Controllo e correzione degli errori

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1 FONDAMENTI DI INFORMATICA Prof. PIER LUCA MONTESSORO Facoltà di Ingegneria Università degli Studi di Udine Controllo e correzione degli errori 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 1

2 Nota di Copyright Questo insieme di trasparenze detto nel seguito slide è protetto dalle leggi sul copyright e dalle disposizioni dei trattati internazionali. Il titolo ed i copyright relativi alle slides ivi inclusi, ma non limitatamente, ogni immagine, fotografia, animazione, video, audio, musica e testo sono di proprietà dell autore prof. Pier Luca Montessoro, Università degli Studi di Udine. Le slide possono essere riprodotte ed utilizzate liberamente dagli istituti di ricerca, scolastici ed universitari afferenti al Ministero della Pubblica Istruzione e al Ministero dell Università e Ricerca Scientifica e Tecnologica, per scopi istituzionali, non a fine di lucro. In tal caso non è richiesta alcuna autorizzazione. Ogni altro utilizzo o riproduzione ivi incluse, ma non limitatamente, le riproduzioni su supporti magnetici, su reti di calcolatori e stampe in toto o in parte è vietata, se non esplicitamente autorizzata per iscritto, a priori, da parte dell autore. L informazione contenuta in queste slide è ritenuta essere accurata alla data della pubblicazione. Essa è fornita per scopi meramente didattici e non per essere utilizzata in progetti di impianti, prodotti, reti, ecc. In ogni caso essa è soggetta a cambiamenti senza preavviso. L autore non assume alcuna responsabilità per il contenuto di queste slide ivi incluse, ma non limitatamente, la correttezza, completezza, applicabilità, aggiornamento dell informazione. In ogni caso non può essere dichiarata conformità all informazione contenuta in queste slide. In ogni caso questa nota di copyright e il suo richiamo in calce ad ogni slide non devono mai essere rimossi e devono essere riportati anche in utilizzi parziali Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 2

3 Ridondanza La memorizzazione/trasmissione dei dati è soggetta ad errori Si possono aggiungere ai dati informazioni ridondanti per: controllarne la correttezza correggere quando possibile gli errori 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 3

4 Controllo e correzione degli errori in fase di codifica o memorizzazione o trasmissione dati f dati CRC dati CRC Nell esempio: Cyclic Redundancy Check = f dati 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 4

5 Controllo e correzione degli errori in fase di decodifica o lettura o ricezione dati CRC f dati NO se possibile si correggono i bit errati, altrimenti si segnale l errore =? CRC SÌ i dati ricevuti sono corretti 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 5

6 Alcune tecniche Parità solo controllo Somma di blocco controllo e correzione Codici polinomiali solo controllo Codici di Hamming controllo e correzione Codici a convoluzione controllo e correzione 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 6

7 Parità Ad ogni dato es. 1 codice ASCII su 7 bit viene aggiunto un bit tale che il numero totale di bit a 1 sia sempre pari parità pari o sempre dispari parità dispari 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 7

8 Esempio: parità pari bit di parità P = A 1 A 2... A n 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 8

9 Distanza di Hamming Numero minimo di bit in cui differiscono due parole del codice dato + informazione ridondante valide Nella tecnica di parità: distanza di Hamming = 2 almeno due bit differenti quindi lo schema individua errori singoli e non doppi 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 9

10 Distanza di Hamming Distanza di Hamming dell intero codice: HD = min { HD di tutte le possibili coppie di parole del codice } Per rilevare k errori HD del codice deve essere k+1 Per correggere k errori HD del codice deve essere 2k Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 10

11 Somma di blocco Opera su blocchi di dati con parità detta trasversale o di riga, relativa a ciascun dato Si aggiunge al termine del blocco una serie di di bit di parità relativi ai bit di una data posizione in tutti i dati del blocco parità longitudinale o di colonna 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 11

12 Esempio: parità pari bit di parità di riga bit di parità di colonna 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 12

13 Esempio: parità pari con errore di lettura e correzione errore errore Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 13

14 Codici polinomiali Codici adatti nel caso di errori a burst danneggiano più bit consecutivi Si definisce uno schema di n+1 bit detto generatore G, comune a trasmettitore e ricevitore Si aggiungono al messaggio M lungo k bit n bit tali che i k+n bit trasmessi siano divisibili per G in aritmetica modulo 2 Gli r bit aggiunti sono detti FCP Frame Check Sequence o CRC Cyclic Redundancy Check 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 14

15 Codici polinomiali Il calcolo del CRC si basa su alcune proprietà dell aritmetica modulo 2: non ci sono riporti nelle addizioni non ci sono prestiti nelle sottrazioni addizioni e sottrazioni sono identiche e coincidono con l operazione di EXOR Di conseguenza, A + A = Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 15

16 Divisione modulo 2 La divisione in aritmetica modulo due procede come in aritmetica decimale, ma con EXOR al posto delle sottrazioni Il divisore sta dentro il dividendo se il dividendo ha tanti bit quanti il divisore 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 16

17 Divisione modulo : 10 = resto il parziale corrente 001 ha meno bit significativi del divisore: aggiungo uno zero al quoziente e abbasso un altra cifra NOTA: in generale, il risultato di una divisione modulo due non coincide con il risultato della divisione normale 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 17

18 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n Proprietà della divisione modulo 2 2 G R Q G M n + = nell aritmetica modulo 2 la somma di due numeri uguali dà zero, quindi: 2 G R G R Q G R G M n + + = + 2 Q G R M n = +

19 Sia: Codici polinomiali M il messaggio da trasmettere su k bit G il numero generatore che sarà usato come divisore su n+1 bit R il resto su n<k bit di M 2 n /G Si genera la parola di codice appendendo R al messaggio Se il messaggio comprensivo di R è corretto, la divisione per il numero generatore deve dare resto zero 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 19

20 : 101 = CRC Esempio G: 101 quindi CRC su 2 bit, uno in meno dei bit di G M: 1110 bit a zero equivalenti alla moltiplicazione per 2 n verranno sostituiti da R il CRC il quoziente viene ignorato ai fini del calcolo del CRC messaggio con CRC: M CRC 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 20

21 Esempio ricezione corretta: esempio di ricezione errata: : 101 = resto zero: OK : 101 = resto non zero: errore! 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 21

22 Codici polinomiali Polinomi generatori standard: CRC-8: X 8 +X 2 +X CRC-16: X 16 +X 15 +X CRC-CCITT: X 16 +X 12 +X 5 +1 CRC-32: X 32 +X 26 +X 23 +X 16 +X 12 +X X 10 +X 8 +X 7 +X 5 +X 4 +X 2 +X Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 22

23 Codici di Hamming Un semplice codice di Hamming a 1 bit aggiunge al messaggio la somma modulo due delle posizioni dei bit a 1 del messaggio stesso Tale somma occupa nel messaggio le posizioni corrispondenti al peso di ogni singolo bit della somma stessa Consente la correzione di errori singoli 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 23

24 Esempio 11 = = = = Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 24

25 Esempio In ricezione si sommano modulo 2 le posizioni in cui ci sono dei bit a 1 se la somma è zero il messaggio è probabilmente corretto se la somma è diversa da zero il valore ottenuto è la posizione del bit errato è infatti il valore - posizione di un bit a 1 - che manca o che è di troppo nella somma 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 25

26 Esempio = = = = = = messaggio corretto 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 26

27 Esempio = = = = = errore al bit Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 27

28 Codici a convoluzione Molto utilizzati nella trasmissione dei dati Non sono limitati al singolo blocco di dato: viene elaborato l intero flusso Si basano su un sistema con memoria in cui il risultato della decodifica di un dato è funzione dei dati ricevuti in precedenza 2000 Pier Luca Montessoro si veda la nota di copyright alla slide n. 2 28