LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE

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1 LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali di algebra lineare utili alle applicazioni finanziarie, come lo studio di modelli multi-dimensionali e l analisi fattoriale In particolare sono rivolte agli studenti del corso di Metodi matematici per i modelli finanziari del Corso di Laurea Specialistica in Finanza della Facoltà di Economia dell Università di Perugia Si danno per assunti i concetti di spazio vettoriale, basi e matrici Il tutto, formulato in dimensione due per semplicità di trattazione e di calcolo, si estende in dimensione superiore Applicazioni lineari Definizione Iniziamo con la definizione generale: Definizione Una funzione L : R n R m si dice applicazione o trasformazione lineare se, presi comunque due numeri reali α e β e due vettori x e y in R n, si ha: Lαx + βy = αlx + βly Un applicazione lineare è una funzione di n variabili, le coordinate del vettore x R n, a m valori, le coordinate del vettore z = Lx R m, che soddisfa la condizione Geometricamente, un applicazione lineare trasforma rette in rette, non le distorce Dalla definizione si vede subito che la composizione di applicazioni lineari è un applicazione lineare Il nucleo dell applicazione N L R n è definito come l insieme dei vettori x R n tali che Lx = 0 Il nucleo si dimostra essere un sottospazio di R n L immagine dell applicazione LR n R m è l insieme di tutti i vettori z R m per i quali esiste x R n tale che Lx = z; in altre parole sono tutti i vettori di R m raggiunti da L Anche l immagine è un sottospazio, però di R m La dimensione dell immagine LR n si dice il rango dell applicazione: dimlr n = rangol

2 2 FLAVIO ANGELINI Da ora in poi ci concentriamo sul caso n = m e, per semplicità, trattiamo il caso n = 2: L : R 2 R 2 In questo caso lo spazio di partenza e di arrivo coincidono L applicazione L può essere vista come un movimento del piano R 2, ad esempio una rotazione, uno stiramento o una riflessione 2 Rappresentazione matriciale Siano e e e 2 due vettori che formano una base di R 2 ; ad esempio, ma non necessariamente, la base canonica Un vettore x R 2 si scrive dunque come Perciò, dalla definizione, Definiamo la matrice Scriviamo il generico vettore x = base Si ha x = x e + x 2 e 2 Lx = Le x + Le 2 x 2 A = Le Le 2 x Lx = A x, x 2 in coordinate rispetto alla dove indica il prodotto righe per colonne tra matrici I vettori saranno sempre pensati come vettori colonna in questa note Insomma, per determinare un applicazione lineare basta sapere dove vanno i vettori di una base Come si vede, la matrice A dipende dalla base scelta: infatti le sue colonne sono formate dalle immagini dei vettori della base: Le = a a 2, Le 2 = a2 a 22 Si noti l equivalenza tra il rango di L e il rango della matrice A rangol = rangoa Infatti, se i vettori Le e Le 2 sono linearmente indipendenti il rango di A è due; l immagine di L è tutto R 2, dunque ha dimensione due Se non lo sono il rango di A è uno e l immagine di L è la retta passante per l origine e direzione Le, o Le 2 che è la stessa Escludiamo il caso non interessante di rango zero, che capita solo all applicazione che restringe tutto lo spazio nel vettore nullo, l applicazione nulla Si noti che se si cambia base, la matrice A cambia Però non cambia il rango

3 ALGEBRA LINEARE 3 0 Esempio 2 Sia L l applicazione che manda i vettori e della base canonica rispettivamente in = 3e 0 e = e 2 La matrice associata è dunque 3 0 A = 0 L immagine del vettore x = è 2 3 Lx = A x = 2 Equivalentemente: 3 Lx = Le + 2Le 2 = = 3 2 x 2 x e 2 e A e x A e 2 A x 0 Esempio 3 Sia L l applicazione che manda i vettori e 0 3 della base canonica, rispettivamente in e La matrice 3 associata è dunque 3 3 A = Determiniamo l immagine dei vettori v = e v 2 = ha: 4 Lv = A v = = 4v 4 ; Si

4 4 FLAVIO ANGELINI Lv 2 = A v 2 = 2 2 = 2v 2 ; Dunque: se utilizziamo la base canonica la matrice associata è A; se invece utilizziamo come base i vettori v e v 2 la matrice che rappresenta L è 4 0 B = 0 2 che ha il pregio di essere più comoda Una matrice così fatta con tutti zeri fuori dalla diagonale si dice appunto matrice diagonale x 2 y 2 A v cambio base v 2 v x v 2 v B v y A v 2 B v 2 Esempio 4 La matrice associata all applicazione Ix = x per ogni x R 2, cioè l applicazione identità, è la matrice identità I = 0 0 Dato λ R, la matrice associata all applicazione Lx = λix = λx per ogni x R 2, cioè l applicazione che allunga tutto di λ, ribaltando se λ < 0 o accorcia se λ <, è Λ = λ 0 0 λ Si noti che queste due applicazioni lineari, anche se si cambia base, si rappresentano sempre con la stessa matrice

5 ALGEBRA LINEARE 5 x 2 λ = 2 λe 2 e 2 λx x e λe x Esempio 5 Un applicazione lineare rappresentata da una matrice cosθ sinθ R =, sinθ cosθ per un θ fissato, rappresenta una rotazione di angolo θ Ad esempio, per θ = π, si ha 2 0 R =, 0 la quale ruota i vettori della base appunto di 90 gradi x 2 θ R e 2 e 2 = R e e x Dunque, data un applicazione lineare, per ognuna delle infinite possibili basi, esiste una matrice che la rappresenta Definizione 6 Due matrici si dicono equivalenti se definiscono la stessa applicazione lineare Enunciamo, senza preoccuparci troppo di dimostrare si veda l esercizio 3 di Esercizi 3, il seguente Risultato 7 Due matrici A e B sono equivalenti se esiste una matrice V invertibile, cioè con determinante diverso da zero, tale che A = V B V

6 6 FLAVIO ANGELINI La matrice V rappresenta il passaggio da una base all altra, ovvero da un sistema di coordinate ad un altro Più precisamente, se v e v 2 sono un altra base, in coordinate rispetto alla base di partenza, si ha: V = v v 2 Abbiamo detto che la composizione di due applicazioni lineari è ancora lineare La matrice che la rappresenta è il prodotto righe per colonne delle matrici, nell ordine giusto Se A rappresenta l applicazione L e B l applicazione M, allora M L è rappresentata dalla matrice B A Provate ora degli esercizi 3 Esercizi Dire quale dei seguenti insiemi di vettori formano una base dello spazio a cui appartengono: {, 3, 2, 3}; {, 3, 2, 6}; {, 0, 0, }; {, 0,, 0,, 2}; {, 0,, 0,, 0, 0,, 0}; {, 0,, 0,, 0,,, } 2 Date le applicazioni lineari rappresentate, rispetto a una fissata base, dalle matrici fornite di seguito, determinare l immagine dei vettori della base, l immagine dei vettori, e, e il nucleo dell applicazione: ; ; Data le applicazioni lineari dell esercizio precedente, determinare le matrici che le rappresentano rispetto alla base formata dai vettori {,,, } Che relazione hanno con le matrici date nell esercizio precedente? 4 Data l applicazione lineare rappresentata dalla matrice 2/2 2/2 2/2 2/2, mostrare geometricamente che si tratta di una rotazione del piano e determinarne l angolo suggerimento: mostrare le immagini dei vettori della base 5 Scrivere la matrice che rappresenta l applicazione lineare che riflette il piano rispetto a: a l asse x; b la bisettrice del primo e terzo quadrante;

7 Iniziamo con la definizione ALGEBRA LINEARE 7 2 Autovalori e autovettori Definizione 2 Un autovettore di una trasformazione lineare L : R 2 R 2 è un vettore x 0 R 2 per il quale esiste uno scalare λ tale che 2 Lx = λx Il numero λ è detto autovalore di L relativo all autovettore x Si noti che se x è un autovettore lo è anche ogni suo multiplo con lo stesso autovalore Quindi, se esiste un autovettore c è almeno una retta di autovettori In parole povere un autovettore è un vettore che non viene ruotato da L, rimane sulla sua direzione, cambiando verso se λ < 0 Si pensi ad esempio ad una riflessione del piano rispetto a una retta passante per l origine, come quelle dell esercizio 5 di Esercizi 3 Tutti i vettori della retta vengono tenuti fermi dalla riflessione La retta è dunque formata da tutti autovettori con autovalore La retta si può definire un autospazio C è un altro autovalore con relativa retta di autovettori che si può vedere geometricamente Quale? Tutti i vettori x N L diversi dal vettore nullo, se ci sono, sono autovettori con autovalore 0 In altre parole, dire che l applicazione L ha nucleo non banale, cioè non formato solo dal vettore nullo, è la stessa cosa di dire che 0 è autovalore di L relativo a ogni vettore del nucleo Nell Esempio 2 il vettore è un autovettore con autovalore 0 0 λ = 3, mentre il vettore è un autovettore con autovalore λ 2 = Nell Esempio 3, il vettore è un autovettore con autovalore λ = 4 e il vettore è un autovettore con autovalore λ = 2 In entrambi i casi dell Esempio 4, ogni vettore di R 2 è un autovettore, con autovalore nel caso dell identità e λ nel secondo caso 2 Perché? Vediamo ora l importanza dei concetti di autovalore e autovettore Consideriamo un applicazione lineare L rappresentata dalla matrice A rispetto a una fissata base Supponiamo che esistano due autovettori di L che formano una base di R 2, ovvero due autovettori linearmente indipendenti Siano dunque v e v 2 tali autovettori

8 8 FLAVIO ANGELINI con autovalori rispettivamente λ e λ 2, cioè Lv = λ v Lv 2 = λ 2 v 2 o, se esprimiamo v e v 2 rispetto alla base di partenza, A v = λ v A v 2 = λ 2 v 2 Si noti che λ e λ 2 non sono necessariamente diversi In più dimensioni possono anche essere uguali, mentre in dimensione due il caso non è molto interessante perché significa che L = λi, la quale, come già detto, si rappresenta sempre con la stessa matrice λi; era quindi già in forma diagonale e non c era nulla da fare Se rappresentiamo l applicazione L rispetto alla base formata dai due autovettori, otteniamo la matrice λ 0 D = 0 λ 2 Questo è quello che accade negli Esempi 2 e 3 Nel primo esempio era facile perchè partivamo già con una base di autovettori Nel secondo abbiamo dovuto cambiare base Le matrici diagonali sono molto belle È facile calcolarne il determinante, anche se la matrice è enorme: è il prodotto degli elementi sulla diagonale Si vede subito il rango: è il numero di elementi diverso da zero Se rappresentano una forma quadratica, si vede subito che segno ha la forma associata Basta guardare i segni degli elementi vedi 44 Se rappresentano la matrice di varianza-covarianza di variabili aleatorie, tali variabili hanno a due a due correlazione nulla 22 Come si trovano autovalori e autovettori? Innanzitutto autovalori e autovettori non sempre esistono Dalla definizione, bisogna cercare λ tale che Lx λx = 0 per un x 0, cioè tale che L λix = 0 Stiamo dunque cercando quei numeri λ tali che il nucleo dell applicazione L λi è non banale Rappresentando L con la matrice A, Si intende autovalori reali e autovettori a componenti reali Il caso complesso non ci interessa

9 bisogna cercare λ tale che il sistema 22 A λi x = 0 ALGEBRA LINEARE 9 ammetta soluzione non banale Ma questo è semplicemente un sistema omogeneo di due equazioni in due incognite, il quale ammette sempre la soluzione 0 che però non ci interessa Ammette soluzioni non banali quando deta λi = 0 La funzione P λ = deta λi è una funzione polinomiale in λ e si chiama polinomio caratteristico di A Nel nostro caso è un polinomio di grado due Così è facile vedere se ci sono soluzioni reali e calcolarle Dopodiché, se vogliamo calcolare gli autovettori, dobbiamo fissare i valori di λ ottenuti e risolvere il sistema 22 Tale procedimento si può scrivere in un algoritmo Algoritmo per il calcolo di autovalori e autovettori Calcolo polinomio caratteristico Calcolo soluzioni λ i di deta λi deta λi = 0 Se le soluzioni sono complesse coniugate, non ci sono autovettori reali e l algoritmo termina Altrimenti, per i =, 2 Fine Calcolo soluzioni x di A λ i I x = 0 Vediamo tale procedura con un esempio Esempio 22 Sia la matrice dell Esempio 2 A = 3 3,

10 0 FLAVIO ANGELINI Calcolo polinomio caratteristico: λ 3 A λi = 3 λ e dunque Calcolo soluzioni λ i di deta λi = λ λ 9 deta λi = [ λ + 3] [ λ 3] = 0 In questo caso le soluzioni si vedono subito perchè l equazione si è scritta come differenza di quadrati Sono λ = 4, λ 2 = 2 Se non lo avessimo spezzato come differenza di quadrati, cosa che non si può fare in generale, sarebbe venuto Per i = Calcolo soluzioni x di deta λi = λ 2 2λ 8 = 0 A λ I x = A 4I x = 0, cioè { 4x + 3x 2 = 0 3x + 4x 2 = 0 { 3x + 3x 2 = 0 3x 3x 2 = 0 Una soluzione è x = e x 2 =, cioè il vettore v = Le altre sono tutti i vettori multipli di v Per i = 2 Calcolo soluzioni x di A λ 2 I x = A + 2I x = 0, Fine cioè { 3x + 3x 2 = 0 3x + 3x 2 = 0 Le soluzioni sono v 2 = e tutti i suoi multipli Vediamo ora un caso in cui gli autovettori non ci sono

11 Esempio 23 Sia 0 R =, 0 la rotazione dell Esempio 5 Calcolo polinomio caratteristico: λ A λi = λ e dunque deta λi = λ 2 + Calcolo soluzioni λ i di Le soluzioni sono complesse ALGEBRA LINEARE deta λi = λ 2 + = 0 λ = i, λ 2 = i L algoritmo si interrompe Infatti, se andate a calcolare le soluzioni x di A λ i I x = 0, vengono autovettori complessi, quindi non appartenenti a R 2 Ad esempio per λ = i si otterrebbe il vettore v 2 = Tutto torna i però, dato che la matrice in questione rappresenta una rotazione che non tiene ferma nessuna retta 3 Teorema spettrale per matrici simmetriche Siamo interessati a studiare matrici simmetriche In finanza sono importanti le matrici di varianza-covarianza dei rendimenti di un mercato di titoli; queste sono matrici simmetriche definite positive 2 Teorema 3 Per le matrici simmetriche è sempre possibile trovare una base di autovettori Dunque, sono sempre diagonalizzabili In più, si può sempre trovare una base ortogonale, cioè formata da autovettori ortogonali tra di loro Per il Risultato 7, ciò è equivalente alla seguente affermazione: per ogni matrice simmetrica A è sempre possibile scrivere 3 A = V D V, con: 2 O dovrebbero essere definite positive: se la matrice di varianza-covarianza è stimata, ad esempio sulle serie storiche dei rendimenti, nessuno assicura che risulti definita positiva, ma ora non ce ne preoccupiamo

12 2 FLAVIO ANGELINI D = λ 0, 0 λ 2 matrice diagonale, λ e λ 2 autovalori di A; 2 V = v v 2 è una matrice 2 2, dove v la prima colonna è l autovettore di A relativo all autovalore λ e v 2 la seconda colonna l autovettore di A relativo all autovalore λ 2 vettori espressi rispetto alla base di partenza; 3 i due autovettori v e v 2 sono ortogonali Se prendiamo i due autovettori dell ultimo punto anche di norma uno, cosa che si può sempre fare, si può vedere che l equazione 3 diventa A = V D V T, dove V T indica la matrice trasposta; cioè V = V T Dunque, A e D sono equivalenti e la matrice V rappresenta il cambio di base Tale cambio di base non è nient altro che una rotazione Non vogliamo dimostrare il Teorema, anche se chi ha capito fin qui capirebbe anche la dimostrazione del Teorema, che non è complicatissima A noi potrebbe bastare capire che, in generale: se troviamo una base di autovettori, allora possiamo mettere la matrice in forma diagonale; e sapere che le matrici simmetriche hanno sempre una base di autovettori Quindi sono sempre diagonalizzabili In più, tali autovettori sono tra loro ortogonali Meglio se sappiamo anche che la matrice di partenza è uguale a V D V T, con D matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale e V matrice formata da colonne di autovettori di norma uno Poi ci è sufficiente convincerci del risultato con un esempio e magari con qualche esercizio 3 Esempio 32 Guardiamo all Esempio 3 solita matrice 3 A = 3 3 Oppure usando la function eig di MATLAB, vedi il 32 Stiamo dicendo che la

13 ALGEBRA LINEARE 3 ha due autovettori indipendenti E lo sapevamo già, sono v = e v 2 = In più, sono ortogonali Vero Inoltre, la matrice si può scrivere come 4 0 A = V V 0 2 con V = Verificate dovete invertire la matrice V, che noia Le due colonne di V sono ortogonali Se le volete anche entrambe di norma uno, allora dovete prendere V = / 2 / 2 / 2 / 2 che poi altri non è che la rotazione dell esercizio 4 di Esercizi 3 che manda i vettori della base canonica nei due autovettori Ora dovete fare 4 0 V V 0 2 T, senza dunque bisogno di invertire V, solo comodamente trasporla Viene? 3 Esercizi Date le matrici ; ; ; ;, trovarne autovalori e autovettori 2 Provate per una volta a determinare gli autovalori e gli autovettori di una matrice 3 3: Verficate che le matrici degli esercizi precedenti possono essere diagonalizzate, ovvero che gli autovettori formano una base Scrivete la matrice diagonale equivalente alla matrice data, ;

14 4 FLAVIO ANGELINI 4 Per le matrici degli esercizi precedenti, trovate la matrice V del Teorema spettrale e controllate se V è formata da vettori colonna ortogonali tra loro Verificate il Teorema Cioè verificate che V D V T, con D matrice diagonale trovata nell esercizio precedente Attenzione: dovete prendere autovettori di norma uno, altrimenti dovete calcolare V 32 Autovalori e autovettori in MATLAB MATLAB ha la funzione eig : data una matrice A, il comando [V, D] = eiga restituisce la matrice diagonale D con elementi gli autovalori di A dal più piccolo al più grande e la matrice V con colonne gli autovettori di A Provatela su qualcuno degli esercizi per verificare i vostri conti e controllate anche che A = V D V V è la trasposta in MATLAB 4 Applicazioni 4 Modelli di mercato Consideriamo una variabile aleatoria bidimensionale X X = X 2 Si pensi ad esempio ai rendimenti di due titoli del mercato azionario o alle variazioni di tassi d interesse con due diverse scadenze Sia E E =, E 2 con E = E[X ] e E 2 = E[X 2 ], il vettore dei valori attesi e σ σ Σ = 2 σ 2 σ 22 la matrice di varianza-covarianza, la quale è dunque simmetrica e definita positiva Per il Teorema spettrale, tale matrice è diagonalizzabile Sia λ 0 D = 0 λ 2 la matrice diagonale equivalente a Σ Sistemiamo in modo che λ > λ 2 0 Sia V = v v 2 la matrice contenente gli autovettori ortonormali, cioè ortogonali tra loro e di norma uno Per cui 4 Σ = V D V T Modello a un fattore Sia F una variabile con media 0 e varianza Non deve essere necessariamente normale, ma spesso nei modelli lo è Approssimiamo la variabile X che descrive il mercato con X = E + v λ F

15 ALGEBRA LINEARE 5 Per componenti si ha { X = E + v λ F X 2 = E 2 + v 2 λ F Si pensi ad esempio al modello CAPM in cui si utilizza il rendimento I M del portafoglio di mercato λ F = I M E[I M ] In tal caso λ rappresenta la deviazione standard del portafoglio di mercato e il vettore v ha come componenti i beta dei due titoli 4 Ora la matrice di varianza-covarianza di X è v 2 Σ = λ v v 2 λ v v 2 λ v2λ 2 Dunque, nel modello a un fattore, che descrive il mercato tramite X, la matrice di varianza-covarianza è Σ Tale matrice ha rango uno, infatti ha determinante uguale a zero Se si guarda bene si vede che λ 0 Σ = V V 0 0 T Se la matrice di varianza-covarianza Σ ha rango due, cioè λ 2 > 0, allora il modello proposto non spiega tutta la varianza Si sta trascurando il contributo di λ 2 alla varianza Nel linguaggio del CAPM, stiamo considerando solo il rischio sistematico e non il rischio specifico dei due titoli Nel nostro caso stiamo spiegando i movimenti delle due variabili X e X 2 solamente con un fattore esplicativo F, considerando solo il rischio legato a tale fattore Questo porta ad una semplificazione dell analisi, soprattutto se immaginate di estendere il caso a un numero elevato di variabili, come succede in finanza Ora, se λ 2 è piccolo in confronto a λ il modello spiega bene il mercato, altrimenti ci vorrebbe un modello a più fattori Il rapporto λ λ + λ 2 fornisce la percentuale di varianza spiegata dal modello In ogni caso il modello proposto è il miglior modello lineare a un fattore per spiegare la varianza del mercato Infatti si può dimostrare che ha una matrice di varianza-covarianza di rango uno la più vicina 5 possibile a quella della variabile bi-dimensionale X 4 Non è detto che si possa sempre dare al fattore λ F un significato finanziario così concreto come il rendimento di un portafoglio di mercato 5 A questo vicina è possibile dare un significato più preciso con concetti di distanza tra matrici

16 6 FLAVIO ANGELINI Modello a due fattori Aggiungiamo un fattore F 2, a media 0 e varianza e a correlazione 0 con F Il modello diventa X = v λ F + v 2 λ2 F 2 Per componenti si ha { X X 2 = v λ F + v 2 λ2 F 2 = v 2 λ F + v 22 λ2 F 2 Si può calcolare la matrice di varianza-covarianza di X, la quale risulta verificare: basta applicare le regole di calcolo per la varianza e la covarianza di somme di variabili aleatorie V D V T Dunque, per la 4 è uguale a Σ: la varianza del mercato è totalmente spiegata, var X = varx Le variabili F e F 2 si possono prendere in modo che X = X in distribuzione 6 Ad esempio, se X è una normale bivariata, basta prendere F e F 2 normali Il vantaggio qui è solo di avere due variabili F e F 2 che hanno media 0, varianza e che sono incorrelate Bisogna sempre però pensare al caso di un numero elevato di variabili In questo caso che, come detto, rappresenta la norma in problemi di finanza applicata, anche avere due fattori potrebbe semplificare molto l analisi, pur spiegando meglio di un solo fattore il mercato In mercati complessi si può aggiungere anche un terzo fattore Il modello a uno, due o tre fattori fornirà una riduzione della dimensione delle variabili esplicative e quindi una semplificazione Tra i modelli con la stessa dimensione sarà quello che spiegherà meglio la varianza del mercato La scelta della dimensione dipenderà dal solito trade-off, in finanza come in altri campi, tra un modello sufficientemente semplice da essere agevolmente trattabile e un modello abbastanza ricco da interpretare al meglio i movimenti del mercato 42 Esercizio Sia Σ = 5% 4% 4% 5% la matrice di varianza-covarianza di un mercato con due titoli Determinare autovalori e autovettori Scrivere poi un modello a un fattore e un modello a due fattori Quanto bene il modello a un fattore rappresenta tale mercato? 6 Avere la stessa varianza non vuol dire avere la stessa distribuzione

17 ALGEBRA LINEARE 7 43 Applicazione Lo script pca2s, scaricabile dalla pagina del corso effettua l analisi sulla serie delle variazioni dei tassi d interesse italiani con scadenze 2 e 0 anni, estratti dai tassi swap con il bootstrapping Mostra, anche graficamente, i due autovettori, gli autovalori e la varianza spiegata da un solo fattore Il primo autovettore viene negativo, ma si può pensare positivo, e ha le componenti molto vicine Il secondo ha una componente positiva e una negativa Il primo fattore rappresenta dunque uno shift parallelo, perché produce un movimento uguale per i due tassi in considerazione Il secondo fattore rappresenta un twist in cui il tasso a breve si muove in direzione opposta a quello a lunga 44 Studio del segno di una forma quadratica Sia A una matrice simmetrica e Qx = x T A x la forma quadratica associata Il Teorema spettrale ci permette di scrivere Qx = x T V D V T x = V T x T A V T x Ora, se indichiamo con y = V T x, ovvero cambiamo coordinate, abbiamo Qy = y T D y Studiare il segno di Q al variare di x è la stessa cosa che studiarne il segno al variare di y; questo perché V T è invertibile e dunque V T x raggiunge tutti gli y Dunque basta studiare il segno della matrice diagonale D, che è facile In conclusione, per studiare il segno di una matrice simmetrica, basta calcolare gli autovalori e guardarne i segni In dimensione 2 abbiamo Segni concordi definita, positiva se positivi, negativa se negativi; 2 Segni discordi indefinita; 3 un autovalore 0 semidefinita, positiva se l altro positivo, negativa se negativo 45 Esercizi Studiare il segno delle forme quadratiche definite dalle matrici degli esercizi e 2 di Esercizi 3 utilizzando la diagonalizzazione Verificate che fornisca la stessa risposta del test che già conoscete Sezione di Finanza Matematica, Dipartimento di Economia, Finanza e Statistica, Università di Perugia address:

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