SISTEMI DI SECONDO GRADO E INTERPRETAZIONE GRAFICA

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1 SISTEMI DI SECONDO GRADO E INTERPRETAZIONE GRAFICA Sistema di secondo grado in due incognite: insieme di due equazioni di cui una di primo grado e l'altra di secondo grado. Grado di un sistema: il prodotto dei gradi delle equazioni componenti. Sistema impossibile: non ammette soluzioni reali. Soluzione del sistema in due incognite: insieme di coppie di numeri reali (,) danno due identità. Rappresentazione grafica: i tracciati dei grafici delle funzioni rappresentate dalle due equazioni componenti. Nel caso di un sistema di secondo grado l'equazione di primo grado rappresenta la retta mentre quella di secondo grado la parabola; da notare anche che altre figure, come l'iperbole e la circonferenza nel piano cartesiano, assieme alla retta equivalgono ai sistemi di secondo grado. Le coppie coordinate dei punti di intersezione fra i grafici delle funzioni, sono le corrispondenti soluzioni ottenibili algebricamente dal sistema e, in caso che non esistono tali punti, il corrispondente sistema algebrico è impossibile. Se la retta interseca la curva della funzione in due punti si dice secante, in solo punto si dice tangente, mentre se non la interseca si dice esterna alla curva. mathemclub.wordpress.org -I.Savoia,Sistemi ed interpretazione grafica,p.\8-03.0

2 Sistema retta-parabola Il sistema algebrico formato dalle equazioni di una retta e di una parabola da origine a tre possibili casi a seconda del segno del discriminante della equazione di secondo grado che risulta risolvendo il sistema stesso: = m + q = m + q a a = + b + c a + b + c = m + q = m + q a + b + c m q = 0 a = m + q a + ( b m ) + c q = 0 a + ( b m ) + c q = 0 a = ( b m ) a ( c q ) Casi possibili: retta secante: ( b m ) a ( c q ) > 0 a soluzioni retta tangente: ( b m ) a ( c q ) = 0 a soluzione retta esterna: ( b m ) a ( c q ) = 0 a 0 soluzioni Applichiamo ad un esempio di confronto fra tre rette ed una parabola di seguito illustrato: f()=-0.5^++3 =-+7 f()=+ f()=+ A Esterna B P Secante Tangente X mathemclub.wordpress.org -I.Savoia,Sistemi ed interpretazione grafica,p.\8-03.0

3 Si risolvono ora i sistemi algebrici fra le rette e la parabola: = + = + a) a 3 = = + = + = + = 0, = a 0 a + = =, = = La retta è secante nei punti A (,0 ) e B (, ) = + 7 = + 7 b) a 3 = = + 7 = + 7 = + a 0 + = = = + 7 = 3, = ( 8) = = 0 a ( 8) ± 0 = =, la retta è tangente alla parabola in P (,3 ) = + = + c) a = = = + a = = 8 = 3 < = La retta è esterna alla parabola. mathemclub.wordpress.org -I.Savoia,Sistemi ed interpretazione grafica,p.3\8-03.0

4 Sistema retta-iperbole Stesse considerazioni fatte per il sistema rettaparabola valgono anche per il sistema fra retta ed iperbole per cui, in generale valgono i seguenti passaggi algebrici: = m + q = m + q = m + q k a k a = m + q = m + q k = 0 = q + mk : retta secante: q + mk > 0 retta tangente: q + mk = 0 retta esterna: q + mk < 0 L'esempio che segue, illustrato dalla figura, pone a confronto una iperbole con tre rette: f()=/ =-.5+ f()=- f()= Tangente A Esterna - -7 Secante -8-9 Y P B X mathemclub.wordpress.org -I.Savoia,Sistemi ed interpretazione grafica,p.\8-03.0

5 Si passa a risolvere algebricamente: = = 3 = 0 a) a a = = = ± = =,3, = ( ) ( 3) = > 0 a = =, = = 3 La retta è secante in A (, ) e B ( 3, ) c) 3 3 = + + = + a a = = = = 0 ± 0 = =, ( ) = ( ) ( ) = 0 a = = 3, La retta è tangente in P (,3 ) = + + = + = 0 c) a a = = = = ( ) ( ) = < 0 : la retta è esterna mathemclub.wordpress.org -I.Savoia,Sistemi ed interpretazione grafica,p.5\8-03.0

6 Sistema retta-circonferenza La circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza rispetto ad un punto detto centro; se il centro coincide con l'origine ed il raggio vale R è semplicemente: + = R Se invece il centro è traslato nel punto C(a,b), applicando le equazioni della traslazione si ha: a + b = R + a b + a + b = R ( ) ( ) Valgono tutte le considerazioni esposte sino ad ora anche per il sistema retta-circonferenza. Nel caso di circonferenza con centro l'origine il sistema con la retta si svolge nel modo seguente: = m + q = m + q R a + = + ( m + q ) R = = m + q m mq q R = 0 = m + q ( + m ) + mq + q R = 0 ( mq ) ( m ) ( q R ) = + : Omettiamo lo sviluppo. 0 retta secante: > 0 ; distanza retta-centro < R retta tangente: retta esterna: = < 0 ; distanza retta-centro = R 0 ; distanza retta-centro > R mathemclub.wordpress.org -I.Savoia,Sistemi ed interpretazione grafica,p.\8-03.0

7 L'esempio seguente, illustrato dalla figura, pone a confronto tre rette ed una circonferenza con centro l'origine e raggio R=5 di cui vengono svolti i sistemi di seguito: a) Si passa ora ai calcoli algebrici: = = a 5 = 0 + = = 3 5 = a = = 3 5 = 3 =, = ( ) 9 = 0 a ± 0 = = 3, La retta è tangente in P ( 3, ) mathemclub.wordpress.org -I.Savoia,Sistemi ed interpretazione grafica,p.7\8-03.0

8 = = = b) a 5 a + = + ( ) = 5 = 0 =,3, = ( ) ( ) = 9 > 0 a ± 7 = = 3,, La retta è secante in A ( 3, ) e B (,3 ) = + 9 = + 9 = + 9 c) a 5 a + = + ( + 9) 5 = = 0 = 9 8 = 3 < 0 a Retta esterna Nel caso generale in cui la circonferenza ha il centro in posizione qualunque, si svolgono gli stessi calcoli algebrici del sistema e si possono confrontare le soluzioni ottenute con il grafico del sistema avendo cura di individuare sia la posizione del centro che la dimensione del raggio. Nei limiti della presente esposizione, avente per obiettivo principale la tecnica algebrica di sostituzione e l'uso di semplici grafici, non viene sviluppato ulteriormente l' argomento ma, ritenendolo utile, sono proposti alcuni esercizi: = 3 = ) S [ Φ ] ) S ( 0, ), ( 3, ) = = = = 3) S [ (, ) ] ) S (, ) ; (, ) = = + = 9 = + 3 5) S 0, 3 ; 5,9 5 ) 3 = + = ( ) ( ) S [ Φ ] mathemclub.wordpress.org -I.Savoia,Sistemi ed interpretazione grafica,p.8\8-03.0