Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Lucio Demeio Dipartimeto di Igegeria Idustriale e Scieze Matematiche Uiversità Politecica delle Marche 1. Esercizio (31 marzo 2012. 1). Al proto soccorso di u ospedale si presetao mediamete 5 pazieti all ora, distribuiti secodo la legge di Poisso. Ioltre, la gravità dei casi viee catalogata co quattro codici: rosso, giallo, verde e biaco (i ordie decrescete di gravità). Il codice rosso si preseta R volte su 100, il codice giallo metà volte del rosso, il verde ed il biaco (i proporzioi uguali) metà volte del giallo. Qual è la probabilità che, i u dato itervallo di u ora, si presetio più di due persoe da codice rosso? Soluzioe. Sia X la v.a. che idica il umero di pazieti che arrivao al proto soccorso i u ora. Essedo distribuita secodo la legge di Poisso abbiamo che P (X = k) = e k!. Siao ora X R, X G, X V ed X B le v.a. che idicao il umeri di pazieti i arrivo co codici rispettivamete rosso, giallo, verde e biaco. Siao ioltre R, G, V ed B le frazioi di codice rosso, giallo, verde e biaco su 100 pazieti. Dai dati del problema abbiamo che R + G + V + B = 100 G = R /2 V = B = G /2 La soluzioe del sistema è immediata ed offre R = 50, G = 25, V = B = 12.5. Le variabili X R, X G, X V ed X B soo pertato distribuite secodo la legge di Poisso co λ R = λ/2, λ G = λ/4 e λ V = λ B = λ/8. La variabile di iteresse è X R, per la quale abbiamo La risposta alla domada è duque P (X R = k) = e λ R λk R k!. P (X R > 2) = k=3 e λ R λk R k! = 1 2 k=0 e λ R λk R k! = 0.456 1
2. Esercizio (20 settembre 2011. 2). Ua fabbrica produce televisori al plasma; sia p la frazioe (assoluta, o percetuale) di televisori difettosi. Esprimere la probabilità che, su u campioe di N televisori, k siao difettosi, usado sia la distribuzioe biomiale che quella di Poisso. Posto, quidi, N = 120 e k = 3, cofrotare i due valori (biomiale e Poisso) per 10 valori di p = 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08, 0.09 e 0.1, commetado i risultati. Soluzioe. Sia X il umero di televisori difettosi; la variabile segue la legge biomiale di parametri N e p, quidi N P (X = k) = p k (1 p) N k. k Usado Poisso, co λ = N p abbiamo ivece P (X = k) = e k!. Usado i dati del problema co le due distribuzioi otteiamo la seguete tabella: p Prob. Biom. prob. Poisso 0.01 0.0867 0.867 0.02 0.211 0.209 0.03 0.215 0.212 0.04 0.151 0.152 0.05 0.0869 0.0892 0.06 0.0435 0.0464 0.07 0.0198 0.0222 0.08 0.00833 0.00999 0.09 0.00330 0.00428 0.1 0.00124 0.00177 3. Esercizio (Lebfevre Cap. 3 Q. 46 p. 108). Il umero di particelle emesse da ua sorgete radioattiva è descritto da ua v.a. X distribuita secodo la legge di Poisso co media λ = l 5 all ora. Da u ora all altra, ioltre, le emissioi soo idipedeti. (i) Calcolare la probabilità che i almeo 30 periodi di u ora, sulle 168 ore di ua settimaa, o ci siao state emissioi di particelle. (ii) Calcolare la stessa probabilità usado u appropriata legge di Poisso. Soluzioe. 2
(i) La probabilità che i u ora o ci siao emissioi è data dalla legge di Poisso per k = 0, P (X = 0) = e λ = 1/5. Quidi, idicado co X il umero di periodi di u ora i cui o ci soo emissioi, abbiamo X B(, p) co = 168 e p = 1/5 = 0.2. La risposta pertato è P (X 30) = 168 k=30 168 29 ( 168 (0.2) k (0.8) 138 k = 1 k k k=0 ) (0.2) k (0.8) 138 k 0.78 (ii) Si tratta di approssimare la distribuzioe biomiale del puto precedete co Poisso usado λ = p = 168 0.2 = 33.6. Otteiamo: P (X 30) = k=30 e 29 k! = 1 k=0 e k! 0.76 4. Ogi cofezioe di biscotti di gusto occiola cotiee 100 biscotti. Il umero di pezzi di occiole preseti i u sigolo biscotto può essere modellato co ua variabile aleatoria di Poisso di parametro 2. Si chiede: Quato vale la probabilità che u biscotto preso a caso da ua cofezioe cotega più di u pezzo di occiola? Quato vale la probabilità di trovare più di 2 pezzi di occiole (i totale) i due biscotti presi a caso da ua cofezioe? 3. Quato vale la probabilità di trovare più di 160 pezzi di occiole i tutta la cofezioe? 5. Ua persoa prede l autobus per recarsi al lavoro e per torare a casa. Il tempo d attesa al mattio, x, è distribuito uiformemete ell itervallo 0, 5] (i miuti) metre il tempo d attesa serale, y, segue la legge { ay + b, 0 y 10 f(y) = 0 altrimeti calcolare la distribuzioe di x; calcolare a e b; calcolare il tempo medio totale di attesa; calcolare la variaza del tempo medio totale di attesa; calcolare la media e la variaza della differeza tra i tempi di attesa al mattio ed alla sera. 6. U automobilista etra i u parcheggio e vuole parcheggiare la sua automobile i u be preciso posto-auto. Davati a lui ci soo 5 macchie, ciascua co probabilità p = 0.5 di occupare quel posto. Qualè la probabilità che la macchia davati a lui lo occupi? Soluzioe. P (X = 5) = (0.8) 4 (0.2) = 0.082 3
7. I u cotrollo a campioe sulle emissioi la probabilità di trovare u automobile fuori orma è di 0.1 %. Qualè la probabilità che si debbao effettuare più di 3 cotrolli prima di trovare ua a orma? Soluzioe. 3 3 P (X > 3) = 1 P (X 3) = 1 P (X = k) = 1 (0.1) k 1 (0.9) = 0.001 k=1 k=1 8. Uo zoo ha a disposizioe 100 kg di care per sfamare u leoe. La quatità cosumata dal leoe i u gioro è rappresetata da ua variabile casuale di media µ = 5 kg e deviazioe stadard σ = 1 kg. (i) Usado l approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che la care a disposizioe basti per 21 giori; (ii) suppoiamo che i 10 giori il leoe abbia magiato 60 kg; suppoedo sempre σ = 0.5 kg, determiare l itervallo di cofideza per la media al 99%; (iii) possiamo acora giustificare che la media sia µ = 5 kg? Soluzioe. Sia X N (µ, σ 2 ), co µ = 5 e σ = 1. Siao X 1, X 2,..., X (co = 21) le variabili he rappresetao il cosumo di care (da parte del leoe) el primo, el secodo,..., el 21-esimo gioro. La care a disposizioe basta se X 1 + X 2 +... + X 100. Usado l approssimazioe ormale abbiamo che X1 + X 2 +... + X µ P (X 1 + X 2 +... + X 100) = P σ 100 21 5 1 = 21 P (S 1.09) Φ( 1.09) = 1 Φ(1.09) 1 0.8621 = 0.01379 9. La dose di caffè ecessaria per ua tazzia può essere rappresetata da ua variabile casuale X di media µ = 7 gr e scarto quadratico medio σ = 0.5 gr. (i) Usado l approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che u barattolo da 250 gr sia sufficiete per 36 tazzie; (ii) suppoiamo che per le prime 20 tazzie siao stati usati 140 gr; suppoedo sempre σ = 0.5 gr, determiare l itervallo di cofideza per la dose media al 99%; (iii) possiamo acora giustificare che la dose media sia µ = 7 gr? Soluzioe. Sia X N (µ, σ 2 ), co µ = 7 e σ = 0.5. Siao X 1, X 2,..., X (co = 36) le variabili che rappresetao le dosi di caffè della prima, della secoda,..., della 36-esima tazzia. 4
Il barattolo di caffè a disposizioe basta se X 1 + X 2 +... + X 250. Usado l approssimazioe ormale abbiamo che X1 + X 2 +... + X µ P (X 1 + X 2 +... + X 250) = P σ 250 36 7 0.5 = 36 P (S 0.67) Φ( 0.67) = 1 Φ(0.67) 1 0.7486 = 0.2514 10. L ete che gestisce u tratto di autostrada ha sale sufficiete per elimiare u accumulo di 2 metri di eve su tale tratto. Suppoiamo che la quatità di eve che cade i u gioro sia rappresetata da ua variabile casuale X di media µ = 4 cm e deviazioe stadard σ = 0.8 cm. (i) Usado l approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che il sale a disposizioe basti per 50 giori; (ii) suppoiamo che ei primi 10 giori del periodo siao caduti 50 cm di eve; suppoedo sempre σ = 0.8 cm, determiare l itervallo di cofideza per la media al 99%; (iii) possiamo acora giustificare che la media sia µ = 4 cm? Soluzioe. Sia X N (µ, σ 2 ), co µ = 4 e σ = 0.8. Siao X 1, X 2,..., X (co = 50) le variabili che rappresetao la quatità di eve della prima, della secoda,..., della 50-esima giorata. La quatità di sale a disposizioe basta se X 1 + X 2 +... + X 200. Usado l approssimazioe ormale abbiamo che X1 + X 2 +... + X µ P (X 1 + X 2 +... + X 200) = P σ 200 50 4 0.8 = 50 P (S 0) Φ(0) = 0.5 11. Ua cartoleria ha ua scorta di matite sufficiete per 400 persoe. Suppoiamo che il umero di persoe che si presetao i u gioro sia ua variabile casuale X di media µ = 18 persoe e deviazioe stadard σ = 2 persoe. (i) Usado l approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che il umero di matite a disposizioe basti per 22 giori; (ii) suppoiamo che ei primi 10 giori del periodo si siao presetate 240 persoe; suppoedo sempre σ = 2, determiare l itervallo di cofideza per la media gioraliera al 99%; (iii) possiamo acora giustificare che la media sia µ = 18 persoe? Soluzioe. Sia X N (µ, σ 2 ), co µ = 18 e σ = 2. Siao X 1, X 2,..., X (co = 22) le variabili che rappresetao il umero di clieti della prima, della secoda,..., della 22-esima giorata. 5
La scorta di matite a disposizioe basta se X 1 + X 2 +... + X 400. Usado l approssimazioe ormale abbiamo che X1 + X 2 +... + X µ P (X 1 + X 2 +... + X 400) = P σ 400 22 18 2 = 22 P (S 0.43) Φ(0.43) 0.6664 12. Ad u turo elettorale, gli scrutii iiziali eseguiti su uumero di sole 20 sezioi dao per il partito A le segueti percetuali: 35, 60, 55, 40, 49, 52, 39, 46, 55, 45, 70, 10, 22, 34, 44, 62, 58, 57, 43, 20 Determiare gli itervalli di cofideza per il risultato fiale del partito A al 90%, 95% e 99%. Soluzioe. Il rago del campioe è = 20 e dobbiamo usare la distribuzioe di Studet co 19 gradi di libertà. Dalle tavole di Studet abbiamo: t 0.05 (19) = 1.729, t 0.025 (19) = 2.093 e t 0.005 (19) = 2.861. Dai dati abbiamo X = 44.8 e S 2 = 230.7. Gli itervalli di cofideza soo pertato: Al 90%: X S t 0.05 (19), X + S ] t 0.05 (19) = 38.93, 50.67] Al 95%: X S t 0.025 (19), X + S ] t 0.025 (19) = 37.69, 51.91] Al 99%: X S t 0.005 (19), X + S ] t 0.005 (19) = 35.08, 54.52] 13. U isieme di misurazioi del puto di fusioe del piombo forisce i segueti dati, i gradi cetigradi: 330, 328.6 342.4 334 337.5 341 343.3 329.5 322 331 Suppoedo che i dati provegao da ua popolazioe ormale di variaza icogita, determiare gli itervalli di cofideza al 90%, 95 % e 99% per la media. Soluzioe. Il rago del campioe è = 10 e dobbiamo usare la distribuzioe di Studet co 9 gradi di libertà. Dalle tavole di Studet abbiamo: t 0.05 (9) = 1.833, t 0.025 (9) = 2.262 e 6
t 0.005 (9) = 3.25. Dai dati abbiamo X = 333.9 e S 2 = 48.5. Gli itervalli di cofideza soo pertato: Al 90%: X S t 0.05 (9), X + S ] t 0.05 (9) = 329.9, 338.0] Al 95%: X S t 0.025 (9), X + S ] t 0.025 (9) = 328.9, 338.9] Al 99%: X S t 0.005 (9), X + S ] t 0.005 (9) = 326.8, 341.1] 14. (Ross 7.38) U isieme di misurazioi della capacità di 10 batterie forisce i segueti risultati, i ampere-ora: 140, 136 150 144 148 152 138 141 143 151 Stimare la variaza della popolazioe e forire gli itervalli di cofideza al 90%, 95 % e 99%. Soluzioe. Il rago del campioe è = 10 e dobbiamo usare la distribuzioe del χ 2 co 9 gradi di libertà. I valori di α che ci iteressao soo 0.05 e 0.95 per l itervallo al 90%, 0.025 e 0.975 per l itervallo al 95%, 0.005 e 0.995 per l itervallo al 99%, Dalle tavole del χ 2 abbiamo: La variaza campioaria è S 2 = 32.23. Gli itervalli di cofideza soo dati dalla formula Livello χ 2 α/2 (9) χ2 1 α/2 (9) 90% 16.919 3.325 95% 19.023 2.700 99% 23.589 1.735 ] ( 1) S 2 ( 1) S 2 χ 2 α/2 ( 1), ( 1) χ 2 1 α/2 e pertato: Al 90%: 17.14, 87.25] Al 95%: 15.25, 107.44] Al 99%: 12.30, 167.20] 7