Equazioni di 1 grado

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1 Equazioni di grado Consideriamo una bilancia e supponiamo che sia in equilibrio, cioè sui due piatti ci sia lo stesso peso come in figura 6 Kg Kg 5 Kg 3 Kg Se aggiungiamo o sottraiamo lo stesso peso su entrambi i piatti, la bilancia continua ad essere in equilibrio 6 Kg Kg 3 kg 5 Kg 3 Kg 3 kg 6 Kg Kg - kg 5 Kg 3 Kg - kg Accade che la bilancia è in equilibrio anche se moltiplichiamo e dividiamo il peso di entrambi i piatti per un qualsiasi numero diverso da zero 3 Kg Kg,5 Kg,5 Kg Kg 4 Kg 0 Kg 6 Kg Pesi divisi per due Pesi moltiplicati per due E importante che il numero, per il quale si moltiplicano o si dividono i pesi dei due piatti, sia diverso da zero, perché la divisione per zero non è possibile e inoltre due pesi diversi, moltiplicati per zero, diventano uguali Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

2 Conseguenze Supponiamo di sottrarre 3 Kg dai pesi sui due piatti della bilancia 6 Kg - Kg Kg 3 Kg () 6 Kg - Kg -3 kg Kg 3 Kg -3 kg 6 Kg - Kg -3 kg Kg () (3) Guardando la distribuzione dei pesi sulla bilancia () e sulla bilancia (3) notiamo che i 3 Kg che erano sul secondo piatto sono passati sul primo cambiati di segno Supponiamo, ora, di aggiungere il peso di Kg ai pesi sui due piatti della bilancia () 6 Kg - Kg kg Kg 3 Kg kg 6 Kg Kg 3 Kg kg () (3) Anche qui, guardando la distribuzione dei pesi sulla bilancia () e sulla bilancia (3) notiamo che i Kg che erano sul primo piatto sono passati sul secondo cambiati di segno. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

3 Primo principio: è possibile aggiungere o sottrarre lo stesso peso su entrambi i piatti della bilancia; questo equivale a passare i pesi da un piatto all altro cambiandoli di segno e la bilancia, in equilibrio, continua ad essere in equilibrio. Immaginiamo, ora, che i pesi presenti sui due piatti della prima bilancia, siano moltiplicati per 5; la bilancia, in equilibrio, continua a rimanere in equilibrio; lo rimarrebbe anche se dividessimo entrambi i pesi per 5. 7 kg kg 8 kg 8 kg 8kg 8kg Guardando la distribuzione dei pesi sulle bilance notiamo che sull ultima non ci sono più i denominatori Secondo principio: è possibile moltiplicare o dividere i pesi di entrambi i piatti per uno stesso numero diverso da zero; questo ci consente di togliere i denominatori comuni da entrambi i piatti e di trasformare il valore dei pesi in numeri interi e la bilancia, in equilibrio, continua ad essere in equilibrio. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 3

4 Problema Supponiamo di voler conoscere il peso un mattone sapendo che è equivalente a un chilo più mezzo mattone. Utilizzando sempre una bilancia la situazione è descritta dalla seguente figura Dividiamo il mattone che si trova sul primo piatto in due metà In base al primo principio possiamo togliere mezzo mattone da ciascun piatto e la bilancia continuerà ad essere in equilibrio Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 4

5 Mezzo mattone pesa un chilo. Per il secondo principio possiamo raddoppiare i pesi sui due piatti, cioè aggiungere mezzo mattone sul primo piatto e un chilo sul secondo e avremo sempre l equilibrio della bilancia. Risulta che il peso del mattone è di chilogrammi. E molto scomodo risolvere problemi utilizzando mattoni e bilance. Il calcolo letterale e le equazioni ci consentono di risolvere il problema e di pervenire alla soluzione in modo più semplice e rapido. Se indichiamo con una x il peso del mattone di cui vogliamo conoscere il valore, il problema può essere espresso in forma simbolica nel seguente modo: Si tratta di una uguaglianza tra due espressioni algebriche detta equazione. L espressione che precede il segno di uguale è detta primo membro, quella dopo secondo membro; la lettera x è detta incognita; i numeri che sostituiti al posto dell incognita, rendono il primo membro uguale al secondo, si dicono soluzioni o radici dell equazione data. Inoltre due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Si definisce grado di un equazione l esponente massimo dell incognita dopo aver fatto le opportune semplificazioni. Quando si risolve un equazioni si stabilisce anche l insieme di variabilità dell incognita che può essere N, Z, Q, R. Se non si dice nulla circa tale insieme, allora è sottointeso che l insieme è quello dei numeri reali R. Adesso ci limiteremo a studiare soltanto le equazioni di primo grado rimandando lo studio delle equazioni di secondo grado e quelle di grado superiore al secondo anno. Nel caso di uguaglianze tra espressioni algebriche continuano a valere i due principi visti in precedenza e che consentono di passare da una equazione ad un altra equivalente ma più semplice Risolviamo l equazione applicando i due principi. Sottraendo da entrambi i membri dell equazione (primo principio) avremo Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 5

6 Moltiplicando entrambi i membri per (secondo principio) si ha Le equazioni che abbiamo ottenuto applicando i due principi sono equivalenti tra loro e sempre più semplici. La più semplice di tutte è l ultima che ci dà la soluzione che è anche la soluzione della (). Enunciamo, ora, i due principi e le loro conseguenze per le equazioni: Primo principio di equivalenza Sommando o sottraendo a entrambi i membri di un equazione una stessa espressione algebrica intera (monomio o polinomio), si ottiene un equazione equivalente all equazione data. Secondo principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un equazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un equazione equivalente all equazione data Conseguenze dei principi di equivalenza Se entrambi i membri di un equazione sono polinomi, si può trasportare un termine da un membro all altro, cambiandogli il segno. 7 7 Se entrambi i membri di un equazione sono polinomi e uno stesso termine compare in entrambi i membri, si può eliminare da entrambi i membri dell equazione Se entrambi i membri di un equazione sono polinomi e i coefficienti dei loro termini sono tutti multipli di uno stesso numero, si possono dividere tutti i coefficienti per tale numero 8 8 Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 6

7 Se in un equazione intera compaiono frazioni o termini con coefficienti frazionari, è possibile ridurre entrambi i membri allo stesso denominatore e poi eliminare il denominatore comune 8 8 Si possono cambiare i segni di entrambi i membri di un equazione (equivale a moltiplicare per - entrambi i membri dell equazione) Risoluzione delle equazioni numeriche intere Le operazioni da compiere per risolvere le equazioni numeriche intere sono le seguenti :. Eseguire eventuali operazioni indicate e, se presenti, eliminare i denominatori. Trasportare tutti i termini contenenti l incognita al primo membro e tutti i termini noti al secondo 3. Sommare i termini simili al primo membro e tutti i termini noti del secondo membro 4. Si otterrà un equazione della forma a x b a equazione determinata S b a ax b b x b equazione impossibile S b x equazione indeterminata identità S R dove S indica l insieme delle soluzioni della () Esempio Risolvere la seguente equazione: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 7

8 8 8 Quindi Se vogliamo controllare la correttezza dei calcoli svolti, si può procedere alla verifica, cioè si sostituisce nell equazione il valore trovato al posto della variabile e se il primo membro risulterà uguale al secondo possiamo essere sicuri della giustezza della soluzione trovata. Esempio Risolvere la seguente equazione: Esempio 3 Risolvere la seguente equazione: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 8

9 Classificazione delle equazioni Un equazione può essere letterale se in essa, oltre alle lettere incognite compare almeno un altra lettera come parametro, dove per parametro si intende una lettera che rappresenta un valore numerico noto; se sono presenti solo variabili l equazione è detta numerica. Un equazione è detta frazionaria se almeno un incognita compare al denominatore di qualche frazione, altrimenti l equazione è detta intera. Delle equazioni possiamo fare la seguente classificazione: intere numeriche frazionarie equazioni intere letterali frazionarie Osservazione Un equazione in cui compaiono delle frazioni non è necessariamente un equazione frazionaria; lo è solo se l incognita compare al denominatore. Esempi Equazioni numeriche frazionarie Consideriamo la seguente equazione numerica frazionaria: Sostituendo alla variabile x un qualunque numero reale può accadere che: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 9

10 L uguaglianza risulti vera L uguaglianza risulti falsa L uguaglianza risulti priva di significato Quest ultimo caso, che non si può verificare nelle equazioni numeriche intere, si ha quando ad esempio, sostituendo un valore all incognita x, almeno un denominatore diventa nullo. Per la nostra equazione ciò si verifica quando si sostituisce all incognita - oppure. E opportuno, quindi, per le equazioni frazionarie, stabilire l insieme di variabilità dell incognita. Tale insieme è detto dominio dell equazione ed è costituito da tutti quei valori che sostituiti all incognita non la fanno diventare priva di significato. L equazione presa in considerazione ha come dominio l insieme { } In alternativa al dominio è possibile indicare le condizioni che devono soddisfare le eventuali soluzioni. Tali condizioni sono dette condizioni di accettabilità e sono indicate con C.A., le quali mettono in evidenza che la soluzione non può coincidere con i valori che annullano qualche denominatore dell equazione. Nel caso dell equazione in questione abbiamo Se la soluzione trovata dell equazione non appartiene al dominio dell equazione oppure coincide con un valore determinato nelle C.A. tale valore non può essere accettato e l equazione risulta impossibile. Osservazione Abbiamo visto che, nella risoluzione di una equazione, occorre eliminare i denominatori moltiplicando i due membri per il denominatore comune. Per le equazioni frazionarie, così facendo, si può ottenere un equazione intera non equivalente all equazione data e questo perché compare l incognita al denominatore. Consideriamo l equazione precedente; riduciamo entrambi i membri allo stesso denominatore e poi moltiplichiamoli per il denominatore comune Si ottiene alla fine la soluzione che non è soluzione dell equazione iniziale perché - non fa parte del suo dominio. L equazione intera, ottenuta eliminando i denominatori, non è equivalente a quella data. E necessario, pertanto, rendere possibile la trasformazione di un equazione frazionaria in un equazione intera ad essa equivalente. Questo si ottiene moltiplicando i membri dell equazione frazionaria per una stessa espressione contenente l incognita e soddisfacente le condizioni di accettabilità. Nell esempio Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 0

11 precedente l equazione intera risulta equivalente a quella iniziale solo tenendo conto delle condizioni di accettabilità. Risoluzione equazione numerica frazionaria. Si scompongono, se possibile i denominatori presenti nell equazione. Si formulano le condizioni di accettabilità oppure si determina il dominio dell equazione 3. Si riducono entrambi i membri allo stesso denominatore 4. Si eliminano i denominatori 5. Si risolve l equazione intera ottenuta 6. Delle soluzioni ottenute si accettano solo quelle che soddisfano le C. A. Esempio Risolviamo l equazione La soluzione trovata non soddisfa le condizioni di accettabilità, pertanto l equazione è impossibile e. Esempio Risolviamo l equazione Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

12 { } Esempio Risolviamo l equazione L equazione è indeterminata: tutti i numeri reali ad esclusione di quelli che non soddisfano le C.A. sono soluzioni. Pertanto { } Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

13 Osservazione Consideriamo l equazione che ha come dominio R e soluzione {}. Se moltiplichiamo l equazione per x otteniamo una equazione non equivalente alla data perché ha due soluzioni { }, ha in più la soluzione zero, appartenente al dominio dell equazione data e che annulla l espressione con la quale abbiamo moltiplicato i due membri dell equazione. Se moltiplicassimo l equazione per l espressione (x-3) introdurremmo la soluzione 3. Pertanto se si moltiplica un equazione per una espressione che si annulla nel suo dominio si introduce la soluzione che annulla tale espressione e pertanto non si ottiene una equazione equivalente a quella iniziale. Se invece di moltiplicare si divide l equazione per una espressione che si annulla nel suo dominio si perde la soluzione, quella che annulla l espressione per la quale si divide l equazione. Ad esempio l equazione ha due soluzioni { }. Se dividiamo per x entrambi i membri otteniamo l equazione che ha come soluzione e perderemmo la soluzione zero. Equazioni letterali intere Molto spesso l alunno non riesce a capire l importanza del calcolo letterale e di conseguenza la necessità e l utilizzo delle equazioni letterali. Se ammette lo studio delle equazioni numeriche mal sopporta quello delle equazioni letterali. E opportuno, quindi, spiegare l utilità di tali equazioni con un esempio. Problema Due treni partono contemporaneamente da due stazioni A e B, distanti 360 km e poste sulla stessa linea. Il primo treno, partito dalla stazione A, viaggia a 0 km/h verso la stazione B; il secondo treno, partito dalla stazione B, viaggia a 30 km/h verso la stazione A. Dopo quanto tempo i due treni si incontreranno? s t s t A 360 km B Soluzione Sappiamo che lo spazio è uguale alla velocità per il tempo, cioè Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 3

14 Lo spazio percorso dal treno A dopo un tempo t, espresso in ore, sarà Mentre il treno B, nello stesso tempo avrà percorso Sappiamo che Quindi Da cui I due treni si incontrano dopo un ora e mezzo. Il problema si potrebbe riproporre con velocità diverse, per esempio 0 km/h e 50 km/h. Lo spazio percorso dal treno A dopo un tempo t, espresso in ore, sarà Mentre il treno B, nello stesso tempo avrà percorso Sappiamo che Quindi Da cui I due treni si incontrano dopo un ora e venti minuti. Il problema potrebbe ripetersi molte volte sempre con velocità diverse. Ci chiediamo se sia possibile risolvere il problema in generale e successivamente, note le velocità, ricavare direttamente la soluzione. Per fare questo dobbiamo indicare i dati che possono cambiare, in questo caso le velocità, con delle lettere (i parametri). Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 4

15 Indichiamo con a e b le velocità, rispettivamente del treno A e del treno B. espresse in km/h. L equazione che risolve il problema diventa Sostituendo nell ultima formula, al posto di a e b le varie velocità otteniamo i rispettivi tempi Risolvendo l equazione letterale abbiamo trovato una soluzione che dipende dai parametri a e b. Assegnando ad a e b diversi valori si ottengono le diverse soluzioni senza dover risolvere l equazione. Nella risoluzione di un equazione letterale bisogna prestare molta attenzione all applicazione del secondo principio di equivalenza. L espressione con la quale moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri dell equazione potrebbe annullarsi in corrispondenza di alcuni valori dei parametri per cui è necessario procedere ad una discussione. Tutto ciò sarà più chiaro con alcuni esempi. Esempio Risolvendo l equazione l alunno, quasi sempre, è tentato di fare la moltiplicazione. Tale operazione è inutile e per farlo capire procediamo con la moltiplicazione Ora si sommano i termini simili al primo membro mettendo in evidenza la variabile x Ritorniamo, così, all equazione di partenza. In una equazione letterale non conviene mai fare la moltiplicazione tra la variabile e un espressione racchiusa in una parentesi all interno della quale non compare l incognita. Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 5

16 Un altra tentazione sarebbe quella di dividere i due membri per a scrivendo Tale operazione è lecita solo se a è sempre diverso da zero, mentre sappiamo che si annulla per a = -. Bisogna perciò distinguere dal caso Primo caso Secondo caso Riassumendo i risultati si ha Per Per Esempio Tutte le volte che il coefficiente dell incognite si può scomporre in fattori conviene farlo Il coefficiente dell incognita si annulla sia per k= che per k=-; occorre, pertanto, distinguere tre casi Primo caso Secondo caso Terzo caso Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 6

17 Riassumendo i risultati si ha Esempio 3 Portiamo al primo membro il termine del secondo membro contenente l incognita Sommiamo i termini del primo membro Dividiamo tutto per Il coefficiente dell incognita si annulla per b = 0; occorre, pertanto, distinguere due casi: Primo caso Secondo caso Riassumendo i risultati si ha Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 7

18 Esempio 4 Questa equazione è diversa dalle precedenti perché il parametro compare al denominatore; a = 0 annulla il denominatore della frazione e l equazione perde di significato. E necessario quindi stabilire le condizioni di esistenza dell equazione, indicate con C.E., condizioni che si riferiscono alla variabilità del parametro in modo da evitare che diventino nulli i denominatori. Bisogna fare attenzione a non confondere le condizioni di esistenza con le condizioni di accettabilità. Le prime escludono alcuni valori del parametro che fanno perdere di significato l equazione mentre le condizioni di accettabilità escludono i valori che non può assumere la variabile. Il coefficiente dell incognite si annulla per, pertanto bisogna distinguere due casi Primo caso Secondo caso Riassumendo i risultati si ha: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 8

19 Equazioni letterali frazionarie Le equazioni letterali frazionarie sono equazioni letterali in cui l incognita compare al denominatore. In queste equazioni la verifica dell accettabilità della soluzione non è di solito immediata. Un esempio chiarirà meglio quanto affermato. Esempio C.E.: C.A.: Primo caso Secondo caso Occorre ora discutere l accettabilità della soluzione trovata. La soluzione trovata è accettabile se. Riassumendo i risultati: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 9

20 Formule scientifiche e tecniche Nelle discipline scientifiche e tecniche si incontrano formule che esprimono relazioni quantitative fra grandezze. Ad esempio la formula esprime la relazione tra spazio percorso, velocità e tempo. Tale formula può essere considerata come un equazione letterale in cui si considera incognita la lettera che rappresenta la grandezza da esprimere mentre le altre sono considerate parametri. Nella formula precedente v è l incognita ed s e t sono parametri. Se invece vogliamo determinare il tempo dobbiamo considerare t come incognita e v ed s come parametri Consideriamo la formula che esprime la legge del moto uniformemente accelerato. La lettera s esprime lo spazio percorso, a l accelerazione, t il tempo e v 0 la velocità iniziale. Si vuole ricavare dalla formula precedente la formula che esprime l accelerazione. Bisogna risolvere l equazione rispetto all incognita a e considerare tutte le altre lettere presenti come parametri Anche la formula che esprime l area di un trapezio è un equazione Determiniamo la formula che permette di determinare la base maggiore B Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 0

21 Esercizi proposti. Data la formula ricavare le formule per il calcolo di C, i, t.. Data la formula ricavare le formule per il calcolo di C, i, t. 3. Data la formula ricavare le formule per il calcolo di V n, i, t. 4. Data la formula ricavare le formule per il calcolo di R, i 5. Data la formula dell area del trapezio ricavare le formule per il calcolo di b, h 6. Data la formula ricavare le formule per il calcolo di R, r, a 7. Data la formula ricava la formula per il calcolo di R. 8. Dalla formula ricava la formula per il calcolo di a 9. Dalla formula ricava la formula per il calcolo di a 0. Dalla formula ricava la formula per il calcolo di m Problemi di primo grado Per risolvere un problema occorre tradurlo in un equazione che altro non è che il modello matematico del problema. Diamo il procedimento da seguire per risolvere un problema, sapendo che soltanto l esperienza ti consentirà di affrontare e risolvere i problemi che ti verranno proposti.. Individuare l incognita. Stabilire eventuali condizioni di accettabilità, cioè le limitazioni al valore dell incognita in modo da dare un significato alle soluzioni che si troveranno 3. Scrivere l equazione 4. Risolvere l equazione 5. Confrontare la soluzione trovata con le condizioni di accettabilità 6. Formulare la soluzione del problema Esempio Un padre ha 40 anni e il figlio 4. Tra quanti anni l età del padre sarà il doppio di quella del figlio? Soluzione. Individuiamo l incognita. Indichiamo con x il numero di anni che devono passare affinché l età del padre sia il doppio dell età del figlio.. Poniamo le condizioni di accettabilità. Poiché x rappresenta gli anni che devono trascorrere deve essere Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

22 3. Scriviamo l equazione. Età attuali Età tra x anni padre 40 40x figlio 4 4x Il doppio dell età del figlio tra x anni sarà uguale a quella del padre, cioè: 4. Risolviamo l equazione Confrontiamo la soluzione trovata con le condizioni di accettabilità. La soluzione essendo maggiore o uguale a zero è accettabile 6. Formuliamo la soluzione del problema L età del padre sarà doppia di quella del figlio tra anni Esempio Aumentando il lato di un quadrato di cm, la sua area aumenta di 6 cm. Determinare il lato del quadrato. Soluzione 7. Individuiamo l incognita. Indichiamo con x il lato del quadrato da determinare. 8. Poniamo le condizioni di accettabilità. Poiché x rappresenta la misura di un segmento deve essere 9. Scriviamo l equazione. lato lato aumentato Misura del lato x x Misura dell area x (x) La differenza tra l area del quadrato con il lato aumentato di cm e quella del quadrato di lato x è uguale a 6, cioè: Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag.

23 0. Risolviamo l equazione.. Confrontiamo la soluzione trovata con le condizioni di accettabilità. La soluzione 3 essendo maggiore o uguale a zero è accettabile. Formuliamo la soluzione del problema Il lato del quadrato è di 3 cm. Bibliografia: N. Dodero P. Baroncini- R. Manfredi I. Fragni : Lineamenti. MATH Blu nella matematica Algebra vol. Ghisetti e Corvi Prof. G. Frassanito Liceo scientifico E. Medi - Galatone Pag. 3