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1 5. LE RAPPRESENTAZIONI CARTOGRAFICHE vers sostituscono le pagg (fino alle eq. 5.28) Come già visto è stato scelto l'ellissoide come riferimento planimetrico sul quale proiettare tutti i punti della superficie terrestre, il problema è ora come rappresentare le figure descritte da questi punti su una più comoda superficie piana. Il problema della rappresentazione grafica e metrica su un supporto piano di una figura posta su una superficie ellissoidica, senza con ciò produrre deformazioni inaccettabili, è stato oggetto storicamente di lunghi e complessi studi. Le superfici a doppia curvatura come la sfera o l'ellissoide non sono infatti sviluppabili sul piano senza deformazioni. Storicamente si scelse la soluzione di proiettare i punti dell'ellissoide su piani, cilindri o coni, superfici sviluppabili, limitando inoltre le deformazioni dovute a queste proiezioni in un intorno ragionevole della nazione o della regione da rappresentare cartograficamente. Molti stati utilizzano, anche oggi, una carta ottenuta da queste proiezioni, per la generalità del discorso sia queste carte che le altre che studieremo verranno chiamate rappresentazioni o semplicemente carte. Definiamo una carta una rappresentazione dell'ellissoide su un piano; da quanto premesso consegue che qualunque carta deforma una figura descritta sull'ellissoide. Dal punto di vista matematico una rappresentazione (o proiezione) è definita da una funzione biunivoca che fa corrispondere a qualunque punto dell'insieme E{φ, λ} (ellissoide) un solo punto dell'insieme carta C{x, y}. Dunque qualunque punto dell'insieme Ε ha un corrispondente nel piano C є R e viceversa (fig. 5.1). Fig. 5.1: Rappresentazioni come funzioni biunivoche. Esistono infinite funzioni f di questo tipo: nel momento in cui si sceglie, si sceglie f, si sceglie anche il tipo di deformazione connesso, che comunque è variabile da punto a punto.. In generale se s e è una curva tracciata sull ellissoide ed s c è quella che la rappresenta sulla carta, si dice che s c è la trasformata di s e. Di particolare interesse sono le trasformate dei meridiani e dei paralleli, che costituiscono il canovaccio o reticolato geografico della carta, perché danno una visione immediata e sintetica delle deformazioni, specie quando sono rappresentate insieme alle ellissi di Tissot di cui si parlerà a breve. Il prodotto della rappresentazione è in generale una rappresentazione grafica, piana e deformata, degli elementi fisici del paesaggio terrestre; le deformazioni vengono studiate secondo la tipologia, introducendo opportuni parametri quantitativi (fig. 5.2):

2 a b Fig. 5.2 Ellissoide (a) e sua rappresentazione (b). - lineare: ad un arco di lunghezza infinitesima ds e sull'ellissoide corrisponde un arco, pure infinitesimo, ds c sulla carta. Il modulo di deformazione lineare è definito come il rapporto: m = ds c / ds e areale: ad una superficie infinitesima di area dσ e sull'ellissoide, corrisponde una superficie di area infinitesima dσ c sulla carta. Il modulo di deformazione areale è definito come il rapporto: m A = dσ c / dσ e angolare: detti α l azimut dell'elemento ds e di geodetica uscente da P (cioè l angolo che esso forma col meridiano passante per P) ed α' l'angolo che la trasformata ds c di ds e forma con la trasformata del meridiano (fig. 5.2), la deformazione angolare nel punto P è definita come la differenza: δ = α' α 5.3 Per caratterizzare una rappresentazione vengono utilizzate: - le formule dirette, che consentono di calcolare le coordinate x, y del punto della carta che rappresenta il punto di coordinate φ, λ sull ellissoide: f: x = x (φ, λ), y = y (φ, λ) 5.4a ed inverse, che consentono di calcolare le coordinate coordinate φ, λ del punto dell ellissoide che è rappresentato dal punto di coordinate x, y sulla carta: f 1 : φ = φ(x, y), λ = λ(x, y) 5.4b con la condizione ( x / φ) ( y / λ) ( x / λ) ( y / φ) > (positività del determinante jacobiano) che ne garantisce la biunivocità e la conservazione dell orientamento. - la definizione di reticolato geografico (o canovaccio), cioè le trasformate di meridiani e paralleli e l'angolo γ che la trasformata ad un meridiano forma con la direzione dell'asse y (da non confondere con la convergenza del meridiano). - la deformazione di un arco finito di geodetica sulla rappresentazione; in particolare: la lunghezza l' dell'arco di trasformata della geodetica passante per P e Q sull'ellissoide e per P' e Q' sulla carta; gli angoli ε P ed ε Q, detti riduzioni alla corda, che sono gli angoli tra la trasformata l dell arco di geodetica PQ ed il segmento rettilineo P'Q' nei due punti estremi P e Q (fig. 5.3).

3 Fig. 5.3: Riduzioni alla corda. 5.1 CLASSIFICAZIONE DELLE RAPPRESENTAZIONI In base al tipo di deformazione si distinguono carte: isogone o conformi: sono quelle che nella rappresentazione conservano gli angoli e quindi, per dimensioni infinitesime, la similitudine tra le figure sull ellissoide e le loro rappresentazioni sulla carta. Segue da questa definizione che il modulo di deformazione lineare m, pur variando da punto a punto, non varia in funzione dell'azimut α. cioè la deformazione angolare è nulla in qualunque punto. Queste carte sono adatte fra l'altro alla navigazione (per individuare correttamente la rotta), ma sono le più usate anche per scopi topografici; equivalenti: sono le carte che conservano costante il rapporto fra le aree di quadrilateri infinitesimi: m A = cost = 1. Queste carte sono più adatte per scopi catastali ove è necessario che si mantenga invariata la superficie che è possibile ricavare da misure cartografiche; afilattiche: sono le rappresentazioni appartengono alle altre due categoria. È bene ribadire che non esistono carte conformi ed assieme equivalenti, in questo caso non esisterebbe deformazione, tuttavia particolari carte afilattiche rendono accettabili, in zone limitate, entrambi i tipi di deformazione. È possibile tuttavia cercare tra tutte le carte conformi quella di minor deformazione areale o, fra le equivalenti, quella di minor deformazione angolare. Fig. 5.4: Arco ds e sull ellissoide e sua rappresentazione ds c sulla carta

4 5.2 ELLISSE INDICATRICE DEL MODULO DI DEFORMAZIONE LINEARE O DI TISSOT Si consideri un trapezoide infinitesimo della superficie dell'ellissoide delimitato da due archi di meridiano e da due archi di parallelo, di area ds e, che si trasforma sulla carta nel quadrilatero di area ds c ; dalla figura 5.4 sull ellissoide si ha: ds e 2 = r 2 dλ 2 + ρ 2 dφ 2 e, sulla carta: 2 ds c = dx 2 + dy Prima di procedere conviene introdurre la variabile u definita dalla relazione du = ρ dφ/ r, da cui segue che è e quindi u = [ ( ρ dφ/ r) ] 0 r u = 0. 5 ln { (1+sin φ)[(1- sin φ )/(1+ sin φ )] e/2 / (1- sin φ ) } = = ln [ (1- sin φ )/(1+ sin φ )] e/2 ] / tang (φ/2 + π/4) Il sistema di coordinate (λ, u) si dice isometrico perché utilizzando r du /ρ al posto di dφ la prima uguaglianza scritta sopra può essere messa nella forma 2 ds e = r 2 (dλ 2 + du 2 ) in cui i differenziali dλ e du hanno lo stesso coefficiente. Le 5.4 e 5.5, sostituendovi u a φ, diventano: f: x = x (u, λ), y = y (u, λ) 5.4a f 1 : u = φ(x, y), λ = λ(x, y) 5.4b ( x / u) ( y / λ) ( x / λ) ( y / u) > Posto per semplicità x u = x / u; x λ = x / λ; y u = y / u; y λ = y / λ, in base alle 5.4 si può scrivere: per cui dalla 5.6 segue che è: dx = x u du + x λ dλ dy = y u du + y λ dλ ds c 2 = (x u 2 + y u 2 ) du (x u x λ + y u y λ ) du dλ + (x λ 2 + y λ 2 ) dλ Se per brevità si indicano con e, f, g i fattori in parentesi, si può scrivere: ds c 2 = e du f du dλ + g dλ Dalla figura 5.4a risulta che è: tg α = r dλ / ρ dφ = dλ / du 5.9 nonché ρ dφ = ds e cos α; r dλ = ds e sin α per cui dφ = ds e cos α / ρ; dλ = ds e sin α / r o anche:

5 du = (ρ / r) dφ = (ρ / r) ds e cos α / ρ = ds e cos α / r dλ = ds e sin α / r e quindi la 5.8 diventa ds 2 c = e (ds e cosα / r) 2 + 2f (ds e cosα / r ) (ds e sinα /r) + g (ds e sinα / r ) 2 = = ds 2 e [e cos 2 α + 2 f sin α cos α + g sin 2 α] / r 2 Per il quadrato del modulo di deformazione m si può allora scrivere: m 2 = ds 2 c / ds 2 e = (e cos 2 α + 2 f sin α cos α + g sin 2 α) / r o anche: m 2 = E cos 2 α + 2F sinα cosα + G sin 2 α 5.11 con: E = e / r 2 F = f / r 2 G = g / r 2 y O Si indichi con O il punto iniziale dell arco ds e e sul piano π tangente all ellissoide in O si tracci la retta tangente al meridiano per O assumendola come asse y di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale OXY sull ellissoide. Scelto sulla retta t tangente a ds e in O il punto A tale che OA = 1/m, le sue coordinate risultano essere X = OA sen α= sen α / m Y = OA cos α= cos α / m Sostituendo nella 5.11, si ottiene: E X F X Y + G Y 2 = È noto dalla geometria analitica che un equazione del tipo h x j xy + k y p x + 2 q y +s = rappresenta una sezione conica, cioè l intersezione di un piano con una superficie conica. A parte i casi particolari in cui tale curva si riduce a due rette, ad una retta o anche ad un singolo punto, tale curva è un iperbole se j 2 > hk; una parabola se j 2 = hk; un ellisse se j 2 < hk. In questo terzo caso, l ellisse ha il centro nell origine degli assi se è p = q = 0. Ricordando le definizioni di E, F e G, risulta: E G F 2 = x 2 u x λ + x u y λ + y 2 u x 2 λ + y 2 u y 2 λ - x 2 u x 2 λ -2 x u x λ y u y λ - y 2 2 u y λ = 2 2 = x u y λ + y 2 u x 2 λ - 2 x u x λ y u y λ = (x u y λ - y u x 2 λ) 0 La quantità E G F 2, che risulta essere il quadrato del determinante jacobiano, è sempre non negativo, ma, ricordando la condizione 5.5, è anche sempre E G F 2 > 0, cioè E G > F 2. Poiché nella 5.12 i coefficienti E, F, G corrispondono ad h, j, k della 5.13, si può affermare allora che tale equazione rappresenta un ellisse il cui centro coincide con l origine degli assi, cioè col punto O, in quanto sono nulli i coefficienti dei termini in X ed Y. I suoi punti vengono descritti al variare dell azimut α per cui il suo grafico rappresenta, mediante la distanza dei suoi punti dal centro, l andamento del modulo di deformazione lineare al variare dell azimut intorno ad O. Per questo motivo essa viene detta ellisse indicatrice del modulo di deformazione lineare o, più brevemente, ellisse indicatrice o ellisse di Tissot. Ovviamente, per le carte conformi l ellisse di Tissot si riduce ad una circonferenza.

6 5.3 EQUAZIONI GENERALI DELLE CARTE CONFORMI Dalla 5.11 segue subito che m 2 (0 ) = E e che m 2 (90 ) = G. Per una carta conforme, come già osservato, m (e quindi m 2 ) non varia al variare di α: dalla condizione m 2 (0 ) = m 2 (90 ) segue quindi che per le carte conformi è E = G, mentre la 5.11 diventa E cos 2 α + 2 F sinα cosα + E sin 2 α = m 2 L ellisse di Tissot per una carta conforme si riduce ad una circonferenza dovendo i suoi punti essere equidistanti dal centro, per cui la 5.12 deve assumere la forma: X 2 + Y 2 = m 2 /E Per una carta conforme deve anche essere F = 0 e, corrispondentemente deve anche essere f = 0, oltre che e = g;. Ricordando la definizione di f, dalla relazione f = 0 segue x u x λ = - y u y λ e quindi x λ / y λ = - y u / x u 5.14 oltre che y u = - x u x λ / y λ. Ricordando anche quest ultima, allo stesso modo la relazione e = g fornisce a sua volta x 2 u + y 2 u = y 2 λ + y 2 da cui segue: x 2 u +(-x u x λ / y λ ) 2 - y 2 λ [1+(y u / y λ ) 2 ] = x 2 u [1 +(x λ / y λ ) 2 ] -y 2 λ [1+(y u / y λ ) 2 ] = = (x 2 u - y 2 λ ) [1+(y u / y λ ) 2 ] =0 Dalla relazione (x 2 u - y 2 λ ) [1+(y u / y λ ) 2 ] =0, essendo sempre 1+(y u / y λ ) 2 1, segue che deve anche essere (x 2 u - y 2 λ ) = 0 e quindi x 2 u - y 2 λ = 0, cioè x u = ± y λ. Esistono motivi per scartare in quest ultima la soluzione col segno negativo, per cui in definitiva si può scrivere x u = y λ 5.15 Le relazioni 5.14 e 5.15 possono essere interpretate dicendo che per avere una rappresentazione conforme le equazioni della carta devono soddisfare il sistema di equazioni differenziali ( x / u) ( x / λ) = - ( y / u) ( y / λ) ( x / u) = y / λ 5.16 che vengono perciò dette equazioni generali delle carte conformi, oltre ad altre condizioni particolari. È bene osservare che per la 5.11, risulta m = e / r: il modulo di deformazione lineare non varia con l azimut, ma varia comunque da punto a punto. 5.3 EQUAZIONI GENERALI DELLE CARTE EQUIVALENTI Si consideri ancora sull ellissoide un quadrilatero delimitato da due coppie di meridiani e paralleli posti a distanza infinitesima l uno dall altro (fig. 5.5a). Poiché i suoi lati hanno lunghezza r dλ e ρ dφ = r du, la sua area infinitesima vale dσ e = ρ dφ r. dλ = r 2 du dλ La sua diagonale ds e è rappresentata sulla carta dall arco ds c, mentre ai suoi lati corrispondono sulla carta rispettivamente gli archi di lunghezza

7 Fig. 5.5a Fig.5.5b Fig. 5.5: Moduli di deformazione di elementi ds λ = (x u 2 + y u 2 ) ½ du = e du ds u = (x λ 2 + y λ 2 ) ½ dλ = g dλ Queste relazioni dovrebbero avere al secondo membro tre addendi come la 5.7, ma nella prima mancano i termini in dλ perché lungo un parallelo è dλ= 0, nella seconda mancano quelli in du perché lungo un parallelo è du = 0. L area ds c del quadrilatero sulla carta è data da ds c = 2 [ds λ ds u (sin ω) /2)] = ds λ ds u sin ω = e du g dλ = (e g) du dλ Dunque il modulo di deformazione areale m A vale: m A = dσ c / dσ e = (e g) du dλ /( r 2 du dλ) = (e g) sin ω /r 2 = (E G) sin ω Per il teorema di Carnot, risulta ds 2 c = ds 2 λ + ds 2 u + 2 ds λ ds u cos ω = e du 2 + g dλ (e g) du dλ cos ω Dal confronto di questa espressione con la 5.8 segue che deve essere f = (e g) cos ω e quindi cos ω = f / (e g) da cui segue anche che è sin ω = (1 - cos 2 ω) = [ 1 - (f 2 / eg)] = [(eg f 2 ) / e g] Sostituendovi sin ω con il suo valore appena trovato, la precedente espressione di m A diventa m A = (E G) = ( (eg) / r 2 ) [ (eg f 2 ) / e g] = ( (eg f 2 ) )/ r Per definizione, per ogni carta equivalente deve essere m A = cost = 1. Con questa condizione, la 5.19 diventa: ( (eg f 2 ) ) = r 2 che, ricordando le definizioni di e, f e g si può scrivere come: [(x 2 u + y 2 u ) (x 2 λ + y 2 λ ) - (x u x λ + y u y λ ) 2 ] = r 2 Sviluppando il prodotto ed il quadrato sotto il segno di radice e riordinando si ottiene: x λ y u - x u y λ = r 2 Ancora ricordando le posizioni fatte in precedenza, da quest ultima si ottiene: ( x/ λ) ( y/ u) ( x / u) ( y / λ) = r 2 ( x / λ) ( y/ φ) (dφ/ du) - ( x/ φ) (dφ / du) ( y/ λ) = r 2 tenendo infine conto della definizione della variabile u deriva che è dφ/ du = r / ρ, si può scrivere: ( x / λ) ( y/ φ) - ( x/ φ) ( y/ λ) = r ρ 5.20 che è l equazione generale delle carte equivalenti. 5.4 LA DEFORMAZIONE ANGOLARE Cerchiamo ora da queste espressioni di ricavare la deformazione angolare δ secondo la 5.3. Dalla fig. 5.5.b risulta che per α', rappresentazione dell'angolo α sull'ellissoide, è: tg α' = [ ( g dλ) / ( e dφ)] tg α = [ (r dλ) / ( ρ dφ)]

8 Da queste si ottiene immediatamente: tg(α α ) = tg δ = [(tg α tg α) / (1 + tg α tg α)] e, con qualche passaggio, si perviene alla relazione generale: tg δ = { [ρ (g/e) / r -1] tg α} /{1 + [ρ tg 2 α (g/e) / r] } nella quale è facile osservare che la deformazione angolare dipende in genere dall'azimut α. Proiezione di Gauss

9 Bonne Cassini Goode omalografica Hammer

10 Lambert conforme Mercatore M Mollweide Robinson

11 Omalosina di Goode Streografica polare Sinusoidale

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