LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE
|
|
- Taddeo Vanni
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali di algebra lineare utili alle applicazioni finanziarie, come lo studio di modelli multi-dimensionali e l analisi fattoriale In particolare sono rivolte agli studenti del corso di Metodi matematici per i modelli finanziari del Corso di Laurea Specialistica in Finanza della Facoltà di Economia dell Università di Perugia Si danno per assunti i concetti di spazio vettoriale, basi e matrici Il tutto, formulato in dimensione due per semplicità di trattazione e di calcolo, si estende in dimensione superiore Applicazioni lineari Definizione Iniziamo con la definizione generale: Definizione Una funzione L : R n R m si dice applicazione o trasformazione lineare se, presi comunque due numeri reali α e β e due vettori x e y in R n, si ha: Lαx + βy = αlx + βly Un applicazione lineare è una funzione di n variabili, le coordinate del vettore x R n, a m valori, le coordinate del vettore z = Lx R m, che soddisfa la condizione Geometricamente, un applicazione lineare trasforma rette in rette, non le distorce Dalla definizione si vede subito che la composizione di applicazioni lineari è un applicazione lineare Il nucleo dell applicazione N L R n è definito come l insieme dei vettori x R n tali che Lx = 0 Il nucleo si dimostra essere un sottospazio di R n L immagine dell applicazione LR n R m è l insieme di tutti i vettori z R m per i quali esiste x R n tale che Lx = z; in altre parole sono tutti i vettori di R m raggiunti da L Anche l immagine è un sottospazio, però di R m La dimensione dell immagine LR n si dice il rango dell applicazione: dimlr n = rangol
2 2 FLAVIO ANGELINI Da ora in poi ci concentriamo sul caso n = m e, per semplicità, trattiamo il caso n = 2: L : R 2 R 2 In questo caso lo spazio di partenza e di arrivo coincidono L applicazione L può essere vista come un movimento del piano R 2, ad esempio una rotazione, uno stiramento o una riflessione 2 Rappresentazione matriciale Siano e e e 2 due vettori che formano una base di R 2 ; ad esempio, ma non necessariamente, la base canonica Un vettore x R 2 si scrive dunque come Perciò, dalla definizione, Definiamo la matrice Scriviamo il generico vettore x = base Si ha x = x e + x 2 e 2 Lx = Le x + Le 2 x 2 A = Le Le 2 x Lx = A x, x 2 in coordinate rispetto alla dove indica il prodotto righe per colonne tra matrici I vettori saranno sempre pensati come vettori colonna in questa note Insomma, per determinare un applicazione lineare basta sapere dove vanno i vettori di una base Come si vede, la matrice A dipende dalla base scelta: infatti le sue colonne sono formate dalle immagini dei vettori della base: Le = a a 2, Le 2 = a2 a 22 Si noti l equivalenza tra il rango di L e il rango della matrice A rangol = rangoa Infatti, se i vettori Le e Le 2 sono linearmente indipendenti il rango di A è due; l immagine di L è tutto R 2, dunque ha dimensione due Se non lo sono il rango di A è uno e l immagine di L è la retta passante per l origine e direzione Le, o Le 2 che è la stessa Escludiamo il caso non interessante di rango zero, che capita solo all applicazione che restringe tutto lo spazio nel vettore nullo, l applicazione nulla Si noti che se si cambia base, la matrice A cambia Però non cambia il rango
3 ALGEBRA LINEARE 3 0 Esempio 2 Sia L l applicazione che manda i vettori e della base canonica rispettivamente in = 3e 0 e = e 2 La matrice associata è dunque 3 0 A = 0 L immagine del vettore x = è 2 3 Lx = A x = 2 Equivalentemente: 3 Lx = Le + 2Le 2 = = 3 2 x 2 x e 2 e A e x A e 2 A x 0 Esempio 3 Sia L l applicazione che manda i vettori e 0 3 della base canonica, rispettivamente in e La matrice 3 associata è dunque 3 3 A = Determiniamo l immagine dei vettori v = e v 2 = ha: 4 Lv = A v = = 4v 4 ; Si
4 4 FLAVIO ANGELINI Lv 2 = A v 2 = 2 2 = 2v 2 ; Dunque: se utilizziamo la base canonica la matrice associata è A; se invece utilizziamo come base i vettori v e v 2 la matrice che rappresenta L è 4 0 B = 0 2 che ha il pregio di essere più comoda Una matrice così fatta con tutti zeri fuori dalla diagonale si dice appunto matrice diagonale x 2 y 2 A v cambio base v 2 v x v 2 v B v y A v 2 B v 2 Esempio 4 La matrice associata all applicazione Ix = x per ogni x R 2, cioè l applicazione identità, è la matrice identità I = 0 0 Dato λ R, la matrice associata all applicazione Lx = λix = λx per ogni x R 2, cioè l applicazione che allunga tutto di λ, ribaltando se λ < 0 o accorcia se λ <, è Λ = λ 0 0 λ Si noti che queste due applicazioni lineari, anche se si cambia base, si rappresentano sempre con la stessa matrice
5 ALGEBRA LINEARE 5 x 2 λ = 2 λe 2 e 2 λx x e λe x Esempio 5 Un applicazione lineare rappresentata da una matrice cosθ sinθ R =, sinθ cosθ per un θ fissato, rappresenta una rotazione di angolo θ Ad esempio, per θ = π, si ha 2 0 R =, 0 la quale ruota i vettori della base appunto di 90 gradi x 2 θ R e 2 e 2 = R e e x Dunque, data un applicazione lineare, per ognuna delle infinite possibili basi, esiste una matrice che la rappresenta Definizione 6 Due matrici si dicono equivalenti se definiscono la stessa applicazione lineare Enunciamo, senza preoccuparci troppo di dimostrare si veda l esercizio 3 di Esercizi 3, il seguente Risultato 7 Due matrici A e B sono equivalenti se esiste una matrice V invertibile, cioè con determinante diverso da zero, tale che A = V B V
6 6 FLAVIO ANGELINI La matrice V rappresenta il passaggio da una base all altra, ovvero da un sistema di coordinate ad un altro Più precisamente, se v e v 2 sono un altra base, in coordinate rispetto alla base di partenza, si ha: V = v v 2 Abbiamo detto che la composizione di due applicazioni lineari è ancora lineare La matrice che la rappresenta è il prodotto righe per colonne delle matrici, nell ordine giusto Se A rappresenta l applicazione L e B l applicazione M, allora M L è rappresentata dalla matrice B A Provate ora degli esercizi 3 Esercizi Dire quale dei seguenti insiemi di vettori formano una base dello spazio a cui appartengono: {, 3, 2, 3}; {, 3, 2, 6}; {, 0, 0, }; {, 0,, 0,, 2}; {, 0,, 0,, 0, 0,, 0}; {, 0,, 0,, 0,,, } 2 Date le applicazioni lineari rappresentate, rispetto a una fissata base, dalle matrici fornite di seguito, determinare l immagine dei vettori della base, l immagine dei vettori, e, e il nucleo dell applicazione: ; ; Data le applicazioni lineari dell esercizio precedente, determinare le matrici che le rappresentano rispetto alla base formata dai vettori {,,, } Che relazione hanno con le matrici date nell esercizio precedente? 4 Data l applicazione lineare rappresentata dalla matrice 2/2 2/2 2/2 2/2, mostrare geometricamente che si tratta di una rotazione del piano e determinarne l angolo suggerimento: mostrare le immagini dei vettori della base 5 Scrivere la matrice che rappresenta l applicazione lineare che riflette il piano rispetto a: a l asse x; b la bisettrice del primo e terzo quadrante;
7 Iniziamo con la definizione ALGEBRA LINEARE 7 2 Autovalori e autovettori Definizione 2 Un autovettore di una trasformazione lineare L : R 2 R 2 è un vettore x 0 R 2 per il quale esiste uno scalare λ tale che 2 Lx = λx Il numero λ è detto autovalore di L relativo all autovettore x Si noti che se x è un autovettore lo è anche ogni suo multiplo con lo stesso autovalore Quindi, se esiste un autovettore c è almeno una retta di autovettori In parole povere un autovettore è un vettore che non viene ruotato da L, rimane sulla sua direzione, cambiando verso se λ < 0 Si pensi ad esempio ad una riflessione del piano rispetto a una retta passante per l origine, come quelle dell esercizio 5 di Esercizi 3 Tutti i vettori della retta vengono tenuti fermi dalla riflessione La retta è dunque formata da tutti autovettori con autovalore La retta si può definire un autospazio C è un altro autovalore con relativa retta di autovettori che si può vedere geometricamente Quale? Tutti i vettori x N L diversi dal vettore nullo, se ci sono, sono autovettori con autovalore 0 In altre parole, dire che l applicazione L ha nucleo non banale, cioè non formato solo dal vettore nullo, è la stessa cosa di dire che 0 è autovalore di L relativo a ogni vettore del nucleo Nell Esempio 2 il vettore è un autovettore con autovalore 0 0 λ = 3, mentre il vettore è un autovettore con autovalore λ 2 = Nell Esempio 3, il vettore è un autovettore con autovalore λ = 4 e il vettore è un autovettore con autovalore λ = 2 In entrambi i casi dell Esempio 4, ogni vettore di R 2 è un autovettore, con autovalore nel caso dell identità e λ nel secondo caso 2 Perché? Vediamo ora l importanza dei concetti di autovalore e autovettore Consideriamo un applicazione lineare L rappresentata dalla matrice A rispetto a una fissata base Supponiamo che esistano due autovettori di L che formano una base di R 2, ovvero due autovettori linearmente indipendenti Siano dunque v e v 2 tali autovettori
8 8 FLAVIO ANGELINI con autovalori rispettivamente λ e λ 2, cioè Lv = λ v Lv 2 = λ 2 v 2 o, se esprimiamo v e v 2 rispetto alla base di partenza, A v = λ v A v 2 = λ 2 v 2 Si noti che λ e λ 2 non sono necessariamente diversi In più dimensioni possono anche essere uguali, mentre in dimensione due il caso non è molto interessante perché significa che L = λi, la quale, come già detto, si rappresenta sempre con la stessa matrice λi; era quindi già in forma diagonale e non c era nulla da fare Se rappresentiamo l applicazione L rispetto alla base formata dai due autovettori, otteniamo la matrice λ 0 D = 0 λ 2 Questo è quello che accade negli Esempi 2 e 3 Nel primo esempio era facile perchè partivamo già con una base di autovettori Nel secondo abbiamo dovuto cambiare base Le matrici diagonali sono molto belle È facile calcolarne il determinante, anche se la matrice è enorme: è il prodotto degli elementi sulla diagonale Si vede subito il rango: è il numero di elementi diverso da zero Se rappresentano una forma quadratica, si vede subito che segno ha la forma associata Basta guardare i segni degli elementi vedi 44 Se rappresentano la matrice di varianza-covarianza di variabili aleatorie, tali variabili hanno a due a due correlazione nulla 22 Come si trovano autovalori e autovettori? Innanzitutto autovalori e autovettori non sempre esistono Dalla definizione, bisogna cercare λ tale che Lx λx = 0 per un x 0, cioè tale che L λix = 0 Stiamo dunque cercando quei numeri λ tali che il nucleo dell applicazione L λi è non banale Rappresentando L con la matrice A, Si intende autovalori reali e autovettori a componenti reali Il caso complesso non ci interessa
9 bisogna cercare λ tale che il sistema 22 A λi x = 0 ALGEBRA LINEARE 9 ammetta soluzione non banale Ma questo è semplicemente un sistema omogeneo di due equazioni in due incognite, il quale ammette sempre la soluzione 0 che però non ci interessa Ammette soluzioni non banali quando deta λi = 0 La funzione P λ = deta λi è una funzione polinomiale in λ e si chiama polinomio caratteristico di A Nel nostro caso è un polinomio di grado due Così è facile vedere se ci sono soluzioni reali e calcolarle Dopodiché, se vogliamo calcolare gli autovettori, dobbiamo fissare i valori di λ ottenuti e risolvere il sistema 22 Tale procedimento si può scrivere in un algoritmo Algoritmo per il calcolo di autovalori e autovettori Calcolo polinomio caratteristico Calcolo soluzioni λ i di deta λi deta λi = 0 Se le soluzioni sono complesse coniugate, non ci sono autovettori reali e l algoritmo termina Altrimenti, per i =, 2 Fine Calcolo soluzioni x di A λ i I x = 0 Vediamo tale procedura con un esempio Esempio 22 Sia la matrice dell Esempio 2 A = 3 3,
10 0 FLAVIO ANGELINI Calcolo polinomio caratteristico: λ 3 A λi = 3 λ e dunque Calcolo soluzioni λ i di deta λi = λ λ 9 deta λi = [ λ + 3] [ λ 3] = 0 In questo caso le soluzioni si vedono subito perchè l equazione si è scritta come differenza di quadrati Sono λ = 4, λ 2 = 2 Se non lo avessimo spezzato come differenza di quadrati, cosa che non si può fare in generale, sarebbe venuto Per i = Calcolo soluzioni x di deta λi = λ 2 2λ 8 = 0 A λ I x = A 4I x = 0, cioè { 4x + 3x 2 = 0 3x + 4x 2 = 0 { 3x + 3x 2 = 0 3x 3x 2 = 0 Una soluzione è x = e x 2 =, cioè il vettore v = Le altre sono tutti i vettori multipli di v Per i = 2 Calcolo soluzioni x di A λ 2 I x = A + 2I x = 0, Fine cioè { 3x + 3x 2 = 0 3x + 3x 2 = 0 Le soluzioni sono v 2 = e tutti i suoi multipli Vediamo ora un caso in cui gli autovettori non ci sono
11 Esempio 23 Sia 0 R =, 0 la rotazione dell Esempio 5 Calcolo polinomio caratteristico: λ A λi = λ e dunque deta λi = λ 2 + Calcolo soluzioni λ i di Le soluzioni sono complesse ALGEBRA LINEARE deta λi = λ 2 + = 0 λ = i, λ 2 = i L algoritmo si interrompe Infatti, se andate a calcolare le soluzioni x di A λ i I x = 0, vengono autovettori complessi, quindi non appartenenti a R 2 Ad esempio per λ = i si otterrebbe il vettore v 2 = Tutto torna i però, dato che la matrice in questione rappresenta una rotazione che non tiene ferma nessuna retta 3 Teorema spettrale per matrici simmetriche Siamo interessati a studiare matrici simmetriche In finanza sono importanti le matrici di varianza-covarianza dei rendimenti di un mercato di titoli; queste sono matrici simmetriche definite positive 2 Teorema 3 Per le matrici simmetriche è sempre possibile trovare una base di autovettori Dunque, sono sempre diagonalizzabili In più, si può sempre trovare una base ortogonale, cioè formata da autovettori ortogonali tra di loro Per il Risultato 7, ciò è equivalente alla seguente affermazione: per ogni matrice simmetrica A è sempre possibile scrivere 3 A = V D V, con: 2 O dovrebbero essere definite positive: se la matrice di varianza-covarianza è stimata, ad esempio sulle serie storiche dei rendimenti, nessuno assicura che risulti definita positiva, ma ora non ce ne preoccupiamo
12 2 FLAVIO ANGELINI D = λ 0, 0 λ 2 matrice diagonale, λ e λ 2 autovalori di A; 2 V = v v 2 è una matrice 2 2, dove v la prima colonna è l autovettore di A relativo all autovalore λ e v 2 la seconda colonna l autovettore di A relativo all autovalore λ 2 vettori espressi rispetto alla base di partenza; 3 i due autovettori v e v 2 sono ortogonali Se prendiamo i due autovettori dell ultimo punto anche di norma uno, cosa che si può sempre fare, si può vedere che l equazione 3 diventa A = V D V T, dove V T indica la matrice trasposta; cioè V = V T Dunque, A e D sono equivalenti e la matrice V rappresenta il cambio di base Tale cambio di base non è nient altro che una rotazione Non vogliamo dimostrare il Teorema, anche se chi ha capito fin qui capirebbe anche la dimostrazione del Teorema, che non è complicatissima A noi potrebbe bastare capire che, in generale: se troviamo una base di autovettori, allora possiamo mettere la matrice in forma diagonale; e sapere che le matrici simmetriche hanno sempre una base di autovettori Quindi sono sempre diagonalizzabili In più, tali autovettori sono tra loro ortogonali Meglio se sappiamo anche che la matrice di partenza è uguale a V D V T, con D matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale e V matrice formata da colonne di autovettori di norma uno Poi ci è sufficiente convincerci del risultato con un esempio e magari con qualche esercizio 3 Esempio 32 Guardiamo all Esempio 3 solita matrice 3 A = 3 3 Oppure usando la function eig di MATLAB, vedi il 32 Stiamo dicendo che la
13 ALGEBRA LINEARE 3 ha due autovettori indipendenti E lo sapevamo già, sono v = e v 2 = In più, sono ortogonali Vero Inoltre, la matrice si può scrivere come 4 0 A = V V 0 2 con V = Verificate dovete invertire la matrice V, che noia Le due colonne di V sono ortogonali Se le volete anche entrambe di norma uno, allora dovete prendere V = / 2 / 2 / 2 / 2 che poi altri non è che la rotazione dell esercizio 4 di Esercizi 3 che manda i vettori della base canonica nei due autovettori Ora dovete fare 4 0 V V 0 2 T, senza dunque bisogno di invertire V, solo comodamente trasporla Viene? 3 Esercizi Date le matrici ; ; ; ;, trovarne autovalori e autovettori 2 Provate per una volta a determinare gli autovalori e gli autovettori di una matrice 3 3: Verficate che le matrici degli esercizi precedenti possono essere diagonalizzate, ovvero che gli autovettori formano una base Scrivete la matrice diagonale equivalente alla matrice data, ;
14 4 FLAVIO ANGELINI 4 Per le matrici degli esercizi precedenti, trovate la matrice V del Teorema spettrale e controllate se V è formata da vettori colonna ortogonali tra loro Verificate il Teorema Cioè verificate che V D V T, con D matrice diagonale trovata nell esercizio precedente Attenzione: dovete prendere autovettori di norma uno, altrimenti dovete calcolare V 32 Autovalori e autovettori in MATLAB MATLAB ha la funzione eig : data una matrice A, il comando [V, D] = eiga restituisce la matrice diagonale D con elementi gli autovalori di A dal più piccolo al più grande e la matrice V con colonne gli autovettori di A Provatela su qualcuno degli esercizi per verificare i vostri conti e controllate anche che A = V D V V è la trasposta in MATLAB 4 Applicazioni 4 Modelli di mercato Consideriamo una variabile aleatoria bidimensionale X X = X 2 Si pensi ad esempio ai rendimenti di due titoli del mercato azionario o alle variazioni di tassi d interesse con due diverse scadenze Sia E E =, E 2 con E = E[X ] e E 2 = E[X 2 ], il vettore dei valori attesi e σ σ Σ = 2 σ 2 σ 22 la matrice di varianza-covarianza, la quale è dunque simmetrica e definita positiva Per il Teorema spettrale, tale matrice è diagonalizzabile Sia λ 0 D = 0 λ 2 la matrice diagonale equivalente a Σ Sistemiamo in modo che λ > λ 2 0 Sia V = v v 2 la matrice contenente gli autovettori ortonormali, cioè ortogonali tra loro e di norma uno Per cui 4 Σ = V D V T Modello a un fattore Sia F una variabile con media 0 e varianza Non deve essere necessariamente normale, ma spesso nei modelli lo è Approssimiamo la variabile X che descrive il mercato con X = E + v λ F
15 ALGEBRA LINEARE 5 Per componenti si ha { X = E + v λ F X 2 = E 2 + v 2 λ F Si pensi ad esempio al modello CAPM in cui si utilizza il rendimento I M del portafoglio di mercato λ F = I M E[I M ] In tal caso λ rappresenta la deviazione standard del portafoglio di mercato e il vettore v ha come componenti i beta dei due titoli 4 Ora la matrice di varianza-covarianza di X è v 2 Σ = λ v v 2 λ v v 2 λ v2λ 2 Dunque, nel modello a un fattore, che descrive il mercato tramite X, la matrice di varianza-covarianza è Σ Tale matrice ha rango uno, infatti ha determinante uguale a zero Se si guarda bene si vede che λ 0 Σ = V V 0 0 T Se la matrice di varianza-covarianza Σ ha rango due, cioè λ 2 > 0, allora il modello proposto non spiega tutta la varianza Si sta trascurando il contributo di λ 2 alla varianza Nel linguaggio del CAPM, stiamo considerando solo il rischio sistematico e non il rischio specifico dei due titoli Nel nostro caso stiamo spiegando i movimenti delle due variabili X e X 2 solamente con un fattore esplicativo F, considerando solo il rischio legato a tale fattore Questo porta ad una semplificazione dell analisi, soprattutto se immaginate di estendere il caso a un numero elevato di variabili, come succede in finanza Ora, se λ 2 è piccolo in confronto a λ il modello spiega bene il mercato, altrimenti ci vorrebbe un modello a più fattori Il rapporto λ λ + λ 2 fornisce la percentuale di varianza spiegata dal modello In ogni caso il modello proposto è il miglior modello lineare a un fattore per spiegare la varianza del mercato Infatti si può dimostrare che ha una matrice di varianza-covarianza di rango uno la più vicina 5 possibile a quella della variabile bi-dimensionale X 4 Non è detto che si possa sempre dare al fattore λ F un significato finanziario così concreto come il rendimento di un portafoglio di mercato 5 A questo vicina è possibile dare un significato più preciso con concetti di distanza tra matrici
16 6 FLAVIO ANGELINI Modello a due fattori Aggiungiamo un fattore F 2, a media 0 e varianza e a correlazione 0 con F Il modello diventa X = v λ F + v 2 λ2 F 2 Per componenti si ha { X X 2 = v λ F + v 2 λ2 F 2 = v 2 λ F + v 22 λ2 F 2 Si può calcolare la matrice di varianza-covarianza di X, la quale risulta verificare: basta applicare le regole di calcolo per la varianza e la covarianza di somme di variabili aleatorie V D V T Dunque, per la 4 è uguale a Σ: la varianza del mercato è totalmente spiegata, var X = varx Le variabili F e F 2 si possono prendere in modo che X = X in distribuzione 6 Ad esempio, se X è una normale bivariata, basta prendere F e F 2 normali Il vantaggio qui è solo di avere due variabili F e F 2 che hanno media 0, varianza e che sono incorrelate Bisogna sempre però pensare al caso di un numero elevato di variabili In questo caso che, come detto, rappresenta la norma in problemi di finanza applicata, anche avere due fattori potrebbe semplificare molto l analisi, pur spiegando meglio di un solo fattore il mercato In mercati complessi si può aggiungere anche un terzo fattore Il modello a uno, due o tre fattori fornirà una riduzione della dimensione delle variabili esplicative e quindi una semplificazione Tra i modelli con la stessa dimensione sarà quello che spiegherà meglio la varianza del mercato La scelta della dimensione dipenderà dal solito trade-off, in finanza come in altri campi, tra un modello sufficientemente semplice da essere agevolmente trattabile e un modello abbastanza ricco da interpretare al meglio i movimenti del mercato 42 Esercizio Sia Σ = 5% 4% 4% 5% la matrice di varianza-covarianza di un mercato con due titoli Determinare autovalori e autovettori Scrivere poi un modello a un fattore e un modello a due fattori Quanto bene il modello a un fattore rappresenta tale mercato? 6 Avere la stessa varianza non vuol dire avere la stessa distribuzione
17 ALGEBRA LINEARE 7 43 Applicazione Lo script pca2s, scaricabile dalla pagina del corso effettua l analisi sulla serie delle variazioni dei tassi d interesse italiani con scadenze 2 e 0 anni, estratti dai tassi swap con il bootstrapping Mostra, anche graficamente, i due autovettori, gli autovalori e la varianza spiegata da un solo fattore Il primo autovettore viene negativo, ma si può pensare positivo, e ha le componenti molto vicine Il secondo ha una componente positiva e una negativa Il primo fattore rappresenta dunque uno shift parallelo, perché produce un movimento uguale per i due tassi in considerazione Il secondo fattore rappresenta un twist in cui il tasso a breve si muove in direzione opposta a quello a lunga 44 Studio del segno di una forma quadratica Sia A una matrice simmetrica e Qx = x T A x la forma quadratica associata Il Teorema spettrale ci permette di scrivere Qx = x T V D V T x = V T x T A V T x Ora, se indichiamo con y = V T x, ovvero cambiamo coordinate, abbiamo Qy = y T D y Studiare il segno di Q al variare di x è la stessa cosa che studiarne il segno al variare di y; questo perché V T è invertibile e dunque V T x raggiunge tutti gli y Dunque basta studiare il segno della matrice diagonale D, che è facile In conclusione, per studiare il segno di una matrice simmetrica, basta calcolare gli autovalori e guardarne i segni In dimensione 2 abbiamo Segni concordi definita, positiva se positivi, negativa se negativi; 2 Segni discordi indefinita; 3 un autovalore 0 semidefinita, positiva se l altro positivo, negativa se negativo 45 Esercizi Studiare il segno delle forme quadratiche definite dalle matrici degli esercizi e 2 di Esercizi 3 utilizzando la diagonalizzazione Verificate che fornisca la stessa risposta del test che già conoscete Sezione di Finanza Matematica, Dipartimento di Economia, Finanza e Statistica, Università di Perugia address: angelini@unipgit
CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA
COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno
DettagliLEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0
LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi
DettagliDimensione di uno Spazio vettoriale
Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione
DettagliESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI
ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W
DettagliFederico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24
Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione
DettagliDiagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari
CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x
DettagliLezione 9: Cambio di base
Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire
DettagliELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura
Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
DettagliTutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13
Dettagli1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali
1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!
DettagliApplicazioni lineari
Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai
Dettaglix 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.
Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliLE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE
LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliParte 6. Applicazioni lineari
Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliSoluzione di equazioni quadratiche
Soluzione di equazioni quadratiche Soluzione sulla Retta Algebrica Inseriamo sulla Retta Algebrica le seguenti espressioni polinomiali x e x 3 e cerchiamo di individuare i valori di x per i quali i punti
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
DettagliParte 2. Determinante e matrice inversa
Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice
Dettagli4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0
Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice
Dettagli19. Inclusioni tra spazi L p.
19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
Dettaglirisulta (x) = 1 se x < 0.
Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente
DettagliCorso di Matematica per la Chimica
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 203-4 I sistemi lineari Generalità sui sistemi lineari Molti problemi dell ingegneria, della fisica, della chimica, dell informatica e dell economia, si modellizzano
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliMetodi Stocastici per la Finanza
Metodi Stocastici per la Finanza Tiziano Vargiolu vargiolu@math.unipd.it 1 1 Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2011-2012 Lezione 6 Indice 1 Il metodo bootstrap 2 Esercitazione 3 Interpolazione
DettagliPsicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale STANDARDIZZAZIONE
Psicometria (8 CFU) Corso di Laurea triennale Un punteggio all interno di una distribuzione è in realtà privo di significato se preso da solo. Sapere che un soggetto ha ottenuto un punteggio x=52 in una
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
DettagliEsempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.
Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione
DettagliFUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)
1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:
DettagliLa distribuzione Normale. La distribuzione Normale
La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una
DettagliE naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n
Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile
DettagliGIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω
GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,
DettagliRICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come
RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può
DettagliSiamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.
DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti
Dettagli13. Campi vettoriali
13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello
DettagliLEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.
LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
Dettagli4. Operazioni elementari per righe e colonne
4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio.
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3
DettagliCapitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore
Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:
DettagliI tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione
Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora
DettagliMatrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).
Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo
Dettagli2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione
Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza
DettagliDocumentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab
Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Algoritmi Metodo di Gauss-Seidel con sovrarilassamento Metodo delle Secanti Metodo di Newton Studente Amelio Francesco 556/00699 Anno
DettagliRette e curve, piani e superfici
Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
Dettagli1 Principali funzioni e loro domini
Principali funzioni e loro domini Tipo di funzione Rappresentazione Dominio Polinomio intero p() = a n + + a n R p() Polinomio fratto q() 6= q() 2n Radici pari p f() f() 2n+ Radici dispari p f() R Moduli
DettagliConsideriamo due polinomi
Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al
DettagliForme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :
Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:
DettagliIL METODO PER IMPOSTARE E RISOLVERE I PROBLEMI DI FISICA (NB non ha nulla a che vedere con il metodo scientifico)
IL METODO PER IMPOSTARE E RISOLVERE I PROBLEMI DI FISICA (NB non ha nulla a che vedere con il metodo scientifico) [nota: Nel testo sono riportate tra virgolette alcune domande che insegnanti e studenti
DettagliEquazioni alle differenze finite (cenni).
AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza
DettagliL EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare
L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare Cap.4 giroscopio, magnetismo e forza di Lorentz teoria del giroscopio Abbiamo finora preso in considerazione le condizionidi equilibrio
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliEsercizi svolti sui numeri complessi
Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =
Dettagli1. Distribuzioni campionarie
Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie
DettagliRelazioni statistiche: regressione e correlazione
Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
DettagliSpazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007
Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari
Dettagli4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI
119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO
DettagliQuando troncare uno sviluppo in serie di Taylor
Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in
DettagliFASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:
FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente
DettagliStatistica. Lezione 6
Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante
Dettagli(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliCapitolo 2. Operazione di limite
Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A
DettagliCalcolo del Valore Attuale Netto (VAN)
Calcolo del Valore Attuale Netto (VAN) Il calcolo del valore attuale netto (VAN) serve per determinare la redditività di un investimento. Si tratta di utilizzare un procedimento che può consentirci di
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliSia data la rete di fig. 1 costituita da tre resistori,,, e da due generatori indipendenti ideali di corrente ed. Fig. 1
Analisi delle reti 1. Analisi nodale (metodo dei potenziali dei nodi) 1.1 Analisi nodale in assenza di generatori di tensione L'analisi nodale, detta altresì metodo dei potenziali ai nodi, è un procedimento
DettagliTransitori del primo ordine
Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
Dettagli2. Leggi finanziarie di capitalizzazione
2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M
DettagliLA CORRELAZIONE LINEARE
LA CORRELAZIONE LINEARE La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ovvero, a covariare. Ad esempio, si può supporre che vi sia una relazione tra l insoddisfazione
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 12-Il t-test per campioni appaiati vers. 1.2 (7 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca
Dettaglif(x) = 1 x. Il dominio di questa funzione è il sottoinsieme proprio di R dato da
Data una funzione reale f di variabile reale x, definita su un sottoinsieme proprio D f di R (con questo voglio dire che il dominio di f è un sottoinsieme di R che non coincide con tutto R), ci si chiede
DettagliLEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.
7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
DettagliRegressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011
Regressione Esempio Un azienda manifatturiera vuole analizzare il legame che intercorre tra il volume produttivo X per uno dei propri stabilimenti e il corrispondente costo mensile Y di produzione. Volume
DettagliCome visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)
Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre
DettagliLe funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1
Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato
Dettagli(a cura di Francesca Godioli)
lezione n. 12 (a cura di Francesca Godioli) Ad ogni categoria della variabile qualitativa si può assegnare un valore numerico che viene chiamato SCORE. Passare dalla variabile qualitativa X2 a dei valori
DettagliFISICA. Le forze. Le forze. il testo: 2011/2012 La Semplificazione dei Testi Scolastici per gli Alunni Stranieri IPSIA A.
01 In questa lezione parliamo delle forze. Parliamo di forza quando: spostiamo una cosa; solleviamo un oggetto; fermiamo una palla mentre giochiamo a calcio; stringiamo una molla. Quando usiamo (applichiamo)
DettagliMatematica generale CTF
Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliOttimizazione vincolata
Ottimizazione vincolata Ricordiamo alcuni risultati provati nella scheda sulla Teoria di Dini per una funzione F : R N+M R M di classe C 1 con (x 0, y 0 ) F 1 (a), a = (a 1,, a M ), punto in cui vale l
DettagliEsercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x
FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1
DettagliStima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una
Dettagli