Cenni di Elettronica non Lineare

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1 1 Cenni di Elettronica non Lineare RUOLO DELL ELETTRONICA NON LINEARE La differenza principale tra l elettronica lineare e quella non-lineare risiede nel tipo di informazione che viene elaborata. L elettronica LINEARE ( amplificatori, filtri, integratori, oscillatori, sfasatori), elabora le informazioni sotto forma di tensioni e correnti. In altre parole elabora la variabile che si trova sulle ordinate dei grafici temporali delle grandezze elettriche. I circuiti di elettronica lineare ( a parte gli oscillatori) sono caratterizzati da una funzione di trasferimento data dal rapporto tra la grandezza elettrica in uscita e quella in ingresso. Il componente principale è l amplificatore operazionale di segnale, caratterizzato da un elevato valore della amplificazione ad anello aperto (Avol), ma in generale possiede delle limitazioni in termini di velocità di risposta a sollecitazioni a gradino. Nei circuiti di elettronica NON LINEARE le informazioni elaborate sono contenute sull asse dei tempi, mentre i valori delle tensioni non sono significativi ai fini informativi. Questi circuiti quindi elaborano il tempo, nel senso che marcano determinati istanti temporali per mezzo della rapida commutazione dell uscita tra due valori prefissati di tensione. Le forme d onda presenti in uscita sono in generale delle funzioni discontinue che presentano dei fronti verticali in salita o discesa. Un onda quadra è appunto il tipico prodotto dell elettronica non lineare. Il componente principale dell elettronica non lineare è il comparatore, una sorta di amplificatore operazionale ( possiede in pratica lo stesso simbolo circuitale e lo stesso circuito equivalente) il quale possiede delle differenze strutturali interne (reazione interna positiva) che lo rendono adatto a fornire in uscita delle commutazioni veloci (poli reali positivi). Proprio in virtù di queste caratteristiche non è possibile utilizzare il comparatore come amplificatore operazionale nell elettronica lineare in quanto causerebbe delle auto-oscillazioni e delle instabilità non correggibili. DIFFERENZA TRA IL COMPARATORE E L AMPLIFICATORE OPERAZIONALE DI SEGNALE Anche se l amplificatore operazionale di segnale ed il comparatore hanno lo stesso circuito equivalente (Zin=inf., Generatore controllato Avol Vin ), il loro comportamento è molto differente e di fatto vengono utilizzati in ambiti progettuali diversi ed il loro ruolo non è intercambiabile. Nella figura seguente si vede il comportamento dell uscita dell integrato sotto lo stimolo di una tensione di ingresso variabile a gradino. Il comparatore reagisce in un tempo estremamente breve, riuscendo a seguire fedelmente il gradino della tensione in ingresso. Di contro, nell amplificatore di segnale l uscita sale lentamente con una velocità di salita massima abbastanza bassa (denominata slew rate). Esso è quindi inadatto a marcare il tempo con transizioni rapide della tensione in uscita. Le ragioni di questo diverso comportamento risiedono nell interno dei circuiti integrati stessi.

2 2 Il comparatore reagisce velocemente perché ha internamente delle reazioni positive (poli a parte reale positiva) che accelerano le transizioni. Se si usasse il comparatore per realizzare un amplificatore analogico con reazione, questo sarebbe caratterizzato da auto-oscillazioni dovute appunto alle reazioni positive interne. Di contro, l amplificatore di segnale usato nella elettronica non lineare possiede uno slew rate limitato perché al suo interno sono state collocate delle capacità di compensazione (che introducono dei precoci poli dominanti a 10 Hz) che hanno il ruolo di impedire l innesco di auto-oscillazioni nel caso in cui la reazione negativa sia troppo piccola e l amplificazione troppo grande. IL COMPARATORE Di fatto il comparatore può essere considerato come un amplificatore di segno. Infatti proprio perché possiede al suo interno un generatore ideale controllato Avol Vin, con Avol molto grande tendente all infinito, lo stato della tensione di uscita alto o basso dipende non dal valore assoluto ma dal segno della differenza di tensioni tra gli ingressi + e -. Viene utilizzato per squadrare delle tensioni variabili nel tempo, oppure per marcare con delle transizioni nette i passaggi della tensione Vs attraverso un valore di soglia prefissato Vp, come si può vedere dalla figura seguente. In assenza del blocco in uscita formato dai due diodi e da Ro, la tensione in uscita andrebbe in saturazione a +Vcc o a Vee, a seconda della polarità. Questo fatto è in generale da evitarsi perché in tal modo si spingerebbero in saturazione i transitori interni dello stadio di uscita dell amplificatore operazionale, rallentando così le commutazioni di uscita da questa condizione. Proprio per evitare questo fatto si mette il blocco con Ro e con due diodi Zener. Il diodo Zener possiede una prefissata tensione di beakdown (Vz) in polarizzazione inversa, non superabile se non a correnti molto alte che ne provocano la rottura. La presenza dei diodi Zener contrapposti di fatto taglia la tensione di uscita ai valori +Vz e Vz, impedendo la saturazione dei transistor ( in realtà il valore di taglio è Vz+Vγ perché quando un diodo è polarizzato in inversa l altro conduce e la sua caduta è Vγ). La Ro di poche decine di ohm limita la corrente massima erogabile in modo da salvare i diodi Zener dalla rottura per corrente troppo elevata In realtà, come si vede dalla figura seguente in basso, il comparatore da solo non si può impiegare. Infatti a causa della presenza ineliminabile del rumore (segnale a valor medio nullo sovrapposto ai segnali deterministici), sia su Vs che su Vp, in corrispondenza di un incrocio tra segnale e soglia possono accadere una serie di attraversamenti molto ravvicinati tra di loro, i quali generano delle ALEE, ovvero delle transizioni multiple imprevedibili della tensione in uscita. Per evitare questo fatto spiacevole si utilizza il comparatore con isteresi detto anche Trigger di Schmidt.

3 3 COMPARATORE CON ISTERESI (Circuito BISTABILE) Il comparatore con isteresi è studiato apposta per evitare la presenza delle transizioni spurie. Esso possiede una reazione positiva tra l uscita e l ingresso + (I+) del comparatore. Sull ingresso I+ si viene a stabilire una tensione dipendente dal valore dell uscita; tale tensione costituisce la soglia per la commutazione del comparatore. Sull ingresso (I-) è presente invece una tensione qualsiasi variabile nel tempo Vs(t). soglia alta : +Vz * R2/(R1+R2) = + β Vz soglia bassa:-vz * R2/(R1+R2) = - β Vz Con riferimento alla figura di sopra si vede che tra 0 e t1 la tensione Vs sta scendendo. L uscita è a Vz in quanto la tensione sugli ingressi Vin è negativa. Al tempo t1, il commutatore scatta a + Vz, quando la tensione Vin diventa positiva in quanto Vs attraversa la soglia - β Vz. Per poter scattare di nuovo verso il basso la tensione Vs deve risalire fino al valore della nuova soglia + β Vz. ( istante t2.). Ecco quindi che, se si impone l ampiezza dell isteresi 2 β Vz maggiore dell ampiezza del rumore, si evitano le alee delle commutazioni. Nella stessa figura di sopra, in basso al centro è disegnata la caratteristica di trasferimento del circuito bistabile. Questa curva è la tensione di uscita in funzione della tensione in ingresso. Si vede che tale caratteristica è appunto caratterizzata da una isteresi in cui i versi di percorrenza sono marcati dai versi delle frecce. R2, le due soglie assumono la seguente espressione: Nel caso precedente le due soglie di commutazione sono simmetriche rispetto allo 0. E possibile spostare i due valori di scatto del comparatore per mezzo della modifica illustrata nel circuito a lato. In questo caso la fascia di isteresi di commutazione viene resa asimmetrica rispetto allo zero dalla presenza della tensione Vp. Infatti, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti ai rami con R1 ed soglia alta +Vz * R2/(R1+R2) + Vp * R1/(R1+R2) = + β Vz + (1-β) Vp soglia bassa -Vz * R2/(R1+R2) + Vp * R1/(R1+R2) = - β Vz + (1-β) Vp

4 4 L isteresi di larghezza 2 β Vz viene quindi spostata sull asse delle tensioni della quantità (1-β) Vp. CIRCUITO MULTIVIBRATORE ASTABILE Il Circuito Multivibratore Astabile ha questa denominazione perché nessuno dei due stati della tensione di uscita può essere assunto in maniera stabile, ma soltanto in forma transitoria. Il circuito commuta quindi continuamente da +Vz a Vz, secondo una certa precisa cadenza, generando quindi un onda quadra utilizzabile come generatore di clock o, insieme ad uno stadio integratore, è in grado di generare un onda triangolare. Il circuito astabile è riportato nella figura seguente. Al tempo t=0 si supponga che la tensione Vc sia nulla e la tensione in uscita sia alta (+Vz) e la soglia sia al suo stato alto (+ β Vz). (il valore assunto in uscita +Vz è congruente con il segno della differenza tra le tensioni in ingresso al comparatore). In questa fase il condensatore tende a caricarsi, cercando di raggiungere il valore +Vz, seguendo una legge esponenziale. Non appena Vc supera la soglia il comparatore scatta a Vz. (tempo t1). Il condensatore, il quale risulta in questo istante carico a + β Vz, tende da ora in poi a scaricarsi attraverso la resistenza Rc in modo da raggiungere a t=infinito il valore Vz. In questa fase l espressione analitica del transitorio di scarica della capacità è il seguente: Vc 1 (t) = Vz * (1+β) exp(-t / RC) Vz Questo regime dura fino a t2 quando la Vc attraversa in discesa la soglia bassa, per cui il comparatore scatta di nuovo verso l alto. Da t2 in poi, il nuovo transitorio di carica del condensatore assume la forma seguente: Vc 2 (t) =Vz - Vz * (1+β) exp(-t / RC) Proprio perchè l isteresi è simmetrica e le costanti di tempo di carica e scarica sono uguali, i tempi di permanenza a +Vz e Vz sono uguali e in uscita è presente un onda quadra con duty cicle (percentuale del tempo alto) del 50%. La durata di un semiperiodo dell onda si ottiene dalla seguente equazione: Vc 2 (t2-t1)= Vz * (1+β) exp(-t* / RC) Vz = - β * Vz Per cui il semiperiodo dell onda quadra è t* = RC log[(1+β)/(1-β)] mentre il periodo è T=2 t* e la frequenza è quindi data dalla seguente formula:

5 5 f = 1/{(2 RC) log[(1+β)/(1-β)]} Nel circuito precedente la semionda positiva e quella negativa dell onda quadra hanno la stessa durata (duty cycle 50%). Se voglio dissimmetrizzare l onda quadra, ovvero se voglio fare in modo che la semionda positiva abbia durata diversa da quella negativa, è sufficiente fare in modo che la carica e la scarica del condensatore avvengano con costanti di tempo diverse, come nel circuito a fianco. Data la presenza dei diodi D1 e D2 che consentono il passaggio della corrente soltanto in un verso, la costante di tempo di carica è R3 C mentre quella di scarica è R4 C. CIRCUITO MONOSTABILE NON RETRIGGERABILE Il circuito monostabile ha la funzione di costruire un impulso rettangolare squadrato, di durata prefissata sotto lo stimolo di un trigger (grilletto in inglese) ovvero di un impulso di forma irregolare generato ad esempio da un blocco derivatore a partire da un rapido fronte di salita in ingresso. Viene detto MONOSTABILE proprio perché, tra i due stati dell uscita, soltanto uno può essere mantenuto in forma stabile mentre l altro può essere assunto soltanto in forma transitoria. Il circuito del monostabile è del tutto simile a quello dell astabile con l aggiunta del diodo D1 e dell ingresso per il trigger Vk con il diodo D2. All inizio, essendo la tensione di uscita alta a livello Vz, e la soglia sull ingresso + fissa a + βvz, il condensatore tenderebbe a ad aumentare la tensione con legge esponenziale. Tuttavia, data la presenza del diodo D1 in parallelo, la tensione Vc non può superare il valore di 0.7 V pari alla Vγ del diodo. Per questa ragione viene impedito il superamento della soglia per lo scatto in basso. La tensione di trigger Vk è normalmente a valori alti (es. + 5V) e comunque maggiori di + βvz. In queste condizioni statiche il diodo D2 è interdetto per cui la Vk risulta scollegata dal circuito. Al tempo t=0 la tensione Vk subisce un impulso negativo con un valore minimo negativo minore di 0 ( si ricordi che Vk rappresenta un generatore di tensione ideale). Durante questo impulso la tensione sul catodo di D2 scende bruscamente e fa entrare in conduzione diretta D2 stesso la cui tensione ai capi è pari a 0.7 V. In altre parole, Vk trascina verso il basso il potenziale dell ingresso + il quale risulta uguale a Vk+Vγ. Quindi per far commutare in basso l uscita del comparatore, visto che la Vc non può raggiungere la soglia, si fa in modo che la soglia sia trascinata in basso al di sotto del valore di regime di Vc. Seguendo questo ragionamento, si può facilmente stabilire che per azionare l impulso negativo la tensione Vk deve andare a valori minori di zero affinchè l ingresso + possa andare a valori minori di Vγ. Una volta che la tensione di uscita è scattata a Vz l evoluzione del circuito è come quello dell astabile fino al pieno ripristino della situazione di regime al tempo t**. E facile vedere che durante l impulso di uscita negativo, l espressione della tensione sul condensatore è la seguente: Vc(t) = (Vz+Vγ) * exp(-t/rc C) Vz e quindi la durata dell impulso negativo si trova per t = t* quando Vc(t*)=-β Vz.

6 6 t* = Rc C * log [(Vz+Vγ)/Vz*(1-β)] La qualifica NON-RETRIGGERABILE vuol dire in pratica che l impulso dell uscita di durata t* non può essere interrotto da un altro trigger della Vk emesso subito dopo. Infatti stando così la forma della tensione Vk, il monostabile ritorna ad essere attivo, ovvero pronto a ricevere un altro trigger e a far partire un nuovo impulso rettangolare in uscita, soltanto quando la tensione Vc è ritornata al suo valore di regime stazionario, ovvero soltanto dopo il tempo t**. Per ottenere un monostabile duale, con lo stato basso come stato stabile e che genera un impulso rettangolare positivo, è sufficiente invertire le polarità dei diodi D1 e D2 e la tensione Vk. CIRCUITO MONOSTABILE RETRIGGERABILE Il circuito in figura costituisce invece un monostabile RETRIGGERABILE. Anche in questo caso la Vk è la tensione di trigger, normalmente a 0V con brevi (ma questa volta di durata non nulla) impulsi positivi fino a +5V di picco se non oltre. In condizioni di regime l ingresso + è fisso alla soglia di Vcc/2, mentre l ingresso -, collegato alla capacità C, è alla tensione alta di Vcc. Il transistore MOSFET è un ramo aperto perché la tensione di gate è nulla (al di sotto della tensione di soglia. Quando arriva l impulso positivo di Vk, il transistore viene portato in forte conduzione con il passaggio di una elevata corrente di drain che scarica rapidamente a massa il condensatore secondo una legge lineare (corrente costante = carica del condensatore che scende linearmente). Si prenda nota che l impulso di Vk deve durare abbastanza da permettere il completo scarico della carica sul condensatore.. Cessato l impulso di Vk il condensatore può ricaricarsi lentamente con costante di tempo pari a Rc C. Si ha quindi la

7 7 commutazione del comparatore a livello alto che dura fintanto che la tensione sul condensatore rimane minore di Vcc/2. Il lettore provveda a ricavare da solo l espressione della durata dell impulso positivo. Si noti che questo tipo di monostabile accetta sempre gli impulsi di trigger, nel senso che un secondo impulso di Vk che arrivi subito dopo il primo provoca un nuovo azzeramento della tensione sul condensatore facendo ripartire da capo il conteggio del tempo per la durata dell impulso rettangolare in uscita. In altre parole, come illustrato nella figura seguente, se arrivano due impulsi di trigger molto ravvicinati la tensione di uscita è costituita da un impulso rettangolare formato dalla sovrapposizione temporale dei due impulsi generati dai due trigger presi singolarmente. Condizione di retriggerabilità di un monostabile CIRCUITO GENERATORE DI ONDA TRIANGOLARE Circuito generatore di onda quadra (Vu) ed onda triangolare (Vo) Inizialmente si ponga Vs = 0. La condizione iniziale a l tempo 0+ all'accensione prevede che Vu = +Vz ed il condensatore scarico, ovvero Vo =0. La tensione sul terminale + del comparatore può essere sempre calcolata con la relazione: V+ = β Vu + (1-β) Vo con β = R2/(R1+R2), (1-β) = R1/(R1+R2)

8 8 La figura seguente è l'andamento temporale delle tensioni, con i punti caratteristici numerati. Andamento temporale delle tensioni nel generatore di onda triangolare 1 - Istante iniziale in cui la tensione su V+ è inizialmente uguale a + β Vz (giusto quindi che in uscita dal trigger sia Vu =+Vz) e poi scende con legge lineare in quanto la tensione Vo è l'integrale della tensione +Vz e l'integratore è invertente. Quindi Vo =- Vz*[t / (Rc C)]. 2 - Quando la tensione V+ incontra la soglia 0 si ha la commutazione del trigger (si inverte il segno della differenza delle tensioni in ingresso) e la tensione Vu scatta a Vz. Immediatamente prima che questo avvenga la tensione V+ è a 0 volt ovvero V+ = + β Vz + (1-β) Vo =0 quindi Vo = - Vz * [β /(1-β)] Dopo la commutazione, per effetto del cambiamento repentino della tensione sull'uscita del trigger, mentre la tensione Vo rimane la stessa di prima, la tensione V+ subisce un brusco abbassamento portandosi a tale valore V+ = - β Vz β Vz = - 2 β Vz Da allora in poi l'uscita dell'integratore è una rampa crescente in quanto viene integrata una tensione negativa e conseguentemente la tensione V+ tende a salire linearmente. 3 - La prossima commutazione si ha quando la V+ incrocia in salita la soglia di 0 V. anche in questo caso si ha V+ = - β Vz + (1-β) Vo =0 e quindi Vo = + Vz * [β /(1-β)] e la V+ subisce un brusco salto in salita di + 2 β Vz. In conclusioni l'onda triangolare in uscita dall'integratore ha valor medio nullo ed una ampiezza picco picco pari a 2Vz * [β /(1-β)], con i valori massimo e minimo in corrispondenza delle commutazioni del trigger. La sua frequenza può essere variata cambiando i valori della costante di tempo di integrazione ovvero cambiando Rc e/o C. Si lascia al lettore il compito di chiarire il ruolo della tensione Vs nel caso che questa sia diversa da 0 V.