Capitolo 7. Progetto nello spazio degli stati

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1 Capitolo 7 Progetto nello spazio degli stati Se Maometto non va alla montagna, la montagna non è raggiungibile. K., 27 Sommario. In questo capitolo viene discussa la proprietà strutturale di raggiungibilità dei sistemi lineari a tempo discreto in equazioni di stato. Sulla base di tale proprietà, viene analizzato il progetto del regolatore in retroazione statica dello stato mediante la tecnica di allocazione degli autovalori. 7.1 Metodi nello spazio degli stati Si consideri un sistema lineare stazionario a tempo discreto in equazioni di stato, esprimibile nella forma { xk+1 = Ax k + Bu k ; x k R n, u k R m y k = Cx k (7.1) dove A, B e C sono matrici costanti di dimensioni opportune. Il sistema 7.1 può eventualmente rappresentare l equivalente campionato con ZOH P d in equazioni di stato di un impianto P a tempo continuo. Si supponga che le variabili di stato del sistema siano accessibili, ovvero che siano disponibili misure (o stime) di x k ad ogni istante; in base al concetto di stato, ciò significa disporre di un informazione completa sul sistema. Si consideri il problema di progettare una legge di controllo sotto forma di retroazione lineare statica delle variabili di stato u k = F k x k + v k (7.2) eventualmente stazionaria (ovvero con F k = F costante), in modo da soddisfare opportune specifiche. In figura 7.1 è rappresentato uno schema a blocchi del sistema (7.1) con applicata la legge di controllo in retroazione dallo stato (7.2). Nel caso in cui il guadagno di retroazione F k sia costante (F k = F), il sistema ad anello chiuso risulta { xk+1 = (A + BF)x k + Bv k y k = Cx k (7.3) Ci proponiamo di studiare il problema della sintesi del guadagno di retroazione F in modo da assicurare al sistema ad anello chiuso, oltre alla stabilità interna, il soddisfacimento di opportune specifiche di prestazione. La soluzione del problema ora enunciato necessita dello studio della proprietà di raggiungibilità. Tale proprietà, in parole semplici, esprime la possibilità di influenzare o meno ad arbitrio, mediante l ingresso, l evoluzione di tutte o di parte delle variabili di stato. 7.2 Raggiungibilità Dato un sistema lineare stazionario a tempo discreto { xk+1 = Ax k + Bu k ; x k R n, u k R m y k = Cx k (7.4)

2 75 v k u k x k+1 x k B z 1 C y k A P d F k Figura 7.1: Schema di un sistema con rappresentazione in spazio degli stati. ed una una sequenza di ingresso {u k }, l evoluzione dello stato al passo k a partire da una certa condizione iniziale x vale k 1 x k = A k x + A k i 1 Bu i (7.5) che, in forma matriciale compatta, si può scrivere come x k = A k x + R k U k (7.6) i= dove R k = [B AB... A k 1 B], U k = u k 1 u k 2. u (7.7) Definizione 7.1 Dati due stati x ed x, lo stato x è detto raggiungibile a partire dallo stato iniziale x in k passi se esiste un vettore di ingressi U k tale da che l evoluzione dello stato del sistema al passo k con condizione iniziale x valga x, cioè tale che x = A k x + R k U k (7.8) In termini algebrici, la precedente condizione si esprime dicendo che x A k x è l immagine del vettore U k attraverso la trasformazione lineare R km R n associata alla matrice R k, dunque x è raggiungibile da x in k passi se e solo se x A k x R k (7.9) dove R k = Im R k (7.1) è il sottospazio di R n costituito dall immagine di R k. Ponendo x = nella (7.9), risulta evidente che R k è l insieme degli stati x raggiungibili in k passi a partire dallo stato iniziale nullo. L insieme R k è detto sottospazio di raggiungibilità in k passi. Lemma 7.1 (Teorema di Hamilton-Cayley) Data una matrice quadrata A di dimensione n, si consideri il suo polinomio caratteristico p A (λ) p A (λ) = det(λi A) = λ n + a n 1 λ n 1 + a n 2 λ n a (7.11)

3 76 La matrice A è radice del suo polinomio caratteristico, ovvero risulta A n = a n 1 A n 1 a n 2 A n 2 + a I (7.12) Teorema 7.1 Dato il sistema (7.1), sia R = R n = Im[B AB... A n 1 B]. Allora, i sottospazi di raggiungibilità in 1, 2,..., n passi sono tali che R 1 R 2 R k R n = R n+1 = R n+2 = = R (7.13) Dimostrazione. Per costruzione, si ha R k = Im[B AB... A k 1 B] Im[B AB... A k B] = R k+1 per ogni k. Inoltre, per ogni k > n, per il teorema di Hamilton-Cayley, il vettore A k 1 B è combinazione lineare di B,AB,...,A n 1 B, per cui R k = R n = R. In conseguenza del precedente risultato, se uno stato è raggiungibile dallo stato nullo, allora lo è in al più n passi. Il sottospazio R = Im[B AB... A n 1 B] (7.14) rappresenta quindi l insieme degli stati del sistema raggiungibili dallo stato nullo con un opportuna sequenza di ingresso, indipendentemente dal numero di passi, ed è detto sottospazio di raggiungibilità del sistema. La matrice R = [B AB... A n 1 B] (7.15) è detta matrice di raggiungibilità. Osservazione 7.1 In generale, la successione dei sottospazi R k in (7.13) può diventare stazionaria (cioè smettere di aumentare di dimensione al crescere di k) anche a partire da qualche k < n, pertanto dim R = rank[r] n. Ricordiamo la definizione di invarianza di un sottospazio rispetto ad una trasfomazione lineare. Definizione 7.2 Dato un sottospazio X di R n, X è invariante rispetto alla trasformazione lineare t A ( ) : R n R n definita nella base canonica di R n dalla matrice A (A-invariante), se per ogni x X risulta t A (x) = Ax X. Lemma 7.2 Il sottospazio R è A-invariante, ovvero x R A x R (7.16) Dimostrazione. Il sottospazio dei vettori Ax con x R, ovvero l immagine di R attraverso la trasformazione t A ( ) è generato dalle colonne della matrice AR = [AB A 2 B...A n B]. Per il teorema di Hamilton Cayley, le colonne della matrice AR risultano combinazione lineare di quelle di R. Pertanto l immagine di R attraverso t A ( ) è contenuta in R e quindi R è A-invariante. Definizione 7.3 Il sistema (7.1) è detto completamente raggiungibile se l insieme degli stati raggiungibili dallo stato nullo coincide con tutto lo spazio degli stati ovvero se la matrice R ha rango massimo (rank[r] = n). R = R n (7.17) Se il sistema è completamente raggiungibile, allora per ogni stato iniziale x ed ogni stato obiettivo x esiste una sequenza di ingressi U n che porta lo stato da x a x in n passi, cioè una sequenza tale che x n = A n x + RU n = x (7.18) Infatti, poiché ogni stato è raggiungibile dallo stato nullo, risulta in particolare che x A n x è raggiungibile dallo stato nullo per qualunque x e x, quindi esiste una sequenza d ingresso U n tale che x A n x = RU n.

4 77 Si consideri una trasformazione lineare di coordinate, ovvero un cambiamento di base nello spazio degli stati dato da x k = Tz k (7.19) dove T è una matrice non singolare, x k il vettore di stato espresso nella base canonica di R n e z k il vettore di stato espresso nella nuova base. Le equazioni di evoluzione dello stato del sistema con lo stato espresso nella nuova base sono date da { zk+1 = Ãz k + Bu k y k = Cz k (7.2) à = T 1 AT ; B = T 1 B ; C = CT (7.21) Osservazione 7.2 La proprietà di completa raggiungibilità di un sistema è invariante rispetto a ogni trasformazione di coordinate nello spazio degli stati. Infatti, la matrice di raggiungibilità nella base trasformata vale R = [ B à B... ] = [T 1 B T 1 ATT 1 B... ] = T 1 R (7.22) e dunque R ha rango pieno se e solo se lo ha R, essendo T non singolare Decomposizione di raggiungibilità Osserviamo che se x k è, come al solito, il vettore di stato del sistema riferito alla base canonica di R n, l equazione di evoluzione dello stato può essere scritta come x k+1 = t A (x k ) + t B (u k ) (7.23) dove t A ( ) : R n R n e t B ( ) : R m R n sono le trasformazioni lineari definite rispetto alla base canonica di R n dalle matrici A e B, rispettivamente. Definizione 7.4 Si definisce indice di raggiungibilità del sistema (7.1) la dimensione dello spazio raggiungibile, ovvero la quantità n r = dimr = rank R n (7.24) Se l indice di raggiungibilità del sistema vale n r, allora il suo spazio raggiungibile è completamente generato da una base di n r vettori di R n linearmente indipendenti. Sia n r < n (sistema non completamente raggiungibile) e si introduca un cambiamento di coordinate nello spazio degli stati x k = Tz k (7.25) in cui i primi n r elementi della nuova base siano una base del sottospazio raggiungibile. Tale cambiamento di coordinate è ottenuto quindi mediante la matrice T = [v 1...v nr w nr+1...w n ] (7.26) dove {v 1,...,v nr } è una base di R; tale base può essere costituita da un insieme di vettori composto da n r colonne indipendenti di R. L insieme dei vettori indipendenti {w nr+1,...,w n } è un completamento della base di R considerata per arrivare ad ottenere una base di R n. 1 Poiché R è A-invariante, ovvero invariante rispetto alla trasformazione t A ( ), la matrice à = T 1 AT, associata alla trasformazione lineare t A ( ) nella nuova base dello spazio di stato, ha le prime n r colonne con gli ultimi n n r coefficienti nulli. 2 Inoltre, poiché Im[B] R (si noti infatti che B rappresenta un sottoinsieme delle colonne di R), la trasformazione t B ( ) applicata a un qualunque vettore genera 1 Si ricordi che la matrice T di cambiamento di base dalla base canonica ad un altra base B è data da una matrice non singolare le cui colonne sono i vettori della base B espressi in base canonica. 2 Ricordiamo infatti che la matrice associata ad una trasformazione lineare R p R q ed a due date basi per R p e R q ha come colonne i vettori trasformati dei vettori della base di R p espressi secondo la base di R q.

5 78 u k B r z r k+1 z 1 z r k C r A r A r r y k z r k+1 z 1 z r k C r A r Figura 7.2: Schema a blocchi del sistema in decomposizione di raggiungibilità. un vettore che non ha componenti lungo w nr+1,..., w n, e dunque le colonne della matrice B = T 1 B, associata alla trasformazione t B ( ), nella nuova base dello spazio di stato hanno gli ultimi n n r coefficienti nulli. Per quanto appena osservato, le matrici del sistema nella nuova base à = T 1 AT ; B = T 1 B ; C = CT (7.27) hanno la forma [ ] Ar A à = r r A r ; B = [ Br Questa forma è detta decomposizione canonica di raggiungibliltà. In forma estesa, il sistema può essere scritto come { z r k+1 = A r z r k + A r rz r k + B ru k z r k+1 = A r z r k ] ; C = [ Cr C r ] (7.28) (7.29) dove x k = Tz k = T[zk r z r k ], essendo zk r e z r k le componenti dello stato lungo la base dello spazio raggiungibile e lungo il suo completamento. In figura 7.2 è riportato uno schema a blocchi della dinamica del sistema decomposta come in (7.29). Data la struttura triangolare a blocchi della matrice à della decomposizione canonica, risulta che gli autovalori di A (che sono coincidenti con quelli di Ã, visto che sono invarianti per trasformazioni di coordinate) sono dati dall insieme degli autovalori di A r (detti autovalori raggiungibili) e di quelli di A r (detti autovalori non raggiungibili). Relativamente alla decomposizione degli autovalori in raggiungibili e non, si ha il seguente risultato. Teorema 7.2 Gli autovalori non raggiungibili non sono poli della funzione di trasferimento G(z) del sistema.

6 79 Dimostrazione. Poiché la funzione di trasferimento è invariante rispetto alla base in cui si rappresenta lo stato del sistema, risulta G(z) = C(zI A) 1 B = C(zI Ã) 1 B = [ ] ( [ Ar A C r C r zi r r A r ]) 1 [ Br = [ C r C r ] [ (zi A r ) 1 (zi A r ) 1 = C r (zi A r ) 1 B r ] ][ Br ] Si osserva quindi che G(z) è di fatto pari alla funzione di trasferimento del solo sottosistema raggiungibile. In particolare G(z) non ha come poli gli autovalori di A r. Osservazione 7.3 In base al risultato precedente, è chiaro che la funzione di trasferimento G(z) è determinata solo da modi del sistema che sono raggiungibili. Questo fatto non sorprende se si tiene conto di come risulta decomposto il sistema in figura 7.2, dove è evidente che la componente non raggiungibile z r k dello stato non è influenzata in alcun modo dall ingresso ed è in evoluzione libera. Poiché la funzione di trasferimento esprime il legame tra l ingresso e l uscita del sistema in termini di risposta forzata, se l ingresso non influenza alcuni dei modi del sistema, tali modi non possono comparire nel legame ingressouscita. Gli autovalori del sistema che non compaiono come poli nella funzione di trasferimento danno luogo a cancellazioni polo/zero nell espressione di G(z) Controllabilità Si consideri adesso un problema specifico di raggiungibilità, cioè il problema di determinare una sequenza d ingresso U n tale da portare a zero in n passi lo stato del sistema a partire da un dato stato iniziale x, ovvero una sequenza d ingresso tale che = A n x + RU n (7.3) Tale problema ha soluzione se e solo se A n x è raggiungibile dallo stato nullo, ovvero A n x R (7.31) Il problema ammette dunque soluzione per ogni x se e solo se lo stato A n x (i.e., l immagine di x attraverso A n ) è uno stato raggiungibile per ogni x, ovvero se e solo se Im A n R (7.32) In questo caso il sistema è detto completamente controllabile. Se un sistema è completamente raggiungibile, allora è anche completamente controllabile, infatti banalmente Im A n R = R n (7.33) Proprietà 7.1 Un sistema è completamente controllabile se e solo se gli autovalori non raggiungibili sono tutti nulli. Infatti, poiché l evoluzione dei modi non raggiungibili è libera e non è influenzata dall ingresso, lo stato del sistema può andare a zero in n passi per qualunque stato iniziale in corrispondenza di un opportuno ingresso se e solo se l evoluzione libera della parte non raggiungibile va a zero in tempo finito per qualunque stato iniziale, ovvero se e solo se A r ha autovalori tutti nulli. 7.3 Allocazione degli autovalori Dato il sistema con ingresso u k scalare { xk+1 = Ax k + Bu k y k = Cx k ; x k R n, u k R (7.34)

7 8 si consideri la legge di controllo in retroazione dallo stato statica e stazionaria u k = Fx k + v k (7.35) Il sistema ad anello chiuso risulta { xk+1 = (A + BF)x k + Bv k y k = Cx k (7.36) Sia T una trasformazione che porta il sistema in decomposizione di raggiungibilità (Ã, B, C) e sia F = FT = [F r F r ] la matrice F nella nuova base. 3 La matrice A del sistema ad anello chiuso in decomposizione canonica vale [ à + B F Ar A = r r A r ] [ Br + ] [ Fr F r ] = [ Ar + B r F r A r r + B r F r A r ] (7.37) da cui si osserva che solo il sottosistema raggiungibile ha un evoluzione che viene modificata dall applicazione del controllo, e in particolare vengono alterati solo gli autovalori raggiungibili di A. Si vuole adesso determinare una legge di retroazione dallo stato della forma (7.35) in modo che il sistema ad anello chiuso soddisfi opportune specifiche. Note le relazioni tra le prestazioni della risposta libera o forzata (deadbeat, risposta del primo/secondo ordine, ecc.) ed i poli o autovalori corrispondenti, si tratta di progettare la legge di controllo in modo da posizionare gli autovalori (necessariamente della sola parte raggiungibile) del sistema in modo conforme alle specifiche (problema di allocazione degli autovalori). Dato quindi un sistema completamente raggiungibile (che eventualmente rappresenta la sola parte raggiungibile di un sistema che non lo è) ad un solo ingresso, cerchiamo una legge di retroazione dallo stato in modo che gli autovalori λ 1,...,λ n del sistema ad anello chiuso siano pari a valori desiderati. Sussiste il seguente risultato, che forniamo senza dimostrazione. Teorema 7.3 Un sistema è completamente raggiungibile se e solo se esiste una trasformazione di coordinate T nello spazio degli stati che porta il sistema nella cosiddetta forma canonica di raggiungibilità, in cui le matrici  = T 1 AT e ˆB = T 1 B sono date da  = Tale trasformazione di coordinate è data da. I n 1 a a 1... a n 1 ; ˆB =. 1 (7.38) T = RH (7.39) dove R è la matrice di raggiungibilità del sistema, H è la matrice H = a 1 a 2 a a n 2 a n a n (7.4) e a n 1,...a sono i coefficienti del polinomio caratteristico di A p A (λ) = λ n + a n 1 λ n a = det(λi A) (7.41) 3 Se il sistema è completamente raggiungibile, allora T può essere l identità.

8 81 La matrice  della forma canonica di raggiungibilità è detta in forma compagna del polinomio caratteristico, così chiamata perché gli unici coefficienti diversi da e da 1 che compaiono in  sono quelli di p A (λ). Si consideri un sistema raggiungibile ed una legge di controllo della forma (7.35) definita da una matrice di retroazione F. Si porti il sistema in forma canonica di raggiungibilità (Â, ˆB,Ĉ) mediante la trasformazione T = RH. Sia ˆF = FT la matrice F espressa nella nuova base. Scrivendo ˆF = [ ˆf ˆf1... ˆfn 1 ] (7.42) dove ˆf i sono opportuni coefficienti, il sistema ad anello chiuso in forma canonica risulta dato da  + ˆB ˆF =. I n 1 ; ˆB =. a + ˆf a 1 + ˆf 1... a n 1 + ˆf n 1 1 (7.43) e quindi, in base al fatto che la matrice  è in forma compagna, il polinomio caratteristico ad anello chiuso (che, ricordiamolo, è invariante rispetto a trasformazioni di coordinate e quindi è pari al polinomio caratteristico di A + BF) vale p A+BF (λ) = pâ+ ˆB ˆF(λ) = λ n + (a n 1 ˆf n 1 )λ n (a ˆf ) (7.44) È quindi possibile fissare arbitrariamente i coefficienti del polinomio caratteristico (e quindi gli autovalori) del sistema ad anello chiuso scegliendo la matrice di retroazione dove è il polinomio caratteristico ad anello chiuso che si desidera imporre. La matrice di retroazione nella base originaria risulta ˆF = [a d... a n 1 d n 1 ] (7.45) p d (λ) = λ n + d n 1 λ n d (7.46) F = ˆFT 1 = ˆF(RH) 1 = [a d... a n 1 d n 1 ](RH) 1 (7.47) La formula (7.47) va sotto il nome di formula di allocazione degli autovalori. Mediante tale formula è possibile calcolare la matrice di retroazione F tale che il sistema ad anello chiuso abbia il polinomio caratteristico desiderato (7.46). Una formula alternativa che risolve lo stesso problema è la formula di Ackermann dove F = [... 1]R 1 p d (A) (7.48) p d (A) = A n + d n 1 A n d I (7.49) Osservazione 7.4 In Scilab, per l allocazione degli autovalori, si usa il comando F=-ppol(A,B,P) dove P= [λ 1... λ n ] è il vettore degli autovalori ad anello chiuso desiderati (non il vettore dei coefficienti del polinomio caratteristico desiderato). Osservazione 7.5 Per problemi di piccole dimensioni, se non si ha a disposizione il calcolatore, si può impostare direttamente l equazione p A+BF (λ) = p d (λ) (7.5) con F = [f f 1... f n 1 ] e risolvere nelle incognite f,...,f n 1 uguagliando i polinomi coefficiente a coefficiente. Osservazione 7.6 Se il sistema non è completamente raggiungibile, i metodi visti possono essere impiegati per l allocazione degli autovalori del solo sottosistema raggiungibile. Gli autovalori del sottosistema non raggiungibile non possono mai essere cambiati.

9 Stabilizzabilità Si consideri il problema di determinare, se esiste, una legge di controllo in retroazione dallo stato statica stazionaria che renda un dato sistema asintoticamente stabile ad anello chiuso, cioè con tutti autovalori a modulo strettamente minore di 1. La soluzione a questo problema è un caso particolare del problema di allocazione degli autovalori. Possiamo disringuere due casi: Se il sistema è completamente raggiungibile, il problema ha chiaramente soluzione sotto forma di retroazione statica dello stato, poiché in questo modo è possibile allocare arbitrariamente gli autovalori, ed in particolare è possibile renderli tutti asintoticamente stabili. Se il sistema non è completamente raggiungibile, il problema ha soluzione solo se gli autovalori del sottosistema non raggiungibile, che non sono modificabili tramite retroazione, sono già asintoticamente stabili. Definizione 7.5 Un sistema è detto stabilizzabile se i suoi autovalori non raggiungibili sono asintoticamente stabili. Una matrice di retroazione che stabilizza un sistema definito dalle matrici A e B si dice che stabilizza la coppia (A,B) Allocazione degli autovalori: specifiche Gli autovalori di un sistema determinano i modi della risposta libera del sistema stesso e, limitatamente a quelli che compaiono come poli nella funzione di trasferimento, le caratteristiche del transitorio della risposta forzata. L allocazione degli autovalori può essere quindi utilizzata per imporre un comportamento desiderato tanto alla risposta libera quanto, ad esempio, al transitorio della risposta al gradino. Per la scelta degli autovalori da imporre nei confronti di questi due problemi, possono essere applicati gli stessi criteri usati nella sintesi diretta per il transitorio della risposta al gradino. Ad esempio, per ottenere un transitorio ad anello chiuso corrispondente ad assegnate specifiche di smorzamento e rapidità, due degli autovalori del sistema possono essere allocati in posizione dominante con smorzamento e pulsazione naturale corrispondenti alle specifiche, mentre i poli rimanenti possono essere posti in posizione non dominante, ad esempio in zero, in modo che la dinamica dei modi relativi si esaurisca in un tempo finito. Posizionare tutti gli autovalori in zero significa ottenere tanto una risposta liberaq quanto un transitorio della risposta al gradino, di tipo deadbeat. 7.4 Inseguimento del riferimento Vogliamo adesso determinare degli schemi di controllo che sfruttino l allocazione degli autovalori mediante retroazione dallo stato e che permettano di ottenere, oltre alla stabilità del sistema ad anello chiuso e l assegnazione delle caratteristiche del transitorio, anche l inseguimento di un segnale riferimento r k a gradino. Un primo schema può essere ottenuto mediante una semplice scalatura del segnale di riferimento per un opportuno fattore scalare K, cioè mediante una legge di controllo della forma u k = Fx k + Kr k (7.51) (vedi figura 7.3) Il sistema ad anello chiuso risulta { xk+1 = (A + BF)x k + BKr k y k = Cx k (7.52) a cui corrisponde la funzione di trasferimento il cui guadagno in continua vale W(z) = C[zI (A + BF)] 1 BK (7.53) W(1) = C[I (A + BF)] 1 BK (7.54)

10 83 r k u k x k+1 x k K B z 1 C y k A F Figura 7.3: Schema per inseguimento con scalatura del riferimento. Imponendo che tale guadagno in continua sia unitario, si ricava il valore di K da applicare in modo da ottenere l inseguimento senza errore a regime del gradino K = 1 C(I (A + BF)) 1 B (7.55) Osservazione 7.7 La matrice I (A + BF) è invertibile se, come dev essere (essendo il sistema ad anello chiuso asintoticamente stabile), non ci sono autovalori ad anello chiuso in z = 1. Questo approccio garantisce errore a regime di inseguimento al gradino nullo ma non tiene conto dell errore a regime dovuto ad eventuali disturbi (costanti) che possono agire in qualunque punto del sistema (ad esempio sul comando o sull uscita). Nella sintesi ingresso-uscita, l inseguimento del gradino e l annullamento a regime dell effetto di disturbi costanti si ottiene tipicamente inserendo un termine integrale nel compensatore. Un approccio simile può essere applicato anche alla sintesi nello spazio degli stati Retroazione dallo stato con azione integrale Si consideri lo schema di controllo in figura 7.4. A tale schema corrispondono le equazioni di evoluzione x k+1 = Ax k + B(Fx k + Kq k + d k ) q k+1 = q k + e k = q k y k + r k = q k Cx k + r k (7.56) Si osservi che l introduzione dell integratore, che è un blocco con dinamica, introduce una nuova variabile di stato q k. Lo stato ψ k del sistema complessivo è dato dall insieme di x k e dello stato q k dell integratore, ψ k = [x k q k]. In forma compatta, l evoluzione del sistema si scrive allora [ ] Bdk ψ k+1 = (A aug + B aug F aug )ψ k + (7.57) r k dove A aug = [ A C 1 ] [ B, B aug = ], F aug = [ F K ] (7.58) Si supponga d k = d (disturbo costante) e r k = r (riferimento a gradino). Se si sceglie F aug (ovvero l insieme di F e K) in modo da stabilizzare asintoticamente la coppia (A aug,b aug ), risolvendo quindi il problema di allocazione degli autovalori di dimensione n+1 relativo al sistema complessivo, allora l errore

11 84 d k r k e k 1 q k u k x k+1 x k K B z 1 C _ z 1 y k A F Figura 7.4: Schema di controllo con retroazione dallo stato ed azione integrale a regime di inseguimento al gradino e l errore a regime sull uscita y k dovuto al disturbo costante sono nulli per il principio del modello interno: infatti si viene a realizzare un anello di controllo internamente stabile con un integratore a monte del punto di entrata del disturbo. Naturalmente, sempre in base al principio del modello interno, lo schema funziona anche se il disturbo costante entra in un altro punto del sistema tra l integratore e l uscita, ad esempio sovrapposto all uscita stessa.

12 Capitolo 8 Stima dello stato e sintesi del regolatore Sommario. In questo capitolo vengono discussi la proprietà strutturale di osservabilità, il progetto dello stimatore asintotico deterministico dello stato ed il progetto del regolatore con retroazione dallo stato stimato (compensatore dinamico). 8.1 Stima dello stato Nel precedente capitolo abbiamo analizzato il controllo in retroazione lineare statica dallo stato u k = Fx k + v k (8.1) che può essere progettato secondo diversi criteri, quali l allocazione degli autovalori sulla base di opportune specifiche. In casi realistici, tuttavia, non sono disponibili ad ogni istante misure dell intero stato, ma solo di opportune variabili dette accessibili. Si rende quindi necessario calcolare istante per istante, tramite un metodo opportuno, una stima ˆx k del valore delle variabili di stato x k a partire da misurazioni delle variabili che sono accessibili (l ingresso u k ed un uscita misurabile y k ); se la stima è esatta istante per istante, in linea di principio è possibile impiegare la legge di controllo u k = F ˆx k (8.2) dove F è progettata secondo i metodi visti (figura 8.1). Si osservi che le variabili di uscita misurate, sulla base delle quali si vuole eseguire la stima dello stato, non coincidono necessariamente con le variabili di uscita che eventualmente si intende controllare. 8.2 Osservabilità Dato un sistema lineare stazionario a tempo discreto in spazio di stato { xk+1 = Ax k + Bu k x k R n y k = Cx k (8.3) si consideri il problema di determinare lo stato iniziale x a partire dall osservazione di una sequenza di campioni dell uscita y,y 1,... (e della corrispondente sequenza di ingresso, se presente). Si supponga per semplicità che il sistema sia in evoluzione libera (vedremo che la generalizzazione al caso in cui sia presente anche l ingresso è piuttosto semplice). La sequenza di uscita in funzione dello stato iniziale x vale y k = CA k x k =,1,... (8.4) Definizione 8.1 Si supponga che due stati iniziali x 1 e x 2 producano la stessa sequenza y k per k =,1,...,K 1. In questo caso non si è evidentemente in grado di decidere, osservando K campioni dell uscita, quale dei due stati iniziali abbia generato l evoluzione del sistema. Se questo accade, i due stati x 1 e x 2 si dicono indistinguibili tra loro nel futuro in K passi. Se uno stato x è tale che y = y 1 = = y K 1 =, esso è allora indistinguibile in K passi dallo stato nullo e si dice inosservabile in K passi. Dalla (8.4), si vede facilmente che il vettore dei primi K campioni di uscita si può esprimere in forma compatta come Y K = O K x (8.5)

13 86 v k u k x k+1 x k B z 1 C y k A P d F ˆx k Stimatore Figura 8.1: Schema di controllo in retroazione con stimatore dello stato. dove Y K = y y 1.. y K 1 ; O K = C CA. CA K 1 (8.6) Se risulta possibile risolvere univocamente rispetto a x il sistema lineare (8.5), allora si è in grado di determinare lo stato iniziale x a partire dall osservazione dei K campioni dell uscita Y K. Sempre in base alla (8.5), si osserva che l insieme degli stati x inosservabili in K passi, ovvero l insieme degli stati iniziali che producono uscita nulla per K passi, è dato dall insieme delle soluzioni di O K x =. (8.7) ovvero, in termini algebrici, dall insieme O K = ker O K (8.8) Il sottospazio O K di R n è detto sottospazio inosservabile in K passi. Osserviamo che risulta C C ker CA CA K 1 = ker CA CA n 1 K > n (8.9) infatti, per il teorema di Hamilton-Cayley, CA k 1 è combinazione lineare di C,CA,...,CA n 1 k > n. Pertanto, se un certo stato è inosservabile in n passi, allora lo è anche in qualunque numero di passi K > n. Dunque, il sottospazio O = O n = kero n = ker C CA CA n 1 (8.1)

14 87 rappresenta l insieme degli stati inosservabili in assoluto, ovvero in qualunque numero di passi, ed è detto sottospazio inosservabile. La matrice O = O n è detta matrice di osservabilità del sistema. Il sistema (ovvero la coppia (A,C)) è detto completamente osservabile se non esistono stati inosservabili e cioè se O = {} rank O = n (8.11) Consideriamo nuovamente il problema della determinazione dello stato iniziale x da osservazioni dell uscita, supponendo per semplicità che l uscita sia scalare (y k R). Si tratta di risolvere il sistema di equazioni Y K = O K x (8.12) che ha n incognite, per cui per avere soluzione univoca è necessario che K n. D altra parte, per il teorema di Hamilton-Cayley, la matrice O K non aumenta di rango all aumentare di K per K > n, per cui il problema può essere riscritto come Y n = Ox (8.13) che ha soluzione univoca se e solo se rank O = n, ovvero se e solo se il sistema è completamente osservabile. Se il sistema non è completamente osservabile, allora Y n = Ox ha infinite soluzioni, ed inoltre ogni stato iniziale x è indistinguibile da un qualunque altro stato della forma ˆx = x + x con x O. Infatti, la sequenza di uscita in n passi corrispondente a ˆx vale Oˆx = Ox + O x = Ox + = Ox (8.14) Se il sistema non è completamente osservabile, lo stato iniziale x è quindi noto a meno di un opportuno stato inosservabile, ovvero se ˆx è una qualunque delle infinite soluzioni di Y n = Oˆx (8.15) allora lo stato iniziale x è dato da ˆx x dove x è uno stato inosservabile. Quanto valga x non è ovviamente possibile saperlo da osservazioni dell uscita, perché ogni stato inosservabile genera tutte uscite nulle Ricostruibilità Dovendo risolvere un problema di controllo, si è interessati a stimare, piuttosto che lo stato iniziale x del sistema, lo stato attuale ad ogni istante, in modo da poter impiegare la stima per effettuare la retroazione. Si consideri di dover calcolare lo stato attuale sulla base degli ultimi n campioni dell uscita (per quanto noto sull osservabilità, considerare un numero superiore di campioni non è significativo). In base alla stazionarietà del sistema, questo è equivalente a calcolare lo stato x n all istante n, sulla base delle uscite y,...y n 1. Per un sistema in evoluzione libera lo stato al passo n vale x n = A n x (8.16) Se il sistema è completamente osservabile è possibile calcolare x univocamente e dunque risulta x = O 1 Y n (8.17) x n = A n x = A n O 1 Y n (8.18) Se il sistema invece non è osservabile, e ˆx è una delle infinite soluzioni di Y n = Oˆx, da quanto già detto risulta x = ˆx x dove x è uno stato inosservabile e non noto. Dunque x n = A n x = A nˆx A n x (8.19) che non si può calcolare perché non si conosce x. Se tuttavia il sistema è tale che per ogni x O risulta A n x =, ovvero, O ker A n (8.2) allora si ha x n = A nˆx (8.21)

15 88 e dunque lo stato attuale x n è ricostruibile conoscendo solo un qualunque ˆx soluzione di Y n = Oˆx, seppure non sia calcolabile x. Se vale la condizione O ker A n, il sistema è detto completamente ricostruibile. La proprietà di ricostruibilità consiste, per quanto visto, nella possibilitá di calcolare lo stato attuale, anche se non necessariamente quello iniziale, a partire dall osservazione degli ultimi n campioni dell uscita Dualità Sia dato il sistema Σ con rappresentazione di stato definita dalle matrici (A,B,C) Definizione 8.2 Si definisce sistema duale di Σ il sistema Σ = (A,B,C) (8.22) Σ = (A,B,C ) dove A = A, B = C, C = B (8.23) che ha tanti ingressi quante sono le uscite di Σ e tante uscite quanti sono gli ingressi di Σ. Osservazione 8.1 Si verifica facilmente che il duale di Σ è il sistema originale Σ. Proprietà 8.1 Sussiste la seguente relazione tra la matrice di osservabilità O di Σ e la matrice di raggiungibilità R di Σ : C O = CA = [ ] C A C... (A ) n 1 C [ = B A B... (A ) n 1 B ] = (R ) CA n 1 Analogamente, per R ed O, risulta (8.24) R = (O ) (8.25) Dalle condizioni di rango che definiscono la completa raggiungibilità/osservabilità segue allora che Σ è completamente osservabile Σ è completamente raggiungibile Σ è completamente raggiungibile Σ è completamente osservabile Decomposizione di osservabilità Dato un sistema Σ = (A,B,C), si consideri una trasformazione di coordinate nello spazio degli stati definita da una matrice T (x k = Tz k ). Le matrici che descrivono il sistema Σ nella nuova base, come noto, valgono à = T 1 AT ; B = T 1 B ; C = CT (8.26) Trasponendo le precedenti relazioni si ottiene à = T A (T ) 1 ; C = T C ; B = B (T ) 1 (8.27) Si consideri il sistema duale Σ e si applichi ad esso la trasformazione di coordinate nello spazio degli stati definita da T = (T ) 1. In base alla (8.27), il duale nella nuova base risulta à = T 1 A T ; B = T 1 B ; C = C T (8.28) Sia Σ = (A,B,C) non completamente osservabile. Allora il suo duale Σ = (A,C,B ) è non completamente raggiungibile e pertanto ammette una trasformazione di coordinate T che lo porta in decomposizione canonica di raggiungibilità. Tale decomposizione può essere scritta come [ ] [ ] A à = o A oō C A ; C = o ; B = [ ] B o ō B ō (8.29)

16 89 u k B o z o k+1 z 1 z o k C o y k A o A oō Bō zōk+1 z 1 zōk Aō Figura 8.2: Decomposizione canonica di osservabilità Quindi, mediante la trasformazione di coordinate definita da T = (T ) 1 x k = T[z o k zōk] (8.3) il sistema originale Σ viene portato nella forma [ Ao à = A oō Aō ] [ Bo ; B = Bō ] ; C = [ Co ] (8.31) Questa forma è detta decomposizione canonica di osservabilità ed è rappresentata nello schema a blocchi di figura 8.2. Il sottosistema definito da (A o,b o,c o ) è completamente osservabile perché è il duale del sottosistema raggiungibile del sistema duale, e viene detto sottosistema osservabile. Al contrario, lo stato del sottosistema definito da (Aō,Bō,) ha un evoluzione cui corrispondono uscite tutte nulle. Tale sottosistema non influenza le variabili di uscita (si veda ancora la figura 8.2) e viene pertanto detto sottosistema inosservabile. Dalla (8.31), inoltre, è evidente che gli autovalori di A sono dati dall insieme degli autovalori di A o (autovalori osservabili) e degli autovalori di Aō (autovalori inosservabili). Dall esame della figura (8.2), risulta chiaro infine che l ingresso non influisce sulla proprietà di osservabilità del sistema, poiché il sottosistema inosservabile produce uscite identicamente nulle indipendentemente dal fatto che la sua evoluzione sia o meno pilotata dall ingresso (lo stato del sottosistema inosservabile è staccato fisicamente dall uscita).

17 9 Osservazione 8.2 La matrice di trasformazione che porta il sistema nella decomposizione di osservabilità è necessariamente della forma T = [ w 1... w no v no+1... v n ] (8.32) dove v no+1,...,v n è una base del sottospazio inosservabile O e w 1,...,w no è un suo completamento per ottenere una base di R n. Infatti le ultime n n o componenti dello stato decomposto (zōk ) sono quelle componenti la cui evoluzione produce uscite sempre identicamente nulle, quindi sono necessariamente le componenti dello stato lungo il sottospazio inosservabile. Proprietà 8.2 Gli autovalori inosservabili (quelli della matrice Aō) non sono poli della funzione di trasferimento G(z) del sistema. Si prova infatti, in modo del tutto analogo a quanto fatto per la decomposizione di raggiungibilità, che risulta G(z) = C o (zi A o ) 1 B o (8.33) In base alla proprietà precedente ad al risultato analogo relativo agli autovalori non raggiungibili, si ricava immediatamente il seguente teorema. Teorema 8.1 La funzione di trasferimento G(z) contiene come poli tutti e soli gli autovalori raggiungibili E osservabili del sistema. Osservazione 8.3 Il sistema è completamente ricostruibile se e solo se gli autovalori della sua parte non osservabile sono tutti nulli. Questa condizione infatti è equivalente al fatto che la risposta libera relativa ad un qualunque stato iniziale x che ha solo componenti inosservabili vada a zero dopo n passi (A n x = ). In tal caso, l intero stato al passo n è noto dalla sola conoscenza della parte osservabile, infatti a tale istante la parte inosservabile vale necessariamente zero qualunque sia la condizione iniziale Rivelabilità Definizione 8.3 Un sistema si dice rivelabile se la sua parte non osservabile (la matrice Aō) ha tutti autovalori asintoticamente stabili. La rivelabilità equivale alla possibilità di determinare asintoticamente (quindi non necessariamente in tempo finito) il valore dello stato attuale a partire dall osservazione delle variabili di uscita. Infatti, se la condizione di rivelabilità è soddisfatta, la risposta libera della parte inosservabile dello stato tende a zero asintoticamente, anche se non necessariamente in un numero finito di passi. Osservazione 8.4 Un sistema è rivelabile se e solo se il suo duale è stabilizzabile. Questa proprietà è evidente dal legame tra la decomposizione canonica di osservabilità di un sistema e la decomposizione di raggiungibilità del suo duale. 8.3 Osservatore asintotico Dato un sistema osservabile, o almeno rivelabile, affrontiamo il problema di determinare un metodo per stimare in linea, ad ogni istante, il valore attuale dello stato, in modo da poter utilizzare la retroazione dello stato stimato allo scopo di controllare il sistema (figura 8.3). Si consideri lo schema rappresentato in figura 8.4. Tale schema è costituito, oltre che dal sistema fisico di cui si desidera stimare lo stato x k non noto, da un secondo sistema dinamico identico (in linea di principio) al precedente. Lo stato ˆx k del sistema simulato (ovviamente noto), costituisce la stima. L evoluzione di ˆx k è determinata, oltre che dallo stesso ingresso che viene applicato al sistema vero, da un termine correttivo proporzionale secondo un guadagno L alla differenza tra l uscita del sistema vero, che è supposta misurabile, e l uscita del sistema simulato. Questo termine correttivo è di fatto un termine di retroazione: l evoluzione dello stato stimato viene modificata a seconda di quanto l evoluzione del sistema simulato differisce (in termini di uscita, che è l unica variabile accessibile) dall evoluzione del sistema vero. Esaminiamo in dettaglio la dinamica del sistema complessivo. La legge di aggiornamento dello stato

18 91 v k u k x k+1 x k B z 1 C y k A P d F ˆx k Stimatore Figura 8.3: Sistema di controllo con retroazione dallo stato stimato. ˆx k+1 = Aˆx + Bu k + L(y k ŷ k ) (8.34) u k B x k+1 z 1 x k C y k A P d L _ B ˆx k+1 z 1 ˆx k C ŷ k A Osservatore Figura 8.4: Osservatore di Luenberger

19 92 dello stimatore ˆx k è data da ˆx k+1 = Aˆx + Bu k + L(y k ŷ k ) (8.35) e dunque l evoluzione del sistema complessivo (sistema fisico più stimatore) risulta x k+1 = Ax k + Bu k ˆx k+1 = Aˆx + Bu k LC(ˆx k x k ) (8.36) Si definisca x k = x k ˆx k (8.37) Evidentemente, x k rappresenta l errore di stima, ovvero la differenza tra lo stato vero e lo stato stimato. Sottraendo tra loro le (8.36) si ottiene x k+1 = (A LC) x k (8.38) pertanto l errore di stima evolve liberamente (ovvero senza essere influenzato dell ingresso) secondo una legge dipendente dalla matrice L, che può essere scelta arbitrariamente come parametro di progetto. L obiettivo è far sì che l evoluzione dell errore di stima abbia un andamento convergente a zero. L errore di stima convergerà asintoticamente a zero se si è in grado di determinare L tale che A LC abbia tutti gli autovalori interni al cerchio unitario. Si consideri il duale del sistema che descrive la dinamica dell errore di stima, dato da π k+1 = (A C L )π k (8.39) Poiché gli autovalori di una matrice coincidono con quelli della sua trasposta, determinare L in modo da allocare gli autovalori di A LC in modo opportuno, equivale ad allocare gli autovalori di A C L. Questo problema non è altro che l allocazione degli autovalori standard applicata al sistema duale. Infatti il duale si può scrivere come π k+1 = (A + B F )π k dove A = A, B = C, F = L (8.4) Se la coppia (A,B ) è raggiungibile, allora si sa che è possibile determinare F in modo da posizionare arbitrariamente gli autovalori di A +B F. Se dunque la coppia (A,C) è osservabile, allora per dualità (A,B ) è raggiungibile, quindi è possibile determinare F in modo da stabilizzare asintoticamente A + B F, ovvero L in modo da stabilizzare A LC (per L = F, gli autovalori di A LC e A +B F coincidono perché, come detto, le due matrici sono l una la trasposta dell altra). Pertanto, se il sistema è osservabile, è possibile determinare L in modo che l osservatore fornisca una stima ˆx k dello stato del sistema x k il cui errore x k rispetto allo stato reale tenda asintoticamente a zero con la dinamica assegnata agli autovalori di A LC. Osservazione 8.5 Se il sistema non è osservabile ma solo rivelabile, allora il suo duale è stabilizzabile, dunque è ancora possibile determinare L che, pur allocando i soli autovalori osservabili, rende la dinamica dell errore di stima asintoticamente stabile e dunque rende lo stato stimato ˆx k asintoticamente convergente allo stato vero x k. Osservazione 8.6 Se il sistema è osservabile, in particolare è possibile allocare tutti gli autovalori dell osservatore in zero, e quindi far convergere lo stato stimato in al più n passi (osservatore deadbeat). L osservatore deadbeat può essere inoltre ottenuto anche nel caso in cui eventuali autovalori inosservabili siano tutti nulli, ovvero nel caso in cui il sistema sia ricostruibile. Esempio 8.1 In Scilab, per sintetizzare L si usa la stessa funzione impiegata per l allocazione degli autovalori (si effettua infatti una allocazione degli autovalori sul sistema duale). L = ppol(a,c,p) dove P è il vettore degli autovalori desiderati dell osservatore (notare la trasposizione ed il cambio di segno rispetto alla formula di allocazione degli autovalori per il controllo).

20 Proprietà struturali e stabilità Definizione 8.4 (Stabilità interna). Un sistema Σ è detto internamente stabile quando tutte le sue variabili (ovvero lo stato del sistema) hanno evoluzione asintoticamente stabile. Il sistema è quindi internamente stabile se e solo se tutti i suoi autovalori hanno modulo minore di 1. Ciò significa che la risposta libera nello stato è convergente ed implica inoltre che la risposta forzata nello stato a qualunque segnale limitato sia limitata (infatti i poli della funzione di trasferimento sono anche autovalori del sistema). Definizione 8.5 (Stabilità esterna (o ILUL)). Il sistema è detto esternamente (o ILUL) stabile se l evoluzione dell uscita in corrispondenza ad ingressi limitati è limitata. Come noto, un sistema è ILUL stabile se e solo se la funzione di trasferimento ha tutti poli con modulo minore di 1. Abbiamo osservato che la funzione di trasferimento G(z) di un sistema contiene come poli tutti e soli gli autovalori raggiungibili e osservabili della matrice A di una sua rappresentazione di stato. Da questa proprietà derivano le seguenti relazioni tra stabilità interna ed ILUL. Se il sistema è completamente raggiungibile e osservabile, allora non ci sono cancellazioni polozero nella funzione di trasferimento e dunque la stabilità interna è equivalente alla stabilità ILUL, perché in G(z) compaiono come poli tutti gli autovalori di A. Se il sistema è ILUL stabile ma non è raggiungibile e osservabile, allora vi sono alcuni autovalori della dinamica dello stato (quelli non raggiungibili e/o non osservabili) che non compaiono nella funzione di trasferimento. In questo caso il sistema è internamente stabile se e solo se gli autovalori irraggiungibili e quelli inosservabili sono asintoticamente stabili (a modulo minore di 1). Se questo non accade, ci sono cancellazioni polo-zero instabili nella funzione di trasferimento. Osservazione 8.7 La nozione di stabilità interna enunciata in questo contesto è coerente con quella data per i sistemi interconnessi in rappresentazione ingresso/uscita. In un sistema interconnesso che sia ILUL stabile ma non non internamente stabile, infatti, esistono funzioni di trasferimento fra opportune coppie di segnali di ingresso e di uscita che presentano poli instabili, mentre questi poli non compaiono in altre funzioni di trasferimento. I modi instabili nascosti devono necessariamente far parte di una rappresentazione in variabili di stato che descriva il sistema complessivo; tali modi risultano raggiungibili e osservabili se si considerano come ingresso ed uscita del sistema i segnali legati dalle funzioni di trasferimento instabili, mentre risultano non raggiungibili o non osservabili altrimenti. 8.4 Sintesi del regolatore (compensatore dinamico) Si consideri adesso il problema di regolare il sistema attraverso una retroazione statica delle variabili di stato che non siano misurate ma stimate attraverso un osservatore asintotico (figura 8.5). Si consideri quindi la legge di controllo u k = F ˆx k + v k (8.41) dove ˆx k è lo stato dell osservatore. Alla dinamica del sistema ad anello chiuso risultante contribuiscono sia la dinamica del sistema che quella dell osservatore. Le equazioni di stato che descrivono il sistema complessivo (impianto più osservatore) sono date da x k+1 = Ax k + Bu k ˆx k+1 = Aˆx k + Bu k + L(y k Cˆx k ) u k = F ˆx k + v k y k = Cx k (8.42) Impiegando la variabile errore di stima x k = x k ˆx k al posto di ˆx k nelle (8.42) si ottiene la rappresentazione equivalente x k+1 = (A + BF)x k BF x k + Bv k x k+1 = (A LC) x k (8.43) y k = Cx k

21 94 x k+1 v k u k x k B z 1 C y k A P d L _ B ˆx k+1 z 1 ˆx k C ŷ k A Osservatore F Figura 8.5: Regolatore con retroazione dallo stato stimato (compensatore dinamico)

22 95 Introducendo lo stato esteso ξ k = [x k x k ] il sistema complessivo ad anello chiuso si scrive come [ ] [ ] A + BF BF B ξ k+1 = ξ A LC k + v k y k = [ C ] (8.44) ξ k Principio di separazione Data la struttura a blocchi della matrice di evoluzione del sistema complessivo ad anello chiuso in (8.44), risulta chiaro che è possibile assegnare i suoi autovalori allocando separatamente quelli di A + BF e quelli di A LC, ovvero progettando separatamente l osservatore ed il regolatore in retroazione statica dallo stato. Si osservi a tale proposito che il guadagno F non influenza l evoluzione dell errore di stima x k, che è libera con matrice di aggiornamento A LC. La funzione di trasferimento ad anello chiuso W(z) = Y (z)/v (z) risulta W(z) = [ C ] [ zi (A + BF) BF zi (A LC) = C[zI (A + BF)] 1 B ] 1 [ B ] (8.45) pertanto il guadagno L dell osservatore non influenza i poli di W(z) che invece sono influenzati solo dal guadagno F. Solo gli autovalori di A + BF compaiono infatti come poli in W(z) (se sono raggiungibili e osservabili). Si osservi che le equazioni di stato in (8.44) risultano in decomposizione canonica di raggiungibilità, dove il sottosistema raggiungibile è dato dalla dinamica di x k (con gli autovalori di A+BF) mentre il sottosistema non raggiungibile è dato dalla dinamica di x k (con gli autovalori di A LC). La funzione di trasferimento W(z) dipende quindi naturalmente solo da F, ma descrive solo il comportamento ingresso-uscita del sistema, non la sua risposta libera. La matrice L influisce invece (insieme a F) sul comportamento in evoluzione libera del sistema, sia nello stato che nell uscita. Si osservi infatti che la risposta libera nell uscita risulta y l k = [ C ] [ A + BF BF A LC ] k ξ (8.46) Si verifica facilmente che nell espressione di yk l per k 2 compare L. I modi di A LC influiscono quindi sulla parte di transitorio del sistema dovuto alla risposta libera. Affinché questo transitorio si esaurisca rapidamente, può essere conveniente scegliere L in modo che le costanti di tempo dei modi di A LC siano molto più rapide di quelle che caratterizzano il transitorio della risposta forzata (che dipendono invece dai modi di A + BF). L osservatore può essere ad esempio deadbeat, cioè con tutti gli autovalori di A LC in z = ) Compensatore dinamico deadbeat Se (A,B) è controllabile e (A,C) è ricostruibile, allora è possibile determinare F ed L in modo da allocare in z = sia gli autovalori di A+BF che quelli di A LC. Tale scelta comporta che la risposta forzata al gradino vada a regime in al più n passi, infatti la funzione di trasferimento W(z) viene ad essere di ordine al più n con tutti poli in zero. Per quanto riguarda la risposta libera, si tenga presente che il sistema complessivo ha ordine 2n. Pertanto, se tutti i suoi autovalori vengono allocati in z =, la risposta libera in generale tende a zero in 2n passi.