Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite. Supponiamo che f ammetta limite l R per x x 0. Allora f non ha altri limiti per x x 0.

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Paola Santi
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1 Teoremi sui iti Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l R per 0. Allora f non ha altri iti per 0. (Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 9) Teorema di permanenza del segno. Supponiamo che f ammetta ite l R per 0. Se l > 0, allora esiste un intorno I( 0 ) del punto 0, tale che f() > 0 per ogni I( 0 ) \ { 0 }. (Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 93) Teoremi sui iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.1/17

2 Primo Teorema del confronto. Supponiamo che f ammetta ite l R per 0 e la funzione g ammetta ite m R per 0. Se esiste un intorno I( 0 ) di 0 tale che f() g() per ogni I( 0 ) \ { 0 }, allora l m. (Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 94) Teoremi sui iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p./17

3 Secondo Teorema del confronto Siano date tre funzioni: f, g e h e supponiamo che esistano e siano uguali i iti f() = h() = l. Se esiste un intorno I( 0 ) in cui siano definite le tre funzioni, tranne al piú nel punto 0, tale che f() g() h() I( 0 ) \ { 0 }, allora si ha g() = l. (Dimostrazione: appunti della lezione o libro pag. 95) PSfrag replacements y h() g() l 0 f() Teoremi sui iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.3/17

4 Dim. y ments 1 Limite fondamentale 0 sin() P T = 1 Lavoro con 0, osservo che f() = sin() è pari. Se l angolo P OA = allora l arco lungo, e A( OP A) =. AP è 0 O H A = sin() Infatti AP : πr = : π, AP = r = ; A( OP A) : πr = : π, A( OP A) = A( P OA) = P H OA, A( T OA) = T A OA A( P OA) A( OP A) A( T OA) ovvero sin() tan() = tan(). e Teoremi sui iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.4/17

5 Moltiplicando sin() tan() per sin() si ha e invertendo il tutto: 1 sin() 1 cos() cos() sin() 1. Per il secondo teorema del confronto, facendo tendere a 0: cos() = 1, 0 Se poniamo = 1 n abbiamo: 1 = 1 e quindi 0 0 sin() = 1. n sin(1/n) = n n sin(1/n) 1/n = 0 sin() = 1 Teoremi sui iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.5/17

6 Funzioni itate Def. Una funzione f è itata in un intorno I( 0 ) del punto 0 se esiste una costante C > 0 tale che f() C, I( 0 ) \ { 0 }. Corollario al II thm del confronto Sia f una funzione itata in un intorno di 0 e sia g una funzione tale che g() = 0. Allora si ha f()g() = 0. (Dimostrazione: appunti o libro a pag. 97). Es. + sin(). f() = sin() è itata: sin() 1 e g() = 1 è tale che g() = 0. Allora + + sin() = 0. Teoremi sui iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.6/17

7 Corollario al II thm del confronto per successioni Sia a n una successione itata e sia b n una successione infintesima. Allora la successione a n b n è infinitesima. sin(n) Es. n n inifinitesima. = 0 poiché a n = sin(n) è itata e b n = 1 n è Teoremi sui iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.7/17

8 Algebra dei iti Teorema. Se f() = l R e g() = m R, allora, quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha (f() + g()) = f() + g() = l + m (f() g()) = f() g() = l m (f() g()) = ( f()) ( g()) = l m f() f() g() = g() = l (g() 0, I( 0 ) \ { 0 }) m Corollario. Siano f e g due funzioni continue in 0 R. Allora sono continue in 0 anche le funzioni f() ± g(), f() g() e f() g() (quest ultima a patto che g( 0 ) 0.) Algebra dei iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.8/17

9 Operazioni elementari tra funzioni Date due funzioni f() e g() definisco: la somma: (f + g)() := f() + g() la differenza: (f g)() := f() g() il prodotto: (fg)() := f()g() la divisione: (f/g)() := f()/g() a patto che g() 0 Attenzione: (fg)() e f(g()) sono due cose diverse. (fg)() è un prodotto di funzioni, f(g()) è una composizione di funzioni: f() = cos(), g() = e. (fg)() = cos() e, f(g()) = cos(e ). La posizione delle parentesi NON e casuale Algebra dei iti Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.9/17

10 Teorema di sostituzione. Supponiamo che esista f() = l R. Sia g una funzione definita in un intorno di l (tranne al piú nel punto l) tale che: 1) se l R, allora g sia continua in l, ) se l = + o l =, allora esista y l g(y). Allora esiste (g f)() e si ha Es.. e 1 + f() = 1 e + g(y) = e y e g(f()) = g(y). y l 1 y ey = 0. Allora = (= l). e 1 = + y ey = 0. Teorema di sostituzione Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.10/17

11 Es. 0 sin( ). sin( ) ovvero: sin( ) = sin(f()) f() = g(f()) dove g(y) = con f() =. sin(y) se y 0 y 1 se y = 0. Poichè 0 f() = 0 = 0, e g è continua (su tutto R ed in particolare, anche su in y = 0), si ha 0 sin( ) = y 0 sin(y) y = 1. Teorema di sostituzione Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.11/17

12 Dal teorema precedente discende il Corollario. Sia f una funzione definita e continua in un intorno di 0 e sia y 0 = f( 0 ). Sia poi g una funzione definita e continua in un intorno di y 0, allora anche g f è continua in 0. Dim. Dobbiamo dimostrare che (g f)() = (g f)( 0 ) Se f è continua in 0 si ha f() = l = f( 0 ) = y 0. Inoltre y = f(). Quindi: (g f)() = g(f()) = y l g(y) = y y 0 g(y) = g(y 0 ) = g(f( 0 )) = (g f)( 0 ). Teorema di sostituzione Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.1/17

13 Altri iti fondamentali 1 cos 1) 0 = 1 ) ± ( ) = e 3) 0 log(1 + ) = 1 4) 0 e 1 = 1... pag Teorema di sostituzione Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.13/17

14 Una applicazione del teorema di sostituzione Si vuole calcolare f() g(). Si utilizza l identità (già utilizzata per le successioni) (f()) g() = e log(f())g() = e g() log f() Quindi: f() g() = ep(g() log f()) = ep ( ) (g() log f()). Es. Calcolare 0 + = ( = ep ( log ) = ep ( log ) ) = e 0 = 1. Si ricorda che 0 +( log ) = 0 Teorema di sostituzione Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.14/17

15 Analogamente per le successioni: (a n ) b n = e log(a n) b n = e b n log a n Notazione: ep(n) = e n n 1/n = ep ( log n 1/n) = ep ( ) 1 n log n ( ) log n = ep n Quindi ( ) log n n n1/n = ep n n ( = ep n log n n ) = e 0 = 1 Teorema di sostituzione Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.15/17

16 Esercizi n n = n n n n + 3 n = n 7n + n n + sin(n!) n n n! (n + ) n (n + 1)! = n n n+1 + 7n! (n + ) n (7n + sin(n)) = n n 1/n 1 n log(n + 7) = Teorema di sostituzione Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.16/17

17 Riferimenti bibliografici: Canuto-Tabacco: Sezioni 4.1, 4. pagg Esercizi: pag Teorema di sostituzione Cap4a.pdf c Paola Gervasio - Analisi Matematica A 006/007 - p.17/17

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