Lez.11 Formulazione matriciale. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 1

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1 Lez.11 Formulazione matriciale Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 1

2 Formulazione matriciale delle leggi di Kirchhoff Come ben sappiamo, il modello circuitale prevede la scrittura di un sistema di 2L equazioni indipendenti in 2L incognite. E possibile rendere generale e automatica la scrittura di tale sistema al fine di renderla adatta ad essere implementata in un calcolatore elettronico. Ricordiamo che le informazioni contenute in un circuito sono di due tipi: uno topologico, che si ottiene dal grafo della rete, e un altro tipologico che tiene conto della natura dei bipoli, ed è espresso tramite le loro relazioni caratteristiche. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 2

3 Per poter meglio comprendere la formulazione matriciale, possiamo rifarci al generico grafo orientato di figura ove su ogni lato si è scelto di adottare la convenzione dell utilizzatore Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 3

4 Matrice di incidenza Con la matrice di incidenza completa [A C ] si definisce univocamente il grafo orientato di una qualsiasi rete di N morsetti e L lati. La matrice [A C ], composta da N righe e L colonne, è così costruita: +1 se il lato k esce dal nodo i a ik = { 1 se il lato k entra nel nodo i 0 se il lato k non interessa il nodo i La conoscenza di tale matrice permette di ricostruire completamente la topologia del grafo orientato perché per ogni nodo consente di riconoscere quali lati incidono su esso e come questi lati siano orientati. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 4

5 Per il grafo di figura la matrice [A C ] è: [A C ] = {1} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {8} {9} {A} {B} {C} {D} {E} {F} Indicato con {I} il vettore colonna delle correnti di lato, la matrice di incidenza completa ci permette di scrivere in forma compatta matriciale le LKC a tutti gli N nodi della rete: [A C ]{I} = {0} Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 5

6 Osservazione: Eliminando una qualsiasi delle N equazioni ai nodi (ad esempio la {F}), le (N-1) equazioni rimanenti sono linearmente indipendenti. La matrice risultante è la matrice d incidenza ridotta [A]. Le LKC indipendenti sono espresse come: [A]{I} = {0} Per la LKT, basta ricordare che essa è identicamente soddisfatta se si esprimono le tensioni di lato in funzione dei potenziali nodali. Per semplicità è opportuno fissare un nodo a potenziale zero di riferimento. La scelta più semplice è quella di adottare come nodo di riferimento il nodo k-esimo per il quale non si è scritta la LKC (nel nostro caso {F}). Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 6

7 Detto {V} il vettore delle tensioni di lato e {φ} il vettore degli (N-1) potenziali nodali incogniti, è possibile scrivere la relazione: [A T ]{φ} = {V} Infatti, osservando la k-sima colonna della matrice di incidenza [A], ci si accorge che nella riga dei nodi è presente +1 quando il lato k esce dal nodo ed è presente -1 quando il lato entra nel nodo. Di conseguenza, per la generica tensione di lato V k del lato k-simo compariranno i due potenziali di nodo cui il lato k afferisce, uno con il segno + e l altro con il segno -, a seconda della orientazione di tale lato k-simo. Rimangono da esprimere le caratteristiche di lato. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 7

8 Al fine di rendere sistematica e automatizzata le scrittura delle equazioni di lato è necessario che le equazioni caratteristiche assumano la forma più generale possibile. Per bipoli controllabili in tensione (nota: faremo solo questo caso), ci viene incontro il teorema del generatore equivalente di Norton Ik V k I k = +J k + G k V k Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 8

9 In simboli matriciali, le caratteristiche di lato possono essere espresse dalla relazione: {I} = {J} + G {V} in cui il vettore {J} di dimensione L è rappresentativo dei generatori di corrente e la matrice {G} è detta matrice della conduttanze di lato ed è una matrice diagonale (gii 0) di dimensione LxL. Moltiplichiamo a sinistra l espressione per la matrice {A} A {I} = A {J} + A G {V} Per la LKC {0} = A {J} + A G {V} Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 9

10 A {J} = A G {V} Utilizzando i potenziali di nodo A {J} = A G A T {φ} Da cui: {J N } = G N {φ} Con G N matrice di conduttanza di nodo e J N vettore delle correnti impresse di nodo Il vettore incognito dei potenziali di nodo si ottiene da: {φ} = G N 1 {J N } Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 10

11 Proprietà della matrice delle conduttanze di nodo G N 1. Il termine diagonale g ii è la somma delle conduttanze di tutti i lati collegati al nodo i, ed è detta autoconduttanza del nodo i; 2. Il termine g ik è la cosiddetta mutua conduttanza tra il nodo i ed il nodo k; essa è l opposto della somma di tutte le conduttanze di tutti i lati che collegano il nodo i al nodo k Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 11 Pagina 11