Sistemi Lineari I. March 22, 2015

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1 Sistemi Lineari I March 22, 205 Sistemi lineari Nel seguito denoteremo con K il campo reale o il campo complesso e con K n l insieme delle n-uple ordinate di elementi di K Sia D un sottoinsieme di K n e sia F : A K una funzione di n variabili x, x 2,, x n Dato b K, l espressione F (x, x 2,, x n ) = b si dice una equazione nelle n incognite x, x 2,, x n Una n-upla (c, c 2,, c n ) A K n si dice una soluzione dell equazione se sostituendo c, c 2,, c n ad x, x 2,, x n si ottiene una uguaglianza, F (c, c 2,, c n ) = b Soluzioni possono esistere come non esistere Se F : K n K, F (x,, x n ) = a x + a 2 x a n x n è un polinomio omogeneo di primo grado nelle variabili x, x 2,, x n con a, a 2,, a n e b elementi del campo K, l equazione () F (x, x 2,, x n ) = a x + a 2 x a n x n = b si dice una equazione lineare nelle incognite x, x 2,,, x n Gli elementi a, a 2,, a n si dicono ii coefficienti dell equazione e b il termine noto Se n = si usa x al posto di x, se n = 2, x, y al posto di x, x 2, n = 3, x, y, z al posto di x, x 2, x 3 e si scrive ax = b, ax + by = c, ax + by + cz = d Se qualche coefficiente a i è nullo non si scrive il corrispondente termine, ad esempio x + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 = x + 2x 3 Osservazione Il termine lineare dipende dal fatto che nel piano euclideo, fissato un riferimento cartesiano O, x, y (che identifica il piano con R 2 ), l equazione di una (linea) retta ha equazione ax + by = c Vedremo più avanti l interpretazione geometrica delle equazioni lineari e dei sitemi lineari che stiamo per definire Le seguenti equazioni non sono lineari x 2 = 2, log x =, x 2 + 3y 2 xy + 2x 2y = 3, e x + sin y + z = 0 Una soluzione di () è una n-pla (c, c 2,, c n ) K n tale che a c + a 2 c a n c n = b Si scrive x = c, x 2 = c 2, x n = c n Ad esempio x = 2, y = è soluzione dell equazione 2x + y = 3, mentre x = 2, y = non è soluzione Esempio Cerchiamo le soluzioni dell equazione ax = b Se a 0, l equazione ha una sola soluzione, x = b/a Se a = 0, l equazione non ha soluzioni se b 0, mentre tutti gli elementi di K sono soluzioni Se K = R, C, l equazione ha quindi infinite soluzioni Quindi abbiamo tre possibilitlà: l equazione o non ha soluzioni o ha una sola soluzione o ne ha infinite Questo non è vero se l equazione non è lineare Ad esempio x 2 = ha due soluzioni, x = ± Se in () tutti i coefficienti sono nulli, l equazione si dice degenere 0x + 0x x n = 0 = b Se b 0 l equazione non ha soluzioni, se b = 0 tutti gli elementi di K n sono soluzioni

2 Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è una lista di m equazioni lineari nelle stesse incognite x, x 2,, x n Si scrive (2) a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m Usando il prodotto di matrici il sistema (2) si può scrivere a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n x 2 (3) = b 2 a m a m2 a mn x n b m Gli a ij K si dicono i coefficienti del sistema e i b i K i termini noti La matrice A = (a ij ) si dice la matrice dei coefficienti o anche matrice incompleta del sistema Se poniamo x = possiamo scrivere (3) in forma compatta x x n, b = (4) Ax = b b b m Se m n le colonne x e b hanno dimensioni diverse La matrice a a 2 a n b A # def a 2 a 22 a 2n b 2 = (A b) = a m a m2 a mn b m si dice la matrice completa del sistema Esempio La matrice completa del sistema x 2x 2 + x 3 = 2 3x + x 2 + x 3 = 5 x + 7x 2 4x 3 = è la matrice Esempio Scrivere il sistema lineare nelle incognite x, y, z la cui matrice completa è ( 2 6 ) Risposta x 2y + z = 6 3y + 4z = 5 Se m = n (il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite) il sistema si dice quadrato di ordine n; se m > n (se vi sono più equazioni che incognite) si dice sovradeterminato e se m < n (meno equazioni che incognite) sottodeterminato Se i termini noti sono tutti uguali a 0, ie b = 0, il sistema si dice omogeneo Una n-pla (c, c 2,, c n ) K n si dice una soluzione del sistema (2) se la n-pla è soluzione di tutte 2

3 le equazioni del sistema Se mettiamo la n-pla in colonna c = ( c c 2 ) t, c n c è soluzione se e solo se Ac = b Se l equazione i-esima, a i x + a i2 + + a in x n = b i, è degenere, ie a i = a i2 = a in = 0, e b i 0, il sistema non ammette soluzioni; se invece b i = 0, l equazione non pone vincoli alle soluzioni e usualmente non si scrive Dato un sistema lineare ci poniamo le seguenti domande: Il sistema ha soluzioni? Se il sistema ha soluzioni, quante ne ha? Come trovare tutte le soluzioni? Nelle pagine che seguono troveremo risposta tutte e tre le domande Facciamo vedere intanto che vale il seguente Teorema Un sistema lineare o non ha soluzioni (come nel caso in cui è presente un equazione degenere con termine noto diverso da zero) o ha una sola soluzione o ne ha infinite dim Supponiamo che esistano due soluzioni distinte u, v K n, u v, di (4): Au = b, Av = b, u v e facciamo vedere che allora il sistema ha infinite soluzioni Sia t K Facciamo vedere che il vettore tu + ( t)v è una soluzione del sistema: A(tu + ( t)v) = A(tu) + A(( t)v) = tau + ( t)av = tb + ( t)b = (t + t)b = b Poiché i valori di t sono infiniti, se facciamo vedere che i vettori sono tutti distinti, al variare di t K, posssiamo cocnludere che abbiamo infinite soluzioni Dimostriamo che se t t 2, allora t u + ( t)v t 2 u + ( t 2 )v Supponiamo, per assurdo, che Segue che t u + ( t)v = t 2 u + ( t 2 )v 0 = t u + ( t )v t 2 u ( t 2 )v = (t t 2 )u + ( t + t 2 )v = (t t 2 )(u v) Poiché t t 2 0, segue che u v = 0 e quindi u = v, assurdo perché sappiamo che u v Un sistema che ammette soluzioni si dice compatibile, altrimenti incompatibile Osservazione Un sistema omogeneo Ax = 0 m ha sempre la soluzione 0 n (detta la soluzione triviale): infatti A0 n = 0 m L insieme S = u K n Au = 0} delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0 soddisfa le seguenti due condizioni la somma di elementi di S (soluzioni del sistema) è un elemento di S (una soluzione del sistema), il prodotto di uno scalare per un elemento di S (una soluzione del sistema) è un elemento di S (una soluzione del sistema) Vedremo che un sottoinsieme di K n che soddisfa queste due condizioni si dice un sottospazio vettoriale di K n Dimostriamo le due proprietà Se u, v S, allora A(u + v) = Au + Av = = 0 e quindi u + v S; se u S e c K, allora A(cu) = cau = c0 = 0 e quindi cu S Osservazione Se c 0 è una qualunque fissata soluzione del sistema compatibile Ax = b, l insieme delle soluzioni del sistema è c 0 + S = c 0 + u u S} ove S K n è il sottospazio delle soluzioni del sistema omogeno Ax = 0 (detto sistema omogeno associato) Infatti, se Ac 0 = b, Au = 0, allora A(c 0 + u) = Ac 0 + Au = b + 0 = b Quindi tutte le colonne c 0 + u, u S, sono soluzioni del sistema Facciamo ora vedere che ogni soluzione c del sistema ha questa forma: posto u = c c 0, è A(c c 0 ) = Ac Ac 0 = b b = 0 e quindi u S Basta ora osservare che c = c 0 + u 3

4 2 Matrici a scala Una matrice A si dice a scala (più precisamente a scala per righe) o anche in forma gaussiana se le seguenti condizioni sono soddisfatte tutte le righe nulle, se ne esistono, compaiono sotto quelle non nulle, 2 il primo termine non nullo di una riga (non nulla) sta più a destra del primo termine non nullo della riga precedente (Ricordo che una matrice è nulla se tutti gli elementi sono nulli, non nulla se qualche elemento è 0) Se A = (a ij ), A è a scala se esistono elementi non nulli tali che a j, a 2j2,, a rjr con j < j 2 < < j r a ij = 0 quando i r, j < j i oppure quando i > r Gli elementi a j, a 2j2,, a rjr si dicono i pivot della matrice a scala Le colonne dove compaiono i pivot si dicono colonne pivot Gli elementi di una colonna pivot che stanno sotto il pivot sono tutti nulli Esempio La matrice seguente è a scala I pivot sono a 2 = 2, a 23 =, a 35 = 3 e le colonne pivot sono la seconda, la terza e la quinta Una matrice a scala si dice ridotta se tutti i pivot sono uguali a Esempi Consideriamo le matrici A = 2 3, B = , C = , D = La matrice A non è a scala perché ha una riga nulla, la seconda, che sta sopra una non nulla, la terza Se in A si scambiano la seconda e la terza riga, la matrice che si ottiene è ridotta La matrice B è a scala ma non ridotta perché ha un pivot diverso da Le matrici C e D non sono a scala perché il primo elemento non nullo della terza riga non è più a destra del primo elemento non nullo della seconda riga Se in C e D l ultima riga fosse nulla, entrambe sarebbero a scala 2 Una matrice nulla è a scala e non ha pivot 3 La matrice identica (di qualunque ordine) è ridotta 4 Una matrice quadrata A = (a ij ) si dice triangolare superiore se a ij = 0 quando i > j Ad esempio è triangolare superiore Se in una matrice triangolare superiore gli elementi diagonali sono tutti non nulli (risp = ) la matrice è a scala (risp ridotta) Se qualche elemento diagonale è nullo può essere a scala come no Ad esempio sono a scala mentre non lo è 4

5 3 Eliminazione gaussiana: casi speciali Esempio Sistemi 2 2 Consideriamo il sistema di due equazioni in due incognite E : ax + by = e E 2 : cx + dy = f e supponiamo che nessuna delle due equazioni sia degenere, ie sia i coefficienti a, b di E che quelli c, d di E 2 non siano entrambi nulli Geometricamente, le due equazioni rappresentano due rette nel piano coordinato e quindi abbiamo tre possibilità: le due rette si intersecano in un punto, sono parallele ma distinte o coincidono Nel primo caso le coordinate del punto di intersezione sono l unica soluzione del sistema Nel secondo caso il sistema non ha soluzioni e nel terzo le coordinate di ciascun punto della retta danno una soluzione del sistema (quindi infinite soluzioni) Ricordo che due rette sono parallele se e solo se hanno la stessa pendenza ovvero se e solo se b a = d c ad = bc (la seconda comprende il caso a = 0 b = 0, rette entrambe verticali) Guidati da queste semplici considerazioni geometriche, risolviamo ora algebricamente il sistema Primo caso ad bc 0 (corrispondente al caso di rette non parallele) Facciamo vedere che il sistema ha una sola soluzione Moltiplichiamo la prima equazione per c, la seconda per a e sommiamo le due equazioni; otteniamo ce + ae 2 : acx bcy + acx + ady = ce + af bcy + ady = (ad bc)y = af ce da cui segue af ce y = ad bc Osserviamo che a e c non possono essere entrambi nulli, altrimenti ad bc = 0 Se a 0, il sistema E, ce + ae 2 ha le stesse soluzioni del sistema E, E 2 e quindi, sostituendo il valore trovato per y nell equazione E, troviamo af ce ax + b = e a(ad bc)x = e(ad bc) b(af ce) = a(de bf) ad bc da cui, semplificando, segue de bf x = ad bc Similmente, se c 0, il sistema ce + ae 2, E 2 ha le stesse soluzioni del sistema E, E 2 e quindi, sostituendo il valore trovato per y nell equazione E 2, troviamo af ce cx + d = f c(ad bc)x = f(ad bc) d(af ce) = c(de bf) ad bc e troviamo lo stesso valore trovato sopra per x ( ) a a Osservazione Anticipiamo una definizione che verrà data più avanti Se A = 2 è una a 2 a 22 matrice quadrata di ordine 2, il determinante di A è definito da ( ) a a det A = det 2 = A = a 2 a 22 a a 2 a 2 a 22 def = a a 22 a 2 a 2 Possiamo ora interpretare le formule trovate sopra per la soluzione del sistema Poniamo ( ) ( ) ( ) a b e b a e A =, A c d =, A f d 2 = c f ove A (risp A 2 ) è la matrice che si ottiene da A sostituendo la prima (risp seconda) colonna con la colonna dei termini noti del sistema Posto = det A = ad bc, = det A = de bf, 2 = det A 2 = af ce 5

6 la soluzione si può scrivere (regola di Cramer per sistemi quadrati di ordine 2 con 0) x =, y = 2 Vedremo che queste formule si generalizzano a sistemi quadrati di ordine qualunque Secondo caso ad = bc (che corrisponde al caso di rette parallele) Osserviamo che a = 0 c = 0: infatti se a = 0 deve essere b 0 perché, per ipotesi, E è un equazione non degenere; d altra parte se a = 0, allora ad = 0 e quindi, essendo ad bc = 0, anche bc = 0; poiché b 0 deve essere c = 0; similmente si dimostra che c = 0 a = 0 e anche che b = 0 d = 0 Supponiamo ora che a 0, b 0 e quindi c 0, d 0 Da ad = bc segue che c a = d b Posto λ = c/a = d/b 0 risulta (c, d) = λ(a, b) A questo punto abbiamo due possibilità: primo sottocaso f λe af ce (corrispondente al caso di rette parallele ma non coincidenti) In questo sottocaso il sistema chiaramente non ha soluzioni; secondo sottocaso f = λe af = ce (rette coincidenti) In questo caso E 2 = λe e quindi ogni soluzione di E è soluzione di E 2 e viceversa Le soluzioni di E sono infinite x = t, y = e b a t, t K b Se a = c = 0 e quindi b 0 d (rette orizzontali), E : by = e, E 2 : dy = f Il sistema non ha soluzioni se e b f d de bf, infinite soluzioni se e b = f d Se b = d = 0 e quindi a 0 c (rette verticali), de = bf E : ax = e, E 2 : cx = f Il sistema non ha soluzioni se e a f c ce af, infinite soluzioni se e b = f d ce = af Esempi Risolvere il sistema E : x 2y = E 2 : 3x + y = 2 Seguendo il procedimento esposto, 3E + E 2 : 7y = e quindi il sistema diventa x 2y = 7y = e quindi si ottiene y = /7 che, sostituito nella prima equazione dà x = 5/7 Usando la regola di Cramer, = 2 3 = 7, = 2 2 = 5, 2 = 3 2 =, x = / = 5/7, y = 2 / = /7 2 Risolvere il sistema E : x 2y = E 2 : 3x 6y = 2 In questo caso 3E + E 2 : 0 = e quindi si ottiene una equazione degenere incompatibile Nessuna soluzione 3 Risolvere il sistema E : x 2y = E 2 : 3x 6y = 3 In questo caso 3E + E 2 : 0 = 0, equazione superflua Dunque le soluzioni del sistema sono le infinite soluzioni dell equazione E che possiamo scrivere x = + 2t, y = t, t K 6

7 Esempio 2 Sistema triangolare Risolvere il seguente sistema quadrato di ordine 4 nelle incognite x, x 2, x 3, x 4 x + 7x 2 3x 3 x 4 = 2 6x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 x 3 2x 4 = 3x 4 = 6 Si risolve l ultima equazione: x 4 = 2, si sostituisce questo valore di x 4 nella terza equazione e si trova l equazione x 3 4 = che dà x 3 = 5; si sostituiscono i valori trovati per x 4 e x 3 nella seconda equazione e si trova l equazione 6x = 0 e quindi x 2 = 2; si sostituiscono infine i valori trovati per x 4, x 3, x 2 nella prima equazione e si ottiene x = Una sola soluzione Esempio 3 Sistema a scala (= la matrice completa del sistema è a scala) Risolvere il sistema 2x 2x 2 + 3x 3 6x 4 + 7x 5 = 3 x 3 4x 4 + 5x 5 = 2x 4 4x 5 = 2 La matrice completa dma è i pivot sono nelle colonne, 3 e 4 Le incognite corrispondenti ai pivot si dicono incognite pivot, le rimanenti si dicono incognite libere, in questo caso le incognite pivot sono x, x 3, x 4, quelle libere sono x 2, x 5 Per risolvere il sistema si assegnano valori arbitrari, detti parametri, alle incognite libere, x 2 = u, x 5 = v e poi, a partire dal fondo si calcolano i valori delle incognite pivot in funzione dei parametri: ) porre x 5 = v nella terza equazione e calcolare x 4 : 2x 4 4v = 2 2x 4 = 2 + 4v x 4 = + 2v 2) porre x 4 = + 2v e x 5 = v nella seconda equazione e calcolare x 3 : x 3 4( + 2v) + 5v = x 3 4 3v = x 3 = 5 + 3v 3) porre x 2 = u, x 3 = 5 + 3v, x 4 = + 2v, x 5 = v nella prima equazione e calcolare x : 2x 2u + 3(5 + 3v) 6( + 2v) + 7v = 3 x = 6 + u 2v Questo procedimento di sostituzione a partire dall ultima equazione e risalendo si chiama retrosostituzione La soluzione generale del sistema in forma parametrica è data da Terminologia x = 6 + u 2v, x 2 = u, x 3 = 5 + 3v, x 4 = + 2v, x 5 = v Equazione, Equazione lineare, Coefficienti, Termine noto, Soluzione di un equazione, Equazione degenere, Sistema lineare, Matrice dei coefficienti, Matrice incompleta, Matrice completa, Sistema quadrato, Sistema sovradeterminato, Sistema sottodeterminato, Sistema omogeneo, Soluzione di un sistema lineare, Sistema compatibile e incompatibile, Matrice a scala per righe, Elemento pivot, Colonna pivot, Matrice a scala ridotta, Matrice triangolare superiore, Determinante 2 2, Regola di Cramer 2 2, Sistema triangolare, Sistema a scala, Incognita pivot, Incognita libera, Parametro, Retro-sostituzione, Soluzioni in forma parametrica 7

8 Saper Fare Scrivere un sistema lineare in forma matriciale Identificare la matrice completa e la matrice incompleta di un sistema lineare Scrivere il sistema note matrici incompleta e completa Verificare se un vettore è o non è soluzione di un sistema lineare Riconoscere matrice a scala o a scala ridotta Risolvere un sistema lineare 2 2 Calcolare il determinante 2 2 Calcolare le soluzioni di un sistema 2 2 con la regola di Cramer Calcolare le soluzioni di un sistema triangolare Calcolare le soluzioni di un sistema a scala Vero o Falso? Se la matrice completa di un sistema lineare ha taglia m n, allora il sistema ha m equazioni ed n incognite Se la matrice incompleta di un sistema lineare ha taglia m n allora il vettore dei termini noti ha taglia n Se la matrice dei coefficienti di un sistema lineare ha taglia m n, la matrice completa del sistema ha taglia m (n + ) Nessun sistema lineare ha esattamente due soluzioni Ogni matrice triangolare superiore è una matrice a scala per righe Ogni matrice a scala per righe è una matrice triangolare Un sistema 2 2 ha una sola soluzione se il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo Se il determinante della matrice incompleta di un sistema 2 2 è nullo, il sistema ha infinite soluzioni Esercizi Esercizi per riconoscere se un vettore è una soluzione x + y 2z = 3 2x 3y + 4z = 3 2 x + y z = 2 c = 3x y 7z = 2, 2 c = 3, 5x + 4y + z = 3 2 x + y + z = 0 2x + 2y 4z = 6 x + y + z = 6 t 3 x y 2z = 7 c = 2 + 3t per ogni t, 5x + y z = 4 3 2t x + x 2 x 3 + 5x 4 = 0 u 4 2x 2 x 3 + 7x 4 = 0 c = u 2v 2u + 3v per ogni u, v 4x + 2x 2 3x 3 + 3x 4 = 0 v Esercizi per acquisire abilità nel trovare la matrice completa di un sistema lineare Trovare la matrice completa dei seguenti sistemi lineari: x 2x 2 + 3x 3 = 0 x y + z t = 2 kx 2x 2 + 3kx 3 = 0 3x + 4x 2 5x 3 = x + k 3x + 4y 3z + 5t = 3 2 x 3 = 4x 2x 2 + 7x 3 = 0 ( + k)x x 2 = k dove k è una costante non specificata (sistema dipendente da un parametro) Esercizi per acquisire abilità nel trovare il sistema lineare nota la sua matrice completa Scrivere il sistema lineare la cui matrice completa e le incognite sono date da: ( ) x, y x, y, z

9 x, x 2, x 3 4 x, y, z k k 0 0 k x, y, z x, x 2, x 3 7 Scrivere i sistemi lineari la cui matrice completa è la matrice 6 dell esercizio precedente per i valori k = 0,, 2 del parametro Esercizi per acquisire abilità nel riconoscere se una matrice è a scala o ridotta o nessuna delle due ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Esercizio Dire per quali valori del parametro k R la seguente matrice è a scala 0 k k + k k + k 2 k k k Esercizi Risolvere i seguenti sistemi 2x 3y = 8 x 3y = 4, 2 3x + 4y = 5 2x + 6y = 5, 3 4 2x 5y = 2x 3y = 8, 5 3x + 4y = 5 6x + 9y = 6, 6 7 Considerare il sistema x + ay = 4 ax + 9y = b x 3y = 4 2x + 6y = 8 2x 3y = 8 4x + 6y = 6, a) Per quali valori di a il sistema ha un unica soluzione? b) Trovare i valori di a e b per i quali il sistema ha infinite soluzioni 2x 3x 2 + 5x 3 2x 4 = 9 2x 6y + 7z = 8 5x 2 x 3 + 3x 4 = 9 4y + 3z = 8 7x 3 x 4 = 3 2z = 4 2x 3x 2 6x 3 5x 4 + 2x 5 = 7 0 x 3 + 3x 4 7x 5 = 6 x 4 2x 5 = 9