Sistemi Lineari II. March 18, 2015

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1 Sistemi Lineari II March 18, Operazioni elementari Abbiamo visto nell esempio 1 come sia utile manipolare le equazioni di un sistema senza cambiare le soluzioni del sistema in modo da ottenere un sistema più facile da risolvere Ora svilupperemo questi metodi in modo sistematico È immediato verificare che le seguenti operazioni non cambiano le soluzioni di un sistema lineare: 1) scambiare due equazioni, 2) moltiplicare un equazione per una costante non nulla, 3) sommare un multiplo di una equazione ad un altra equazione Esempio Consideriamo il sistema E 1 : 2x 1 + 4x 2 3x 3 2 E 2 : x 1 3x 2 + 2x 3 3 E 3 : 3x 1 + 5x 2 x 3 1 Chiaramentl sistema E 2 : x 1 3x 2 + 2x 3 3 E 1 : 2x 1 + 4x 2 3x 3 2 E 3 : 3x 1 + 5x 2 x 3 1 ottenuto scambiando la prima e la seconda equazione ha le stesse soluzioni del precedente sistema Stesse soluzioni ha il sistema E 1 : 2x 1 + 4x 2 3x 3 2 3E 2 : 3x 1 9x 2 + 6x 3 9 E 3 : 3x 1 + 5x 2 x 3 1 ottenuto moltiplicando per 3 la seconda equazione Idem per il sistema E 1 : 2x 1 + 4x 2 3x 3 2 E 2 : x 1 3x 2 + 2x 3 3 E 3 + 2E 1 : 7x x 2 7x 3 3 ottenuto sommando alla terza riga la prima moltiplicata per 2 Queste operazioni si traducono in operazioni sulle righe della matrice completa del sistema: R1) scambiare due righe, R2) moltiplicare una riga per una costante non nulla, R3) sommare ad una riga il multiplo di un altra riga Queste operazioni si chiamano operazioni elementari sulle righe di una matrice Più precisamente s i,j : scambiare le righ-esima e j-esima, m i (a): moltiplicare la riga i-esima per lo scalare a 0, a i,j (c): sommare alla riga j-esima la i-esima riga moltiplicata per lo scalare c 1

2 Importante!!! Queste operazioni sono tuttnvertibili: l inversa di s i,j è la stessa s i,j, quella di m i (a) è m i (a 1 ) e quella di a i,j (c) è a i,j ( c) Esempio s1,2 m2(3) a1,3(2) Date due matrici A, B della stessa taglia m n, la matrice B si dice equivalente per righe alla matrice A se B si ottiene applicando ad A un numero finito di operazioni elementari sulle righe Scriveremo A B se B è equivalente per righe ad A Esercizio Dimostrare che è una relazione di equivalenza, ie valgono le seguenti proprietà: proprietà riflessiva: A A, proprietà simmetrica: se A B allora B A, proprietà transitiva: se A B e B C allora A C La dimostrazione dell asserto seguente è immediata ed è lasciata al lettore Teorema Se A e B sono le matrici complete di due sistemi lineari e A è equivalente a B per righe, A B, i due sistemi hanno le stesse soluzioni Nella dimostrazione del Teorema che segue useremo: Definizione Una sottomatrice di una matrice A è la matrice che si ottiene eliminando da A intere righe, intere colonne o entrambe Ad esempio togliendo da A la seconda riga e la seonda e quarta colonna, si ottiene la sottomatrice ( ) A Teorema Ogni matrice è equivalente per righe ad una matrice a scala (per righe) Dim Se A 0 la matrice è a scala Supponiamo A 0 1 Sia la colonna di indice j 1 la prima (a partire da sinistra) colonna non nulla, a partire da sinistra, di A (colonna pivot) Quindi esiste nella colonna j 1 -ma un elemento non nullo che, dopo un eventuale scambio di righe possiamo supporre essere a 1j1 0 2 Per ogni riga di indic > 1, applicando l operazione elementare a 1,i (c) con c a i,j1 /a 1,j1, ottengo una matrice che ha l elemento di posto ij 1 uguale a 0 Quindi ottengo una matrice A 1 equivalente per righe ad A che ha a 1,j1 come primo pivot 3 Consideriamo adesso la sottomatrice A 1 ottenuta da A 1 rimuovendone la prima riga Ripeto su A 1 il procedimento descritto nei punti 1 e 2, ottenendo una matrice equivalente per righe con un secondo pivot, a 2,j2 Reintroducendo in quest ultima la prima riga di A 1 si ottiene una matrice A 2 con due pivot ed equivalente per righe ad A 4 Ripetendo questo procedimento fino a che resta una sottomatrice con le righe tutte nulle, si ottiene una matrice a scala equivalente per righe alla matrice A l Esempio Ridurre a scala (per righe) la seguente matrice A

3 La prima è una colonna non nulla e conviene prendere l elemento di posto 11 come primo pivot: A a1,2( 2) a1,3( 3) La seonda colonna pivot è la terza colonna con pivot a1,3( 3/2) e quest ultima è una matrice a scala con i pivot evidenziati Applicando le operazioni elementari m 2 (1/2) e m 3 ( 1/2) si ottiene la matrice a scala ridotta Esempio Ridurre a scala per righe la seguente matrice A Primo passo: portare un pivot uguale a 1 nel posto (1, 1) Basta scambiare prima e seconda riga A s 1, Secondo passo: mettere degli zeri sotto il pivot della prima colonna a 1,2( 2),a 1,3(4),a 1,4( 2) Terzo passo: cerchiamo di mettere un pivot uguale a 1 nel posto (2, 2) Questo si ottiene p es moltiplicando la seconda riga per 1/3 Siccome le frazioni complicano i calcoli, conviene evitarle, se possibile In effetti lo stesso risultato si ottiene sommando alla seconda riga la terza moltiplicata per a 3,2( 1) Quarto passo: mettere degli zeri sotto il pivot della seconda colonna a 2,3( 2),a 2,4( 2) Quinto passo: mettere un 1 nel posto (3, 3) m 3(1/13)

4 Sesto passo: mettere uno zero sotto il pivot di posto (3, 3) a 3,4( 9) La matrice ottenuta è a scala Non è l unico modo di ottenere da A una matrice a scala Questa tecnica di riduzione sarà ripetutamente usata, è benmpadronirsene 2 Rango di una matrice Definiremo ora una nozione molto importante, sulla quale ritorneremo pi volte Abbiamo osservato che vi è più di un modo per ridurre a scala una data matrice Ad esempio, da una riduzione a scala se ne può ricavare un altra sommando qualche multiplo di una riga ad una riga che le sta sopra Tuttavia, vall seguente teorema che dimostreremo nella sezione sugli spazi vettoriali Teorema Se A e B sono matrici a scala equivalenti per righe e se a 1j1, a 2j2,, a rjr e b 1k1, b 2k2,, b sks sono i pivot di A e B rispettivamente, allora r s (hanno lo stesso numero di righe non nulle) e j 1 k 1, j 2 k 2,, j r k r (i pivot possono non essere uguali ma occupano la stessa posizione) Da questo risultato segue che qualunque sia la riduzione per righe di una matrice, il numero di righe non nulle non cambia, anche se le riduzioni sono diverse Definizione Il numero di righe non nulle di una riduzione a scala per righe di una matrice A si dicl rango della matrice A che denoteremo rango A o anche rg A Ad esempio, la matrice nulla (di taglia qualunque) ha rango 0, perché non ha righe non nulle Negli ultimi due esempi le matrici hanno entrambe rango 3 Osservazionmportante Se A ha taglia m n, allora, rango A m e rango A n: rango A min{m, n} Infatti, il numero delle righe non nulln una riduzione a scala per righe di A è uguale al numero dei pivot nella riduzione e quindi non può essere maggiore del numero delle righe o delle colonne di A 3 Forma canonica per righe Una matrice si dicn forma canonica per righe se 1 è una matrice ridotta a scala per righe, 2 gli elementi di ogni colonna pivot sono tutti uguali a zero trannl pivot (uguale a 1) Da una matrice a scala è facile ottenere una forma canonica equivalente per righe: con operazioni di tipo m i (a) si fanno diventare uguali ad 1 tutti i pivot e con operazioni elementari di tipo a i,j (c) si fanno diventare uguali a zero tutti gli elementi che stanno sopra i pivot Ad esempio a2,1(3) a3,2( 3) a3,1( 11) Quindi ogni matrice ha una riduzione a forma canonica per righe La cosa interessante è che questa riduzione è unica Infatti vall seguente Teorema Ogni matrice è equivalente per righe ad una ed una sola forma canonica per righe che dimostreremo più avanti Per le matrici quadrate di rango massimo (dunque uguale all ordine della matrice) abbiamo un risultato preciso su qual è la loro forma canonica per righe Teorema Una matrice quadrata n n ha rango n se e solo se è equivalente per righe alla matrice 4

5 identica 1 n dim Se A è una matrice n n equivalente per righe alla matricdentica 1 n, che è una matrice a scala per righe con n righe non nulle, la matrice A ha rango n Viceversa, se A ha rango n, dalla definizione di rango segue che una sua qualunque riduzione a scala ha n righe non nulle Segue che tutti i pivot della riduzione sono non nulli e quindi, per quanto visto qui sopra, la forma canonica per righe che si ottiene è la matrice con tutti 1 sulla diagonale e 0 altrove, la matricdentica 1 n 4 Eliminazione gaussiana Dato un sistema lineare Ax b, il metodo di Gauss consiste nel trovare una matrice a scala (B c) equivalente per righe alla matrice completa del sistema (A b), risolvere con il metodo della retro-sostituzionl sistema a scala equivalente Bx c Esempio 1 Risolverl sistema 3x 2y + 2z 9 x 2y + z 5 2x y 2z 1 Riduzione a scala della matrice completa s1, a 3,2( 1) a2,3( 3) a1,2( 3),a1,3( 2) Il sistema corrispondente alla riduzione a scala è x 2y + z 5 y + 3z 5 z 2 m3( 1/13) Questo sistema ha le stesse soluzioni del sistema di partenza Per trovarle usiamo il metodo della retro-sostituzione: z 2, y 5 3z 1, x 5 + 2y z 1 Quindi il sistema ha una sola soluzione: (1, 1, 2) Volendo, si può andare avanti con la riduzione e trovare la forma canonica a2,1(2) a3,2( 3),a3,1( 7) Il sistema equivalente è quindi x 1 y 1 z 2 da cui si legge direttamente la soluzione L utilizzo della forma canonica ha il vantaggio che non richiede la retro-sostituzione Lo svantaggio è che la riduzione a forma canonica richiede un numero maggiore di operazioni elementari rispetto alla riduzione a scala Gli esperti di algoritmi hanno stabilito che costa di meno, è più efficiente, fermarsi alla riduzione a scala seguita dalla retrosostituzione Notare che rango A rango A # numero dellncognite Teorema 1 Sia Ax b un sistema m n Se rango A rango A # rango (A b) n, allora il 5

6 sistema ha una sola soluzione Dim Se rango A rango A # n, allora la riduzione a scala della matrice A porta ad una matrice con n righe non nulle e la matrice completa A # ha la forma p 1 0 p p p n dove p 1, p 2,, p n sono n pivot (quindi tutti 0) e le ultime m n righe sono tutte nulle Quindi si ottiene un sistema triangolarn cui le ultime m n equazioni sono superflue Con il metodo della retro-sostituzione si ricava l unica soluzione del sistema Osserviamo che rango A rango A # perché una riduzione a scala B # di A # comprende una riduzione a scala B di A e quindi il numero di righe non nulle di B # è maggiore o uguale al numero delle righe non nulle di B Segue che, oltre al caso ora visto, le rimanenti possibilità sono: rango A < rango A # o rango A rango A # < n Esempio 2 Risolverl sistema x 1 + x 2 x 3 + x 4 1 2x 1 + 3x 2 + x 3 4 3x 1 + 5x 2 + 3x 3 x 4 5 Riduciamo a scala la matrice completa del sistema: a1,2( 2),a1,3( 3) a2,3( 2) L ultima riga dà l equazione 0 0x 1 + x 2 + 0x 3 + 0x 4 2 e quindi il sistema è incompatibile In questo esempio abbiamo rango A 2 < rango A # 3 Teorema 2 Sia Ax b un sistema m n Se rango A < rango A # rango (A b), allora il sistema non ha soluzioni Dim Se rango A < rango A #, nella riduzione a scala di A # compare una riga il cui primo elemento non nullo p è l elemento dell ultima colonna Questa riga dà un equazione della forma 0x 1 + 0x x n p 0 che non ha soluzioni Segue chl sistema è incompatibile Consideriamo infine l ultimo caso: rango A rango A # < n Esempio 3 Risolverl sistema 5x 1 6x 2 + x 3 4 2x 1 3x 2 + x 3 1 4x 1 3x 2 x 3 5 Riduciamo a scala la matrice completa del sistema: a3,1( 1) m 2(1/3) a2,3( 9) Il sistema associato alla forma a scala è { x 1 3x 2 + 2x 3 1 x 2 x 3 0 a1,2( 2),a1,3( 4)

7 L incognita libera è x 3 e la consideriamo come un parametro x 3 t Dalle equazioni ricaviamo con la retro-sostituzione x t, x x 2 2x (1 + t) 2t 2 + t Segue che l insieme delle soluzioni è l insiemnfinito S {(2 + t, 1 + t, t) t R} che dipende da parametri, il numero delle equazioni meno il rango di A Teorema 3 Sia Ax b un sistema m n Se r def rango A rango A # rango (A b) < n, allora il sistema ha infinite soluzioni che dipendono da n r parametri liberi Dim Una qualunque riduzione a scala B # ha solo r < n equazioni nelle n incognite e quindi vi saranno r incognite pivot ed n r incognite libere Fissati arbitrariament valori di queste n r incognite libere, le r incognite pivot sono univocamente determinate tramite retro-sostituzione dalle equazioni del sistema Poiché ogni incognita libera può assumernfiniti valori, le soluzioni formano un insiemnfinito Riassumendo quanto visto: Teorema di Rouché-Capelli Sia Ax b un sistema lineare m n Poniamo r rango A ed r # rango A # rango (A b) Allora Se r < r #, il sistema è incompatibile Se r r #, il sistema è compatibile ed esiste una ed una sola soluzione se e solo se r r # n, esiste un numero infinito di soluzioni se e solo se r r # < n Quindi un sistema lineare è compatibile se e solo sl rango della matricncompleta coincide con il rango della matrice completa In tal caso, il sistema ha un unica soluzione sl rango comune coincide con il numero delle equazioni, altrimenti, sl rango è minore del numero delle equazioni, ha infinite soluzioni (che dipendono da un numero di parametri uguale alla differenza tra il numero delle equazioni ed il rango) 5 Un esempio Si consideri, al variare del parametro k R, il sistema lineare a coefficienti reali nellncognite x 1, x 2, x 3, x 4 x 1 kx 3 0 x 1 + (k + 1)x 2 + x 3 0 S k : (k 2 + k)x 3 + kx 4 k x 1 kx 3 + kx 4 1 (a) Determinare, al variare di k, il rango della matricncompleta associata a S k ed il rango della matrice completa associata a S k (b) Determinare, al variare di k, le soluzioni di S k La matrice completa del sistema è 1 0 k k k 2 + k k k 1 0 k k 1 Applicando le operazioni elementari a 1,2 ( 1) e a 1,4 ( 1) si ottiene la matrice 1 0 k k + 1 k k 2 + k k k k 1 Se k(k + 1) 0, la matrice completa e la matricncompleta hanno entrambe rango 4 Per k 0 si ottiene la matrice

8 Quindi la matrice completa ha rango 3 mentre la matricncompleta ha rango 2 Per k 1 si ottiene la matrice Segue che la matrice completa e la matricncompleta hanno entrambe rango 2 Soluzioni: se k(k + 1) 0, il sistema ha una sola soluzione; con il metodo della retro-sostituzione si ricava x 4 1 k, x 3 1 k, x 2 1 k, x 1 1; per k 0 il sistema è incompatibile; per k 1 il sistema ha infinite soluzioni; lncognite libere sono x 2 e x 3 e quindi con la retrosostituzione si trovano le soluzioni al variare di u, v in R x 4 1, x 3 u, x 2 v, x 1 u 6 Sistemi omogenei Ricordo che un sistema omogeneo è un sistema del tipo Ax 0, il termine noto è nullo Ricordo anche che un sistema omogeneo ha sempre la soluzione x 0 che è detta la soluzione triviale Teorema Sia Ax 0 un sistema lineare omogeneo m n e sia r rango A Se r n, il sistema ha la sola soluzione triviale x 0 e, se m < n, il sistema ha infinite soluzioni Dim Chiaramente r r #, quindi il sistema è sempre compatibile Poiché x 0 è sempre una soluzione, se r n la soluzione unica è x 0 Se m < n, allora r m < n e vi sono infinite soluzioni Esempio Risolverl sistema x 1 + 2x 2 3x 3 + 2x 4 4x 5 0 2x 1 + 4x 2 5x 3 + x 4 6x 5 0 5x x 2 13x 3 + 4x 4 16x 5 0 Riduzione a scala: a1,2( 2),a1,3( 5) a 2,3( 2) Lncognite libere sono x 2 u, x 4 v e x 5 w da cui, retro-sostituendo, si ricava x 3 3v 2w, x 1 2u + 7v 2w 7 Matrici invertibili Una matrice quadrata A di ordine n si dicnvertibile se esiste una matrice (quadrata di ordine n) B tale che AB 1 n, BA 1 n La matrice B si dicnversa di A 8

9 ( ) a b Esercizio Sia A una matrice 2 2 con det A ad bc 0 Verificare che, se c d ( ) d b B 1, allora AB BA 1 c a 2 Quindi ( ) 1 ( ) a b 1 d b c d ad bc c a Facciamo vedere che una matricnvertibile ha un unica inversa che denoteremo con A 1 (per i numeri a 0 l inverso si denota anche con 1/a; per le matrici non si può usare questa notazione, perché se la si usasse, si sarebbe tentati di scrivere B(1/A) B/A e anche (1/A)B B/A come si fa per i numeri, e quindi avremmo B(1/A) (1/A)B mentre sappiamo chl prodotto di matrici non è commutativo!) Teorema Se AB BA 1 n e AC CA 1 n, allora B C dim C C1 n C(AB) (CA)B 1 n B B Teorema Se la matrice A, quadrata di ordine n, è invertibile, allora il sistema Ax b ha un unica soluzione, qualunque sia la colonna b x A 1 b In particolare da Ax 0 segue x 0 dim Chiaramente A 1 b è una soluzione: A(A 1 b) (A 1 A)b 1 n b b Se c è una soluzione, Ac b, moltiplicando a sinistra entrambi i termini dell uguaglianza per A 1, si ricava c A 1 b Il secondo asserto segue dal primo, perché x 0 è soluzione del sistema omogeneo Ax 0 Teorema Una matrice quadrata di ordine n è invertibile se e solo se rango A n dim Se A è invertibile, allora il sistema Ax b ha un unica soluzione qualunque sia la colonna b Dal Teorema di Rouché-Capelli segue che rango A rango (A b) n Viceversa, supponiamo che rango A n Sia la i-ma colonna di 1 n (tutti gli elementi uguali a 0 tranne l i-mo uguale a 1) Il sistema Ax ha un unica soluzione x i Segue che A(x 1 x n ) (Ax 1 Ax n ) (e 1 e n ) 1 n Segue che, posto X (x 1 x n ), AX 1 n Da quest ultima identità segue che (AX)A 1 n A A e quindi A(XA) A Segue che A(XA 1 n ) 0 n Dette y 1,, y n le colonne della matrice XA 1 n, risulta Ay 1 Ay n 0 e quindi, dal Teorema della sezione precedente, segue che y 1 y n 0 Segue che XA 1 n 0 n e XA 1 n e quindi A è invertibile Corollario Sia A una matrice quadrata di ordine n Sl sistema Ax b ha un unica soluzione per qualche b, allora la matrice A è invertibile dim Sl sistema Ax b ha un unica soluzione, dal T di Rouché-Capelli segue che rango A n e quindi per il T precedente A è invertibile Riepiloghiamo le caratterizzazioni che abbiamo trovato delle matrici invertibili: Teorema Sia A una matrice quadrata di ordine n Gli asserti seguenti sono equivalenti: (i) la matrice A è invertibile, (ii) il sistema Ax b ha un unica soluzione per ogni b R n, (iii) il sistema omogeneo Ax 0 ha la sola soluzione nulla, (iv) rango An, (v) la matrice A è equivalente per righe alla matrice 1 n Proprietà dell inversa Teorema Siano A, B matrici invertibili di ordine n Allora (1) la matrice A 1 è invertibile e (A 1 ) 1 A, (2) la matrice AB è invertibile e (AB) 1 B 1 A 1, (3) la trasposta A t di A è invertibile e (A t ) 1 (A 1 ) t dim La (1) segue subito da AA 1 A 1 A 1 n che dice non solo che A 1 è l inversa di A, ma anche che A è l inversa di A 1 La (2) segue da (AB)(B 1 A 1 ) A(BB 1 )A 1 A1 n A 1 AA 1 1 n, 9

10 Per la (3) (B 1 A 1 )(AB) B 1 (A 1 A)B B 1 1 n B 1 n A t (A 1 ) t (A 1 A) t (1 n ) t 1 n, (A 1 ) t A t (AA 1 ) t (1 n ) t 1 n Se A 1, A 2,, A h sono matrici invertibili dello stesso ordine, applicando pi ù volte la propriet à 2, si trova che A 1 A 2 A h è una matricnvertibile e (A 1 A 2 A h ) 1 A 1 h A 1 2 A Calcolo della matricnversa In questa sezione descriviamo un algoritmo per calcolare la matricnversa di una matricnvertibile L input è una matrice quadrata A e l output è l inversa della matrice A oppure l informazione che la matrice non è invertibile I passo Si forma la matrice M (A 1 n ) ove n è l ordine di A; II passo Si riduce M a scala per righe Se la prima metà di M presenta una riga nulla, allora A non è invertibile e ci si ferma; altrimenti si procede: III passo Si riduce la matrice M a forma canonica per righe M (1 n B); IV passo Si pone A 1 B, la matrice che compare nella seconda metà della matrice equivalente per righe ad M Esempio Calcoliamo la matricnversa di seguendo la procedura M a1,3( 3) m3( 1 14 ) Quindi Verificare che AA 1 A 1 A 1 3 A a2,3( 2),a2,1( 1) a3,2( 2),a3,1( 1) Spieghiamo perché l algoritmo funziona Per trovare la matricnversa di una matrice quadrata invertibile di ordine n bisogna risolvere l equazione matriciale (1) AX 1 Se x 1, x 2,, x n sono le colonne della matrice cercata X ed e 1, e 2,, e n sono le n-colonne standard ( è la n-colonna che ha tutti gli elementi uguali a zero tranne l i-esimo che è uguale a 1), l equazione (1) diventa AX A ( x 1 x 2 x n ) ( e1 e 2 e n ) Quindi per trovare X bisogna risolvere gli n sistemi (2) Ax, i 1, 2,, n 10

11 Se la matrice A è invertibile, sappiamo che la forma canonica per righe di A è la matricdentica 1 Quindi una riduzione a scala della matrice completa (A ) del sistema (2), i 1,, n, è la matrice (1 b i ) ove b i è la soluzione del sistema Segue che la matrice B ( ) b 1 b 2 b n soddisfa AB 1 Poiché la matrice dei coefficienti dei sistemi (2) è sempre A, piuttosto che risolvere ciascuno dei sistemi separatamente, conviene risolverli tutti simultaneamente riducendo la matrice (A e 1 e 2 e n ) (A 1) come prescrive la procedura Quindi l algoritmo ci dà una matrice B tale che AB 1 Sappiamo che A è invertibile e quindi B 1 n B (A 1 A)B A 1 (AB) A 1 1 n A 1 Vale la pena di menzionare che nella definizione di matricnvertibile è sufficiente una sola delle condizioni AB 1 o BA 1 Teorema Siano A e B matrici quadrate di ordine n B A 1 Se AB 1 n, allora BA 1 n e quindi dim Osserviamo che se AB 1, allora B è matricnvertibile Se così non fosse, esisterebbe x 0 tale che Bx 0 e quindi x 1x ABx A0 0, assurdo Dunque B 1 esiste Moltiplicando a destra per B 1 l uguaglianza AB 1 si ottiene (AB)B 1 B 1 e quindi B 1 A(BB 1 ) A1 A Segue che BA 1 9 Matrici elementari Le considerazioni di questa sezione presentano un utile strumento teorico Data un operazione elementare sulle righe E, denotiamo con E(A) la matrice che si ottiene applicando l operazione E alla matrice A Sia E la matrice che si ottiene applicando E alla matrice identica 1, E E(1) La matrice E si dice la matrice elementare corrispondente all operazione elementare sulle righe E La matrice E è una matrice quadrata Poniamo S i,j s i,j (1 n ), M i (k) m i (k)(1 n ), k 0, A i,j (k) a i,j (k)(1 n ) (Non si specifica l ordine n perché sarà sempre chiaro dal contesto) Esempio Caso n 2: S 1,2 ( ) 0 1, M (k) A 1,2 (k) ( ) k 0, M (k) ( ) 1 0, A k 1 2,1 (k) ( ) 1 k 0 1 ( ) 1 0, 0 k Caso n 3: k 0 S 2, , M 2 (k) 0 k 1, A 1,3 (k) 0 1 0, A 2,1 (k) k Caso generale: sia, i 1, n, la riga che ha tutti gli elementi uguali a 0 tranne l i-mo che è uguale a 1, le righe e 1, e 2,, e n si dicono le n-righe standard; allora 1 n e 1 e n 11

12 e S i,j s i,j (1 n ) s i,j e j e j i j i j è la matrice che ha tutti gli elementi diagonali uguali ad 1 tranne quelli di posto ii e jj che sono uguali a 0, gli elementi di posto ij e ji uguali ad 1 rimanenti elementi tutti uguali a 0; M i (k) m i (k)(1 n ) m i (k) k diag (1,, 1, i k, 1,, 1) i 1 0 i k 0 1 è la matrice diagonale che ha tutti gli elementi diagonali uguali ad 1 tranne quello di posto ii che è uguale a k; A i,j (k) a i,j (k)(1 n ) a i,j (k) e j k + e j i j i j 0 k è la matrice che ha tutti gli elementi diagonali uguali ad 1 e tutti gli altri elementi uguali a 0 tranne quello di posto ji che è uguale a k Teorema Sia E una operazione elementare sulle righe e sia E la matrice elementare corrispondente Allora, per ogni matrice A, E(A) EA In parole, la matrice ottenuta applicando alla matrice A l operazione elementare per righe E coincide con la matrice ottenuta moltiplicando a sinistra A per la matrice E corrispondente ad E dim Supponiamo che A abbia taglia m n e scriviamo A a 1 a m, ove a 1,, a m sono le righe di A Siano e 1,, e m le m-righe standard 1 E s i,j s i,j (A) i a j j a i, S i,j A e j A e j A A a j a i ; 12

13 2 E m i (k) a 1 e 1 e 1 A a 1 m i (k)(a) ka i, M i (k)a k A k A ka i ; a m e m e m A a m 3 E a i,j (k) a i A a i a i,j (k)(a), A i,j (k)a A ka i + a j k + e j k A + e j A ka i + a j Data l operazione elementare E sia E l operazione elementarnversa Siano E ed E le corrispondenti matrici elementari Abbiamo E E(1), E E (1) Segue 1 E (E(1)) E (E) E E, 1 E(E (1)) E(E ) EE Segue che E è matricnvertibile ed E E 1 Segue chl prodotto di matrici elementari è una matricnvertibile 10 Conseguenze (teoriche) Possiamo aggiungere un item alle caratterizzazioni delle matrici invertibili Teorema Sia A una matrice quadrata di ordine n Gli asserti seguenti sono equivalenti: (i) la matrice A è invertibile, (ii) il sistema Ax b ha un unica soluzione per ogni b R n, (iii) il sistema omogeneo Ax 0 ha la sola soluzione nulla, (iv) rango An, (v) la matrice A è equivalente per righe alla matrice 1 n, (vi) la matrice A si può esprimere come prodotto di matrici elementari dim L equivalenza dei primi cinque asserti (i)-(v) l abbiamo già vista Dimostriamo che (v) (vi) (i) Da (v) segue che esistono matrici elementari E 1, E 2,, E h tali che E h E 2 E 1 A 1 n Segue che A (E h E 2 E 1 ) 1 E1 1 E 1 2 E 1 h Ma sappiamo che le matrici E 1 i sono matrici elementari Segue che (v) (vi) Infine, se A E 1 E 2 E h con le E i matrici elementari e quindi invertibili, allora A è invertibile Quindi (vi) (i) Teorema La matrice B è equivalente per righe alla matrice A, B A, se e solo se esiste una matricnvertibile P tale che B P A dim Se B A, allora esistono operazioni elementari E 1, E 2,, E h con matrici elementari corrispondenti E 1, E 2,, E h, tali che B E h ( (E 2 (E 1 (A))) ) E h E 2 E 1 A P A, ove P E h E 2 E 1 è invertibile Viceversa, supponiamo che B P A con P invertibile Sappiamo allora che P è prodotto di matrici elementari e quindi B si ottiene da A applicando una successione di operazioni elementari sulle righe 13