Relazioni binarie in generale

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1 Capitolo B53: Relazioni binarie in generale Contenuti delle sezioni a. Relazioni binarie p. b. Operazioni su relazioni binarie p.6 c. Digrafi e relazioni binarie p.7 d. Principali caratterizzazioni delle relazioni p.9 e. Strutture dotate di ordinamento p.2 f. Cenno alle relazioni ternarie e di arietà superiore p.2 B53:. Il capitolo è dedicato a considerazioni generali sulle relazioni binarie. Alcune delle definizioni e delle segnalazioni nelle prossime pagine sono già comparse in precedenza e saranno ripresentate più oltre; in effetti il capitolo vuole servire per raccordare le molte considerazioni sulle relazioni che risulta opportuno utilizzare in forme particolari in una grande varietà di contesti. Si inizia con l inquadramento delle relazioni binarie fra le relazioni di generica arietà e con alcune loro caratterizzazioni generali. Si prosegue con la presentazione delle svariate operazioni che può essere conveniente definire tra le relazioni e di alcune notazioni specifiche non influenzate dagli ambienti nei quali le relazioni sono collocate. Successivamente per le relazioni contabili si riprendono le raffigurazioni mediante grafi e le relative terminologie, mettendo in rilievo varie relazioni non finite. Si espongono poi le loro molteplici caratterizzazioni, entrando in vari dettagli della casistica. Si accenna poi alle strutture che, insieme ad operazioni algebriche e/o proprietà topologiche, presentano relazioni d ordine compatibile con le precedenti. Infine si aggiungono alcune considerazioni sulle relazioni ternarie e di arietà superiore fornendo alcuni esempi e discutendo come si possono collegare a relazioni binarie. B53:a. Relazioni binarie B53:a. Consideriamo l intero k 2, gli insiemi non vuoti A, A 2,... e A k (non necessariamente diversi e non necessariamente della stessa cardinalità) ed il prodotto cartesiano di questi ultimi C := A A 2... A k. Si dice relazione k-aria tra A, A 2,... e A k oppure entro C ogni sottoinsieme R C. Il prodotto cartesiano C viene detto terreno della relazione e l intero k arietà della relazione R. Per talune esigenze di generalità può essere opportuno ammettere che sia k = ed anche k =. Nel primo caso si viene a chiamare relazione unaria entro A un sottoinsieme privilegiato di A ; nel secondo la relazione nullaria consiste in una entità identificabile con un insieme costituito dalla sola stringa muta. Le relazioni di arietà superiore a 2 rivestono importanza solo per problemi particolari; tra questi segnaliamo alcuni settori dell elaborazione dei dati, ed in particolare il settore delle basi di dati ([[en.relationa B53: Relazioni binarie in generale

2 Alberto Marini database]]. Per la maggior parte delle tematiche più tipiche della matematica le relazioni più importanti sono invece le binarie, cioè i sottoinsiemi di un prodotto cartesiano della forma A A 2. Nel seguito del capitolo, ad esclusione dell ultimo paragrafo dedicato alle relazioni di arietà superiore a 2, e in molti altri contesti la accennata prevalente importanza delle relazioni binarie, induce a chiamarle relazioni tout court. La stessa abbreviazione sarà adottata in molti altri contesti nei quali non si rischia l ambiguità. Una relazione tra A ed A 2 viene chiamata anche corrispondenza tra A ed A 2. B53:a.2 In precedenza abbiamo già incontrato varie relazioni binarie: - le relazioni applicabili ad ogni insieme = e ; - le relazioni tra stringhe essere prefisso, essere suffisso, essere infisso, essere sottostringa; - le relazioni tra numeri naturali, interi, razionali o reali individuate dai segni <,, > e ; - le relazioni tra insiemi individuate dai simboli,,,,,, e ; - le relazioni tra numeri interi legate alla divisibilità come :, cioè essere divisore di,, cioè essere mutuamente primo con ; - relazioni tra enti geometrici tra le quali il parallelismo / e la perpendicolarità tra rette e segmenti; - le relazioni di incidenza tra vertici e spigoli di un grafo non orientato. Osserviamo anche che tutte le curve speciali piane (ad esempio quelle presentate in [[EFMR]]), come insieme di coppie di numeri reali si possono considerare relazioni entro R R. Segnaliamo inoltre che ad ogni curva speciale piana non intrecciata chiusa (ad esempio una ellisse, una tricuspoide o una quartica piriforme) è associato l insieme dei suoi punti interni ed anche questa entità si può considerare una relazione entro R R. B53:a.3 Sia R una relazione binaria; in luogo di a, b R spesso conviene usare la notazione equivalente a R b; questa si dice notazione infissa della relazione inoltre in genere, cioè se non si rischia lo ambiguità, a questa viene preferita l abbreviazione arb. Una notazione come 4 6 si può considerare la notazione infissa equivalente alla 4, 6, notazione nella quale è considerato come un insieme di coppie di numeri. Più precisamente, a seconda delle esigenze del contesto, si potrebbe considerare come sottoinsieme di N N, di Z Z, di Q Q oppure di R R. Ricordiamo la decisione (B9d2) di denotare con Rel la classe di tutte le relazioni binarie. B53:a.4 Per una qualsiasi relazione R A B si introducono: il dominio di R: R :=: dom(r) := { a A (B b arb) } = Prj (R); il codominio di R: R :=: cod(r) := { b B (A a arb) } = Prj 2 (R). Il codominio di una relazione R si dice anche immagine della R e si denota anche con Img(R). Per ciascuna relazione R si riscontra una ed una sola delle seguenti situazioni: - R = R, come uguaglianza e differenza (queste sono chiamate relazioni presimmetriche); - R R, come la relazione > sugli interi naturali ( R \ R ); - R R, come la relazione < sugli interi positivi; ( R \ R ); - R R, come accade per la incidenza fra vertici e spigoli dei grafi non orientati e caratterizza i digrafi bipartiti; - R R, accade per la funzione a {, 2, 3} a +. B53:a.5 Per taluni sviluppi riguardanti una relazione R A B si pone la questione della distinzione tra la relazione stessa e la coppia A B, R. 2 B53: Relazioni binarie in generale

3 A questo proposito introduciamo il termine relazione collocata per ogni coppia della forma A B, R ; per una tale coppia diremo che il rettangolo cartesiano A B costituisce una collocazione della R. Inoltre useremo la scrittura Rel A,B per denotare l insieme delle relazioni collocate entro A B; si osserva che l insieme delle relazioni collocabili in A B è P(A B); per questo insieme talora, si usa anche la notazione {A B}, più simile a ciascuna delle notazioni per funzioni come ({A B}. Consideriamo in particolare le relazioni collocate in quadrati cartesiani, cioè sottoinsiemi della forma R A A; queste entità le chiamiamo relazioni collocate sopra l insieme A ed il loro insieme lo denoteremo anche con Rel A. L insieme delle relazioni collocate che si possono collocare su A è dunque P(A 2 ), ovvero {A A}. B53:a.6 Consideriamo una relazione collocata A B, R Rel A,B. Evidentemente per ogni A, B con A A e B B nulla vieta di considerare la relazione collocata A B, R. Inoltre la relazione R si può collocare senza perdita di sue coppie sopra uno qualsiasi dei rettangoli cartesiani A B che contengono R R. si osserva anche che per ogni A, B con A A e B B nulla vieta di considerare la relazione collocata A B, R A B ; nonché A B, R A B e A B, R A B. Occorre segnalare che vi sono proprietà delle relazioni sulle quali la collocazione non ha effettiva influenza, altre per le quali essa conta; questo accade soprattutto per relazioni considerate sottoinsiemi di un quadrato cartesiano. Può accadere che si introduca una relazione R come relazione tra due insiemi, R A B, ma che per taluni sviluppi risulti opportuno considerare una sua variante definita tra un sottoinsieme o un sovrainsieme di A ed un sottoinsieme o un sovrainsieme di B. Ad esempio relazioni numeriche come e > nell analisi infinitesimale si considerano collocate sopra l insieme dei numeri reali R, ma in talune circostanze può essere opportuno limitarsi a considerarle relazioni sopra un sottoinsieme di R come Q, Z o N o sopra, ad esempio, l insieme dei numeri primi. Spesso conviene chiedere che una relazione sia collocata sopra un unico insieme, cioè che si consideri sottoinsieme di un quadrato cartesiano. In effetti per ogni relazione si ha R (R R ) (R R ) (R R ). In linea di principio quindi ogni relazione si può collocare sopra un ben determinato insieme unico e minimale. B53:a.7 Consideriamo dunque una relazione collocata sopra un insieme A A, R ; si dice relazione trasposta o relazione inversa di R: R = R := { a, b R : b, a }. Evidentemente anche A A, R è una relazione collocata sopra A. Chiaramente per ogni relazione R si ha (R ) = R. In altre parole la trasposizione è una involuzione entro ciascuna classe Rel A. Si osserva che la R A B equivale alla R B A ed equivale ad affermare dom(r ) = cod(r) e cod(r ) = dom(r). Ad esempio per le relazioni numeriche si ha = ; < = >, mentre per le relazioni insiemistiche = ; =. Inoltre la trasposta della relazione essere divisore di è la relazione essere multiplo di. B53:a.8 Le relazioni invarianti per la trasposizione di relazioni collocate, cioè le relazioni coincidenti con la propria trasposta, si dicono relazioni simmetriche. Sono evidentemente simmetriche l uguaglianza B53: Relazioni binarie in generale 3

4 Alberto Marini e la diversità. È ragionevole ritenere che in genere risulti più semplice considerare una relazione simmetrica collocata sopra un quadrato cartesiano, cioè che abbia dominio e codominio coincidenti, cosa sempre ottenibile. Evidentemente la trasposta di una relazione simmetrica è simmetrica: possiamo considerare che R = R R = (R ) = R. Osserviamo esplicitamente che vi sono relazioni presimmetriche che non sono simmetriche: ad esempio la relazione sopra un insieme come Z, Q o R è presimmetrica ma non simmetrica. B53:a.9 Quando si considera una sola relazione spesso la sua collocazione è poco importante e spesso può rimanere non esplicitata senza che questo comporti ambiguità; talora il prodotto cartesiano A B nel quale risulta opportuno collocare una relazione R si impone con una certa evidenza e quindi in genere può essere sottinteso. Spesso una relazione R presimmetrica si colloca implicitamente entro R R. Talvolta invece si rende necessario essere circostanziati sulla ambientazione di una relazione; questo può essere dovuto a esigenze esterne, ovvero quando la relazione viene collegata ad altre, ad esempio viene composta con altre (V. :b). Vi sono inoltre molti sviluppi nei quali non ha sostanziale importanza definire la collocazione e risulta possibile senza rischiare ambiguità lasciarla inespressa ed anche non distinguere fra una relazione e le corrispondenti relazioni collocate. Questo modo di esprimersi sbrigativo può semplificare notevolmente l esposizione e si giustifica nella confidenza che il lettore sarebbe in grado di giungere ad una maggiore precisione se se ne presentasse la necessità (considerata peraltro remota). B53:a. Vediamo ora alcune considerazioni nelle quali la collocazione delle relazioni va esplicitata. Quali che siano gli insiemi A e B, l insieme vuoto collocato entro A B si può chiamare relazione assurda tra A e B, mentre A B collocato entro A B si può chiamare relazione ovvia tra A e B. Quale che sia l insieme A, si dice relazione identica o identità su A Id A := {a A : a, a }; essa si scrive anche A Id ; essa viene chiamata anche diagonale di A A e denotata con Diag(A). Si dice relazione opposta della relazione collocata A B, R la relazione collocata A B, (A B) \ R. Essa viene anche detta negazione della relazione. Questa dizione, insieme alle dizioni relazione ovvia e relazione assurda, vanno viste come termini adottati per il calcolo proposizionale (v. B6:) applicato alle affermazioni riguardanti relazioni. Le proposizioni della forma a, b R forniscono esempi significativi per proprietà del calcolo proposizionale. Il termine negazione di una relazione può essere chiarito dalla equivalenza fra gli enunciati a, b A B, (A B) \ R a, b R. Talora è ammissibile parlare di passaggio alla relazione opposta senza precisare la sua collocazione entro un rettangolo cartesiano A B. Ad esempio si può asserire senza collocazioni esplicite che l opposta della relazione numerica < è la relazione e che l opposta della > è la : in questi casi in genere si raggiungono conclusioni per le quali la precisa collocazione è ininfluente, oppure accade che il contesto e la finalità del discorso corrente inducano naturalmente a considerare che esse nei diversi casi riguardino numeri reali, oppure numeri interi, oppure numeri di un dato intervallo o altro. B53:a. Per ogni a A si dice immagine di a per R: a R := {b B arb}. Per ogni b B si dice controimmagine di b per R: R b := {a A arb}. Esempi: {, 2, 3} = {, {}, {2}, {3}, {, 2}, {, 3}, {2, 3}}. 4 B53: Relazioni binarie in generale

5 All interno di un discorso riguardante precisamente l intervallo [ : 9], si può affermare 5 = {,, 2, 3, 4, 5}. I due segni ora introdotti e sono due connettivi: il primo serve a collegare esplicitamente un elemento dell insieme nel quale si colloca il dominio della relazione con la relazione stessa; il secondo si inserisce tra la relazione e un elemento dell insieme nel quale si colloca il codominio della relazione. In genere questi segni possono essere sottintesi e si semplifica la scrittura a R con la ar e la R b con la Rb. B53:a.2 Dato che le relazioni sono insiemi, si possono applicare ad esse tutte le operazioni insiemistiche. Spesso, date due relazioni R ed S è utile considerare la loro unione, la loro intersezione e l operazione denotata con consistente nell unione con segnalazione di operandi disgiunti. Facciamo alcune altre osservazioni che si collegano al calcolo dei predicati (v. relazioni. B6:) applicato a - L enunciato a (R S) b equivale all affermazione a R b o a S b ; questo enunciato si dice congiunzione degli enunciati a R b e a S b e si scrive anche a R b a S b. - L enunciato a (R S) b equivale ad affermare a R b e a S b ; questo enunciato si dice disgiunzione degli enunciati a R b e a S b e si scrive anche a R b a S b. - L affermazione a (R S) b equivale ad affermare aut a R b, aut a S b; questo enunciato si dice or esclusivo o xor degli enunciati a R b e a S b e si scrive anche a R b a S b. Ribadiamo che se la relazione viene collocata, implicitamente o meno, in un dato ambiente A B, l affermazione a ((A B) \ R) b equivale alla negazione dell enunciato a R b e si scrive anche (a R b). B53:a.3 Spesso è significativo stabilire per due relazioni R ed S che sia R S; in questo caso si dice che R è relazione più stringente in senso lato della S o, equivalentemente, che S è meno stringente in senso lato di R. Analogamente può essere utile stabilire che sia R S, affermazione che si esprime dicendo che R è una relazione più stringente in senso stretto della S o, equivalentemente, che S è meno stringente in senso stretto di R. L accostamento fra stringente e stretto fa pensare a un gioco di parole: in effetti abbiamo applicato le due relazioni e a due relazioni: ma anche per queste due relazioni si può stabilire quale è la più stringente: evidentemente è più stringente della. A questo punto si potrebbe essere indotti a scrivere : una tale scrittura è però inopportuna, in quanto la mancata esplicitazione degli ambienti la rende ambigua: in essa primo e terzo segno esprimono relazioni entro un non meglio identificato A B, cioè appartengono a B(A B), mentre il secondo segno esprime una relazione tra relazioni del precedente insieme e quindi appartiene a B(B(A B)). Osserviamo anche che R S ( a, b A B arb = asb ). In varie circostanze si incontrano due relazioni R ed S tali che risulta utile stabilire se sono disgiunte, cioè se R S, o meno e stabilire se non sono confrontabili, cioè se R S, o meno B53: Relazioni binarie in generale 5

6 Alberto Marini B53:b. Operazioni su relazioni binarie B53:b. Introduciamo ora operazioni peculiari delle relazioni. Consideriamo le relazioni R A B ed S B C; si dice prodotto di composizione, c-prodotto o prodotto di Peirce delle relazioni R ed S: R S := { a, c A C ( B b arb bsc )}. Per questa importante operazione si derivano direttamente dalle definizioni le proprietà che seguono, valide per A, B, C e D insiemi arbitrari, R, R A B, S, S B C, T C D. (a) R S = R S = (non componibilità delle relazioni). (b) (R S) R, (R S) S. (c) (R S) = S R. (d) (R S) T = R (S T ) (associatività del prodotto di composizione). (e) (R R ) S = R S R S, R (S S ) = R S R S (f) A Id R = R, R B Id = R. (distributività del prodotto di composizione rispetto all unione). (g) (R R ) S (R S) (R S), R (S S ) (R S) (R S ). (h) R R = R S R S, S S = R S R S. Una semplice situazione nella quale (R R ) S (R S) (R S) si ha con R = {, 2 }, R = {, 3 } ed S = { 2, 4, 3, 4 }; in tal caso (R R ) S =, mentre (R S) (R S) = {, 4 }. Una semplice situazione nella quale R (S S ) (R S) (R S ) si ha con R = {, 2,, 3 }, S = { 2, 4 } ed S = { 3, 4 }; in tal caso R (S S ) =, mentre (R S) (R S ) = {, 4 } Una semplice situazione nella quale R R ed R S = R S si ha con R = {, 2 }, R = {, 2,, 3 }, S = { 2, 4, 3, 4 }; in tal caso R S = R S = {, 4 } Una semplice situazione nella quale S S ed R S = R S si ha con R = {, 2, 3 }, S = { 2, 4 }, S = { 2, 4, 3, 4 }; in tal caso R S = R S = {, 4 }. B53:b.2 Come per ogni operazione binaria associativa, a partir dal prodotto di composizione si introducono le potenze di composizione o c-potenze di una qualsiasi relazione R. R := R ; n P : R n+ := R n R ; n P : R n := (R ) n = (R n ). La potenza zero minima di R è definita da R := (R R ) Id = (R ) Id (R ) Id. Una nozione quasi equivalente è quella di potenza zero della relazione collocata A A, R per A R R, definita come A Id. Si dimostrano facilmente i seguenti enunciati. (a) m, n N : R m R n = R m+n, R m R n = R (m+n), (b) (R m ) n = (R m ) n = R mn, (R m ) n = (R m ) n = R mn. (c) dom(r n ) dom(r), cod(r n ) cod(r). Consideriamo la relazione R = {2, 3, 4, 5, 23, 24, 25, 34, 35, 45}, cioè la relazione minore di entro {, 2, 3, 4, 5}. Accade che R 2 = {3, 4, 5, 24, 25, 35}, R 3 = {4, 5, 25}, R 4 = {5}, R 5 = ; quindi dom(r) = {, 2, 3, 4} dom(r 2 ) = {, 2, 3} dom(r 3 ) = {, 2} dom(r 4 ) = {} dom(r 5 ) = e cod(r) = {2, 3, 4, 5} cod(r 2 ) = {3, 4, 5} dom(r 3 ) = {4, 5} dom(r 4 ) = {5} dom(r 5 ) =. 6 B53: Relazioni binarie in generale

7 B53:b.3 Introduciamo la chiusura transitiva o c-cross chiusura della relazione R: R := R R 2 R 3 = {n P : R n } e la chiusura riflessivo-transitiva o c-star chiusura della relazione R: R := R R = {n N : R n }. Per un insieme N N useremo la scrittura: R N := {i N : R i } e le sue specializzazioni per casi particolari di N. Si introducono le seguenti scritture: n P : R <n := R [n) = R R n ; R < := ; n P : R n := R [n] = R <n+ ; n N : R n := R n R n+ ; R >n := R n+. Si trovano le seguenti uguaglianze: (a) R = R R = R R ; n N : R n = R n R = R R n ; (b) n N : R >n = R n R = R R n ; n N : R <n R n = R n R >n = R. B53:b.4 Introduciamo le seguenti altre operazioni che agiscono sopra ogni relazione R, ovvero trasformazioni che mandano una relazione in un altra relazione, ovvero endofunzioni di Rel: chiusura riflessiva minima: R R ; chiusura riflessiva sopra A: R A Id ; chiusura simmetrica: R R ; chiusura riflessivo-simmetrica: R R R ; chiusura di equivalenza: R := (R R ). Si trova facilmente che (a) R R (R ). Consideriamo la relazione numerabile tra numeri interi R = {n Z : n, n + }, cioè la relazione essere l intero immediatamente precedente. Per essa si trova che R è la relazione entro Z, che R è la relazione essere l intero immediatamente successivo, che (R ) è la relazione entro Z e che R = Z Id. La relazione (a) è quindi una uguaglianza. Consideriamo la relazione R = {3, 23, 34, 35}; per essa si trova R = {, 3, 4, 5, 22, 23, 24, 25, 33, 34, 35, 44, 55}, R = {3, 32, 43, 53}; (R ) = {, 22, 3, 32, 33, 4, 4, 43, 44, 5, 52, 53, 55}, e R = {, 2, 3, 4, 5} Id. Per questa relazione la (a) è una relazione di inclusione stretta: R (R ) = {, 2, 3, 4, 5} Id \ {2, 2, 45, 54} {, 2, 3, 4, 5} Id. B53:c. Digrafi e relazioni binarie B53:c. Con il termine strutture grafiche intendiamo varie specie di strutture discrete, accomunate dal fatto di essere costituite da oggetti tendenzialmente semplici detti nodi o vertici e da collegamenti tra questi nodi. Vi sono due specie di strutture grafiche finite basilari che chiamiamo rispettivamente grafi non orientati e grafi orientati o digrafi. Nei digrafi ogni collegamento, chiamato arco, va da un nodo ad un altro (che può coincidere con il primo) e si distingue fra nodo iniziale e nodo finale; questo fatto si esprime dicendo B53: Relazioni binarie in generale 7

8 Alberto Marini che gli archi sono dotati di un orientazione. Anche ciascuno dei collegamenti di un grafo non orientato, chiamati lati o spigoli, riguardano due nodi o un solo nodo; nel primo caso ora non si distinguono il nodo iniziale ed il finale. Questo si esprime dicendo che i lati di un grafo non orientato non possiedono orientazione. Tipicamente, mediante strutture grafiche, si possono schematizzare sistemi di collegamenti stradali riguardanti determinate località. Se i collegamenti si possono percorrere in entrambi i sensi serve un grafo non orientato; se si hanno molte strade a senso unico, si utilizza un digrafo. B53:c.2 Si studiano anche varie strutture grafiche che costituiscono degli arricchimenti delle due basilari; queste in parte riguardano problemi strettamente matematici ma più spesso sono motivate da esigenze applicative. Studiando un sistema stradale può rendersi necessario caratterizzare i diversi tratti con distanze o tempi medi di percorrenza; oppure caratterizzare le località con la capienza dei suoi parcheggi. Per trattare queste situazioni si rende necessario arricchire i grafi della schematizzazione aggiungendo valori ed etichette distintive ai nodi ed agli archi. B53:c.3 Una relazione finita è una relazione R A B in cui A e B sono insiemi finiti. Diciamo digrafo ogni coppia Q, R con Q insieme finito i cui elementi sono detti nodi del digrafo, ed R Q Q cioè R è una relazione entro Q (e quindi una relazione finita) i cui elementi sono detti archi del digrafo. Lo studio dei digrafi quindi si confonde con quello delle relazioni finite. Un digrafo che non sia costituito da un insieme eccessivo di nodi si può presentare efficacemente attraverso la sua raffigurazione, rappresentazione visiva nella quale ad ogni nodo corrisponde un punto di una porzione di piano e ogni arco a, b viene dato da un segmento che unisce a e b ed è dotato di un segno di freccia indicante il fatto che a si trova prima di b nella precedente scrittura. Mediante raffigurazioni di digrafi si possono quindi fornire esempi di relazioni finite. Ad esempio la relazione < entro l insieme {2, 3, 5, 7, } viene efficacemente rappresentata dal seguente digrafo: I digrafi finiti si possono rappresentare anche mediante le loro cosiddette matrici delle adiacenze. Di un digrafo D = Q, R la matrice delle adiacenze è la funzione indicatrice del sottoinsieme R dell insieme ambiente Q Q e la si denota con D adjm. Ad esempio le matrici delle adiacenze rispettivamente delle relazioni < e entro {, 2, 3, 4, 5} 2 sono. B53:c.4 Sono di grande interesse anche strutture grafiche costituite da insiemi numerabili di nodi e di collegamenti; a questo proposito si parla di grafi numerabili e di digrafi numerabili; collettivamente grafi finiti e grafi numerabili sono chiamati grafi contabili, digrafi finiti e digrafi numerabili sono chiamati digrafi contabili. Per i grafi e i digrafi numerabili in genere si chiede che siano effettivamente costruibili. Si dicono quindi grafi costruibili i grafi numerabili per i quali si chiede la disponibilità di un algoritmo in grado di generare i nodi e di un algoritmo che dati due nodi sia in grado di decidere se sono collegati da un lato o meno. Similmente si dicono digrafi costruibili i digrafi numerabili per i quali si chiede la disponibilità di un algoritmo in grado di generare i nodi e di un algoritmo che data una coppia di nodi sia in grado di decidere se costituisce un arco del digrafo o meno. 8 B53: Relazioni binarie in generale

9 Collettivamente chiamiamo grafi discreti i grafi finiti espliciti e i grafi costruibili, mentre chiamiamo digrafi discreti i digrafi finiti espliciti e i digrafi costruibili, Le strutture grafiche sono molto importanti per lo studio degli algoritmi, per la programmazione e per varie questioni di teoria dei linguaggi. In seguito svilupperemo con una certa ampiezza varie nozioni che riguardano questi settori. Qui introduciamo brevemente i digrafi al fine di essere in grado di esemplificare efficacemente molti tipi di relazioni finite. B53:d. Principali caratterizzazioni delle relazioni B53:d. Introduciamo ora delle caratterizzazioni generali delle relazioni binarie, cioè caratterizzazioni indipendenti dalla peculiarità della loro costruzione ed in particolare dal prodotto cartesiano che le contiene. Consideriamo una relazione R A B. Ricordiamo (:a.4) che R si dice relazione presimmetrica sse (R = R ). R si dice invece relazione riflessiva sse è una relazione presimmetrica e R = (R ) Id R, cioè sse R R 2. Si dice invece che R è una relazione riflessiva su A sse A Id R. Tra le relazioni numeriche e insiemistiche di uso comune sono riflessive le relazioni associate ai segni =,,, e, mentre sono antiriflessive quelle associate ai simboli >, <,,. Le relazioni discrete riflessive hanno digrafi nei quali ogni nodo è dotato di cappio cioè di un arco che parte da un nodo ed arriva allo stesso nodo. mentre le relazioni discrete antiriflessive hanno digrafi privi di cappi. La relazione R si dice relazione antiriflessiva sse R (R R ) Id. Si dice invece relazione antiriflessiva su A sse A Id R. Un digrafo corrisponde ad una relazione antiriflessiva discreta sse tutti i suoi nodi sono privi di cappi. B53:d.2 Ricordiamo (:a.8) che la relazione R si dice relazione simmetrica sse R = R ; evidentemente una tale R è presimmetrica. Inoltre una relazione R presimmetrica è simmetrica sse a, b R (= R ) : arb = bra. Esempi di relazioni simmetriche sono l uguaglianza e la disuguaglianza, associate, rispettivamente, ai segni = e e la relazione di coprimalità fra interi positivi. Relazioni discrete simmetriche hanno digrafi in cui per ogni arco u esiste il suo riflesso, cioè un arco in cui il nodo d arrivo è quello di partenza di u e viceversa il nodo di partenza è quello d arrivo di u. Quindi, più semplicemente, un arco riflesso di un determinato arco è un arco con gli stessi nodi ma con orientazione inversa. Si deduce così che le relazioni discrete simmetriche si possono far corrispondere ai digrafi discreti con archi privi di orientazione e cioè ai grafi discreti. B53:d.3 R si dice relazione antisimmetrica sse a, b R R : arb bra = a = b, cioè sse R R (R ) Id (R ) Id = (R R ) Id. Le relazioni associate ai segni,, e sono esempi di relazioni antisimmetriche. Nel caso delle relazioni finite l antisimmetria implica che gli archi dei digrafi associati siano privi dei loro riflessi, in quanto questo porterebbe a far coincidere i nodi collegati da tali archi. In particolare si hanno le relazioni R antisimmetriche e antiriflessive per le quali R R =. B53:d.4 Ancora più particolari sono le relazioni R con R R ; esse sono dette relazioni bipartite. Alle relazioni discrete bipartite sono associati i digrafi bipartiti. Da un qualsiasi elenco di stringhe si ricava B53: Relazioni binarie in generale 9

10 Alberto Marini un grafo bipartito considerando come archi i collegamenti fra caratteri e stringhe nei quali un dato carattere compare. La relazione che collega cognomi e nomi quando si applica a un gruppo ristretto di persone di solito risulta bipartita; la presenza di personaggi come Giordano Bruno, Andrea Giordano e Corrado Alvaro però rischia di far venir meno il carattere bipartito del relativo digrafo. B53:d.5 La relazione R si dice relazione transitiva sse a R, b (R R ), c R : arb brc = arc. Quindi R è transitiva sse R 2 R, cioè sse n N : R n R, cioè sse R = R. Sono transitive le relazioni associate ai segni =,, >,, <,,,,. I digrafi associati a relazioni discrete transitive sono caratterizzati dal fatto che la presenza di due o più archi consecutivi implica l esistenza di un arco che collega il nodo di partenza del primo degli archi consecutivi e il nodo d arrivo dell ultimo di questi archi. Un esempio di relazione transitiva non presimmetrica e non riflessiva è quella che nell insieme N dei numeri naturali è rappresentata dal segno < ; la relazione di coprimalità non è transitiva. B53:d.6 Consideriamo ora tipi di relazioni che contengono nella loro definizione combinazioni delle proprietà appena viste. Per fornire esempi di queste relazioni nel caso discreto è utile rivedere gli esempi considerati per i tipi di relazioni già introdotti. La relazione R si dice equivalenza sse è riflessiva, simmetrica e transitiva, cioè sse R = (R ) Id = (R ) Id R = R = R 2, cioè sse n Z\{} : R R = R n, cioè sse R = R = (R ) R R. Le relazioni d equivalenza sono relativamente semplici: infatti esse equivalgono alle partizioni dell insieme, denotiamolo con A, entro il quale sono definite. La loro importanza è anche dovuta al fatto che ogni funzione f avente come dominio il suddetto insieme A induce su di esso una partizione che costituisce una caratteristica importante della f. B53:d.7 La relazione R si dice preordine sse è riflessiva e transitiva, cioè sse è presimmetrica e R = (R ) Id R = R 2, cioè sse R = R e n N : R R = R n, cioè sse R = R e R = R. Osserviamo esplicitamente che ogni relazione R può ampliarsi a un preordine attraverso la sua starchiusura. La relazione R si dice ordine parziale, o anche semplicemente ordine, sse è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, cioè sse è presimmetrica e R R = R R = R 2, cioè sse R = R e n N : R R R R = R n, cioè sse R = R, R R = R e R = R. Molti ordini discreti hanno grande rilevanza pratica e con essi i corrispondenti digrafi ordinati (v. B55:). Possiamo anticipare che in generale le relazioni d ordine si incontrano in moltissimi problemi matematici dove hanno ruoli importanti; inoltre, come vedremo, la loro tipologia è estremamente ricca. B53:d.8 La relazione R si dice relazione totale sse è presimmetrica e R R R R. Sono relazioni totali l uguaglianza e la disuguaglianza sopra un insieme qualsiasi, mentre entro un insieme di numeri reali sono totali le relazioni associate ai segni < e >. Una coppia a, b R R si dice coppia confrontabile per la relazione R, o coppia R-confrontabile, sse arb o bra (senza escludere che possano valere entrambi gli enunciati). Chiaramente una relazione R è totale sse tutte le coppie di R R sono R-confrontabili. R si dice ordine totale sse è un ordine ed è totale. Ad esempio le relazioni e, entro l insieme R dei numeri reali (o entro IN, Z, QI o ogni altro sottoinsieme di R) risultano essere ordini totali. Non sono invece ordini totali la relazione di divisibilità B53: Relazioni binarie in generale

11 fra interi positivi e la relazione di inclusione in senso lato fra insiemi. Questi ordini si dicono relazioni d ordine strettamente parziale. Tra le relazioni numeriche quelle caratterizzate dai segni < e > non sono ordini totali, in quanto sono totali ma non sono riflessive. Un altro esempio di ordine strettamente parziale è la relazione tra coppie di numeri reali definita da r, s t, u sse r t s u. Infatti due coppie come 3, 5 e 5, non sono confrontabili. Una relazione R si dice esauriente sse è presimmetrica e si ha R R = R v dash R. B53:d.9 Una relazione R si dice relazione tricotomica sse è presimmetrica e per ogni coppia di elementi diversi a, b R R aut arb aut bra. Quindi confrontando due elementi qualsiasi a e b del suo dominio si possono dare tre possibilità mutuamente esclusive: a = b, arb e bra. Sono relazioni tricotomiche le relazioni numeriche < e >. In generale la relazione trasposta di una tricotomica è anch essa tricotomica. Più precisamente una relazione R A A è tricotomica se {R, A Id, R } costituisce una tripartizione di A A. Più in generale interessano insiemi di relazioni mutuamente collegate R, R 2,..., R m A A con A insieme non vuoto le quali costituiscono una partizione in m parti dell ambiente A A. Il semplice caso m = 2 si riduce ai doppietti formati da una relazione e dalla sua opposta: ad esempio in R 2 doppietti di relazioni come {<, } e {>, }. Situazioni più complesse si presentano per relazioni tra sottoinsiemi di un dato insieme A. Si hanno partizioni come le seguenti P(A) P(A) == A = =. Queste partizioni di quadrati cartesiani possono essere utili per chiarire quali sono le possibili relazioni che intercorrono tra due oggetti omogenei; una partizione del quadrato cartesiano di un insieme delle parti in particolare può chiarire come si relazionano due insiemi di un dato ambiente. B53:d. Consideriamo una relazione R A B e due insiemi C, D tali che C A e D B. Si dice restrizione di R a C D la relazione R C D := R (C D). Ad esempio di molte relazioni entro l insieme R risultano utili le restrizioni ai sottoinsiemi Q, Z, N, R +. I sottodigrafi, cioè digrafi ottenuti da un certo digrafo eliminando alcuni nodi ed archi, forniscono esempi spesso interessanti di restrizioni di relazioni finite. Di particolare interesse sono le restrizioni simmetriche delle relazioni; se R è una relazione contenuta in un quadrato cartesiano S S, si chiama sua restrizione simmetrica ogni sua restrizione della forma a R (C C) con C S. Si considerano spesso le restrizioni simmetriche a sottoinsiemi di R come Q, Z, N, R +. Osserviamo che anche le restrizioni simmetriche di e a un qualsiasi sottoinsieme di R sono ancora ordini totali. Più in generale ogni restrizione simmetrica di un ordine totale è un ordine totale. B53:d. Denotiamo con RelSym A, RelAsym A, Eqv A, Ord A, OrdT A, rispettivamente le classi delle relazioni simmetriche, antisimmetriche, di equivalenza, d ordine e d ordine totale entro l insieme A B53: Relazioni binarie in generale

12 Alberto Marini B53:e. Strutture dotate di ordinamento B53:e. Vi sono molte strutture matematiche rilevanti, in particolare strutture algebriche e topologiche, per le quali si possono definire relazioni binarie che presentano proprietà di compatibilità con le operazioni strutturali. Per tali sistemi si possono definire costruzioni e procedimenti che rendono possibile utilizzarli proficuamente per varie finalità spesso algoritmiche. Le relazioni che si rivelano più interessanti sono le relazioni d ordine. In effetti si possono definire convenientemente varie specie di strutture ordinate che conviene studiare con una certa sistematicità. B53:e.2 Le prime strutture ordinate che conviene considerare sono talune strutture algebriche e tra queste le più basilari sono i semigruppi ordinati. Si dice semigruppo ordinato una struttura della forma S,,, ove S, è un semigruppo, una relazione d ordine entro S e valgono le leggi di compatibilità a, b, c S a b = a c b c. Un esempio è il semigruppo commutativo P, +,. Strutture più specifiche sono i gruppi ordinati; un esempio è dato dal gruppo degli interi Z, +,,. Questo è un gruppo commutativo e totalmente ordinato. Altri gruppi sono soltanto parzialmente ordinati. Strutture algebriche ordinate più ricche sono gli anelli ordinati. Più particolari sono invece i campi ordinati. Particolarmente importante è il campo odinato dei numeri reali. B53:e.3 Grande rilievo hanno anche alcune strutture topologiche ordinate. Basilare è la topologia sulla retta. Molto interessanti sono poi gli spazi vettoriali ordinati. Va notato che questi sistemi presentano sia una struttura algebrica che una struttura topologica e che entrambe sono compatibili con la rispettiva relazione d ordine. Altre strutture ordinate particolarmente ricche sono talune specie di algebre su campo. B53:f. Cenno alle relazioni ternarie e di arietà superiore B53:f. Cominciamo con alcuni esempi. In linea generale si osserva che tutte le funzioni multivariate si possono considerare relazioni di arietà maggiore o uguale a 3. Ogni funzione di un genere F {A B C} con A, B e C insiemi, individua l insieme { a, b dom(f ) : a, b, F (a, b) }, cioè un sottoinsieme di A B C e quindi una relazione ternaria. In particolare le relazioni ternarie dalle funzioni bivariate del genere {R R R} non sono che le superfici in R 3 che presentano una sola intersezione con le rette parallele al terzo asse di riferimento. Più in generale ad ogni funzione del genere F {A A n A n } corrisponde la relazione n -aria { a,..., a n dom(f ) : a,..., a n, F (a,..., a n ) }. 2 B53: Relazioni binarie in generale

13 B53:f.2 Nei fondamenti della geometria euclidea (v. G25:) si incontra la relazione di betweeness tra i punti di una retta R. Una terna p, q, r di punti della R si trova in tale relazione sse q si trova nel segmento pr. Si ha anche una sorta di variante ciclica della relazione precedente. Per individuarla si considera una circonferenza o una qualsiasi curva Γ chiusa piana non intrecciata e si fissa su di essa un verso di percorrenza, ad esempio quello positivo; inoltre sulla curva si individuano n punti mutuamente diversi e si dice S il loro insieme. Una relazione ternaria su S è costituita dalle terne p, q, r costituite da punti diversi di S tali che per andare da p ad r percorrendo con continuità la Γ nel verso scelto si tocca necessariamente q. B53:f.3 Analogamente alla figure geometrice piane considerate in precedenza, ad ogni figura geometrica collocata in R 3 si associano insiemi di punti costituiti da terne di coordinate reali che si possono considerare relazioni ternarie. Ad esempio si hanno le relazioni ternarie dei punti delle superfici degli elissoidi e quelle dei punti interni di tali quadriche. Più in generale per qualsiasi d {2, 3, 4,...} ad ogni figura geometrica nello spazio R d si possono associare relazioni d-arie costituite da insiemi di d-uple di numeri reali x, x 2,..., x d. B53:f.4 Consideriamo un qualsiasi poliedro (v. G37:) ed i tre insiemi V costituito dai suoi vertici, E formato dai suoi spigoli ed F insieme F dalle sue facce. Una interessante relazione ternaria entro V E F è costituita dalle terne v, e, f tali che il vertice v lo spigolo e e la faccia f siano mutuamente incidenti. Le varie componenti di questo testo sono accessibili in alberto B53: Relazioni binarie in generale 3