Metodi Matematici II A. A Esercizi di Matematica Finanziaria

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1 Metodi Matematici II A. A Esercizi di Matematica Finanziaria a cura di Gianluca Fusai e Giovanni Longo SEMEQ - Università del Piemonte Orientale October 24, 2006 Esercizio Dato un tasso bimestrale del 5%, determinare gli equivalenti tassi mensile, semestrale, biennale ed annuale in regime di interesse semplice Esercizio 2 Dato un capitale pari a 00 ed un tasso semplice annuo del 5%, determinare il numero di anni necessario a nché il capitale raddoppi. Esercizio 3 Dato un capitale pari a 00 e i = 5%,determinare gli interessi maturati tra il quarto e il quinto anno di investimento (in regime di interesse semplice). Esercizio 4 Si supponga di aver fatto un investimento di durata complessiva 9 mesi. Sui primi tre mesi l investimento promette un tasso semplice mensile del 2%. Sul quarto e quinto mese un tasso del 4% semplice mensile. Sui rimanenti mesi un tasso semplice mensile del 5%. Determinare, sapendo che il capitale iniziale è di 00 milioni, il montante nale in regime di interesse semplice. Determinare il tasso medio mensile. Determinare il tasso medio annuo. Esercizio 5 Si supponga di aver fatto un investimento di durata 3 anni. Il primo anno i= 5%, il secondo anno i = 0% e nel terzo anno i = 6% Determinare, sapendo che il capitale iniziale è di 00 milioni, il montante nale in regime di interesse semplice. Quale il montante dopo 3 anni? Determinare il tasso medio. Determinare il montante dopo 2 anni utilizzando il tasso medio del 7% e i tre tassi variabili. Esercizio 6 Acquistiamo oggi un BOT al prezzo di 95 e con vita residua 3 mesi (90gg). All emissione il BOT aveva prezzo pari a 94 e durata 6 mesi. All acquisto paghiamo una commissione dello 0.2% sul prezzo d acquisto. L imposta è

2 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 2 pari al 2.5%. Tra 2 mesi (60 gg) lo rivendiamo. Prezzo di vendita 97. Su questo la banca trattiene una commissione dello 0.2%. Determinare il rendimento lordo e al netto delle tasse e delle commissioni dell operazione, nel caso di regime di interesse semplice. Ripetere nel caso di regime di interesse composto. Esercizio 7 Dato un tasso d interesse semestrale del 5% e rate di milione da versarsi trimestralmente, determinare il numero di anni necessario per ottenere un montante non inferiore a 20 milioni, assumendo un regime di interesse semplice. Esercizio 8 Una società di gestione promette di restituire 500E in 5 anni, e ettuando versamenti trimestrali di E 20. Determinare il tasso di rendimento dell operazione (in regime di interesse semplice). Esercizio 9 Si supponga di investire milione per 5 anni. Calcolare il tasso medio in regime di interesse composto, sapendo che nel corso del primo anno il tasso d interesse annuo è del 2% e poi cresce di un punto percentuale ogni anno. Esercizio 0 Si supponga di investire un capitale di milione. I tassi annui applicati sono i seguenti: anno: i = 5% 2 anno: i = 4% 3 anno: i = 6% Determinare il montante dopo 2.5 anni nei tre casi di capitalizzazione semplice, composta e composta con convenzione lineare. Determinare il tasso d interesse medio se t = 2.5 ed è prevista la capitalizzazione annua degli interessi. Esercizio Determinare il rendimento di un operazione in $ supponendo di aver investito oggi 00 milioni di euro, che il tasso di cambio corrente è pari a euro/dollaro. Si supponga inoltre che il tasso di cambio dopo due anni è pari a.05 euro/dollaro e che il tasso di interesse sulla valuta straniera sia pari al 3%. Esercizio 2 Dato un tasso di rendimento delle operazioni in euro del 3%, un tasso di rendimento delle operazioni in dollari del 5%: determinare il tasso atteso di svalutazione che rende indi erente fare l investimento in lire o quello in dollari. dato che il tasso di cambio corrente è pari a Euro/dollaro e dato che si realizzerà esattamente quel tasso di svalutazione atteso, calcolare il tasso di cambio tra 3 anni.

3 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 3 Esercizio 3 Dato un tasso d interesse bimestrale pari al 3%, determinare il tasso d interesse trimestrale, (regime di interesse composto) Esercizio 4 Una banca preleva da un conto corrente la somma di con valuta 3//200. Restituirà in data 30/3/200 la somma di Determinare il tasso d interesse semplice e composto su base annua utilizzando sia la convenzione dell anno civile e quella dell anno commerciale. Esercizio 5 Una banca propone un investimento di che garantisce dopo 5 anni il capitale incrementato di Data una ritenuta scale del 2.5%, la banca dichiara un rendimento netto dell operazione del 0.28% e un rendimento lordo dell.75%. Determinare il regime nanziario utilizzato dalla banca Esercizio 6 Determinare il valore attuale in regime di sconto composto di una rendita annua posticipata di durata 3 anni con rate pari a 5 milioni e costo opportunità del 0%. Scambiereste la rendita con 2 milioni alla data iniziale? Come cambierebbe il valore attuale della rendita se le rate fossero anticipate? Esercizio 7 Dato d=5% annuo in regime di sconto commerciale, determinare il tasso di sconto mensile nello stesso regime. Esercizio 8 In regime di sconto commerciale, calcolare il valore attuale di un operazione di nominale pari a 500 e durata,5 anni dato che: in un primo periodo di lunghezza 0,5 anni è praticato un tasso annuo di sconto del 9% in un second periodo di lunghezza anno è praticato un tasso annuo di sconto del 0% Determinare inoltre il tasso di sconto medio. Esercizio 9 In regime di sconto commerciale determinare il tasso di sconto annuo di nanziamento dato che si intende ripagare un debito di 200E con rate mensili di 0E per 2 anni. Esercizio 20 Un debito di 00 milioni viene ripagato in 3 anni con rate semestrali. Il tasso d interesse annuo è del 0%. Costruire il piano di ammortamento italiano Dopo 2 anni il debito viene rinegoziato: si estingue il vecchio piano di ammortamento e se ne redige uno nuovo che prevede il pagamento del debito in 3 anni con rate annuali e tasso annuo del 2%. Costruire il nuovo piano di ammortamento (amm.to francese)

4 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 4 Esercizio 2 Dato j 2 = 4%, determinare i e i 2. Dato i = 0%, determinare j 4 e i 4. Esercizio 22 Ripeti esercizio 2 in caso di regime di interesse composto e commerciale con un tasso annuo del 5% R. t = ln (2) = ln ( + i) e t = = (2d) = ( + i) = (2i). Se i = 5%; t= (composto) e t = 0:5 anni. Esercizio 23 Dato un nanziamento di 200E al tasso annuo di sconto d = 5%, determinare l importo della rata bimestrale da pagare per i prossimi due anni. Si utilizzi il regime dello sconto commerciale. Quindi si ripeta con il regime dello sconto composto, assumendo che il tasso di interesse annuo composto è pari a 5:2632%: Esercizio 24 Volendo costituire un capitale di 000E con versamenti mensili di 80E per un anno, determinare a quale tasso si dovrebbero investire i versamenti utilizzando un regime di interesse semplice. Esercizio 25 Dato un nanziamento di 5000E lo si può ripagare utilizzando un regime di sconto commerciale in due modi di erenti: a) rate semestrali di 000E per 3 anni; b) rate bimestrali di 500E per 2 anni. Quale tra le due modalità è preferibile? Esercizio 26 Determinare la rata per ripagare un nanziamento di 000E al tasso composto annuo del 7% dato che lo si può ripagare in 5 anni mediante a) rate annuali posticipate b) rate annuali anticipate c) rate bimestrali posticipate Esercizio 27 Un impresa deve scegliere tra due o erte che le consentono di prendere un bene del valore di 8000E in leasing. a) anticipo di 4000E, riscatto pari al 5% del valore del bene, durata 2 anni, canone 7500E annuo: b) anticipo del 50% del valore del bene, riscatto pari al 5% del valore del bene, durata anno, canoni semestrali di 5000E Esercizio 28 Come cambiereste l importo del canone nell opzione b nell esercizio 27 per rendere l impresa indi erente tra le due alternative?

5 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 5 Esercizio 29 Una società propone un piano di accumulo che comporta versamenti mensili di 3E per un anno e prevede la restituzione dopo anno un capitale di 40E. Assumendo l utilizzo del regime di interesse semplice: a) determinare il rendimento di questa operazione e la si confronti con quello derivante dall acquisto di un BOT di vita residua anno al prezzo di sottoscrizione 80. Si e ettui la valutazione al lordo di tasse e commissioni. b) riconsiderare la valutazione al netto delle tasse dato che nell investimento proposto è prevista in via posticipata la tassazione del 2.5% della di erenza tra montante e ammontare delle rate complessivamente versate, mentre nel caso del BOT la tassazione opera in via anticipata. c) tenere conto che al momento dell acquisto del BOT si pagano commissioni pari allo 0.3%. Esercizio 30 Si consideri un nanziamento concesso da una banca per un ammontare di 5000, contro pagamento di quattro rate semestrali posticipate al tasso semestrale del 4%. Le prime tre quote di capitale sono: C = 000; C 2 = 500; C 3 = 200. (a) Ricavare l ultima quota di capitale. (b) Determinare i debiti residui del nanziamento. (c) Costruire il piano d ammortamento Alla ne del primo anno la banca concede un ulteriore nanziamento di 500 con le seguenti modalità di rimborso: 6 rate costanti semestrali, tasso semestrale del 4; 25% e penale del 0% da calcolare sul debito residuo. (d) Stabilire l ammontare costante della rata di rimborso. (e) Costruire il nuovo piano d ammortamento. [Risposta. (a) C 4 = 300; (b) D 0 = 5000; D = 4000; D 2 = 2500; D 3 = 300; (c) R = 200; R 2 = 660; R 3 = 300; R 4 = 352; (d) R =] Esercizio 3 Un operazione di nanziamento presenta i seguenti movimenti (annui) di cassa: Date Flussi R (a) Ricavare R in modo che il tasso interno di rendimento per il nanziamento sia 0%. (b) Determinare la sequenza dei debiti residui utilizzando la nota relazione di ricorrenza.

6 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 6 (c) Costruire il piano d ammortamento per il nanziamento. Esercizio 32 Un contratto di leasing è caratterizzato dalle seguenti condiizoni: () valore di fornitura 2000; (2) durata di 5 mesi; (3) tasso d interesse contrattuale 0%; (4) anticipo in contanti pari al 0% del valore di fornitura; (5) valore di riscatto pari al 5% del valore di fornitura; (6) quattro canoni trimestrali costanti posticipati. (a) Ricavare il canone di leasing. (b) Costruire il piano di ammortamento nanziario e indicare il credito residuo della società dopo l incasso del secondo canone. (c) Stabilire il monte interessi dell operazione. (d) Calcolare il VAN del contratto di leasing al 7%. [Risposta. (a) 453; 9; (b) D 0 = 800; D = 389; 49; D 2 = 969; 09; D 3 = 5238; 55; D 4 = 97; 63. Il credito residuo richiesto è 969; 09; (c) 5; 64; (d) G(0; 07) ' 34; 9044.] Esercizio 33 Un bene, con prezzo A = 2000, viene venduto a rate contro il pagamento di un anticipo in contanti pari al 0% di A e di quattro rate mensili posticipate. Il tasso di sconto contrattuale è 2% mensile. Determinare le rate del contratto nell ipotesi che siano: (a) costanti; (b) variabili in base al pro lo 0; 5 0; 5 ; 2 : [Risposta. (a) 473,68; (b) R = 593; 28, R 2 = R 3 = 296; 64, R 4 = 7; 94.] Esercizio 34 Le condizioni di una rateazione sono: (a) Valore di fornitura A; (b) Quota in contanti B; (c) 6 rate costanti posticipate quadrimestrali; (d) (t) = dt,con d > 0. Mostrare che d = 6 7 A B R Esercizio 35 Un investimento genera i seguenti movimenti di cassa alle date corrispondenti: Date Flussi

7 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 7 (a) Veri care che il tasso interno di rendimento dell investimento è 2%. (b) Stabilire la convenienza dell investimento ipotizzando che il costo di opportunità del capitale propio sia 0%. L esborso iniziale è coperto per il 60% da un nanziamento bancario con le seguenti caratteristiche: () durata del nanziamento tre anni; (2) rimborso con quote costanti di capitale; (3) tasso passivo di nanziamento 0%. (c) Costruire il piano d ammortamento del nanziamento. (d) Ricavare il usso netto di cassa dei mezzi propri impiegati nell operazione. (e) Sulla base del costo di opportunità del capitale proprio de nito in (b), stabilire attraverso un indice globale la convenienza dell investimento. (f) Mostrare che l indice globale calcolato al punto (e) può ottenersi come somma di due valori attuali netti. [Risposta. (a) G(0; 2) = 0; (b) G(0; 0) > 0; (c) Il piano d ammortamento del nanziamento è: t R t C t I t D t (d) I ussi di capitale proprio sono 2000, 300, 289, 40; (e) (0; 0) =.] Esercizio 36 Si vuole incassare oggi 00 da un cliente che, relativamente ad un suo acquisto presso di noi, intende pagare con una cambiale a 90 giorni (anno commerciale). Se la nostra banca ci pratica un tasso di sconto commerciale del 0% (annuo) quale deve essere l importo della fattura? Risposta:L importo incognito deve soddisfare: x = 00 0:

8 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 8.

9 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 9 Soluzioni esercizi assegnati in classe Esercizio Si ha i 6 = 5%: Ricordando che i = mi m, il tasso annuo è quindi: Il tasso mensile è quindi: i = 6 5% = 30% i 2 = i 2 = 6 i 6 2 = i 6 2 = 5% 2 = 2:5% cioè il tasso mensile è la metà di quello bimestrale. Il tasso semestrale sarà quindi 3 volte il tasso bimestrale: i 2 = 3i 6 = 3 5% = 5% Il tasso biennale sarà pari a 4 volte il tasso semestrale: i 0:5 = 4 i 2 = 4 5% = 60% In generale dati due tassi periodali di periodo m e k rispettivamente si ha: mi m = i = ki k per cui: i m = k m i k che permette di collegare tassi periodali di erenti. Esercizio 2 Si deve trovare t tale per cui: M (t) = 2C Poichè M (t) = Cf (t), e f (t) = + it si ha: da cui risolvendo rispetto a t si ha: C ( + it) = 2C t = 2 i = 0:05 = 20 Esercizio 3 Ricordando che gli interessi sono proporzionali alla durata e al capitale investito, gli interessi maturati sino al 5 anno saranno dati da: I 5 = 0: = 25

10 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 0 Quelli maturati sino al 4 anno saranno dati da: I 4 = 0: = 20 La di erenza da gli interessi maturati tra il quarto e il quinto anno: Esercizio 4 Il montante nale è dato da: da cui: I 5 I 4 = = 5 M = C + 2% C 3 + 4% C 2 + 5% C 4 = C ( + 2% 3 + 4% 2 + 5% 4) = 00 ( + 0:34) = 34 Il tasso medio mensile è tale per cui: M = C ( + { 2 9) 34 = 00 ( + { 2 9) e risolvendo rispetto a { si ha: { 2 = = 3:7778% 9 00 o in modo equivalente: { 2 = 2% 3 + 4% 2 + 5% Il tasso medio annuo sarà quindi dato da: = 34% 9 = 3:7778% { = 2{ 2 = 2 3:7778% = 45:334% Si mostri infatti che usando questo tasso annuo il montante dopo 9 mesi è esattamente 34E. Esercizio 5 Il montante nale è dato da: M = C + 5% C + 0% C + 6% C = C ( + 5% + 0% + 6%) = 00 ( + 0:2) = 2

11 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe Il tasso medio annuo è tale per cui: da cui si ha immediatamente: M = C ( + {3) { = 0:2 3 = 0:07 Il montante dopo 2 anni usando il tasso medio è: Usando i tassi variabili: M (2) = 00 ( + 0:07 2) = 4 M (2) = 00 ( + 5% + 0% ) = 5 che risulta essere diverso da quello calcolato usando { = 7%: Questo tasso medio infatti dava lo stesso montante sui tre anni e non sui due anni. Se il periodo di riferimento fosse 2 anni dovrei calcolare un nuovo tasso medio. Esercizio 6 Acquistiamo oggi un BOT al prezzo di 95 e con vita residua 3 mesi (90gg). All emissione il BOT aveva prezzo pari a 94 e durata 6 mesi. All acquisto paghiamo una commissione dello 0.2% sul prezzo d acquisto e le ritenute scali. L imposta è pari al 2.5%. Tra 2 mesi (60 gg) lo rivendiamo. Prezzo di vendita 97. Su questo la banca trattiene una commissione dello 0.2%. Determinare il rendimento lordo e al netto delle tasse e delle commissioni dell operazione, nel caso di regime di interesse semplice. Ripetere nel caso di regime di interesse composto. Se A è il prezzo di acquisto, N il valore nominale, la durata in anni del BOT, il rendimento semplice lordo è: r = N A : A Per calcolare il rendimento al netto delle tasse, in caso si consideri l acquisto del titolo all emissione, calcoliamo il prezzo di acquisto comprensivo di ritenuta scale sullo scarto d emissione: ~A = A + (N A) ; dove è la ritenuta scale (in Italia = 0; 25). Il rendimento ~r al netto di tasse risulta quindi: ~r = N A ~ ~A : Se invece il titolo si acquista sul mercato secondario, occorre riconoscere al venditore la frazione di imposte che ha pagato all emissione sullo scarto

12 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 2 tra prezzo di emissione e nominale. Per il principio di competenza, va rimborsata al venditore la frazione di tasse riferita alla durata rimanente. In tal caso se RF è la trattenuta scale all emissione: RF = 0:25 (00 94) = 0:75; di questo ammontare occorre restituire al venditore l ammontare IS (imposta sostitutiva): IS = RF vita residua del BOT alla data di acq. sul mkt secondario vita residua del BOT all emissione Si osservi che il Sole 24 h pubblica nella colonna Imposta Sostitutiva esattamente questo importo, che noi non potremmo calcolare senza conoscere il prezzo del BOT all emissione. Il rendimento al netto di tasse risulta quindi: ~r = N (A + IS) : (A + IS) Per calcolare il rendimento al netto di tasse e commissioni, distinguiamo ancora acquisto all emissione e acquisto sul mercato secondario. Nel caso di acquisto all emissione il prezzo di acquisto comprensivo di ritenuta scale e commissione: ^A em = A + (N A) + ca; dove c è la commissione in percentuale sul prezzo d acquisto. Il rendimento al netto di tasse e commissioni risulta quindi: ^r = N ^A em ^A : em Nel caso di acquisto sul mercato secondario il prezzo di acquisto comprensivo di ritenuta scale e commissione: ^A sec = A + IS + ca; dove c è la commissione in percentuale sul prezzo d acquisto (in Italia le commissioni massime sono di erenziate per durata del BOT). Il rendimento al netto di tasse e commissioni risulta quindi: ^r = N ^A sec : ^A sec Valutazione al lordo di tasse e commissioni: r lordo = = 0: e non c è di erenza tra acquisto all emissione ed acquisto sul mercato secondario. Per la valutazione al netto di tasse e commissioni consideriamo la seguente tabella:

13 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 3 tempo Prezzo IS Prezzo+IS Prezzo+IS+Comm (Acq) Prezzo *(00 94) = 0: = : = 94:938 3m 95 0:75 3 0:2 6 = 0: = = 95:565 5m * 6 = 0: = m Il rendimento al netto di tasse e lordo di commissioni è: :25 95:375 = :0 09% 60 95:375 Il rendimento al netto di tasse e di commissioni è r netto = :93 95:565 = 8:576 4% 60 95:565 da cui: Nel caso di regime di interesse composto si avrebbe: r lordo = 95 ( + r lordo ) = il rendimento netto-lordo sarebbe dato da: = 0:335; r netto = : :375 = 0:5 27; ed in ne il rendimento netto-netto: r netto = : :565 = 0:0888: Esercizio 7 Si ricorda la relazione che fornisce il montante di una rendita in regime di interesse semplice: M = nr + i nm 2m dove R è l ammontare annuo delle rate, m il numero di versamenti annui e n il numero di anni, i il tasso annuo. Si ha: m = 4 r = R = m r = 4 i = 2 i 2 = 0% M = 20

14 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 4 Quindi devo trovare n che soddisfa: 20 = n 4 + 0: 4 n 8 da cui: 20 = 3:95n + 0:2n 2 e risolvendo rispetto ad n si ha che l unica soluzione accettabile è n = 4:79, che signi ca che serve e ettuare versamenti almeno per 4 anni ed un trimestre, cioè complessivamente 7 versamenti. Esercizio 8 Sempre con riferimento all esercizio precedente si usa la formula: M = nr + i nm 2m e l incognita sarebbe il tasso. Risolvendo rispetto a i : M 2 m i = n m r n m Sostituendo le diverse grandezze, si ha: i = = 2 = 0: cioè un rendimento semplice del 0.526% annuo. Esercizio 9 Si ricorda che il tasso medio in regime di interesse composto deve dare, alla ne del periodo di investimento, lo stesso montante che si avrebbe utilizzando tassi variabili: ( + {) n = ny s= + i (s) e quindi: Nell esercizio si ha: { = ny s= + i (s)! n i (s) = 0:02 + (s ) 0:0 con s = ; 2; :::; 5 per cui: { = (( + 0:02) ( + 0:03) ( + 0:04) ( + 0:05) ( + 0:06)) 5 = 0:

15 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 5 Esercizio 0 a) Capitalizzazione semplice: I = 0:05 + 0:04 + 0:06 2 = 0:2 M = C + I = :2 Il tasso medio annuo risulta essere: { = 0:05 + 0:04 + 0: = 0:048 b) Capitalizzazione composta: M = ( + 0:05) ( + 0:04) ( + 0:06) 2 = :24 3 Il tasso medio risulta essere: { = ( + 0:05) ( + 0:04) ( + 0:06) 2:5 2 = 0: c) Capitalizzazione composta con convenzione lineare: M = ( + 0:05) ( + 0:04) + 0:06 = : Il tasso medio risolve: ( + {) ( + {) + { 2 = ( + 0:05) ( + 0:04) + 0:06 2 cioè: 5 2 { + 2{2 + 2 {3 + = :24 8 la cui unica soluzione accettabile, trovata per via numerica, fornisce: { = 0:04805 Esercizio Il tasso di svalutazione medio annuo dell euro è dato da: :05 ex = 2 = 0: Il rendimento e ettivo di operazioni in euro deve quindi essere dato da: i eff = r f + ex + r f ex = 0:03 + 0: : :03 = 0:055436

16 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 6 Esercizio 2 Il tasso di svalutazione di equilibrio è ottenibile dalla relazione: r d = r f + ex + r f ex dove r d (r f ) è il tasso domestico (straniero) da cui: r f ex = r d = + r f 0:03 0:05 + 0:05 = 0:0905 e quindi l euro si rivaluterà nei confronti del dollaro. La rivalutazione dovrebbe compensare per il minore rendimento delle operazioni in valuta domestica. Il tasso di cambio Euro/$ tra 3 anni sarà dato da: Esercizio 3 Si deve determinare i 4 : S 3 = S 0 ( 0:0905) 3 = 0:943 93E=$ i 6 = 0:03 > i 4 =? Si richiede che al termine di un investimento di durata un anno i due tassi permettano di conseguire lo stesso montante: e quindi: ( + i 6 ) 6 = ( + i 4 ) 4 i 4 = ( + i 6 ) 6 4 = ( + 0:03) 6 4 = 0: Esercizio 4 I ussi sono descritti dalla seguente tabella: 30==200 30=3=200 > $ $ Regime interesse semplice (anno civile): i = = 0:

17 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 7 Regime interesse composto (anno civile): i = = 0: Regime interesse semplice (anno commerciale): i = = 0: Regime interesse composto (anno civile): i = = 0: Esercizio 5 Se il regime fosse quello semplice, il rendimento lordo sarebbe: r lordo = = 0: e quello netto: r netto = ( 0:25) = 0: cioè la Banca ha usato una legge nanziaria dell interesse semplice. Se avesse usato quella composta: r lordo = = 0: e quello netto: ( 0:25) r netto = = 0: e se ne è guardata bene dal farlo, ma non ha detto che legge stava usando. E pubblicità ingannevole. Esercizio 6 Nel caso di rate posticipate, si utilizza la relazione: A = R a nji dove: a nji = n ( + i) i

18 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 8 Di conseguenza il valore attuale della rendita è dato da: 3 ( + 0:) A = 5 0: = 5 2: = 2: 435 e ovviamente non conviene scambiarla con 2 milioni alla data iniziale. Nel caso di rate anticipate, si utilizza la relazione: A = R a nji dove: a nji = ( + i) a nji = ( + i) n ( + i) i Di conseguenza il valore attuale della rendita è dato da: 3 ( + 0:) A = 5 ( + 0:) 0: = 5:5 2: = 3: 678 e ovviamente non conviene scambiarla con 2 milioni alla data iniziale. Esercizio 7 Si ricorda che d = md m per cui: d 2 = 0:5 2 = 0:025: Esercizio 8 Il tasso di sconto medio in regime di sconto commerciale deve lasciare invariato il valore attuale di un dato importo. Per cui:!! nx nx N d s = N d (s) s e quindi: d = s= s= np d (s) s = np s s= s= 0:5 0:09 + 0: 0:5 + = 0: Esercizio 9 Il valore attuale di una rendita col regime di sconto commerciale è dato da: A = nmr d nm + 2m

19 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 9 dove A = 200, r = 0, m = 2; n = 2 per cui l incognita è il tasso annuo di sconto d : 200 = d da cui: 20 = 24 d25 > d = 4 25 = 0:6 Il corrispondente tasso annuo di interesse è: i = d d = 0:6 0:6 = 0:90476 Esercizio 20 L ammortamento italiano prescrive quote capitali costanti. Avendo complessivamente 6 quote capitali, si ha che l ammontare della singola quota è dato da: C = D = 00 = 6: e il debito residuo ad ogni data è: D t = D t C Le quote interesse possono essere calcolate mediante la ricursione: I t = i 2 D t dove si è utilizzato un tasso semestrale in quanto le rate sono semestrali. In particolare: i 2 = ( + 0:) 2 = 0: In ne le rate saranno date da R t = I t + C t. t C I t R t D t : : :880 9 = 2: :667 = 83: : : 333 = 4: : : = 20: : 333 6:667 = 66: : : 666 = 3: : : = 9: 92 66: 666 6:667 = : = 2: : : = 9: :667 = 33: : : 333 = : :667 + : = 8: : 333 6:667 = 6: : : 666 = 0: : :83 45 = 7: 48 6: 666 6:667 = 0 Dopo 2 anni il debito viene rinegoziato estinguendo il vecchio piano di ammortamento e redigenendone uno nuovo che prevede il pagamento del debito in 3 anni con rate annuali e tasso annuo del 2%. Si ha che il debito

20 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 20 alla ne del secondo anno ammonta a E. La rata dell ammortamento francese deve soddisfare: 33:333 = Ra 3j0:2 da cui: R = 33:333 = 33:333 = 3:878 a 3j0:2 (+0:2) 3 0:2 Lasciamo a voi la costruzione del piano francese. Esercizio 2 In regime di interesse composto, si ha ( + i) = ( + i m ) m = + j m m m per cui, con m = 2: i = + j = + 0: = 0:0404 e: i 2 = j 2 2 = 0:02 Viceversa con i = 0% e con m = 4, si ha: j 4 = m ( + i) m = 4 ( + 0:) 4 = 0: e quindi: i 4 = j 4 4 = 0: = 0:0244: 4 Esercizio 22 a) Interesse composto: si deve trovare t tale per cui: M (t) = 2C Poichè M (t) = Cf (t), e f (t) = ( + i) t si ha: C ( + i) t = 2C da cui, sempli cando C e prendendo il logaritmo si ottiene: t ln ( + i) = ln 2

21 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 2 e risolvendo rispetto a t si ha: t = ln 2 ln ( + i) = ln 2 = 4: 207 ln ( + 0:05) b) Sconto commerciale: poichè M (t) = Cf (t), e f (t) = = ( dt) si ha: C dt = 2C da cui, sempli cando C si ottiene: e risolvendo rispetto a t si ha: Poichè: d = dt = 2 t = 2d i + i = 0:05 + 0:05 = 0: si ha : t = 2 0: = 0: 5 Esercizio 23 In regime di sconto commerciale si ha che il valore attuale (l importo nanziato) di una rendita (le rate da pagare) è dato dalla formula: A = nmr d nm + 2m dove n numero di anni, m numero di versamenti nell anno, r importo della singola rata, d tasso di sconto. Nel nostro caso la quantità da determinare è r, per cui: r = nm A d nm+ 2m 200 = 2 6 0: = 7:62 26 è quindi l importo della singola rata. In regime di interesse composto, si deve tenere presente che siamo in presenza di una rendita frazionata e che si deve individuare il corretto tasso periodale. In particolare conviene prendere come unità di misura del tempo il bimestre e pensare di avere complessivamente 2*6 rate e che il tasso di nanziamento è un tasso bimestrale. Dato il tasso di interesse composto annuo del 5:2632%, calcoliamo il tasso bimestrale: i 6 = ( + i) 6 = ( + 0:05263) 6 = 0:

22 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 22 L importo della singola rata lo individuiamo in base alla relazione: A = mra (m) nji = ra nmj im e quindi: r = A a nmj im = A (+i m) nm i m = 200 (+0: ) 2 0: = 7:6 Esercizio 24 Si sfrutta la relazione che da il montante di una rendita in regime di interesse semplice: M = nmr + i nm 2m e si risolve rispetto a i : M 2m i = nmr nm = = 0: Esercizio 25 Si osserva che in entrambi i casi l importo che il debitore dovrà restituire ammonta a 6000E. Si può quindi dire immediatamente che la prima opzione dovrebbe risultare preferibile, perchè si pagherebbe lo stesso importo ma a date più distanti nel tempo. Da un punto di vista nanziario, la valutazione di convenienza richiede l utilizzo del criterio del VAN. Il debitore, dato un costo opportunità del capitale proprio, sceglierebbe l opzione che gli darebbe un VAN più elevato. Per esempio nel primo caso: V AN (i) = X 000 s= ( + i) s 2 = a 6ji2 e nel secondo caso: V AN 2 (i) = X2 s= 500 ( + i) s 6 = a 2ji6 Nel gra co seguente, si osserva l andamento del VAN al variare del costo opportunità del capitale proprio. Si osserva che nel primo caso il VAN è sempre maggiore, da cui la convenienza indiscussa della prima opzione.

23 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 23 y x Si osservi che l informazione sul regime utilizzato, lo sconto commerciale, non è stata utilizzata. Questa sarebbe rilevante nella costruzione del piano di rimborso, non tanto nel confronto di convenienza tra le due opzioni, dove invece avrebbe rilevanza il criterio del VAN. Si veda anche la discussione a seguito dell esercizio n.27. Esercizio 26 a) rate annuali posticipate 000 = ra 5j0:07 per cui: r = 000 a 5j0:07 = b) rate annuali anticipate 000 (+0:07) 5 0:07 = 243: = ra 5j0:07 per cui: r = 000 a 5j0:07 = c) rate bimestrali posticipate 000 ( + 0:07) (+0:07) 5 0:07 = 227:94 Avendo: 000 = 6ra (6) 5j0:07 = ra 30ji 6 i 6 = ( + 0:07) 6 = 0:034 la rata è data da: r = 000 a 30ji6 = 000 (+0:034) 30 0:034 = 39:5 Esercizio 27

24 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 24 La scelta tra diverse fonti di nanziamento avviene tramite il criterio del VAN. Non conoscendo il costo opportunità del capitale proprio, si dovrebbe esaminare l andamento del VAN del nanziamento per l impresa che accede al contratto di leasing al variare del costo opportunità del capitale proprio. Se x è il costo opportunità del capitale proprio, il VAN nei due casi sarebbe dato da: V AN (x) = x :05 ( + x) ( + x) 2 e da (indicando con x 2 il costo opportunità su base semestrale): V AN 2 (x) = a 2jx2 + 0: ( + x) 0 B ( + x) 2 2 = : C A ( + x) 2 ( + x) Si osserva che per x = 0 V AN (0) = 8000 ( : ) = 900:0 V AN 2 (0) = 8000 ( : ) = 900:0 cioè l ammontare degli esborsi è uguale nei due casi. Però nel primo caso i pagamenti sono spalmati su due anni, mentre nel secondo caso su un anno solo. Questo dovrebbe indurre una preferenza, per tassi x ragionevoli, netta per il primo contratto di leasing. La seguente gura riporta il VAN dei due contratti al variare del costo opportunità del capitale proprio. Si osservi come la curva in grassetto, che è associata al VAN del primo nanziamento, sia sempre sopra la curva del VAN del secondo nanziamento. Anche per costi opportunità molto alti (x > 00%), la prima opzione risulta sempre preferibile. y e x

25 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 25 Ci potremmo chiedere se per avere un giudizio di convenienza si potrebbe confrontare i TIR dei due nanziamenti. La risposta è no. Il TIR da solo informazioni sul livello del tasso che rende nullo il valore attuale netto del nanziamento. Comunque trattandosi di operazioni di puro nanziamento (incasso seguito da pagamenti), un informazione utile è data dal calcolo del TIR del nanziamento di erenziale, cioè del nanziamento costruito per di erenza tra i due. I ussi del nanziamento di erenziale sarebbero: tempo Flussi : : e quindi: tempo Flussi :0 8400:0 Il nanziamento di erenziale ha un unico TIR (esborsi precedono incassi). Inoltre la somma dei ussi è pari a 0. Di conseguenza l unico TIR è pari a 0. Ciò signi ca che se il costo opportunità>0, allora sarebbe preferibile il primo contratto. Altrimenti il secondo. Quindi il confronto deve avvenire non tanto tra i TIR dei due nanziamenti, quanto tra il livello del costo opportunità e il TIR del nanziamento di erenziale. Tale confronto porta alle stesse conclusioni del criterio del VAN. Per caso, poi in questo esercizio il TIR del primo nanziamento è più basso di quello del secondo. Ma ciò non deve indurre a trarre conclusioni indebite. A scopo di esercizio, calcoliamo il TIR dei due nanziamenti. Nel primo caso, l equazione che il tasso di nanziamento (TIR) deve soddisfare è data da: 8000 = ( + i) ( + i) 2 + 0: ( + i) 2 cioè: 8400 ( + i) ( + i) 4000 = 0 Ponendo t = ( + i) ci si riconduce ad un equazione di secondo grado: con soluzione: 8400t t 4000 = 0 p 25 t = = : t 2 = p = 0: L unica soluzione accettabile risulta essere t 2 cui corrisponde un tasso annuo pari a: i = 0:087459

26 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 26 Nel secondo caso, il TIR su base semestrale, e che chiamiamo i 2, soddisfa: ( + i 2 ) :05 ( + i 2 ) ( + i 2 ) 2 = 0 dove il tempo è stato appunto misurato in semestri. Ponendo t = = ( + i 2 ), si ha: t t 2 + 0: t 2 = 0 da cui l equazione di secondo grado: che ha soluzione: 5900:0t t = 0 t = 0: t 2 = : Solo la prima sarebbe accettabile. Di conseguenza il TIR semestrale è dato da: i 2 = = = 0:33 76 t 0: e su base annua diverrebbe: i = ( + 0:33 76) 2 = 0:285 4 che è notevolmente più elevato del TIR del primo nanziamento. Gra camente i TIR dei due nanziamenti danno l intersezione del gra co del VAN con l asse delle ascisse. Esercizio 28 Si deve cercare l importo del canone per cui il VAN della seconda opzione è uguale a quello della prima. L importo del canone dipenderà dal particolare costo opportunità del capitale proprio che è stato assegnato. Quindi dobbiamo trovare C per cui: C: V AN (x) = V AN 2 (x) Conviene misurare il tempo in semestri e considerare il costo opportunità su base semestrale, x 2. Dobbiamo quindi risolvere rispetto a C la seguente equazione: : (+x 2 ) 2 (+x) 4 (+x 2 ) 4 = C a 2jx2 + 0: (+x 2 ) 2 da cui: ( + x 2 ) :05 ( + x 2 ) ( + x 2 ) 4 = 9000+Ca 2jx 2 +0: ( + x 2 ) 2

27 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 27 e quindi risolvendo rispetto a C: e nalmente: C a 2jx2 = : ( + x 2 ) ( + x 2 ) 4 C (x 2 ) = = : (+x 2 ) 2 (+x) 4 a 2jx (+x 2 ) 2 (+x 2 ) 4 (+x 2 ) 2 x 2 Per esempio con un costo opportunità su base semestrale del 5% (x 2 = 5% e x = ( + 0:05) 2 = 0:02 5), il canone di rimborso dovrebbe ammontare a: C (x 2 = 0:05) = (+0:05) (+0:05) 4 (+0:05) 2 0:05 = 3848: 9 un importo ben più basso dei 5000E previsti. Il gra co seguente illustra l andamento di C che rende indi erente tra le due opzioni al variare di x 2. y x Esercizio 29 a) Calcoliamo il tasso di rendimento dell operazione proposta dalla società, utilizzando la formula M = nmr + i nm 2m

28 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 28 da cui il tasso di rendimento dell operazione è dato da: M nmr 2m i P AC = nmr nm = = 8 33 = 0:242 42: Nel caso del BOT, si avrebbe: i BOT = = 0:25 80 cioè al lordo delle tasse sarebbe conveniente l acquisto del BOT. b) La valutazione al netto delle tasse deve considerare che nel caso del piano di accumulo dal montante è detratta un imposta pari a: 0:25 (M nmr) e quindi la valutazione diviene: M 0:25 (M nmr) nmr 2m i P AC = nmr nm 40 0:25 (40 36) = = 0:22 2: Nel caso del BOT la trattenuta scale avviene in via anticipata e si avrebbe quindi: 00 (80 + 0:25 20) i BOT = = 0: :25 20 e le due operazioni risulterebbero equivalenti. c) Se si pagano commissioni al momento dell acquisto la valutazione del BOT cambierebbe poichè il prezzo di acquisto diverrebbe: ^A = A + 0:25 (N A) + 0:3 00 A = :25 (00 80) + 0: = 82: 74 e il rendimento semplice annuo diviene: 00 82: 74 i BOT = = 0: : 74

29 M.M.II A.A Esercizi di Matematica Finanziaria assegnati in classe 29 e converrebbe il piano proposto dalla società. Esercizio 3 (a) Si deve risolvere rispetto a R: ( + 0:) 380 R ( + 0:) 2 ( + 0:) 3 = 0 da cui si ottiene che la soluzione è: R = 550 (b+c) Sfruttando la relazione di ricorrenza, possiamo ricostruire le quote interesse e le quote capitale: t I t = id t R t C t = R t I t D t