Affinità parte seconda Pagina 8 di 5 easy matematica di Adolfo Scimone

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1 Affinità arte seconda agina 8 di 5 easy matematica di Adolfo Scimone Omotetia Definizione 1 - Si chiama omotetia di centro x ( 0, y0 ) ogni trasformazione biunivoca del iano in se in cui due unti corrisondenti sono allineati con il centro e alla retta Q corrisonde una retta arallela Q' e tale che sia uguale a k 0 il raorto tra i segmenti orientati e. La trasformazione associa uindi ad ogni unto ( x, y) il unto ( x', y') allineato con, tale che sia k il raorto fra i segmenti orientati k = 2 y' 2 y 2 y x 0 x X er il Teorema di Talete, si ha x x0 y y0 = = k x' x0 y' y0 er cui si ha x0 = k( x x0) y0 = k( y y0) e uindi = kx+ x0( 1 k) = ky+ y0( 1 k) (1) con det A = k 0 0 k = k 2

2 Affinità arte seconda agina 9 di 5 easy matematica di Adolfo Scimone Il unto x ( 0, y0 ) è il unto unito della trasformazione e si chiama centro dell'omotetia ; ogni retta assante er viene trasformata in se stessa : è erciò una retta unita. Dicesi affinità omologica ogni affinità avente una retta luogo di unti fissi (asse) tale che le congiungenti unti corrisondenti sono tra loro arallele (direzione) e rette corrisondenti si intersecano sull asse. L affinità omologica si dirà ortogonale se la sua direzione è erendicolare all asse. Teorema - Ogni omotetia è una similitudine di raorto k ; se k > 1 si ha una dilatazione ; se 0 < k < 1 si ha una contrazione se k = 1 si ha l'identità se k = -1 si ha la simmetria centrale di centro. Si dimostra che il raorto fra le aree di due figure corrisondenti F e F' è uguale al uadrato della costante di omotetia. Definizione 2 - L'omotetia (1) si dice concorde se k R + Essa trasforma un segmento Q nel segmento Q' arallelo ed euiverso al rimo. Q Q' Definizione 3 - L'omotetia (1) si dice discorde o inversa se k R Essa trasforma un segmento Q nel segmento Q' arallelo e di verso oosto a Q Q Q'

3 Affinità arte seconda agina 10 di 5 easy matematica di Adolfo Scimone Se il centro dell'omotetia è l'origine, la trasformazione ha euazioni = kx = ky (2) che trasformano un unto ( x, y) nel unto ( kx, ky) e ai unti (1, 0) e (0, 1) corrisondono i unti (k, 0) e (0, k ) er cui le (2) raresentano un cambiamento di unità di misura er i segmenti del iano se k è ositivo, ; se k è negativo raresentano anche un cambiamento del senso ositivo degli assi del sistema. Rotomotetie Definizione 4 - Si chiama rotomotetia di centro O, di angolo α e costante k 0, la trasformazione del iano in se di euazioni = k( xcosα ysen α) = k( xsenα + ycos α) (3) Se k = 1 si ha una rotazione di amiezza α, mentre se α = 0 non si ha un'omotetia. La (3) si uò ensare uindi come la trasformazione che muta un segmento Q nel segmento corrisondente Q' che risetto al rimo risulta ruotato di un angolo α e k volte dilatato. Teorema - Ogni similitudine di centro O è una rotomotetia, o in articolare una omotetia o una rotazione. Sia data una similitudine concorde = a11x 12 y = a12x+ a11y Essendo a11 + a12 = k ossiamo orre a = 11 k cosα a = ksenα 12 er cui si ha = kxcosα kysenα = kxsenα + kycosα ottenendo la (3). Si dimostra che una rotomotetia roria ha un solo unto unito, detto centro e nessuna retta unita.

4 Affinità arte seconda agina 11 di 5 easy matematica di Adolfo Scimone ISOMETRIE Definizione 1 - Si chiama isometria una trasformazione del iano in sé che conserva le distanze, ossia se Q' è il segmento corrisondente di Q nella trasformazione, si ha d(, Q) = d(, Q'), Q R 2 er cui un'isometria è una articolare similitudine di raorto k = 1, erciò un'isometria conserva anche gli angoli ed è individuata dalle euazioni = a11x a12 y+ = a12x+ a11y+ = xcosα ysenα + o = xsenα + ycosα + con det A = 1, detta anche isometria diretta o concorde, o congruenza. Le congruenze conservano gli orientamenti delle figure, sono, cioè trasformazioni concordi. Oure: = a11x+ a12 y+ = a12x a11y+ = xcosα + ysenα + o = xsenα ycosα + con det A = - 1, detta anche isometria inversa o indiretta o discorde. Osservazione Se una isometria concorde non è una traslazione, né una simmetria centrale sarà una rotazione il cui centro (unto unito) si trova sugli assi dei segmenti AA e BB Una isometria discorde è una simmetria ortogonale se i vettori AA ' e BB ' sono aralleli: AA ' // BB ' Una isometria discorde, se non è una simmetria ortogonale sarà il rodotto di una simmetria ortogonale er una traslazione o rotazione. Si osservi che affinchè una affinità sia un isometria, la matrice della trasformazione deve essere ortogonale, ossia t t A A= A A = I n L insieme delle isometrie di uno sazio E è un gruo risetto al rodotto. La geometria che esso definisce è la geometria metrica. Le isometrie, ovvero uelle articolari trasformazioni biunivoche del iano in sé che conservano le distanze e gli angoli, si classificano in 1) identità 2) traslazioni 3) rotazioni 4) rototraslazioni 5) simmetrie centrali e assiali

5 Affinità arte seconda agina 12 di 5 easy matematica di Adolfo Scimone 1) Identità L'dentità ha euazioni = x = y nell'identità tutti i unti sono uniti. 2) Traslazione Dicesi traslazione ogni isometria diretta nella uale se A' e B' sono i corrisondenti di due unti ualsiasi A e B, risettivamente si ha d( A, A') = d( B, B') le euazioni sono ertanto = x+ = y+ Nella traslazione, che non sia l'identità, non vi sono unti uniti. 3) Rotazione Si dice rotazione di un iano, di centro un unto O e di amiezza un angolo α, la corrisondenza che ad O associa O stesso e ad ogni unto R 2 associa R 2 tale che do (, ) = do (, ') e l'angolo orientato O sia congruente e concorde ad α. Le euazioni della rotazione attorno all'origine sono = xcosα ysenα rotazione diretta = xsenα + ycosα oure = xcosα + ysenα rotazione inversa = xsenα ycosα Nella rotazione il unto O è unto unito. Se α = π si ha la simmetria risetto ad O(0, 0) di euazioni = x = y Se α = 0 si ha x = x' e y = y' che raresentano la trasformazione identica I, in cui ogni unto del iano è unto unito. Una rotazione di centro ( x, y ) ed amiezza α ha euazioni: x = ( x x )cosα ( y y )senα ϕ: y = ( x x )senα+ ( y y ) cosα