Fig. 2. Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo su piani esterni alla figura

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Leonora Galli
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1 3. LE PROIEZIONI ORTOGONALI Le proiezioni ortogonali sono originate dallo scopo di proiettare su un piano (il foglio della rappresentazione) un oggetto posto nello spazio, che conservi le stesse caratteristiche geometriche e dimensionali dell oggetto e che siano misurabili, riferendosi ad un rapporto predefinito fra le dimensioni dell oggetto e della sua rappresentazione (scala grafica). Per ottenere ciò i raggi di proiezione devono essere paralleli fra loro e perpendicolari al piano di proiezione. Se pensiamo ad un oggetto tridimensionale posto nello spazio possiamo rappresentare la sua forma su un piano di proiezione che potremmo di volta in volta spostare opportunamente all intorno dell oggetto sempre con raggi proiettivi paralleli e perpendicolari al piano stesso. Si ottengono così immagini bidimensionali delle facce esterne dell oggetto rappresentato. Se il piano è posto parallelamente al terreno, la proiezione ottenuta è definita come proiezione sul piano orizzontale e se spostiamo il piano parallelamente al terreno tagliando l oggetto o ponendolo sopra di esso, in architettura chiamata pianta dell oggetto. Fig. 2 Proiezioni ortogonali di un parallelepipedo su piani esterni alla figura 6

Per ottenere ciò i raggi di proiezione devono essere paralleli fra loro e perpendicolari al piano di proiezione.

2 Analogamente se il piano è posto perpendicolarmente al piano terreno (cioè al piano orizzontale) la proiezione ottenuta è definita come proiezione sul piano verticale (o verticale laterale), e tutte le proiezioni sul piano verticale in architettura sono chiamate prospetti se si riferiscono alle facce laterali dell oggetto, sezioni se si riferiscono al piano che taglia verticalmente l oggetto. E evidente che se operiamo come sopra otteniamo di volta in volta immagini bidimensionali dell oggetto rappresentato. Il sistema geometrico per ottenere contemporaneamente più immagini bidimensionali sul piano orizzontale e sul piano verticale dell oggetto è definito, nella geometria proiettiva, come sistema delle proiezioni ortogonali piane: Il metodo delle proiezioni ortogonali piane consiste nel proiettare contemporaneamente su due piani fra loro ortogonali, il piano orizzontale PO ed il piano verticale PV,che si incontrano lungo una retta, detta linea di terra LT. Se facciamo coincidere il piano orizzontale con il foglio da disegno e ribaltiamo il piano orizzontale lungo la linea di terra sul piano orizzontale otteniamo, sullo stesso foglio da disegno la figura proiettata sul piano orizzontale e quella proiettata sul piano verticale. 7

E evidente che se operiamo come sopra otteniamo di volta in volta immagini bidimensionali dell oggetto rappresentato.

3 3.1 Proiezioni di figure piane Proiezione di un punto Un punto P posto alla distanza y dal piano orizzontale PO e alla distanza x dal piano verticale PV incontra rispettivamente il piano orizzontale PO nel punto P1 ed il piano verticale PV nel punto P2 Fig. 3.1 Proiezione di un punto P sui piani PO e PV vista 3D Fig. 3.2 Proiezione di un punto P sui piani PO e PV vista 2D 8

piano orizzontale PO nel punto P1 ed il piano verticale PV nel punto P2 Fig. 3.

4 Proiezione di una retta Data una retta R si possono avere 4 casi : - 1 la retta interseca i piani PO e PV rispettivamente nei punti R1 e R2; Fig. 4.1 Proiezione di una retta generica vista 3D Fig. 4.2 Proiezione di una retta generica vista 2D 9

5 - 2 la retta R è parallela al piano PV e quindi incontra il piano PO solo nel punto R1; Fig. 5.1 Proiezione di una retta parallela a PV vista 3D Fig. 5.2 Proiezione di una retta parallela a PV vista 2D 10

6 - 3 la retta R è parallela al piano PO e quindi incontra il piano PV solo nel punto R2; Fig. 6.1 Proiezione di una retta parallela a PO vista 3D Fig. 6.2 Proiezione di una retta parallela a PO vista 2D 11

7 - 4 la retta è parallela ai due piani PO PV e quindi anche alla linea di terra T. Fig. 7.1 Proiezione di una retta parallela ai piani PO e PV vista 3D Fig. 7.2 Proiezione di una retta parallela ai piani PO e PV vista 2D I punti di intersezione della retta sul piano orizzontale e verticale sono dette tracce R1 e R2. 12

8 Proiezione di un piano Dato un piano H si possono avere 3 casi: - 1 il piano H interseca i piani PO e PV rispettivamente lungo le rette t1h e t2h; Fig. 8.1 Proiezione di un piano H vista 3D Fig. 8.2 Proiezione di un piano H vista 2D 13

9 - 2 il piano H è parallelo al piano PV e quindi incontra il piano PO solo lungo la retta t1h parallela alla linea di terra; Fig. 9.1 Proiezione di un piano H parallelo a PV vista 3D Fig. 9.2 Proiezione di un piano H parallelo a PV vista 2D 14

10 - 3 il piano H è parallelo al piano PO e quindi incontra il piano PV solo lungo la retta t2h parallela alla linea di terra. Fig Proiezione di un piano H parallelo a PO vista 3D Fig Proiezione di un piano H parallelo a PO vista 2D Le rete di intersezione del piano sui piani orizzontale e verticale sono dette tracce th1 e th2. 15

1 Proiezione di un piano H parallelo a PO vista 3D Fig. 10.

11 3.2 Condizioni di appartenenza Nelle proiezioni ortogonali delle figure geometriche si verificano le seguenti condizioni di appartenenza: - Condizione necessaria e sufficiente perché un punto P appartenga ad una retta r è che la proiezione del punto P1 sul pano orizzontale PO e P2 sul piano verticale PV appartengano alle proiezioni R1 e R2. Fig. 11 Condizioni di appartenenza tra un punto ed una retta vista 2D - Condizione necessaria e sufficiente perché una retta r appartenga ad un piano H è che la traccia R1 della retta r sul pano orizzontale PO e la traccia R2 della retta r sul piano verticale PV appartengano alle corrispondenti tracce th1 e th2 del piano H. Fig. 12 Condizioni di appartenenza tra una retta ed un piano vista 2D 16

11 Condizioni di appartenenza tra un punto ed una retta vista 2D - Condizione necessaria e sufficiente perché una retta r appartenga ad un piano H è che la traccia R1 della retta r sul

12 3.3 Condizioni di parallelismo - Condizione necessaria e sufficiente perché due rette r ed s siano fra loro parallele è che le proiezionisul PO e sul PV delle due rette siano anche esse parallele fra loro. Fig. 13 Condizioni di parallelismo tra due rette vista 2D - Condizione necessaria e sufficiente perché due piani Ha e Hb siano fra loro paralleli è che le tracce dei due piani siano anche esse parallele fra loro. 17

Fig. 13 Condizioni di parallelismo tra due rette vista 2D - Condizione necessaria e sufficiente perché

13 3.4 Condizioni di perpendicolarità - Condizione necessaria e sufficiente affinché una retta r sia perpendicolare ad un piano a è che le proiezioni della retta siano perpendicolari alle tracce omonime del piano. Fig. 14 Condizioni di peprpendicolarità tra una retta ed un piano vista 2D Le altre condizioni di perpendicolarità si possono così enunciare: - due rette sono tra loro perpendicolari quando è possibile far passare per una delle due un piano perpendicolare all altra retta. - Due piani sono perpendicolari quando sono perpendicolari fra loro due rette appartenenti ai singoli piani. 18

14 Condizioni di peprpendicolarità tra una retta ed un piano vista 2D Le altre condizioni di perpendicolarità si possono così enunciare: - due rette

14 3.5 Proiezione di figure piane e tridimensionali La rappresentazione completa di una figura (piana o tridimensionale) avviene attraverso la sua proiezione su tre piani ortogonali: - PO Piano orizzontale; - PV Piano verticale; - PV1 Piano verticale ausiliario. Fig Proiezione di una figura piana (quadrato) - vista 3D Fig Proiezione di una figura piana (quadrato) - vista 2D 19

Piano orizzontale; - PV Piano verticale; - PV1 Piano verticale ausiliario. Fig. 15.

15 Fig Proiezione di una figura tridimensionale (cubo) - vista 3D Fig Proiezione di una figura tridimensionale (cubo) - vista 2D 20

16 3.6 Esempi di proiezioni ortogonali Fig. 17 Rappresentazione di una sedia Proiezioni ortogonali e assonometriche Fig. 18 Pianta anteriore, posteriore e prospetto laterale della sedia progettata da Ritveld (disegni tratti dal laboratorio di disegno doc. Marco Cardini) 21

17 Fig Rilievo di una lampada a muro Fig Particolari della lampada (disegni tratti dal laboratorio di disegno doc. Marco Cardini) 22

18 Fig. 20 Prospetto di una cucia Fig. 21 Rappresentazione di ua poltroncina con tutti i pezzi che la compongono (disegni tratti dal laboratorio di disegno doc. Marco Cardini) 23

19 Fig Rilievo di una macchina da scrivere Olivetti Fig Progetto di una sedia (disegni tratti dal laboratorio di disegno doc. Marco Cardini) 24

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