Argomento 1 Soluzioni degli esercizi

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1 Argomento Soluzioni degli esercizi SUGGERIMENTI ESERCIZIO.8 L esercizio si risolve più facilmente tracciando il grafico della funzione, che coincide nell intervallo (, ] con un arco di parabola, nell intervallo (, ] conunsegmentodi retta, nell intervallo (, + ) con un arco di iperbole equilatera. ESERCIZIO. I denominatori devono essere 6= ; le espressioni sotto radice quadrata devono essere ; se nella funzione ci sono due frazioni, entrambe devono essere definite e quindi i due denominatori devono essere contemporaneamente 6=. ESERCIZIO. Tracciare i grafici. Per provare che f (x) nonè iniettiva si può anche cercare un numero reale k tale che l equazione f (x) =k abbia più di una soluzione. Ad esempio si ha x + x =perx =eperx = : quindi... SOLUZIONI Sol. Ex = = = = = 5 5. Sol. Ex.. Posto a = + 6 e b = + 7,risultaa<b poiché a<b + 6 < < < < 7.

2 Sol. Ex.. Confrontando via via le cifre delle rappresentazioni decimali, a partire da quelle più a sinistra.7 <.6 <.6 < π =.59...< <.95 <.95 <.998 <. <. < =.... Sol. Ex.. A = {x R tali che <x 5} =(, 5] B = {x R tali che x< oppure <x<} =[, ) (, ) C = ½x R tali che 7 ¾ x< oppure x> = 7, (, + ) D = ½ x R tali che x oppure x< 8 ¾ =(, ], 8. Sol. Ex..5 A =(, 5] è superiormente e inferiormente limitato (e quindi limitato); inf A =, sup A = max A =5;inveceA non ha minimo, poiché infa = nonstaina. B =[, ) (, ) è superiormente e inferiormente limitato (e quindi limitato); inf B = min B =, sup B = ; invece B non ha massimo, poiché supb =nonstainb. C = 7, (, + )è inferiormente limitato, ma non superiormente limitato (e quindi non è limitato); inf C =minc = 7 ; C non può avere massimo, essendo superiormente illimitato (sup C =+ ). D =(, ], 8 è superiormente limitato, ma non inferiormente limitato (e quindi non èlimitato);supd = 8 ; D non ha massimo, poiché supd = 8 avere minimo, essendo inferiormente illimitato (inf D = ). non sta in D e non può Sol. Ex..6 A = µ, (, + ) = ½x R tali che ¾ <x oppure x> B =, (, 5] = ½x R tali che ¾ x< oppure <x 5 C = {} (, 5] = {x R tali che <x 5 oppure x =}.

3 Sol. Ex..7 A = µ, (, + ) è inferiormente limitato, ma non superiormente limitato (e quindi non è limitato); inf A = ; A non ha minimo, poiché infa = non sta in A non può avere massimo, essendo superiormente illimitato (sup A = + ). B =, (, 5] è superiormente e inferiormente limitato (e quindi limitato); inf B = min B =,supb =maxb =5. C = {} (, 5] è superiormente e inferiormente limitato (e quindi limitato); inf C =minc =, sup C =maxc =5. Sol. Ex..8 I primi cinque elementi di A = ½ n n ¾ : n =,,,... sono: =, =, =, = 5, 5 = 7. IngeneraleunelementodiA si può riscrivere come 5 e quindi, al crescere di n, diventasempre più grande pur restando <. Dunque: A n è superiormente e inferiormente limitato (e quindi limitato) e inf A =mina = ; sup A = poiché nessun numero più piccolo di è maggiore di tutti gli elementi di A,manonappartiene ad A equindia non ha massimo. ½ ¾ I primi cinque elementi di B = n : n =,,,... sono: =, n =, = 8, = 5, 5 5= 5. Al crescere di n l elemento n n èsemprepiù vicino a n equindib non è inferiormente limitato (inf B = ); invece B è superiormente limitato e sup B =maxb =. ½ µ n + I primi cinque elementi di C = ( ) n n, ( ) µ + =,( ) µ + = 5,( ) ¾ : n =,,,... µ + In generale un elemento di C si può riscriverecome( ) n sono: ( ) µ =,( )5 µ + n µ = = 7 5. equindi:pervalori dispari di n si hanno numeri negativi ma sempre che si avvicinano sempre più a ; per valori pari di n si hanno numeri positivi ma sempre che si avvicinano sempre più a. Dunque C è superiormente e inferiormente limitat o (e quindi limitato) e inf C =minc = ; sup C =maxc =.

4 Sol. Ex..9 Il generico elemento + n di A, alcresceredin, diventa sempre più piccolo pur restando >. Dunque: A è superiormente e inferiormente limitato e sup A =maxa = ;infa = poiché nessun numero più grandedi èminoredituttiglielementidia, ma non appartiene ad A equindia non ha minimo. Il generico elemento n n + = di B, alcresceredin, diventa sempre più grande n + pur restando <. Dunque: B è superiormente e inferiormente limitato e inf B =minb = ;supb = poiché nessun numero più piccolo di è maggiore di tutti gli elementi di B, ma non appartiene a B equindib non ha massimo. I primi elementi di C = ½n + n ¾ : n =,,,... sono: c =+=,c =+ = 7, c =+ =>c, c =+ >c, c 5 =5+ 5 >c ecc. e quindi non c è nessun elemento di C minore di c.alcresceredinil generico elemento n + èsemprepiù vicino a n e n quindi C non è superiormente limitato (sup C =+ ); invece C è inferiormente limitato e inf C =minc = 7. Sol. Ex.. sup A = =;infa =. Infatti il generico elemento n = di A, alcrescere n di n, diventa sempre più piccolo ma resta >. Sol. Ex.. a) f () = +=. b). c) 9. Sol. Ex.. a) f ( ) = ( ) + ( ) = : quindi (, ) non appartiene al grafico. Anche il punto in b) non appartiene al grafico, mentre quelli in c), d) appartengono al grafico.

5 Sol. Ex.. I disegni (A) e (C) possono rappresentare il grafico di una funzione poiché comunque si prenda a in [, ] c è (uno e) un solo punto del grafico che ha ascissa a. Invece: neldisegno(b)ognirettadiequazionex = a con a (, ] interseca il grafico in due punti distinti; nel disegno (D) ogni retta di equazione x = a con a (, ) interseca il grafico in due punti distinti; nel disegno (E) le rette di equazione x =, x =,x = hanno in comune con il grafico infiniti punti. Quindi (B), (D) ed (E) non rappresentano grafici di funzioni. Sol. Ex.. a) f () =. b) Contando le intersezioni del grafico con y =, si vede che i punti in cui f (x) =f () sono. Sol. Ex..5 a) Sì: risolvendo l equazione di o grado x x = sitrovanoinumerirealix =ex =. b) Sì: x =. c) No: l equazione di o grado x x = non ha soluzioni reali. Sol. Ex..6 a) x =, x =, x =. b) No. Sol. Ex..7 Notare che la funzione èdefinita per x 6=. a) Sì: risolvendo l equazione x x + = si trovano i due numeri reali x =ex =,cioèilvalore viene assunto due volte. b) No: dove la funzione èdefinita, l equazione x x + =equivaleax +x +=chenonha soluzioni reali. c) Sì: risolvendo l equazione x x + = 8 9, si trovano i due numeri reali x =ex = 9,cioèil valore viene assunto due volte. d) Sì: risolvendo l equazione x =, si trovano i due numeri reali x =ex =, cioè ilvalore x + viene assunto due volte. e) No: dove la funzione èdefinita, l equazione x x + = 5 equivale a x +x +=chenon ha soluzioni reali. 5

6 Sol. Ex..8 La funzione ha il seguente grafico: - - Visto che le rette y =, y =, y =,y = 9, y =hannoconilgrafico rispettivamente,,, nessuna e intersezione, 9 il valore: viene assunto: volta volte volte mai volta Si sconsiglia di risolvere l esercizio attraverso le equazioni (come fatto nel esercizio precedente), poiché sivaincontroaunacasisticadelicataenoiosa,cheriportiamoinnota,soloperpermettere a chi avesse seguito questa via di verificare la correttezza dei passaggi fatti (). ) Innanzitutto osservare che nell intervallo (, ] si ha f (x) nell intervallo (, ] si ha <f(x) nell intervallo (, + ) sihaf (x) > 5. Quindi a) il valore negativo può essere assunto solo nell intervallo (, ]. Risolvendo l equazione x x = si trova una sola soluzione appartenente all intervallo: x = ; quindi il valore viene assunto una volta; b) il valore può essere assunto nell intervallo (, ], ma anche nell intervallo (, ]. Risolvendo l equazione x x = si trovano due soluzioni appartenenti all intervallo (, ]: x = e x = + ;risolvendo l equazione x = si trova una soluzione appartenente all intervallo (, ]: x = ; quindi il valore viene assunto volte; c) il valore può essere assunto nell intervallo (, ], ma anche nell intervallo (, ]. Risolvendo l equazione x x = si trovano una soluzione appartenenti all intervallo (, ]: x = ; risolvendo l equazione x =si trova una soluzione appartenente all intervallo (, ]: x = ; quindi il valore viene assunto volte; d) il valore 9 non è assunto in alcun intervallo; e) il valore può essere assunto solo nell intervallo (, + ). Risolvendo l equazione 5 + x =,sitrovauna sola soluzione appartenente all intervallo: x = ; quindi il valore viene assunto una volta. 6

7 Sol. Ex..9 s ( ) + a) Sostituendo si trova : radicando negativo, quindi f (x) nonèdefinita in x =. ( ) b) f (x) èdefinita in x =evale 8. s c) Sostituendo si trova d) f (x) èdefinita in x = evale. () + : denominatore nullo, quindi f (x) nonèdefinita in x =. () Sol. Ex.. C): ildenominatoreè equindièsempre6=. Sol. Ex.. a) R b) (, ) (, ) (, + ) c) R d) (, ) (, + ) e) (, ) (, ) (, + ) f) R g) (, ) (, + ) h) (, ) (, ) (, ) (, ) (, + ). Sol. Ex.. b, d, f sono grafici di funzioni iniettive. a, c, e sono grafici di funzioni non iniettive. Sol. Ex.. a, c, d, f sono funzioni iniettive. Sol. Ex.. B) Sol. Ex..5 C) Sol. Ex..6 µ x (g f)(x) = x + = x (x ) (x ). Definita in:,, +. Sol. Ex..7 q (g f)(x) = ( p x) = x. Insieme di definizione: {}. ³ (f g)(x) = r x = x Insieme di definizione: [, + ). (f f)(x) = p ( x). Insieme di definizione: {}. (g g)(x) =r ³ x = x 9. Insieme di definizione: [, + ). 7

8 Sol. Ex..8 (g f)(x) = (x ) + =. Insieme di definizione: (, ) (, + ). x µ (f g)(x) = = x +x +x 7 x + (x +). Definita in: (, ) (, + ). (f f)(x) =(x ) =x 9 x 6 +x. Definita in: R. (g g)(x) = x+ : questa funzione èdefinita in (, ) (, ) (, + ), poiché il + suo denominatore deve essere definito, oltre ad essere 6=. La funzione, x +, che si ottiene x + semplificando è invece definita in x = : quindi non coincide con (g g)(x). Sol. Ex..9 (g f) (x) = 5+ = e (f g)(x) =5. Piùingenerale,sef (x) è una funzione costante e g : R R una qualunque altra funzione, le funzioni g f e f g sono costanti. Sol. Ex.. a) (g f)()=g ( 5 + )=g() = = 99. b) (f g)()=f ( )=f( ) = =. ( ) 5 (x 5 x + x ) se x µ c) (g f)(x) = se x< x = d) (f g)(x) = = x +x 8 x 7 x 6 +x 5 x se x x x + (x ) se x<. ( x ) 5 ( x ) +( x ) se x ( x ) se x < x ( x ) ( x + x ) se x +x se x< ox>. Sol. Ex.. f (x) =f ( x) se e solo se x x =( x) ( x), cioè ( x) x [( x) x] =, cioè per x =eperx =. Sol. Ex.. f (x) =f ( x) + se e solo se x x =( x) ( x) + cioè x x = x + x, cioè per nessun valore di x. 8

9 Sol. Ex.. f ( x) =f ( + x) se e solo se ( x) 6( x) =(+x) 6(+x), cioè perogni x reale. Sol. Ex.. a) f (x) =x siscomponecosì: x () x () x b) f (x) = x si scompone così: x () x () x c) f (x) = d) f (x) = / () x (x ) si scompone così: x () x () (x ) / () x +x si scompone così: (x ) x () +() x +x () x +x / () x +x e) f (x) = x si scompone così: f) f (x) = x si scompone così: x () x +() x p () x g) f (x) = x () x +() x x x + x () () x x r h) f (x) = x x + si scompone così: p () x () x p () x x ()+ x x + si scompone così: x () () x x ()+ x x + / () x x + / () () / () x x + x x + x () p () x x + r x x + Sol. Ex (a) (b) (c) (d) 9

10 Sol. Ex..6 Gli insiemi di definizione richiesti si leggono sui grafici (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Sol. Ex f (x) =x x f ( x) =x +x f (x) =x x

11 f ( x) = x x f ( x ) =x x f (x) = x x Sol. Ex..8 C): infatti risolvendo y = x come equazione in x si trova (y ) x =, e quindi f (y) = x x = ; ora basta cambiare in x il nome della variabile indipendente. y Sol. Ex..9 Risolvendo y = + x come equazione in x si trova x (y ) =, e quindi f (y) = x = (y ) ;cambiandoinx il nome della variabile indipendente: f (x) = (x ).Ilsuoinsieme di definizione è(, ) (, + ). Sol. Ex.. Risolvendo y = x come equazione in x si trova x (y ) =, e quindi f (y) =x = y ; cambiando in x il nome della variabile indipendente: f (x) = x.ilsuoinsiemedidefinizione è(, ) (, + ). Sol. Ex.. B) Sol. Ex.. La funzione data, f, definita in [, 7],hainversa,poichéè monotona strettamente decrescente. Il grafico di f è rappresentato con il tratto più spesso. 6 6

12 Sol. Ex.. a) f èdefinita in [, ] [, ]; b) f è crescente in [, ]; c) f è decrescente in ciascuno dei due intervalli [, ] e [, ]; d) f èconcavain(, ); e) f è convessa in (, ); f) f ha massimo M nel suo insieme di definizione: M =. Il punto di massimo è x = ; g) f ha minimo m nel suo insieme di definizione: m = /. Il punto di minimo è x =. Sol. Ex.. a) f èdefinita in [, ] (, ] = [, ]; b) f è crescente in [, ]; c) f è decrescente in ciascuno dei due intervalli [, ] e (, ]. Notare che non è decrescente su [, ]. d) f èconcavain(, ); e) f è convessa in (, ); f) f non ha massimo M nel suo insieme di definizione, poiché supf =+ ; g) f ha minimo m nel suo insieme di definizione: m = /. Il punto di minimo è x =. Sol. Ex..5 Corrette: (A) e (D). False: (B) e (C): entrambi gli intervalli contengono l intervallo (, ) in cui si verifica un cambio di concavità. Sol. Ex..6 A) vera; B) falsa: f è decrescente in ciascuno dei due intervalli (, ) e (, ) ma non sulla loro unione (ad esempio: f ( 5/) < <f()); C) vera: (, ) è contenuto in (, ), insieme su cui abbiamo già detto che la funzione è crescente; D) falsa: f assume lo stesso valore in corrispondenza a valori diversi della variabile indipendente (ad esempio: f ( ) = f ( )) e quindi non èiniettiva; E) vera: in (, ) la funzione è monotona strettamente crescente; F) falsa: f è limitata, ma il suo valore massimo è; G) vera.

13 Sol. Ex..7 Le soluzioni sono riportate, sulle tre figure, con il tratto (o il punto) più spesso x tali che f (x) = x tali che f (x) > x tali che f (x) <