C >= α A > +β B > ½º½µ

ÍÆÁÎ ÊËÁÌü Á ÊÇÅ Ä Ë ÈÁ Æ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁ ÒÒÓ Ñ Ó ¾¼¼ ¹¾¼¼ Äº Å Ò 1 Çº Ò Ö 2 1 ¹Ñ Ð ÐÙ ÒÓºÑ Ò ÖÓÑ ½º Ò Òº Ø 2 ¹Ñ Ð ÓÑ Öº Ò ÖÖÓÑ ½º Ò Òº Ø ÊÁ ÀÁ ÅÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ ÏÇÊÃ ÁÆ ÈÊÇ Ê ËË ÓÑÑ ÒØ ÓÖÖ Þ ÓÒ Ù Ö Ñ ÒØ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ô ÖØ Ð ØÙ ÒØ Ð ÓÖ Ó ÓÒÓ ÔÔÖ ÞÞ Ø º

ÁÒ ½ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ ½º½ ÁÐ ÈÖ Ò Ô Ó ËÓÚÖ ÔÔÓ Þ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÇÔ Ö ØÓÖ Ä Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ö Ò ÞÞ Ç ÖÚ Ð ÇÔ Ö ØÓÖ À ÖÑ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ä È ÖØ ÐÐ ÆÓÒ¹Ê Ð Ø Ú Ø ÓÒ ËÔ Ò 0 º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º½ ÌÖ Ð Þ ÓÒ ÊÓØ Þ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º º¾ ËÔ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ Ä Ê ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º¾ Ä Ê ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º Ä Ê ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÁÒØ Ö Þ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÄÓ Ú ÐÙÔÔÓ Ô ÖØÙÖ Ø ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½º ÈÖÓ ÓØØ Ø ÑÔÓ¹ÓÖ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½º Ë ÑÑ ØÖ Ó Ø ÒØ Ð ÑÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ Á ÄÁÇ Ê Á ¾

ÁÆ Á

Ô ØÓÐÓ ½ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ ÓÒÓ ÔÖ ÒØ Ø Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Å Ò ÉÙ ÒØ Ø º ÄÓ ÓÔÓ Ô ÐØÖÓ ÕÙ ÐÐÓ Ö Ð ÒÓÞ ÓÒ Ô ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ð Ö ÒÓØ Þ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓ Ù Ø Ò Ù ØÓº È Ö ÙÒ Ù ÓÒ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÐÐ ÐÐ Ø ÓÖ Ö ÒÚ Ð Ð ØØÓÖ Ð Ð ÖÓ Ö ½ º ÍÒ ÓÒ ÑÓ ÖÒ Ù ÓÒ Ù ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÓÐØ ÐÓ Ó ÐÐ Å Ò ÉÙ ÒØ Ø ØÖÓÚ Ò Ð Ð ÖÓ Âº ÐÐ ¾ º ½º½ ÁÐ ÈÖ Ò Ô Ó ËÓÚÖ ÔÔÓ Þ ÓÒ ÙÒ ØÓ Ø ÒØ Ø ÑÔÓ Ð Ø Ø ÙÒ Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ø Ó ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø Ð Ð Ñ ÒØ ÙÒÓ Ô Þ Ó ØÖ ØØÓ Àº ÉÙ Ø Ð Ñ ÒØ Ö ÒÒÓ Ò Ø ÓÒ Ð ÒÓØ Þ ÓÒ Ö A >, B >, C >... Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ Ð Ø Ø Ð Ø Ñ Øº ÒÓÑ Ò Ø ÓÐ Ø ÖÑ Ò Øº Ä ØÖÙØØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø À Ø Ð ÈÖ Ò Ô Ó ËÓÚÖ ÔÔÓ Þ ÓÒ ÓÒ Ó Ù A > B > Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ Ù ÔÓ Ð Ø Ø Ð Ø Ñ ÓÒÓ ÑÔÖ Ö Ð ÞÞ Ð Ð Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÙÒ ÐÓÖÓ Ö ØÖ Ö ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÓÒ Ó ÒØ ÓÑÔÐ α β C >= α A > +β B > ½º½µ ÄÓ Ô Þ Ó À ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ó Ð Ò Ö µ ÓÑÔÐ Ó Ò Ò Ö Ò Ò ØÓ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð º Ä Ö ØØ Ö ÞÞ Þ ÓÒ Ð Ø Ø ÑÔÐ Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ò Þ ÓÒ Ô Ö Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ ÙÒ Ó Ô Ö Ò ÞÞ Ó ÖÚ Ð Ù Ð Ø Ø Ø º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ Ø A > B > ÓÑÔ ÓÒÓ Ò ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ½º½µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ù Ú ÐÓÖ Ø ÒØ ÑÓ a b ÙÒ Ø Ö Ò ÞÞ Ó ÖÚ Ð X º Ð³ Ò Ö µº Ä³ ÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ ÐÐÓ Ø ØÓ C > ÓÚÖ ÔÔÓ Þ ÓÒ A > B > Ð Ù ÒØ

Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ Ä ÓÚÖ ÔÔÓ Þ ÓÒ A > ÓÒ Ø Ó Ð Ó β = 0µ ÐÙÓ Ó ÐÐÓ Ø Ó Ø ØÓ Ó A > α A > Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ ÐÓ Ø Ó Ø ØÓ ÕÙ ÐÙÒÕÙ α 0 Ò Ð Ó Ò Ù α β ÓÒÓ ÒØÖ Ñ 0 Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÙÒ Ñ ÙÖ X ÙÐÐÓ Ø ØÓ C > ÔÙ Ö a ÓÔÔÙÖ b ÓÐÓ ÙÒÓ ÕÙ Ø Ù Ú ÐÓÖ ÔÙ Ö ÙÐØ Ö ÐÐ Ñ ÙÖ º ÆÓÒ ÔÓ Ð ÔÖ Ú Ö ÕÙ Ð ØÖ ÕÙ Ø Ù Ú ÐÓÖ Ö Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÙÒ Ø Ñ ÙÖ º ÌÙØØ Ú Ð Ø Ø A > B > ÓÒÓ Ù ÐÑ ÒØ ÒÓÖÑ Ð ÞÞ Ø Ò Ð Ò Ó ÔÖ ØÓ ÕÙ Ù ØÓµ Ð Ö ÕÙ ÒÞ ÓÒ Ù ÔÖ ÒØ ÒÓ Ö ÙÐØ Ø a b ÓÒÓ Ò Ð Ö ÔÔÓÖØÓ α 2 / β 2 º È Ö ÓÐÐ Ö Ó ÒØ ÐÐ ÓÚÖ ÔÔÓ Þ ÓÒ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ø Ú Ö Ö ÙÐØ Ø ÐÐ Ñ ÙÖ ÓÓÖÖ ÔÓØ Ö ÒÓÖÑ Ð ÞÞ Ö Ú ØØÓÖ Ö ØØ Ö ÞÞ ÒÓ Ð Ø Ø º ÉÙ ØÓ Ö ÔÓ Ò Ö Ò À Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ö ÓÑÔÐ Ó A > Ù B > Ò Ö ÑÓ ÓÒ =< A B > ½º¾µ Ð³ Ø Ö Ó Ò Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÒ Ù Þ ÓÒ Ù ÒÙÑ Ö ÓÑÔÐ µº ÁÐ ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ö Ú Ö Ð Ò Ö Ò A ÕÙ Ò ÒØ Ð Ò Ö Ò B ÒÓÒ Ò ØÓ ÔÓ Ø ÚÓ < C αa + βb >= α < C A > +β < C B > ½º µ < αa + βb C >= α < A C > +β ½º µ < A A > 0, < A A >= 0 seesolose : A >= 0 ÓÒ ÕÙ Ø ÙÐØ Ö ÓÖ Ô Þ ÓÒ ÐÓ Ô Þ Ó À ÙÒÓ Ô Þ Ó À Ð ÖØ Ð Ö Ò ÞÞ < A A > Ð ÒÓÖÑ Ð Ú ØØÓÖ A >º ÒØÓ À ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö ÙÒ ÒÙÓÚÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÐÓ Ô Þ Ó Ù Ð À Ò ØÓ ÓÑ ÐÓ Ô Þ Ó ÙÒÞ ÓÒ Ð Ð Ò Ö Ú ÐÓÖ ÓÑÔÐ µ Ò Ø Ù Àº ÆÓÒ Ð ÓÒÚ Ò Ö Ð Ð Ñ ÒØ H ÓÒÓ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ ÙÒ ÚÓ ÓÒ ÕÙ ÐÐ Àº ÁÒ ØØ ÓÒ Ó ÙÒ ÒÓØÓ Ø ÓÖ Ñ ÓÚÙØÓ ºÊ Þµ Ó Ò ÙÒÞ ÓÒ Ð Ð Ò Ö f( A >) ÔÙ Ö Ö ØØÓ ÓÑ f( A >) =< f A > ÓÒ f > ÙÒ Ø ØÓº ÉÙ Ò ÔÓ ÑÓ Ö ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ Ð f( A >) Ò H ÓÒ f > Ò Àº Ä ½º µ Ù Ø Ð ÒÓØ Þ ÓÒ Ö Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ H ÓÒ Ó Ð ÕÙ Ð Ò Ö ÑÓ ÓÒ ½º µ < f ½º µ Ð³ Ð Ñ ÒØÓ H ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ø f >º Á Ú ØØÓÖ < f ÓÒÓ Ò Ø ÓÐ Ø ÖÑ Ò Ö º ËÙÐÐ ÐÐ ½º µ Ð Ö < f Ô Ò ÒØ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ð Ø f > Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ö ½º¾µ ÔÙ Ö ÒØ ÖÔÖ Ø ØÓ ÓÑ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ö Ö Ø Ö Ø ÔÖÓ ÓØØÓ ÕÙ Ð ÐØ Ø ÖÑ Ò Ö Øµº ÌÓÖÒ Ò Ó ÐÐ³ ÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø Ö ÙÐØ Ø ÐÐ Ñ ÙÖ X ÙÐÐÓ Ø ØÓ C > Ò ÐÐ³ Õº ½º½µ ÙÑ Ö ÑÓ Ë Ú ØØÓÖ A > B > ÒÒÓ ÒÓÖÑ ÙÒÓ Ð ÔÖÓ Ð Ø ÓØØ Ò Ö ÓÔÔÙÖ bµ Ò ÐÐ Ñ ÙÖ X Ù C > Ù Ù Ð α 2 ÓÔÔÙÖ β 2 )º

½º¾ ÇÔ Ö ØÓÖ Ä Ò Ö ½º¾ ÇÔ Ö ØÓÖ Ä Ò Ö ËÙÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð À ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö ÐÐ Ð Ó Ó Ò Ú ØØÓÖ À ÓÒØ ÒÙØÓ Ò ÙÒ ÔÔÖÓÔÖ ØÓ ÓÑ Ò Ó À Ø Óµ Ó ÒÓ ÙÒ ÐØÖÓ Ú ØØÓÖ Ô Ò Ò ÑÓ Ó Ð Ò Ö Ð ÔÖ ÑÓ ½ B >= X A > ½º µ X(α A > +β B >) = αx A > +βx B > ØÓ X ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó < A X B > Ô Ö Ó Ò < A B >º ÉÙ ØÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó Ô Ò ÒØ Ð Ò ÖÑ ÒØ B >º ÈÓ ÑÓ ÕÙ Ò Ö Ú Ö < A X B > = ÁÒÓÐØÖ ÔÓ V > Ô Ò Ð Ò ÖÑ ÒØ Ð Ø A > ÓÖÖ ÔÓÒ Ð Ö < A ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ú Ö ½º µ < A X B > == ½º µ ÓÚ X ÙÒ ÒÙÓÚÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö Ó ØÓ ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ X ÐÐ ½º µ Ò ØÓ ÓÐ ÒÓÑ ÓÔ Ö ØÓÖ ÙÒØÓ Ó ÖÑ Ø ÒÓ ÓÒ Ù ØÓµ Xº Ú ÒØ Ñ ÒØ Ú Ð ÓÒÓ Ð Ö Ð Þ ÓÒ (X ) = X ½º½¼µ (αx) = α X ½º½½µ Ô Ö Ó Ò ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ Ó αº ÍÒ ÓÔ Ö ØÓÖ H ÖÑ Ø ÒÓ Ó ÙØÓ ÙÒØÓ X = Xº Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÑ Ø Ò Ó ÓÒÓ ÐÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÖÙ Ð Ô Ö ÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ ÐÐ Å Ò ÉÙ ÒØ Ø Ô Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö ÐÓÖÓ ÙØÓÚ ÐÓÖ ÙØÓÚ ØØÓÖ º Ê ÓÖ ÑÓ ÙÒ ÙØÓÚ ÐÓÖ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Óµ λ Ô Ö Ù Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ X v >= λ v > ½º½¾µ ÑÑ ØØ ÓÐÙÞ ÓÒ v > 0º Ö ÑÓ Ò ÕÙ ØÓ Ó Ð³ ÙØÓÚ ØØÓÖ v > ÔÔ ÖØ Ò ÐÐ³ ÙØÓÚ ¹ ÐÓÖ λ Ö Ú Ö ÑÓ v >= λ,a,b,... > a,b,... ÓÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ø Ò ÙÓÒÓ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ØÖ Ð ÙØÓÚ ØØÓÖ ÔÔ ÖØ Ò ÓÒÓ ÐÐÓ Ø Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ µº Î Ð ÓÒÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù ÒØ º Ð ÙØÓÚ ÐÓÖ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÑ Ø ÒÓ ÓÒÓ ÑÔÖ ÒÙÑ Ö Ö Ð ½ º Æ Ð Ù ØÓ ÙÑ Ö ÑÓ Ô Ö ÑÔÐ Ø Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÒÓ Ò Ø Ò ØÙØØÓ Àº

Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ ÙØÓÚ ØØÓÖ h > h > ÔÔ ÖØ Ò ÒÓ Ù ÙØÓÚ ÐÓÖ Ø ÒØ h h ÓÒÓ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ö ÐÓÖÓ < h h >= 0, seh h ½º½ µ Ð ÙØÓÚ ØØÓÖ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÑ Ø ÒÓ ÓÖÑ ÒÓ ÙÒ ÓÑÔÐ Ø Ò Hº ÙÑ Ò Ó Ô Ö ÑÔÐ Ø H ÙÒÓ Ô ØØÖÓ Ö ØÓ ÙØÓÚ ÐÓÖ Ð³ÙÐØ Ñ ÔÖÓÔÖ Ø ÑÔÐ Ó Ò Ú ØØÓÖ ÔÙ Ö Ú ÐÙÔÔ ØÓ Ò ÐÐ Ð ÙØÓÚ ØØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÞÞ Ø H ÓÒ Ù ÙÓÒÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø A >= n c n h n > ½º½ µ H h n >= h n h n > < h n h m >= δ n,m c n =< h n A > < A A >= n c n 2 ½º½ µ ÍÒ ÓÒ ØØÓ ÙØ Ð Ò ÓÒÒ ÓÒ ÐÐ Ð ÙØÓÚ ØØÓÖ H ÕÙ ÐÐÓ ÔÖÓ ØØÓÖ Ù ÙÒÓ Ó Ô Ø Ø º ÁÐ ÔÖÓ ØØÓÖ Ù ÙÒ Ú ØØÓÖ ØÓ ÑÔ Ó Ù h 1 > ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø P 2 = P ½º½ µ P h 1 >= h 1 > ½º½ µ P V >= 0, se < h 1 V >= 0 ½º½ µ Ó V > ÓÖØÓ ÓÒ Ð h 1 >º ³ Ð Ú Ö P ÔÙ Ö Ö ØØÓ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÓÑ P = h 1 >< h 1 ½º½ µ ÙÑ Ò Ó < h 1 h 1 >= 1µº ÁÒ ØØ P 2 = h 1 >< h 1 h 1 >< h 1 = h 1 >< h 1 = P P h 1 >= h 1 >< h 1 h 1 >= h 1 > P V >= h 1 >< h 1 V >= 0, se < h 1 V >= 0 ÁÐ ÔÖÓ ØØÓÖ Ù ÙÒÓ Ô Þ Ó Ô Ñ Ò ÓÒ ÓØØ Ó ÙÒ ÖØÓ ÒÙÑ ÖÓ Ú ØØÓÖ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÖ ÐÓÖÓ ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÐÐ ÓÑÑ ÔÖÓ ØØÓÖ Ù Ò ÓÐ Ú ØØÓÖ P = n h n >< h n ½º¾¼µ

½º Ö Ò ÞÞ Ç ÖÚ Ð ÇÔ Ö ØÓÖ À ÖÑ Ø Ò Ð ÓÒ Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÞÞ ÐÐ Ð ÙØÓÚ ØØÓÖ H ÔÖ Ñ ÓÑ n h n >< h n = 1 ½º¾½µ ½ Ò Ð³ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ Ø µº Ä Ö Ð Þ ÓÒ Õº ½º½ µ ÓØØ Ò ÓÒÓ ÓÖÑ ÐÑ ÒØ ÐÐ ½º¾½µ Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ A >= 1 A >= n h n >< h n A >= n c n h n > Ò ÐÓ Ñ ÒØ < A A >=< A 1 A >= n < A h n >< h n A >= n c n 2 ½º Ö Ò ÞÞ Ç ÖÚ Ð ÇÔ Ö ØÓÖ À ÖÑ Ø Ò Ä Ö Ð Ú ÒÞ ÓÒ ØØ ÔÔ Ò ÐÐÙ ØÖ Ø Ø Ò Ð ØØÓ Ò ÐÐ Å Ò ÉÙ ÒØ Ø Ó Ò Ö Ò ÞÞ Ó ÖÚ Ð O Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÑ Ø ÒÓ Oº Ð ÙØÓÚ ØØÓÖ O Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ Ð Ø Ø Ù Ù O ÙÑ ÙÒ Ú ÐÓÖ Ò ØÓ Ô Ö ÐÐ³ ÙØÓÚ ÐÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÐ³ ÙØÓÚ ØØÓÖ Ò ÕÙ Ø ÓÒ º Ä³ Ò Ñ Ð ÙØÓÚ ÐÓÖ O ÐÓ Ô ØØÖÓµ ÓÖÒ ÕÙ Ò Ð ÓÑÔÐ Ó ÔÓ Ð Ö ÙÐØ Ø ÙÒ Ñ ÙÖ Oº Ä ÓÒ Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ë Þº ½º¾ Ô ÖÑ ØØÓÒÓ Ö Ú Ö Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÙÒ Ñ ÙÖ O Ù ÙÒÓ Ø ØÓ Ò Ö Ó A > Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ º Ä Ñ ÙÖ O Ù A > ÓÑ Ö ÙÐØ ØÓ ÙÒÓ Ð ÙØÓÚ ÐÓÖ O ÑÔ Ó h n ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð Ð ÑÓ ÙÐÓ ÕÙ ÖÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó ÒØ ÐÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ c n º Ä ÓÑÑ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ø Ù ØÙØØ ÔÓ Ð Ú Ö Ô Ö ÙÒÓº Ë A > ÒÓÖÑ Ð ÞÞ ØÓ ÐÐ³ÙÒ Ø Ð³ Õº ½º½ µ ÑÓ ØÖ P(h n su A >) = c n 2 = < h n A > 2 ½º¾¾µ ÉÙ ØÓ Ö ÙÐØ ØÓ ÙÒ Ò ØÓ Ó Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ö Ù Ú ØØÓÖ º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ A > B > ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÓ Ø Ø Ò Ù Ù Ö Ò ÞÞ Ú Ö ÙÑÓÒÓ Ú ÐÓÖ Ò Ø x a Ô Ö Ð Ö Ò ÞÞ X Ò A > y b Ô Ö Ð Ö Ò ÞÞ Y Ò B >º Ë A > B > ÓÒÓ ÒÓÖÑ Ð ÞÞ Ø ÐÐ³ÙÒ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ø ÙÒ Ñ ÙÖ Y Ò A > Ð Ö ÙÐØ ØÓ y b Ø Ð ÑÓ ÙÐÓ ÕÙ ÖÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ P(y b in A >) = 2 ½º¾ µ È Ö ÕÙ ØÓ ÑÓØ ÚÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ö Ú Ò Ò Ò ØÓ ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò ÑÔ ÞÞ ÔÖÓ Ð Ø º ÁÐ Ú ÐÓÖ Ñ Ó Ö ÙÐØ Ø ÑÓÐØ Ñ ÙÖ 0 Ù A > ¾ ØÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐ < 0 > A = n h np(h n su A >) = ½º¾ µ ¾ Ë ÒØ Ò Ó ÒÙÒ ÕÙ Ø Ñ ÙÖ Ú ØØÙ Ø Ù ÙÒ ÒÙÓÚ Ö ÔÐ Ð Ø Ñ ÔÖ Ô Ö ØÓ Ò ÐÐÓ Ø ØÓ A > Ð ÓÔÔÓÖØÙÒ ÔÔ Ö Ø Ô Ö Ñ ÒØ Ð º

½¼ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ = n h n c n 2 = n h n < A h n >< h n A >= =< A O( n h n >< h n ) A >=< A O A > Ò Ú ÖØ ÐÐ Õº ½º¾½µº È Ö ÕÙ ØÓ ÑÓØ ÚÓ Ð³ Ð Ñ ÒØÓ Ñ ØÖ O ØÖ < A A > Ð Ñ ÒØÓ Ñ ØÖ ÓÒ Ð µ Ñ Ò Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ó O Ù Aº ½º Ä È ÖØ ÐÐ ÆÓÒ¹Ê Ð Ø Ú Ø ÓÒ ËÔ Ò 0 ÁÐ Ó ÐÐ Ô ÖØ ÐÐ ÒÓÒ Ö Ð Ø Ú Ø ÒÞ Ô Ò ÓÖÒ Ð³ ÑÔ Ó ÓÒÖ ØÓ Ô ÑÔÐ ÐÐ ÓÒ Ö Þ ÓÒ ÔÔ Ò ÔÓ Ø º Ä Ó ÖÚ Ð Ô Ö ÕÙ ØÓ Ø Ñ ÓÒÓ Ð ÓÓÖ Ò Ø x Ô Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ ÓÐ Ñ ÒÞ ÓÒ Ô Þ Ð ÔÓÒ ÑÓ = 1µ Ð ÑÓÑ ÒØÓ ÓÒ Ù ØÓ p ÓÒ Ð Ö ÓÐ ÓÑÑÙØ Þ ÓÒ [x,p] = i ½º¾ µ ÈÓ ÑÓ ÒØÖÓ ÙÖÖ Ð ÙØÓ Ø Ø x p x x >= x x > p p >= p p > ÓÒ Ð ÓÒ Þ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÞÞ Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÞÞ < x x >= δ(x x ) ½º¾ µ dx x >< x = 1 ½º¾ µ = δ(p p ) ½º¾ µ dp p > Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ A > Ò ÐÐ Ð ÙØÓÚ ØØÓÖ x > ψ A (x) =< x A > ½º ¼µ ÓÒ = dx < x A >= dxψ B (x) ψ A (x) ½º ½µ Ù 1 =< A A >= dx < A x >< x A >= dx ψ A (x) 2 ½º ¾µ

½º Ä È ÖØ ÐÐ ÆÓÒ¹Ê Ð Ø Ú Ø ÓÒ ËÔ Ò 0 ½½ Ò ÓÖ Ó ÓÒ Ð³ ÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ ψ A (x) 2 ÓÑ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ø Ô Ö ØÖÓÚ Ö Ð Ô ÖØ ÐÐ ØÖ x x + dxº ÐÐ Õº ½º ¼µ ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÑÑÙØ Þ ÓÒ ½º¾ µ ØÖÓÚ ½ (xψ A )(x) = xψ A (x) (pψ A )(x) = i d dx ψ A(x) Ä ÙÒÞ ÓÒ ³ÓÒ Ð Ø p > ÓØØ Ò Ö ØØ Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÕÙ Þ ÓÒ < x p >= 1 2π e ipx ½º µ ÓÒ Ð ØØÓÖ ÒÓÖÑ Ð ÞÞ Þ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ØÓ ÐÐ ½º¾ µº ½º º½ ÌÖ Ð Þ ÓÒ ÊÓØ Þ ÓÒ Á Ö ÙÐØ Ø ÔÔ Ò ÐÐÙ ØÖ Ø Ô ÖÑ ØØÓÒÓ Ö ØØ Ö ÞÞ Ö Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ØÖ Ð Þ ÓÒ Ô Þ Ð º Ò ÑÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ØÖ Ð Þ ÓÒ U(a) ÓÑ ÕÙ ÐÐ ÔÔÐ Ø ÙÒ Ø A > ÐÓ ØÖ ÓÖÑ ÒÓ Ò Ð Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÐÓ Ø ØÓ ØÖ Ð ØÓ ÕÙ ÐÐÓ Ø ØÓ Ó ÓØØ Ò ØÖ Ð Ò Ó ÙÒ ÐÙÒ ÞÞ a ØÙØØ Ð ÔÔ Ö Ø Ò Ö Ô Ö ÔÖÓ ÙÖÖ ÐÓ Ø ØÓ A >º Ä³ÓÑÓ Ò Ø ÐÐÓ Ô Þ Ó Ö U(a) ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÙÒ Ø Ö Ó Öº Ô Ú ÒØ Ë Þº ½º µ U(a) = U(a) 1 = U( a) ½º µ ÐÐ Ò Þ ÓÒ U ØÖ ÙÖ Ò Ó ØØÓÖ ÖÖ Ð Ú ÒØ Ù U(a) x >= x + a > ½º µ ÓÚÚ ÖÓ < x U(a) =< x + a ½º µ ÕÙ ÓØØ Ò < x U(a) p >=< x + a p >= (2π) 1/2 e ip(x+a) = ½º µ = e ipa < x p >=< x e ipa p > ÈÓ ÕÙ Ø Ö Ð Þ ÓÒ Ú Ú Ð Ö Ô Ö Ó Ò p > Ô Ö Ó Ò x > ØÖÓÚ ÑÓ U(a) = e ipa ½º µ È Ö ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ U(a) 1 ipa ½º µ Ä ÕÙ ÒØ Ø ÑÓØÓ Ð Ò Ö ØÓÖ Ò Ò Ø ÑÓ ÐÐ ØÖ Ð Þ ÓÒ Ô Þ Ð º È Ö ÙÒÓ Ø ØÓ Ò Ö Ó A > (U(a)ψ A )(x) =< x U(a) A >=< x a A >= ψ A (x a) ½º ¼µ

½¾ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ ÁÐ Ô Ó Ð Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ÖÑ ØØ ÙØ Ö Ð ÑÑ ØÖ Ô Ö ÖÓØ Þ ÓÒ Ô Þ Ð º ÁÒ Ò ÐÓ Ð Ó ÐÐ ØÖ Ð Þ ÓÒ Ò ÑÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÙÒ Ø Ö U(R) ÓÒ Ó Ð Ö Ð Þ ÓÒ U(R) x >= R x > ½º ½µ ÓÚ R Ð Ñ ØÖ ÓÖØÓ ÓÒ Ð 3 3µ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ ÒÓÐØÖ U(R) = U(R) 1 = U(R 1 ) ½º ¾µ È Ö ÖÓØ Þ ÓÒ ÙÒ Ò ÓÐÓ θ ÒØÓÖÒÓ ÐÐ³ z (R x) x = cos θx sin θy (R x) x = sin θx + cos θy (R x) z = z ÈÖÓ Ò Ó ÓÑ Ò ½º ¼µ ØÖÓÚ Ô Ö ÙÒ Ø Ò Ö Ó (U(R)ψ A )( x) =< x U(R) A >=< R 1 x A >= = ψ A (R 1 x) ½º µ È Ö ÖÓØ Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ ÒØÓÖÒÓ ÐÐ³ z ØÖÓÚ ÕÙ Ò Ù < x U(R) A >= ψ A ( x) θ(x d dy y d dx )ψ A( x) = =< x [1 iθ( x p) z ] A > U(R) = 1 iθl z ÓÚ L z Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö ÐÙÒ Ó Ð³ z L = x p È Ò Ò Ö Ð Ô Ö ÙÒ ÖÓØ Þ ÓÒ Ò Ö U(R) = e i n L ÓÚ n ÙÒ Ú ØØÓÖ ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ù Ö Þ ÓÒ Ò Ú Ù Ð³ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ Ñ ÒØÖ n = θ Ð³ Ò ÓÐÓ ÖÓØ Þ ÓÒ º Ä ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö ÓÒÓ ÕÙ Ò Ò Ö ØÓÖ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ º ËÙÐÐ ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÒÓÒ ½º¾ µ Ú Ö Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L Ó ÓÒÓ ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÑÑÙØ Þ ÓÒ [L i,l j ] = iǫ ijk L k ³ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒÚ Ò Ö Ð Ö ÓÐ ÓÑÑÙØ Þ ÓÒ ÓÒÓ ÙÒ Ö ØØ ÓÒ Ù ÒÞ ÐÐ ØÖÙØØÙÖ Ð ÖÙÔÔÓ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ ÐÐ Ö Ø U(R 1 )U(R 2 ) = U(R 1 R 2 )

½º Ä È ÖØ ÐÐ ÆÓÒ¹Ê Ð Ø Ú Ø ÓÒ ËÔ Ò 0 ½ Ô Ö ÖÓØ Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ Ö ØÖ Ö R 1,2. È Ö ÓØØ Ò Ö ÕÙ ØÓ Ö ÙÐØ ØÓ Ù ÑÓ Ð ØØÓ Ó Ò Ñ ØÖ ÓÖØÓ ÓÒ Ð 3 3 R ÔÙ Ö Ö ØØ ÓÑ R = e i n T ÓÚ n ÐÓ Ø Ó Ú ØØÓÖ ÓÑÔ Ö Ò ÐÐ Õº Ð Ñ ØÖ 3 3 T ÓÒÓ Ø (T k ) ij = iǫ ikj ÍÒ ÐÓÐÓ ÔÐ ØÓ ÑÓ ØÖ Ð Ñ ØÖ T k Ó ÒÓ ÔÖÓÔÖ Ó ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÑÑÙØ Þ ÓÒ Ù Ù Ð ÐÐ È Ö n 1 n 2 Ò Ò Ø Ñ [T i,t j ] = iǫ ijk T k ½º ¼µ R 1 R 2 = e i n 1 T e i n 2 T = = e i[( n 1+ n 2 ) T+(i/2)[ n 1 T, n 2 T]+...] = e i[( n 1+ n 2 (1/2) n 1 n 2 ) T+...] ½º ½µ ÓÚ ÔÙÒØ Ò Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ Ø ÖÑ Ò ÓÖ Ò ÙÔ Ö ÓÖ Ò n 1 Ó n 2 º ³ ÐØÖÓ ÒØÓ ÑÓ U(R 1 )U(R 2 ) = e i n 1 L e i n 2 L = e i[( n 1+ n 2 )L+(i/2)[ n 1 L, n 2 L]+...] = = U(e i[( n 1+ n 2 )T+(1/2)[ n 1 T, n 2 T]+...] ) = U(e i[( n 1+ n 2 (1/2) n 1 n 2 T]+...] ) ½º ¾µ ÓÚ Ð ÙÐØ Ñ Ù Ð ÒÞ ÙÓÒÓ ÐÐ Ð ÓÑÔÓ Þ ÓÒ º È Ö ÓÒ ÖÓÒØÓ Ú ÑÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ L ÚÓÒÓ Ó Ö ÔÖÓÔÖ Ó ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÑÑÙØ Þ ÓÒ º ÁÐ ØØÓ ÓÑÑÙØ ØÓÖ ÒÓÒ ÓÒ Ù ÒÓ ÕÙ Ø Ö Ð Þ ÓÒ Ò Ð ÓÔ Ö ØÓÖ U Õº ÓÖÒ ÓÒÓ ÙÒ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ð ÖÙÔÔÓ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ Ñ ÔÓØÖ ÖÓ Ö ÓÒÓ ÓÑ Ú Ö ÑÓµ ÐØÖ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ º Ä ÓÒ Ö Þ ÓÒ ÑÓ ÔÔ Ò ÔÓ ØÓ ÓÒ ÙÓÒÓ ÙÒ Ò Þ ÓÒ Ð ØÙØØÓ Ò ¹ Ö Ð Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö º È Ö ÕÙ ÐÙÒÕÙ Ø Ñ Ó ÔÓ ÑÓ Ò Ú Ù Ö ÓÔ Ö Ø Ú Ñ ÒØ µ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ U(R) Ö ÚÓÒÓ Ð³ Þ ÓÒ ÙÒ ÖÓØ Þ ÓÒ Ð Ø Ñ Ø Ó Ô Ö ÕÙ Ð Ú Ð ÓÒÓ Ð Ö Ð Þ ÓÒ º È Ö ÕÙ ØÓ Ø Ñ Ò ÑÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ U(R) = 1 i n J ½º µ Ô Ö ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ º È Ö ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓ ÔÖ Ñ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ J Ó ÒÓ ÙØÓÑ ¹ Ø Ñ ÒØ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÑÑÙØ Þ ÓÒ Ò ÐÓ ÐÐ ½º µ ÑÔ Ó Ú Ö ÐÑ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ò ÐÐ³ Õº ½º µ ÔÙ Ö Ö ØØ ÓÑ e iθt3 ÓÒ (T 3 ) 12 = (T 3 ) 21 = iǫ 132 ØÙØØ Ð ÐØÖ Ð Ñ ÒØ Ù Ù Ð Þ ÖÓº ÕÙ Ø Ö Ð Þ ÓÒ ÑÓ ØÖ Ö ØØ Ñ ÒØ Ú ÐÙÔÔ Ò Ó Ð ÔÓÒ ÒÞ Ð Ò ÔÓØ ÒÞ n 1 n 2

½ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ [J i,j j ] = iǫ ijk J k Ò ÐÓ ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ú ÐÓ ÓÒÓ Ô Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÑÓØÓº È Ö ÙÒ Ø Ñ Ó Ö ØÖ Ö Ó ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ð ÕÙ ÒØ Ø ÑÓØÓ ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ U( a) = 1 i a P Ú Ð Ô Ö ØÖ Ð Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ Ò Ú Ù Ø Ð Ú ØØÓÖ aº ½º º¾ ËÔ Ò Ä³ ÑÔ Ó Ô ÑÔÐ ÐÐ Ò Þ ÓÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö ÔÔ Ò Ø ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ Ô ÖØ ÐÐ ÓÒ Ô Òº ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó Ø Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ ÙÒ Ô ÖØ ÐÐ ÐÓ Ð ÞÞ Ø Ò x ÓÒÓ Ö ØØ Ö ÞÞ Ø ÙÒ ÙÐØ Ö ÓÖ ÒÙÑ ÖÓ ÕÙ ÒØ Ó σ Ø Ð Ð³ ØØÓ ÙÒ ÖÓØ Þ ÓÒ ÓÐØÖ ÖÙÓØ Ö x Ò R x ÕÙ ÐÐÓ ÔÖÓ ÙÖÖ ÙÒ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ú Ö Ú ÐÓÖ σ U(R) x,σ >= R x,σ > S(R) σ σ Ä³ÙÒ Ø Ö Ø U ÑÔÐ S(R) ÙÒ Ñ ØÖ ÙÒ Ø Ö S(R) S(R) = 1 ÒÓÐØÖ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÑÔÐ Ð Ñ ØÖ S(R) ÒÓ ÓÖÒ Ö Ø ÙÒ Ö ÔÔÖ ¹ ÒØ Þ ÓÒ Ð ÖÙÔÔÓ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ Ô Ö ÖÓØ Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ µ S(R 1 )S(R 2 ) = S(R 1 R 2 ) ÉÙ Ò Ò S Ú Ú Ö Ð ÓÖÑ S = 1 i n S Ò Ó S ØÖ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ñ ØÖ Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó σ Ó ÒÓ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÓÑÑÙØ Þ ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö [S i,s j ] = iǫ ijk S k ½º ¼µ Ä Ö Ð ÞÞ Þ ÓÒ ÔÓ Ð S ÓÖÖ ÔÓÒ ÓÒÓ ÓÑ ÒÓØÓ ÑÓÑ ÒØ Ò ÓÐ Ö s ÒØ Ö Ó Ñ ÒØ Ö º ØÓ s σ Ú Ö ØÖ s +s Ô ÙÒÓº ÑÔ Ó Ô Ö s = 1/2 σ = 1/2,+1/2 S i = 1 2 σ i ½º ½µ ÓÚ σ i ÓÒÓ Ð ØÖ Ñ ØÖ È ÙÐ º Æ Ð Ù ØÓ ÓØØÓ ÒØ Ò Ð ÓÑÑ Ù Ð Ò Ö Ô ØÙØ º

½º ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ø ½ Ä ÙÒÞ ÓÒ ³ÓÒ ÙÒÓ Ø ØÓ Ò Ö Ó A > Ó ÙÒÓ ³ Ô ÒÓÖ 2s + 1 ÓÑÔÓÒ ÒØ ψ σ ( x) =< σ, x A > ½º ¾µ ÒÓÐØÖ [U(R)ψ] σ ( x) =< σ, x U(R) A >= S(R 1 ) σσ ψ σ (R 1 x) Ù Ô Ö ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ ØÖÓÚ < σ, x U(R) A >=< σ, x 1 i n ( L + S) A > ½º µ Ä³ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ØÓ Ò Ö ØÓÖ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö ØÓØ Ð Ð ÓÑÑ Ù Ø ÖÑ Ò ÑÙØÙ Ñ ÒØ ÓÑÑÙØ ÒØ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö ÓÖ Ø Ð L Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö Ô Ò S J = L + S ÈÖ Ñ ÓÒÐÙ Ö ÕÙ Ø Ë Þ ÓÒ ÚÓ Ð ÑÓ ÒÓØ Ö ÙÒ Ö ØØ Ö Ø ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ô Ò 1/2 º ÌÖ ÙÖ Ò Ó Ð Ú Ö Ð Ô Þ Ð Ð³ Þ ÓÒ ÙÒ ÖÓØ Þ ÓÒ ÙÒ Ò ÓÐÓ θ ÒØÓÖÒÓ ÐÐ³ z Ù ÙÒÓ Ô ÒÓÖ ÓÒ ÑÔ Ó S z = 1/2 Ø U(R) σ = 1/2 >= e iθs 2 σ = 1/2 >= = e iθ/2 σ = 1/2 > È Ö θ = 2π Ð Ø Ú Ò ÑÓÐØ ÔÐ ØÓ Ô Ö 1º ÉÙ ØÓ Ð ØÙØØÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÐ ØØÓ ÐÓ Ø ØÓ Ó Ú ØÓÖÒ Ö Ò Ø Ó ÓÔÓ ÙÒ ÖÓØ Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ø A > A > Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ ÐÓ Ø Ó Ø ØÓ Óº ÌÙØØ Ú ÕÙ ØÓ ØØÓ ÑÓ ØÖ Ð Ö ÓÐ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ ÔÙ ÒÓÒ Ö Ó ØØ Ô Ö ÖÓØ Þ ÓÒ Ò Ø Ò Ð Ó Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÐÓ Ô Ò ½»¾ Ò Ò Ö Ð Ô Ö Ô Ò Ñ ÒØ ÖÓµº ÁÒ ØØ ÓÑ ÑÓ ØÖ ÕÙ ØÓ ÑÔ Ó Ð Å Ò ÉÙ ÒØ Ø Ö ÓÐÓ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ð ÖÙÔÔÓ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ Ó ÒÓ ÐÐ Ð ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ð ÖÙÔÔÓ Ñ ÒÓ ÙÒ U(R 1 )U(R 2 ) = ω(r 1,R 2 )U(R 1,R 2 ) Ä ω(r 1,R 2 ) ÒÞ Ô Ö Ø Ò Ö Ð Ø ÔÙ Ö ÐØ Ô Ö +1 Ó 1º Ð ÓÔ Ö ØÓÖ U(R) ÒÒÓ Ò ÕÙ ØÓ Ó ÙÒ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ñ ÒÓ ÙÒ Ð ÖÙÔÔÓ ÐÐ ÖÓØ Þ ÓÒ º ½º ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ø Á Ú ÐÓÖ Ñ ÐÐ Ö Ò ÞÞ Ó ÖÚ Ð Ô Ò ÓÒÓ Ò Ò Ö Ð Ø ÑÔÓº Æ ÐÐ Å Ò ÉÙ ÒØ Ø ÕÙ Ø Ú ÐÓÖ Ñ ÓÒÓ Ø ÐÐ³ ÔÖ ÓÒ < X > t =< A(t) X(t) A(t) >

½ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ ³ ÙÒ³ Ñ Ù Ø ÒØÖ Ò Ò Ð Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ô Ò ÒÞ Ð Ø ÑÔÓ Ú Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÓÒ ÓÒÓ Ð ÓÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ ÐÐ³ Õº Ö Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ ÔÓ ÑÓ ØÖ Ö Ö ÕÙ Ø Ô Ò ÒÞ ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ ÐÐ³ ÐØÖÓ ÔÙÖ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ó < X > t ÔÓ ØÙØØÓ ÕÙ ÐÐÓ ÔÓ ÑÓ Ñ ÙÖ Ö ÙÐ Ø Ñ Ö Ø ÑÑÙØ ØÓº Ä³ Ñ Ù Ø ÐÙÓ Ó Ö Þ ÓÒ Ð ÑÓØÓ Ú Ö ÓÐÐ Ø ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ô Ò ÒØ Ð Ø ÑÔÓ ÕÙ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÖ ÐÓÖÓº Æ ÐÐ ÔÖÓ Ñ Ë Þ ÓÒ Ö Ú ÑÓ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Ö Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö º ËÙ Ú Ñ ÒØ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÙÒ Ø ÖÞ Ö Þ ÓÒ Ð ÑÓØÓ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ö Ó ÒØ Ö Þ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ ÓÒÚ Ò ÒØ Ò Ð Ó Ø Ñ ÓÐÑ ÒØ ÒØ Ö ÒØ º ½º º½ Ä Ê ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Ö ÁÒ ÕÙ Ø Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ò Ñ ÔÓ Þ ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø ÑÓØÓ Øºµ ÓÒÓ Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ø º Ä Ú Ö Þ ÓÒ ÓÐ Ø ÑÔÓ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ó ÓÚÙØ ÐÐ Ú Ö Þ ÓÒ ÓÐ Ø ÑÔÓ Ð Ø Ö ÔÔÖ ÒØ ÐÓ Ø ØÓ Ó Ð Ø ÑÔÓ Øº ØÓ Ð Ø A > Ð Ø ÑÔÓ t 0 ÐÓ Ø ØÓ Ò Þ Ð µ Ð ÈÖ Ò Ô Ó ËÓÚÖ ÔÔÓ Þ ÓÒ Ö A(t) > ÓØØ Ò A > Ñ ÒØ Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö U(t,t 0 ) Ò Ô Ò ÒØ A > A(t) >= U(t,t 0 ) A > ÁÒÓÐØÖ A > ÒÓÖÑ Ð ÞÞ ØÓ Ò ÑÓ Ó Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ c n ÙÐÐ ÙÒ ØÓ Ó ÖÚ Ð O ÒÓ Ð ÑÔ ÞÞ ÔÖÓ Ð Ø ÔÓ Ð Ö ÙÐØ Ø ÙÒ Ñ ÙÖ O Ò ØÙÖ Ð Ö Ö Ò A(t) > ÒÓÖÑ Ð ÞÞ ØÓ Ò ÑÓ Ó c n 2 = c n (t) 2 = 1 n n Ä³ Õº ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÐ ÓÒ ÖÚ Þ ÓÒ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ø ØÙØØ Ö ÙÐØ Ø ÔÓ Ð º Ø ÕÙ Ø ÓÒ Þ ÓÒ Ð³ÓÔ Ö ØÓÖ U(t,t 0 ) Ö ÙÐØ ÙÒ Ø Ö Ó U(t,t 0 ) U(t,t 0 ) = 1 ½º ¼µ ÈÓ ÑÓ ØÖ ÓÖÑ Ö Ð Ò ÙÒ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð d dt A(t) >= du(t,t 0) U(t,t 0 ) A(t) >= i dt H A(t) > ½º ½µ H Ñ ÒÓ Ð ØØÓÖ 1/ Ð Ò Ö ØÓÖ ÐÐ ØÖ Ð Þ ÓÒ Ò Ò Ø Ñ Ò Ð Ø ÑÔÓº ÈÓ U ÙÒ Ø Ö Ó H ÖÑ Ø ÒÓ H = i du(t,t 0) U(t,t 0 ) = dt ½º ¾µ = i d dt [U(t,t 0)U(t,t 0 ) ] i U(t,t 0 ) du(t,t 0) = H dt Ä³ ÕÙ Þ ÓÒ ½º ½µ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Öº ³ ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ò t Ò ÓÖ Ó ÓÒ Ð³ ÔÓØ Ð Ø ÑÔÓ t 0 Ð Ø A > ÙÒ Ö Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÐÐÓ Ø ØÓ Ð Ø Ñ ÕÙ Ò Ð³ ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÙÒ ÓÐ ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð º

½º ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ø ½ Æ Ð Ð Ñ Ø Ð Ó H Ú ÒØ Ð ÙÒÞ ÓÒ À Ñ ÐØÓÒ Ð Ø Ñ Ô Ö ÕÙ ØÓ ÔÖ Ò Ð ÒÓÑ ÓÔ Ö ØÓÖ À Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ó À Ñ ÐØÓÒ Ò Ð Ø Ñ Ø Óº Æ Ð Ó Ò Ù H Ò Ô Ò ÒØ Ð Ø ÑÔÓ ÔÓ ÑÓ ÒØ Ö Ö Ð³ Õº ½º ½µ Ö Ú Ö Ö ØØ Ñ ÒØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Ö Ö Ù ÐÐÓ Ø ØÓ A > Ð Ø ÑÔÓ t 0 A(t) >= e 1 h H(t t 0) A > ½º µ Ë Ú ÐÙÔÔ ÑÓ A > Ò ÐÐ Ð ÙØÓÚ ØØÓÖ H A(t) >= n c n (t) h n > ÓØØ Ò ÑÓ ÐÐ ½º ½µ c n (t) = e i En(t t 0) c n (t 0 ) Ä³ Ò Ö ÓÒ ÖÚ Ø Ð³ Õº ½º ½µ ÑÓ ØÖ A > ÙÒ ÙØÓ Ø ØÓ H ÐÓ Ò A(t) > ÓÒ ÐÓ Ø Ó ÙØÓÚ ÐÓÖ º È Ö ÙÒÓ Ø ØÓ Ò Ö Ó ÓÒ ÖÚ Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ó H < A(t) H A(t) >=< A H A >= cost. ÍÒ Ô ØØÓ ÒØ Ö ÒØ ÕÙ Ø Ö ÙÐØ Ø Ð³ ÒÚ Ö ÒÞ Ô Ö ØÖ Ð Þ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ Ð Ð ØØÓ Ó A(t) > Ô Ò ÓÐÓ t t 0 º Ë Ù ÑÓ ÙÒ Ô Ö Ñ ÒØÓ ÔÖ Ô Ö Ò Ó Ð Ø Ñ Ò ÐÐÓ Ø ØÓ A > ÐÐ ÓÖ º ¼ Ó ÑÓ ÙÒ Ñ ÙÖ ½¼º¼¼ Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÐÓ Ø Ó Ú ÑÓ Ù ØÓ Ð Ø ÓÔ Ö Þ ÓÒ ØÖ Ð ½ º¼¼ Ð ½ º ¼ Ö º ÉÙ ØÓ Ö ÙÐØ ØÓ Ù Ö ØØ Ñ ÒØ ÐÐ³ Ò Ô Ò ÒÞ Ð Ø ÑÔÓ Hº Ê ÓÒ Ò Ó Ò Ò Ó ÒÚ Ö Ó Ô ØØ ÑÓ ÔÖ ÓÖ ÙÒ ØÓ Ø Ñ ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ØÖ Ð Þ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ Ð Ð Ù Ñ ÐØÓÒ Ò Ö Ò Ô Ò ÒØ t ÕÙ Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ò Ð Ø ÑÔÓ Ð ÓÒ ÖÚ Þ ÓÒ ÐÐ³ Ò Ö Ö ØØ ÓÒ Ù ÒÞ ÐÐ³ ÒÚ Ö ÒÞ Ô Ö ØÖ Ð Þ ÓÒ Ø ÑÔÓÖ Ð º ÌÙØØÓ ÕÙ ÒØÓ ÔÔ ÑÓ Ö Ø Ò Ö Ø Ñ Ù ÒØ Ñ ÒØ ÓÐ Ø Ð Ö ØÓ ÐÐ³ÍÒ ¹ Ú Ö Ó ÓÒÓ Ò Ô Ò ÒØ Ð Ø ÑÔÓº ÍÒ Ø Ñ ÓÐ ØÓ ÕÙ Ò Ú Ó Ö ÐÐ ÓÒ ÖÚ Þ ÓÒ ÐÐ³ Ò Ö º ½º º¾ Ä Ê ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö ÁÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Ö ÔÓ ÑÓ Ó Ö ÐÓ Ø ØÓ ÙÒ Ú ØØÓÖ Ó ØØÖ Ù Ö Ð Ô Ò ÒÞ Ð Ø ÑÔÓ Ú ÐÓÖ Ñ ÐÐ Ú Ö Þ ÓÒ ÐÐ³ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÔÔÖ ÒØ Ð³Ó ÖÚ Ð º ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö ÓØØ Ò ÔÔÐ ¹ Ò Ó Ð Ø A(t) > S ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Ö Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÙÒ Ø Ö ÐÓ Ö ÔÓÖØ Ð Ú ÐÓÖ Ú Ú ÙÒ Ø ÑÔÓ ØÓ t 0 Ð Ø ÑÔÓ t 0 Ð Ù Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ó Ò ÓÒÓº A > H = e + i h H(t t 0) A(t) > S

½ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ Ä Ô Ò ÒÞ t ÐÐ Ö Ò ÞÞ Ó ÖÚ Ð Ø ÐÐ Ö Ø Ð Ú ÐÓÖ Ñ Ó ÐÓ Ø Ó Ò ÐÐ Ù Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ó Ò t Ð Ø A > H Ó Ø ÒØ º ÐÐ³ ÕÙ Þ ÓÒ S < A(t) X S A(t) > S = H < A X H (t) A > H ÓØØ Ò Ù Ò Ó Ð X H (t) = e + i H(t t 0) X S e i H(t t 0) Ö ÒÞ Ò Ó Ö Ô ØØÓ Ð Ø ÑÔÓ ÓØØ Ò ÑÓ i dx H(t) dt = [X H (t),h] ½º ¼µ È Ö Ú Ù Ð ÞÞ Ö Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö Ö ÓÖÖ ÑÓ ÐÐ³ Ò ÐÓ ÓÐ ÑÓØÓ ÙÒ Ø Ñ Ð Óº ÈÓ ÑÓ Ö ØØ Ö ÞÞ Ö ÐÓ Ø ØÓ Ð Ø Ñ Ð Ø ÑÔÓ t Ò Ó Ð ÔÓ Þ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ð Ø Ñ Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó ÐÐ (p t,q t ) ÕÙ ØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Öº Ä Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÚ Ö Ú Ö ÐÓ Ø ØÓ ÑÓØÓ Ò Ó Ð ÓÒ¹ Þ ÓÒ Ò Þ Ð (p t0,q t0 ) ÙÒ Ø ÑÔÓ Ö ØÖ Ö Ó Ñ ØÓ t 0 º Ä ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð Ø ÖÑ Ò ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð ØÖ ØØÓÖ Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó ÐÐ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÓÑ ÐÓ Ø ØÓ À Ò Ö ÒÓÒ Ñ ÓÐ Ø ÑÔÓº ³ ÙÒ Ô ØØÓ Ô ÙÐ Ö ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö ÑÔÐ ØÓ Ò ÕÙ ÒØÓ ØØÓ Ñ Ú Ð Ð Ô Ò ÓØØÓÐ Ò Ö º ÄÓ Ø ØÓ À Ò Ö Ò Ô Ò ÒØ Ð Ø ÑÔÓ tº ÌÙØØ Ú Ð Ú ØØÓÖ ÐÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ô Ò ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ø ÑÔÓ t 0 ÐØÓ Ô Ö Ö Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð Ò ÐØÖ Ô ÖÓÐ Ð Ø ÑÔÓ Ð ÕÙ Ð Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö Ó Ò ÓÒ ÕÙ ÐÐ Ë ÖÓ Ò Öµº Ä ÐØ t 0 Ö ØÖ Ö Ñ Ó ÑÓ Ö t 0 ÐÐÓ Ø Ó ÑÓ Ó Ô Ö ØÙØØ Ð Ø Ø ÑÓØÓ ÚÓ Ð ÑÓ ÓÒ ÖÓÒØ Ö ØÖ ÐÓÖÓ Ø Ø Ú Ö º Á Ú ØØÓÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ ÐÓ Ø ØÓ ÑÓØÓ Ô Ö ÙÒ Ø ÐØ t 0 Ö ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ Ö Ð Ø Ú ÙÒ³ ÐØÖ ÐØ Ô Ö ÙÒ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÙÒ Ø Ö A;t 0 > H = e + i H(t 0 t 0 ) A;t 0 > H ½º ½µ Ä ½º ½µ Ð ÒÚ Ö Ø Ú ÐÓÖ Ñ º ÌÙØØ Ú Ð Ú Ö Ö t 0 Ð Ú ØØÓÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒÓ Ø Ó Ø ØÓ ÑÓØÓ ÔÙ ÙÑ Ö Ô ØØ ÓÒ Ö ÚÓÐÑ ÒØ Ú Ö ØÖ ÐÓÖÓº ½º º Ä Ê ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÁÒØ Ö Þ ÓÒ ÁÒ ÑÓÐØ Ñ ÒØ ÒØ Ö ÒØ Ð³À Ñ ÐØÓÒ Ò Ð ÓÑÑ Ù Ø ÖÑ Ò H = H 0 + V 0 ½º ¾µ Ù H 0 ØØ Ñ ÒØ Ö ÓÐÙ Ð V 0 ÔÙ Ö ÓÒ Ö ØÓ ÙÒ ÑÓ Ô ÓÐ H 0 º ÁÒ ÕÙ Ø ÔÓ ÑÓ Ö Ö ÔÔÖÓ Ñ Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ H Ô ÖØ Ö ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ H 0

½º ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ø Ñ ÕÙ ÒØ Ø ½ ÓÒ ÙÒÓ Ú ÐÙÔÔÓ Ò ÔÓØ ÒÞ V 0 Ð Ñ Ø ØÓ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ò ØÓ Ø ÖÑ Ò º ÉÙ Ø Ð Ú Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ Ø ÐÐ Ì ÓÖ ÐÐ È ÖØÙÖ Þ ÓÒ ÑÔ Ñ ÒØ Ù Ø Ò Å Ò Ð º Ä³ ÑÔ Ó Ô Ö Ð Ú ÒØ Ð³ Ð ØØÖÓ Ò Ñ ÉÙ ÒØ Ø É º H 0 Ð³À Ñ ÐØÓÒ Ò ¹ Ö Ú Ð ØØÖÓÒ ÓØÓÒ Ð Ö Ñ ÒØÖ V 0 Ö Ú Ð³ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÐÐ³ Ð ØØÖÓÒ ÓÒ Ð ÑÔÓ Ð ØØÖÓ¹ Ñ Ò Ø Óº Ä³ ÒØ Ø ÐÐ³ ÒØ Ö Þ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ Ö Ð ØØÖ ÐÐ³ Ð ØØÖÓÒ Ø Ó ÔÖ Ñ Ò Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ö Ò ÞÞ Ñ Ò ÓÒ Ð Ð Ó Ø ÒØ ØÖÙØØÙÖ Ò µ α = ( e2 4π c ) = 1 137 ½º µ ÑÓÐØÓ Ñ ÒÓÖ ÐÐ³ÙÒ Ø º È Ö ÓØØ Ò Ö ÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ Ô ÖØÙÖ Ø ÚÓ Ò ÑÓ Ó Ø Ñ Ø Ó ÓÒÚ Ò ÒØ Ö Ú Ö Ð ÑÓØÓ Ð Ø Ñ Ò ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÒØ Ö Þ ÓÒ Ó Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ö º ÄÓ Ø ØÓ Ð Ø ÑÔÓ t Ò ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÓØØ Ò ÐÐÓ Ø ØÓ Ò ÐÐ Ö ÔÔÖ ¹ ÒØ Þ ÓÒ Ë ÖÓ Ò Ö ÓÒ Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÙÒ Ø Ö A(t) > I = e + i H 0t A(t) > S Á Ú ÐÓÖ Ñ ÐÐ Ó ÖÚ Ð ÚÓÒÓ Ö Ð Ø Ò ÐÐ Ù Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ I < A(t) O I (T) A(t) > I = S < A(t) O S A(t) > S ÕÙ Ò O I (t) = e + i H0t O S e i H 0t Ö ÒÞ Ò Ó Ö Ô ØØÓ Ø ÓØØ Ò ÑÓ Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÑÓØÓ Ð Ø Ø ÐÐ Ó ÖÚ Ð i t A(t) > I= V 0I (t) A(t) > I i do I(t) dt = [H 0,O I (t)] ÓÚ V 0I (t) Ð³À Ñ ÐØÓÒ Ò ÒØ Ö Þ ÓÒ Ò ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÒØ Ö Þ ÓÒ V 0I (t) = e + i H 0t V 0 e i H 0t Ä Ó ÖÚ Ð Ú Ö ÒÓ Ò Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ Ð³À Ñ ÐØÓÒ Ò Ð Ö Ñ ÒØÖ Ð Ú Ö Þ ÓÒ ÓÐ Ø ÑÔÓ Ð Ø Ø ÓÚÙØ ÓÐØ ÒØÓ ÐÐ³ ÒØ Ö Þ ÓÒ º ÒÓØ Ö V 0I Ô Ò ÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ò ÕÙ ÒØÓ V 0 H 0 Ò Ò Ö ÒÓÒ ÓÑÑÙØ ÒÓ ØÖ ÐÓÖÓº Ä³ Õº º µ Ò ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ØÖ Ð Þ ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ ØÖ t 0 t

¾¼ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ t > I = U I (t,t 0 ) t 0 > I ½º ¼µ ÓÚ ÑÓ Ò ØÓ ÓÒ t > I ÐÓ Ø ØÓ Ð Ø ÑÔÓ t Ö Ù t 0 > I Ð Ø ÑÔÓ t 0 º U I (t,t 0 ) ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö º ÁÒÓÐØÖ Ú Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ U I (t,t 0 ) = U I (t,t 1 )U I (t 1,t 0 ) (t > t 1 > t 0 ) ½º ½µ U I ÙÒ Ø Ö Ó ÓÑ ÓÒ Ù ÒÞ Ð ØØÓ Ð³ Ñ ÐØÓÒ Ò ÒØ Ö Þ ÓÒ º V 0I ÖÑ Ø Ò U(t,t 0 ) U(t,t 0 ) = U(t,t 0 )U(t,t 0 ) = I ½º ¾µ Æ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ò Ö ÓÐÚ Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÑÓØÓ ÓÒ ÙÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ò Ð Ó Ò Ò Ó ÐÓ Ø ØÓ ÙÒ Ø ÑÔÓ t 1 > tº ÁÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÔ Ö ØÓÖ ŪI(t,t 1 ) Ò ØÓ Ð³ ÖÑ Ø ÒÓ ÓÒ Ù ØÓ U I (t 1,t) t > I = ŪI(t,t 1 ) t 1 > I (t 1 > t) ½º µ Ū I (t,t 1 ) = U I (t 1,t) ½º ÄÓ Ú ÐÙÔÔÓ Ô ÖØÙÖ Ø ÚÓ ÈÓ ÑÓ ÔÖ Ñ Ö U I ÓÑ ÙÒ Ö ÔÓØ ÒÞ Ò V 0I º È Ö Ö ÕÙ ØÓ ÒØ Ö ÑÓ Ð º µ ØÖ t 0 t ÓØØ Ò Ò Ó Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÒØ Ö Ð t > 1 = t 0 > I i t t 0 dt V 0I (t ) t > I ÇÚÚ Ñ ÒØ t > I Ö t 0 > I Ô Ö Ø ÖÑ Ò ÓÒÓ ÐÑ ÒÓ ÓÖ Ò V 0I º Ä Õº º½ µ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ó Ø ØÙ Ò Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ t > I ÓÒ t 0 > I t > I = t 0 > I i t t 0 dt V 0I (t ) t 0 > I +O(V 2 0 ) ÁÐ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ÔÙ Ö Ö Ô ØÙØÓº ÑÔ Ó Ó Ø ØÙ Ò Ó ÒÙÓÚÓ Ð º½ µ Ò ÐÐ º½ µ ÓØØ Ò ÑÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò t > 1 = t 0 > I i +( i )2 t t t 0 dt V 0I (t ) t 0 dt V 0I (t ) t 0 > I + t t 0 V 0I (t ) t 0 > I +O(V 3 0 )

½º ÈÖÓ ÓØØ Ø ÑÔÓ¹ÓÖ Ò Ø ¾½ Ó Ú º ÓÒØ ÒÙ Ò Ó Ò Ò Ø Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ ØÖÓÚ Ð Ö + t > I = t 0 > I + ( i )n dt 1 V 0I (t 1 ) = [1 + + n=1 n=1 ( i )n t t 0 dt I V 0I (t I ) t1 t1 t 0 dt 2 V 0I (t 2 )... t 0 dt 2 V 0I (t 2 )... = U I (t,t 0 ) t 0 > I tn 1 t 0 dt n V 0I (t n ) t 0 > I = tn 1 t 0 dt n V 0I (t n )] t 0 > I = ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÐÐ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÑÓØÓ ÓÒ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð t > I = t 0 > I ÓÑ Ú Ö ÐÑ ÒØ Ô Ö Ó Ø ØÙÞ ÓÒ Ò ÐÐ Õº º µº ½º ÈÖÓ ÓØØ Ø ÑÔÓ¹ÓÖ Ò Ø ÓÒÚ Ò ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ö ÓÑ Ö ÙÐØ ØÓ ÙÒ ÒØ Ö Þ ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ Ù ØÙØØ Ð Ú Ö Ð t 1,...t n Ò ÐÐ³ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ó ØÖ t 0 tº È Ö Ö ÕÙ ØÓ ÒØÖÓ Ù Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ø ÑÔÓ¹ÓÖ Ò ØÓ Ì¹ÔÖÓ ÓØØÓµ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ V 0I (t 1 ),V 0I (t 2 )...,V 0I (t n ) Ò ØÓ Ô Ö Ú ÐÓÖ Ø ÐÐ Ú Ö Ð t 1,t 2,... t n ÓÑ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÐÐ³ÓÖ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ Ú ÐÓÖ Ö ÒØ Ð Ø ÑÔÓ Ð Ò Ó Ò ØÖ Ú Ö Ó ØÖ T(V 0I (t 1 ),V 0I (t 2 )...,V 0I (t n )) = V 0I (t a1 )V 0I (t a2 )... V 0I (t an ) ÓÚ t a1,t a2...t an Ð Ô ÖÑÙØ Þ ÓÒ t 1,t 2,...,t n Ô Ö Ù t a1 > t a2 >... > t an ½º½¼¼µ Æ Ð Ó Ù ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÐ Ø Ñ ÒØ T(V 0I (I 1 ),V 0I (t 2 )) = θ(t 1 t 2 )V 0I (t 1 V 0I (t 2 + ½º½¼½µ +θ(t 2 t 1 )V 0I (t 2 )V 0I (t 1 ) ÓÒ θ(x) = 0,1 ÓÒ x < 0 Ó x > 0º ÓÒ Ö ÑÓ Ó Ð³ ÒØ Ö Ð t ÓÒ ØÙØØ Ð Ú Ö Ð ØÖ t 0 tº t 0 T(V 0I (t 1 ),V 0I (t 2 )...,V 0I (t n ))dt 1 dt 2...dt n ½º½¼¾µ

¾¾ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ ÁÐ ÓÑ Ò Ó ÒØ Ö Þ ÓÒ ÓÑÔÓÒ Ò n! ÓÑ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÔÓ Ð ÓÖ Ò Ñ ÒØ Ø ÑÔÓÖ Ð ÐÐ Ú Ö Ð º ÁÐ ÓÒØÖ ÙØÓ Ð Ô ÖØ ÓÐ Ö ÓÑ Ò Ó Ò Ù Ú Ð Ð³ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ ØÓ ÐÐ º½ µ ØÓ t ta1 dt a1 V 0I (t a1 ) dt a2 dv 0I (t a2 )... t 0 t 0 tan 1 t0 dt an V 0I (t an ) ½º½¼ µ ÕÙ Ò Ó Ò ÔÖÓÔÖ Ó ÓÒ Ð³ ÒØ Ö Ð ÓÑÔ Ö Ò ÐÐ º½ µ Ñ ÒÓ ÙÒ Ñ Ñ ÒØÓ ØÖ Ú Ð Ð ÒÓÑ ÐÐ Ú Ö Ð º Ä³ ØÖÙÞ ÓÒ ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ø ÑÔÓÖ Ð Ò ÐÐ º¾½µ Ð ÒØ Ö Ð Ø Ð n! ÓÑ Ò ÒÓ ØÙØØ Ù Ù Ð ÐÐ º¾¾µ Ô Ö Ù Ò ÓÒÐÙ ÓÒ ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ú Ö U I (t,t 0 ) Ò ÐÐ ÓÖÑ ÑÑ ØÖ U I (t,t 0 ) = 1 + ( i 1 )n n! n=1 t t0 dt 1 dt 2...dt n T(V 0I (t 1 )V 0I (t 2 )...V 0I (t n )) ½º½¼ µ ½º Ë ÑÑ ØÖ Ó Ø ÒØ Ð ÑÓØÓ Ä Ó ÖÚ Ð ÓÑÑÙØ ÒÓ ÓÒ Ð³ Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÒÓ Ó Ø ÒØ Ð ÑÓØÓ Ð ÐÓÖÓ Ú ÐÓÖ Ñ Ó Ò Ô Ò ÒØ t Öº Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ½º ¼µµº ÓÑ Ò Å Ò Ð Öº Ð Ì ÓÖ Ñ ÆÓ Ø Öµ Ò ÐÐ Å Ò ÉÙ ÒØ Ø ³ ÙÒ Ö Ð Þ ÓÒ Ö ØØ ØÖ Ð ÑÑ ØÖ Ð Ø Ñ Ó Ð Ó Ø ÒØ Ð ÑÓØÓº ÉÙ Ð Ø Ø Ú Ñ ÒØ Ô ÖÐ ÑÓ ÑÑ ØÖ ØÙØØ Ð ÚÓÐØ ÔÓ ÑÓ Ù Ö ÙÒ ØÖ ÓÖ¹ Ñ Þ ÓÒ Ù Ð ÔÔ Ö Ø ÔÖ Ô Ö ÒÓ Ð Ø Ñ Ò Ú Ö Ø Ø A >, B > Øµ Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð Ö ÒÚ Ö ÒØ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÑÙØÙ ØÖ Ð Ø Ø Ø º ÁÒ ÓÒÖ ØÓ Ò ÑÓ ÓÒ RA >, RB > Øº Ð Ø Ø ÓØØ Ò ÓÒÓ A >, B > Øº ÓÒ Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ R ÕÙ ØÓ ÚÙÓÐ Ö < RB RA > 2 = 2 ½º½¼ µ Ô Ö ØÙØØ Ð Ø Ø A > B >º ÓÑ ÑÓ ØÖ ØÓ Ï Ò Ö Ð³ Õº ½º½¼ µ ÐÙÓ Ó Ù ÐØ ÖÒ Ø Ú Ó ÓÚÚ ÖÓ < RB RA >= ½º½¼ µ < RB RA >= ½º½¼ µ Ë Ú Ð Ð ÓÒ Þ ÓÒ ½º½¼ µ Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ U(R) Ð Ò Ö ÙÒ Ø Ö Ó RA >= U(R) a > U(R)U(R) = 1 ½º½¼ µ

½º Ë ÑÑ ØÖ Ó Ø ÒØ Ð ÑÓØÓ ¾ Ä ÓÒ Þ ÓÒ ½º½¼ µ Ö ÒÚ U(R) ÒØ Ð Ò Ö ÒØ ÙÒ Ø Ö Ó U(R)(α A > +β B >) = α U(R) A > +β U(R) B > U(R)U(R) = 1 ½º½¼ µ Ä ÓÒ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÔÔÐ Ð Ó ÐÐ³ ÒÚ Ö ÓÒ Ø ÑÔÓÖ Ð Ø Ñ ¹Ö Ú Ö Ðµº ÌÙØØ Ð ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ Ð ÒÓ Ò ÐØ Ö ØÓ Ð Ú Ö Ó Ð Ø ÑÔÓ ÚÓÒÓ ÒÚ Ö Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÙÒ Ø Ö ÕÙ ØÓ Ð Ó ÓÒ Ö ÑÓ Ò ÕÙ Ø Ë Þ ÓÒ º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÚÓÒÓ Ö ÙÒ Ø Ö Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ ÕÙ ÖÙÔÔ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÓÒÓ ÓÒÒ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ø ÐÐ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÒØ Ø ÔÙ Ö ÑÔÖ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÐÐ³ÓÔ Ö ØÓÖ ½µ ÓÑ ÑÔ Ó Ð ØÖ Ð Þ ÓÒ Ó Ð ÖÓØ Þ ÓÒ Ô Þ Ð ÓÒ Ö Ø Ò ÐÐ Ë Þº ½º º½ Ó Ð ØÖ Ð Þ ÓÒ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ë Þº ½º º½º Ø ÙÒ³Ó ÖÚ Ð X Ò ÑÓ Ð³ Ó ÖÚ Ð ØÖ ÓÖÑ Ø ÓÑ ÕÙ ÐÐ ÙÐÐÓ Ø ØÓ RA > ÐÓ Ø Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ó X Ò A > ÐÐ ½º½¼ µ ØÖÓÚ ÑÓ ÕÙ Ò < RA X R RA >=< A X A > ½º½½¼µ X R = U(R)XU(R) ½º½½½µ ÁÐ Ó Ô ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ³À Ñ ÐØÓÒ Ò º Ë H Ð Ø ÒÚ Ö ÒØ ÐÐ ØÖ ÓÖ¹ Ñ Þ ÓÒ H R = U(R)HU(R) = H ½º½½¾µ ÐÐÓÖ [U(R),H] = 0 ½º½½ µ ØÙØØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ U(R) ÓÒÓ ÐÐ Ó Ø ÒØ Ð ÑÓØÓº ÓÒ ÖÓÒØ ÑÓ Ù Ô Ö Ñ ÒØ Ô ÖØÓÒÓ Ù Ø Ø ÓÒÓ Ð³ÙÒÓ Ð ØÖ ÓÖÑ ØÓ ÐÐ³ ÐØÖÓ A > RA > Ð Ø ÑÔÓ t = 0º Æ Ù Ð Ø ÑÔÓ t ÑÓ A(t) >= e i Ht A > RA(t) >= e i Ht RA >= e i Ht U(R) A >= = U(R)e i Ht A >= U(R) A(t) > ½º½½ µ ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó Ô ÖÐ ÑÑ ØÖ ØØ Ó ÓÒ ÖÚ Ø Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖ ÒØ Ò ÒÓ Ð Ö Ð Þ ÓÒ Ô Ö Ù ÙÒÓ Ø ØÓ Ð ØÖ ÓÖÑ ØÓ ÐÐ³ ÐØÖÓ ÓÒ ÖÚ Ò Ð Ø ÑÔÓº ØÓ ÙÒ ÖÙÔÔÓ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ ÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ ÐÐ Ò Ò Ø Ñ ÒØ ÔÖÓ Ñ ÐÐ³ ¹ ÒØ Ø º È Ö ÕÙ Ø ÔÓ ÑÓ ÔÓÖÖ U(R) = U(λ) 1 iλt ½º½½ µ

¾ Ä Å ÆÌÁ Á Å ÆÁ ÉÍ ÆÌÁËÌÁ ÓÚ λ ÒÓØ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ ÐÐ ØÖ ÓÖÑ Þ ÓÒ º ÖÑ Ø ÒÓ ØÓ U(R) ÙÒ Ø Ö Ó ÁÐ Ò Ö ØÓÖ Ò Ò Ø ÑÓ T Ú Ö T = T ½º½½ µ ËÙÐÐ ÐÐ ½º½½ µ Ð Ò Ö ØÓÖ ÙÒ ÑÑ ØÖ ØØ ÓÑÑÙØ ÓÒ H ÙÒ ÖÙÔÔÓ ÓÒØ ÒÙÓ ÑÑ ØÖ ØØ ÑÔÐ Ð³ Ø ÒÞ Ó ÖÚ Ð ÓÒ ÖÚ Ø Ø ÒØ ÕÙ ÒØ ÓÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÒØ Ö ØØ Ö ÞÞ ÒÓ Ð ÖÙÔÔÓ Ø Óº Ä ÓÒ ÖÚ Þ ÓÒ ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÑÓØÓ Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò ÓÐ Ö ÓÒÓ Ð ÑÔ Ô ÑÑ Ø ÕÙ ØÓ Ö ÙÐØ ØÓ Ô Ö ÐØÖÓ ÓÐÙØ Ñ ÒØ Ò Ö Ð º Ä Ó ÖÚ Ð ÐÐ Ø ÓÖ ÕÙ ÒØ Ø ÑÔÓ ÑÔ Ó Ð Ò Ø Ò Ö ÓÒÓ Ö Ò ÞÞ ÐÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓ ÑÓ Ô Ò Ö Ø ÖÑ Ò Ø Ñ ÙÖ Ò ÙÒ Ô ÓÐ Ö ÓÒ ÐÐÓ Ô Þ Ó¹Ø ÑÔÓº ÁÒ ÑÓ ÓÒ Π( x,t) ÙÒÓ ÕÙ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ º ÁÐ Ú ØÓÖ x ÙÒ Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö ÒÓÒ Ð³ ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÓÖ Ò Ø µ Ò ÕÙ ÒØÓ ÓÐÐ ØÓ ÐÐ ÔÓ Þ ÓÒ Ð ÔÔ Ö Ø Ñ ÖÓ ÓÔ Ñ ÙÖ ÒÓ Π( x,t)º Π( x,t) ÓØØ Ò ÓÒ ÙÒ ØÖ Ð Þ ÓÒ Ô Þ Ó¹Ø ÑÔÓÖ Ð Ô ÖØ Ö Π( 0,0) = Π(0)º È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð Ø ÑÔÓ ØÓ Π( x,t) ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÐÐ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ À Ò Ö ÓØØ Ò ÑÓ ÐÐ Π( x,t) = e + i Ht Π( x,0)e i Ht ½º½½ µ È Ö ÕÙ ÒØÓ Ö Ù Ö Ð Ú Ö Ð Ô Þ Ð Ù Ò Ó Ð ½º½½½µ Ð ½º µ ØÖÓÚ ÑÓ Π( x,t) = e + i Ht e i P x Π( 0,0)e + i P x e i Ht ½º½½ µ Æ Ð ÔÓÒ ÒØ ÓÑÔ Ö Ð ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ø Ñ ÒØ ÒÚ Ö ÒØ Ht P x = P µ x ν g µν = P µ x µ ½º½½ µ Ä³ Ð Ñ ÒØÓ Ñ ØÖ ØÖ ÙØÓ Ø Ø ÐÐ³ Ò Ö ÐÐ ÕÙ ÒØ Ø ÑÓØÓ ÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÐÓ Ð ÓÒ Ù ÒÞ ÙÒ Ô Ò ÒÞ Ô Þ Ó¹Ø ÑÔÓÖ Ð Ö ØØ Ö Ø < P,E Π( x,t) P,E >= =< P,E e + i (Ht P x) Π( 0,0)e i (Ht P x) P,E >= = e i [(E E )t ( P P ) x] < P,E Π( 0,0) P,E > ½º½¾¼µ

Ð Ó Ö ½ Èº ºÅº Ö ÈÖ Ò Ô ÐÐ Å Ò ÉÙ ÒØ Ø ÓÖ Ò Ö º ¾ Âº ÐÐ ËÔ Ð Ò ÍÒ Ô Ð Ò ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò º Ô Ö ÙÒ Ö Ò ÓÑÔÐ Ø Ú ÀºÏ ÝÐ Ì Ì ÓÖÝ Ó ÖÓÙÔ Ò ÉÙ ÒØÙÑ Å Ò ÓÚ Ö ÈÙ Ð Ø ÓÒ ½ ¼º ½ Ôº ½º