalenti due equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni. 4.2 Identità E una uguaglianza tra due espressioni, con le stesse variabili, che è verificata, qualunque valore venga attribuito alle variabili in essa contenute Es. L uguaglianza (a + b) 2 - b 2 = a 2w + 2ab è una identità, perché attribuendo ad es. alla lettera a il valore 1 ed alla b il valore 2 si ottiene (1 + 2) = che è uguale a = da cui 9 4 = e infine 5 = 5 che, come si nota, è effettivamente una identità. Ad un analogo risultato si perverrebbe dando ad a ed a b altri valori. 4.3 Principi di equivalenza delle equazioni - Per risolvere un equazione bisogna, in genere, trasformarla gradualmente in una equivalente, più semplice, fino ad ottenere una equazione di cui si sa come trovare la soluzione. Per effettuare le suddette trasformazioni occorre far ricorso ad alcuni principi fondamentali, esposti qui di seguito.. 1 Prìncipio di equivalenza Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione uno stesso numero od una stessa espressione algebrica intera (monomio o polinomio), si ottiene un equazione equivalente alla data 38

39 Ne segue il Corollario: Un termine di una equazione si può trasportare da un membro all altro, cambiandolo, però, di segno (Infatti ciò equivale a sottrarre tale termine a entrambi i membri Vale anche il Corollario; Se in entrambi i membri di una equazione è presente uno stesso termine,(numero o monomio) con lo stesso segno e che non abbia l incognita al denominatore, lo si può eliminare in tutti e due i membri (Infatti ciò equivale a sottrarre da entrambi i membri tale elemento) 2 Principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo i due membri di una equazione per uno stesso numero o una espressione, non contenente le incognite e che abbia valore determinato, diversa da zero, si ottiene una equazione equivalente alla data. Ne segue il Corollario: Cambiando di segno tutti i termini di una equazione si ottiene una equazione equivalente alla data. (Infatti il cambiamento di segno di tutti i termini non è altro che la loro moltiplicazione per 1 o -1) Segue pure il Corollario: Una equazione con coefficienti frazionari si può trasformare in una equazione equivalente, con coefficienti interi, liberando l equazione dai denominatori, cioè moltiplicandola per un multiplo dei denominatori come il m.c.m. Si procede nel modo seguente. Sia data ad es. l equazione 3x / 4 (x + 1) / 6 = 5 + (x 1 ) / 8 Si cerca il m.c.m. dei denominatori, che è 24, si riducono tutte le frazioni allo stesso denominatore e si moltiplicano entrambi i membri dell equazione per il suddetto m.c.m. (applicando il principio suesposto) Si ottiene così l equazione equivalente 18 x 4(x + 1) = (x 1) che per quanto è stato detto precedentemente diventa 11 x = 121 da cui x = 11 che è la radice dell equazione data Altro Corollario: Se i due membri di una equazione sono somme algebriche i cui termini hanno in comune un fattore, numerico o letterale, diverso da zero, si possono dividere tutti i termini dell equazione per questo fattore (che si può eventualmente raccogliere a fattore comune) Es. ax + a 2 b - ac 2 d = a 3 (x + 4)a + a 2 x - a 39

40 Mettendo in evidenza a in entrambi i membri si ha a (x + ab c 2 d) = a (a 2 (x + 4) + ax 1) Dividendo ambo i membri per il fattore comune a e semplificando i termini simili si ottiene (2 a) x = -ab + c 2 d + a da cui x = [ a(a - b) + c 2 d 5 ] / ( 2 a ) 4.4 Grado delle equazioni razionali intere ad un incognita I due membri di una equazione razionale intera ad un incognita sono delle espressioni algebriche razionali. E sempre possibile, applicando i princìpi di equivalenza, scrivere l equazione nella incognita x nella forma P(x) = 0, nella quale P(x) è un polinomio con la variabile x nel quale devono essere fatte tutte le riduzioni possibili. Si dice grado di un equazione razionale intera ad un incognita il massimo esponente con cui compare nel polinomio la lettera x, purché il polinomio sia nella forma sopra citata. Le equazioni di primo grado sono dette equazioni lineari e sono quelle che si possono scrivere nella forma mx + q = 0 Un equazione razionale intera, che non sia un identità, non può ammettere un numero di radici superiori al suo grado, quindi una equazione di primo grado ammette una sola soluzione 4.5 Forma canonica di una equazione di primo grado, ad un incognita Per risolvere una equazione di primo grado ad una incognita bisogna ridurla alla forma normale o canonica o tipica, che è ax + b = 0 (1) in cui x è l incognita ed a e b sono coefficienti numerici o letterali di cui, in particolare, a è il coefficiente dell incognita e b il termine noto 4.6 Risoluzione di un equazione intera di primo grado ad una sola incognita Se l equazione è già stata ridotta alla forma canonica la risoluzione è semplice La (1) del 4,5 si può scrivere ax = -b da cui x = -b / a che è l unica radice della (1), supponendo a 0 Se a = 0 l equazione diventa 0 x = -b e se b 0 l equazione è impossibile Se anche b = 0 l equazione diventa 0 x = 0 che è una identità, verificata per qualunque valore di x. L equazione è quindi indeterminata Il più delle volte, però, un equazione si presenta in una forma più complessa, per cui occorre trasformarla in una più semplice, applicando i principi esposti in precedenza. Si può, generalmente, operare in questo modo: Si libera l equazione dai denominatori Si sviluppano le parentesi Si trasportano i termini incogniti al primo membro ed i termini noti al secondo Si riducono i termini simili, riducendo così l equazione alla forma canonica Escludendo che il coefficiente dell incognita sia zero, si dividono entrambi i membri per tale coefficiente, ottenendo così la radice dell equazione. 40

41 4.7 Esempi di risoluzione di un equazione di primo grado ad una sola incognita Condizioni di Esistenza di un equazione (CE) 4.7.a) Equazioni numeriche Es Sia data l equazione x (3/2) (2 / 5) (x 2) x 1 x 1 (x 1) / 2 (1 / 2) - + (3 / 5) = / / 2 3 / 4 Semplificando tutti i termini si ottiene 2x 3 8 (x 2) 3 (x 1) 2 (x 1) 2 (x 1) - + = Essendo il m.c.m. 60 si può liberare l equazione dai denominatori ottenendo 5 (2x 3) 32 (x 2) + 9 (x 1) = 0 Sviluppando le parentesi si ottiene 10 x 15 32x x 9 = 0 E quindi, trasportando i termini incogniti al primo membro e quelli noti al secondo, cambiando opportunamente i segni, si ha 10x 32x + 9x = cioè -13x = - 40 da cui x = 40 / 13 che è la radice dell equazione data 4.7.b) Equazioni letterali E possibile che in una equazione letterale intera alcuni parametri assumano valori tali da far perdere significato all equazione. In tal caso occorre stabilire che i suddetti parametri non assumano tali valori. Queste condizioni si definiscono Condizioni di Esistenza dell equazione (CE) Es Sia data l equazione x + a x b 2 ( a + 2b) x + = + 3 a + b a b a 2 b 2 Ovviamente, affinché le frazioni che compaiono nell equazione abbiano significato, i denominatori devono essere diversi da zero, cioè devono essere a -b e a b Sono queste le CE dell equazione data Essendo il m.c.m. a 2 b 2 = (a + b) (a b), si può liberare l equazione dai denominatori moltiplicando tutti i termini per il m.c.m., ottenendo l equazione equivalente (a b)(x + a) + (a + b) (x b) = 2 (a + 2b) x + 3 (a 2 - b 2 ) Risolvendo le parentesi e trasportando i termini come detto prima si ha (a b + a + b 2a - 4b) x = -a 2 + ab + b 2 + 3a 2 3b 2 da cui -4bx = 2 (a 2 + ab b 2 ) Supponendo che sia b 0 si ricava infine la radice dell equazione data, che è 41

42 a 2 + ab b 2 x = - 2b Se fosse b = 0 si avrebbe 0 x = 2a 2 e poiché è a b e quindi 0, l equazione data risulterebbe impossibile 4.8 Verifica della radice di una equazione di primo grado Una volta trovata la radice x = α di una data equazione, se si vuole controllare se la radice suddetta è quella giusta basta sostituire α al posto della x nella equazione e verificare che il valore del primo membro sia uguale a quello del secondo, o, se l equazione è in forma canonica, che il primo membro sia uguale a zero 4.9 Dominio di un equazione- Condizioni di Accettabilità delle soluzioni (CA) Si definisce dominio di una equazione l insieme dei numeri che, sostituiti all incognita, trasformano l equazione in una uguaglianza, dotata di senso, cioè non priva di significato. In altri termini le soluzioni di una equazione devono appartenere al suo dominio. Di solito si usa esprimere il dominio di una equazione mediante delle condizioni alle quali le soluzioni devono soddisfare. e che si chiamano Condizioni di Accettabilità (CA) Nelle equazioni frazionarie i numeri che annullano dei denominatori non sempre sono accettabili. Il dominio di una equazione frazionaria è quindi costituito dall insieme dei numeri reali che risolvono l equazione, con l esclusione di quelli che annullano qualche denominatore. N.B. Le Condizioni di Esistenza (CE) riguardano i parametri dell equazione Le Condizioni di Accettabilità (CA) riguardano le soluzioni (x 1, x 2, ecc) 4.10 Equazioni frazionarie di primo grado Sono le equazioni in cui l incognita è presente almeno in uno dei denominatori. Es x + 2 x 3 x - = ( 1) x - 1. x + 2 (x 1) (x + 2) Per risolvere l equazione la si libera innanzi tutto dai denominatori, ad esempio moltiplicando tutti i termini per il m.c.m. che è (x 1)(x+ 2). Effettuando poi le operazioni elencate al 4.7 si trova la radice x = -2 Attenzione però! Se si sostituisce alla x il valore -2 si ottiene = Questa uguaglianza non ha alcun senso, non avendo significato le frazioni con denominatore nullo. Pertanto x = -2 non è una soluzione dell equazione. Alla stessa conclusione si perverrebbe se si sostituisse 1 al posto di x Come si è detto al 4.9 le soluzioni di una equazione frazionaria devono appartenere al suo dominio; spesso si usa esprimere il dominio con le Condizioni di 42

43 Accettabilità (CA) (già definite nel 4.9), che sono le condizioni a cui le eventuali incognite devono soddisfare per essere accettabili. Nelle equazioni frazionarie i valori di x che annullano qualche denominatore traformano l equazione in una espressione priva di senso In altre parole nelle equazioni frazionarie il dominio è costituito dall insieme dei numeri reali con l esclusione di quelli che annullano qualche denominatore Principio di equivalenza delle equazioni frazionarie Come si è visto ai 4.7 Equazioni letterali e 4.10, per risolvere un equaqzione frazionaria bisogna renderla intera, liberandola dai denominatori (cioè moltiplicando i due membri dell equazione per il m.c.m). Così facendo si ottiene un equazione intera che però potrebbe non essere equivalente alla data. E pertanto necessario che venga formulato chiaramente un opportuno principio di equivalenza tale da rendere la risoluzione di un equazione frazionaria valida come quella di una equazione intera equivalente Dopo i primi due principi di equivalenza esposti nel 4.3, ecco il: 3 Principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo i membri di una equazione per un espressione contenente l incognita, che sia definita e non si annulli per alcun valore di x che soddisfi le CA relative all equazione data, si ottiene un equazione le cui soluzioni, che soddisfano le CA, sono le stesse dell equazione data Metodo per la risoluzione delle equazioni frazionarie numeriche Si determinano le C.A.( si cerca cioè il Dominio) dell equazione data. Si moltiplicano entrambi i membri per un numero moltiplicatore che sia multiplo dei denominatori, come per es. il loro m.c.m. Si ottiene così un equazione intera che ha tutte le radici dell equazione data, ma che potrebbe averne anche delle altre. Dopo aver trovato (se possibile) le radici dell equazione intera, si deve: - Verificare se alcune di tali radici non soddisfano le CA sopra citate, nel qual caso esse vanno rigettate come estranee; - Oppure cercare se tra le radici dell equazione intera ve ne sono di quelle che annullano il numero moltiplicatore sopra citato e non annullano l equazione data, nel qual caso esse vanno rigettate come estranee.- - Es. Sia da risolvere l equazione x 5 2 x = + 6(x 3) 6 x + 3 x 2 9 Il m.c.m. è 6(x + 3)(x 3) = 6(x 2 9) per il quale si moltiplicano tutti i termini dell equazione, dopodiché, operando come sopra è stato detto, si giunge all equazione intera x 2 + 3x + 5x 2-45 = 12x x x = 15 x = -5/3 Si è quindi trovata la radice della equazione intera che è x = - 5/3 e poiché tale valore non annulla ll numero moltiplicatore 6(x 2 9), la radice trovata x = -5/3 sarà anche soluzione dell equazione data. 43

44 4.13 Esempi di risoluzione delle equazioni frazionarie numeriche Es. Sia da risolvere l equazione 5 x 2 5x + 6 = + 2 x x 5 x(x-5) La frazione al secondo membro può essere scritta per cui l equazione data x - 5 diventa 5/x + 6 = x +2 Moltiplicando per x, riducendo i termini simili e ordinando diventa x 2 4x 5 = 0 E un equazione di secondo grado con le radici x = --1 e x = 5 Attenzione però! Se non si fosse semplificata la frazione al secondo membro e si fossero invece moltiplicati tutti i termini per x(x-5), l equazione sarebbe diventata dopo la riduzione a forma intera x 3-9x x + 25 = 0 Si può facilmente verificare che x = -1 e x = 5 sono due radici dell ultima espressione. Invece, sostituendo la radice x = -1 nell equazione data si ottiene l identità 1 = 1 e si può concludere che x = -1 è pure radice di tale equazione, ma se si sostituisce il valore x = 5 sempre nell equazione data, quest ultima perde significato perché il denominatore della frazione al secondo membro si annulla. Pertanto il valore x = 5 non è una radice dell equazione data come era prima sembrato. Es. Sia da risolvere l equazione 9x 2 x = 2x Moltiplicando per x si trasforma l equazione in forma intera 2x 2 = 2x ( x ) 2x 3-9x x = 0 Mettendo in evidenza la x nel primo membro si ottiene x (2x 2 9x + 10) = 0 Quindi x = 0 è una soluzione. Il secondo fattore, (di secondo grado) ha come radici (come si vedrà in seguito) x = 2 ed x = 5/2 e poiché tale valore non annulla il moltiplicatore, che è x 2 5, tali due valori sono anch essi radici dell equazione data. L equazione è quindi determinata Es. Sia data l equazione x 2 / ( x 1 ) x = ( 2x 1) / ( x 1 ) Poiché il valore x = 1 annullerebbe i denominatori presenti nell equazione, la CA è x 1. Operando come è detto al precedente si perviene all equazione intera: x 2 x(x 1) = 2x 1 x 2 x 2 + x = 2x -1 x = 1 Poiché il valore x = 1 non soddisfa la suddetta CA si deve concludere che tale valore, che è l unico, non appartiene al dominio, il che significa che l equazione è impossibile Es. Sia data l equazione. 1 + ( 1 2x ) / ( 6x 4x 2 ) = 2x / ( 2x 3 ) - 1 / 2x. 44

45 Scomponendo i denominatori in fattori, si ottiene:. 1 + ( 1 2x ) / 2x(3 2x) = 2x / ( 2x 3 ) - 1 / 2x - Essendo I fattori (3 2x) e (2x 3) opposti, è opportuno riscrivere l equazione cambiando il segno del numeratore e del denominatore della frazione al primo membro, ottenendo : 1 + ( 2x -1 ) / 2x(2x 3) = 2x / ( 2x 3 ) - 1 / 2x - Il m.c.m. è quindi 2x(x 3) che si annulla per x = o e per x = 3/2 Le CA sono allora x 0 e. x 3/2 L equazione ha anche la soluzione x = -2 che è accettabile in quanto soddisfa le CA Es. Sia data l equazione (1 + x ) / ( x + 2 ) ( x + 1 ) / x = 2 / ( x 2 + 2x ) Scomponendo i denominatori in fattori si trova che il m.c.m. è x(x + 2) che si annulla per x = 0 e x = -2 Quindi le CA sono x -2 e x 0 Risolvendo l equazione si trova 0 x = 0 che significa che l equazione è indeterminata Es. Sia data l equazione (3x + 4)(x - 3) = (x + 2)(x 3) (1) Sembrerebbe opportuno dividere entrambi i membri per (x 3). Però per x = 3 l equazione si annullerebbe e non è quindi detto che l equazione che si ottiene sia equivalente a quella data. Infatti effettuando la divisione suddetta si ottiene 3x + 4 = x + 2 (2) da cui x = -1 Si può quindi concludere che la (1) e la (2) non sono equivalenti perché la (1) ha le soluzioni x = -1 e x = 3 (che potrebbe essere non accettabile), mentre la (2) ha la sola soluzione x = -1 Per risolvere un equazione del tipo (1) si deve quindi procedere nel modo seguente Si riscrive la (1) così (3x + 4)(x 3) (x + 2)(x 3) = 0 (x 3)(3x + 4 x 2) = 0 (x 3)(2x + 2) = 0 Da cui le soluzioni x = 3 e x = -1 Si scopre così che la soluzione x = 3 è effettivamente accettabile come la x = Metodo per la risoluzione delle equazioni frazionarie letterali Per risolvere le equazioni frazionarie letterali si devono effettuare le stesse operazioni elencate al 4.12, però non sempre la verifica delle CA è immediata come risulta dal seguente esempio a = + 2 x a + 1 x a +1 45

46 Le CA dell equazione data sono x a 1 Risolvendo l equazione data si ottiene la radice x = (1) 2 Sembrerebbe che il valore di x dato dalla (1) soddisfi le CA prima citate, però i due valori ricavati per la x, formalmente tanto diversi, potrebbero coincidere per un qualche valore di a. Infatti se si uguagliano i due valori della x (in realtà dovrebbero essere diversi perché la (1) sia accettabile come soluzione della equazione data) si ottiene 3a - 1 = a 1 3a - 1 = 2a - 2 a = -1 2 Si constata quindi che per a = -1 il valore ottenuto dalla (1) non soddisfa le CA sopra citate: infatti per a = -1 le suddette CA diventano x -2 e la (1) diventa proprio x = -2. Si può quindi concludere che la radice (1) è soluzione della equazione data soltanto per a -1 Riassumendo si ha: per a = -1 l equazione data è impossibile per a -1 l equazione è determinata e la soluzione è x = (3 a 1)/ Esempi di risoluzione delle equazioni frazionarie letterali Es. Sia data l equazione = - m + 2 x x ( m + 2 ) La CE dell equazione è m -2 perché per m = -2 l equazione perde significato. La CA delle soluzioni è x 0 La risoluzione dell equazione ridotta a forma intera dà come risultato (m 3) x = m (1) Prima di accettare il suddetto risultato occorre però effettuare una discussione: Se m = -2 l equazione perde significato Se m = 0 e m = 3 la (1) diventa -3x = 0 oppure 0 x = 3 ; l equazione è quindi impossibile Se m 3 (cioè m 3 0), dividendo entrambi i membri della (1) per m 3 si ottiene x = m / (m 3); l equazione è quindi determinata; La soluzione trovata è accettabile Es. Sia data l equazione 1 3a + 1 = x + 1 x 2-1 che si può scrivere 1 3a + 1 = x + 1 (x +1) (x 1) Le CA delle soluzioni sono evidentemente x 1 e x -1 Eliminando i denominatori, cioè moltiplicando tutti i termini per x 2 1, si ottiene la seguente equazione intera x 1 = 3a + 1 x = 3a + 2 Si deve ora verificare se le soluzioni x = 3a + 2 ( a può avere un infinità di valori) soddisfano le CA 46

47 Deve essere 3a a -1 a -1/3 3a a -3 a -1 Si può quindi concludere dicendo per a -1 e a -1/3 l equazione è determinata e ammette la soluzione x = 3a +2 per a = -1 e a = -1/3 il valore x = 3a + 2 non è soluzione dell equazione data per cui l equazione è impossibile Es. Sia data l equazione 1 1 a + = a 1 x a ax x - a 2 + a Il denominatore della frazione a secondo membro si può scomporre in fattori diventando (x a)(a 1) che è ovviamente il m.c.m. dell equazione data. Le CE dell equazione sono a 1. Per a = 1 l equazione perde significato Le CA delle soluzioni sono x a Moltiplicando l equazione per il suddetto m.c.m, la si riduce a forma intera, come segue x a + a 1 = a x = a + 1 Il valore trovato x = a + 1 per essere accettabile deve soddisfare la x a; esso quindi non è accettabile come soluzione dell equazione data se risulta a + 1 = a il che è assurdo. Pertanto il valore x = a + 1 soddisfa la CA qualunque sia il valore di a Riassumendo: per a = 1 l equazione perde significato per a 1 l equazione è determinata e la soluzione è x = a Esempio di equazione di primo grado con valore assoluto Es. Sia data l equazione x + 1 = 2x 1 (1) Si devono considerare due alternative Se x + 1 > 0 cioè x > -1 (*) Se x + 1 < 0 cioè x < -1 (**) la (1) si può scrivere semplicemente occorre cambiare i segni dell espressione. in valore assoluto per farla diventare > 0 x + 1 = 2x 1 e poter scrivere la (1) così -x 1 = 2x 1 la cui soluzione è x = 2. che ha la soluzione x = 0 A questo punto bisogna verificare se le soluzioni trovate sono compatibili con le. condizioni (*) e (**) determinate in precedenza La soluzione x = 2 è accettabile La soluzione x = 0 non è accettabile perché soddisfa la condizione (*) perché la condizione (**) non è soddisfatta Pertanto la equazione data (1) ha l unica soluzione x = Problemi di primo grado ad un incognita Le equazioni trovano un importante applicazione nella soluzione di svariati problemi matematici Nell enunciato di un problema figurano alcune grandezze di cui è noto il vlore, dette dati del problema e viene chiesto di determinare una o più grandezze incognite, legate alle prime da alcune relazioni assegnate. Risolvere un problema significa determinare il valore dell incognita. 47

48 Non ci sono delle regole generali cui attenersi per risolvere i problemi, però vi sono alcune norme cui è opportuno adeguarsi In genere l incognita viene indicata con la lettera x Su tale lettera e sui dati del problema si esguono le operazioni espresse nell enunciato, che servono a giungere alla soluzions del problema. In questo modo si arriva a scrivere una espressione algebrica contenente l incognita, che risulterà uguale ad uno dei dati assegnati nel problema, oppure a due espressioni algebriche, entrambe contenenti l incognita, che dovranno risultare uguali tra loro, In tal modo si ottiene un equazione che è l equazione del problema: si dice che si è tradotto il problema in equazione, che dovrà essere risolta. Risolta l equazione occorre verificare se la soluzione trovata è accettabile.va notato infatti che se l incognita si riferisce, ad es ad un numero di persone, il risultsato non può certo essere un numero decimale non intero. Così pure, se l incognita rappresenta la misura di una grandezza, come una superficie, un peso, la lunghezza di un segmento, ecc. la soluzione, per essere accettabile, deve essere positiva. In questi casi si può dire che il problema non ha soluzione, pur avendo soluzione l equazione. Le fasi in cui consiste la risoluzione algebrica di un problema sono pertanto le seguen Si stabilisce l incognita Si trasforma il problema in equazione Si risolve l equazione Si discute la soluzione trovata Un problema algebrico si dice: determinato quando ha un numero limitato di soluzioni indeterminato quando ha un numero di soluzioni illimitato assurdo o impossibile se contiene condizioni che sono assurde o incompatibili tra loro 4.18 Esempi di risoluzione di problemi di primo grado, ad un incognita Es. Sia dato il problema In un triangolo rettangolo le misure dei cateti differiscono di 1 fra di loro e l area del triangolo è i 2/3 dell area del quadrato costruito sul cateto minore. Trovare le misure dei cateti. Se si indica con x la misura del cateto minore, quella del cateto maggiore sarà x + 1 e l area del triangolo risulta uguale a x (x + 1) / 2 = (2/3) x 2 da cui x = 3 Le misure dei cateti sono quindi 3 e 4 Es. Sia dato il problema II perimetro di un trapezio isoscele circoscritto ad un cerchio è m 48. La base minore è i 5/7 della maggiore. Trovare le misure dei lati del trapezio Indicando con x la base maggiore, la minore risulta i (5/7) x ed ogni lato obliquo è uguale a (x/2) + (5/14)x (V. la dimostrazione a fianco del disegno ) Si può quindi scrivere l equazione relativa al perimetro x + (5/7) x + 2 [(x/2 )+ (5/14) x] = 48 48

49 Questa equazione, risolta, dà la soluzione x = 14 e quindi le misure richieste sono. 14, 10 e 12 (5/7)x D M C AB = x AN = x/2 x/2 + (5/14)x P DC = (5/7)x AN = AP DM = (5/14)x DM = PD A N B x AD = AP + PD = AN + DM = x/2 + (5/14)x Es. Sia dato il problema Dividere un segmento lungo 15 cm in 2 parti in modo che la minore sia i 2/3 della maggiore. 15 cm Dal disegno risulta che A x C (2/3)x B AB = AC + CB = 15 CB = 2/3 AC Indicando con x il segmento AC., che il più lungo, il segmento CB, che è il più corto è i (2/3)x La lunghezza totale del segmento AB si può esprimere in più modi AB = AC + CB = x + (2/3)x = 15 Dall espressione precedente risulta 5x = 45 x = 9 Le misure delle due parti del segmento sono quindi AC = x = 9; CB = (2/3)x = 6 Es. Sia dato il problema Un treno diretto parte da una certa stazione e viaggia alla velocità costante di 100 km/h. Un ora dopo, dalla stessa stazione parte un treno rapido che viaggia, nella stessa direzione, alla velocità costante di 140 km/h. Quando il rapido raggiungerà il diretto? E a quale distanza dalla stazione di partenza? Durante la prima ora il diretto percorre 100 km. Successivamente in un tempo t il diretto, sempre alla velocità v = 100 km/h, percorre uno spazio s = vt = 100 t. Nello stesso tempo t il rapido, che viaggia alla velocità V = 140 km/h, percorre lo spazio S = Vt = 140 t. Il rapido raggiunge il diretto quando i due percorsi sono uguali, ossia quando lo spazo percorso dal rapido S è uguale allo spazio totale percorso dal diretto 100+s Sostituendo ai valori degli spazi le corrispondenti espressioni con i tempi indicate prima, si ricava 140 t = t 40 t = 100 t = 2,5, La risposta alla prima domanda è quindi 2 ore e mezza La risposta alla seconda domanda è S = 140 2,5 = 350 km 4.19 Equazioni a piu incognite Se, ad es., in una equazione a due incognite si dà un qualsiasi valore arbitrario ad una delle due incognite, l equazione si trasforma in un altra ad una sola incognita di cui si trova il valore, risolvendola. Si trova così una infinità di coppie di valori, essendo infiniti i valori che si possono dare alla prima incognita. Si può quindi affermare: 49

50 Una equazione di primo grado a due incognite ha un numero illimitato di coppie di radici Analogo ragionamento si può fare per un equazione con più di due incognite. In certi casi però le soluzioni non sono infinite. Si consideri ad es. l equazione x 2 + y 2 = 0 Poiché x ed y, al quadrato, possono avere soltanto valori positivi, la somma dei loro quadrati non può essere nulla, se non nel caso che sia x = y = 0 L equazione x 2 + y 2 = -1 è ovviamente impossibile perché la somma dei quadrati delle incognite non può che essere positiva ( o nulla, come detto al punto precedente) 4.20 Grado delle equazioni razionali intere, a più incognite Nelle equazioni razionali intere a più incognite il grado è il massimo esponente di ciascuna delle incognite dopo che, come detto sopra, tutti i termini dell equazione sono stati trasferiti in un solo membro e sono state fatte tutte le riduzioni possibili (V anche il 4.4) 4.21 Equazioni di secondo grado ad una incognita Una equazione, ridotta a forma intera, è di secondo grado, quando il primo membro è un polinomio con il massimo esponente dell incognita uguale a 2, mentre il secondo membro è uguale a 0. Dopo che si è fatta la riduzione dei termini simili, la forma generale o forma tipica di una equazione di secondo grado ad una incognita è ax 2 + bx + c = 0 in cui a, b, c sono numeri reali, razionali o irrazionali, qualsiasi, che hanno il nome di primo, secondo e terzo coefficiente. Quest ultimo è detto anche termine noto. mentre Il primo ed il secondo coefficiente sono detti, rispettivamente, coefficiente di x 2 e coefficiente di x. Il primo coefficiente è ovviamente sempre diverso da zero, perché diversamente l equazione sarebbe di primo grado. Se anche b e c sono diversi da zero l equazione si dice completa. Si dice, invece, incompleta, se b o c o entrambi sono nulli. Le soluzioni di una equazione di secondo grado si chiamano radici ( come già erano dette le soluzioni dell equazione di primo grado), e sono sempre due, come è il grado dell equazione (V. 4.4) 4.22 Risoluzione dell equazione di secondo grado incompleta 1 caso Equazione spuria o impura, cioè mancante di c Tale equazione è del tipo ax 2 + bx = 0 che, evidenziando la x, diventa x ( ax + b ) = 0 Quest ultima espressione si annulla sia per x = 0, sia per ax + b = 0 che è una equazione di primo grado con la soluzione x = - a/b. Le soluzioni sono quindi due, come deve essere per una equazione di secondo grado. Si può quindi affermare: 50

51 Una equazione di secondo grado, spuria, ha due radici reali di cui una è zero e l altra è il quoto del coefficiente della x, cambiato di segno, per il coefficiente di x 2 2 caso Equazione pura, cioè mancante di b Questa equazione è del tipo ax 2 + c = 0 Essendo, come è stato detto, sempre a 0 si può scrivere x 2 = - c/a x =± -c/a Poiché il radicando ha il segno - affinché le due radici siano contrarie ma reali, cioè il radicando sia positivo, c ed a devono essere di segno opposto. Se avessero lo stesso segno il radicando risulterebbe negativo e le due radici sarebbero immaginarie. Si può quindi affermare: Una equazione di secondo grado, pura, ha due radici contrarie che sono i due valori della radice quadrata del rapporto tra il termine noto, cambiato di segno, ed il coefficiente di x 2. Esse sono reali se termine noto e coefficiente di x 2 sono di segno opposto; sono immaginarie se i loro segni sono uguali. 3 caso Equazione di secondo grado monomia, cioè mancante di b e di c L equazione è del tipo Essa è soddisfatta per x = o ax 2 = 0 Si può quindi affermare: L equazione di secondo grado del tipo ax 2 = 0 ha due radici uguali a zero 4.23 Risoluzione dell equazione di secondo grado completa L equazione da risolvere è del tipo ax 2 + bx + c = 0 Essendo a 0 si possono moltiplicare i due membri per 4a. Se poi si aggiunge b 2 ad entrambi i membri e si trasporta il termine 4ac nel secondo membro, cambiandogli, naturalmente, il segno, si ottiene l equazione equivalente 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac Il primo membro è uguale a (2ax + b) 2 per cui estraendo la radice quadrata da ambo i membri, si ha e infine -b ± b 2 4ac x 1/2 = 2a 2ax + b = ± b 2 4ac E questa la formula risolutiva che fornisce due soluzioni dell equazione completa di secondo grado con una sola incognita. Le due radici sono solitamente indicate con x 1 e x 2 51

52 4.24 Il discriminante dell equazione di secondo grado L espressione che nella formula risolutiva compare sotto il segno di radice ha il nome di discriminante e viene, generalmente indicato con la lettera greca maiuscola delta ( ). E quindi b 2 4ac = Si devono considerare 3 casi 1 caso Il discriminante è positivo ( > 0 ) In questo caso la radice quadrata di è un numero reale per cui la relativa equazione ha due soluzioni reali e distinte. N.B. Se a e c hanno segni opposti il prodotto 4ac è negativo e quindi è > 0 per cui si cade nel 1 caso 2 caso Il discriminante è nullo ( = 0 ) In questo caso la radice quadrata di non ha valori reali per cui la relativa equazione ha un unica soluzione che è x = -b / a. Si usa però dire, in questo caso, che la relativa equazione ha due soluzioni reali, coincidenti. 3 caso Il discriminante è negativo ( < 0 ) In questo caso la radice di non ha valori reali per cui la relativa equazione ha due radici complesse coniugate. Riassumendo: Un equazione di secondo grado ammette sempre due radici che possono essere reali e distinte se è positivo, reali e coincidenti se è nullo, e complesse coniugate se è negativo Formula risolutiva ridotta Quando il secondo coefficiente, cioè b, è pari, la formula risolutiva del 145 può essere semplificata come è mostrato qui di seguito Se si indica b con il simbolo 2 β l equazione tipica diventa ax 2 + 2βx + c = 0. e la formula risolutiva normale diventa -2β ± 4β 2 4ac -2β ± 2 β 2 ac x = = 2a a Dividendo per 2 numeratore e denominatore, si ottiene la formula risolutiva ridotta - β ± β 2 - ac x = in cui β = b/2 a che conviene sempre adottare quando il coefficiente della x, cioè b, è pari. 52

53 Es. Sia da risolvere l equazione 3x 2-8x + 5 = La formula ridotta dà 4 ± ± 1 x 1/2 = = 3 3 Le due soluzioni sono x 1 = 1 e x 2 = 5 / Equazioni letterali di secondo grado Le formule risolutive dell equazione di secondo grado, normale e ridotta, viste nei precedenti, sono valide in generale e pertanto possono essere anche impiegate nelle equazioni i cui coefficienti sono delle espressioni letterali qualunque: monomi, binomi, polinomi, razionali ed irrazionali. Sono perciò dette equazioni letterali, mentre vengono dette equazioni numeriche quelle in cui, oltre all incognita, compaiono solo dei numeri. Nella risoluzione di questo tipo di equazioni occorre ricordare che, calcolate le soluzioni, bisogna discutere i risultati ottenuti. (V. 4.7 e 4.9) Es. Sia da risolvere l equazione (a 2-4) x 2 - (3a + 2) x + 2 = 0 La formula risolutiva dà: x = 3a + 2 ± (3a + 2) 2-8 (a 2 4) 2 (a 2-4) Le due radici sono: x 1 = 1 / (a + 2) e x 2 = 2 / (a 2) E ovvio che questi due valori non hanno significato se a = - 2 o a = +2 e quindi deve essere a ± 2. Se invece fosse a = 2 mancherebbe il coefficiente di x 2 e l equazione diventerebbe - 8x + 2 = 0 che è di primo grado con la soluzione x = 1 / 4; a = -2 mancherebbe ancora il primo coefficiente; l equazione diventerebbe di primo grado (4x + 2 = 0) con la soluzione x = -1 / Equazioni frazionarie di secondo grado Anche le equazioni frazionarie di secondo grado, come già si era visto per quelle di primo grado, (V. 4.10) si possono ridurre a forma intera per poterle risolvere, ma si devono accettare soltanto le soluzioni che non annullano l espressione per la quale si sono moltiplicati entrambi i membri dell equazione che, di solito è il m.c.m. Es. Sia da risolvere l equazione: 3x + 5 x - 3 7x = x x

54 Il m.c.m. dei denominatori è 4 (x + 2). Per ridurre l equazione data a forma intera si devono moltiplicare entrambi i membri per tale espressione, purché x + 2 sia 0, cioè x -2 che è quindi la C.A. delle radici (V. 4.12). Ridotta a forma tipica l equazione diventa: x 2 + x -30 = 0 La formula risolutiva dà le due soluzioni x 1 = -6 e x 2 = 5 che, essendo -2, sono entrambe accettabili Es. Sia da risolvere l equazione a 2-1 6x + = 5a - 1 x Per ridurre l equazione a forma intera la si deve moltiplicare per x, che deve ovviamente deve essere 0. L equazione si trasforma perciò nella seguente 6x 2 (5a - 1) + a - 1 = 0 le cui radici sono. x 1 = (a - 1) / 2 e x 2 = (a + 1) / 3 Esse saranno pure soluzioni della equazione data, purché siano 0 Cioè deve essere a ± 1 Se invece fosse: a = 1 si avrebbe l unica radice x 2 = (a + 1) / 3 = 2 / 3 a = -1 x 1 = (a - 1) / 2 = -1 Agli stessi risultati si perverrebbe se, dando ad a i valori ± 1, si trasformasse l equazione data nelle due equivalenti 6x = 4 e 6x = Relazioni fra le radici ed i coefficienti della equazione di secondo grado Effettuando la somma ed il prodotto delle due radici dell equazione di secondo grado nella forma tipica, completa (V. 4.24) si ottiene quanto segue -b - b 2-4ac -b + b 2-4ac x 1 + x 2 = + = -b / a (1) 2a 2a -b - b 2-4ac -b + b 2-4ac x 1 x 2 = = c / a (2) 2a 2a Si può così affermare: s) La somma delle due radici dell equazione di secondo grado è uguale al rapporto, cambiato di segno, tra il secondo ed il primo coefficiente. p) Il prodotto delle due radici dell equazione di secondo grado è uguale al rapporto tra il termine noto ed il primo coefficiente. Dividendo l equazione in forma tipica per a si ottiene un altra forma dell equazione di secondo grado, equivalente a quella data x 2 + (b / a) x + c/a = 0 (3) che, applicando le formule (1) e (2), può essere scritta come segue x 2 - (x 1 + x 2 ) x + (x 1 x 2 ) = 0 (4) oppure, indicando la somma delle radici con s ed il loro prodotto con p, anche nella forma x 2 - s x + p = 0 (5) Quanto sopra mostrato si può esprimere con la proposizione (V.anche a 3.38) 54

55 In ogni equazione di secondo grado in forma tipica il secondo coefficiente è uguale alla somma delle radici, mentre il termine noto è uguale al loro prodotto 4.29 Problemi di applicazioni delle conclusioni del precedente 1 problema Trovare due numeri la cui somma sia 11/6 ed il cui prodotto sia -5/3 Si scrive l equazione come la (5) del precedente x 2 (11/6)x 5/3 = 0 La si riduce a forma intera (m.c.m. = 6) 6x 2-11x 10 = 0 Risolvendola si trovano le radici x 1 = -2/3 e x 2 = 5/2 Esse sono i due numeri cercati la cui somma è effettivamente 11/6 ed il cui prodotto è proprio -5/3. 2 problema Dell equazione 2x 2 + 3x + 1 = 0 è nota una radice (-1) Trovare l altra senza ricorrere alla formula risolutiva Ci sono due modi per risolvere il problema. 1 modo Poiché la somma delle radici è, come si è visto al 4.28, s = -b/a = -3/2 ed una di esse è -1, l altra sarà -3/2 (-1) = -1/2 2 modo Poiché il prodotto delle radici è c/a ( V ) ed una delle radici è -1, l altra sarà 1/2 : (-1) = - 1/2 3 problema. Scrivere l equazione le cui soluzioni siano le reciproche di quelle dell equazione data Se si pone y 1 = 1/x 1 ed y 2 = 1/x 2,, ricordando la (1) e la (2) del precedente, si può scrivere y 1 + y 2 = 1/x 1 + 1/x 2 = (x 1 + x 2 ) / x 1 x 2 = (-b/a) / (c/a) = -b/c y 1 y 2 = (1/x 1 ) (1/x 2 ) =!/ (x 1 x 2 ) = a/c L equazione richiesta, che è del tipo della (4), sempre del precedente, sarà quindi la seguente y 2 + (b/c) x + a/c = 0 cioè cy 2 +by + a = 0 4 problema Determinare il valore da attribuire al parametro m dell equazione: x 2 - (m 1) x 3m 2 = 0 affinché si verifichi una delle condizioni seguenti: a) l equazione abbia le due soluzioni uguali (x 1 = x 2 ) Ricordando che nel caso era stato detto che le due soluzioni della equazione sono dette coincidenti, cioè uguali, quando il discriminante = 0, nel caso della equazione in esame deve essere = (m -1) m + 8 = 0 La risoluzione di quest ultima equazione dà i due valori m 1 = -9 e m 2 = -1 che risolvono il problema b) la somma delle radici sia 3 / 2 (x 1 + x 2 = 3 / 2) 55

56 Ricordando che x 1 + x 2 = - b/a, nel caso del presente problema la somma delle radici, se esistono, è x 1 + x 2 = m 1 = 3/2 che è una equazione di primo grado in m la cui soluzione è m = 5 / 2. Il corrispondente a tale valore risulta > 0 il che significa che le due radici esistono. c) l equazione abbia una soluzione nulla (x 1 = 0) Al caso si è visto che l equazion e spuria ha sempre una radice = 0, quindi. affinché tale condizione si verifichi, il termine noto deve essere nullo, cioè 3m +2 = 0 da cui m = -2 / 3. L equazione in esame si trasforma nella seguente x 2 + (5 / 3) x = 0 3 x x = 0 che risolve il problema. d) abbia una soluzione x = 2 Essendo 2 una radice dell equazione, se nelle equazione stessa si sostituisce alla x il valore 2 l equazione deve annullarsi, cioè deve essere: 4 (m 1) 2 3m 2 = 0 4 5m = 0 m = 4/5 e) abbia radici opposte (x 1 = - x 2 ) In tal caso è x 1 + x 2 = o e, poiché si sa che x 1 + x 2 = -b/a = m 1 = 0 m = 1 Infatti una equazione di secondo grado con radici opposte è pura (V caso), cioè deve essere nullo il secondo coefficiente. f) la somma dei quadrati delle radici sia 125 / 4 (x x 2 2 = 125 / 4) x x 2 2 può essere scritto x x x 1 x 2-2 x 1 x 2 = (x 1 + x 2 ) 2-2 x 1 x 2 Ma poiché è x 1 + x 2 = m 1 e x 1 x 2 = -3m 2 sostituendo nella espressione precedente si ha: (m 1) 2-2 (-3m 2) = 125 / 4 4m m 105 = 0 che ha le radici x 1 = 7 / 2 e x 2 = -15 / 2 g) la somma dei reciproci delle radici sia 22 / 9 ( 1/x 1 + 1/x 2 = 22 / 9 ) 1/x 1 + 1/x 2 = (x 1 + x 2 )/ x 1 x 2 = (m 1) / (-3m 2) Cambiando il segno al numeratore ed al denominatore dell ultima frazione si ha: (1 m) / (3m + 2) = 22 / 9 m = -7 / 15 h) le due radici siano legate dalla relazione x 1-2 x 2 = 3 Poiché x 1 + x 2 = m 1 e x 1 = 2 x deve essere 2 x x 2 = m 1 da cui x 2 = (m 4) / 3 e quindi x 1 = (2m + 1) / 3 Però nell es. precedente si era visto che x 1 x 2 = - 3m 2 per cui risulta (m 4) / 3 (2m + 1) / 3 = - 3m - 2 m m + 7 = 0 m = -5 ±

57 4.30 Scomposizione di un trinomio di secondo grado in un prodotto di fattori di primo grado. L espressione ax 2 + bx + c in cui a ( 0), b, c sono numeri reali assegnati, è un trinomio di secondo grado. Si dicono radici o zeri del trinomio le soluzioni dell equazione che si ottiene uguagliando a zero il trinomio, ossia le soluzione dell equazione ax 2 + bx + c = 0 Ricordando quanto detto nel 4.28., s) e p), si può trasformare il trinomio nel modo seguente, nel caso che il discriminante dell equazione, che si ottiene uguagliando a zero il trinomio, sia 0 ax 2 + bx + c = a { x 2 + (b/a)x + c/a } = a { x 2 - (x 1 + x 2 ) + x 1 x 2 }= = a { x 2 - x 1 x x 2 x + x 1 x 2 } = a { x ( x x 1 ) x 2 ( x x 1 )} = a (x x 1 ) (x x 2 ) E quindi (nel caso di 0 come si è precisato prima) ax 2 + bx + c = a (x x 1 ) (x x 2 ) (1) I fattori tra parentesi dell espressione precedente si dicono fattori lineari. In particolare nel caso di = 0, essendo x 1 = x 2 l espressione precedente diventa ax 2 +bx + c = x ( x - x 1 ) 2 N.B. I fattori di primo grado, o fattori lineari,. che compaiono nella (1) saranno razionali, irrazionali o immaginari se tali sono le radici dell equazione derivante dal trinomio. Pertanto la scomposizione non potrà essere effettuata con fattori razionali se le radici sono irrazionali, e così via. Es. Sia da scomporre in fattori primi il trinomio 16 x x + 3 Si risolve l equazione che deriva dal trinomio le cui radici sono x 1 = -1 / 4 e x 2 = - 3 / 4 Applicando la (1) di questo, il trinomio dato può essere scritto come segue 16 (x x 1 ) (x x 2 ) = 16 (x + 1/4) (x + 3/4) Es. Semplificare la frazione x 2 + 4x + 3 2x 2 + 5x 3 Il numeratore, trasformato in equazione, ha le radici -3 e -1 perciò, per la (1) è uguale a (x + 3) (x + 1) Il denominatore che ha le radici -3 e 1/2 può parimenti essere scritto nella forma 2 (x + 3) ( x 1/2 ) Semplificando, cioè dividendo numeratore e denominatore per (x + 3), si ottiene x + 1 x (x 1/2) 2x Segno di un trinomio di secondo grado Occorre ricordare la definizione di intervallo numerico (a;b) (con a < b), che è formato dall insieme di tutti i numeri compresi tra a e b, definiti estremi dell intervallo. Un numero compreso tra a e b si dice interno all intervallo; un numero minore di a o maggiore di b si dice esterno all intervallo. 57

58 Sia dato il trinomio f(x) = ax 2 + bx + c nel quale i parametri a e b sono numeri reali. Supponendo che il trinomio dato diventi un equazione, con le radici x 1 e x 2, la f(x) = 0 si può scrivere (V (1)) f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) (1) Ciò premesso, si prende ora in esame il discriminante devono considerare tre casi = b 2 4ac per il quale si 1 caso > 0 E noto che in questo caso le radici sono due, reali e distinte Se la variabile x assume valori esterni all intervallo delle radici, cioè minori di x 1 o maggiori di x 2, le differenze (x x 1 ) o (x x 2 ), che compaiono nella (1), risultano entrambe positive oppure entrambe negative per cui il loro prodotto è sempre positivo. Ne consegue che: Il trinomio f(x) ha il segno del suo primo coefficiente (a) per tutti i valori di x esterni all intervallo delle radici. Se la variabile x assume valori interni all intervallo delle radici, cioè maggiori di x 1 ma minori di x 2, la differenza (x x 1 ) sarà positiva e (x x 2 ) negativa per cui il loro prodotto sarà negativo. Ne consegue che: Il trinomio f(x) ha il segno opposto a quello del suo primo coefficiente per tutti i valori di x compresi tra le radici. 2 caso = 0 Anche in questo caso è noto che le due radici sono coincidenti, ossia ne esiste una sola (x 1 = x 2 ) e quindi la (1) si semplifica in f(x) = a (x x 1 ) 2. Essendo il binomio al quadrato nel secondo membro sempre positivo la f(x) risulta positiva se a > 0, negativa se a < 0. Ne consegue che: Il trinomio f(x) ha il segno del suo primo coefficiente qualunque sia il valore attribuito alla x, eccetto che per x = x 1 per cui f(x) si annulla. 3 caso < 0 Si sa che le radici in questo caso non sono reali. Si può dimostrare che la trasformabile in un prodotto del primo coefficiente per un polinomio sempre positivo. f(x) è Ne consegue che: Il trinomio f(x) ha sempre il segno del suo primo coefficiente e non si annulla mai 58

59 Quanto detto sopra si può riassumere nel modo seguente 1 Ogni trinomio di secondo grado con discriminante positivo assume valori uguali a quello del suo primo coefficiente, quando alla variabile x si attribuiscono valori esterni all intervallo delle radici. Assume invece valori contrari a quello del suo primo coefficiente se si attribuiscono alla x valori interni all intervallo delle radici. Si annulla se alla x si danno i valori x 1 ed x 2 2 Ogni trinomio di secondo grado con discriminante nullo assume valori di segno uguale a quello del suo primo coefficiente, qualunque sia il valore attribuito alla variabile x, tranne che per x = x 1 = x 2 per cui esso si annulla. 3 Ogni trinomio di secondo grado con discriminante negativo ha sempre il segno del suo primo coefficiente e non si annulla mai. N.B. Le regole sopra elencate sono di grande importanza per lo studio delle disequazioni di secondo grado 4.32 Alcuni esempi relativi al segno del trinomio di secondo grado Es. Studiare il segno del trinomio f(x) = 5x 2 6x 8 Essendo il secondo coefficiente pari, per risolvere l equazione f(x) = 0 si può impiegare la formula riidotta. Quindi /4 = 49 che è positivo. Vale perciò la regola N 1. Risolvendo l equazione f(x) = 0 si ricavano le due radici x 1 = -4/5 e x 2 = 2 per cui l intervallo è (-4/5 ; 2) Essendo il primo coefficiente 5 > 0, in base alla regola citata si può affermare che il trinomio dato assume valori positivi per i valori di x esterni all intervallo sopra indicato, cioè per x < -4/5 e x > 2. Si annulla, come è ovvio, per i valori di x uguali alle radici x = x 1 e per x =x 2 Assume valori negativi per i valori di x interni allo stesso intervallo, cioè per - 4/5 < x < 2 Es. Studiare il segno della funzione f(x) = -9x 2 + 6x - 1 Risolvendo l equazione f(x) = 0 con la formula ridotta, il /4 risulta uguale a 0. Si ricava l unica radice che è x 1 = x 2 = 1/3 Poiché il primo coefficiente è negativo il trinomio dato assume valori negativi per qualunque valore di x diverso da 1/3, mentre si annulla per x = 1/ Ricerca del segno delle radici reali dell equazione di secondo grado Regola di Cartesio Se le radici di un equazione di secondo grado sono reali ( cioè 0 ) si può determinare il segno delle radici stesse mediante un semplice esame dei coefficienti dell equazione. Occorre però innanzitutto premettere che, in un polinomio ordinato, due coefficienti consecutivi costituiscono una permanenza, se sono dello stesso segno; una variazione, se sono di segno opposto 59

60 Dal momento che il primo coefficiente si può supporre sempre positivo ( se fosse negativo basterebbe cambiare i segni di tutti i termini dell equazione per farlo diventare positivo, senza che varii la successione delle permanenze e delle variazioni dell equazione) basta considerare quattro casi diversi, per quanto riguarda il succedersi di permanenze e variazioni e conseguentemente i segni delle radici. Essi sono: 1 caso permanenze 2 caso variazioni 3 caso variazione ed 1 permanenza 4 caso permanenza ed 1 variazione Per determinare il segno delle radici occorre tenere presenti le conclusioni del 4.28.s) e p) concernenti somma e prodotto delle radici dell equazione di secondo grado. Si prendono ora in esame separatamente i quattro casi sopraelencati. 1 caso - Due permanenze (+ + +) Poiché i coefficienti a, b, c hanno tutti e tre il segno + : - la somma delle radici, che è uguale a - b/a, avrà il segno - - il prodotto, c/a, avrà il segno +. Le due radici hanno il prodotto positivo, come è stato detto qua sopra, perciò devono avere lo sesso segno ed essendo la loro somma negativa, il segno di entrambe sarà -, 2 caso Due variazioni (+ - +) Poiché il segno di a e di c è + e quello di b è - - la somma delle radici, che è uguale a - b/a, avrà il segno + - il prodotto c/a, avrà il segno +. Le due radici hanno il prodotto positivo, come detto sopra, perciò devono avere lo stesso segno e poiché anche la loro somma è positiva, il segno di entrambe sarà +. 3 ca so Una variazione ed una permanenza (+ - -) Essendo il segno di a + e quello di b e di c - - la somma delle radici, che è uguale a b/a, avrà il segno + - il prodotto c/a, avrà il segno - Le due radici hanno un prodotto negativo e pertanto devono avere segno opposto e, poiché la loro somma è positiva la radice maggiore in valore assoluto sarà quella positiva 4 caso Una permanenza ed una variazione (+ + -) Essendo il segno di a e di b + e quello di c - - la somma delle radici, che è uguale a - b/a, avrà il segno - il prodotto c/a, avrà il segno - Le due radici hanno il prodotto negativo, per cui devono essere di segno opposto e, poiché la somma è pure negativa, la radice maggiore in valore assoluto sarà la negativa. 60

61 I quattro casi esaminati possono essere riassunti nella seguente tabella CASI a b c N di permanenze e di variazioni x 1 + x 2 = -b/a x 1 x 2 = c/a x 2 > x 1 x 2 x 1 1 caso permanenze caso variazioni caso variazione ed 1 permanenza caso permanenza ed 1 variazione Quanto detto sopra prende il nome di regola di Cartesio, che afferma: In ogni equazione di secondo grado con 0, ad ogni variazione dei segni dei coefficienti, corrisponde una soluzione positiva e ad ogni permanenza una soluzione negativa; se l equazione ha le radici di segno opposto, è maggiore in valore assoluto la positiva, se la variazione precede la permanenza; oppure la negativa, se la permanenza precede la variazione Alcuni esempi di applicazione della regola di Cartesio Es. Determinare i segni delle radici dell equazione 3x 2-5x + 2 = 0 I segni dei tre coefficienti sono corrispondenti al 2 caso della tabella. Essendo il prodotto delle radici, che sono reali, (uguale a c/a), positivo, le due radici dovranno avere lo stesso segno. Poiché la loro somma ( uguale a -b/a) è pure positiva, le due radici sono positive. Es. Determinare i segni delle radici dell equazione 3x 2 + 7x 1 = 0 I segni dei tre coefficienti sono e sono uguali a quelli del 4 caso della tabella. Il prodotto delle radici, che sono reali, (= -b/a) è negativo per cui le radici hanno segni opposti. La loro somma (= c/a) è pure negativa e sarà quindi maggiore la radice con valore assoluto maggiore. Es. Determinare i segni della radici dell equazione 4x 2 12x + 9 = 0 Il discriminante è uguale a zero ( /4 = 36 36); le soluzioni sono coincidenti e, poiché l equazione presenta due variazioni sarà x 1 = x 2 > 0 Infatti risolvendo si ottiene x 1 = x 2 = +3/ Problemi di secondo grado Un problema si dice di secondo grado quando la sua soluzione dipende dalla risoluzione di una equazione o di un sistema di secondo grado. I metodi visti per la risoluzione dei problemi di primo grado (V. 4.17) sono senz altro validi per la risoluzione dei problemi di secondo grado. 61

62 Seguono alcuni esempi di risoluzione di problemi di secondo grado Su una semicirconferenza di diametro AB = 2r individuare P un punto P tale che, se H è la sua proiezione ortogonale su AB, sia verificata la relazione r 2 AH + AP 5 = A B AB 9 O H Se si pone AH = x per il 1 teorema di Euclide x applicato al triangolo rettangolo APB, si ha AP 2 = AB. AH = 2r. x ossia AP = 2r x P (ll 1 teorema di Euclide dice A H B Il quadrato costruito su un cateto di un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo avente per lati l ipotenusa del triangolo dato e la proiezione del cateto considerato sull ipotenusa) La relazione del problema si può quindi scrivere 2x + 2r x 5 B = 9 2r x = 10 r 18 x (1) 2r 9 Poiché la radice è certamente positiva, anche il secondo membro della (1) deve essere positivo (o nullo) per cui risulta 10 r 18 x ossia x (5/9) r Elevando al quadrato entrambi i mernbri della (1) e riducendo, si ottiene l equazione 162 x rx + 50 r 2 = 0 le cui radici sono x 1 = (2/9) r e x 2 = (25/18) r Poiché la CA è x (5/9) r la sola soluzione accettabile è la x 1 Es. Sia dato il problema Determinare i lati di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza di raggio r, sapendo che il suo perimetro è 2p Se si indicano con 2x e 2y la base maggiore e la D 2y C base minore del trapezio, la misura di ciascun lato obliquo è x + y (come è stato dimostrato nel 4.18 Perciò l equazione del problema risulta 4x + 4y = 2p r x+y Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CPB si ottiene (x + y) 2 =. (x y) xy = r 2 Si può allora considerare il sistema x + y = p/2 A 2x B xy = r 2 che si risolve (come è stato detto al 4.28 ) con l equazione di secondo grado z 2 (p/2) z + r 2 = 0 p ± p 2-16 r 2 la cui soluzione viene data dalla formula risolutiva z = 4 Dovendo le soluzioni essere reali deve risultare p 16 r 2 0 cioè p 4r. Se è p > 4r si hanno due radici reali distinte, come soluzioni del problema. Se è p = r si ha una sola soluzione reale. Il trapezio diventa un quadrato circoscritto alla circonferenza, con lato uguale a 2r. Ovviamente per p < 4r non esistono soluzioni reali 62

63 Es. Sia dato il problema Trovare un numero di due cifre sapendo che la cifra delle decine è il doppio della cifra delle unità e sapendo che esso supera del triplo del quadrato della sua cifra delle unità Il numero che si ottiene scambiando le sue cifre. Se si indica con x la cifra delle unità e, quindi, con 2x la cifra delle decine del numero cercato si possono tradurre nella espressione seguente le condizioni poste dal problema (2x 10 + x) = x x 2 3x 2 9x = 0 x = 0 e x = 3 La soluzione x = 0 non è accettabile. Quindi la cifra delle unità è 3 e quella delle decine 6 per cui il numero cercato è Equazioni di grado superiore al secondo Spesso equazioni di grado superiore al secondo possono essere trasformate, mediante opportuni artifici, in equazioni più semplici, di primo o secondo grado. Per fare questo si possono adottare due metodi detti: scomposizione in fattori e cambiamento di variabili ( o sostituzione). Appartengono a questo gruppo di equazioni i tipi seguenti, che verranno trattati nei successivi : le equazioni binomie, le equazioni risolubili mediante scomposizione in fattori, le equazioni risolubili mediante sostituzioni, le equazioni biquadratiche, le equazioni trinomie, le equazioni reciproche Equazioni binomie Si dicono binomie le equazioni del tipo x n = a (1) (n = numero reale positivo, a = numero reale qualunque) Per quanto detto sul concetto di radice (V. 2.1) la soluzione di queste equazioni è del tipo x = n a Questa è la formula risolutiva delle equazioni binomie. Si devono distinguere due casi 1 caso Es. Sia da risolvere l equazione x 4 = 16 Si sa che 4 16 = 2 cioè 2 4 = 16, ma poiché 4 è un esponente pari, si sa anche che ( ± 4 16) 4 = +( 4 16 ) 4 = 16 Quindi i numeri che soddisfano la x 4 = 16 sono ± 4 16 = ± 2 Sarebbe invece impossibile risolvere l equazione x 4 = -16 perché qualunque valore di x, elevato alla quarta potenza, dà un numero > 0. Quanto detto sopra si può generalizzare: Per n pari l equazione binomia (1)(inizio del ) ha 2 soluzioni reali, uguali e contrarie, se a è positivo; nessuna soluzione reale se a è negativo. 2 caso Es, Siano da risolvere le equazioni x 5 = 32 x 3 =

64 Ricordando che quando n è dispari si può ricavare la radice anche da un numero negativo, e che è 5 32 = 2 e 3-27 = -3 si avrà x 5 = 32 x = 5 32 = 2 e x 3 = = -3 Si può generalizzare quanto detto qui sopra: Per n dispari l equazione binomia ha sempre una soluzione reale del segno di a, Equazioni risolubili mediante scomposizione in fattori. Sia data l equazione P(x) = 0 di grado n. Supponendo che il polinomio a primo membro P(x) si possa scomporre nel prodotto di due o più fattori: A(x), B(x), C(x), ecc. l equazione data diventa: A(x) B(x) C(x) = 0 Essa ovviamente può essere scissa in diverse equazioni: A(x) = 0, B(x) = 0. C(x) = 0, ecc. che sono sicuramente di grado inferiore a quello dell equazione data e possono quindi esserre risolte più facilmente. Es. Sia da risolvere l equazione di terzo grado: x 3-5x 2 + 4x = 0 La suddetta equazione può essere scritta, raccogliendo la x, x ( x 2-5x + 4 ) = 0 Essa si può scindere immediatamente in due equazioni: x = 0 di primo grado e x 2 5x + 4 = 0 di secondo grado, che si risolve con la solita formula risolutiva 5 ± ± 3 x 1 = 1 x = = = 2 2 x 2 = 4 Le soluzioni dell equazione data sono quindi x = 0, x = 1, momento che l equazione da risolvere è di terzo grado. x = 4 cioè tre soluzioni, dal Se si conosce una soluzione (x = α) dell equazione data P(x) = 0, di grado n, si può scindere tale equazione in una equazione di primo grado x α = 0 ed una equazione di grado n 1, ottenuta dividendo quella data per x α ( ad es. con la regola di Ruffini). Indicando con Q(x) il quoziente della suddetta divisione, si può scrivere : P(x) / (x α) = Q(x) (x α) Q(x) = P(x) = 0 L equazione di partenza si può così scindere nelle due equazioni x α = 0 e Q(x) = 0 che certamente sono più facili da risolvere. Ovviamente il procedimento sopradescritto può essere ripetuto più volte, (specialmente se il polinomio Q(x) è di grado elevato) se si possono trovare (ad es. mediante Ruffini) delle soluzioni dell equazione Q(x) = 0 del tipo x = β 4.39 Equazioni di grado superiore al secondo risolubili mediante sostituzione In parecchi casi equazioni di grado superiore al secondo si possono risolvere mediante una opportuna sostituzione Es. Sia data l equazione 4 (x 3 + 1) 2 25 (x 3 + 1) + 25 = 0 La soluzione di questa equazione è facile: basta infatti effettuare la sostituzione 64

65 x = y con il che l equazione data diventa 4 y 2 25 y + 25 = 0 che è una normale equazione di secondo grado. Trovate (essendo il 0 ) le due soluzioni, che sono y 1 = 5/4 e y 2 = 5, le si sostituiscono, una per volta, alla y, nella x = y, ricavando così, per ogni soluzione y le corrispondenti soluzioni delle x Equazioni biquadratiche Le equazioni biquadratiche sono delle equazioni di quarto grado in cui mancano i termini con le potenze dell incognita di grado dispari., Sono cioè del tipo ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a 0 ) Queste equazioni si risolvono molto facilmente mediante la sostituzione x 2 = y per cui l equazione biquadratica diventa ay 2 + by + c = 0 (1) che essendo una equazione di secondo grado, detta risolvente della biquadratica, si risolve con la solita formula, che, se 0, fornisce due soluzioni: y 1 e y 2, che sostituite nella x 2 = y danno i valori di x, soluzioni dell equazione biquadratica. Essi sono x = ± y 1 ed x = ± y 2 L equazione biquadratica, essendo di quarto grado, ammette, secondo le regole, quattro soluzioni che si possono condensare nell unica formula risolutiva dell equazione biquadratica -b ± b 2-4ac x = ± 2a A questo punto è opportuna una discussione sui. Si devono considerare tre casi. 1 Caso > 0 cioè b 2 4ac > 0 L equazione risolvente (1) ammette due radici reali e distinte per cui (ricordando la Regola di Cartesio) l equazione biquadratica ammette: 4 radici reali, a due a due opposte, se il primo membro dell equazione data presenta due variazioni. In tal caso la (1) ha due radici posiitive. 2 radici reali ed opposte e 2 immaginarie ed opposte, se il primo membro dell equazione data presenta una variazione ed una permanenza In tal caso y 1 < 0 e y 2 > 0 4 radici immaginarie a due a due opposte, se il primo membro dell equazione data presenta due permanenze In tal caso le radici della (1) sono entrambe negative 2 Caso = 0 cioè b 2-4ac = 0 L equazione risolvente (1) ammette due soluzioni reali, coincidenti. Quindi, secondo la regola di Cartesio l equazione biquadratica avrà, conseguentemente 2 soluzioni doppie, reali se a e b hanno segno contrario, 2 soluzioni doppie immaginarie se a e b hanno lo stesso segno 3 Caso < 0 cioè b 2-4ac < 0 L equazione risolvente (1) ha due soluzioni complesse coniugate. Quindi l equazione biquadratica non ha soluzioni reali. 65

66 Dal momento che le uniche soluzioni che interessano sono quelle reali, si può concludere nel modo seguente Se l equazione biquadratica presenta 2 permanenze è impossibile; se presenta 1 variazione ed 1 permanenza, o viceversa, ammette 2 soluzioni reali, opposte; se presenta 2 variazioni, ha 4 soluzioni reali, a due a due opposte, 2 soluzioni reali opposte (doppie) o è impossibile, a seconda che il sia > 0, = 0, < Equazioni trinomie Le equazioni trinomie sono della forma ax 2m + bx m + c = 0 (m > 1) Per m = 2 l equazione qui sopra non è altro che l equazione biquadratica. Per risolvere questo tipo di equazioni si ricorre ad una sostituzione, come nel caso delle equazioni biquadratiche. La sostituzione da effettuare è x m = y con il che l equazione data si trasforma nella seguente ay 2 + by + c = 0 che, risolta come una normale equazione di secondo grado, dà le soluzioni y 1 e y 2 Basta poi risolvere le due equazioni binomie x m = y 1 e x m = y 2 nel modo visto al 4.37 Es. Sia data l equazione x 6-7x 3-8 = 0 Per risolvere questa equazione bisogna effettuare la sostituzion x 3 = y e così l equazione data diventa y 2 7y 8 = 0 che è una normale equazione di secondo grado avente le soluzioni y 1 = 8 e y 2 = -1 Dopodiché occorre risolvere le equazioni binomie x 3 = 8 e x 3 = -1 che danno le rispettive soluzioni x = 2 e x = Equazioni reciproche Un equazione ad un incognita, il cui secondo membro sia zero ed il primo membro ordinato secondo le potenze decrescenti dell incognita, si dice reciproca quando i coefficienti dei termini equidistanti dagli estremi, sono uguali (equazione reciproca di prima specie), Es. ax 3 + bx 2 + bx + a= 0 oppure sono uguali in valore assoluto, ma di segno contrario. (equazione reciproca di seconda specie). Es. ax 3 + bx 2 bx a = 0 Queste equazioni si dicono reciproche, perché se m è una soluzione lo è pure il suo reciproco 1/m. Infatti se si considera l equazione reciproca di terzo grado ax 3 + bx 2 + bx + a = 0 supponendo che x = m sia una soluzione di tale equazione si può scrivere am 3 + bm 2 + bm +a = 0 e, dividendo per m 3 si ha l uguaglianza a + b/m + b/ m 2 + a/m 3 = 0 che si può scrivere, da destra verso sinistra: a(1/m) 3 + b(1/m) 2 + b(1/m) + a = 0 il che dimostra che il reciproco di m, cioè 1/m, è anch esso soluzione dell equazione data 4.42 a) Equazioni reciproche di terzo grado 1) Di prima specie 66

67 Es. Sono della forma ax 3 + bx 2 + bx + a = 0 Una soluzione è x = -1, infatti il primo membro si annulla per x = -1 (è divisibile per x+1 ). Se si effettua la divisione del primo membro dell equazione data per x + 1 (ad es. con Ruffini) si ottiene il quoziente ax 2 + (b - a)x + a Quindi l equazione data si può sempre scrivere sotto la forma (x + 1) ax 2 + (b a)x + a = 0 che si scinde nelle due equazioni x + 1 = 0 e ax 2 + (b a)x + a = 0 La prima ha la soluzione x = -1; la seconda si risolve come una normale equazione di secondo grado. Es. Sia data l equazione 5x x x + 5 = 0 Essendo, come è stato detto, l equazione divisibile per x + 1, la si può scrivere sotto la forma (x + 1)(5x x + 5) = 0 Le soluzioni sono: x = -1, dell equazione di primo grado, e x 1 = -5 e x 2 = -1/5 della equazione di secondo grado. 2) Di seconda specie Queste equazioni sono della forma ax 3 + bx 2 bx a = 0 Il primo membro si annulla per x = 1; quindi è divisibile per x 1. L equazione data si può quindi scrivere sotto la forma (x 1) ax 2 + (a + b)x + a = 0 che si scinde in due equazioni x 1 = 0 e ax 2 + (a + b)x + a = 0 le cui soluzioni sono quelle dell equazione data. Es. Sia data l equazione 12x 3 37x x 12 = 0 Il primo membro si annulla per x =-1 per cui dividendolo per x - 1 si può scrivere l equazione (x - 1)(12x 2 25x + 12) = 0 Risolvendo le due equazioni si trovano le tre soluzioni x 1 = 1 ; x 2 = ¾ ; x 3 = 4/ b) Equazioni reciproche di quarto grado 1) Di prima specie Hanno la forma ax 4 + bx 3 + cx 2 1 Se si dividono i due membri dell equazione per x 2 si ottiene ax 2 + bx + c + b/x + a/x 2 = 0 e, raccogliendo i coefficienti uguali, si ha: a ( x 2 + 1/x 2 ) + b ( x + 1/x ) + c = 0 Ponendo x + 1/x = y ed elevando al quadrato, si trova x 2 + 1/x = y 2 x 2 + 1/x 2 = y 2 2 Effettuando le sostituzioni si ottiene un equazione di secondo grado in y a (y 2 2) + by + c = 0 che, risolta, fornisce due valori di y: y 1 e y 2. 67

68 Sostituendo questi valori nella x + 1/x = y si ottengono due equazioni di secondo grado x 2 - y 1 x + 1 = 0 e x 2 y 2 x + 1 = 0 che, una volta risolte, danno le soluzioni dell equazione data. Es, Sia data l equazione 12x 4 + 4x 3 41x 2 + 4x + 12 = 0 Si divide per x 2 e si ottiene 12x 2 + 4x /x + 12/x 2 = 0 Raccogliendo i coefficienti uguali si ha 12(x 2 + 1/x 2 )+ 4(x + 1/x) 41 = 0 Effettuando la sostituzione x + 1/x = y prima suggerita, (1) l equazione diventa 12(y 2-2) + ay - 41 = 0 12y 2 + 4y 65 = 0 Le cui soluzioni sono y 1 = -5/2 e y 2 = 13/6 Sostituendo questi valori di y nella (1) e riducendo a forma tipica, si ottiene 6x 2-13x + 6 = 0 e 2x 2 + 5x + 2 = 0 Risolvendo queste due equazioni di secondo grado si ricavano le quattro radici dell equazione reciproca data, che sono x 1 = 2/3 ; x 2 = 3/2 ; x 3 = -2 ; x 4 = -1/2 2) Di seconda specie Sono del tipo ax 4 + bx 3 bx a = 0 Esse hanno le soluzioni x = 1 ed x = -1 per cui sono divisibili sia per x + 1 sia per x 1 e quindi l equazione data può essere scritta: (x 1) (x + 1) ( ax 2 + bx + a) = 0 L equazione data si può scindere chiaramente in tre equazioni, le cui soluzioni sono le soluzioni di quella di partenza. Es. Sia data l equazione 15x x 3 34x 15 = 0 Dividendo per x 1 e per x + 1 l equazione data diventa (x 1)(x + 1)(15x x + 15) = 0 Le radici delle tre equazioni sono x 1 = -1 ; x 2 = 1 ; x 3 = -5/3 ; x 4 = -3/ c) Equazioni reciproche di quinto grado Tutte le equazioni di questo tipo ammettono la soluzione x = -1, se di prima specie, e x = 1, se di seconda specie. Per risolvere una di queste equazioni occorre dividere entrambi i membri per x +1 (o per x 1) e in entrambi i casi si tratta di risolvere un equazione reciproca di quarto grado, di prima specie Es. Sia data l equazione 12x 5 8x 4 45x x 2 + 8x 12 = 0 L equazione data è di seconda specie ed è quindi divisibile per x 1. Effettuando tale divisione, l equazione data si semplifica e diventa 12x 4 + 4x 3 41x 2 + ax + 12 = 0 68

69 Per la soluzione di questa equazione vedere l Esempio delle equazioni reciproche di prima specie Esempio di equazione di secondo grado con un valore assoluto Il valore assoluto era stato definito al 5 (V anche il 4.16) Es, Sia data l equazione 3 2x 2 2x = 3x 2-2x 1 (1) Si devono considerare due alternative Se 2x 2 2x > 0, Se 2x 2 2x < 0, le cui soluzioni sono x 0 v x 1, ( ) che ha la soluzione 0 x 1, ( ) si può scrivere la (2) semplicemente occorre cambiare i segni dell espressione. 3 ( 2x 2 2x ) = 3x 2 2x 1 = 0 in valore assoluto e scrivere 3( -2x 2 + 2x) = 3x 2 2x - 1 che ha le soluzioni: che ha le soluzioni: 1/3-1/9 x 1/2 = (2 ± 4 3 ) /3 = x 1/2 = (4 ± ) / 9 = 1 1 Confrontando tali soluzioni con le ( ) Confrontan do tali soluzioni con le ( ) calcolate prima, si può concludere che si conclude che la soluzione - 1/9 non è la soluzione 1/3 non è accettabile, accettabile, mentre la soluzione 1 lo è mentre la soluzione 1 è accettabile Si può quindi affermare che la equazione data (1) ha la sola soluzione x = Metodo per la risoluzione di una equazione razionale intera in x di grado n Si tratta di un metodo per tentativi che permette di trovare, se esistono, le soluzioni razionali di un equazione intera in x, di grado n. Es. Sia data l equazione: a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n a n-1 x + a n = 0 (1) Per risolvere questa equazione bisogna trovare tutti i divisori, maggiori e minori di zero, del termine noto a n e del coefficiente a 0 di x n. Qualsiasi frazione avente per numeratore uno dei divisori di a n e come denominatore uno dei divisori di a 0,, potrebbe essere una soluzione della (1). Per verificare se tale frazione è veramente una soluzione dell equazione data, non si può fare altro che sostituire tale frazione nella equazione (1) e vedere se questa viene soddisfatta o meno. Es. Sia data l equazione razionale intera 2x 5 + x 4-11x 3 + 7x 2-13x +6 = 0 I divisori di a n che è 6, sono ± 1, ±2, ±3, ±6 (2) I divisori di a 0 che è 2, sono ± 1, ±2, (3) 69

70 Le eventuali soluzioni razionali dell equazione (1) vanno ricercate, come si è detto,fra le frazioni aventi i numeri della riga (2) come numeratori e quelli della (3) come denominatori, cioè fra i seguenti numeri: ± 1, ± 2 ± 3, ± 6, ±1/ 2; ± 3/2 Facendo le sostituzioni nella (1) si ottengono i seguenti risultati: f(± 1) 0 f(2) = 0 f(-2) 0 f(3) 0 f(-3) = 0 f(± 6) 0 f(1/2) =0 f(-1/2) 0 f(± 3/2) 0 Si può così concludere che le soluzioni razionali della (1) sono x = 2, x = -3, x = 1/2 N:B: E evidente che se a 0 fosse = 1 le eventuali soluzioni razionali della equazione data si ridurrebbero ai soli divisori di a n 4.45 Equazioni irrazionali Le equazioni irrazionali sono equazioni in cui compaiono dei radicali contenenti l incognita. Non sono invece irrazionali le equazioni in cui sono presenti solo dei coefficienti irrazionali. I suddetti radicali vanno intesi come radicali aritmetici se l indice della radice è pari, come radicali algebrici se l indice è dispari. N.B. Le equazioni irrazionali verranno risolte soltanto nel campo reale, vale a dire che verranno accettati, come soluzioni, soltanto i valori di x che sono reali. Alcuni esempi di equazioni irrazionali. x x = 4 4 3x = 2x x 2 1 = 2 Una equazione irrazionale si risolve trasformandola in una equazione razionale che sia equivalente alla data, cioè ammetta tutte le radici reali di quella irrazionale. Es. Siano date le equazioni irrazionali 3x 2 = x = - 3. x + 2 Queste equazioni non possono avere soluzioni perché i due membri hanno segni opposti. Es. Siano date le equazioni irrazionali 4 + x = x x 2-1 = 2x - 2 Entrambe le equazioni possono avere delle soluzioni Es. Sia data l equazione irrazionale 4 -x 2 4 = x + 1 Questa equazione è impossibile nel campo reale perché il primo radicando è sempre negativo. 70

71 Es. Siano date le due equazioni irrazionali x = x x = x - 1 Queste equazioni non possono avere soluzioni perché il primo membro è sempre maggiore del secondo. Seguono alcuni esempi di soluzioni di equazioni irrazionali di tipo diverso a) Equazioni irrazionali intere, contenenti un solo radicale Per la risoluzione di questo tipo di equazioni, bisogna isolare il radicale, cioè bisogna fare in modo che esso compaia da solo in uno dei membri dell equazione, quindi si devono elevare i due membri dell equazione ad una potenza di esponente uguale all indice del radicale.trasformandola così in una equazione razionale. Può però accadere che le due equazioni non siano equivalenti perché l equazione razionale potrebbe ammettere delle soluzioni estranee Es Sia data l equazione x x = 1. x + 11 = 1 - x Poiché, come si è detto, si considera solo il valore aritmetico del radicando, il primo membro è significativo se è 0. cioè x ossia x -11 Perciò deve essere 0 anche il secondo membro, cioè deve essere 1 x 0 e quindi x 1 Elevando al quadrato si ottiene x + 11 = 1 2x + x 2 (1) Ordinando la (1) si ricava x 2-3x -10 = 0 Le soluzioni di questa equazione sono x 1 = -2 e x 2 = 5 Ma è -2 < 1 e 5 > 1. Per la condizione x 1 solo la prima soluzione è accettabile. La seconda è estranea. Es. Sia da risolvere l equazione 3 x 3-6x = x 3 x 3-6x + 8 = x + 2 Si elevano i due membri al cubo ottenendo: x 3 6x + 8 = x 3 + 6x x + 8 6x x = 0 L ultima equazione, scindendosi nelle due x = 0 e x + 3 = 0 dà le due soluzioni x = 0 e x = -3 che soddisfano entrambe l equazione data b) Equazione irrazionale intera, contenente solo due radicali Es. Sia data l equazione x 2 = 3 3(x 2) Il primo radicale è significativo se x 2 0 cioè se è x 2 Innanzitutto i due radicali vanno ridotti allo stesso indice 6 (x 3) 3 = 6 9(x 2) 2 Elevando ora i due membri alla sesta potenza si ha. (x 2) 3 = 9(x 2) 2 (x 2) 2 = 9 (x - 2) x 2 13x + 22 = 0 Le soluzioni della equazione di secondo grado sono accettabili x = 2 e x = 11, entrambe 71

72 4.45 c) Equazioni irrazionali intere, contenenti tre radicali quadratici e termini razionali Es. Sia data l equazione x x 2 = 2 + 5x - 12 Poiché i tre radicali, per essere significativi, devono essere positivi, deve essere x -4 ; x 3 ; x 2/5 Basta quindi che sia x 3, come appare nello schema con le rette orientate I capisaldi sono -4 2/5 3 1 radicale 2 radicale 3 radicale Elevando entrambi i membri al quadrato e riducendo si perviene alla equazione (x + 4) (x 3) = 5x 12 Elevando nuovamente al quadrato e svolgendo le parentesi si ottiene l equazione x 2 4x = 0 che ha le soluzioni x = 0 e x = 4, ma soltanto la seconda è accettabile perché soddisfa la condizione x d) Equazioni irrazionali non intere Es. Sia da risolvere l equazione 3x x = 3x / 3x 1 Se 3x 1 > 0 cioè 3x > 1 ossia x > 1/3 si possono moltiplicare entrambi i membri per 3x 1 ottenendo 3x x 3x 1 = 3x Quindi 2 3x 2 - x = 1 12x 2 4x = 1 12x 2 4x 1 = 0 Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono date dalla solita formula 2 ± ± 4-1/6 x = = /2 di cui solo ½ è accettabile perché > 1/ e) Equazioni irrazionali risolubili mediante qualche artificio Es. Sia da risolvere l equazione x 2 3x + x 2 3x + 1 = 1 Ponendo il radicale = y ed aggiungendo 1 ad entrambi i membri della equazione data, si ottiene y 2 + y 2 = 0 che ha le soluzioni y = -2 ed y = 1 da cui x 2 3x + 1 = -2 e x 2-3x + 1 = 1 La prima equazione è ovviamente impossibile; la seconda dà come soluzione x = 0 e x = 3 entrambe accettabili 72

73 2x + 2 x Es. Sia da risolvere l equazione + = x+ 2 2x Essendo i due radicali l uno il reciproco dell altro si può sostituire il primo radicale con t e il secondo con 1/t 2x + 2 = t (1) x+ 2 con il che l equazione data diventa t +1/t = 5/2 2t 2 5t + 2 = 0 Equazione di secondo grado con le soluzioni t 1 = 1/ 2 e t 2 = 2 Effettuando la sostituzione di questi valori di t nella (1) si ottengono due equazioni equivalenti alla data, che forniscono le soluzioni x = -3 e x = -6/7 Entrambi questi valori sono accettabili come soluzioni della equazione data f) Equazioni irrazionali contenenti un radicale doppio e coefficienti letterali Es. Sia data l equazione a 2 x 2a 2 - x 2 = x - a Conviene ripetere ancora una volta che si dovranno accettare soltanto le eventuali soluzioni che rendano positivo il secondo membro. Dovrà cioè essere x a Elevando al quadrato i due membri della equazione data sl ottiene a 2 - x 2a 2.- x 2 = x 2 + a 2 2ax. che si può scrivere x( 2 a 2 - x 2 + x 2a ) = 0 Si hanno allora due equazioni: una è x = o e l altra 2 a 2 - x 2 = 2a. - x (2) A causa della CA x a ricavata prima, x = 0 è valida soltanto se a 0 ; l altra equazione avrà delle soluzioni solo se il secondo membro è positivo, cioè se x 2a. In conclusione le due limitazioni evidenziate possono essere riunite in una sola, che è a x 2a (ovviamente a non può essere negativo perché diversamente 2a sarebbe minore di a) Elevando al quadrato i due membri della (2) si ottiene x 2 2ax + a 2 = 0 Le radici di tale equazione sono x 1 = x 2 = a. Concludendo si può affermare che l equazione data ha la soluzione x = 0 se è a 0, mentre se a > 0 la soluzione è x = a 73

74 5.1 SISTEMI DI EQUAZIONI E PROBLEMI RELATIVI Si definisce sistema di equazioni un insieme di due o più equazioni, considerate contemporaneamente. Risolvere un sistema di equazioni significa determinare l insieme delle sue soluzioni. Dato il sistema x = 3y - 1 xy = x 2 2 poiché le due equazioni sono entrambe soddisfatte per x = 2 e per y = 1, questo gruppo di valori delle incognite rappresenta una soluzione del sistema. Le equazioni di un sistema si scrivono su più righe riunite da una parentesi graffa, posta a sinistra delle equazioni. Si dice grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni del sistema Un sistema di secondo grado è formato da un equazione di secondo grado ed una di primo Un sistema si dice in forma normale quando ha la forma: a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 In cui a 1, b 1, c 1. a 2, b 2, c 2 sono numeri reali. Un sistema che ha un numero finito di soluzioni è detto determinato infinito indeterminato non ha soluzioni impossibile Per verificare se una coppia ordinata di numeri reali è soluzione del sistema basta sostituire tali numeri al posto delle rispettive incognite in entrambe le equazioni del sistema: se le equazioni si trasformano in vere e proprie identità la suddetta coppia di numeri è proprio una soluzione del sistema. 5.2 Sistemi equivalenti Principi di equivalenza dei sistemi Si dicono equivalenti due sistemi che hanno lo stesso insieme di soluzioni Se ad una o più equazioni di un sistema si sostituiscono equazioni equivalenti, si ottiene un sistema equivalente Due sistemi equivalenti ad un terzo sono equivalenti tra di loro 5.3 Sistemi di equazioni di primo grado Un sistema di primo grado, cioè formato solo da equazioni di primo grado, si dice anche sistema lineare. Esso può essere ad una o più incognite e può essere composto da due o più equazioni. Nel caso di sistema di equazioni in due incognite si dice che una ccppia ordinata di numeri reali è soluzione del sistema, se sostituendo tali valori alle corrispondenti incognite, entrambe le equazioini del sistema si trasformano in uguaglianze vere. Nei 5.9 e 5.10 sono descritti alcuni metodi per la risoluzione dei sistemi di primo grado di due equazioni in due incognite e sono presentati alcuni esempi relativi. 74

75 5.4 Risoluzione dei sistemi lineari (o di primo grado) di due equazioni in due incognite Per risolvere un sistema bisogna, prima di tutto, trasformarlo, mediante l applicazione dei principi di equivalenza delle equazioni e dei sistemi, (v. 5.2), in un sistema equivalente, semp più semplice, fino ad ottenere un sistema di cui sia facile trovare la soluzione. Poiché le equazioni lineari possono essere rappresentate sul piano cartesiano da delle rette (V 3.51), si può affermare che le soluzioni di un sistema sono date in tale piano dall intersezione delle rette che rappresentano le equazioni del sistema Si possono fare alcune considerazioni ( v. anche il 5.1) 1) Se le rette sono parallele, non ci sono intersezioni e quindi non ci sono soluzioni del sistema Il sistema è quindi impossibile 2) Se le rette sono incidenti, esiste un punto di intersezione che rappresenta la soluzione del sistema. Il sistema è quindi determinato. 3) Se le rette sono coincidenti, ci sono infinite soluzioni perché ogni punto dell unica retta rappresenta una soluzione del sistema. Il sistema è quindi indeterminato. 5.4 a) Risoluzione grafica Se in un piano cartesiano si tracciano le rette che rappresentano le equazioni dei sistemi, si possono verificare, come si è visto qui sopra,tre casi: 1) Le due rette sono parallele = sistema impossibile 2) Le due rette si incontrano in un punto del piano = sistema determinato. Le coordinate del punto costituiscono l unica soluzione del sistema. 3) Le due rette coincidono = sistema indeterminato Es. Si risolva graficamente il sistema 2x y = 2 r 2 x + y = 4 Dalla prima equazione rappresentata dalla retta r1, si ricava: per y = 0 è x = 1 per x = 0 è y = -2 Il punto A di r1 ha le coordinate (0 ; -2) Il punto B (1 ; 0) 75 C(0;4) r 1 O B (1;0) P(2;2) Dalla seconda equazione, rappresentata dalla retta r2, si ha: per y = 0 è x = 4 A(0;-2) per x = 0 è y = 4 Il punto C di r2 ha le coordinate (0 ; 4) Il punto D (4; 0) Si tracciano le due rette corrispondenti alle equazioni del sistema, passanti per i punti sopraindicati, e si constata che esse si intersecano nel punto P (2 ; 2) che è la soluzione del sistema

76 Infatti, se nelle equazioni del sistema dato si sostituiscono i valori trovati per le due incognite: x = 2 e y = 2 le suddette equazioni si trasformano in uguaglianze, confermando così l esattezza della soluzione trovata. 5.4.b) Risoluzione algebrica Poiché i princìpi di equivalenza delle equazioni sono validi anche per le equazioni dei sistemi, ogni equazione può essere trasformata in una equivalente applicando le regole viste per le equazioni ad una sola incognita. Esistono anche due princìpi di equivalenza specifici dei sistemi, che sono: il principio di sostituzione ed il principio di riduzione. Per risolvere algebricamente un sistema di equazioni si dovrà cercare di rendere via via più semplici le equazioni del sistema, mediante l applicazione dei principi di equivalenza suddetti, fino ad ottenere un sistema più facile da risolvere. 5.5 Il metodo di sostituzione Il metodo di sostituzione consiste nel risolvere una equazione di un sistema rispetto ad un incognita, sostituendo poi l espressione che rappresenta il valore di tale incognita nell altra equazione, che diventa così un equazione ad una sola incognita, la cui soluzione, sostituita nell espressione della prima incognita considerata, fornisce la soluzione del sistema Per risolvere un sistema lineare con il metodo di sostituzione è opportuno procedere nel modo seguente: Si riduce il sistema a forma normale, Si risolve una delle equazioni rispetto ad una delle incognite, per es. la x, il che significa scrivere tale equazione nella forma x = A, in cui A è una espressione nella quale in genere compare l altra incognita, cioè la y, Si sostituisce nell altra equazione, al posto della x, l espressione A, ottenendo così un equazione ad una sola incognita, la y, che si risolve ottenendo in tal modo il valore della y, Si sostituisce il valore della y nella espressione A che diventa un equazione nella sola incognita x, risolvendo la quale si ottiene anche il valore di x Ovviamente si può ricavare prima la x e poi la y e parimenti si può operare prima sulla seconda equazione e poi sulla prima e viceversa 5.5 a) Principio di sostituzione Risolvendo un equazione di un sistema rispetto ad un incognita e sostituendo l espressione così ottenuta nelle altre equazioni, al posto di tale incognita, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Es. Sia dato il sistema 5x + 2y = 3 3x + y = -2 Il sistema dato è già in forma normale. Procedendo come sopra indicato, si risolve una 76

77 qualunque delle equazioni rispetto ad una delle incognite. Conviene risolvere la seconda equazione rispetto alla y dal momento che essa ha coefficiente 1 Si ottiene y = -2-3x Si sostituisce l espressione così trovata per la y, nella prima equazione, ottenendo una equazione, con l unica incognita x, che è la seguente 5x + 2 (-2-3x) = 3 La risoluzione dell equazione dà 5x 6x = da cui x = - 7 Sostituendo tale valore nella espressione di y si trova y = = 19 Le soluzioni del sistema sono quindi x = -7 e y = 19 Se questi due valori vengono sostituiti alle x ed alle y nelle due equazioni del sistema dato, esse si trasformano in identità = 3 ; = Il metodo di confronto Il metodo di confronto è una variante del metodo di sostituzione ( V. 5.5 ) Per applicare tale metodo si opera nel modo seguente: Si riduce il sistema a forma normale Si ricava da entrambe le equazioni del sistema un incognita in funzione dell altra ad.es y in funzione di x, e si confrontano, uguagliandole, le due espressioni della y, ottenendo così una equazione ad una sola incognita, la x, di cui si ricava il valore. Allo stesso modo si opera sull altra incognita, di cui pure si ottiene il valore, che completa la soluzione del sistema Es Sia dato il sistema: x + 2y = 7 2x y = -1 Il sistema è già ridotto a forma normale per cui si può procedere, come prima indicato, ricavando la incognita y in funzione della x, e la incognitsa x in funzione della y, da entrambe le equazioni, 7 - x x = 7 2y y = -1 + y 2 x = y = 2x Si confrontano, uguagliandole, le due espressioni della y in funzione di x e le due della x in funzione della y, ottenendo così due equazioni in una sola incognita, la x in una e la y nell altra che, risolte, danno le soluzioni volute, cioè x = 1 e y = Il metodo di eliminazione Il metodo di eliminazione, detto anche di riduzione, consiste nel sostituire, in un sistema a due equazioni, che si presentano in forma normale, l equazione che si 77

78 ottiene addizionando o sottraendo membro a membro, le due equazioni del sistema, ottenendo in tal modo un nuovo sistema equivalente a quello dato Per risolvere un sistema lineare con il metodo di eliminazione si deve procedere nel modo seguente: Se i coefficienti dell incognita da eliminare sono, nelle due equazioni, già uguali od opposti, si passa direttamente al punto seguente. In caso contrario si moltiplicano entrambi i membri di una o di entrambe le equazioni per delle costanti opportune in modo che i coefficienti dell incognita da eliminare diventino uguali od opposti Quando i coefficienti dell incognita da eliminare sono uguali, si sottraggono membro a membro le due equazioni; quando invece sono opposti si sommano membro a membro le due equazioni L equazione ottenuta al punto precedente permette di determinare il valore dell incognita non eliminata Es. Sia da risolvere il sistema applicando il metodo di riduzione 6x + 2y = 13 4x 5y = -4 Per eliminare l incognita x si deve notare che il m.c.m. tra 6 e 4, che sono i coefficienti della x, è 12. Si moltiplicano quindi i cofficienti della prima equazione per 12 : 6 = 2 e si ottiene 12x + 4y = 26 Poi si moltiplicano i coefficienti della seconda equazione per 12: 4 = 3 ottenendo 12x 15y = -12 Essendo i coefficienti della x uguali a 12 nelle due ultime equazioni, sottraendo membro a membro le stesse, la x sparisce e si ha 19y = 38 y = 2 Si ripetono le stesse operazioni per eliminare la y, ottenendo le due seguenti equazioni 30x + 10y = 65 8x 10y = -8 Sottraendo membro a membro tali equazioni risulta 38x = 57 x = 57/38 = 3/2 La soluzione del sistema dato consiste quindi nella coppia ordinata ( 3/2 ; 2 ) 5.8 Sistemi indeterminati e impossibili Se, risolvendo un sistema lineare di due equazioni in due incognite, si scopre che una delle equazioni è un identità (e l altra è impossibile), oppure che le due equazioni, ridotte a forma normale, sono identiche, il sistema è indeterminato. Se, invece, si scopre che almeno una delle equazioni è impossibile, il sistema è impossibile 5.9 La regola di Cramer Sia dato un sistema lineare di due equazioni in due incognite, ridotto a forma normale. 78

79 a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Volendo risolverlo con il metodo di eliminazione si deve incominciare con il moltiplicare entrambi i membri della prima equazione per b 2 ed entrambi i membri della seconda per b 1, ( avendo supposto b 1 e b 2 diversi da 0),. Si sottraggono poi, le due equazioni membro a membro, ottenendo a 1 b 2 x + b 1 b 2 y = c 1 b 2 a 2 b 1 x + b 2 b 1 y = c 2 b 1 (a 1 b 2 a 2 b 1 ) x + 0 y = (b 2 c 1 b 1 c 2 ) Se l espressione a 1 b 2 a 2 b 1, detta determinante (dei coefficienti) del sistema, è 0 si può scrivere b 2 c 1 b 1 c 2 x = (1) a 1 b 2 a 2 b 1 Il suddetto determinante viene di solito indicato con la lettera D, oppure a 1 b 1 con il simbolo, riportato a fianco, in cui, moltiplicando in croce, a due a due, i quattro termini dello stesso, prima il termine in alto a sinistra per a 2 b 2 quello in basso a destra, al quale prodotto, detto diagonale principale, si dà il segno +, poi il termine in alto a destra per quello in basso a sinistra, al quale prodotto, detto diagonale secondaria, si dà il segno - e sommando questi due prodotti, si ottiene l espressione vista prima, detta determinante del sistema. In modo analogo si può scrivere y = a 1 c 2 - a 2 c a 1 b 2 a 2 b 1 Se in D, al posto dei termini della prima colonna, si sostituiscono i termini noti, si ottiene un nuovo determinante chiamato determinante dell incognita x (v. sotto) Similmente, sostituendo al posto dei termini della seconda colonna i termini noti, si ottiene un determinante chiamato determinante dell incognita y (v. sotto) Questi due determinanti possono essere anche indicati con le lettere D x e D y c 1 b 1 a 1 c 1 = D x = determinante della x ; = D y = determinante della y c 2 b 2 a 2 c 2 Le soluzioni del sistema si possono esprimere con i rapporti x = ; y = D Si può quindi enunciare la Regola di Cramer che afferma: Il valore di ciascuna incognita di un sistema di equazioni di primo grado è uguale a una frazione che ha per numeratore il determinante di quell incognita e per denominatore il determinante del sistema, che deve essere diverso da zero. Se il determinante del sistema D = 0 il sistema stesso non è determinato, Può essere impossibile o indeterminato. Secondo quanto risulta risolvendo il sistema. 79 D x D y D

80 Es. Sia da risolvere il sistema (2/3) x (5/2)y = 8 2 x + 5 y = -4 Essendo più semplice operare con numeri interi che con numeri frazionari, si cerca il m.c.m. dei denominatori e si trasforma il sistema dato in quello equivalente, riportato qui sotto 4x 15y = 48 2x + 5y = -4 Adottando la Regola di Cramer si può scrivere: D = = 50 D x = = 180 D y = = La soluzione del sistema dato è quindi x = = ; y = = Esempi di risoluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite Vengono qui di seguito proposti alcuni esempi di risoluzione, con metodi diversi, di sistemi lineari in due incognite Es. Sia da risolvere il sistema ax + by = 1 x + y = -2 Si risolve il sistema con il metodo di sostituzione, ricavando la x dalla seconda equazione e sostituendola nella prima x = -y 2 a(-y 2) + by = 1 y = (2a + 1) / (b a) Si sostituisce il valore trovato per la y nella prima equazione ottenendo ax + b(2a + 1) / (b a) = 1 a(b a) x = -a(1 + 2b) x = (2b + 1) / (a b) Le soluzioni del sistema sono quindi quelle sopra scritte, però con la CE a b, perché altrimenti i denominatori di x e di y si annullerebbero e i valori delle due incognite perderebbero significato. Es. Sia da risolvere il sistema 5x 2y + 7 = 0 3x y 1 = 0 Si risolve il sistema con il metodo di riduzione Si moltiplica quindi per 2 la seconda equazione e, poiché i coefficienti di y delle due equazioni risultano opposti si sommano membro a membro le equazioni, ottenendo 5x 2y + 7 (6x 2y 2) = 0 -x + 9 = 0 x = 9 80

81 Sostituendo nella prima equazione il valore trovato di x, si ottiene una equazione nella sola incognita y che, risolta fornisce il valore della y y + 7 = 0 2y = 52 y = 52/2 = 26 Il sistema dato è quindi determinato e le soluzioni sono x = 9 ; y = 26 Es. Sia da risolvere il sistema a( a + 2)x + ( 4 a 2 )y = 2a ax + (2 a)y = a SI risolve il sistema dato con la regola di Cramer Il determinante del sistema è uguale a: D = a(a + 2)(2 a) (4 a 2 )a = a(4 a 2 )- a(4 2) = 0 Essendo D = 0 il sistema non è determinato. Si tratta di stabilire se se è impossibile o indeterminato A tale scopo si moltiplicano entrambi i membri della seconda equazione per (a + 2), supposto, per ora. 0 Si ottiene a(a + 2)x + (4 a 2 )y = 2a a(a + 2)x + (4 a 2 )y = a(a + 2) Poiché i primi membri delle due equazioni sono identici, risulta a 2 = 0 a = 0 In questo caso si conclude che per a = 0 le due equazioni coincidono ed il sistema è pertanto indeterminato Per a 0 invece, le due equazioni, che hanno uguali i primi membri ma diversi i termini noti, sono incompatibili per cui il sistema è impossibile. Si era prima supposto che fosse (a + 2) 0 e cioè a -2 Per completare l esame si deve adesso esaminare il caso a = -2 Per a = -2 il sistema dato diventa 0x + 0y = -4-2x + 4y = -2 ed essendo impossibile la prima equazione, anche il sistema è impossibile Riassumendo i risultati trovati si ha (V. il 5.8) Per a 0 il sistema è impossibile; per a = 0 il sistema è indeterminato 5.11 Risoluzione dei sistemi lineari con tre equazioni in tre incognite Anche questi sistemi si possono risolvere con i metodi esaminati nei precedenti. Es. Sia dato il sistema x + 2y 2z = -5 2x 2y + z = -5 x - y + 2z = -1 Dal momento che la seconda equazione ha i coefficienti di x e di y doppi di quelli della terza, conviene adottare il metodo di eliminazione, moltiplicando entrambi i membri della terza equazione per -2 x + 2y 2z = -5 2x 2y + z = -5-2x + 2y 4z = 2 81

82 e sommando i membri della equazione così ottenuta alla seconda, ottenendo una nuova equazione nella quale non compaiono più i termini in x ed in y ( 2x 2y + z ) + ( -2x + 2y 4z ) = z = -3 z = 1 Sostituendo il valore di z nella prima e nella seconda equazione si ottengono due sistemi di due equazioni in x ed y che, risolte, completano la soluzione del sistema, che è x = -3 y = 0 z = 1 Es. Sia da risolvere il sistema di primo grado in tre incognite x 2y 2z + 1 = 0 2x + 3y - z 3 = 0-3x + y + 3z 5 = 0 Si moltiplica la seconda equazione per 2 e poi si sommano le prime due equazioni membro a mermbro. Essendo i coefficienti della z, delle suddette equazioni, uguali ed opposti, le z scompaiono e ne risulta l equazione 3x + 8y -7 = 0 che può sostituire una delle due prime equazioni del sistema. che sono state eliminate. Ad es al posto della prima. Si ottiene così il sistema equivalente 3x + 8y - 7 = 0 2x + 3y z 3 = 0-3x + y + 3z 5 = 0 Si elimina ora la z fra la seconda e la terza equazione che si sommano membro a membro dopo aver moltiplicato la seconda equazione per 3. Anche in questo caso le z scompaiono e ne risulta l equazione 3x +10y 14 = 0 Sostituendo questa equazione al posto della terza si ricava il nuovo sistema equivalente 3x + 8y 7 = 0 3x + 10y 14 = 0 2x + 3y z 3 = 0 Sottraendo la prima equazione dalla seconda si elimina la x ed il sistema diventa 2y 7 = 0 3x + 8y 7 = 0 2x + 3y z 3 = 0 Risolvendo la prima equazione si ottiene il valore della y = 7/2 che sostituito nella seconda permette di ricavare il valore della x = -16/3 Infine dall ultima equazione si ottiene il valore della z = -13/2 Le soluzioni del sistema sono quindi x = -16/3; y = 7/2; z = -13/ Problemi di primo grado a più di due incognite I problemi di primo grado a più incognite vengono normalmente risolti mediante i sistemi, come risulta dagli esempi che seguono Sia da risolvere il seguente problema: Trovare il numero N di tre cifre, sapendo che: La somma delle cifre è 12 La somma delle cifre delle centinaia con il triplo delle cifre delle unità, diminuito del doppio della cifra delle decine è 2 La somma di N con il numero ottenuto da N invertendo l ordine delle cifre è

83 Le tre condizioni del problema permettono di scrivere tre equazioni in tre incognite. Se si indicano con x, y, z, rispettivamente, le cifre delle centinaia, delle decine, e delle unità, esse sono le seguenti x + y + z = 12 x 2y + 3z = 2 (100x +10y + z) + (100z + 10y + x) = 888 Si elimina la x dalle prime due equazioni sottraendole membro a membro. Si ottiene 3y 2z = 10 Da cui si ricava, ad es., la y in funzione di z: 2z + 10 y = 3 Sostituendo tale valore di y nelle prime due equazioni si ottiene un sistema di due equazioni nelle incognite x e z, che, risolto con uno dei metodi descritti nei precedenti, fornisce i valori delle incognite x e z che sono x = 7 e z = 1. Risulta quindi y = 4 La soluzione completa del sistema è pertanto x = 7 ; y = 4 ; z = 1 per cui il numero N richiesto dal problema è 741 Es. Sia dato il problema seguente da risolvere: In un parallelepipedo rettangolo tre facce, con uno stesso vertice in comune, hanno perimetri, rispettivamente, di 40 cm, di 64 cm e di 56 cm. Determinare le misure degli spigoli. Se si indicano con x ed y le lunghezze in cm degli spigoli della faccia del parallelepipedo avente perimetro di 40 cm; con y e z le lunghezze degli spigoli della faccia con perimetro di 64 cm e, infine, con x e z le lunghezze degli spigoli della faccia con perimetro di 56 cm si può scrivere ( considerando i semiperimetri ) il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite x + y = 20 y + z = 32 x + z = 28 da cui è semplice ricavare x = 8, y = 12 e z = 20 che sono la soluzione del sistema e del problema Sistemi di equazioni di secondo grado Poiché il grado di un sistema di equazioni è il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono (V. 5.1), un sistema di equazioni ad es. di quarto grado può avere una equazione di quarto grado mentre tutte le altre sono di primo, oppure due equazioni di secondo grado e le eventuali altre di primo. Un sistema di secondo grado, non indeterminato, può avere due, una o nessuna soluzione Vengono innanzitutto considerati i sistemi di secondo grado con due equazioni in due incognite. 83

84 Per risolvere questo tipo di sistema si ricorre normalmente al metodo di sostituzione Si risolve prima di tutto l equazione di primo grado rispetto ad una delle due incognite, ad es. la y, e si sostituisce l espressione trovata nella equazione di secondo grado, nella quale quell incognita, la y, scompare. Ne risulta così, generalmente, una equazione di secondo grado con una sola incognita, la x, detta equazione risolvente del sistema. Se tale equazione è effettivamente di secondo grado si possono verificare tre casi: 1 ) L equazione risolvente ha due soluzioni distinte In questo caso si sostituiscono successivamente i due valori trovati risolvendo la suddetta equazione, in x, nella espressione della y, ricavata in precedenza e si ottengono così i due corrispondenti valori della y. Il risultato consiste in due coppie ordinate di numeri reali che sono la soluzione del sistema. 2 ) L equazione risolvente ha una sola soluzione Si opera come è detto al punto 1 ), però, in vece di due valori di x se ne ricava, ovviamente, uno solo che si sostituisce nella espressione della y trovata in precedenza, ottenendo il corrispondente valore della y Si ottiene così una coppia ordinata di numeri reali che costituiscono l unica soluzione del sistema. 3 ) L equazione risolvente è impossibile In questo caso il sistema è impossibile Es. Sia da risolvere il sistema 2x 2 + y 2-3x + 5y = 19 3x + 2y = 1 Si risolve la seconda equazione, di primo grado, rispetto alla x 1 3x. e si ha y = 2 Si sostituisce questo valore nella prima equazione, di secondo grado, e si ha 2x 2 + (1-3x) 2 / 4-3x + 5 (1 3x) / 2 = 19 2x 2 + (1 + 9x 2-6x) / 4 3x + (5 15x / 2 = 19 Da cui si perviene alla 17x 2 48x 65 = 0 Equazione di secondo grado con le radici x 1 = 65/17 e x 2 = -1 Per ricavare anche i valori di y, basta sostituire i due succitati valori di x nella espressione di y ottenuta dalla seconda equazione, ottenendo così le due radici y: y 1 = -89/17 e y 2 = 2 Es. Sia da risolvere il sistema x 2 y 2 3x + y = 3 x y = 1 Dalla seconda equazione si ricava il valore della y = x 1 e lo sostituisce nella prima e si perviene alla uguaglianza -2 = 3, che è ovviamente assurda. In tali casi si dice che il sistema è impossibile. Può accadere, sia pure raramente, che l equazione risolvente sia di primo grado; in tal caso valgono le considerazioni fatte per le equazioni lineari. (V 5.4) e cioè: 84

85 se si giunge ad un identità, il sistema è indeterminato se si perviene ad una falsa uguaglianza (come ad es 0 = 1), il sistema è impossibile; se l equazione risolvente, di primo grado, è determinata, da essa si ricava il valore x, che, sostituito nell altra equazione, permette di ottenere il corrispondente valore di y. Il sistema in questione ha una sola soluzione. Es. Sia dato il sistema il -9x 2 + ay 2 +18x -4y = 8 3x 2y = 2 3x - 2 Procedendo come nell esempio precedente, dalla seconda equazione si ricava: y = 2 Si sostituisce questo valore di y nella prima equazione e si giunge all identità 8 = 8 Il sistema si riduce così alla sola seconda equazione dalla quale si è ricavato il valore di y in funzione di x. Dando alla x un valore arbitrario si ottengono infinite soluzioni della y, corrispondenti agli infiniti valori attribuiti alla x. Si dice perciò che il sistema è indeterminato 5.14 Sistemi di equazioni di secondo grado, di n equazioni con n incognite Perché i sistemi di questo tipo siano di secondo grado è necessario che una sola equazione sia di secondo grado, mentre le altre n 1 devono essere di primo grado con altrettante incognite. Per risolvere questi sistemi bisogna innanzitutto risolvere le n 1 equazioni di primo grado, rispetto alle n 1 incognite, considerandone solo una come nota, e si sostituiscono i valori trovati, nella equazione di secondo grado, al posto delle corrispondenti incognite in essa contenute, ottenendo in tal modo una equazione con una sola incognita, che, risolta, fornisce due soluzioni. Sostituendo l uno e l altro di questi due valori nelle altre n 1 equazioni si ottengono i corrispondenti valori delle altre incognite. Es Si risolva il sistema x y + z = -2 2x + y 2z = -2 x 2 + 2y 2 z 2 = 8. Si considera come nota la x nelle prime due equazioni, di primo grado, e la si trasporta quindi al secondo membro, ottenendo il sistema -y + z = -2 - x y 2z = -2-2x Risolvendo rispetto ad y e z si ha y = 6 + 4x z = 4 + 3x Se si sostituiscono queste espressioni di y e di z nella terza equazione, di secondo grado, si ottiene x 2 + 2(6 + 4x) 2 (4 + 3x) 2 = 8 Sviluppando e riducendo si ottiene x 2 + 3x + 2 = 0 Equazione risolvente, di secondo grado, che ha le radici x 1 = -2 e x 2 = -1 85

86 Le soluzioni del sistema sono quindi le seguenti x 1 = -2 y 1 = -2 z 1 = -2 x 2 = -1 y 2 = 2 z 2 = Sistemi simmetrici Si dicono simmetrici quei sistemi le cui equazioni restano invariate se si scambiano le x con le y. Il sistema 3x 2 + 5xy + 3y 2 x y = 2 5x + 5y 2xy = 5 è un sistema simmetrico di quinto grado: infatti se si scambiano tra loro le x e le y il nuovo sistema risulta uguale a quello dato. Nei sistemi simmetrici anche le soluzioni sono simmetriche: se il sistema ammette le soluzioni x = a ed y = b, ammette certamente anche le soluzioni x = b ed y = a I sistemi simmetrici di secondo grado sono della forma, detta canonica o normale x + y = s x y = p in cui x ed y sono due numeri la cui somma è s ed il cui prodotto è p. Quanto sopra era già stato trattato nel 4,28. In cui si era visto che questi due numeri sono le radici dell equazione z 2 - sz + p = 0. (1) Se a e b sono le radici di questa equazione le soluzioni del sistema sono: x 1 = a x 2 = b y 1 = b y 2 = a Sia da risolvere il sistema x+ y = a x 2 + y 2 = b 2 Questo è un sistema simmetrico di secondo grado che si risolve elevando al quadrato i due membri della prima equazione, sottraendo poi, membro a membro, la seconda dalla prima. Si ottiene 2xy = a 2 b 2 Il sistema dato è allora equivalente al seguente x + y = a x y = (a 2 b 2 ) / 2 Ricordando la (1), si può scrivere z 2 az + (a 2 b 2 ) / 2 = 0 Si tratta quindi di risolvere questa equazione di secondo grado, per risolvere il sistema dato. I sistemi simmetrici di quarto grado sono ad es. del tipo x 2 + y 2 = a x y = b Si può risolvere questo tipo di sistema in vari modi. Per es. sommando e sottraendo dalla prima equazione la seconda, moltiplicata per 2. Si ottiene il sistema equivalente x 2 + y 2 + 2xy = a + 2b x 2 + y 2-2xy = a - 2b 86

87 che diventa ( x + y) 2 = a + 2b ( x - y) 2 = a - 2b E quindi x + y = ± a + 2b x y = ± a 2b Da cui, sommando e sottraendo le due espressioni precedenti, si ottengono quattro valori di x e di y. Il sistema simmetrico di quarto grado, del punto precedente, si può risolvere, come si è detto, in altri modi, tra cui quello che segue, in un caso particolare Sia dato il sistema x x + y 2 = 34 xy = 15 Se si elevano al quadrato i membri della seconda equazione si ottiene il sistema x 2 + y 2 = 34 x 2 y 2 = 225 Se si scelgono come incognite x 2 e y 2 si constata che le due equazioni del sistema quì sopra sono la loro somma ed il loro prodotto, per cui si può scrivere l equazione tipica per questa situazione (già vista ai 3.38 e 4.28): z 2 (x 2 + y 2 )z + x 2 y 2 = 0 z 2 34z = 0 Le radici dell ultima equazione sono z 1 = 9 e z 2 = 25 Al termine si ha : x = ± 3 e y = ± 5 oppure x = ± 5 e y = ± 3 Poiché il prodotto xy = 15 > 0 i segni delle due incognite devono essere uguali. Il sistema simmetrico di sesto grado, come il seguente x 3 + y 3 = 133 x y = 10 si risolve elevando al cubo i due membri della seconda equazione, ottenendo così il sistema x 3 + y 3 = 133 x 3 y 3 = 1000 che si risolve considerando incognite x 3 ed y 3, somma 133 e prodotto Ricordando la (1) si può scrivere l equazione z z = 0 le cui soluzioni sono z 1 = 125 e z 2 = -8 Risolvendo poi le equazioni binomie x 3 = 125 e y 3 = -8 oppure anche x 3 = -8 e y 3 = 125 si trovano le soluzioni cercate 5.16 Sistemi particolari di grado superiore al primo Ci sono sistemi di secondo grado, o di grado superiore, che, pur essendo simmetrici, si possono risolvere con i metodi prima esposti, adottando però alcuni particolari artifici. Es. Sia da risolvere il sistema 3x +5y = 21 xy = 6 Se si moltiplicano i due membri della seconda equazione per il prodotto dei coefficienti della prima equazione (che è 3 5 = 15 ) si ha il sistema 3x + 5y =21 3x 5y = 90 87

88 Ponendo 3x = u e 5y = v si perviene al sistema simmetrico u + v = 21 u v = 90 I valori di u e di v sono le radici dell equazione (v. la (1) di 5.15) z 2 21 z + 90 = 0 da cui z 1 = 15 e z 2 = 6 Le soluzioni del sistema dato sono quindi le soluzioni dei due sistemi da cui x 1 = 5 x 2 = 2 Un altro esempio 3x = 15 3x = 6 5y = 6 5y = 15 y 1 = 6/5 y 2 = 3 Sia da risolvere il sistema x 2 + y 2 -xy = 13 x y = 1 - Ricordando che (x y) 2 = x 2 + y 2 2xy, si può scrivere: x 2 + y 2 = (x y) 2 + 2xy E il sistema dato si riduce così alla forma (x y) 2 + xy = 13 xy = 12 x - y = 1 x y = 1 che si può scrivere x (-y) = -12 x + (-y) = 1 in cui si considerano come incognite x e -y L equazione (1) di 5.15 in questo caso diventa z 2 z 12 = 0 che è una equazione di secondo grado le cui radici sono le soluzioni del sistema dato.. Ancora un esempio Ecco un esempio di sistema di tipo particolarmente semplice x n - y n = a x y = b che si risolve ricordando l identità x n y n = (x y) (x n-1 + x n-2 y +.+y n-1 )- Passando ad un esempio numerico si comprende meglio come si deve operare con questo tipo di sistema 88

89 Sia da risolvere il sistema x 2 - y 2 = 24 x y = 2 Tale sistema si può scrivere (x + y)(x- y) =24 x + y = 12 x y = 2 x - y = 2 Sommando e sottraendo membro a membro si ottiene x + y + x y = 14 x = 7 x + y x + y = 10. y = 5 che sono le soluzioni richieste Sistemi omogenei Un sistema di equazioni di secondo grado si dice omogeneo quando, dopo aver trasportati nel secondo membro tutti i termini noti, i primi membri delle equazioni sono dei polinomi omogenei di secondo grado rispetto alle incognite. Un polinomio si dice omogeneo quando tutti i termini hanno lo stesso grado. (V. 3.17). Un sistema omogeneo è ad es. il seguente ax 2 + bxy + cy 2 = d a x 2 + b xy + c y 2 = d Per risolvere questo sistema bisogna effettuare la sostituzione x = yt (con y 0) e si ottiene il sistema equivalente y 2 ( at 2 + bt + c ) = d y 2 (a t 2 + b t + c ) = d Dividendo membro a membro si perviene alla equazione at 2 + bt + c d = a t 2 + b t + c d (con d 0) che è di secondo grado rispetto all incognita t Si ottengono quindi per t due valori: t 1 e t 2, che sostituiti nella espressione x = yt, danno i valori di x richiesti. Un esempio numerico chiarirà meglio il suddetto metodo. Sia da risolvere il sistema x 2 + 2xy + 3y 2 = 17 2x 2 - xy + y 2 = 4 Evidentemente deve essere y 0 perché altrimenti si avrebbe x 2 = 17 e x 2 = 4 Ponendo x = yt si avranno le due equazioni seguenti: 89

90 y 2 ( t 2 + 2t + 3 ) = 17 y 2 ( 2t 2 t + 1 ) = 4 Dividendo membro a membro si ottiene t 2 + 2t = 6 t 2 5t + 1 = 0 2t 2 t E quindi le soluzioni t 1 = ½ e t 2 = 1/3 Ricordando che si era posto x = yt, bisogna ora risolvere i due sistemi x = (1/2) y x = (1/3) y x 2 + 2xy +3y 2 = 17 x 2 + 2xy + 3y 2 = 17 le cui soluzioni sono, rispettivamente x = ± 1 y = ± 2 x = ± 1 / 3 y = ± 3 / Sistemi che si risolvono con artifici Alcuni esempi di sistemi per la cui risoluzione si fa ricorso ad artifici 1 esempio Sia da risolvere il seguente sistema di quarto grado x 2 + y 2 + 5x y = 8 x 2 + y 2-3x + 2y = 6 Sottraendo membro a membro si perviene all equazione 8x 3y = 2 che si può impiegare in sostituzione di una qualsiasi delle equazioni del sistema dato. Ad es. il nuovo sistema, equivalente a quello dato, potrebbe essere il seguente: x 2 + y 2 + 5x - y = 8 8x 3y = 2 Questo sistema si risolve facilmente essendo un normale sistema di secondo grado. 2 esempio Sia da risolvere il sistema x + 2y + x + 2y = 12 x 2 + 3xy + 2y 2 = 45 Ponendo x + 2y = t, e quindi x + 2y = t 2, la prima equazione diventa t 2 + t = 12 che, essendo un equazione di secondo grado, ha due radici t 1 = 3 e t 2 = -4 Poiché t, per come è stato definito, è certamente un numero positivo, la soluzione t 2 = -4 è da eliminare. È quindi valida la sola soluzione t 1 = 3 che permette di utilizzare l equazione x + 2y = 9 in sostituzione della prima equazione del sistema, che diventa x + 2y = 9 x 2 +3xy +2y 2 = 45 E un semplice sistema di secondo grado che si può, ad es., risolvere con il metodo di sostituzione, risolvendo, per es., la prima equazione rispetto ad x x = 9 2y x 2 = y 2-36 y 90

91 e sostituendola nella seconda equazione. Si ottiene 81 9y = 45 9y = 36 y = 4 x = 9 8 = 1 Le soluzioni del sistema sono quindi x = 1 e y = Sistemi di grado superiore al secondo con equazioni a più incognite Per risolvere questi sistemi è necessario trasformarli in sistemi equivalenti di più facile soluzione. Sia da risolvere il sistema x 2 + y 2 + z 2 = 14 xy + xz + yz = 11 x + y = 3 L accorgimento cui si deve fare ricorso in questo caso è la divisione, membro a membro, della prima equazione per la seconda e della seconda per la terza, ottenendo x + z 4 = y + z 5 5x - 4y + z = 0 x + y 3 x + 4y 3z = 0 = x + z 4 (1) Risolvendo il sistema (1) rispetto alla y ed alla z si ricava y = 2x e z = 3x. Sostituendo tali valori nella prima equazione del sistema dato si ottiene 12 x 2 = 12 x = ± 1 Questi valori di x sostituiti nella (1) permettono di calcolare i corrispondenti valori di y e di z, che sono i seguenti x = 1 x = -1 y = 2 oppure y = -2 z = 3 z = -3 91

92 6.1 DISEGUAGLIANZE - DISEQUAZIONI Si chiama diseguaglianza ogni espressione della forma A > B oppure A < B che significa che un numero o un monomio o un polinomio, ecc. è maggiore o minore di un altro. I simboli >; ; <; sono i segni delle diseguaglianze e significano, rispettivamente, maggiore, maggiore o uguale, minore, minore o uguale. Essi danno il senso o verso della diseguaglianza L espressione che è posta a sinistra del segno di diseguaglianza è detta primo membro della diseguaglianza stessa, l espressione posta a destra è detta secondo membro. 6.2 Proprietà delle diseguaglianze Le diseguaglianze godono delle seguenti proprietà: 1 ) Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una diseguaglianza uno stesso numero, si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso. (a > b a + c > b + c e anche a c > b c) (a, b, c sono numeri reali ) 2 ) Moltiplicando o dividendo entrambi i membri d i una diseguaglianza per uno stesso numero positivo, si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso. (a > b e c > 0 ac > bc oppure a/c > b/c) (a, b sono numeri reali; c è un numero reale positivo) 3 ) Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una diseguaglianza per uno stesso numero negativo, si ottiene una diseguaglianza di senso contrario. (a > b e c < 0 ac < bc oppure a/c < b/c) (a, b sono numeri reali; c è un numero reale negativo) 4 ) Due diseguaglianze dello stesso senso si posso no sommare membro a membro e si ottiene così una diseguaglianza dello stesso senso. (a > b e c > d a + c > b + d (a, b, c, d sono numeri naturali) Attenzione! Non è lecito sottrarre membro a membro due diseguaglianze dello stesso senso. 5 ) Se si sottraggono da uno stesso numero due nu meri diseguali, le differenze sono diseguali, ma in senso contrario. (a > b c a < c b a, b, c sono numeri reali) 6 ) Due diseguaglianze dello stesso senso fra num eri positivi moltiplicate membro a membro, danno una diseguaglianza dello stesso senso. (a > b e c > d ac > bd a, b, c, d sono numeri reali positivi) 7 ) Se due numeri positivi sono diseguali, i loro reciproci sono diseguali, ma in senso contrario. (a > b 1/a < 1/b a, b sono numeri reali positivi ) 8 ) Elevando a potenza con esponente intero positivo i due membri di una diseguaglianza fra numeri positivi, si ottiene una diseguaglianza dello 92

93 stesso senso. (a > b a n >b n ) ( a, b sono numeri reali positivi; n è un numero naturale, escluso lo zero) 9 ) Elevando a potenza con esponente intero negati vo i due membri di una diseguaglianza fra numeri positivi, si ottiene una diseguaglianza di senso contrario. (a > b a n < b n ) ( a, b sono numeri reali positivi; n è un numero naturale, escluso lo zero) 10 ) Elevando a potenza con esponente intero positivo i due membri di una diseguaglianza fra numeri negativi, si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso se l esponente è dispari e di senso contrario se l esponente è pari. (a<0 e b<0 a>b a 2n + 1 > b 2n +1 a 2n < b 2n 2n + 1 è dispari; 2n è par)i ( a, b sono numeri reali negativi; n è un numero naturale, escluso lo zero) 11 ) Se si elevano i due membri di una diseguaglian za fra numetri di segno opposto, ad una potenza con esponente positivo dispari, la diseguaglianza conserva il senso; se l esponente è invece pari non si può generalmente dire nulla del risultato. ( E vero ad es. che è +2 > -5 ed è anche vero che (+2) 3 > (-5) 3 cioè 8 > -125 con esponente dispari; invece con esponente pari si può avere: o una uguaglianza ( per es. elevando al quadrato 3 > -3 si ha 9 = 9;) o una diseguaglianza dello stesso senso ( per es.elevando al quadrato 3 > -2 si ottiene 9 > 4) od una disequazione di senso contrario (pe ex., elevando al quadrato 3 > -5 si ottiene 9 < 5 ) 12 ) Estraendo la radice n-sima da entrambi i mem bri di una diseguaglianza tra numeri positivi, si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso. (a > b n a > n b ) ( a > 0 b > 0 ; n è un numero naturale, escluso lo zero) Ad es. 27 < < < 5 49 > > 16 7 > Disequazioni - Definizioni Si chiama disequazione ogni scrittura ottenuta interponendo uno dei segni di diseguaglianza ( >, <,, ) fra due espressioni di cui almeno una contenente una o più variabili ( incognite) Anche nelle disequazioni, come nelle diseguaglianze, l espressione che si trova a sinistra del segno di diseguaglianza viene detta primo membro e quella a destra, secondo membro Si dice soluzione di una disequazione in una o più variabili, un numero, una coppia, una terna, ecc, ordinata di numeri che, sostituiti ciascuno alla corrispondente variabile, fanno assumere ai due membri della disequazione valori in accordo con il segno di diseguaglianza che figura nella disequazione. Più brevemente si può dire: Risolvere una disequazione significa trovare i valori dell incognita per i quali 93

94 la disequazione si trasforma in una diseguaglianza vera. Una disequazione in una o più variabili può essere denominata: razionale intera se al denominatore non compare la variabile; Esempi 2x + 5xy > 5 e ( x 3 x) / 2 3 razionale fratta se al denominatore compare un incognita; Esempi (x + y ) / (x y) < 1 e x + 3 / 2 2 irrazionale se la variabile compare sotto qualche segno di radice Esempi x + 2 x e 2 x+y < 4 x J Un particolare tipo di disequazione è quello in cui il segno di diseguaglianza è Per semplicità si considerano le disequazioni del suddetto tipo contenenti la sola variabile x, cioè quelle che si possono indicare con l espressione simbolica A(x) B(x) in cui la x appartiene all insieme J. Chiaramente le due funzioni di x, che rappresentano i due membri della disequazione, sono soddisfatte da quei valori di J, cui appartiene la x, per i quali. non è soddisfatta l equazione A(x) = B(x) non perdono significato né A(x) né B(x) Esempio Sia data la disequazione 3 (x 1) / (5 x) (x= numero naturale) Se si considera l equazione 3 = (x 1) / (5 x) si trova che eesa ammette la sola radice x = 4 e che il secondo membro perde significato per x = 5 (perché si annulla il denominatore) Si conclude che la disequazione in esame è soddisfatta per x = numero naturale con l esclusione dell intervallo (4;5). 6.4 Intervalli delle soluzioni Nel 4.31 era stata data la definizione di intervallo, rappresentato dal simbolo. (a, b) In cui, per convenzione a < b L intervallo è formato dall insieme di tutti i numeri reali compresi tra, il punto a, detto estremo sinistro, ed il punto b, detto estremo destro dell intervallo. Un numero compreso tra a e b è detto interno all intervallo e si scrive a < x < b. Un numero minore di a o maggiore di b è detto esterno all intervallo e si scrive x < a oppure b < x 6.5 Rappresentazione grafica degli intervalli I suddetti concetti possono essere rappresentati graficamente mediante le rette orientate, normalmente verso destra, (gia definite al 7), nel modo seguente I numeri compresi tra due estremi dati a e b, cioè quelli che soddisfano la disequazione a < x < b vengono rappresentati dai punti di un segmento di retta a tratto continuo, avente per estremi a e b., compreso tra due semirette, tratteggiate, aventi come origine, rispettivamente, a quella a sinistra di a e b quella a destra di b a x b 94

95 Se uno degli estremi dell intervallo, ad es l estremo b, può essere una soluzione, cioè se b può soddisfare la disequazione x b, per indicare questo fatto, in corrispondenza di b viene disegnato un cerchietto pieno...in certi casi, per precisare che un estremo non rappresenta una soluzione, si segna, in corrispondenza di quell estremo un cerchietto vuoto. In questi casi i simboli < oppure > vengono sostituiti dai simboli oppure che significano appunto che anche gli estremi possono soddisfare la disequazione.. O b a x b x a Essendo stati definiti gli intervalli, la definizione di risolvere una disequazione data al 6.3, può essere modificata come segue: Risolvere una disequazione significa determinare gli intervalli dei valori delle incognite che la soddisfano, ossia gli intervalli delle soluzioni. 6.6 Dominio di una disequazione Il dominio di una disequazione in una variabile è costituito dall insieme dei numeri reali che, sostituiti alla variabile, la trasformano in una diseguaglianza dotata di senso (cioè vera o falsa). Es. La disequazione 2x 3 > 1 ha per dominio l insieme dei numeri reali, mentre la disequazione (x + 1) / x < 0 ha per dominio l insieme dei numeri reali. escluso lo zero, che, annullando il denominatore, farebbe perdere significato alla disequazione. 6.7 Disequazioni equivalenti - Princìpi di equivalenza Due equazioni si dicono equivalenti quando ammettono lo stesso insieme S di soluzioni cioè quando ogni soluzione dell una è anche soluzione dell altra Ad es. la disequazione x + 1 < 3 è equivalente alla disequazione x < 2 Infatti sono entrambe soddisfatte per tutti i valori di x minori di 2 Per risolvere le disequazioni si deve tenere conto di alcuni principi fondamentali. 1 Principio Se ad entrambi i membri di una disequazione si aggiunge una stessa quantità, si ottiene una disequazione equivalente a quella data Es. La disequazione 3x 2 > x + 1 è equivalente alla disequazione 2x 2 > 1 ottenuta aggiungendo -x (ossia sottraendo x) ad entrambi i membri della disequazione. Si può anche dire che il termine x, dal secondo membro è stato trasportato al primo, con il segno cambiato Un termine di una disequazione può essere trasportato da un membro all altro, cambiandogli il segno. 95

96 2 Principio Se in una disequazione si moltiplicano, o si dividono, entrambi i membri per uno stesso numero, positivo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data. Se il numero fosse negativo si dovrebbe cambiare il verso della disequazione Ad es. Se si moltiplicano per -1 i due membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente, purché si cambi il verso della stessa. Si può quindi enunciare la regola Se in una disequazione si cambia il segno di tutti i suoi termini e si inverte il verso si ottiene una disequazione equivalente. 6.8 Conseguenze dei principi di equivalenza Dai principi di equivalenza delle disequazioni esposti nel precedente conseguono alcune regole, molto utili nella risoluzione delle disequazioni. 1) Se entrambi i membri di una disequazione sono dei polinomi e se in entrambi è presente lo stesso monomio, questo può essere soppresso. 2) Se entrambi i membri di una disequazione sono dei polinomi, è possibile spostare un monomio da un membro all altro, purché gli si cambi il segno. 3) Se in una disequazione compare uno stesso fattore numerico comune positivo, questo può essere soppresso. 4) Se in una disequazione compare uno stesso fattore numerico comune negativo, questo può essere soppresso., purché si cambi il senso della diseguaglianza. 5) Se in una disequazione intera sono presenti frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile, dopo aver espresso entrambi i membri come frazioni aventi lo stesso denominatore positivo, sopprimere i denominatori. 6) Si possono cambiare di segno entrambi i membri di una disequazione, purché si cambi il senso della diseguaglianza. 7) Si possono scambiare tra loro i due membri di una disequazione, purché si cambi il senso della diseguaglianza. 6.9 Grado di una disequazione razionale intera Le disequazioni di primo grado Essendo sempre possibile scrivere una disequazione con un polinomio al primo membro e lo zero al secondo membro, si definisce grado di una disequazione, ad es. P(x) > 0, il grado del polinomio al primo membro rispetto alla lettera x Le disequazioni di primo grado, dette disequazioni lineari, sono disequazioni ad un incognita che si possono ridurre alla forma ax > b ossia ax - b > 0 ( Ovviamente al posto di > può esserci un altro segno di diseguaglianza) Ad es. la disequazione x 3 < 5 ha la soluzione x < 8, cioè è verificata per tutti i numeri minori di 8. La disequazione x ha la soluzione x 6, cioè è verificata per tutti i numeri maggiori o uguali a 6 96

97 6.10 Risoluzione di disequazioni lineari intere in una variabile Ecco come si deve procedere per risolvere una disequazione intera di primo grado. 1) Si svolgono gli eventuali prodotti indicati e si libera la disequazione dai denominatori, se presenti. 2) Si trasportano tutti i monomi contenenti l incognita al primo membro della disequazione e tutti i termini noti (costanti) al secondo membro, poi si riducono i termini simili. 3) Se il coefficiente dell incognita è diverso da zero, si dividono entrambi i membri della disequazione per tale coefficiente, ricordando che, se esso è negativo, si deve cambiare il verso della diseguaglianza. Invece se il coefficiente dell incognita è zero il primo membro risulta 0 x, quindi qualunque valore si dia all incognita il primo membro è sempre uguale a zero. La disequazione si riduce quindi ad una diseguaglianza che può essere vera o falsa, indipendentemente dal valore attribuito all incognita. Se tale diseguaglianza è vera la disequazione è soddisfatta da qualsiasi valore dell incognita e perciò l insieme S delle soluzioni coincide con l insieme dei numeri reali Se tale diseguaglianza è falsa la disequazione non è soddisfatta da nessun valore dell incognita, cioè è impossibile 6.10 a) Disequazioni numeriche Sia da risolvere la disequazione (1/3) x 4 + 2x > (3 + x) / 2 Essendo il m.c.m. dei denominatori uguale a 6 si possono eliminare i denominatori moltiplicando tutti i termini della disequazione per 6, ottenendo 2x x > 9 + 3x Trasportando tutti i termini con l incognita al primo membro ed i termini noti al secondo si ottiene 2x + 12x 3x > che, riducendo i termini simili, diventa 11x > 33 x > 3 Sia da risolvere la disequazione (3/2) x 4 < (x -2) / 2 +(5x + 3) / 5 Effettuando i soliti passaggi si perviene alla disequazione 15x 40 < 5x x + 6 la cui soluzione è 0 x < 36 Poiché per qualunque valore di x il primo membro è sempre = 0 che è < 36, (diseguagliznza vera), la disequazione data risulta soddisfatta per qualunque valore di x Sia da risolvere la disequazione 3x - 2 x > 4 + 2x + 1 Seguendo il solito procedimento si ha 2x 2x > cioè 0 x > 7 97

98 In questo caso, a differenza dell esempio precedente, il primo membro è sempre = 0 che è < 7 Quindi la disequazione risulta impossibile b) Disequazioni letterali In questo tipo di disequazioni è spesso necessaria una discussione per valutare la validità delle soluzioni Sia da risolvere la disequazione 2 (x + 1)(a 2) + 3a < 3x (a 4) Eliminando le parentesi e riducendo i termini simili si ottiene 8x ax < 4 5a da cui x (8 a) < 4 5a (1) Discussione Se 8 a > 0 ossia a < 8 si può dividere per 8 a senza dover cambiare il senso alla disequazione, ottenendo la soluzione accettabile x < (4 5a) / (8 a) Se a 8 = 0, sostituendo questo valore nella (1) si ottiene 0 x < -36 il che non è mai verificato (senza contare che non è lecito dividere nella (1) il numeratore 4 5a per 0). La disequazione è quindi impossibile. Se 8 a < 0, essendo negativo il binomio per cui si deve dividere la (1), bisogna cambiare il verso della disequazione, la cui soluzione è quindi x > (a 5a) / 8 - a 6.11 Esempi di risoluzione di problemi mediante le disequazioni lineari Es. Sia da risolvere il seguente problema Le dimensioni di un rettangolo sono: base = (5 + 9x) cm; altezza = 8 cm Trovare x sapendo che l area del rettangolo deve essere inferiore a quella di un quadrato di 20 cm di lato L area del rettangolo è (5 + 9x) 8 (cmq) L area del quadrato è = 400 (cmq) La disequazione che risolve il problema è quindi x < 400 da cui 72x < 360 e la soluzione x < 5 Le dimensioni del rettangolo sono perciò: base < 50 cm; altezza = 8 cm Es. Sia da risolvere il problema A Piero vengono proposti da un gestore telefonico due tipi di contratto giornaliero, per il suo telefono fisso 1 Una quota fissa di 0,77 + 0,08 per ogni scatto; 2 Nessuna quota fissa e 0,15 per ogni scatto. Quale è il numero minimo di scatti che Piero deve raggiungere perché il primo contratto sia più conveniente del secondo? 98

99 Affinché il primo contratto sia più vantaggioso del secondo bisogna che la somma della quota fissa (0,77 ) più un numero x di scatti a 0,08 sia inferiore allo stesso numero x di scatti a 0,15. Si può quindi scrivere la disequazione 0,77 +0,08 x 0,15 x cioè (0,15 0,08) x 0,77 la cui soluzione è x 0,77 / 0,07 = 11 Il numero minimo di scatti richiesto è 11. Infatti con un numero inferiore di scatti,, ad es. 10, la disequazione diventerebbe 0, ,08 = 1,57 e questa cifra è superiore ai 0,15 10 = 1,5 della seconda opzione 6.12 Risoluzione grafica di una disequazione numerica di primo grado Una disequazione intera di primo grado si può sempre trasformare in modo che il primo membro sia un polinomio od un binomio ed il secondo membro sia zero, cioè avente ad es. la forma mx + q > 0 (1) Dovendo risolvere una disequazione del tipo (1) la si può trasformare nel sistema misto (perchè costituito da una equazione e da una disequazione - V. 9.1 e seguenti). y = mx + q y > 0 (2) Questo sistema è equivalente alla (1); infatti sostituendo y > 0 nella equazione di (2), si ottiene proprio la (1) Ricordando le nozioni sul piano cartesiano esposte nel 3.48 e seguenti, si constata che l equazione presente nel sistema (2) rappresenta una retta, che interseca l asse x nel punto in cui y = 0, la cui ascissa è x = -q/m e l asse y nel punto in cui x = 0, la cui ordinata è y = q. La disequazione y > 0 rappresenta il semipiano positivo delle ordinate La soluzione del sistema, e quindi della disequazione data, è formata dalla semiretta avente l origine nel punto (-q/m ; 0) in cui la retta interseca l asse x; è giacente nel semipiano positivo delle ordinate e, se il coefficiente angolare m della retta è, ad es., negativo, comprende tutti i punti che hanno ascissa < -q/m, (Il punto suddetto è escluso perché il segno della (1) è > e non ) Analogo il ragionamento se invece di > o la disequazione avesse il segno < o. Es. Sia da risolvere graficamente la disequazione: -(1/2) x Innanzitutto si trasforma la disequazione nel seguente sistema misto y = -(1/2) x + 4 y 0 y La retta,che rappresenta l equazione del sistema, interseca l asse x nel punto in cui y = 0, ed ha 4 B( 0; 4) l ascissa x = 8, e l asse y in corrispondenza di x = 0, ed ha l ordinata y = 4 y > 0 La retta cioè passa per i punti A (8 ; 0) e B ( 0 ; 4) La soluzione del sistema è quindi rappresentata 8 x dalla semiretta con l origine in A, giacente nel semi- A (8;0) piano positivo delle y, la quale, essendo il coefficiente angolare m = -1/2. < 0, (come è rappresentata nel disegno) comprende tutti i punti che hanno l ascissa 8. Il punto A, che è l origine della suddetta semiretta, è compreso tra le soluzioni della disequazione, per effetto del segno della disequazione stessa.. 99

100 6.13 Disequazioni fratte di primo grado in una variabile Sono le disequazioni in cui compaiono dei denominatori contenenti l incognita Per risolvere una disequazione frazionaria è conveniente procedere nel modo seguente: 1) Se il secondo membro della disequazione non è zero si trasferiscono tutti i termini al primo membro, in modo che al secondo membro compaia solo lo zero. 2) Se possibile si trasforma il primo membro in un prodotto di polinomi di primo grado in x, oppure in un unica frazione avente numeratore e denominatore formati da polinomi di primo grado in x o da prodotti di tali polinomi. 3) Si studia il segno di ciascuno dei suddetti polinomi di primo grado prima determinati 4) Si traccia uno schema che metta in evidenza il variare dei segni dei singoli fattori al variare del valore della dell incognita x. 5) Tenendo presente che il segno di un prodotto (o di un rapporto) è positivo se i fattori negativi sono in numero pari, negativo se in numero dispari, si determina il segno che viene assunto dalla espressione al primo membro al variare di x. N.B. Occorre ricordare che se, per certi valori di x il numeratore si annulla, si annulla l intera espressione. Invece, se per certi valori di x si annulla il denominatore, l espressione al primo membro perde significato e con essa perde significato la disequazione 6) In base ai risultati raggiunti si determina l insieme delle soluzioni della disequazione Es. Sia da risolvere la disequazione frazionaria di primo grado 3 5x 0 (1) 1 x Per studiare il segno del Numeratore e del Denominatore si suppone che entrambi i termini della frazione siano > 0 Numeratore = 3-5x > 0 x < 3/5 Denominatore = 1 x > 0 x < 1 Si rappresentano graficamente le disequazioni di N e di D mediante dei segmenti di rette orientate, 3/5 1 parallele, come quelle mostrate al 6.5. N Le linee continue rappresentano i valori di x del Numeratore e del Denominatore che soddisfano D o le loro rispettive disequazioni; quelle tratteggiate invece i valori che non soddisfano le stesse disequazioni. I numeri situati nella riga superiore, detti capisaldi, rappresentano gli estremi degli intervalli delle disequazioni. I cerchietti vuoti (o), sullo schema, corrispondono ai segni > o < delle disequazioni e indicano che i valori che stanno sopra di loro non sono compresi tra quelli che sono soluzioni delle disequazioni; i cerchietti pieni ( ) invece corrispondono ai segni o delle disequazioni e indicano che i valori che stanno sopra di loro sono inclusi tra le suddette soluzioni. Per quanto è stato detto nella premessa di questo, essendo la (1) 0 i due termini della stessa devono essere di segno opposto perché la disequazionde sia soddisfatta. 100

101 Avendo però supposto che entrambi i termini della frazione siano > 0, nello schema sopra tracciato si dovranno considerare accettabili soltanto gli intervalli in cui Numeratore e Denominatore hanno, uno la linea continua, l altro la linea tratteggiata, ai quali corrisponde nella riga inferiore il segno - Si può quindi concludere che la disequazione data è soddisfatta per 3/5 x < Disequazioni fratte e disequazioni intere di grado superiore al primo, riconducibili al primo grado, mediante scomposizione in fattori Viene esposto qui di seguito un metodo per la risoluzione delle disequazioni fratte e per quelle di grado superiore al primo, qualora la disequazione possa essere scritta con il second0 membro = 0 e con il primo che sia un prodotto di fattori Il metodo suddetto permette di risolvere le disequazioni del tipo: (ax + b) / (cx + d) m> 0 (ax + b) (cx + d) (mx + q) 0 (ax + b) (cx + d) / (mx + q) < 0 ecc. Per risolvere questi tipi di disequazioni, nelle quali per semplicità si suppone sia presente solamente l incognita x,. conviene seguire ll procedimento descritto al 199 N.B Lo schema relativo al Numeratore ed al Denominatore delle disequazioni fratte tiene conto sia delle rette continue che di quelle tratteggiate Es. Risolvere la disequazione frazionaria x + 2 > 1 - x 2-2x Trasportando tutti i termini al primo membro e riducendo allo stesso denominatore si ottiene x 2 + 4(1 x) (3 + x) > 0 > 0 (1) 1 - x 2(1 x ) 2(1 x) Moltiplicando entrambi i membri della disequazione per 2 ( > 0) si ottiene 3-5 x > x Si studia ora il segno del Numeratore e del Denominatore risolvendo le disequazioni che si originano ponendoli entrambi maggiori di zero N = 3-5x > 0 x < 3/5 D = 1 - x > 0 x < 1, Si traccia ora il solito schema con le rette orientate 3/5 1 Si dovranno accettare le soluzioni comprese N O negli intervalli in cui entrambe le rette, cioè quella del Numeratore e quella del Denominatore, D O sono continue oppure entrambe tratteggiate Questi intervalli corrispondono ai segni + segnati al di sotto delle due rette Pertanto le soluzioni della disequazione fratta data sono: x < 3/5 e x > 1 101

102 6.15 Disequazioni irrazionali Prima di iniziare lo studio delle disequazioni irrazionali è opportuno ricordare due princìpi delle diseguaglianze tra numeri, che sono stati esposti nel 6.12 n 11) a) Se a e b sono numeri positivi o nulli e se 2n è un generico numero pari, ( n = numero naturale, escluso lo zero) si ha a < b a 2n < b 2n ( a, b sono numeri naturali, escluso lo zero) Dalla diseguaglianza 3 < 4 si deduce 3 2 < 4 2 cioè 9 < 16 Viceversa da 9 < 16 cioè 3 2 < 4 2 si deduce 3 < 4. Questo principio è valido se a > 0 e b > 0; in caso contrario potrebbe non valere. Ad es. è -4 < 3 ma non è (-4) 2 < (-3) 2 cioè non è 16 < 9 Ancora un es. Mentre è vera la diseguaglianza (-2) 2 < (-3) 2 cioè 4 < 9, non è vera la disequazione -2 < -3 b) Se invece a e b sono due generici numeri reali e se si indica con 2n +1 un generico numero dispari ( n = c.s.), si ha a < b a 2n+1 < b 2n+1 ( a, b sono numeri reali) Dalla disequazione 2 < 3 si deduce 2 3 < 3 3 cioè 2 < 3 Il principio vale anche se a e b sono discordi o entrasmbi negativi -2 < 3 (-2) 3 < (-3) 3 cioè -8 < 27 e viceversa -3 < -2 (-3) 3 < (-2) 3 cioè -27 < -8 e viceversa Una disequazione in un incognita si dice irrazionale quando in essa compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Nel seguito verranno trattati solo casi di disequazioni irrazionali contenenti radicali quadratici o cubici. Ovviamente i radicali presenti devono esistere e quindi, se vi sono dei denominatori, questi devono essere 0 Per risolvere una generica disequazione irrazionale contenente radicali quadratici, si cerca di trasformarla in una razionale, mediante opportuni elevamenti al quadrato di entrambi i membri della disequazione. Per quanto affermato al 201- a) occorre tener presente che l innalzamento al quadrato di entrambi i membri di una disequazione si può fare solo se entrambi i membri sono positivi. La nuova disequazone è equivalente a quella data, ma solo nel dominio della disequazine data. Es. Risolvere la disequazione x 3 < 4 Perché il radicale esista deve essere x Il 4 a secondo membro è senz altro positivo, quindi i due membri della disequazione possono essere elevati al quadrato. Si può quindi scrivere il sistema x x 3 x 3 < 4 3 x < 19 x.- 3 < 16 x <

103 Es. Risolvere la disequazione 2 3x > 4x - 1 Se le condizioni di esistenza dei radicali sono soddisfatte, entrambi i membri della disequazione sono positivi e pertanto possono essere elevati al quadrato. Risulta così il sistema 2 3x 0 x 2/3 4x 1 0 x 1/4 2 3x > 4x - 1 x < 3/7 A questo punto si può tracciare il solito schema con i capisaldi 1/4; 3/7; 2/3 Capisaldi ¼ 3/7 2/3 Prima disequazione Seconda disequazione Terza disequazione L intervallo delle soluzioni della disequazione data è quello in cui sono presenti tre tratti di retta continua cioè l intervallo che ha per estremi 1/4 e 3/7 Quindi le soluzioni del sistema di tre disequazioni irrazionali equivalenti alla disequazione irrazionale data, sono 1/4 x < 3/7 Si esaminano ora dei tipi particolari di disequazioni irrazionali. Si devono considerare 3 Casi nei quali per semplicità il numero n, indice delle radici presenii nella disequazione da risolvere, può assumere solo i valori 2 o 3 1 caso Se la disequazione è della forma f(x) < g(x) e - se n è dispari, si elevano i due membri della disequazione alla n-sima potenza e si discute la disequazione razionale f(x) < [ g(x) ] n - se n è pari, le soluzioni della disequazione sono quelle del sistema f(x) < g(x) ] n g(x) > 0 f(x) 0 (CE) NB Nel caso di disequazioni irrazionali del tpo f(x) > oppure < a (dove a è un numero positivo), si deve: 1 verificare che la CE (f(x) 0) sia soddisfatta; 2 risolvere la disequazione come u na normale disequazione razionale Es Risolvere la disequazione irrazionale x 3 < 1 2 x n dispari = 3 103

104 Si eleva al cubo e si ottiene, dopo le opportune riduzioni, P(x) = 2 x 2 x 1 > 0 Le radici di P(x) = 0 sono x 1 = -1/2 x 2 = 1 che sono reali, quindi > 0 Il trinomio è > 0, a > o quindi: si devono prendere i valori esterni all intervallo delle radici cioè x < -1/2 e x > 1 Es. Risolvere la disequazione irrazionale x 2 4 x + 3 < 3 2 x n pari = 2 In questo caso si risolve il sistema: 1^ diseq. x 2 4 x + 3 < (3 2 x) 2 2^ diseq. 3 2 x > 0 3^ diseq, x 2 4 x + 3 r 0 La 1^ disequazione è equivalente a 3 x 2 8 x + 6 > 0 ( di secondo grado. V. il 205) E < 0, il trinomio è > 0, a > 0 quindi la disequazione è sempre soddisfatta La 2^ disequazione è soddisfatta per x < 3/2 La 3^ disequazione è soddisfatta per x 1 e x 3 Si costruisce lo schema con i capisaldi 1, 3/2, 3 1 3/2 3 1^ diseq. 2^ diseq. 3^ diseq. Dallo schema risulta che la disequazione data è soddisfatta per x 1 2 caso n Se la disequazione è della forma f(x) > g(x) e se n è dispari, intero, si elevano i due membri della disequazione alla n-sima potenza e si discute la disequazione razionale f(x) > [ g(x) se n è pari, intero, le soluzioni della disequazione sono quelle dei due sistemi g(x) < 0 g(x) 0 A e B f(x) 0 f(x) > g)x) 2 N.B I risultati dei due sistemi vanno poi inseriti graficamente su una sola retta-- Es, Risolvere la disequazione irrazionale x 2-3x + 2 > x - 5 n pari = 2 Le soluzioni della disequazione sono quelle dei due sistemi A e B 1 a x 5 < 0 3 a x 5 2 a x 2 3 x a x 2 3 x + 2 > (x 5) 2 104

105 La 1^ disequazione è verificata per x < 5 La 2^ disequazione è verificata per x 1 e x 2 Lo schema corrispondente, con i capisaldi 1, 2, ^ diseq. o 2^ diseq. + + mostra che il sistema A è soddisfatto per x 1 e 2 x < 5 La 3^ disequazione è verificata per x 5 La 4^ disequazione è verificata per x > 23 / 7 Lo schema corrispondente, con i capisaldi 23 / 7, 5 23 / 7 5 3^ diseq. 4^ diseq. o mostra che il sistema B è soddisfatto per x 5 Riunendo i risultati ( v. N.B. sopra) si conclude che la disequazione data è soddisfatta per x 1 x 2 3 caso In questo caso entrambi i membri della disequazione comprendono dei radicali, come ad es. f(x) < g(x). Per la condizione di realtà devono essere f(x) > 0 e g(x) > 0. Quindi, essendo entrambi i membri positivi, si possono elevare al quadrato, senza pericolo di errore, ambedue i membri. Ne consegue la terza condizione f(x) < g(x) Es. Risolvere la disequazione irrazionale x + 2 > 8 - x Le condizioni da considerare sono le seguenti x + 2 > 0 x > -2 8 x > 0 x < 8 x + 2 > 8 x x > 3 La soluzione della disequazione è quindi: 3 < x < 8, come risulta dallo schema, del quale bisogna scegliere, come intervallo delle soluzioni, quello in cui sono presenti tre tratti continui di retta. Es. Risolvere la disequazione irrazionale x + 2 x > x 2-9 Si devono considerare le condizioni x > 0 x> 0 2 x > 0 x < 2 x 2--_ - 9 > 0 x < - 3 e x > 3 105

106 Le condizioni sopra evidenziate sono tra loro incompatibili, per cui non esiste nessuna soluzione della disequazione data, come appare dallo schema, nel quale non c è un intervallo delle soluzioni comprendente tre tratti di retta continui Disequazioni di primo grado in due variabili Sia data la retta r. di equazione y = mx + q, alla quale appartiene il punto P 0 (x 0 ; y 0 ) (x 0 ; mx 0 + q). Sono dati anche due punti: P 1 (x 0 ; y 1 ) e P 2 (x 0 ; y 2 ) aventi la stessa ascissa di P 0 e le ordinate y 1 < y 2. Tutti questi elementi giaccioni sullo stesso piano. Indicando con S 1 ed S 2 i due semipiani che hanno per origine la retta r e che sono situati, rispettivamente, a destra ed a sinistra della retta r, il punto P 1 si trova in S 1 e P 2 in S 2. Poiché y 1 < y 0 e y 2 > y 0, si può scrivere, ricordando le coordinate di P 0,, y 1 < mx 0 + q e y 2 > mx 0 + q Generalizzando si può affermare che le due disequazioni y < mx + q e y > mx + q sono soddisfatte dalle coordinate (x ; y) dei punti del piano che appartengono, rispettivamente, ad S 1 ed a S 2. Le disequazioni y mx + q e y mx+ q a differenza delle precedenti comprendono anche i punti della retta r. Si considerano ora una retta r parallela all asse y, avente equazione x 0 = h (costante) ed i due semipiani S 1 ed S 2 di cui r è l origine, situati, rispettivamente, a sinistra ed a destra di r. Il punto P 1 soddisfa la disequazione x < h (x h < 0) Il punto P 2 soddisfa la disequazione x > h ( x h > 0) Le disequazioni x h 0 e x h 0 differiscono dalle precedenti perché includono anche i punti della retta r Per quanto è stato detto nei punti precedenti si può affermare che le due disequazioni (1) ax + by + c 0 e ax + by + c 0 (2) sono soddisfatte dai punti dei semipiani aventi per origine comune la retta t la cui equazione è ax + by + c = 0 Se b > 0 la (1) è soddisfatta dai punti del semipiano situato dalla parte delle y crescenti e la (2) dal semipiano opposto; viceversa per b < 0, Invee per b = 0 (ax + c 0 oppure ax + c 0) che significa che la retta t è parallela all asse y ( x -c/a e x -c/a) e ad es. a > 0, la (1) è soddisfatta dai punti del semipiano situato nella direzione delle ascisse crescenti e la (2) dai punti del semipiano opposto. Per decidere però quale dei due semipiani è quello i cui punti soddisfano la disequazione in esame, è più semplice considerare un qualunque punto P (x p ;y p ) del piano, esterno a t, (ad es. l origine, se c è 0). Una volta che si è stabilito se il numero ax + by + c è positivo o negativo, si decide se l punti del piano contenente P soddisfano o no la disequazione in esame. 106

107 Es. La disequazione 2 y > (1/2) x + 3/4 equivale a 2x + 4y 5 < 0 E soddisfatta dai punti di uno dei due semipiani avente come origine la retta t di equazione 2x + 4y 5 = 0 (punti di t esclusi).poiché l origine O (0 ; 0) non appartiene a t e poiché è < 0 il semipiano in questione è quello che contiehe l origine, cioè quello situato dalla parte delle ordinate decrescenti. Es. Le due disequazioni -3x 5 e 1 + 4y > 2y 3 equivalgono, rispettivamene, a x -5/3 e y > -2 La prima è soddisfatta dai punti del semipiano, originato dalla retta parallela all asse y di equazione x = -5/2, che è situato alla destra di questa; la seconda è soddisfatta dai punti del semipiano originato dalla retta parallela all asse x di equazione y = -2 (punti della retta esclusi), situato al di quà di tale retta 6.17 Disequazioni di primo grado con espressioni contenenti l incognita in valore assoluto Occorre, innanzitutto chiarire brevemente il significato di valore assoluto o modulo di un generico numero reale (V. anche il 5) E x per x 0 x = -x per x < 0 Qualsiasi numero, positivo o negativo, diverso da zero, ha il valore assoluto posifivo Se x = +2 > 0 sarà x = +2 = 2 Se x = -2 < 0 sarà x = -2 = 2 Ovviamente i numeri opposti hanno lo stesso modulo --5 = +5 = 5 x = -xt a b = b a ecc. La risoluzione di questo tipo di disequazioni si può fare in modi diversi. Per gli esempi che seguono viene scelto il metodo in base al quale l espressione in valore assoluto viene esaminata sotto i due aspetti: > 0 e < 0, come si può vedere qui di seguito Es. Sia da risolvere la disequazione 3 + 2x < 4 (1) Si considerano due alternative: cioè quella con l espressione tra le barre del valore assoluto, supposta > 0 e quella con la medesima espressione supposta < 0 Se 3 + 2x > 0 Se 3 + 2x < 0 La (1) si può scrivere così 3 + 2x - 4 < x + 4 > 0 2x - 1 < 0 x < 1/2 2x + 7 > 0 x > -7/2 Pertanto le soluzioni della disequazione data sono - 7/2 < x < 1/2 107

108 1 - x Es. Sia da risolvere la disequazione < 1 (2) 2 + x Anche in questo caso si considerano le due alternative:: espressione in valore assoluto > 0 o < x 1 - x > 0 < x 2 + x La (2) si può quindi scrivere nel modo seguente 1 - x 1 - x - 1 < > x 2 + x 1 - x x 1 - x x < 0 > x 2 + x -2x < 0 > x 2 + x Si studiano ora i segni dei Numeratori e dei Denominatori delle disequazioni fratte delle due alternative, ponendoli > 0 N = -2x 1 > 0 x < -1/2 N = 3 > 0 S.V. D = 2 + x > 0 x > -2 D = 2 + x > 0 x > - 2 Seguono i relativi schemi N D -2-1/2-2 N D Per lo schema di sinistra si devono prendere le soluzioni comprese negli intervalli con il segno - perché il segno di diseguaglianza della relativa disequazione è < 0.il che significa che Numeratore e Denominatore hanno segno opposto e non sono quindi entrambi > o, come si era supposto. Per lo schema di destra si devono invece prendere le soluzioni comprese nell intervallo con il segno + perché il segno di diseguaglianza della relativa disequazione è > 0 Le soluzioni delle due disequazioni sono quindi x < -2 e x > -1/2 x >

109 Lo schema riassuntivo che fornisce le soluzioni della disequazione data è il seguente -2-1/ Si devono accettare le soluzioni dell intervallo con il segno + e quindi la disequazione (2) è soddisfatta per x > -1/ Disequazioni del tipo f(x) > o < k ( con k > 0) Vengono prese in considerazione le due disequazioni f(x) < k e f(x) > k in cui k è un numero reale positivo e f(x) una espressione nella variabile x. Si devono esaminare separatamente i due casi. 1 caso Da f(x) < k si deduce -k < f(x < k. Infatti,. Ricordando la definizione di valore assoluto ( V. inizio del * precedente) la disequazione f(x) < k equivale ai due sistemi f(x) 0 f(x) < 0 e f(x) < k - f(x) < k f(x) > --k Cioè o < f(x) < k e --.k < f(x) < 0 --k < f(x) < k Riassumendo f(x) < k --k < f(x) < k ( con k > 0) (1) Va notato che risolvere la relazione --k < f(x) < k equivale a risolvere il sistema f(x) < k (2) f(x) > --k (3) Se si indica con S 1 l insieme delle soluzioni della (2) e con S 2 quello della (3), l insieme delle soluzioni della f(x) < k, con k numero reale positivo, è dato da S = S 1 + S 2 2 caso Da f(x) > k si deduce f(x) < --k e f(x) > k Infatti, analogamente a quanto esposto nel 1 caso, la disequazione f(x) > k dà luogo ai due sistemi f(x) 0 f(x) < 0 e f(x) > k --f(x) > k f(x) < --k 109

110 rispettivamente equivalenti alle relazioni f(x) > k e f(x) < --k Riassumendo f(x) > k f(x) < --k e f(x) > k (con k > 0) (4) Se si indica con S 1 l insieme delle soluzioni della disequazione f(x) < --k e con S 2 quello delle soluzioni della disequazione f(x) > k, l insieme delle soluzioni della disequazione f(x) > k con k numero reale positivo è dato da S = S 1 + S Disequazioni intere di secondo grado ed alcuni esempi di risoluzione Le disequazioni di secondo grado possono esserer ricondotte ad una delle forme seguenti, dette forme normali o canoniche: ax 2 + bx + c > 0 ; ax 2 + bx + c 0 ; ax 2 + bx + c < 0 ; ax 2 + bx + c 0 Verranno considerate soltanto disequazioni ad una sola incognita. Prima di iniziare lo studio delle disequazioni di secondo grado occorre ricordare le norme relative al segno del trinomio f(x) = ax 2 + bx + c esposte nel Occorre ricordare innanzitutto che se x 1 ed x 2 (con x 1 < x 2 ) sono le radici di f(x) = 0, il trinomio dato si può scrivere f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ). Qui sotto vengono riportate le tre regole relative all equazione ax 2 + bx + c = 0, corrispondenti alle tre forme che può assumere il discriminante di tale disequazione: positivo, nullo, e negativo. 1 Ogni trinomio di secondo grado con discriminante positivo assume valori uguali a quello del suo primo coefficiente, quando alla variabile x si attribuiscono valori esterni all intervallo delle radici. Assume invece valori contrari a quello del suo primo coefficiente se si attribuiscono alla x valori interni all intervallo delle radici. Si annulla se alla x si danno i valori x 1 ed x 2 2 Ogni trinomio di secondo grado con discriminante nullo assume valori di segno uguale a quello del suo primo coefficiente, qualunque sia il valore attribuito alla variabile x, tranne che per x = x 1 = x 2 per cui esso si annulla. 3 Ogni trinomio di secondo grado con discriminante negativo ha sempre il segno del suo primo coefficiente e non si annulla mai. Le considerazioni che precedono sono utili per risolvere le disequazioni di secondo grado: basta infatti osservare il segno del primo cefficiente ed il senso della disequazione per decidere quali siano i valori che si devono attribuire all incognita affinché la disequazione stessa sia verificata. Seguono alcuni esempi di risoluzione di disequazioni di secondo grado Es Risolvere la disequazione f(x) = 2 x 2 x 1 > 0 = = 9 > 0 il trinomio è > 0 a = 2 > 0 110

111 Le radici dell equazione f(x) = 0, reali e distinte, sono x 1 = -1/2 e x 2 = 1. L intervallo delle radici è quindi (-1/2 ; 1) I segni del trinomio e di a sono uguali (>0), quindi per soddisfare la disequazione occorre attribuire alla variabile x valori esterni all intervallo delle radici, cioè -1/2 1 x < -1/2 e x > 1 Es. Sia da risolvere la disequazione. f(x) = 3 x 2 5 x x x = = 1 > 0 il trinomio è < 0 a = 3 > 0 Le radici dell equazione f(x) = 0, reali e distinte, sono x 1 = 2/3 e x 2 = 1. L intervallo delle radici è pertanto (2/3 ; 1) I segni del trinomio e di a sono diversi, quindi, per soddisfare la disequazione data si devono attribuire ad x valori interni all intervallo delle radici, cioè 2/3 1 2/3 x 1 x Es Risolvere la disequazione. f(x) = 4 x 2 12 x + 9 > 0 = = 0 il trinomio è > 0 a = 4 > 0 Le radici dell equazione f(x) = 0 sono reali e coincidenti e valgono x 1 = x 2 = 3/2 Dovendo il trinomio del primo membro avere il segno del suo primo coefficiente, la disequazione è soddisfatta per qualunque valore di x, eccetto che per x = 3/2 per cui il trinomio si annulla (Si deve tenere presente che la f(x) è > 0 e non 0) Es. Risolvere la disequazione f(x) = -x x 25 > 0 = = 0 il trinomio è > 0 a = -1 < 0 Le radici della disequazione f(x) = 0 sono reali, coincidenti e valgono x 1 = x 2 = 5 Il trinomio ed il suo primo coefficiente dovrebbero avere valori di segno uguali. (V. regola n 2) Essendo invece diversi i segni de l trinomio e di a, la disequazione non è mai soddisfatta Es. Risolvere la disequazione f(x) = x 2 2 x + 17 > 0 = 1 17 = -16 < 0 il trinomio è > 0 a = 1 > 0 Essendo uguali i segni del trinomio e di a, la disequazione è soddisfatta per qualunque valore di x 111

112 Es. Sia da risolvere la disequazione f(x) = -x x 29 > 0 = 4 29 = -25 < 0 il trinomio è > 0 a = -1 < 0 Essendo diversi i segni del trinomio e di a, la disequazione non è mai soddisfatta 6.20 Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado Come si era già detto al 6.1 relativo alla risoluzione grafica di una disequazione di primo grado, una disequazione intera di secondo grado si può sempre trasformare in modo che il primo membro sia un polinomio ed il secondo membro sia zero. Dovendo risolvere graficamente una disequazione opportunamente ridotta alla forma canonica ax 2 + bx + c > 0 (1) la si può trasformare nel sistema misto (cioè formato da una equazione e da una disequazione), equivalente alla (1) y = ax 2 + bx + c y > 0 L equazione presente nel sistema sopra riportato rappresenta una parabola (V.il Compendio di Geometia Analitica) e la disequazione y > 0, il semipiano positivo delle y, I punti della parabola che soddisfano il sistema sono tutti quelli che giacciono nel suddetto semipiano. Dato che il segno della (1) è > e non i punti in cui la parabola interseca l asse x non sono soluzioni del sistema.. Analogo il ragionamento se la (1) anziché avere il segno > 0 avesse il segno < 0 Es. Si risolva graficamente la seguente disequazione x 2-6x + 7 > 0 (3) Prima operazione da fare è trasformare la disequazione data nel sistema misto y = x 2-6x + 7 y > 0 y La parabola rappresentata dall equazione del sistema y > 0 misto interseca l asse x nei due punti in cui y = 0, che sono ovviamente le soluzioni dell equazione ottenuta uguagliando a zero la (3) x Le ascisse di questi punti sono x = 3 ± 2 Il vertice V della parabola ha le coordinate (3, -2) -2 V La soluzione del sistema, e pertanto della disequazione (3), è data dai due rami della parabola che giacciono nel semipiano positivo delle ordinate e che hanno origine nei punti (3-2 ; 0) e (3 + 2 ; 0) che però non sono soluzioni del sistema né della disequazione perché la (3) ha il segno > e non 6.21 Disequazioni razionali fratte di secondo grado Es. Si debba risolvere la seguente disequazione frazionaria di secondo grado x - 2 3x

113 Come è stato già detto precedentemente, occorre portare tutti i termini della disequazione al primo membro lasciando solo lo zero al secondo. Dopo qualche passaggio si ottiene: 3x 2 12x + 7 (x 2)(3x 1) 0 Si deve ora studiare il segno del Numeratore e del Denominatore. Per fare questo si suppone che entrambi siano > 0 Il Numeratore che, fatto uguale a zero, diventa una equazione di secondo grado, ha le 6 ± 15 soluzioni x = 3 Poiché il Numeratore è stato supposto > 0 e poiché il coefficiente di x 2 = 3 > 0, per la regola del segno del trinomio ( v. 6.19), si devono prendere le soluzioni esterne all intervallo delle radici e quindi N x < x > 3 3 Il Denominatore ha, come si può vedere immediatamente, le soluzioni x = 2 e x = 1/3 Anche per il Denominatore, che è stato supposto > 0, essendo il coefficiente di x 2 è = 3 > 0 vale la regola, già ricordata all inizio del precedente, di accettare come soluzioni quelle esterne all intervallo delle radici, per cui risulta: D x < 1/3 e x > 2 Si può quindi tracciare il solito schema 1/3 (6-15)/3 2 (6 + 15)/3 N D O Essendo la disequazione data 0 le soluzioni sono quelle, comprese negli intervalli dello schema, che hanno le linee di tipo diverso, cioè linea continua con linea tratteggiata e viceversa, contrassegnati con il segno - Pertanto le soluzioni sono 1/3 < x (6-15)/3 e 2 < x (6 + 15)/3 Es. Risolvere la disequazione fratta di secondo grado x 2 x x 2 - x(x 2) 2(x 2) (x 2) 2 x - 2 (x 2) 2-2x x 8 0 x 2 5x x 4 x 2 x 2 con x 2 113

114 Si considera ora il caso più generale. Per prima cosa conviene trasportare tutti i termini nel primo membro, eseguendo poi le operazioni indicate fino ad ottenere una disequazione del tipo (1) A/B > 0 Oppure A/B < 0 ecc essendo A e B dei polinomi in una o più variabili. Esistono due metodi per risolvere una disequazione razionale fratta ridotta alla forma (1) 1 metodo x 2 3x - 10 Sia data la disequazione fratta x x 2 3x 10 x 2-3x 10 0 x 2 3x e 2 x 2 x < 0 2 x < 0 (x -2) e ( x 5) -2 x 5 e (x 5) e ( -2 x < 2) x > 2 x < 2 2 metodo (Stessa disequazione) Numeratore 0 per (x -2) e (x 5) Denominatore > 0 per x < 2 Tenuto conto che, essendo il segno di diseguaglianza della disequazione 0, la disequazione stessa è soddisfatta quando Numeratore e Denominatore sono discordi. Per trovarne le soluzioni si può fare ricorso al solito schema capisaldi Numeratore 0 Denominatore > Per quanto è stato appena detto gli intervalli delle soluzioni sono quelli contraddistini dai segni -, nei quali, appunto il Numeratore ed il Denominatore sono discordi Pertanto si può concludere che la disequazione data è soddisfatta per -2 x < 2 e x Disequazioni razionali in più variabili, di grado superiore al secondo, risolubili per scomposizione in fattori Sia P(x) > 0 (o P(x ) < 0, ecc) una disequazione in una sola variabile x, in cui P(x) è un polinomio di grado n rispetto alla variabile x La risoluzione della suddetta disequazione non presenta grandi difficoltà se si riesce a scomporre P(x) in fattori di primo o di secondo grado. 114

115 E solo necessario stabilire, utilizzando i soliti schemi, come varia il segno di ciascun fattore al variare di x nel suo insieme di definizione o dominio, per giungere, per confronto, a stabilire come varia il segno di P(x) 1 Esempio (2x 1)(x 2 4)(x + 20 x 2 ) 0 Ponendo tutti i fattori 0 risulta 2x 1 0 per x ½ x per x -2 e x 2 -x 2 + x per -4 x 5 Segue lo schema solito Capisaldi -4-2 ½ 2 5 2x 1 0 x > 1/2 x x<-2 x>2 -x 2 + x <x<5 Segno drl prodotto I segni + e - dell ultima riga dello schema sono stati ottenuti tenendo conto della regola relativa ai segni di un prodotto tra fattori positivi e negativi. Tenendo presente che il segno di diseguaglianza della disequazione data è 0, occorre scegliere tra gli intervalli delle soluzioni quelli in cui il segno del prodotto è - Le soluzioni della disequazione sono quindi -4 x -2 e ½ x 2 e x > 5 2 Esempio 4(x 2 + x + 5)(2x - 3) 2 (3 x) 0 (x + 2) 3 (x 6) Va notato che a) 4(x 2 + x + 5) è sempre positivo (segno del primo coefficiente del trinomio) per ogni valore reale di x, perché il discriminante del trinomio x 2 + x + 5 è negativo (regola n 3 del 6.19 ); quindi è poss ibile dividere entrambi i membri della disequazione per 4(x 2 + x + 5) b) (2x - 3) 2 è positivo per ogni x appartenente ai numeri reali, eccetto il valore 3/2 per cui esso si annulla. Si può quindi dividere entrambi i membri della disequazione per (2x - 3) 2, tenendo conto che la disequazione stessa è soddisfatta per x = 3/2 c) (x + 2) 3 ed x + 2 hanno lo stesso segno per ogni x appartenente ai numeri reali, quindi nella disequazione si può sostituire (x + 2) 3 con x + 2 Effettuando le semplificazioni sopra indicate la disequazione diventa 3 - x 0 e x = 3/2 (x + 2)(x 6) La frazione del primo membro della disequazione è 0 il che significa che Numeratore e Denominatore hanno lo stesso segno 115

116 Quindi anche il prodotto del Numeratore per il Denominatore deve essere 0 per cui si può scrivere (3 x)(x + 2)(x 6) 0 e x = 3/2 x -2 ; x 6 Le limitazioni x -2 e x 6 sono dovute al fatto che (x + 2) e (x 6), essendo fattori del Denominatore, non possono annullarsi. Ponendo 0 i tre fattori della disequazione scritta qui sopra si ottiene 3 x 0 per x 3 x + 2 > 0 per x > -2 (deve essere x -2) x 6 > 0 per x > 6 ( deve essere x 6) Capisaldi -2 3/ x 0 x x 6 0, Segno del prodotto Poiché il segno di diseguaglianza della disequazione è 0, bisogna sceglierei gli intervalli delle soluzioni che hanno il segno del prodotto + Le soluzioni della disequazione data sono quindi x < -2 e x = 3/2 e 3 x < Disequazioni binomie Detto m un numero reale positivo,sussistono le identità (V. 3.3) x 3 m = (x - 3 m) (x m x + 3 m 2 ) x 3 + m = (x + 3 m) (x 2-3 m x + 3 m 2 ) (1) I trinomi a secondo membro, avendo il discriminante negativo ed il 1 coefficiente positivo, sono positivi per ogni valore di x appartenente ai reali. Quindi le disequazioni x 3 m > 0 e x 3 + m > 0 sono rispettivamente equivalenti alle disequazioni x 3-3 m > 0 e x m > 0 e sono quindi ordinatamente soddisfatte per x > 3 m x > - 3 m Analoghe considerazioni si possono fare se si sostituisce al segno > uno degli altri segni di diseguaglianza. Allo stesso modo si risolvono tutte le disequazioni binomie (cioè riconducibili alla forma x n > = < 0 ) di grado dispari Ad es. è x per x 5 7 ; 2x < 0 per x < - 7 3/2 Vengono ora prese in esame le disequazioni binomie di quarto grado Se m è un numero reale positivo, delle due disequazioni, analoghe alle (1) ma esponente pari x 4 + m > 0 x 4 + m < 0 116

117 La prima è soddisfatta per ogni x appartenente ai reali, mentre la seconda non è soddisfatta da alcun valore di x. Per quanto riguarda le disequazioni x 4 - m > 0 x 4 - m < 0 tenendo presente che è x 4 m = (x 2 - m) (x 2 + m) si può affermare che esse sono rispettivamente equivalenti alle disequazioni di secondo grado x 2 - m > 0 x 2 - m < 0 e sono quindi ordinatamente soddisfatte per x < 4 m e x > 4 m - 4 m < x < 4 m In modo analogo si risolvono tutte le disequazioni binomie di grado pari Ad es. si ha x < 0 per nessun valore reale di x 2x per ogni valore di x appartenente ai reali x 6-2 > 0 per x < x > Disequazioni trinomie (Disequazioni biquadratiche) Si dice trinomia ogni disequazione in una variabile (ad es. x) riconducibile alla forma (1) f(x) = ax 2n + bx n + c >=< 0 (a= numero reale, zero esluso; b, c = numeri reali; n = numero naturale, zero escluso) Se n = 2 la disequazione si dice biquadratica. Per risolvere la (1) si deve studiare il segno del trinomio f(x), facendo riferimento al discriminante = b 2 4ac. Come al solito si devono considerare tre casi 1 caso Se > 0 f(x), intesa come trinomio di secondo grado rispetto alla variabile x n,,,,, ammette due radici: α e β, reali e distinte, e sussiste l identità ax 2n + bx n + c = a(x n α)(x n β) La (1) si risolve quindi tenendo presenti le considerazioni esposte nei precedenti 2 caso Se = 0 3 caso f(x) ammette due soluzioni, reali e coincidenti, x n = α, e sussiste l identità ax 2n + bx n + c = a(x n α) 2 Quindi il trinomio f(x) assume lo stesso segno di a per ogni x reale, escluso α, per cui si annulla Se < 0 non esiste nel campo reale alcun valore di x n che annulli f(x). Per cui f(x) assume lo stesso segno di a per ogni possibile valore di x n e quindi per ogni valore reale di x (V. 6.19) Es, Sia da risolvere la disequazione trinomia 4x 4-13x Il trinomio del primo membro ammette, rispetto alla variabile x 2, le due radici 1 e 9/4 La disequazione data può essere quindi scritta nella forma a(x 2 1)(x 2 9/4) 0 E x per x -1 e x 1 e analogamente è x /4 0 per x < -3/2 e x 3/2 117

118 Con l aiuto dello schema che segue Capisaldi -3/ /2 x x 2 9/4 0 Segno del prodotto si può concludere che la disequazione data è soddisfatta per x -3/2 e -1 x 1 e x 3/2 Es. Risolvere la disequazione trinomia x 8 x 4 6 < 0 Il trinomio del primo membro ha due radici -2 scritta nella forma (x 4-3)(x 4 + 2) < 0 Essendo e 3 per cui la disequazione può essere x positivo per ogni x reale, la precedente disequazione si riduce a x 4 3 < 0 (Infatti la divisione della disequazione per un numero positivo non fa cambiare il segno di diseguaglianza) Essa è quindi soddisfatta per < x < Disequazioni di secondo grado con espressioni di x prese ln valore assoluto Per la definizione di valore assoluto si rimanda al 6.17 Seguono alcuni esempi delle disequazioni più comuni con valori assoluti 6.25 a) Disequazioni razionali intere con valori assoluti 1 Esempio Sia data la disequazione x 2 3x + 2 < 4 + x (1) Si devono esaminare due alternative Se x 2 3x + 2 > 0 Se x 2 3x + 2 < 0 la (1) si può scrivere semplicemente occorre cambiare i segni della espressione in valore assoluto x 2 3x + 2 < 4 + x cioè per farla diventare positiva e quindi scrivere la (1) così - x 2 + 3x 2 > 4 + x che è soddisfatta per cioè x 2 2x + 6 > x che, avendo il < 0, è sempre soddisfatta Si traccia lo schema con i capisaldi

119 e si conclude che la disequazione data (1) è soddisfatta per 2-6 x Esempio Sia data la disequazione x 2 8x + 10 > 3 (2) Anche in questo caso si devono considerare due alternative Se x 2 8x +10 > 0 Se x 2 8x + 10 < 0 si può scrivere la (2) semplicemente x 2 8x + 10 > 3 cioè x 2 8x + 7 > 0 che è soddisfatta per si devono cambiare i segni della espressione in valore assoluto per farla diventare positiva e quindi scrivere la (2) così -x 2 + 8x 10 > 3 cioè x 2 8x + 13 < 0 che è soddisfatta per x 1 v x x A questo punto si costruisce lo schema con i capisaldi sottoindicati Da cui si conclude che la disequazione data (2) è soddisfatta per x x x 7 N.B. Lo schema è rappresentato da tratti continui su una sola riga perché la disequazione che si esamina è una sola alla volta, che si scompone in due per ragioni di calcolo. Invece nel caso di sistemi di disequazioni, di disequazioni frazionarie e di disequazioni con valori assoluti le disequazioni sono due ( o più, nel caso,ad es., di sistemi con tre disequazioni ) e quindi lo schema ha almeno due righe 6.25 b) Disequazioni razionali con più espressioni in valore assoluto Es. Sia data la disequazione x 2 - x + 1 > 0 Si noti che Condizioni di accettabilità x 2 può corrispondere a x 2 (A) se x 2 è > 0 x > 2 oppure a 2 x (B) se x 2 è < 0 x < 2 119

120 e similmente x + 1 può corrispondere a x + 1 (C) se x + 1 è > 0 x > -1 oppure a - x 1 (D) se x + 1 è < 0 x < -1 Combinando opportunamente le quattro espressioni A, B.C ; e D, tutte > 0, la disequazione data origina quattro disequazioni il cui confronto permette di determinare la soluzione di quella data Combinando: la (1) diventa: (A) con (C) x 2 (x + 1) > 0 x 2 x 1 > 0-3 > 0 il che è impossibile (A) con (D) x 2 (-x 1) > 0 x 2 + x + 1 > 0 2x 1 > 0 da cui si ricava la soluzione x > ½ che però non è accettabile perché in contrasto con la Condizione di accettabilità relativa ad (A) che è x > 2 (B) con (C) 2 x (x + 1) > 0 2 x x 1 > 0 1 2x > 0 da cui si ricava la soluzione x < 1/2, che è accettabile perché soddisfa entrambe le Condizioni di accettabilità relative a (B) ed a (C) che sono x < 2 e x > -1 (B) con (D) 2 x (- x 1) > 0 2 x + x + 1 >0 3 > 0 che è vera ma non è una disequazione in x Si può pertanto concludere che la (1) ha l unica soluzione x < 1/ c) Disequazioni razionali fratte con valori assoluti Es. Sia data la disequazione 2x 5 > 1 (1) x + 1 Si devono considerare due alternative 2x 5 > 0 2x 5 < 0 x + 1 x + 1 In questo caso la (1) si può scrivere In questo caso si devono cambiare i segni del numeratore della frazione in valore assoluto 2x 5 > 1 per farla diventare positiva x + 1-2x + 5 > 0 da cui x + 1 Quindi la (1) si può scrivere 2x 5 x - 1 > 0-2x + 5 x 1 > 0 x + 1 x + 1 x 6 > 0 cioè - 3x + 4 > 0 x + 1 x + 1 Si procede ora, come si è visto per le disequazioni frazionarie, supponendo che, sia il Numeratore che il Denominatore, siano > 0 120

121 N x 6 > 0 cioè x > 6 N - 3x + 4 > 0 cioè x < 4/3 D x + 1 > 0 x > -1 D x + 1 > 0 x > -1 Lo schema è il seguente Segue lo schema / Dallo schema risulta (si prendono i segni +) che le soluzioni Per questa alternativa per questa alternativa sono lo schema mostra che la soluzione è x < -1 e x > 6-1 < x < 4/3 Con lo schema riassuntivo seguente (che va tracciato su una sola riga v. N.B.al primo punto del 211 ) -1 4/3 6 si conclude che la disequazione data (1) è soddisfatta per x < -1-1 < x < 4/3 x > d) Disequazioni irrazionali con valori assoluti Si dice irrazionale ogni disequazione nella quale la variabile compare sotto qualche segno di radice Le disequazioni irrazionali includenti valori assoluti si risolvono ricordando le regole per la risoluzione delle disequazioni irrazionali e quelle delle disequazioni razionali con valori assoluti Es. Risolvere la disequazione (2 / x) + x + 1 < 1 (1) Prima di tutto bisogna verificare la realtà della radice x / x (a) (2 / x) + x x +1-2 / x da cui il sistema (2) x + 1 < 2/x (b) La (2a) equivale a (x 2 + x + 2) / x > 0 da cui 0 x 2 + x + 2 > 0 sempre soddisfatta x > 0 Ne deriva lo schema da cui si ricava la soluzione x > 0 121

122 x 2 + x 2 > 0 soddisfatta per La (2b) equivale a ( x 2 + x - 2 ) / x < 0 da cui x < -2 e x > 1 x > Lo schema è quindi: da cui (dovendosi considerare i segni - perché la disequazione è < 0 ) si deduce la soluzione x < -2 0 < x < Il sistema (2) ha quindi come soluzione x < -2 x > 0 che costituisce la condizione di esistenza (CE) Seguendo le regole delle disequazioni irrazionali (1 caso), la (1) si risolve risolvendo il seguente sistema (3) (2 / x) + x + 1 < 1 (a) 1 > 0 (b) (3) (2 / x) + x + 1 O (c) x + 1 < 1 ( 2 / x ) (a) La disequazione (3a) equivale a x + 1 < 1 (2 /x) (4) x + 1 > (2/x) - 1 (b) La (4a) equivale a (x ) / x < 0 che è soddisfatta per x < 0 x 2 + 2x 2 > 0 soddisfatta per La (4b) equivale a (x 2 + 2x 2) / x > 0 x<-1-3 x> x > Ne deriva lo schema dal quale (considerando i segni +) risulta la soluzione della (4b) -1-3 < x < 0 x > La soluzione del sistema (4), cioè della (3a), è data dallo schema seguente cioè -1-3 < x < 0 (4a) (4b) La disequazione (3b) è sempre soddisfatta La disequazione (3c) è la CE Il sistema (3) ha quindi come soluzione quella data dallo schema risultante, che è la soluzione della disequazione data 122

123 (3a) (3b) (3c) La disequazione (1) è quindi soddisfatta per -1-3 < x < -2 Es. Risolvere la disequazione 1 / x + x 2 x > 1 Si verifica innanzitutto la CE x 2 x > -x (a) x + x 2 x 0 x 2 x > -x da cui il sistema (5) x 2 x < x (b) La (5a) equivale alla x 2 > 0 che è sempre soddisfatta, tranne che per x = 0 La (5b) equivale alla x 2-2x < 0 che è soddisfatta per 0 < x < 2 La soluzione del sistema (5) schematicamente è 0 2 o o ossia x < 0 0 < x < 2 x > 2 (CE) Calcolata la CE si moltiplicano entrambi i membri della disequazione data per la radice e si ottiene in tal modo la disequazione irrazionale intera x + x 2 x < 1 Nuovamente si scrive il sistema formato da tre disequazioni (6), come nell esempio precedente x + x 2 x < 1 (a) 1 > 0 (b) (6) x + x 2 x 0 (c) Si calcolano le tre disequazioni separatamente x 2 x < 1 x (a) La (6a) si può scrivere x 2 x < 1 x da cui il sistema (7) x 2 x > x 1 (b) La (7a) equivale alla x 2-1 < 0 la cui soluzione è -1 < x < 1 La (7b) si può scrivere x 2-2x + 1 > 0 che, essendo il > 0, è sempre soddisfatta, tranne che per x = La soluzione del sistema (7) si ricava dallo schema -1 < x < 1 o La (6b) è sempre soddisfatta La (6c) è la CE La soluzione del sistema (6) si ottiene dallo schema ed è -1 < x < 0 0 < x < 1 123

124 7.1 SISTEMI DI DISEQUAZIONI Si chiama sistema di disequazioni razionali intere un insieme di due o più disequazioni, tutte nella stessa incognita, che debbono essere soddisfatte contemporaneamente Si dice che un numero è soluzione di un sistema di disequazioni, se, sostituito all incognita, trasforma tutte le disequazioni del sistema in diseguaglianze vere. Se anche una sola è falsa quel numero non è soluzione del sistema. Per risolvere un sistema di disequazioni si deve risolvere singolarmente ciascuna disequazione,cioè determinare gli intervalli delle soluzioni che soddisfano le varie disequazioni, quindi rappresentarle tutte in un unico schema mediante linee continue(corrispondenti agli intervalli che rappresentano soluzioni ) e linee tratteggiate (che non indicano delle soluzioni)..si dovranno assumere come soluzioni del sistema gli intervalli in cui sono presenti le linee continue di tutte le disequazioni del sistema. Nel seguente vengono presentati alcuni esempi di risoluzione di sistemi di diequzioni 7.2 Esempi di risoluzione di sistemi di disequazioni di primo grado Alcuni esempi dovrebbero chiarire quanto esposto nel precedente Es. Risolvere il sistema di disequazioni x + 1 x 1te - - > x 2 4 3x 1 2x - 1-1/3 3 6 Si risolve la prima disequazione 2(x + 1) (x 1) > 4x -3x > -3 x < 1 Si risolve la seconda disequazione 2(3x 1) (2x 1) 2 4x 3 x ¾ Per determinare l insieme delle soluzioni del sistema dato si fa ricorso allo schema solito Capisaldi ¾ 1 Prima disequazione o Seconda disequazione (Il circoletto vuoto sulla linea della prima dìsequazione, in corrispondenza del caposaldo 1, segnala che in quel punto tale disequazione ha il segno < e non, il che significa che il valore 1 non è soluzione della prima disequazione e quindi neppure del sistema. Il circoletto pieno sulla linea della seconda disequazione, in corrispondenza del caposaldo ¾, significa che in quel punto tale disequazione ha il segno, che vuol dire che il valore ¾ è incluso tra le soluzioni della seconda disequazione e pure del sistema) 124

125 In conclusione si può dire che il sistema dato è soddisfatto per ¾ x < 1 Es. Risolvere il sistema di disequazioni x x 0 2x 2 x - 1 > 0 Prima disequazione: E una disequazione fratta che va risolta come è stato esposto al 6.13 Si pongono Numeratore e Denominatore > 0 N x + 2 > 0 da cui x > -2 D 3 2x > 0 da cui x < 3/2-2 3/2 Dallo schema solito, qui a fianco, si deduce che la disequazione considerata, (dovendosi prendere l intervallo con il segno + perché la disequazione ha il segno,) è soddisfatta per -2 x < 3/ Seconda disequazione: E una disequazione razionale intera di secondo grado, che si può scomporre in un prodotto di fattori, Essendo -1/2 e 1 le radici dell equazione costituita dal primo membro eguagliato a zero, la disequazione in esame si può scrivere (2x + 1)(x 1) > 0 Poiché il prodotto dei due fattori tra parentesi è > 0, i due fattori devono avere lo stesso segno che si suppone positivo. Si può quindi scrivere 2x + 1 > 0 da cui x > -1/2 x -.1 > 0 da cui x > 1-1/2 1 Dallo schema, in cui le due linee corrispondono ai due fattori in cui è stato scomposto il primo membro della seconda disequazione, dovendosi prendere gli intervalli delle soluzioni con il segno +, perché la disequazione ha il segno >), si deduce che tale disequazione è soddisfatta per x < -1/2 e x > 1 Si è ora in grado di tracciare lo schema riassuntivo, relativo al sistema dato. Prima disequazione Capisaldi -2-1/2 1 3/2 Seconda disequazione Poiché le due disequazioni hanno il segno >, si devono prendere gli intervalli delle soluzioni con i segni +. Pertanto si può concludere che il sistema è soddisfatto per -2 < x < -1/2 e 1 < x < 3/2 125

126 Es. Risolvere il sistema di disequazioni x x + x 2 > 0egj x 2 (3 + 3)x > 0 Si risolvono separatamente le tre disequazioni 1 a disequazione x ( = 16 > 0) primo coefficiente a = 1 > 0 ; x 1 =.-2 ; x 2 = 2 Questa disequazione è soddisfatta per -2 x 2 2 a disequazione 1 2x + x 2 > 0 ( = 0) (x 1) 2 > 0 x 1 Questa disequazione è soddisfatta per x 1 3 a disequazione x 2 (3 + 3)x > 0 ( = ( 3 + 1) 2 > 0 ; x 1 = 1 ; x 2 = Questa disequazione è soddisfatta per x<1 e x > 2+ 3 Si costruisce ora lo schema riassuntivo prima disequazione seconda disequazione terza disequazione O Tra i vari intervalli si scelgono quelli in cui sono presenti tre segmenti di retta continui, che rappresentano le soluzioni del sistema e cioè l intervallo (-2 ; 1) per cui le soluzioni del sistema sono date da - 2 x < Risoluzione grafica di sistemi di disequazioni numeriche di primo grado I sistemi in cui sono presenti disequazioni numeriche di primo grado possono essere risolti graficamente, come si può vedere negli esempi che seguono. Es. Risolvere graficamente il sistema di disequazioni Ricordando quanto si è visto nel 5.4 per risolvere graficamente il sistema dato di disequazioni, si tracciano su un piano cartesiano ( v e seg,ti) le rette di equazioni y = 3x 2 e y = 6 - x che intersecano l asse x, rispettivamente, nei punti di ascissa 2/3 e 6 Le soluzioni del sistema sono quei valori di x che corrispondono, sia a punti della retta y = 3x - 2 che si trovano al di sotto dell asse x ( l asse x è però escluso perché il segno di diseguaglianza è < 0 e non 0 ), sia a punti della retta y = 6 x che si trovano al di sopra dell asse x, (compreso l asse x) 3x 2 < 0 6 x 0 Dall esame della figura si deduce che il sistema dato è soddisfatto per x < 2/3 126

127 Es. Risolvere graficamente il sistema di disequazioni x + 5 < 0 5 4x < 0 Dopo aver costruito sul piano cartesiano, come si 5 rette rappresentate dalle due disequazioni del sistema dato, uguagliate ad y si nota che non y = 5-4x esiste una soluzione di tale sistema perché i punti di ordinata negativa sulla prima retta hanno y =x + 5 ascisse alle quali corrispondono ordinate positive dei punti della seconda retta e viceversa. E quindi impossibile, come richiesto dal sistema, O trovare dei valori di x in corrispondenza dei -5 5/4 quali le ordinate dei punti delle due rette siano contemporaneamente negative 7.4 Esempi di risoluzione di sistemi di disequazioni di secondo grado Es. Risolvere il sistema di disequazioni di secondo grado. 1 a disequazione x 2 5 x > 0 2 a (x 1) / > (x 3) / 2 3 a x Per risolvere la 1 a disequazione. ( 2 grado ) occorre tenere present i le regole poste all inizio del 6.19 x 2 5x >0 = 25 > 0 a = 1 > 0 x (x 5) = 0 x 1 = 0 x 2 = 5 La disequazione è soddisfatta per valori esterni all intervallo delle radici Quindi x < 0 e x > 5 La 2 a disequazione ( 1 grado ) si risolve come si è g ià visto nel precedente (x 1) / (x 3) / 2 > 0-3 x + 33 > 0 x < 33 / 3 x < 11 Per la 3 a disequazione. ( 2 grado ) vale quanto è stato de tto, e fatto, a proposito della 1 a disequazione (x 4)(x + 4) 0 x 1 = -4 x 2 = 4 Essendo le radici reali è > 0, e quindi, poiché f(x) 0 e a > 0, la disequazione è soddisfatta per valori interni all intervallo delle radici. Quindi -4 x 4 A questo punto si costruisce lo schema con i capisaldi -4, 0, 4, 5, 11, a diseq. o o 2 a 3 a + Dall esame dello schema risulta che tutte le disequazioni sono soddisfatte contemporaneamente per -4 x < 0 127

128 Tale intervallo è quindi la soluzione del sistema Es. Sia dato ad es. il sistema di primo grado. (5 x + 1) / 3 (x 1) / 4 < 2 (5 x 1) / 3 + (2 x 1) / 6 > 1 Trattandosi di disequazioni sotto forma di frazioni, seppure non frazionarie, per risolverle è opportuno, come è stato detto nel 6.12, portare tutti i termini della stessa nel primo membro, lasciando al secondo membro soltanto lo zero. (5 x + 1) / 3 (x 1) / 4 2 < 0 (5 x 1) / 3 + (2 x 1) - 1 > 0 Occorre poi ridurre ogni disequazione allo stesso denominatore e quindi risolverle (*) (20 x x ) / 12 < 0 17 x 17 < 0 x < 1 (*) (10 x x 1 6) / 6 > 0 (4 x 3) / 2 > 0 x > 3 /4 (*) Essendo il denominatore > 0 lo si può eliminare, perché è il numeratore che comanda. Tale eliminazione non è possibile quando il denominatore è < 0. Si tratta infatti di disequazioni e non di equazioni Si traccia lo schema con i capisaldi ¾ 1 ¾ ed 1, scritti nella riga in alto, 1 a diseq. o ed i segmenti di retta orientata corrispondenti ai dati delle due 2 a o disequazioni La soluzione del sistema è data dall intervallo (3/4 ; 1)in corrispondenza del quale le linee di entrambe le disequazioni sono continue, il che significa che in quell intervallo entrambe le disequazioni sono soddisfatte. Concludendo si può affermare che il sistema dato risulta soddisfatto per ¾ < x < 1 Es. Sia dato il sistema con tre disequazioni ed una sola incognita 2x + 4 > 0 x x > 0 x > -2 Dopo aver effettuato i calcoli si ha x 3 x < 5 La rappresentazione grafica degli intervalli delle soluzioni è mostrata qui sotto a disequazione o 2 a disequazione 3 a disequazione o 128

129 Le soluzioni del sistema sono quelle in corrispondenza dei tratti continui delle tre rette cioè dell intervallo (3 ;5) Quindi la soluzione del sistema risulta 3 x < Sistemi di disequazioni di grado qualunque Per risolvere un sistema di disequazioni, intere o fratte, di grado qualunque, si debbono applicare attentamente tutte le regole viste a proposito della risoluzione dei sistemi di disequazioni di primo grado e delle disequazioni di grado qualunque, come si può vedere nell esempio che segue. Es. Risolvere il sistema di disequazioni x 3 + x 2 x 2 x 2 + < x 3-3 x + 3 3x + 9 x x - 1 x > 1 - x + 1 x +2 4x + 4 x(x 2) < 9 - x x - 1 Dopo aver eseguito le operazioni note, si perviene al sistema seguente x 2 (-2x 2-5x + 7 ) x + 3 < 0 5x 2-3x 14 (x + 1)(x + 2) (x 3)(x 2 + 3) x < 0 A questo punto si deve risolvere separatamente ciascuna disequazione Prima disequazione Numeratore N 1 Il primo fattore è sempre positivo (eccetto che per x = 0 che lo annulla.) N 2 Il secondo fattore è un trinomio di secondo grado con due radici reali distinte (il è > 0): 7/2 e 1 Essendo negativo il primo coefficiente, il trinomio avendo il > 0 risulterà positivo attribuendo alla x valori interni all intervallo delle radici ( v regola n 1) Quindi -7/2 < x < 1, Denominatore D E positivo per x >

130 Lo schema per la prima disequazione è il seguente -7/ N 1 N 2 D Segno del prodotto Poiché la prima disequazione è < 0 si devono prendere gli intervalli di soluzioni con il segno - Pertanto la prima disequazione risulta soddisfatta per -7/2 < x < -3 e x > 1 Seconda disequazione Numeratore N E un trinomio di secondo grado con due radici reali e distinte (il è > 0) -7/5 e 2 N è stato supposto > 0; il primo coefficiente è positivo Quindi il trinomio è positivo attribuendo alla x valori esterni all intervallo delle radici x < -7/5 e x > 2 Denominatore D 1 Il primo fattore è positivo per x > - 1 D 2 Il secondo fattore è positivo per x > -2 Ecco lo schema riassuntivo della seconda disequazione -2-7/5-1 2 N D 1 D 2 Segno del prodotto Poiché la seconda disequazione è > 0 bisogna prendere gli intervalli con il segno + Quindi la seconda disequazione risulta soddisfatta per x < -2 e -7/5 < x < -1 e x > 2 Terza disequazione Numeratore N 1 Il primo fattore è > 0 per x > 3 N 2 Il secondo fattore è sempre < 0 Denominatore D E > 0 per x > 1 Segue lo schema della terza disequazione 0 1 N 1 N 2 D Segno del prodotto O Poiché la terza disequazione è < 0 bisogna prendere gli intervalli delle soluzioni con il segno - 130

131 Quindi la terza disequazione è soddisfatta per 1 < x < 3 Concludendo si riportano i tre risultati delle tre disequazioni nello schema riassuntivo -7/ / Prima disequazione Seconda disequazione Terza disequazione Dall esame dello shema riassuntivo risulta che tutte le disequazioni del sistema (e quindi il sistema stesso), sono soddisfatte solo per 2 < x < Risoluzione grafica di un sistema di disequazioni Es. Risolvere graficamente il sistema di disequazioni x 2 6x + 8 > 0 x 4 < 0 Occorre determinare t punti di ordinata positiva y = x 2-6x + 8 sulla parabola di equazione y = x 2 6x ed i punti di ordinata negativa sulla retta di - equazione y = x 4 8 y = x Dall esame del disegno si deduce che i punti che soddisfano il sistema sono quelli con x < 2 y > 0 cioè quelli della striscia azzura Infatti in corrispondenza di tali punti la parabola ha ordinate positive, mentre la retta 2 4 ha ordinate negative y < Applicazione dei sistemi di disequazioni alla soluzione di semplici disequazioni Alcuni tipi di semplici disequazioni possono essere risolti mediante i sistemi di disequazione. Ecco alcuni esempi. Es. Risolvere la disequazione (x 1)(2x 3) > 0 Ricordando che il prodotto di due fattori è positivo se i due fattori hanno lo stesso segno, si può affermare che la disequazione data è verificata quando è verificato il sistema x 1 > 0 oppure il sistema x 1 < 0 2x 3 > 0 (1) 2x 3 < 0 (2) Si può quindi scrivere (x 1)(2x 3) > 0 x 1 > 0 x 1 < 0 2x 3 > 0 oppure 2x 3 < 0 131

132 E facile stabilire che ll sistema (1) è verificato per x > 3/2 Il sistema (2) invece, è soddisfatto per x < 1 Trattandosi dei risultati di due sistemi, essi vanno riuniti su una sola retta come nello schema qui a fianco. 1 3/2 La soluzione della disequazione data è quindi x < 1 e x > 3/2 Es. Risolvere la disequazione 3x x > 0 Anche per il quoziente, come per il prodotto dell esempio precedente,vale la regola che afferma che il quoziente è positivo se il dividendo ed il divisore hanno lo stesso segno. Poiché la disequazione data è > 0, i due termini del quoziente devono essere concordi per cui si può affermare che la disequazione in esame è verificata quando è verificato il 3x + 6 > 0 3x + 6 < 0 sistema (1) oppure il sistema (2) 2 2x > 0 2 2x < 0 3x + 6 3x + 6 > 0 3x + 6 < 0 Si può quindi scrivere > 0 oppure 2 2x 2 2x > 0 2 2x < 0 Si può facilmente verificare che il sistema (1) è soddisfatto per -2 < x < 1 Il sistema (2) è impossibile Si può concludere che la disequazione data è soddisfatta per -2 < x < Sistemi di disequazioni lineari in due variabili Dato un sistema cartesiano ortogonale, l equazione x = h rappresenta in quel sistema una retta parallela all asse y, passante per il punto (h ; 0), mentre la disequazione x h rappresenta il semipiano a sinistra di tale retta, che costituisce la frontiera del semipiano stesso, e la disequazione x < h rappresenta lo stesso semipiano, privato della frontiera x = h. Significato analogo hanno le disequazioni x h e x > h Analogamente y = k, y k, e y k rappresentano, rispettivamente, una retta parallela all asse x, avente quota k, il semipiano posto sotto ed il semipiano posto sopra tale retta. Y < k ed y > k sono i due semipiani privati della frontiera. Ogni equazione ax + by + c = 0 rappresenta una retta del piano che divide il piano stesso in due semipiani: ax + by +c 0 oppure ax + by + c 0 Il valore della funzione f(x,y) = ax + by + c, lineare in x, y dipende dal punto P(x;y) nel quale essa si calcola. Per individuare il semipiano ove f(x,y) 0, basta considerare il vettore avente per origine il punto O(0,0) e per estremo il punto H(a,b) cioè il punto che ha per coordinate i coefficienti delle incognite di f(x,y) Vedi le due figure che seguono. 132

133 Y y 2 f = 4 3 H(2, 3)) H(-1,2) f > 0 2 f > O x x f = 0 f < 0 f < 0 f =.-6 f = 0 Tale vettore risulta perpendicolare alla retta secondo cui cresce il valore di f(x,y) ax +by + c = 0 ed è orientato nel verso Es, Determinare i semipiani che verificano le disequazioni: 1) x y + 4 > 0 2) 2x + 3y 6 0 3) -x + 2y ) 5x -6y 0 Dopo aver tracciati i punti H 1 (1,-1); H 2 (2,3); H 3 (-1; 2); e H 4 (5,-6) si nota subito che i semipiani richiesti sono quelli su cui giace il vettore sopracitato che ha sempre per origine O(0,0) e per estremo il punto H(a,b), le cui coordinate sono i coefficienti di x e di y nella equazione della retta data Per risolvere sistemi di disequazioni lineari in due incognite si individua il semipiano (incluso o no il bordo) che soddisfa ciascuna disequazione del sistema. Questa regione di piano può essere limitata o illimitata. Se le disequazioni del sistema non hanno alcuna soluzione in comune il sistema si dice impossibile 133

134 8.1 EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI SOGGETTE A LIMITAZIONI ED EQUAZIONI E DISEQUAZIONI PARAMETRICHE La risoluzione di un problema per via algebrica porta all impostazione di un equazione o di un sistema di equazioni che dovrebbero portare alla soluzione del problema. Non sempre però ogni soluzione di tale equazione (o del sistema) è anche soluzione del problema:ad es può infatti accadere che essa non soddisfi alle condizioni limitative cui sono normalmente soggette le grandezze in gioco. Ad es. se x ed y sono, rispettivamente,la lunghezza di un cateto e dell ipotenusa di un triangolo rettangolo, deve per forza essere. x < y, il che esclude ogni soluzione (x 0, y 0 ) secondo cui sia x 0 y 0. Analogamente se un cerchio di raggio r ha una corda x, deve essere x < 2r. Le disequazioni x < y e x < 2r si chiamano limitazioni relative all equazione od al sistema in esame Le soluzioni dell equazione o del sistema che soddisfano alle limitazioni si dicono accettabili; le altre non accettabili. Quando sono presenti delle limitazioni del tipo x α o x β le soluzioni accettabili si distinguono in ordinarie o limiti, delle quali le ultime sono della forma x = α ; x = β 8.2 Equazioni numeriche, soggette a limitazioni Quando l equazione soggetta a limitazioni è numerica basta semplicemente risolvcere l equazione stessa trovandone le radici e stabilire direttamente se esse soddisfano o meno alle limitazioni. Ad es. se si ha x 2 6x + 4 = 0 0 x < 2 3 risolvendo si ottiene x 1 = 3-5 ; x 2 = e si conclude immediatamente che, mentre è non è invece per cui la sola radice x 1 è accettabile. 0 < 3-5 < < < Equazioni parametriche Si definisce equazione parametrica una equazione i cui coefficienti dipendono da uno o più elementi (diversi da variabilli o incognite), detti parametri. Es. Equazione parametrica di primo grado: (3k + 1)x k + 3 = 0 in cui k è il parametro Es.. Equazione parametrica di secondo grado (m + n)x 2 2mx + m n = 0 in cui m ed n sono i parametri. Poiché le radici di una equazione di grado qualunque dipendono dai coefficienti, se questi a loro volta dipendono dai parametri si può dire che: Le radici di una equazione parametrica di grado qualunque sono funzioni dei parametri che compaiono nell equazione. In genere si può affermare che un equazione parametrica di primo grado ammette una semplice infinità di radici ed una di secondo gredo una doppia infinità di radici. L equazione parametrica è una equazione soggetta a limitazioni, ma, a differenza delle equazioni di cui si é detto al 8.2, il caso è più complesso e si deve ricorrere alla discussione dell equazione data, che, se contiene più di un parametro, si effettua facendo variare un solo parametro rispetto agli altri, considerati come costanti. 134

135 Si vedrà meglio in seguito. Le limitazioni da prendere in esame sono solitamente una o due. Infatti se le limitazioni fossero più di due basterebbe assumere le due più restrittive. Talvolta tale semplificazione non è possibile perché le limitazioni non sono tra loro confrontabili, come ad es. x > 0; x < a; x < k; con a > 0 e k > 0 In tal caso si deve operare con tutte le limitazioni. 8.4 Equazioni parametriche di primo grado, soggette a limitazioni. Il modo più semplice per discutere una equazione di primo grado soggetta a limitazioni è quello (analogo a quello esposto al 8.2) di imporre alla radice dell equazione data di soddisfare alle limtazioni. Questo metodio prende il nome di confronto diretto. Seguono due esempi per chiarire il concetto sopraesposto. Es. Risolvere l equazione di primo grado, soggetta a limitazione (k 1)x 3k + 5 = 0 2 x (limitazione) Per k = 1 l equazione è impossibile ( è impossibile infatti che 0x = 0) Per k 1 l equazione ammette la soluzione x = (3k 5)/ (k 1) Tenendo conto che la limitazione 2 (3k 5) /(k 1) (3 k)/( k 1) 0, moltiplicando Numeratore e Denominatore per (k 1) 2 si ottiene (k 1)( 3 k) = 0 -k 2 + 4k 3 0 da cui la soluzione k < 1 e k 3 La conclusione è che la radice dell equazione data è accettabile per k < 1 cui corrisponde con k = 0 la soluzione x = 5 che, essendo > 2, soddisfa la limitazione imposta e per k 3 cui corrisponde con k = 3 la soluzione limite x = 2 che ovviamente soddisfa la limitazione. Es. Quando le limitazioni sono due (o più ed in almeno una di esse figura il parametro) la discussione di un equazione di secondo grado si effettua ripetendo due o più volte il procedimento illustrrato nell esercizio precedente, confrontando poi i due insiemi di soluzioni ottenute, per determinarne la loro intersezione. Ad es. per discutere il sistema misto (così detto perché formato da un equazione e da una o più disequazioni) kx 8k + 6 = 0 (con k razionale positivo) 0 x 5 x < 2k si stabilisce innanzitutto che: 1 [ x = (8 k 6) / k 0 ] (essendo k > 0) (8k 6 0) k 3/4 2 [ x = (8k 6) / k 5] (8k 6 5) k 2 3 [ x = (8k 6) / k < 2k] ( 8k 6 2k 2 ) (k < 1) e (k > 3) 135

136 Si costruisce lo schema relativo ¾ x 0 x 5 x < 2k mediante il quale si può concludere che la radice dell equazione data è accettabile per ¾ k 1 ( ¾ è la soluzione limite che si ottiene ponendo x = 0 nella 1 ) 8.5 Equazioni parametriche di secondo grado, soggette a limitazioni: metodo del confronto diretto Anche per le equazioni di secondo grado, soggette a limitazioni del tipo x > α ed x < β si può stabilire o meno la accettabilità delle due soluzioni x 1 ed x 2 (al variare del parametro) mediante il confronto diretto con α e con β. Questo metodo richiede però dei calcoli piuttosto laboriosi per cui conviene spesso ricorrere ad uno dei metodi che verranno esposti in seguito Es. Risolvere l equazione di secondo grado,. soggetta a limitazioni x 2 2kx + k( k 4) = 0 (k reale) x 1 La Condizione di Realtà è Cioè 0 per k 0 /4 = *\ k 2 k 2 + 4k = 4k Risolvendo l equazione si ottengono le due soluzioni x 1 = k- 2 k e x 2 = k + 2 k A questo punto si impone alle due radici di soddisfare alla limitazione x 1 ricordando che è sempre valida la condizione di realtà k 0 (x 1 1) (k 2 k 1) (2 k k - 1) (4k k 2 2k +1) (k 2 6k +1 0) Si hanno due soluzioni dall espressione derivante dal controllo della limitazione k < e k di cui solo il secondo risultato di k è accettabile perché il primo risultato vale 0,17 che, sostituito nella k - 2 k 1 dà per cui la limitazione x 1 1 non è soddisfatta. (x 2 1) (k + 2 k 1) (2 k 1 k) (4k 1+ k 2 2k) ( k 2 6k+ 1 0 ) In questo caso si hanno i due risultati k < di cui il secondo è accettabile perché vale 5,83 che, sostituito nella k + 2 k 1, dà 10,66 per x 2 che soddisfa quindi la limitazione. Riassumendo, l equazione data ammette; una sola radice accettabile (x 2 ) per k < entrambe le radici accettabili per k Si hanno due casi particolari K = è x 2 = 1 ( x 1 non è accettabile ) K = è x 1 = 1 ( x 2 è una soluzione ordinaria ) 136

137 8.6 Equazioni parametriche di secondo grado, soggette a limitazioni: metodo di Cartesio Nel 4.33 si è studiata la regola di Cartesio, secondo la quale: in ogni equazione del tipo ax 2 + bx + c = 0 con a, b, c reali, privati dello zero, e con il non negativo, ad ogni variazione di segno dei coefficienti ( a e b, oppure b e c) corrisponde una radice positiva, mentre ad ogni permanenza di segno corrisponde una radice negativa. 8.6.a) Equazione parametrica, soggetta a limitazioni del tipo x >< 0 Se l equazione è parametrica e soggetta ad una limitazione del tipo x >< 0 tale regola ne consente una facile discussione. Es.Risolvere con la regola di Cartesio l equazione di secondo grado, soggetta a limitazioni x 2 2(m 1)x +5-2m = 0 0 < x 3 La Condizione di Realtà è /4 = (m 1) m = m (per m -2 e m 2) Si considera innanzitutto la limitazione x > 0 Detti 1, 2 e :3 coefficiente, rispettivamente i coefficienti di x 2, di x ed il termine noto, si traccia lo schema che segue < 0 numeri non reali /2 m 0 1 coeffic. 2 coeffic 3 coeffic 2 perm = = 2 var 1 var - 1 perm Tenendo presente la regola di Cartesio, risulta che una o entrambe le soluzioni x 1 ed x 2 (x 1 x 2 ) dell equazione data sono non negative ( infattl la limitazione in esame è x > 0 ed è 0), cioè quelle che corrispondono a delle variazioni per 2 m < 5/2 si hanno 2 variazioni di segno, quindi x 1 ed x 2 > 0 per m = 5/2 l equazione data dà x 1 = 0 e x 2 = 3 > 0 per m > 5/2 si ha 1 variazione di segno e poichè x 1 x 2 risulta x 1 < 0 e x 2 > 0 Si considera ora la limitazione x 3 che si può scrivere x 3 0 Si deve ricorrere ad un piccolo artificio, ponendo x 3 = y 0 da cui x = y + 3 sostituendo nell equazione y + 3 alla x. Si ottiene: ( y + 3) 2 2(m 1)(y + 3) +ù 56 2m = 0 y 2-2(m 4)y m = 0 Non è il caso di verificare la Condizione di realtà perché essa è uguale a quella ricavata nella prima fase dell esercizio, ( y è un numero reale come x.) 137

138 Quindi per 0 è m -2 e m 2 Anche in questo caso si costruisce lo schema < 0-2 numeri 2 5/2 4 non reali 0 1 coeffic. 2 coeffic. 3 coeffic. 2 perm 2 perm 1 per 1 var 1 var-1 perm Ricordando che la limitazione in esame è y 0 occorre considerare le radici non positive, cioè quelle che corrispondono a delle permanenze per m -2 si hanno due permanenze di segno, quindi y 1 e y 2 < 0 per 2 m < 5/2 < 0 per m = 5/2 l equazione dà y 1 = -3 e y 2 = 0 y 1 < 0 y 2 = 0 per m > 5/2 si ha una permanenza y 1 < 0 y 2 > 0 per m = 4 l equazione dà y = ± 2 3 y 1 < 0 y 2 > 0 Confrontando i risultati dei due quadri e tenendo conto che ad (x 1 3) corrisponde ( y 1 0=) ad (x 3) corrisponde ( y 2 0) si perviene alle seguenti conclusioni: per 2 m < 5/2 si ha 0 < x 1 3 e 0 < x 2 3 cioè due soluzioni per m = 5/2 si ha x 1 è accettabile perché è = b) Equazione parametrica di secondo grado, soggetta a limitazioni di tipo qualsiasi Con opportuni accorgimenti la regola di Cartesio permette di discutere anche le limitazioni del tipo x >< α con α 0 Es Risolvere con il metodo di Cartesio, l equazione di secondo grado f (x,m) = 0 con incognita x e parametro m, soggetta alle limitazioni -2 < x x < 3 x < m + 1 (1) Le limitazioni vengono riscritte nella forma x + 2 > 0 x 3 < 0 x m 1 < 0 e si pone y = x + 2 > 0 z = x 3 < 0 t = x m 1 < 0 Ciò allo scopo di scindere la discussione nelle tre che seguono: A) Studio della positività delle radici (y 1 e y 2 ) dell equazione f (y 2; m) = 0 B) Studio della negatività delle radici (z 1 e z 2 ) dell equazione f (z + 3; m) = 0 C) Studio della negatività delle radici (t 1 e t 2 ) dtell equazione f (t+ m+ 1; m) = 0 138

139 Si conclude che x 1 (x 2 ) soddisfa le limitazioni (1) per i valori di m per cui si ha contemporaneamente y 1 > 0; z 1 < 0; t 1 < 0 ( y 2 < 0; z 2 > 0; t 2 > 0) Come si è visto il metodo di Cartesio è conveniente perché i calcoli sono abbastanza semplici, specialmente se le limitazioni sono solo due del tipo x >< 0 oppure quando si ha una sola limitazione del tipo x >< α (con α 0), o, ancora meglio, del tipo x >< Equazione parametrica di secondo grado, soggetta a limitazioni: metodo della parabola associata Sia data l equazione f(x) = ax 2 + bx +c = 0 (1) in cui uno dei coefficienti è funzione di un parametro k. Allo scopo di stabilire come variano le radici x 1 ed x 2 (x 1 x 2 ) dell equazione data al variare di k nel suo dominio, si pone f(x) = y e si suppone che sia y = 0. Si può quindi scrivere y = f(x) = ax 2 + bx +c (2) y = 0 (3) La (2) è l equazione di un sistema di parabole, per cui le soluzioni del sistema (2) + (3), se esistono, cioè se 0, rappresentano le coordinate dei punti comuni alle parabole ed all asse x. ( di cui y = 0 è l equazione). Ad ogni valore di k corrisponde una ben determinata parabola, che viene detta associata all equazione (1) Al variare di k nel suo dominio, in cui 0, la parabola si sposta sul piano cartesiano ed unitamente ad essa si spostano i punti (x 1 ; 0) ed (x 2,0) sull asse delle x Si suppone ora che la (1) sia soggetta alla limitazione x > α (oppure x < α) Durante il movimento di k nel suo dominio, i punti x 1 ed x 2 possono trovarsi alla sinistra od alla destra del punto (α, 0) o coincidere con esso. In ogni caso si può decidere se le due radici soddisfano o no alla limitazione. Si indica ora con f(α) l ordinata del punto della parabola avente ascissa α, con Σ = x v (x 1 + x 2 ) / 2 = -b/2a l ascissa del vertice della parabola. :Supponendo che sia > 0 possono verificarsi i 6 casi seguenti 3 casi f(α ) > 0 Σ < α vedere fig 1 Per a > 0 f(α) > 0 Σ > α vedere fig 2 (concavità verso l alto) f(α) < 0 vedere fig 3 x 1 < x 2 < α f(α) f(α) α < x 1 < x 2 Σ Σ x 1 < α < x 2 α α α x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 f(α) Fig 1 Fig 2 Fig 3 Altri 3 casi f(α) < 0 Σ < α vedere fig 4 Per a < 0 f(α) < 0 Σ > α vedere fig 5 (concavità verso il basso) f(α) > 0 vedere fig 6 139

140 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 f (α) x 2 α α α Σ Σ x 1 < x 2 < α f(a) f(α) α < x 1 < x 2 x 1 < α < x2 Fig 4 Fig 5 Fig 6 Osservando le figure soprariportate si può dedurre che, se la limitazione è x > α, allora x 1 ( o x 2 ) è accettabile se il punto dell asse x con ascissa x 1 (o x 2 ) si trova alla destra del punto con ascissa α, e viceversa, se la limitazione è x < α. Nella tabella seguente sono elencate le possibili situazioni α > x 2 f(α) > 0 fig 1 f(α) < 0 fig 4 Σ < α Σ < α per o per α < x 1 f(α) > fig 2 f(α) < 0 fig 5 Σ > α Σ > α x 1 < α < x 2 f(α) < 0 fig 3 f(α) > 0 fig 6 Se è a > 0 Se è a < 0 Curvatura verso l alto Curvatura verso jl basso Ci sono alcuni casi particolari da tenere presenti, dovuti a valori particolari del parametro a = 0 La parabola degenera in una retta che, se b 0, interseca l asse x nel punto di ascissa x 0 = -c/b. Una volta sostituito a k, in b e in c, il valore k 0 del nostro caso particolare, si può stabilire se -c/b soddisfa o meno alle limitazioni f(α) = 0 α coincide con una delle due radici = 0 La parabola è tangente all asse x nel punto di ascissa x 1 = x 2 Anche in questi due casi, una volta sostituito il valore particolare di k 0, relativo al caso in esame, a k, si può verificare se il numero trovato soddisfa o meno alle limitazioni. Se esiste una sola limitazione x >< α la discussione col metodo della parabola associata si effettua nel modo seguente Si risolvono rispetto a K le disequazioni 0; a 0; f(α) 0, Σ > α I valori di K per cui = 0; a = 0; f(α) = 0 vengono detti caposaldi che, ordinati per valori crescenti di k, dividono l asse k dei numeri reali in tanti intervalli finiti, oltre a due (quelli estremi) infiniti. Per ogni intervallo in cui è > 0 si stabilisce in quale delle 6 situazioni, viste al punto precedente, ci si trova e si decide così circa l accettabilità o meno delle due radici. Es. Risolvere il sistema (k 3)x 2 2(k 2)x + k = 0 (K reale) -2 x (α = -2) 140

141 La Condizione di realtà è /4 = (k 2) 2 k(k 3)x m = 4 k da cui risulta che 0 per k 4 a = 1 coeffic. = k 3 a 0 per k 3 f(α) = f(-2) = (k 3)(-2) 2 2(k 2)(-2) + k = 9k - 20 da cui risulta che f(-2) 0 per k 20/9 Σ = 2(k 2) /2(k 2) (-2 < Σ) -2(k 3) / (k 3) < (k -2) / (k -2) (3k 8)(k 3) > 0 da cui I due valori di k k < 8/3 e k > 3 Si dispongono i capisaldi in ordine crescente e si costruisce lo schema che segue 20/ < 0 a 0 f(-2) 0-2 < Σ -2 x 1 Σ x 2 x 1 Σ x 2 x 1 2 x < x 1 < x 2 x 1 < -2 < x 2-2 < x 1 < x 2 8/3 3 1) Per k < 20/9, essendo a < 0 la parabola ha la cocavità rivolta verso il basso Poiché f(-2) < 0 il punto della parabola con ascissa -2 è posto al di sotto dell asse x per cui non appartiene all intervallo (x 1 ; x 2 ). D'altronde per k < 20/9 la disequazione -2 < Σ (rappresentata dall ultima riga dello schema) è soddisfatta e si conclude quindi che -2 è situato a sinistra di tale intervallo per cui entrambe le radici sono accettabilii. (cioè 2 soluzioni) 2) Per 20/9 < k < 3, essendo a < 0 la parabola ha nuovamente la concavità verso il basso. Poiché f(-2) > 0 il punto della parabola con ascissa -2 è situato al di sopra dell asse x per cui -2 è compreso tra x 1 e x 2. Conseguentemente solo x 2 è accettabile (cioè 1 soluzione) 3) Per 3 < k < 4, essendo a > 0 la parabola ha la concavità verso l alto. Poiché f(-2) > 0 il punto della parabola con ascissa -2 è situato al di sopra dell asse x, quindi -2 non appartiene all intervallo ( x 1, x 2 ). D'altronde per 3 < k < 4 la disequazione -2 < Σ è soddisfatta, per cui si conclude che -2 è situato a sinistra di tale intervallo e quindi entrambe le radici sono accettabili (cioè 2 soluzioni) 8.8 Equazioni parametriche irrazionali, con radicali quadratici Al 4.45 a) si è visto che per risolvere una equazione irrazionale contenente radicali quadratici, bisogna effettuare uno o più elevamenti al quadrato per renderla razionale, con il rischio, però, di introdurre radici estranee Se l equazione parametrica irrazionale da risolvere è soggetta a limitazioni del tipo α < x e x < β, le condiziioni imposte per escludere le radici estranee diventano ulteriori limitazioni, confrontabili o no con le precedenti. Ecco alcuni esempi x 2 kx -3 = 2 x 2 kx 3 = 4 0 < x < 5 0 < x < 5 141

142 2x 2-5x + k = 2 x 2x 2 5x + k = (2 x) 2 x 2 x + k 4 = 0 0 < x < 3 0 < x < 3 2 x 0 0 < x 2 (perchè il radicando sia reale) N.B. Se l equazione irrazionale è del tipo f(x, k) = g(x, k) poiché dopo l elevamento al quadrato si ottiene f(x, k) = g 2 (x,k) numero non negativo, si è certi che f(x, k) 0 Es. In una circonferenza di raggio r, inscrivere un rettangolo.con perimetro 4p Con riferimento alla figura a fianco, si pone OH = x Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo A B rettangolo OBH si ha HB = r 2 x 2 r y Essendo AB = 2x e BC = 2 r 2 x 2 si può scrivere O x H 4x + 4 r 2 x 2 = 4p r 2 x 2 p x 0 x r 0 x r D C r 2 x 2 = (p x) 2 Poiché r 2 x 2 è certamente 0 cioè 0 x r -r x r, si può escludere la limitazione p x 0 x r, automaticamente verificata, e passare a discutere il distema misto: 2x 2 2px + p 2 r 2 = 0 0 x p 8,9 Sistemi di equazioni parametriche: metodo della discussione dell equazione risolvente Si considera ora un sistema di due equazioni in due incognite, x ed y, contenente un parametro k e soggette a limitazioni. Il metodo migliore per discutere tale sistema, consiste nell -eliminare un incognita... la y) fra le due equazioni, per ottenere una risolvente in x.esprimere in funzioneb di x le limitazioni contenenti la y; -discutere tale equazione risolvente assoggettata alle limitazioni in x (date o ricavate) Es. In una circonfereza con raggio r inscrivere un rettangolo di area 4s 2 Con riferimento alla figura dell esercizio precedente, si pone OH = x; BH = y e si scrive il sistema misto x 2 + y 2 = r 2 (r reale > 0) (2x)(2y) = 4s 2 (s reale > 0) 0 < x < r 0 < y < r La prima equazione ci assicura che le due soluzioni (x; y) soddisfano alle disequazioni x 2 < r 2 ed y 2 < r

143 Si possono quindi escludere le limitazioni x < r ed y < r. Inoltre l equazione xy = s 2 garantisce che le soluzioni (x; y) sono costituite da due numeri concordi, per cui ponendo, x > 0, automaticamente si impone y > 0. Alla fine si tratterà di discutere il sistema misto (1) Alla prima equazione si può sostituire la seguente x 2 + y 2 = r 2 xy = s 2 (1) x > 0 x 2 + 2xy + y 2 = r 2 + 2s 2 x + y = r 2 + s 2 ottenuta combinando le due equazioni del sistema (1) (Il radicale ha solo il segno +, e non ± perché, essendo x > 0 ed y > 0 è sicuramente x + y > 0) x + y = r 2 + 2s 2 y = r 2 + 2s 2 - x x y = s 2 x( r 2 + 2s 2 -x) = s 2 x > 0 x > 0 (2) La discussione del sistema misto (2) con il metodo di Cartesio conduce a due soluzioni (distinte o coincidenti) per = r 2-2s 2 0 cioè per s 2 r 2 / Sistemi di equazioni parametriche: metodo dei diagrammi cartesiani E questo il modo più semplice per discutere un sistema parametrico, soggetto a limitazioni; purtroppo però non è applicabile in tutti i casi. Ecco un esempio. Si vuole discutere il sistema misto (x e y incognite, k parametro). (1) kx- y = 3k 2 (2) x 2 + y 2 = 4; (3) x 0 (4) x + y 0 SI trasformano equazione e disequazione del sistema, in coordinate cartesiane..il diagramma dell equazione (2) è una circonferenza con centro nell origine e raggio 2.I diagrammi delle disequazioni (3) e (4 ) sono, rispettivamente, il semipiano con origine nell asse x ed il semipiano con origine nella bisettrice del 2 y e 4 quadrante, entrambi comprendenti il semiasse positivo y. B L insieme dei punti comuni ai tre suddetti diagrammi è l arco AB della circonferenza, situato nel 1 e 2 quadrante che ha come O A x estremi i punti A(2,, 0) e B( - 2; 2) L arco AB viene detto o arco utile. arco significativo 143

144 D Si prende ora in esame l equazione parametrica B (1), che è opportuno scrivere nella forma y 2 = k(x 3) in cui k è,ovviamente, il coeffiiente angolare di un fascio di rette di centro C (3; 2). O A Alcune rette del fascio hanno in comune con l asse AB uno o due puntii che rappresentano le soluzioni del sistema misto in discussione. C Si devono trovare: 1) Il valore di k relativo alla retta CD, tangente all arco AB,. Essendo k, come è stato detto, il coefficiente angolare delle rette del fascio, in qesto caso è K = 0; 2) I valori di k relativi alle rette del fascio passanti per A e per B. Basta imporre alla (5) di essere soddisfatta, prima dalle coordinate di A e poi da quelle di B, ottenedo: per il passaggio per A 0 2 = k(2 3) da cui k = 2 per il passaggio per B: 2 2 = k( - 2 3) da cui k = (8 5 2) / 7 Le conclusioni sono le seguenti. Il sistema misto per k = 0 ha due soluzioni coincidenti (0; 2): che sono le coordinate di D per 0 < k < (8-5 2) / 7 ammette due soluzioni; infatti la retta CB interseca due volte l arco AB; per k = (8-5 2) / 7 ha una soluzione ordinaria oltre alla soluzione limite ( - 2 ; 2):che sono le coordinate di B; per (8-5 2) / 7 < k < 2 ammette una soluzione; infatti le rette del fascio comprese tra CB e CA intersecano una sola volta l arco AB; per k = 2 ammette la sola soluzione limite (2; 0) che sono le coordinate di A Confronto delle radici di una equazione parametrica, biquadratica, con uno o più numeri assegnati Il confronto delle radici di una equazione parametrica, biquadratica, è piuttosto difficoltoso,specialmente quando tale confronto si deve fare rispetto a dei numeri negativi. Un po di teoria. Sia data l equazione biquadratica ax 4 + bx 2 + c = 0 Le cui radici, (che sono funzione dei coefficienti a b e c e dei parametri presenti in essi), si devono confrontare con dei numeri reali α, β, γ, assegnati. Si effettua la sostituzione x 2 = z da cui x = ± z. Si tratta di confrontare le radici della equazione di secondo grado az 2 + bz + c = 0 con i numeri positivi o nulli α 2, β 2 ecc e, in più, si dovrà effettuare anche lo studio dei coefficienti b e c per conoscere il segno delle radici z e quindi la realtà o meno delle radici x Es. Confrontare le radici dell equazione parametrica, biquadratica x 4 2(k + 3)x 2 + k + 5 = 0 con i numeri -1 e

145 Per procedere, si trasforma la biquadratica nell equazione di secondo grado z 2 2(k + 3)z + k + 5 = 0-3 e se ne confrontano le radici con i numeri, positivi o nulli, α 2, β 2 ecc. (nel caso dell es. in corso, i numeri rispetto ai quali va effettuato il confronto sono 1, 4) dopo aver discusso il segno del discriminante nonché dei tre coefficienti (a, b, c) e dopo aver discusso i segni delle espressioni ottenute sostituendo ad x ( o meglio ad x 2 ) i numeri assegnati.0 Tali espressioni vengono indicate con f(α), f(β), ecc. Le suddette condizioni non sono però sempre sufficienti. Infatti se, ad es., la f(α) ha lo stesso segno del 1 coefficiente e se le radici son o reali, non è possibile determinare la posizione del numero, o dei numeri assegnati, rispetto alle radici dell equazione. Così pure ci può essere ambiguità nel caso in cui, ad es. la f(α),sia nulla e le radici siano reali e distinte: α può coincidere sia con x 1 che con x 2. Per eliminare tali ambiguità occorre studiare anche il segno dell espressione Σ - α (e simiii), in cui Σ = -b/2 = (x 1 + x 2 ) / 2 che è il valore medio delle radici. Se t tale espressione risulta positiva (Σ - α > 0) sarà Σ > α; se negativa sarà Σ < α Gli eventuali valori dei parametri che annullasno l espressione Σ - α, non costituiscono Caposaldi di discssione, per cui si possono mettere tra parentesi e le relative linee verticali saranno tratteggiate. Studio del segno del discriminante ( Condizione di realtà) /4 = k 2 + 6k + 9 k. 5 = k 2 + 5k per k -4 e k -1 Studio del segno del 1 coefficiente a = 1 > 0 sempre verificato Studio del segno del 2 coefficiente b = -2(k + 3) 0 per k -3 Studio del segno del 3 coefficiente c = k per k > -5 Studio del segno di f(1) ( -1) 2 = 1 1-2(k + 3) + k k -6 + k per -k 0 k 0 Studio dell espressione Σ -1 Σ = - b/2a = - -2(k + 3) /2 = k + 3 Σ 1 = k = k per k -2 Studio del segno di f(4) 16-2(k + 3) 4 + k k k Studio dell espressione Σ k 0 per k -3/7 Si è visto che Σ = k + 3, quindi Σ 4 = k per k 1 A questo punto si raccolgono irisultati degli Studi nell apposito quadro riassuntivo

146 -5-4 (-3) (-.2) -1-3/7 0 (1) 1 coeff 2 coeff 3 coeff f(1) Σ 1 f(4) Σ - 4 Dall esame del quadro si traggono le seguenti conclusioni Per k < -5 E 0 si hanno quindi due radici z reali e distinte; essendo il segno di a e di b positivo e quello di c negativo,secondo la regola di Cartesio si hanno una permanenza ed una variazione; poiché la somma ed il prodotto delle radici è < 0, le due radici devono essere di segno opposto ed, essendo la loro somma negativa, la radice maggiore in valore assoluto sarà la negativa. f(1) ed il 1 coef f. Sono concordi quindi non è possibile stabilire la posizione di α = +1, rispetto alle due radici z ed occorre ricorrere all espressione Σ 1, che, come risulta dal quadro, è < 0, quindi è Σ < 1. Lo stesso vale, a maggior ragione, per Σ - 4, che, come risulta dal quadro, è pure < 0. Quindi Σ < 4 Le radici ed i vari parametri dell equazione in z saranno disposti come segue z 1 0 z z Per quanto riguarda le radici x della biquadratica, z 1 essendo negativo non genera nessuna radice x reale.. Invece da z 2 derivano 2 radici reali, x 1 ed x 2, disposte come appare nello schema seguente. Per K = -5! (-2) - 1 x 1 0 x 2 (1) 2 x Per k < -5 la blquadraticva ha solo due radici reali, entrambe comprese tra i numeri Assegnati Con ragionamento analogo si giunge allo schema relativo alle radici z, di cui la z 1 è negativa e la z 2 è nulla. a z 1 z 2 = z Lo schema per la biquadratica in x è il seguente ( -2) -1 x 1 =x 2 = 0 ( 146

147 In questo caso la biquadr. ha 2 radici reali,coincidenti, nulle Per -5 < k < -4 Il risultato delloa discussione riguardo alla equazione in z è il seguente Z 1 z z Per K = -4 Ed il corrispondente schema per l equazione in x non ha ragione di essere perché non esistono radici x reali, essendo le due radici z negative Lo schema del risultato della discussione dell equazione in z è il seguente z \ = z z Anche in questo caso non ci sono radici x reali, Per -4 < k < -1 In questo intervallo il è < 0. non ci sono radici real,i né per l equazione in z né, tanto meno, per quella in x Per K = -1 Per l equazione di secondo grado il risultato della dfiscussione è il seguente 0 1 z 1 = z 2 4 z e per l equazione in x si ha (-2) x 1 = x (1) x 3 = x 4 2 x L equazione biquad. r ha due coppie di radici reali, coincidenti Per -1 < k < -3/7 Per quanto riguarda l equazione in z si ha lo schema che segue 0 1 z 1 z 2 4 z E quindi dsall equazione in x Per K = - 3/7 (-2) x 1 x (1) x 3 x 4 2 x Il risultato per l equazione in z è il seguente \ 0 1 z1 z 2 = 4 Per la biquadrat.si ha x 1 =(-2) x (1) x 3 x 4 =2 x Per -3/7 < k < 0 La discussione dell equazione in z dà il seguente risultato 0 1 z 1 4 z 2 z E quelli che seguno sono i risultati per la biquadrat.!! x 1 (-2) x (1) x 3 2 x 4 x r 147

148 Per K = 0 Ecco il risultato della discussione dell equazione di secondo grado! 0 z 1 = 1 4 z 2 z Ed ecco quelli della biquadrat. Per K > 0 X1 (-2) x 2 = -1 0 x 3 = (1) 2 x 4 x Anche in questo casobiquadrat. ha quattro radici reali, distinte Ecco l ulimo risultato per la equazione in z 0 z z 2 z Ed il corrispondente della biquadratica x 1 (-2) -1 x 2 0 x 3 (1) 2 x 4 x Anche in questo caso la equazione biquadratica ha quattro radici reali e distinte 8.12 Confronto delle radici di una equazione parametrica a radicale quadratico, con uno o più numeri assegnati Si era visto al 4.45 a) che per risolvere un equazione irrazionale a radicali quadratici, del tipo A(x) = B(x), occorre isolare il radicando e poi elevare al quadrato entrambi i membri dell equazione, che diventa A(x) = B 2 (x). Se ne calcolano le radici che devono essere confrontate con i numeri reali assegnati. Ad esempio sia data l equazione irrazionale x + 2x + 1 = k le cui radici, una volta risolta, sono da confrontare con i numeri -1 e 3 Si deve procedere nel modo che segue. Si isola, come prima è stato detto, il radicale, e si ottiene la nuova equazione 2x + 1 = k.- x risolta dal sistema misto k x 0 2x + 1 = (k - x) 2 cioè da x 2-2(k + 1)x + k 2 1 = 0 x k Appare chiaro che le radici dell equazione dovranno essere confrontate oltre che con i numeri assegnati anche con il parametro k. Per prima cosa si verifica la Condizione di realtà 2x x -1/2 Risulta quindi inutile effettuare il confronto con il numero -1 perché essendo x -1/2 a maggior ragione sarà x -1, sempre. Ad ogni modo il controllo della C d R si può effettuare con lo Studio del segno del discriminante /4 = k 2 + 2k + 1 k = 2k per k

149 Studio del segno del 1 coeff: a = 1 > 0 sempre Studio del segno di f(3) f(3) = 9 6k 6 + k 2-1 = k 2 6k per k 3-7 e per k Studio del segno dell espressione = k = k 2 0 per k 2 Studio del segno di f(k) f(k) = k 2 2k - 2k 2 + k 2 1 = -2k 2 0 per k -1/2 Studio del segno dell espressione - k - k = k + 1 k -.1 > 0 sempre Nel solito quadro si inseriscono i risultati sopra riportati 1 coeff. f(3) - 3 f(k) - k Seguono le conclusioni -1-1/2 3-7 (2) Per k < -1 < 0 Nessuna radice reale Per k = -1 Due radici reali coincidenti, così disposte k x 1 = x 2 3 x L equazione irrazionale data non ha soluzioni accettabili perché le due radici non soddisfano la condizione x k Per -1 < k < -1/2 Due radici reali e distinte, disposte così k x 1 x 2 3 x Anche oin questo caso l equazione irrazionale non ha soluzioni Per k = -1/2 Due radici reali e distinte, così disposte x 1 = k = -1/2 x 2 3 x La sola radice x 1, compresa tra -1 e 3, è soluzione dell equazione Per -1/2< k < 3-7 Due radici reali e distinte sono disposte così x 1 k x 2 3 x La sola radice x 1, compresa tra -1 e 3 è soluzione dell equazione Per k = 3-7 Due radici reali e distinte disposte cos x 1 k x 2 = 3 x Unica soluzione dell equazione irrazionale è la radice x 1 compresa tra - 1 e 3 Per 3-7 < k < Due radici reali e distinte disposte così x 1 k 3 k x 2 x < Poiché esistono le condizioni x k e x 3 deve essere k 3 Ma nel passaggio da 3-7 a k supera il numero 3 Anche in questo caso la sola soluzione dell equazione compresa tra -1 e 3 è x 1 149

150 Per k = Due radici reali e distinte così disposte x 1 = 3 k x 2 x L equazione irrazionale ha una solka soluzione x 1 = Per k > Due radici reali e distinte disposte così 3 x 1 k x 2 x L equazione irrazionale ha una sola soluzione, maggiore di 3 e pertanto non accettabile perché non compresa tra -1 e Un cenno sulle disequazioni parametriche Una disequazione si dice parametrica quando i suoi coefficienti sono funzioni di uno ( o più ) parametri Ecco un paio di esempi di disequazioni parametriche. Di primo grado (2k 1)x k > 0 con x reale, variabile (1) Di secondo grado ( k 1)x 2 2kx 2 0 e con k reale, parametro (2) Al variare di k nel reale, variano i valori dei coeff..di (1) e (2) per cui è meglio dire che(1) e (2) rappresentano 2 insiemi (infiniti) di disequazioni e che conviene fare una discussione 150

151 9.1 SISTEMI MISTI Il sistema misto è un particolare sistema costituito da una equazione, generalmente parametrica, e da una o più disequazioni. Si definisce soluzione di un sistema misto la radice dell equazione del sistema che soddisfa tutte le disequazioni date. Essa viene detta soluzione limite o estrema del sistema misto Se invece la radice coincide con uno zero di una qualunque delle disequazioni date, essa viene detta soluzione limite o estrema del sistema misto La risoluzione di un sistema misto consiste soprattutto nella discussione del sistema,di importanza fondamentale perché è la seconda parte, non meno importante della prima, della risoluzione di un problema geometrico. La disciussione di un sistema misto consiste nel confronto delle radici dell equazione data (di qualunque grado) con dei numeri assegnati (zeri delle disequazioni) accettando solo le radici che soddisfano le condizioni imposte,. 9.2 Discussione di un sistema misto Es. Sia da discutere il seguente sistema misto (k 1) x 2-2(k + 2) x + k 3 = 0-1 < x 2 e k numero reale Procedendo nel modo adottato nel 8.12, che è detto del confronto, si inizia con lo Studio del segno del discriminante (che è la Condizione di Realtà) /4 = k k k 2 + k + 3k 3 = 8k per k -1/8 Studio del segno del 1 coeffic. a = k per k 0 Studio del segno di f(-1) f(-1) = k k k 3 = 4k 0 per k 0 Stiudio del segno dell espressione - (-.1) - (-.1) = (k + 2) / (k -.1) + 1 = (2k + 1)/ (k -1) 0 Numer 2k per k > -1/2 Denom k 1 > 0 per k > 1-1/ Essendo l espressione - (-.1) 0 blsogna assumere dallo schema gli intervalli delle soluzioni con i segni + e quindi l espressione del qui sopra sarà 0 per k < -1/2 e k > 1 Studio del segno di f(2) f(2) = 4k k -8 + k - 3 = k per k

152 Studio del segno dell espressione = (k + 2) / (k 1) - 2 = (-.k + 4) / (k 1) 0 Numer = - k per k 4 Denom = k - 1 > 0 per k > Anche in questo caso, essendo l epressione - 2 0, si deve prendere l iintervallo delle soluzioni con il segno + e quindi l espressione del sarà 0 per 1 k 4 Il quadro riassuntivo è pertanto il seguente /4 (-1/2) -1/8 0 1 (4) 15 1 coeffic f(-1) -(.-1) f(2) - 2 Dal quadro soprariportato si traggono le seguenti conclusioni Per K < -1/8 < 0 nessuna radice reale Per K = --1/8 = 0 Le due radici dell equazione sono reali e coincidenti e sono disposte nel modo seguente x 1 = x x Non essendo però comprese trs i numeri assegnati non soddisfano le condizioni.nessuna soluzione Per -1/8 < k < 0 Le due radici, reali e distinte, sono disposte nel modo seguente x 1 x x Nesuna soluzione 152

153 Per K = 0 Le due radici, reali e distinte, sono disposte nel modo seguente x 1 x 2 = -1 2 x La soluzione limite x 2 = -1 non è accettabile perché la disequazione data prevede -1 < x e non = x Per 0 < k < 1 Le due radici, reali e distinte, sono disposte come segue Per K = 1! x 1-1 x 2 2 x La maggiore delle radici è una soluzione ordinaria L equazione si abbassa di un grad0.una radice diventa infinita ma non è soluzione; l altra si ottiene risolvendo l equazione ottenuta sostituendo a k, nell equazione, il valore 1, cioè -6x - 2 = 0 x = -1/3 Questa radice è una soluzione ordinaria perché compresa tra -1 e 2 Per 1 < k < 15 Le due radici, reali e distinte, sono disposte come segue Per K = 15-1 x 1 2 x 2 x La minore delle due radici è una soluzione ordinaria Le due radici, reali e distinte, sono disposte come segue -1 x 1 x 2 = 2 x La maggiore delle radici è una soluzione limite accettabile perché la disequazione data è x 2 La minore delle radici è una soluzione ordinaria. Il suo valore può essere ottenuto sostituendo a k, nell equazion il valore 15 Si ha 14x 2 34x + 12 = 0 da cui x = (17 ± 11) / 14 = x 1 = 3/7 soluzione ordinaria x 2 = 2 soluzione limite Per K > 15 Le due radivi reali e distinte, sono disposte come segue -1 x 1 x 2 2 x Essendo le due radici comprese tra i numei assegnati, esse sono due soluzionio ordinarie, distinte 9.3 Il metodo di Tartenville Le conclusioni cui si è giunti nel precedente con il lmetodo del confronto, si possono raggiungere anche in altri modi. Ad es. c è il noto metodo di Tartenville, che serve a risolvere il caso precedente. 153

154 Tale metodo si basa sui tre Teoremi che seguono < 0 1 Teorema Condizione necessaria e sufficiente perché il precedente sistema misto abbia una sola soluzione ordinaria è che le due funzioni: f(α) ed f(β) siano discordi. Tale soluzione sarà la minore delle due radici dell equazione se risulterà a f(α) > 0 e a f(β) < 0. Sarà invece la maggiore se i segni saranno opposti. 2 Teorema Condizione neessaria e sufficiente perché il precedente sistema misto abbia due soluzioni ordinarie distinte o coincidenti è che sia verificato il seguente sistema:. > 0 a f(α > 0 a f(β) > 0 α < < β L ultima condizione corrisponde a: > α cioè - α > 0 < β - β < 0 3 Teorema Per ogni valore del parametro che annulla una delle due funzioni, si ha la soluzione limite x = α se f(α) = 0 x = β se f( β) = 0 L altra radice dell equazione sarà una soluzione ordinaria se la funzione che si annulla è concorde con il primo coefficiente e se il è compreso tra α e β ( cioè siano contemporaneamente - - α > 0 e -β < 0 I) m Si riprende l esempio del precedente, traendo le conclusioni in base ai Teoremi che sono la base del metodo di Tartinvillei Per K- < -1/8 < 0 Nessuna soluzione reale Per k = -1/8 Nessuna soluzione perché non si è verificato nessuno dei tre Teoremi Per V. il 3 Teorema. C è una soluzione limite, non accett abile, x = -1 k = 0 poiché si annulla la f(-1). L altra radice non è una soluzione ordinaria Perché, pur essendo la f(2) concorde con a, non è verificata la condizione -1 < < 2 Per 0 < k < 1 Le due funzioni sono discordi V i 1 Teorema. C è ua soluzi one ordìnaria. che è la maggiore delle radici essendo f(2) concorde con a (a f(2) > 0) Per K = 1 L equazione si abbassa di grado V. lo solgimento del 9.2 Per 1 < k < 15 Le due funzioni sono discordi V. 1 Teorema C è una soluzione or dinaria, la minore delle due radici, perché f(-1) è concorde con a Per K = 15 PerK k > 15 V. 3 Teorema Una soluzione limite x = 2 perché si annulla f(2) e una soluzione ordinaria perché f(-:!) è concorde con a e il sta tra -1 e 2 V 2 Teorema Ci sono due soluzion ordinarie distintei+ù 154

155 9.4 Equazioni parametriche di secondo grado trattate come sistemi misti, discussi con il metodo dei diagrammi cartesiani La bontà e la semplicità del metodo dei diagrammi cartesiani rispetto ad altri metodi, porta a cercare il modo per trattare con questo metodo anche le discussioni delle equazioni di secondo grado f(x, x 2, k) = 0, con una sola incognita ed un solo parametro. La cosa è possibile se le limitazioni non sono parametriche e l equazione suddetta è lineare rispetto a k o rispetto a k 2. Infatti se si pone x 2. = y il sistema misto f(x, x 2, k) = 0 α < x < β si trasforma nel nuovo sistema misto (1) y = x 2 (2) f(x, y, k) = 0 α < x < β in cui la (1) è l equazione di una parabola e la (2), che è di primo grado in x ed y, è l equazione di un fascio proprio di rette (se k è al primo grado) Ecco un esempio Si vuole discutere il sistema misto (1) x 2 (1 + k) 4x(1 k) + 16 = 0 (k reale) -5 x < 2 Ponendo x 2 = 4y si ottiene il sistema misto x 2 = 4y (2) y = x 2 / 4 4y(1 ++ k) - 4x(1 k) + 16 = 0 (3) y(1 + k) x(1 k) + 4 = 0-5 x < 2-5 x < 2 E opportuno scrivere la (3) nella forma y x + 4 +k(x + y) = 0 che è l equazione di un fascio proprio di rette di centro C(2; - 2 i cui valori sono la soluzione del sistema seguente y - x + 4 = 0 x + y = 0 La (2) è l l equazione della parabola della figura a fianco B L arco significativo è l arco AB,( di cui l estremo B è escluso), in cui A -5 V 2 x ha l ascissa -5 e B l ascissa C Si inizia a calcolare il valore di k dalla retta r 1 che è tangente all arco AB. Poiché la (2) e la (3) derivano dalla (1) il del sistema (2)+ (3) è uguale al della (1); quindi / 4 = 4(1 v- k 2 ) 16(1 k) cioè 0 per (k 3-2 3) e (k ) r 1 A y Per k = il coefficiente angolare (1 k) /(1 + k) delle rette del fascio, assume 155

156 il maggiore valore negativo -(1 + 3)(2 + 3) Quindi è il valore di k relativo alla retta tangente (r 1 ). I valori di k relativi alle rette r 2 ed r 3, passanti, rispettivamente, per A e per B, si ottengono imponendo il passaggio delle due rette per x = -5 e per x =2. Risolvendo si ottiene k = -61/5 ( retta passante per A) e k = -1 (retta passante per B) Tenendo conto degli intervalli in cui è 0 e tenuto conto del fatto che per 1 k le rette del fascio non intersecano l arco significativo AB, si conclude che per k < - 61/5 e per k > , cioè tra la retta r 1 e la r 2, si hanno due soluzioni; per -61/5 < k < -1, cioè tra la retta r 2 e la r 3, si ha una soluzione; per k = -61/5 (retta per A) si ha una soluzione ordinaria ed una limite; per k = ( retta tangente all arco AB) 9.5 Discussione grafica di un equazione parametrica in un sistema misto La discussione di un sistema misto si può fare anche graficamente, come si era visto che si può fare nella risoluzione di un problema con due incognite ( V. i 6.12; 6.16; 6.20) L interpretazione grafica del sistema permette di vedere le soluzioni del sistema stesso. Nel seguito verranno considerati solo sistemi misti di secondo grado (i più frequenti) nei quali il parametro di discussione è al primo grado (oppure riconducibile al primo) ax 2 + bx + c = 0 Ad esempio sia dato il sistema misto α x β Se il parametro di discussione k è al primo grado è sempre possibile risolvere l equazione parametrica rispetto ad esso ottenendo la funzione algebrica razionale k = f(x) y = f(x) Ponendo k = y si otterrà il sistema y = k Si devono quindi cercare le intersezioni tra - una funzione il cui programma dovrà essere limitato in base alle condizioni imposte alla variabile x; - un fascio di rette parallele all asse x Poiché mancano le nozioni di Analisi Matematica indispensabili per lo studio delle funzioni,, ci si dovrà limitare al caso in cui il parametro figura solo a termine noto. 1 Esempio Discutere il seguente sistema misto x 2 3x + k 7 = 0-1 x 3 k >=< 0 Si risolve l equazione parametrica rispetto a k, ottenendo k = -x 2 + 3x

157 Ponendo si ottiene il seguente sistema k = y y = -x 2 + 3x + 7 y = k y -1 x 3 k <= > 0 V(3/2; 37/4) La prima equazione è quella di una parabola con l asse parallelo all asse delle y, con la concavità verso il basso e vertice (3/2; 37/4). B(3;; 7) La seconda equazione è quella di un fascio di rette parallele all asse x Si disegna ora la parabola, in cui l arco, compreso tra il punto A ( -1; 3) ed il punto B ( 3; 7), è a A(- 1; 3) tratto continuo, mentre il resto è tratteggiato. Le posizioni fondamentali delle rette rispetto alla parabola,sono tre: O 3 x 1 a posizione Una retta passa per il punto A Si ha k = 3 2 a posizione Una retta passa per il punto B Si ha k = 7 3 a posizione Una retta passa per il punto V in cui è tangente Si ha k = 37/4 Le conclusioni sono le seguenti Per k < 3 Nessuna soluzione Per k = 3 Una soluzione limite (x 1 = -1) Per 3 < k < 7 Una soluzione ordinaria Per k = 7 Una soluzione limiite (x 2 = 3) e una soluzione ordinaria (x 1 = 0) Per 7 < k < 3 7/4 Due soluzioni ordinarie distinte Per k = 37/4 Due soluzioni ordinarie coincidenti Per k > 37/4 Nessuna soluzione 2 Esempio Discutere il sistema misto x 2-2kx + k + 2 = 0-2 x 1 k >=< 0 Poiché il parametro, oltre che a termine noto, compare anche nel coefficiente del termine di primo grado conviene procedere come segue Si isolano a primo membro tutti i termini non contenenti il parametro, trasportando al secondo membro tutti gli altri. Si ottiene l espressione seguente x = 2kx - k Per la proprietà transitiva dell eguaglianza la suddetta equazione può essere scritta: 157

158 y = x y = 2kx x 1 k >=< 0 La prima equazione è quella di una parabola con l asse coincidente con l asse y, concavità verso l alto e vertice nel punto V (0 ; 2). Come in alcuni esercizi di precedenti, dell A(-2; 6) parabola si dovrà considerare il solo arco AB in cui A (-2; 6) e B ( 1 ; 3 ) B(1; 3) La seconda equazione è quella di un fascio proprio di rette con centro in C (1/2; 0) V(0; 2) Tre sono le posizioni fondamentali di alcune rette del fascio rispetto alla parabola -2 O C 1 e (1/2; 0) 1 a posizione Una retta passa per il punto B (1; 3) Si ha k = 3 2 a posizione Una reffa pass per il punto A (-2, 6) Si ha k = - 6/5 3 a posizione Una retta è tangente alla parabola nel punto T Si ha k = -1 Le conclusioni sono le seguenti Per k < -6/5 La retta è situata tra l asse y e la 2 a posizione Una soluzione ordinaria Per k = -6/5 La retta si trova in 2 a posizione, Una soluzione limite, una soluzione ordinaria Per -6/5 < k < -1 La retta è situata tra la 2 a e la 3 a posizione Due soluzioni ordinarie distinte Per k = -1 La retta sta in 3 a posizione Due soluzioni ordinarie coincidenti Per -1 < k < 3 La retta è posta tra la 3 a e la 1 a posizione Nessuna soluzione Per K = 3 La retta si yrova in 1 a posizione Una soluzione limite Per k > 3 La retta è situata tra la 1 a posizione e l asse y Una soluzione ordinaria 9.6 Discussione grafica di un sistema misto irrazionale con radicale quadratico Dopo la discussione algebrica di sistemi misti ( V. 9.2 ; 9.3) e dopo gli esempi di discussioni grafiche di equazioni parametriche in un sistema misto (V. 9.5) non èp inutile esaminare la discussione grafica di un sistema misto irrazionale con radicale quadratico Es. Sia da discutere il seguente sistema misto irrazionale x x = p 1 x 3 Poiché, secondo la prima equazione, per i valori limiti di x, p non può essere 3, c è un limite aggiunto x p e quindi la condizione aggiunta del parametro p 1 Come è già stato detto altre volte, si isoia il radicale 3 - x = - x + pe e, ricorrendo al reciproco della proprietà transitiva dell eguaglianza, si scinde l equazione precedente nelle due funzioni: 158

159 y = 3 - x e y = - x + p Potendosi scrivere la prima delle due funzioni nella forma y 2 + x - 3 = 0 ( con y 0), il sistema proposto è equivalente al seguente x = - y y = - x + p 1 x 3 y 0 La prima equazione è quella di una parabola con l asse coincidente con l asse x, e vertice nel punto V ( 3, 0) Per effetto delle condizioni imposte ( 1 x 3 e y 0), della parabola si dovrà prendere in esame il solo arco significativo (V. il 8.10) che ha per estremi i punti A( 1; 2) e V ( 3 ; 0) La seconda equazione è quella di un fascio improprio di rette di A(1; 2) cui la retta base è la bisettrice del 2 e 4 Quadrante( y -x) Le posizioni caratteristiche delle T rette rispetto alla parabola sono V(3 0) tre. 1 a posizione Una retta passa per A(1 ; 2 ) Essendo y = -x + p l equazione generica della retta per A, ed essendo x = ( p) / 2;ed y =( p) / 2, lecoordinate di A,sostituendo tali valori nella equazione della retta si ottiene p = a posizione Una retta passa per V (3; ; 0).Con un ragionamenmto analogo a quello della prcedente posizione si ottiene p = 3 3 a posizione Una retta è tangente alla parabola nel pnto T. Intersecando l equazione della parabola con quella della retta y = -x + p e ponendo il discriminante uguale a zero si ottiene p = 13/4 Considerando quanto sopra ed esaminando il disegno si può concludere che si hs Una soluzione per p 3 Una soluzione per 3 p 13/4 159

160 10.1 GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA I sei elementi di un triangolo (tre lati più tre angoli) non sono tutte grandezze omogenee tra loro-. Per superare tale difficoltà si sostituiscono agli angoli del triangolo, opportuni segmenti orientati le cui misure, rispetto ad una adeguata unità di misura,. dipendono soltanto dall ampiezza dell angolo, sono quindi funzioni dell angolo.. Tali funzioni sono dette funzioni goniometriche. Gli argomenti da sviluppare si possono dividere in due parti. Nella prima parte si devono definire le funzioni goniometriche e studiarne le proprietà; Questa parte si chiama goniometria, che significa misura dell angolo. Nella seconda parte si devono definire le formule che legano le misure dei lati del triangolo ai valori delle fiunzioni goniometriche degli angoli del triangolo stesso. Infine si realizza la risoluzione dei triangoli: questa terza parte è detta trigonometria,.che sigmnifica misura del triangolo. La trigonometria è un procedimento di calcolo algebrico che permette di determinare con la voluta approssimazione, (il. che non è possibile con la geometria), la misura degli elementi di un triangolo, quando siano noti alcuni di essi Angoli, archi circolari e loro misure A Un angolo è formato da due semirette, dette lati, O B uscenti da un punto comune,(o), detto vertice. Il piano su cui giacciono le due semirette è quindi diviso in due angoli che, sommati, costituiscono l angolo giro. Dei due angoli, quello che non contiene i prolungamenti dei lati è detto convesso, mentre quello che contiene i prolungamenti dei lati è detto concavo. Si chiama arco di circonferenza la parte di circonferenza compresa tra due lati che formano il corrispondente angolo al centro. Pertanto una circonferenza è divisa dai lati di un angolo in due archi:: AB e BA. I punti A e B si chiamano estremi dell arco Si dice che un angolo al centro sottende l arco corrispondente Per misurare un angolo occorre stabilire l unità di misura. L unità pratica per la misura degli angoli è il grado, definito come la 360^ parte dell angolo giro.un grado è suddiviso in 60 primi, ognuno dei quali è, a sua volta, suddiviso in 60 secondi. a loro volta suddivisi in decimi, centesimi L unità teorica per la misura degli angoli è il radiante, che è l angolo al centro cui corrisponfe un arco di circonferenza, di lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In figura l angolo α è un radiante perché l arco AB è uguale al raggio r. Poiché la lunghezza della circonferenza di raggio r è 2 π r indicando con α la misura, in gradi sessagesimali, di 1 radiante, si può scrivere la proporzione 360 : 2 π = α : r dalla quale si ricava che 1 radiante vale , 8.L angolo giro misura 2 π radianti; l angolo piatto (che è la metà dell angolo giro) vale π radianti; l angolo retto misura π / 2 radianti; la metà dell angolo retto, corrispondente a 45, misura π / 4 radianti, e così via. A r α 160

161 10.3 Funzioni goniometriche B c β Con riferimento alla figura a lato,vengono definite, nei a seguenti, le funzioni goniometriche Seno α A b C Si definisce seno dell angolo α (sen α) il rapporto tra il cateto opposto all angolo e l ipotenusa sen α = BC / AB = a / c (1) 10.5 Coseno Si definisce coseno dell angolo α (cos α) il rapporto tra il cateto adiacente all angolo e l ipotenusa cos α = AC / AB = b / c (2) 10.6 Tangente Si definiisce tangente dell angolo α (tg α) il rapporto tra il cateto opposto ed il cateto adiacente, che è uguale al rapporto tra seno e coseno tg α = BC / AC = a / b = sen α / cos α (3) 10.7 Cotangente Si definisce cotangente dell angolo α (cotg α) il reciproco della tangente cotg α = AC / BC = cos α / sen α = b / a (4) 10.8 Secante Si definisce secante dell angolo α (sec α) il reciproco del coseno sec α = 1 / cos α (5) 10.9 Cosecante Si definisce cosecante dell angolo α (cosec α) il reciproco del seno cosec α = 1 / sen α (6) ************************ Tutte le funzioni sopra definite sono, come si vede, dei numeri reali relativi che dipendono esclusivamente dall ampiezza dell angolo considerato Circonferenza goniometrica D B Se si considera una circonferenza con raggio unitario (r = 1) detta circonferenza goniometrica, i rapporti r = 1 O )α del seno e coseno prima definiti, si semplificano, essendo l ipotenusa del triangolo BOC uguale a 1, e si ha quindi, semplicemente sen α = BC cos α = OC (7) F G C E H 161

162 Poiché nella figura OE, OB, GH sono = 1 e OH = FG, la tangente e la cotangente diventano tg α = BC / OC = DE / OE = DE cotg α = OC / BC = OH / GH = FG (8) In tal modo tutte le quattro funzioni trigonometriche fondamentali si sono trasformate in segmenti e pertanto possono essere misurate con la stessa unità di misura usata per i lati del triangolo. Ovviamente le suddette semplificazioni valgono soltanto nella circonferenza goniometrica che ha il raggio unitario. Nei triangoli rettangoli con l ipotenusa diversa dall unità occorre applicare le formule da (1) a (4) e non le (7) e le (8).. Sempre facendo riferimento alla circonferenza goniometrica, per il teorema di Pitagora dalle (7) si ricava BC 2 + OC 2 = 1 da cui sen 2 α + cos 2 α = 1 (9) che è una relazione fondamentale da cui si ricavano sen α = ± 1 cos 2 α e cos α = ± 1 sen 2 α (10) Dalla (3) si può ricavare la tg α in funzione del seno o del coseno sen α ± 1 cos 2 α tg α = o tg α = (11) ± 1 sen 2 α cos α Se è nota la tg α si possono esprimere le funzioni seno e coseno con la tg α Basta dividere la (9) per cos 2 α sen 2 α = cos 2 α cos 2 α da cui si ricava 1 cos α = (12) ± 1 + tg 2 α e sostituendo la (12) nella (3) si ottiene tg α sen α = (13) ± 1 + tg 2 α Funzioni goniometriche inverse Sono funzioni goniometriche inverse: l arcoseno, l arcocoseno e l arcotangente cioè gli archi (angoli) che hanno il valore della funzione goniometrica data Se sen α = a è arcsen a = α Ad es. sen 30 = 1/2 arcsen 1/2 = 30 cos α = b è arccos b = α cos 45 = 2 /2 arccos 2/2 = 45 tg α = c è arctg c = tg 45 = 1 arctg 1 =

163 Ovviamente si deduce che sen arcsen a = a e cos arccos b = b Invece, se è sen δ = d e cos δ = e da cui arcsen d = δ e arccos e = δ si deduce che sen arccos e = sen δ = d e cos arcsen d = cos δ = e Alcuni valori notevoli di seno e coseno Si può immediatamente verificare che sen 0 = sen 0 = 0 cos 0 = cos 0 = 1 sen 90 = sen π/2 = 1 cos 90 = cos π/2 = 0 sen 180 = sen π = 0 cos 180 = cos π = -1 sen 270 = sen 3 π/2 = -1 cos 270 = cos 3 π/2 = 0 sen 360 = sen 2 π = 0 cos 360 = cos 2 π = 1 Va notato che l intervallo di variazione, sia per il seno che per il coseno, è (-1 ; +1) Grafici delle funzioni goniometriche Riportando i valori del precedente su un piano cartesiano, si ottengono due diagrammi periodici,. con periodo 2 π, detti sinusoide, quello del seno e cosinusoide quello del coseno 1 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q cosinusoide 0 π /2 π 3π /2 2 π -1 sinusoide Il piano cartesiano su cui giace la circonferenza 2 Q 1 Q goniometrica è suddiviso in quattro quadranti sen > 0 sen > 0 che compaiono anche nel diagramma delle cos < 0 cos > 0 sinusoidi.. Come si osserva nei diagrammi, il seno è > 0 nel 1 e nel 2 Quadrante; < 0 negli altri due 3 Q 4 Q Il coseno è > 0 nel 1 e 4 quadrante, < 0 sen < 0 sen < 0. negli altri due cos < 0 cos < 0 163

164 Il diagramma della tangente, anch esso periodico, + 1 Q 2 Q + 3 Q 4 Q ma con periodo π,.è detto tangentoide. Ed è rappresentato a fianco Da esso risulta che la curva che rappresenta la tangente è sempre crescente. La tangente è positiva nel 1 e nel 3 quadrante, negativa negli altri due. In corrispondenza di π/2 e di 3 π/2 la curva va 0 π/2 π 3π/2 2π all infinito. Non esiste quindi la tg π/2 e la tg 3π/ FORMULARIO PER IL TRIANGOLO RETTANGOLO Valori delle funzioni goniometriche di archi speciali Archi Funzioni α α Sen α Cos α Tang α Cotg α Lim = 9 π/ π/12 (1/4) ( 6-2 ) (1/4) ( ) π/10 (1/4) ( 5 1) (1/4) (1/5) π/6 1/2 3 / 2 3 / π/5 (1/4) (1/4) ( 5 + 1) (1/5) π/4 2 / 2 2 / (3/10)π (1/4) ( 5 + 1) (1/4) (1/5) π/3 3 / 2 1/2 3 3 / 3 72 (2/5)π (1/4) (1/4) ( 5 1) (1/5) (5/12)π (1/4) ( ) (1/4) ( 6-2 ) π/2 1 0 Lim = 0 164

165 10.16 Funzioni goniometriche espresse mediante una funzione nota (14) Funzione nota sen α cos α tg α sen α sen α ± 1 - sen 2 α cos α ± 1 cos 2 α cos α sen α ± 1 - sen 2 α ± 1 cos 2 α cos α tg α tg α 1 ± 1 + tg 2 α ± 1 + tg 2 α - tg α Funzioni goniometriche di angoli maggiori dell angolo giro Un angolo qualsiasi (β), maggiore dell angolo giro (2π), può essere considerato come una somma di k angoli giro + un angolo α, cioè β = α + k 360 ovvero β = α + 2 k π Ad es. un angolo di 810 è uguale a ossia π/2 + 2 (2 π) Se ne deduce che sen ( α + 2 k π ) = sen α cos ( α + 2 k π ) = cos α (15) e così via Formule goniometriche di due angoli complementari ( α e π/2 - α ) Tenendo presente la circonferenza goniometrica si ottengono le formule seguenti sen ( π/2 - α ) = cos α cos ( π/2 - α ) = sen α tg ( π/2 - α ) = cotg α (16) Formule goniometriche di due angoli supplementari ( α e π - α ) sen ( π - α ) = sen α cos ( π - α ) = - cos α tg ( π - α ) = - tg α (17) Formule goniometriche di due angoli che differiscono di un angolo retto ( α e π/2 + α ) sen ( π/2 + α ) = cos α cos ( π/2 + α ) = - sen α tg ( π/2 + α ) = - tg α (18) 165

166 10.21 Formule goniometriche di due angoli che differiscono di un angolo piatto ( α e π + α) sen ( π + α ) = - sen α cos ( π + α ) = - cos α tg ( π + α ) = tg α (19) Formule goniometriche di due angoli opposti ( α e - α ) sen ( - α ) = - sen α cos ( - α ) = cos α tg ( - α ) = - tg α (20) Formule goniometriche per l addizione degli angoli ( α + β ) sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β cos ( α + β ) = cos α cos β - sen α sen β tg tg α + tg β ( α + β ) = 1 - tg α tg β (21) Formule goniometriche per la sottrazione degli angoli ( α - β ) sen ( α - β ) = sen α cos β - cos α sen β cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β tg tg α - tg β ( α - β ) = 1 + tg α tg β (22) Formule goniometriche per la duplicazione degli angoli ( 2 α ) Ponendo α = β nelle (21) si ottiene sen 2 α = 2 sen α cos α cos 2 α = cos 2 α - sen 2 α = 2 cos 2 α - 1 = 1-2 sen 2 α 2 tg α tg 2 α = 1 - tg 2 α (23) Formule per esprimere le funzioni goniometriche con gli angoli bisezionati Sostituendo ad α l angolo α/2 le formule precedenti diventano 166

167 sen α = 2 sen α/2 cos α/2 cos α = cos 2 α/2 - sen 2 α/2 = 2 cos 2 α/2-1 = 1-2 sen 2 α/2 2 tg α/2 tg α = 1 - tg 2 α/2 (24) Formule goniometriche per la bisezione degli angoli Dalle formule di cos α delle (24) si ricavano le formule seguenti / 1 - cos α sen α/2 = ± 2 / 1 + cos α cos α/2 = ± 2 (25) / 1 - cos α tg α/2 = ± 1 + cos α Formule goniometriche per esprimere seno e coseno di un angolo α mediante tg α/2 2 tg α/2 1 - tg 2 α/2 sen α = cos α = (26) 1 + tg 2 α/2 1 + tg 2 α/ Formule, dette di prostaferesi, per la trasformazione di somme di funzioni goniometriche in prodotti, Sostituendo, nelle (21) e (22), p = α + β e q = α - β si ricavano le formule seguenti sen p + sen q = 2 sen ½ (p + q) cos ½ (p q) sen p - sen q = 2 cos ½ (p + q) sen ½ (p q ) cos p + cos q = 2 cos ½ (p + q) cos ½ (p q) cos p - cos q = - 2 sen ½ (p + q) sen ½ (p - q) (27) sen ( p ± q ) tg p ± tg q = cos p cos q sen ( q ± p) cot p ± cot q = sen p sen q 167

168 Dalle prime due delle (27) si ricava sen p + sen q tg ½ (p + q) = (28) sen p - sen q tg ½ (p q) Formule di Werner Sommando membro a membro le formule relative al seno delle (21) e (22) si ottiene sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = 2 sen α cos β sen ( α + β ) - sen ( α - β ) = 2 cos α sen β Analogamente dalle formule relative al coseno delle (21) e (22) si ottiene cos ( α + β ) + cos ( α - β ) = 2 cos α cos β cos ( α + β ) - cos ( α - β ) = -2 sen α sen β Dalle suddette formule si ricavano le formule di Werner sen α cos β = ½ [ sen ( α + β ) + sen ( α β )] cos α sen β = ½ [ sen ( α + β ) sen ( α β )] (29) sen α sen β = ½ [ cos ( α β ) cos ( α + β )] cos α cos β = ½ [ cos ( α β ) + cos ( α + β )] TRIGONOMETRIA PIANA - Triangoli rettangoli Come è già stato detto, la trigonometria studia le relazioni tra gli elementi dei triangoli basandosi sulla teoria delle funzioni goniometriche B Relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo Per studiare le relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo si fa riferimento alla figura a lato α c β a Dalle (1), (2), (3) si ricavano le formule seguenti A b B a = c sen α b = c cos α a = b tg α (30) Se β è l angolo complementare di α (cioè β = 90 - α ) si ha a = c cos β b = c sen β b = a tg β (31) RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI Nei seguenti sono riportate le formule che servono per calcolare gli elementi incogniti di un triangolo, quando sono noti alcuni elementi. Si fa riferimento alla figura del

169 10.34 Calcolare i due angoli α e β e l ipotenusa c, dati i due cateti a e b Dalla terza delle (30) si ricava tg α = a / b da cui si ottiene α. E poi β = π/2 - α L ipotenusa si calcola mediante il teorema di Pitagora c = a 2 + b Calcolare il cateto b e gli angoli α e β, dati l ipotenusa c e il cateto a Essendo per la prima delle (7) sen α = a / c si ricava immediatamente α e quindi β = π/2 - α Con il teorema di Pitagora si ricava b = c 2 - a Calcolare l ipotenusa c, un cateto b e l angolo ad esso opposto β, dati l altro cateto a e l angolo (acuto) α Si ha subito β = π/2 - α Dalla prima delle (30) a = c sen α si ricava l ipotenusa c = a / sen α Il cateto b si calcola dalla terza delle (30) b = a tg α Calcolare i due cateti a e b e un angolo α, dati l ipotenusa c e l altro angolo (acuto) β E α = π/2 - β I due cateti si ricavano dalle (30) Ad es, a = c sen α e b = c cos α Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualsiasi Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo Sia dato il triangolo ABC inscritto in una circonferenza di raggio R, di cui BD è il diametro. Gli angoli BAC e BDC, che sottendono lo stesso arco c A BC, sono uguali (α). B α Il triangolo BCD è rettangolo perché inscritto in una R b semicirconferenza. Vale quindi la relazione O a = BD sen α = 2 R sen α a α a D α da cui R = (32) 2 sen α Teorema dei seni Poiché il ragionamento del precedente si può ripetere per tutti gli angoli del triangolo ABC, si può scrivere a b c 2 R = = = (33) sen α sen β sen γ 169

170 10.41 Teorema di Nepero Dalle (33) si ricava a : b = sen α : sen β Per una nota proprietà delle proporzioni si può scrivere a + b sen α + sen β tg ½ ( α + β ) = = per la (28) = (34) a b sen α - sen β tg ½ ( α - β ) Teorema delle proiezioni C Considerando la figura a lato si può scrivere b a c = b cos α + a cos β (35) α β che significa che: A c B ogni lato di un triangolo è la somma delle proiezioni degli altri due lati su di esso Teorema di Carnot A In un triangolo ABC, di cui sono noti due lati b e c α e l angolo compreso α, si può ricavare il terzo lato a b β con la formula γ B a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos α (36) a C Formule di Briggs Dato un triangolo, come quello del precedente, ricavando cos α dalla (36) e sostituendolo nella prima delle (25) si ricava ( a + b c ) ( a b + c ) sen α/2 = 4 b (37) Poiché a + b + c = 2 p è il perimetro del triangolo, risulta a + b c = 2 ( p c ) e a b + c = 2 ( p b ) (38) Sostituendo le (38) nella (37) si ottiene sen α/2 = ( p b ) ( p c ) b c In modo analogo si ricava (39) p ( p a ) ( p b ) ( p c ) cos α/2 = b c e tg α/2 = p ( p a ) 170

171 10.45 Seno di un angolo di un triangolo in funzione dei tre lati Dalla prima delle (24) e dalla prima e seconda delle (39) si ricava sen α = 2 p ( p a ) ( p b ) ( p c ) (40) b c in cui α è l angolo compreso tra b e c Area di un triangolo e di un parallelogramma, dati due lati e l angolo compreso L area del triangolo della figura è S = c h / 2. b h Essendo h = b sen α si ha α S = ½ b c s L area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell angolo compreso b Da quanto sopra si deduce L area di un parallelogramma è uguale al prodotto α dei due lati per il seno dell angolo compreso. c Formula di Erone per calcolare l area di un triangolo di cui sono noti i lati Dalla (40) e dalla (41) si ottiene S = p ( p a ) ( p b ) ( p c ) (42) che è la formula di Erone Un altra formula per il calcolo dell area di un triangolo di cui sono noti i lati è la seguente a + b 2 c 2 c 2 a b 2 S = Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo di cui sono noti i lati Dalla (37) e dalla (42) si ricava sen α = 2 S / b c Dividendo ambo i membri per a si ha sen α / a = 2 S / a b c a b c Dalla (32) si ricava R = (43) 4 S Il raggio del cerchio circoscritto ad un triangolo di cui sono noti i lati si ottiene dividendo il prodotto dei lati per quattro volte l area del triangolo stesso (da ricavare con la (38) ) R si può anche calcolare con la (32) 171

172 10.49 Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo di cui sono noti i lati I triangoli AOB, BOC, e COA hanno per base i lati del triangolo e per altezza il raggio R della circonferenza inscritta nel triangolo stesso. L area S del triangolo è quindi (a + b + c)r A S = = p R 2 c da cui R = S / p (44) O b B RISOLUZIONE DI TRIANGOLi QUALUNQUE a Nei paragrafi che seguono si fa riferimento alla figura del R C Calcolare i tre angoli di un triangolo,dati i tre lati Si applicano le formule (39) Calcolare un lato c e gli angoli adiacenti α e β di un triangolo, dati gli altri due lati a e b e l angolo compreso γ sen γ Il lato c si può calcolare con le (33) c = a sen α Per calcolare I due angoli si devono fare alcune considerazioni Poiché α + β + γ = π e quindi α + β = π - γ, dividendo entrambi i membri della uguaglianza per 2, si ottiene ½ ( α + β ) = π/2 - γ/2 Poiché, in base alla terza delle (13) è tg (π/2 - γ/2 ) = cotg γ/2, si ha tg ½ ( α + β ) = cotg γ/2 a - b Dalle (34) si ricava tg ½ ( α -β ) = cotg γ/2 a + b da cui si ottiene il valore di ( α - β ) = m Si tratta quindi di risolvere il sistema α + β = π - γ α - β = m per ricavare α e β Calcolare due lati b e c di un triangolo e l angolo compreso α, dati il terzo lato a e gli altri due angoli β e γ L angolo è α = π - ( β + γ ) a sen β a sen γ I due lati si ricavano dalle (33) b = e c = sen α sen α 172

173 10.54 Calcolare un lato c di un triangolo e due angoli β e γ ( di cui uno opposto a c ), dati gli altri due lati a e b e l angolo α ( opposto ad a ) Il problema si risolve con le formule b sen α sen β = ( ricavata dalle (33) ) da cui si ottiene β a γ = π - ( α + β ) a sen γ c = ricavata dalle (33) sen α Altezze, bisettrici e mediane di un triangolo in funzione dei lati Altezze Se h è l altezza, relativa al lato c, di un triangolo la cui area è quindi S = ½ c h, dalla (42) si ricava h = 2 S / c = (2/c) p (p a) (p b) (p c) (45) dove a, b, c sono i lati e p il semiperimetro. A Bisettrici A La bisettrice dell angolo α divide il triangolo ABC in c α/2 α/2 b due triangoli BAP e PAC le cui aree per la (41) sono d uguali a ½ c d sen (α/2) e ½ b d sen (α/2) B P a C L area del triangolo ABC è quindi uguale a ½ d (c + b) sen α Dalla (42) e dalle (39) si ricava la bisettrice 2 d = b c p ( p a ) b + c in cui a, b, c e p hanno il significato detto al precedente Mediane La mediana m relativa al lato a, divide il triangolo ABC. A In due triangoli BAM e MAC. Applicando il teorema di Carnot ( formula 36 ) ai lati b e c dei due triangoli e sommando membro a membro c m b le due espressioni risultanti, si ricava π-δ δ B M a C b 2 + c 2 = 2 m 2 + 1/2 a 2 173

174 da cui m = 1/2 2 (b 2 + c 2 ) - a APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA Calcolo di distanze ed altezze Nei seguenti si considerano alcuni problemi pratici che si presentano in topografia, astronomia, navigazione, artiglieria, ecc che possono essere risolti mediante le formule della trigonometria, misurando direttamente alcuni dati, come le distanze (segmenti) con il metro, o gli angoli su un piano orizzontale o su uno verticale, con il teodolite Distanza tra due punti accessibili, ma non visibili l uno dall altro I punti A e B non sono visibili e non sono accessibili C tra di loro ( a causa di un ostacolo, come una collina o un edificio ), ma sono visibili e accessibili dal punto C γ Per risolvere il problema della misurazione della b a distanza AB = c, si misurano le distanze a e b e l angolo γ compreso tra a e b A questo punto si applica il teorema di Carnot A c B ( v 10.53) Distanza tra due punti visibili tra di loro ma non accessibili A e B sono due punti visibili tra di loro, ma non B accessibili (ad es.per la presenza di un fiume o di una trincea nemica) c a Per misurare la distanza AB = c si deve scegliere un punto C accessibile da A, misurare la distanza AC = b e gli angoli α e γ formati dalla retta AC con le rette AB e BC α γ Il problema è simile a quello del 10. i ricavano BC = b e BD Applicando il teorema di Carnot ad es.al triangolo ACB di cui si conoscono i lati AC e BC e l angolo γ - γ, si ricava la distanza AB cercata Altezza di una torre, visibile ed accessibile L altezza AB di una torre accessibile e visibile si misura scegliendo un punto C, allo stesso livello di A, e misurando la distanza AC = b e l angolo ACB = α E semplicemente AB = c = b tg α 174

175 Se C è situato più in alto o più in basso di A bisogna scomporre il problema in due e risolverli separatamente Nel primo caso (Fig 10,15.1) è c = c 1 + c 2 Nel secondo caso (Fig ) è c = c 2 - c 1 B B B c 1 Fig c α 1 c C α 2 c c 2 α c 2 Fig b A A α A c 1 β C Altezza di una torre, visibile ma non accessibile Per misurare l altezza AB = c si scelgono due punti C e D al livello di A, e si misura la distanza CD = d Poi si misurano gli angoli α e β da cui si ricava l angolo γ = β - α. Conoscendo d, α e γ, per il teorema dei seni ( v ) si ha d sen α BD = sen γ α β Inoltre per la prima delle (30) è C D A d γ B c c = AB = BD sen β Se il segmento CD è situato più in alto o più in basso del punto A il problema si scompone in due e va risolto in modo analogo a quello descritto al precedente. 175

176 11.1 IDENTITA, EQUAZIONI E SISTEMI DI EQUAZIONI GONIOM ETRICHE 11.2 IDENTITÀ GONIOMETRICHE Una uguaglianza fra due espressioni goniometriche si dice identità se è verificaper qualunque valore degli angoli che in essa figurano In una identità goniometrica è sempre possibile trasformare i due membri della uguaglianza in modo da ottenere due espressioni identicamente uiguali. Es. Verificare la seguente identità 3 sen 2 α + cos 2 α = 3-2 cos 2 α A) Si può trasformare il primo membro in modo da renderlo identico al secondo: 1 membro = 3 sen 2 α + cos 2 α = 3(1 - cos 2 α) + cos 2 α = 3-3 cos 2 α + cos 2 α =: = 3-2 cos 2 α = 2 membro B) Si può trasformare il secondo membro in modo da renderlo identico al primo 2 membro = 3-2 cos 2 α = 3(sen 2 α + cos 2 α) - 2 cos 2 α =3 sen 2 α + 3 cos 2 α - 2 cos 2 α = = 3 sen 2 α + cos 2 α = 1 membro C) Si può trasformare, contemporaneamente, primo e secondo membro, in modo da ridurli identicamente uguali ad una terza espressione e verificare l uguaglianza in base alla proprietà transitiva. 1 membro = 2 membro = = 3 sen 2 α + cos 2 α = 3 sen 2 α + 1 -sen 2 α = =3-2 cos 2 α = 3-2(1 - sen 2 α) = = 2 sen 2 α sen 2 α = 2 sen 2 α EQUAZIONI GONIOMETRICHE Si definisce equazione goniometrica una uguaglianza tra due espressioni, contenenti delle funzioni goniometriche, soddisfatta da certi valori ( se esistono ) dell angolo ( o argomento) x, detti soluzioni dell equazione Equazioni goniometriche elementari Si definisce equazione goniometrica elementare una qualunque delle equazioni del tipo sen x = α cos x = b tg x = c cotg x = d Le soluzioni di queste equazioni sono date dalle funzioni goniometriche inverse (V. 10.5) 11.5 Risoluzione di un equazione goniometrica Per risolvere una equazione goniometrica, contenente più funzioni goniometriche di x, di tipo diverso, occorre procedere nel modo seguente 176

177 A) Trasformare in un unca funzione tutte quelle che figurano nell equazione B) Risolvere l equazione ottenuta, rispetto alla funzione suddetta,considerata come Incognita C) Risolvere, infine, le equazioni elementari così ottenute Per esempio l equazione a sen x + b cos x + c tg x + d = 0 c sen x si trasforma, con le formule (14), in a sen x + b 1 sen 2 x + + d = 0 1 sen 2 x In questo modo l equazione data assume la forma di una equazione nella variabile ausiliaria t = sen x, e la si risolve come una qualsiasi equazione.algebrica 11.6 Equazioni goniometriche di 1 grado in se n x e cos x Sono del tipo a sen x + b cos x = c Equazioni di tale tipo si potrebbero risolvere, come detto precedentemente, sostituendo ad es. a cos x l espressione 1 - sen 2 x, ma questo metodo comporta una elevazione al quadrato per eliminare la radice e si potrebbero in tal modo introdurre delle soluzioni estranee che non soddisfano l equazione data; da cui la necessità di una verifica. Per evitare tale inconveniente si può costruire un sistema formato dall equazione data e dall identità sen 2 x + cos 2 x = 1 Questo sistema si risolve senza ricorrere alla elevazione al quadrato. ( v 11.9 ) Perché l equazione data abbia soluzione occorre però che sia verificata la disuguaglianza c 2 a 2 + b Equazioni goniometriche di 2 grado, omogen ee, in sen x e cos x, con termine noto uguale a zero Tali equazioni sono del tipo a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 Supponendo a 0 e cos x 0 e dividendo per cos 2 x, si ottiene a tg 2 x + b tg x + c = 0 che si risolve come una equazione algebrica nell incognita z = tg x 11.8 Equazioni goniometriche di 2 grado,omoger nee, in sen x e cos x, con termine noto diverso da zero Sono del tipo a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = d Esse si riducono alla forma del precedente moltiplicando il termine noto per sen 2 x + cos 2 x = 1 ottenendo così l equazione ( a d ) sen 2 x + b sen x cos x + ( c d ) cos 2 x = Metodo grafico per la risoluzione di equazioni goniometriche del tipo del 11.6 Le equazioni del tipo di 11.6 si possono risolvere graficamente ponendo cos x = X sen x = Y 177

178 Il sistema del suddetto diventa così b X + a Y - c = 0 X 2 + Y 2 = 1 La prima equazione rappresenta una retta; la seconda una circonferenza di raggio unitario Le intersezioni, se esistono, tra i due luoghi geometrici, rappresentati su un piano cartesiano, sono le soluzioni dell equazione data SISTEMI DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE Un sistema di equazioni è goniometrico se almeno uns delle equazioni è una funzione goiniometrica (cioè l incognita è espressa mediante una funzione Sistemi normali Sono sistemi in cui almeno una delle equazioni è goniometrica, comprendente funzioni di argomento x ed y. Essi sono risolvibili con le regole dell algebra (sostituzione, confronto, ecc.) e / o con la sostituzione di alcune funzioni in modo da ottenere un unica equazione goniometrica con un unico tipo di funzione, avente come angolo ( o argomento) x o y. Es. 3 sen x = 3 sen y tg x tg y = 1 sen y = 3 sen x cos y = 1 sen 2 y = 1 3 sen 2 x sen x sen y sen x 3 sen x = 1 = 1 cos x cos y 1 sen 2 x 1 3 sen 2 x 3 sen 2 x = 1 4 sen 2 x + 3 sen 4 x da cui si ricava sen 2 x = ¼ sen x = ± ½ x = ± π / 6 = π / 6 + k π sen y = 3 ( ± ½ ) y = ± π / 3 = π / 3 + k π Sistemi simmetrici di equazioni goniometriche di 2 gra Sono sistemi in cui una equazione è la somma (s) delle due incognite e l altra è il loro prodotto (p) Le soluzioni sono le radici dell equazione, nell incognita ausiliaria z : z 2 s z + p = 0. Es Sia dato il sistema sen 2 x + sen 2 = 0,34 sen x sen y = 0,15 178

179 Elevando al quadrato la seconda equazione si ottiene sen 2 x + sen 2 y = 0,34 sen 2 x sen 2 y = 0,0225 Si ha così un sistema in cui le incognite sono sen 2 x e sen 2 y. Indicandole rispettivamente con u e v, il sistema diventa u + v = 0,34 u v = 0,0225 Quindi z 2 0,34 z + 0,0225 = 0 Che ha come soluzioni u = 0,09 e v = 0,25 Si ha pertanto sen 2 x = 0,09 sen x = ± 0,3 x = 17, k 180 sen 2 y = 0,25 sen y = ± 0,5 y = 30 + k Sistemi di equazioni goniometriche, con limitazioni La discussione di una equazione goniometrica, soggetta a limitazioni, viene naturalmente riiicccondotta alla discussione di un equazione algebrica ^ A questo scopo si deve evitare che le funzioni dell angolo incognito, sotto il segno di sen x o cos x o tg x, siano diverse tra di loro ( ad es. da cos 2x + sen x = k si deve passare a cos 2 x sen 2 x + sen x = k - v. formula (23) del ) ^ Bisogna che la funzione dell angolo incognito compaia sotto il segno di un unica funzione ( Ad es. da cos 2 x.- sen 2 x + sen x = k, si devre passare a 2 sen 2 x + sen x = k) Una volts che l equazione data (1) è stata ricondotta all equazione equivalente (2, in z, si devono esprimere, rispetto alla variabile z, anche le limitazioni. Siano esse, ad es. α < x < β (con 0 α < β 2π ) (3) Si considera la soluzione più semplice cioè quella in cui la funzione goniometrica f(x) della (2) è uguale a x. 1) Se 0 α < β π/2, al crescere di x da α a β, anche sen x e tg x crescono mentre invece cos x decresce, per cui la discussione va effettuata, a seconda dei casi, sotto le condizioni sen α < z < sen β; cos β z < cos α; ; tg α < z < tg β tenendo presente che ad ogni radice accettabile della (2), cioè l equazione in z, corrisponde una ed una sola radice accettabile della (1). In particolare se z 1 e z 2 ( con z 1 < z 2 ) sono due radici della (2) e se x 1 e x 2 sono le radici corrispondenti della (1), si ha x 1 < x 2 se z = sen x o z = tg x, mentre risulta x 1 > x 2 se z = cos x. 2) Analoghi ragionamenti valgono nei casi in cui si hanno le disequazioni π/2 α < β π o π α < β 3π/2 o 3π/2 α < 2kπ Nel 1 caso si deve discutere la (2) prima per sen α < z sen,β facendo corrispondere ad ogni soluzione accettabile della (2) una soluzione accettabile della (1). E poi per sen β < z 1, associando ad ogni radice accettabile della (2) due soluzioni accettabili della (1) (simmetriche rispetto a π/2) Nel 2 caso si deve discutere la (2) per sen α = sen β < z 1, associando ad ogni soluzione accettabile della (2) due soluzioni accettabili della (1) Analoghe considerazioni si devono fare per le limitazioni del tipo α x < β ; α < x β; α x 179

180 12.1 DISEQUAZIONI E SISTEMI DI DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Definiti gli estremi tra cui è compreso l'angolo α, ( che è l incognita della disequazione goniometrica da risolvere), occorre determinare gli archi della circonferenza goniometrica delimitati da tali estremi, tenendo presente che tali archi devono essere presi in senso orario, partendo dall angolo 0 (= 2kπ ), oppure da quello più prossimo allo DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI Sono disequazioni del tipo sen x >< a coxs x >< b tg x >< c cotg x >< d la risoluzione delle quali consiste nella ricerca degli eventuali valori dell incognita per I quali la corrispondente funzione goniometrica risulta mggiore o minore dk un numero assegnato Pe la risoluzione di una disequazione goniometrica è opportuno procedere con il metodo grafico illustrato nell esempio che segue Es. Risolvere la seguente disequazione goniometrica elementare sen x < 1/2 Gli zeri della disequazione, cioè le radici dell equazione associata alla disequazione, sono π/6 + 2kπ e 5π/6 + 2kπ Fatto questo si costruisce la circonferenza goniometrica y e si conduce la retta di equazione Y = ½ fino ad B incontrare la curva nei punti C e D che sono gli estremi degli archi la cui misura corrisponde ai D C suddetti zeri dell equazione. 5π/6 1/2 π/6 Poiché la disequazione chiede di determinare tutti gli archi il cui seno risulta minore di ½ gli estremi di tali A O r = 1 A x archi devono appartenere, ovviamente, all arco DC e la disequazione sarà verificata/ per 2kπ x < π/6 + 2kπ e 5π/6 + 2kπ < x 2(k + 1)π equivalente a -7π/6 + 2kπ < x < π/6 +,2kπ B 12.3 Metodo analitico/grafico Alcuni esempi Es. 1 Risolvere la disequazione: 2 sen 2 α + 5 cos α > 4 (1) Essendo sen 2 α = 1 cos 2 α la (1) diventa 2 cos 2 α - 5 cos α + 2 < 0 che è una disequazione di 2 grado in cos α avente come soluzione algebrica ½ < cos α < 2 (2) Ma essendo cos α al massimo uguale a 1 la (2) si deve scrivere 180

181 ½ < cos α 1 da cui 1/ kπ α < π / 3 + 2kπ o 5 π / 3 < α 2π +2kπ π/3 +2kπ (prima l arco rosso poi l arco blu, secondo quanto 0 detto all inizio del capitolo) 5π/3+2kπ E s.2 Risolvere la disequazione 2 sen 2 (α/2) < 1 sen α (3) Per le formule per la bisezione degli angoli (25 del ) la (3) diventa - 2/2 2/2 1 - cos α < 1 sen α cioè sen α < cos α 3π/ π/4 e. elevando al quadrato, 1 cos 2 α < cos 2 α cioè 2 cos 2 α > 1 cos 2 α > 1/2 5π/4 7π/ 0 5π/4 7π/4 L ultima disequazione ha le soluzioni cos α < - 2 /2 v cos α > 2 /2 da cui 3 π/4 + 2kπ < α < 5 π/4 + 2kπ v v 0 + 2kπ < α < π/4 + 2kπ e 7 π/4 < α < 2 π + 2kπ Es. 3 Risolvere la disequazione: _ (4-6) sen 2 α - 6 cos 2 α sen α > 2 2 sen α Si trasforma il cos in sen, si riducono i termini simili e si ottiene 4 sen 2 α + 2( 3-2)sen α Le soluzioni della disequazione di 2 grado in s en α sono 3 π/4 + 2kπ π/4 + 2kπ Y = 2/2 sen α < - 3/2 v sen α > 2/2 Y = - 3/2 Si ha perciò 4 π/3 + 2kπ 5 π/3 + 2kπ π/4 + 2kπ < α < 3 π/4 + 2kπ o 4 π/3 + 2kπ < α < 5 π/3 + 2kπ 181

182 12.4 Metodo grafico E adatto per disequazioni goniometriche di 1 gr ado contenenti sen α e cos α. Effettuando la sostituzione cos α = X e sen α = Y ed uguagliando a zero la disequazione data, essa si trasforma nell equazione di una retta. Si traccia la circonferenza X 2 + Y 2 = 1 e la retta di cui sopra e si determinano i due punti di intersezione; quindi si trovano gli angoli corrispondenti a tali punti. Non è necessario fare calcoli, eccetto quelli per determinare gli angoli che delimitano, sulla circonferenza, gli archi cui corrispondono i valori degli angoli stessi che soddisfano la disequazione Considerando il segno di cos α, cioè di X, per la scelta degli archi suddetti occorre tenere presente quanto segue Se X e la disequazione sono entrambi > 0 o entrambi < 0, gli archi che soddisfano la disequazione sono quelli situati a destra della retta in X e Y Se invece X e la disequazione sono l uno > 0 e l altro < 0, si devono prendere come soluzione gli archi posti a sinistra della retta in X e Y Gli archi vanno sempre presi in senso orario partendo (non è tassativo ma opportuno) dall angolo 0 + 2kπ, se questo angolo fa parte di uno degli archi da prendere, oppure dall angolo più prossimo allo 0 (ovviamente in senso orario) Alcuni esempi chiariranno quanto detto sopra Es. 1 Risolvere la seguente disequazione 3 sen α - 3 cos α 0 Procedendo come detto precedentemente si ha 1 B X 2 + Y 2 = 1 (circonferenza) π/6+2kπ _ 3 Y - 3 X 0 O _ 0 A 3/2 3 _ 7 /6+2k da cui la retta 3 Y - 3 X = 0 nella quale per X = 0 è Y = 0 _ per X = 3 è Y = 1 Per determinare l angolo α formato dalla retta con l asse x, basta considerare il triangolo OAB dove il cos α = OA / OB Poiché AB = 1 e OA = 3, per il teorema di Pitagora è OB = 1+3 = 2 da cui risulta cos α = 3/2, cui corrisponde α = π/6 Essendo uguali i segni della X e della disequazione, si prendono gli archi a destra della retta. La soluzione della disequazione data è pertanto la seguente 0 + 2kπ α π/6 + 2kπ v 7 π/6 + 2kπ α 2π + 2kπ 182

183 Es. 2 Risolvere la seguente disequazione sen α + 3 cos α - 1 < 0 π/2+2kπ Procedendo come nell Es. 1 si può scrivere _ Y + 3 X 1 < 0 π/2 +2kπ _ O 3/2 3 X 2 + Y 2 = 1 0+2kπ A _ 11π/6+2kπ La retta è quindi 3 X + Y 1 = 0 Essa si può tracciare osservando che B per X = 0 è Y = 1 e per X = 3 è Y = Facendo sul triangolo OAB considerazioni analoghe a quelle dell Es. 1 si trova che cos α = - 3/2 e quindi α = - π/6. In questo caso però la retta individua anche un altro angolo, diverso da -π/6, che, come si vede nella figura, è π/2-2 Essendo i segni di X e della disequazione, discordi, si prende l arco, compreso tra i due angoli trovati, posto a sinistra della retta. La soluzione della disequazione data è quindi la seguente π/2+2kπ < α < 11π/6 + 2kπ Es. 3 Risolvere la seguente disequazione sen α + cos α > 3/2 _ Y + X > 3/2 X 2 + Y 2 = 1 L equazione della retta è quindi _ X + Y 3/2 > 0 5 π/12+2kπ Si traccia la retta osservando che per X = 3/2 è Y = 0 e π/12+2kπ per Y = 3/2 è X = 0 Tale retta interseca la circonferenza in due punti le cui coordinate si ricavano risolvendo il sistema Si trova che cos α = ( 6 ± 2) /4 I due valori del coseno corrispondono ai due angoli π/12 e 5 π/12 Essendo i segni di X e della disequazione, uguali, si prende l arco a destra della retta La soluzione della disequazione è quindi π/12 + 2kπ < α < 5 π/12 + 2kπ 183

184 12.5 SISTEM DI DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTAR Per risolvere un sistema di disequazioni goniometriche elementari basta attenersi allregole seguite nella risoluzione delle disequazioni elementari. Esempio Risolvere il seguente sistema di disequazioni goniometriche elementari sen x < 0 y cos x > 1/2 B La prima disequazione è, ovviamente, π/3 verificata per tutti i valori di x del 3 e del 4 Quadrante (cioè da π a 2π) La seconda disequazione è verificata per A π ½ 2π A 2kπ x < π/3 + 2kπ x e 5π/3 + 2kπ < x 2(k + 1)π Dopo avere riportato sul cerchio goniometrico, i valori della prima disequazionre in blu e quelli della seconda in rosso ed in viola, si osserva immediatamente che il sistema proposto ha soluzioni soltanto per 5π/3 + 2kπ < x 2(k + 1)π cloè per l arco colorato in viola, che è la zona in cui sono contemporaneamente verificate le due disequazioni del sistema, Sistemi misti di disequazioni goniometriche Viene presentato un esempio di discussione di un sistema misto di disequazioni goniometriche 1 Esempio Si vuole discvutere il sistema m isto sen 2 x - 2(k + 1) sen x + 2k = 0 (1) (k è un numero reale) 0 x 5π/3 Per quanto stabilito al , posto sen x = z si devono discutere i due sistemi misti. z 2-2(k + 1) z + 2k = 0 z 2-2(k + 1)z + 2k = 0 0 z ½ ½ z 1 associando ad ogni soluzione del primo sistema una soluzione del sistema (1) e ad o9gni soluzione del secondo sistema due soluzioni del sistema (1). Le due discussioni si effettuano contemporaneamente ad es. con il metodo della parabola associata (v, 8.7). Risulta /4 = k 2 + 2k + 1 2k > 0 per ogni k dei numeri reali f(0) = 2k f(0) 0 per k 0 f(1/2) = ¼ - (k + 1) + 2k f(1/2) 0 per k > 3/4 f(1) = 1-2 (k + 1) + 2k f(1) 0 per nessun valore di k B 5π/3 184

185 Costruito ed esamìnato il quadro schematico relativo ai valori trvovati si conclude che Per k < 0 non c è nessuna soluzione accettabile dell equazione in z, né di quellaq in x Per 0 < k < ¾ esiste un vzlore accettabile di z = sen x, cui corrisponde un arco x accettabile (con 0 x < π/6) Per k > 3/4 Esiste un valore accettabile di sen x cui corrispondono 2 archi x accettabili, simmetrici rispetto a π/2 e maggiori di π/6. Per k = 0 Si ha z 1 = 0 e z 2 > z 1 ; per cui il sistema (1) A ammette la sola soluzione x = 0 Per k = ¾ ll sistema (1) ammette le due soluzioni x = π/6 e x = 5π/6 M 185

186 13.1 FUNZIONI TRASCENDENTI 13.2 ESPONENZIALI 13.3 Equazioni esponenziali Un espressione in cui l incognita compare all esponente di una o più potenze si chiama equazione esponenziale 8 Ecco un esempio di equazione esponenziale 2 3 x = (1) 2 x + 2 L espressione a x = b (2) è una equazione esponenziale elementare Nel campo reale deve essere a > 0 e b > 0 (Infatti nel campo reale non si definiscono le potenze di un numero negativo con esponente reale.inoltre la potenza di un numero positivo è sempre positiva) Se a e b sono due numeri reali positivi la (2) ammette una ed una sola soluzione: positiva se a e b sono entrambi > 1 o < 1; negativa se uno dei due numeri è > 1 e l altro < 1 L equazione a x = 1 ha la sola soluzione x = 0 La equazione esponenziale dell esempio (1) si può risolvere ponendo 2 x = z La (1) diventa così z 3 = 8 / z 4 da cui z 4 = 2 cioè z = 2 ¼ Poiché 2 x = z e z = 2 ¼ è x = ¼, che è la soluzione cercata Funzione esponenziale Una funzione y = a x, con a > 0 ed a 1, è una funzione esponenziale. Tale funzione è monotòna, cioè ad ogni valore di x corrisponde un solo valore di y. È crescente se a > 1; decrescente se 0 < a < 1. Il suo grafico è sempre positivo. Se a > 1 il grafico è del tipo di fig.1; se 0 < a < 1 il grafico è del tipo di fig.2; se a = 1 il grafico è semplicemente la retta y = 1 (fig. 3). Tutti tre i grafici intersecano l asse y nel punto y = 1 y y y a > 1 0 < a < 1 a = x x x fig. 1 fig. 2 fig. 3 Tra le funzioni esponenziali è particolarmente importante la y = e x numero irrazionale di Nepero 2,718 la cui base è il 186

187 13.5 LOGARITMI 13.6 Generalità Dati due numeri positivi a e b, con a 1, l equazione a x = b ammette una ed una sola soluzione che si chiama logaritmo di b in base a, e si indica con log a b E cioè quel numero n che, dato per esponente alla base a, rende la potenza a n = b; b si chiama argomento del logaritmo 13.7 Proprietà dei logaritmi Logaritmo di un prodotto Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori log ( m n ) = log m + log n 13.9 Logaritmo di un quoziente. Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e quello del divisore log ( m/n ) = log m - log n Logaritmo di una potenza Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell esponente della potenza per il logaritmo della base log m n = n log m Logaritmo di un radicale Il logaritmo di un radicale è uguale al prodotto del reciproco dell indice della radice per il logaritmo del radicando log n m = (1/n ) log m ( Infatti la n m si può scrivere m 1/n per cui, per il logaritmo, si applica la regola del ) Sistemi di logaritmi L insieme dei logaritmi di tutti i numeri positivi, rispetto ad una base a, si chiama sistema dei logaritmi a base a. I sistemi di logaritmi di uso più comune sono due: - i logaritmi decimali, o volgari, o di Briggs - i logaritmi naturali, o Neperiani Logaritmi decimali I logaritmi decimali sono quelli a base 10. Si indicano con il simbolo log 10 o più semplicemente con log I logaritmi delle potenze di 10 sono dati da numeri uguali agli esponenti delle potenze suddette Es. log 1000 = log 10 3 = 3 I logaritmi dei numerti non potenze di 10 sono dei numeri decimali composti da una parte intera, detta caratteristica, uguale all esponente della potenza di 187

188 10 del numero dato e da una parte decimale, detta mantissa, che si ricava da appposite Tavole logaritmiche. Es log 348,53 = log 3, = 2,54224; 2 è la caratteristica, è la mantissa In altri termini si può dire che la caratteristica del logaritmo di un numero maggiore di 1 è uguale al numero delle cifre della parte intera, diminuito di 1 Moltiplicando o dividendo un numero per una potenza di 10, la mantissa del suo logaritmo non cambia Per i numeri minori di 1, la caratteristica è negativa ed è uguale all esponente, negativo, del numero dato, scritto sotto forma di potenza di 10. Es. log 0,00812 = log (8, ) = log 8,12 + log 10-3 = 0, che si scrive, convenzionalmente, 3, che significa che la caratteristica è negativa e la mantissa positiva. Si può quindi affermare che la caratteristica del logaritmo di un numero positivo, minore di 1 è uguale a tante unità negative, quanti sono gli zeri che precedono la prima cifra significativa, incluso lo zero posto prima della virgola. Es. La caratteristica di 0,32 è -1; la caratteristica di 0, è -4 La mantissa anche per questi numeri si ricava dalle tavole logaritmiche Se il logaritmo di un numero è tutto negativo ( Es. 3,81374 ) lo si può trasformare nella forma descritta in precedenza aumentando di un unità il valore assoluto della parte intera del numero e facendo il complemento a 9 della parte decimale ( a 10 per l ultima cifra ) Il numero dell esempio diventa così Logaritmi naturali Sono i logaritmi aventi come base il numero irrazionale, di Nepero 2,71828i828.. Si indicano con il simbolo ln Per questi logaritmi valgono le seguenti formule ln e f(x) = f(x) ; ln e x = x ; e ln x = x ; ln e ln x = ln x ; ln e = 1 in generale ln e n = n Passaggio da un sistema di logaritmi ad un altro Per trasformare il logaritmo con una certa base in un logaritmo con un altra base si fa uso della formula seguente log b m log a m = ovvero log b m = log a m log b log b a Se è log b x = a è b a = x e quindi b log b x = x Funzione logaritmica L espressione y = log a x, con a > 0 e a 1, si chiama funzione logaritmica Tale funzione è monotòna ( ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y ); crescente per a > 1; decrescente per 0 < a < 1 188

189 Qualunque sia la base a dei logaritmi è: log a 1 = 0 ; log a a = 1 ; log a 0 = - per a > 1 ; log a 0 = + per 0 < a < 1 I numeri negativi non hanno logaritmo Il grafico della curva che rappresenta la funzione log a x, nell ipotesi di a > 1 è del tipo di fig 4 : i numeri > 1 hanno il logaritmo > 0; quelli < 1 hanno il logaritmo < 0. Nell ipotesi di 0 < a < 1 il grafico è del tipo di fig 5: i numeri > 1 hanno il logaritmo < 0; quelli < 1 hanno il logaritmo > 0 y y a > 1 0 < a < a x 0 a 1 x fig 4 fig Equazioni logaritmiche Le equazioni logaritmiche sono equazioni in cui compare il logaritmo dell incognita o di una espressione contenente l incognita Per risolvere queste equazioni bisogna trasformarle in una espressione del tipo log F(x) = log G(x) da cui F(x) = G(x) (3) che si risolve come una normale equazione algebrica. Bisogna però verificare che le radici della (3) soddisfino realmente la equazione data 1 esempio E data l equazione logaritmica log x + log (2x 1) log (2x + 5) = log 3 (4) Bisogna innanzitutto stabilire che gli argomenti dei logaritmi siano > 0 ossia x > 0 ; 2x 1 > 0 ; 2x + 5 > 0 da cui x > 0 ; x > ½ ; x > -5/2 Cioè deve essere x > ½ x (2x 1) Applicando le proprietà dei logaritmi, la (4) si può scrivere log = log 3 2x 2 x 2x + 5 Passando dai logaritmi ai numeri, si ha = 3 2x + 5 Ne nasce una equazione di 2 grado che ha come so luzioni - 3/2 e 5 189

190 E accettabile solo la soluzione x = 2 esempio E data l equazione 1 1 log x + = 0 (5) 5 log x 1 + log x Deve essere x > 0 ; 5 - log x 0 ; 1 + log x 0 da cui x > 0 ; log x 5 ; log x -1 Cioè deve essere x > 0 e 10 5 e da 10-1 La (5) si può scrivere 1 + log x + (1 log x) (5 log x) = 0 da cui log 2 x 5 log x + 6 = 0 Le soluzioni sono x = 10 2 e 10 3 entrambe accettabili Coordinate logaritmiche Oltre alle coordinate cartesiane ed a quelle polari ci sono anche le coordinate logaritmiche. La scala logaritmica si ottiene mettendo su una retta, dopo aver scelto un opportuna unità di misura, i punti da 1 a 10 corrispondenti ai rispettivi logaritmi. Ossia al log 1 corrisponde il punto 0, al log 2 corrisponde il punto 0,30103, al log 3 corrisponde il punto 0, al log 10 il punto 1 Ecco un esempio di scala logaritmica Se su due assi ortogonali, posti su un piano, si riportano, a partire dal loro punto di incontro, due scale logaritmiche, i punti di questo piano sono individuati da coordinate logaritmiche ( k log x ; k log y ) Con questo sistema di coordinate alcune curve, grafici di funzioni, sono rappresentate da rette , Ad esempio la funzione x y = 6 rappresenta una iperbole equilatera riferita agli asintoti 190

191 Passando ai logaritmi si ha log x y = log x + log y = log 6 Questa espressione in coordinate logaritmiche è una retta. Per x = 1 è log x = 0 e quindi log y = log 6 cioè y = 6 Per y = 1 è log y = 0 e quindi log x = log 6 cioè x = 6 Congiungendo i due punti trovati si traccia la retta i cui punti hanno tutti come prodotto 6 Analogamente, se si vuole tracciare la funzione p v 1/2 = 3, che è l equazione di una trasformazione adiabatica, in coordinate logaritmiche, si scrive log p + ½ log v = log 3 Per p = 1 è log p = 0 e quindi log v = 2 log 3 cioè v = 9 Per v = 1 è log v = 0 e quindi log p = log 3 cioè p = 3 La retta che congiunge i punti (1 ; 9) con (3 ; 1) è il grafico voluto 191

192 14.1 PROGRESSIONI Le progressioni sono delle successioni di numeri legati tra di loro da una legge. Esse possono essere Aritmetiche e Geometriche 14.2 PROGRESSIONI ARITMETICHE - Definizioni Si definisce progressione aritmetica una successione di tre o più numeri tali che la differenza tra ciascuno dsi essi ed il precedente sia costante I numeri che costituiscono la successione vengono detti termini o elementi della 192progressione e la differenza costante tra due di essi, consecutivi, si dice ragione e viene indicata con la lettera d Per rappresentare una progressione aritmetica, si fa precedere la successioine dei suoi termini dal simbolo : Es : 3, 5, 7, 9. Il primo e l ultimo termine della progressione si chiamano estremi della progressione Esistono progressioni finite od infinite (o limitate od illimitate) secondo che contengano un numero finito od infinito di termini Se a e b sono due termini consecutivi di una progressione aritmetica di ragione d si ha b a = d da cui b = a + d oppure a = b d In una progressione aritmetica, se la ragione è positiva la progressione è crescente;, se è negativa la progressione è decrescente. Se la ragione è d = 0, la progressione è costante 14.3 Calcolo del termine a n di una progressione aritmetica L ennesimo termine di una progressione aritmetica è uguale alla somma del primo termine a 1 con il prodoitto della ragione per il numero dei termini che precedono a 1 Ossia a n- = a q + (n 1) d (1) In particolare, se a r ed a s sono due termini qualunque di una progressione aritmetica si ha, a s = a r + (s - r) d 14.4 Aplicazioni Si devono considerare due importanti applicazioni: 1 Inserzione di medi aritmetici fra due numer i dati Il problema è il seguente: Dati due numeri a e b, inserire tradi essi altri k numeri tali da formare con a e b una progressione aritmetica. Si tratta di trovare k numeri x 1, x 2,..x k in modo da ottenere la progressione aritmetica di k +2 termini : a, x 1,, x 2,,..x k,, b Per risolvere il problema basta trovare la ragione d sapendo che n = k +2 a 1 = a; a n b; ed 192

193 b - a Si ha d = Trovata la ragione i numeri cercati sono: k + 1, x 1 = a + d; x 2 = x 1 + d; ecc 2 Somma di due termini equidistanti dagli es tremi In una progressione aritmetica finita con estremi a 1 ed a n altri due termini f e g si dicono equidistanti dagli estremi, quando il numero dei termni della progressione che precedono f è uguale al numero dei termini che seguono g. Si può anche affermare In una progressione aritmetica finita la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale alla somma dei termimi estremi-. In particolare : in una progressione aritmetica con un numero dispari di termini la somma degli estremi è il doppio del termine di mezzo 14.5 Somma di termini consecutivi di una progressione aritmetica La somma dei primi n termini consecutivi di una progressione aritmetica è uguale alla semisomma dei termini estremi, moltiplicats per il numero dei termini. Ossia a 1 + a n S n = n (2) Alcuni esercizi sulle progressioni aritmetiche 1 Es In una progressione aritmetica è a 1 = 3, d = ½, e S n = 121 /2. Determinare n ed a n. Si può scrivere il seguente sistema con le due incognite Dalla (1) a n = 3 + (n 1)1/2 (2) 121/2 = (3 + a n ) n / 2 n ed a n Se si sostituisce nella seconda equazione il valore di a n ricavato dalla prima, dopo alcuni calcoli si ottiene la seguente equazione di 2 grad o n n = 0 le cui soluzioni sono 11 e -22 (ovviamente da escludere) Sostituendlo 11 nella prima equazione del sistema si ottiene a n = /2 = 8 La progressione ha pertanto 11 termini, di cui l undicesimo è 8 2 Es.Trovare le misure deilati di un triangolo rettrangolo di perimetro 2p, sapendo che essi sono in progressione aritmetica. Se si indica con x la misura del cateto maggiore del triangolo e con y la ragione della progresssione, si può scrivere il sistema: (x y) + x + (x + y) = 2p (somma di tre termini della progressione) (x + y) 2 = x 2 + (x y) 2 (teorema di Pitagora) La prima equazione dà x = (2/3) p Dalla seconda si ottiene x( x -. 4y) = 0 da cui y = x/4 e quindi y = p/6 I lati cercati hanno quindi rispettivamente le misure p/2; 2p/3; 5p/6 193

194 14.7 PROGRESSIONI GEOMETRICHE - Definizioni. Si definisce progressione geometrica una successione di tre o più numeri, tali che il quoziente tra ciascuno di essi ed il precedente è costante. I numeri che costituiscono una progressione geometrica si dicono termini o elementi della progressione ed il quoziente costante tras due termini consecutivi si chiama ragione della progressione e viene indlcato con la lettera q. Per rappresentare una progressne geometrica si fa precedere la successiione dei suoi termini dal simbolo : : l primo e l ultimo termine delle progressoni si chimano estremi della progresione Esistono progressioni finite o infinite (o limitate o illimitate) secondo che contengano un Numero finito od infinito di termini In base alla definizione, nessun termine di una progressione geometrica può essere nullo e quindi anche la ragione deve essere sempre diversa da zero Se a e b sono due termini consecutivi di una progressione geometrica dl ragione q, per definizione si ha b/a = q da cui si ricava b = a q oppure a = b/q In una progressione a termini positivi, se q > 1, la progressione è crescente se 0 < q< a, la progressione è decrescente se q = 1, la progressione è costante 14.8 Calcolo del termine a n di una progressione geometrica Se si considera una progressione geometrica di n termini :: a 1,, a 2 a n con ragione q, risulta che: L ennesimo termine a n di una progressione geometrica è uguale al primo termine a 1, moltiplicato per la ragione q, elevata ad un esponente uguale al numero dei termini che precedono a n,ossia a n = a 1 q n-.1 che si può generalizzare in: Se a r ed a s sono due termini qualunque di una progressione geometricsa, risulta a s = a r q s.,r 14.9 Applicazioni Fra le applicazioni più importanti delle progressioni geometriche si segnalano le due che seguono 1 Inserzione di medi geometrici tra due numeri dati Il problema è il seguente:dati due numeri a e b, inserire tra questi altri k numeri tali da formare con a e b una progressione geometrica Si tratta di trovare altri k numeri x 1, x 2, -..x k jn modo da ottenere la progressione geometrica di k + 2 termini : : a, x 1, x 2,.x k,, b 194

195 Basta trovare la ragione q sapendo che a 1 = a, a n = b ed n = k +2 Si ha q = k+1 b/a (1) Se k è pari (quindi k + 1 dispari) dalla (1) si ricava un solo valore di q qaualunque sia il numero b/a Se k è dispari (quindi k + 1 pari) dalla (1) si ricavano due valori di q, tra loro opposti se b/a > 0, nessun valore se b/a < 0 Trovata (se possibile) la ragione q, i numeri cercati sono x 1 = a q; x 2 = x 1 q; ecc 2 Prodotto di due termini equidistanti dagli estr emi In una progressione geometrica finita il podotto di due termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale al prodotto dei termini estremi Vale anche quanto segue: In una progressione geometrica limitata con un numero dispari di termini, il prodotto degli estrtemi è uguale al quadrato del termine di mezzo Prodotto dei termini consecutivi di una progressione geometrica Data una progressione geometrica :: a 1, a 2, a n si vuole calcolare il prodotto P n dei suoi termini con la sola conoscenza dei termini estremi e del numero n dei termini Vale il seguente teorema Il prodotto dei primi n termini di una progressione geometrica a termini positivi è uguale alla radice quadrata aritmetica del prodotto dei termini estremi, elevato al numero n dei termini, ossia P n = (a 1 a n ) n N.B. Se i termini della progressione non sono tutti positivi, il secondo membro della formula precedente dà il valore assoluto del prodotto di questi termini P n = (a 1 a n ) Somma dei termini consecutivi di una progressione geometrica Data una progressione geometrica finita :: a 1, a 2,..a k con ragione q 1 vale il seguente teorema: La somma S n dei primi n termini di una progressione geometrica (con q 1) è espressa dalla formula 1 - q n S n = a q Alcuni esercizi sulle progressioni geometriche- 1 Es. La somma di tre numeri positivi in progres sione geometrica è 74 e la differenza tra il terzo ed il primo è 14. Trovare i numeri 195

196 Se si indica con x il termine di mezzo e con y la ragione, i tre numeri incogniti si possono scrivere x/y, x, xy e si può scrivere il sistema in due incognite x/y + x + xy = 74 x (1+ y + y 2 ) = 74 y ) (1) xy x/y = 14 x + ( y 2-1) = 14 y che, una volta risolto, dà le soluzioni y 1 = 4/3 e y 2 = -11/10 (ovviamente da escludere) Sostituendo la prima soluzione in una delle equazioni del sistema (1) si ottiene x 1 = 24 Pertanto i numeri cercati sono 18, 24, Es. Determinare la progressione geometrica nella quale la somma dei primi quattro termini è 15 e la somma dei quadrati dei primi quattro termini è 85 Q 3 Se si indica con a il primo termine della progressione cercata e con q la ragione, i primi quattro termini sono a, aq, aq 2, aq 3 e si può scrivere il seguente sistema a (1 + q + q 2 + q 3 ) = 15 (2) a 2 ( 1 + q 2 + q 4 + q 6 ) = 85 che, attfraverso numerosi calcoli, si trasforma nella seguente equazione reciproca di quarto grado, 1ˆ specie (v b) 14 q q q 2 17 q + 14 = o soddisfatta da q 1 = 2 e da q 2 = ½. Sostituendo questi valori nella (2) si trova a 1 = 1 e a 2 = 8 Pertanto le ipotesi del problema sono verificate dalle seguenti progressioni geometriche 1, 2, 4, 8, 16 e 8, 4,. 2, ½..., 196

197 15.1 CALCOLO COMBINATORIO Se si hanno n elementi distinti, di qualsiasi natura, e si vogliono formare dei gruppi costituiti da uno stesso numero r di elementi (con r n ), il numero dei gruppi che si possono formare dipende dalla legge di formazione dei gruppi stessi. Scopo del calcolo combinatorio è quello di costruire e stabilire il numero totale dei vari tipi di raggruppamenti che si possono formare con n elementi 15.2 Disposizioni semplici Si dicono disposizioni semplici di n elementi diversi presi ad r ad r, o di classe r (con r n ) tutti i gruppi che si possono formare prendendo r degli n elementi dati, e considerando gruppi diversi quelli che differiscono per almeno un elemento o per l'ordine in cui gli r elementi sono stati presi Ad es dati gli elementi 1,2,3,4,5 sono disposizioni semplici di 5 elementi di classe 3 i gruppi seguenti 1,2,3 ; 3,2,4 ; 4,3,5 ; 2,3,1 ; 5,3,4 ecc. Il numero delle disposizioni semplici di n elementi presi ad r ad r si indica con D n,r È dimostrabile che è D n,r = n (n-1) (n-2) (n-r+1) (1) 15.3 Disposizioni con ripetizione Le disposizioni di n elementi presi a r a r, in cui nei vari gruppi un elemento può comparire fino a r volte, si definiscono disposizioni con ripetizione Il numero di disposizioni con ripetizione (o complete) di n elementi distinti della classe r è uguale alla potenza, di base n ed esponente r ; cioè,, D r n, r = n r 15.4 Permutazioni semplici Si definisce permutazione semplice la disposizione semplice di n elementi presi ad n ad n e si scrive P n = D n,n La formula (1) si trasforma così nella (2) P n = n (n-1) (n-2) (2) che si può esprimere con l affermazione: Il numero delle permutazioni semplici di n elementi distinti è uguale al prodotto dei primi n numeri naturali (diversi da zero) Se n un numero naturale maggiore di 1, il prodotto dei primi n numeri naturali si chiama Fattoriale del numero n ed il suo simbolo è n! Cioè n! = (n- 2)(n-1) n Se n = 1 oppure n = 0 per definizione è 1! = 1 e 0! = 1 197

198 Si può concludere dicendo che Il numero delle permutazioni semplici di n elementi distinti è dato dal fattoriale del numero n, cioè P n = n! N:B. Poiché per definizione è n! = (n 1)! n si deduce n! n!. = n e = ( n 1 )! (n 1)! n Servendosi del simbolo di fattoriale la formula (1) del 15.1, relativa al numero di n! Disposizioni semplici, si può scrivere D n,r = ( n r)! 15.5 Combinazioni semplici Si definisce combinazione semplice di n elementi diversi presi ad r ad r il numero totale dei gruppi che si possono formare prendendo r degli n elementi, considerando diversi solo i gruppi che differiscono per almeno un elemento, indipendentemente dall'ordine in cui gli r elementi vengono presi. La combinazione semplice si indica con C n,r Ad es i gruppi 1,.2, 3 e combinazione 2,3,1 rappresentano due disposizioni semplici ma la stessa E' evidente che ogni combinazione può dare luogo a tante disposizioni quante sono le permutazioni degli r elementi Per cui risulta D n,r = C n r P r (4) E quindi dalla (1), dalla (3) e dalla (4) si ricava D n,r n (n-1) (n-2) (n-r+1) C n,r = = P r r! 15.6 Coefficiente binomiale Il numero di combinazioni semplici di n elementi diversi di classe r si può anche indicare con il simbolo n si chiama coefficiente binomiale e si legge n su r r n n! Si può quindi scrivere C n,r = r = r! (n-r)! Poiché convenzionalmente è 0! = 1 risulta n = 1 0 E inoltre 198

199 n = r n n- r n = n-1 + n-1 r r -1 1 n = n n r r+1 r r Binomio di Newton Applicando il coefficiente binomiale lo sviluppo di un binomio elevato ad una potenza intera positiva n si può scrivere (a+b) n = n a n + n a n-1 b + n a n-2 b n a b n-1 + n b n n-1 n Lo sviluppo di (a-b) n si ottiene dalla espressione precedente sostituendo -b a b 199

200 16.1. CALCOLO DELLE PROBABILITà Si definiscono eventi l'estrazione di una carta da un mazzo, il lancio di un dado o di una moneta, l'estrazione di una pallina da un'urna, l'estrazione di un numero del lotto e così via Si possono evidentemente verificare eventi favorevoli o contrari a seconda che essi corrispondano o meno alle nostre aspettative Probabilità matematica La probabilità matematica è' il rapporto tra il numero degli eventi favorevoli e quello degli eventi possibili totali purché siano tutti ugualmente possibili. Se f è il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un evento e c quello dei casi contrari, il numero dei casi possibili è m = f + c Il valore numerico della probabilità è compreso tra zero (= impossibilità) e 1 (= certezza) Risulta quindi che p è un numero positivo normalmente inferiore all'unità ( p = 1 equivale a certezza ) 1 Esempio Se da un mazzo di 52 carte se ne estrae una, si vuole determinare la probabilità che la carta estratta sia un Fante Il numero dei casi possibili è dato dalle 52 carte del mazzo; il numero dei czsi favorevoli è 4 (infatti nei mazzi di 52 carte, i fanti sono appunto 4) Si calcola subito: p = f / m = 4 / 52 = 1 / Probabilità totale Se p 1, p 2 ecc sono le probabilità di eventi possibili che però si escludono a vicenda, cioè incompatibili fra di loro, dicesi probabilità totale la somma p 1 + p p n : Esempio Siano dati tre sacchetti contenenti rispettivamente 20 numeri (da 1 a 20), 40 numeri (da 1 a 40) e 90 numeri (da 1 a 90) La probabilità che dal primo sacchetto si estragga ad es un 8 è p 1 = 1 / 20 La probabilità che dal secondo sacchetto si estragga pure un 8 è p 2 = 1 / 40 Infine la probabilità che dall'ultimo sacchetto si estragga ancora un 8 è p 3 = 1 / 90 La probabilità che un 8 venga estratto da tutti e tre i sacchetti è 1 / / / 90 = 31 / 360 = 0,

201 16.4 Probabilità composta Se gli eventi sono tra loro indipendenti (ossia tali che l'avverarsi di uno di essi non influenzi il verificarsi degli altri) la probabilità complessiva dell'evento risultante dal concorso di n eventi, dicesi probabilità composta ed è espressa dal prodotto p 1 p 2 p n Es Nel gioco del lotto la probabilità che tra i 90 numeri esca un determinato numero ( ad es. 8 ) è p 1 = 1 / 90 La probabilità che, in una seconda estrazione, esca un altro determinato numero (ad es. 31 ) è, tenendo conto che i numeri rimasti sono 89, p 2 = 1 / 89 Essendo i due eventi indipendenti l'uno dall'altro, la probabilità che esca la coppia determinata di numeri ( 8 e 31 ) è 1 / 90 1 / 89 = 1 / 8610 che è la probabilità composta 16.5 Un paio di esempi. Se si getta un dado due volte quale è la probabilità che entrambe le volte compaia il 5? Ovviamente la probabilità che la prima volta compaia un 5 è 1 / 6 (perché 6 sono le facce del dado ) La probabilità che anche la seconda volta compaia un 5 è di nuovo 1 / 6 Essendo i due eventi tra loro indipendenti la probabilità richiesta è una probabilità composta è cioè 1 / 6 1/6 = 1 / 36 = 0,19444 Quale è invece la probabilità che lanciando una sola volta due dadi si abbia come somma 5? Il totale 5 si può avere ad es con un 1 e con un 4 o viceversa Come nell' es precedente la probabilità che compaia 1 in un dado e 4 nell'altro è 1 / 36 e così pure è 1 / 36 la probabilità che compaia 4 nel primo dado e 1 nel secondo La probabilità totale è quindi, essendo i due eventi incompatibili tra di loro, la somma delle due probabilità e cioè 2 / 36 Il numero 5 si può però ottenere anche con i numeri 2 e 3 e viceversa e anche in questo caso la probabilità totale è 2 / 36 La probabilità totale complessiva che si verifichi l'evento richiesto è 4 / 36 = 0,

202 17.1 ALGEBRA DEI VETTORI Le grandezze fisiche si dividono in scalari e vettoriali, Le grandezze scalari sono quelle consistenti in un numero, detto modulo o intensità, che ne rappresenta la misura, rispetto ad una data unità, Le grandezze vettoriali, oltre al modulo, rappresentato da un valore numerico positivo, sono caratterizzate da alcune particolarità geometriche che sono: la direzione, il verso e, talvolta, il punto di applicazione. La grandezza scalare viene denominata semplicemente scalare Esempi di grandezze scalari sono: un intervallo di tempo, una massa, una dimensione geometrica, ecc. La grandezza vettoriale viene chiamate vettore, che, se è specificato il punto di applicazione, si chiama vettore applicato. Esempi di grandezze vettoriali sono: una forza, uno spostamento, una velocità, ecc I vettori vengono di solito indicati con delle lettere soprassegnate con delle frecce ( v, F, s ), oppure con le stesse lettere ma in carattere grassetto. I loro moduli sono rappresentati dai simboli suddetti, compresi tra due barrette verticali (valore assoluto) v, F, s Q Un vettore viene rappresentato graficamente mediante un segmento orientato la cui lunghezza corrisponde, in U una data unità di misura U,, al modulo; la cui direzione è 40 quella della retta su cui esso giace; il cui verso è quello indicato dalla punta di freccia posta alla sua estremità P ed il cui punto di applicazione è rappresentato dal punto P dal quale parte il vettore Ad es. un vettore che rappresenta una forza di 5 newton, inclinato di 40 rispetto all orizzontale, si può rappresentare, dopo aver scelto l unità di misura, con il segmento orientato PQ ( P viene detto primo estremo, Q il secondo estremo) di lunghezza pari a 5 volte l unità di misura, formante un angolo di 40 rispetto all orizzontale Operazioni sui vettori Le grandezze scalari, essendo espresse da numeri, vengono trattate secondo le comuni regole dell algebra. Le grandezze vettoriali sono invece trattate secondo delle regole definite appositamente per i vettori. Si prendano ad es. in considerazione dei successivi spostamenti di un punto materiale: prima lo spostamento AB = s 1 in una certa direzione e poi lo spostamento BC = s 2 In un altra direzione, formante un angolo di α con la prima. C Questi spostamenti si possono rappresentare nel modo che s si vede in figura α s 2 La somma dei due spostamenti è rappresentata dal vettore AC = s che congiunge il primo estremo A s 1 B del primo spostamento con il secondo estremo C del secondo spostamento. Il segmento AC = s è la diagonale del parallelogramma che ha per lati AB e BC A 202

203 17.3 Proprietà dei vettori a) Uguaglianza tra vettori Due vettori si dicono uguali quando hanno uguali il modulo, la direzione, il verso e, se si tratta di vettori applicati, anche il punto di applicazione. b) Prodotto di un numero per un vettore Il prodotto di un numero reale m, diverso da zero, per un vettore v è un vettore avente per direzione e verso quelli del vettore dato, se m > 0, oppure la stessa direzione ma il verso opposto se m < 0, e come modulo il prodotto tra v ed il valore assoluto di m. c) Somma e differenza di due vettori v = v + v La somma di due vettori, come si è visto nel precedente, è la diagonale del parallelogramma avente per lati i due vettori addendi, con i primi estremi coincidenti. Se i due vettori hanno la stessa direzione, il vettore somma avrà l identica direzione ed il modulo sarà uguale alla somma dei moduli, se i versi dei due vettori sono gli stessi, ma alla loro differenza, con il verso concorde con il vettore di modulo maggiore, se i versi sono opposti v 1 v 1 v 2 v = v 1 + v 2 v B C Se i vettori sono più di due, con direzioni diverse, la loro somma è rappresentata dal lato di chiusura della poligonale formata dai suddetti vettori, tracciati, uno di seguito all altro, con la propria A direzione ed il proprio verso Nella figura il vettore AE è la somma dei vettori AB, BC, CD, e DE c) Prodotto scalare tra due vettori D E Il prodotto scalare tra due vettori, indicato con il simbolo x, v 1 è lo scalare ottenuto moltiplicando tra di loro le intensità dei β due vettori per il coseno dell angolo da essi formato. Cioè v 1 x v 2 = v 1 v 2 cos β v 2 Nel caso particolare in cui i due vettori siano tra loro perpendicolari, il loro prodotto scalare è nullo perché il cos 90 = 0; invece se i due vet tori hanno la stessa direzione, il loro prodotto scalare è uguale al prodotto dei loro moduli, se il loro verso è lo stesso, mentre, se il verso è opposto, anche il prodotto scalare ha il segno opposto. Questo prodotto gode della proprietà commutativa, cioè è v 1 x v 2 = v 2 x v 1 Es. Dati due vettori aventi i moduli di 15 e 25 e formanti tra di loro un angolo di 45, il 203

204 loro prodotto scalare è uguale a cos 45 = /2 = 265,165 d) Prodotto vettoriale tra due vettori Il prodotto vettoriale tra due vettori, che si indica con il simbolo Λ, è un vettore che ha per modulo : il prodotto dei moduli per il seno dell angolo tra essi compreso; direzione: la perpendicolare al piano su cui i due vettori giacciono; verso: il verso rivolto verso l osservatore che, guardando i due vettori, vede avvenire in senso antiorario la rotazione dell angolo minore, che il primo vettore deve fare per sovrapporsi al secondo Indicando con w tale vettore il prodotto vettoriale si scrive v 1 ʌ v 2 = w v 1 w v 1 v 2 α v 2 w Nel caso particolare in cui i due vettori abbiano la stessa direzione, il loro prodotto vettoriale è nullo perché il sen 0 = 0; invece se i vettori sono tra loro perpendicolari, essendo il sen 90 = 1, il prodotto vettoriale è semplicemente il prodotto dei loro moduli. Questo prodotto non gode della proprietà commutativa. Infatti invertendo l ordine dei fattori il senso di rotazione si inverte e quindi il segno del prodotto cambia. Cioè v 1 ʌ v 2 = -v 2 ʌ v 1 Es Dati due vettori aventi i modulii di 10 e 30, formanti un angolo di 30, il loro prodotto vettoriale è uguale a sen 30 = 300 0,5 = Scomposizione di un vettore lungo due o tre direzioni date Dato un vettore v, se lo si vuole scomporre lungo r due direzioni qualsiasi, r ed s, bisogna far passare le rette corrispondenti alle suddette direzioni per il B primo estremo, A, del vettore dato, e quindi condurre v dal secondo estremo, B, di tale vettore la parallela ad una delle due direzioni assegnate ( ad es. alla r), C fino ad incontrare in C l altra direzione, dando in tal A s modo origine ai due vettori, AC e CB, che sono i due vettori componenti cercati P A T F Es. Dato il piano inclinato OA e il vettore forza F α verticale, che agisce sul punto P, volendo O studiare l effetto di tale forza su P ed il moto N che essa provoca, conviene scomporre il Q 204

205 vettore forza secondo due direzioni, una perpendicolare al piano, l altra tangenziale allo stesso piano. Si ottengono così le due forze componenti di F delle quali la PN non può provocare alcun movimento, essendo, come si è detto, normale al piano, mentre la PT, che ha la stessa direzione del piano, provoca il moto di P lungo il piano stesso. Si può calcolare il modulo delle due forze componenti mediante la risoluzione del triangolo PQN (o PQT ) ottenendo PN = PQ cos α e PT = PQ sen α 3 La scomposizione di un vettore v secondo tre direzioni date,1, 2, 3, non complanari, ma passanti v tutte per il primo estremo del vettore da scomporre, si effettua facendo ricorso alla costruzione di un 1 parallelepipedo, avente i lati sulle tre direzioni, e v 3 del quale il vettore è la diagonale. Questi tre lati sono le tre componenti richieste. 2 v 1 (Nel caso che le tre direzioni non passasssseeero v 2 205

206 18 BIBLIOGRAFIA Lineamenti di matematica Vol 1 e 2 di N. Dodero, P. Baroncini e R. Manfredi,. edito da Ghisetti e Corvi 18.2 Elementi di Algebra di A. Palatini e V. Faggioli, edito da Ghisetti e Coi Algebra elementare di G. Bisconcin,i edito da A. Signorelli 18.4 Algebra elementare di M. Nasso, edito da Tipografia e Libreria Salesiana Algebra di G. Andruetto e A. Corio, edito da Paravia Algebra di E. Berutti e M. Dusi, edito da SEI Diagrammi ed elementi di algebra di E. Bovio, edito da Lattes Matematica per moduli di A. Trifone e M. Bergamini, edito da Zanichelli Strutture Funzioni di G. Zwirner e L. Scaglianti, ediito da CEDAM Elementi di analisi matematica di R. Ferrauto, edito da SEDA Il problema geometrico e la geometria analitica, edito da SEDA Lezioni di trigonometria piana di R. Ferrauto, edito da SEDA Trigonometria piana di G. e M.Bartolozzi, edito da Lattes Dizionario enciclopedco di A. Marini, N.Barcellona, e M. Tinelli, edito da Gruppo Editotoriale Jackson 206

207 INDICE 1 I numeri e le operazioni con essi Pag 3 2 I radicali e le operazioni con essi 12 3 Il calcolo letterale 24 4 Equazioni e problemi relativi 38 5 Sistemi di equazioni e problemi relativi 74 6 Diseguaglianze Disequazioni 92 7 Sistemi di disequazioni Equazioni e sistemi di equazioni soggette a limitazioni ed equazioni e disequazioni parametriche Sistemi misti Goniometria e trigonometria Identità, equazioni e sistemi di equazioni goniometriche Disequazioni e sistemi di disequazioni goniometriche Funzioni trascendenti Progressioni Calcolo combinatorio Calcolo delle probabilità Algebra dei vettori Bibliografia