Scritto di Algoritmi e s.d. (1o anno) 14 Luglio 2004 TESTO e RISPOSTE (in fondo)

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1 Scritto di Algoritmi e s.d. (1o anno) 14 Luglio 2004 TESTO e RISPOSTE (in fondo) Esercizio 1 (punti 4 in prima approssimazione) Consideriamo il seguente codice C: typedef struct nodo * Alb; struct nodo { int info; Alb sin, des; ; void qqq (Alb a) { if (a!= NULL) { printf("%d : qqq(a->des); qqq(a->des); ", a->info); Domanda: qual'è l'effetto della chiamata qqq ( t ) se t è (il puntatore al)l'albero disegnato sotto (senza disegnare gli alberi vuoti)? NOTA: i numeri 1, 2, 3,... sono i valori del campo info Esercizio 2 (punti 4 in prima approssimazione) Consideriamo espressioni composte da: lettere, cifre, parentesi quadre e i simboli ':'e '$'. La definizione usa due insiemi di "base": Lett = {A, B,..., Z, l'insieme delle lettere maiuscole, e Cif = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e un insieme ausiliario, Atom. L'insieme Atom è dato dalla seguente definizione (induttiva): 1

2 [1] Lett à Atom [2] se a Œ Atom e c Œ Cif allora a : c Œ Atom L'insieme Exp delle espressioni è dato dalla seguente definizione (induttiva): [3] Atom à Exp [4] se a Œ Atom e exp Œ Exp allora: [ exp ] $ a Œ Exp Domande: a) la stringa A : B : 1:2:3 appartiene a Exp? Risposta: SI' / NO b) la stringa [A: 3: 5 ] $ [ B:7] appartiene ad Exp? Risposta: SI' / NO c) la stringa [A: 3: 5 ] $ [ B:7] $ D appartiene ad Exp? Risposta: SI' / NO d) scrivere una stringa che appartiene ad Exp, di lunghezza almeno 10, che contenga $ Esercizio 3 (punti 8 in prima approssimazione) Consideriamo il tipo di dato "rubriche", con le seguenti caratteristiche: una rubrica è un insieme finito di coppie (nome, numtel) nome è una stringa di lettere di lunghezza al più MS (costante nota); numtel è una stringa di cifre decimali di lunghezza al più MT (costante nota) ed è, ovviamente, un numero di telefono; una rubrica tipica, a regime, contiene da 500 a 1000 coppie; e con le operazioni seguenti: empty la rubrica vuota is-empty is-empty( r ) = " r è la rubrica vuota? " add add ( r, n, t ) : se in r non ci sono coppie (n,...), aggiunge (n,t) ad r; altrimenti modifica la coppia esistente, mettendo il nuovo numero : t del del ( r, n) = rubrica che si ottiene da r cancellando, se presente, la coppia (n,...) num num (r, n) : se r contiene (n,t), allora restituisce t, altrimenti... restituisce qualcosa di intelligente... Domande a) (2 punti) precisare quali sono le sorti di questo tipo di dato (scegliere dei nomi ragionevoli), e, per ciascuna sorte, l'insieme corrispondente 2

3 sorte insieme b) (6 punti) Descrivere una implementazione del tipo di dato, precisando: b1) l'idea generale (ad esempio: per implementare le rubriche uso lista doppiamente linkate...); b2) i tipi usati (in C o pseudocodice) ; per semplicità potete usare, per lettere e cifre, il tipo char; b3) come è implementata la rubrica vuota b4) cosa restitusce num (r, n) se in r non ci sono coppie che iniziano con n b5) l'implementazione dell'operazione add In questo esercizio, non perdete tempo a dettagliare cose standard (esempio: inserimento in una lista...); a seconda della scelta fatta, si può rispondere a b5) quasi senza scrivere codice 3

4 Esercizio 4 (punti 6 in prima approssimazione) Consideriamo il seguente algoritmo: costanti: MAX =... variabili: n, kk : integer aaa : array [ 1.. MAX ] of integer funzione fff ( p : integer IN ) : real variabili: j, s : integer istruzioni s 0 per j = 1, 2,..., p : s s + aaa[ j ] return (s / p) usa l'array aaa come globale istruzioni dell'algoritmo: leggi (n) supponiamo n minore o uguale a MAX per kk = 1, 2,..., n : leggi( aaa[kk] ) supponiamo : lettura ok kk n Domanda: while kk 1 do { scrivi ( fff ( kk) ) ; kk -- Calcolare la complessità dell'algoritmo, nel caso peggiore, in funzione di n. Possibilmente dare la stima in Q(... ). Non fare conti troppo dettagliati (esplicitando tutte le costanti,...), ma non limitarsi nemmeno a dare il risultato, o a quattro chiacchere; in particolare, precisare se c'è un caso peggiore (o caso pessimo) e qual'è. Esercizio 5 (punti 8 in prima approssimazione) Consideriamo alberi di ricerca binari, con etichette intere e con la solita implementazione. Vogliamo una procedura/funzione che preso un albero produce la lista ordinata delle etichette (ordine crescente a partire dalla testa della lista); esempio alla lavagna. Domande. a) A parole, spiegare l'idea su cui si basa la procedura/funzione. (se questa parte manca, il resto dell'esercizio non verrà corretto) b) Precisare, in pseudocodice, o in C, i tipi usati per liste ed alberi di ricerca. c) Scrivere, in pseudocodice, o in C, ma coerentemente con sopra e senza mescolare, la procedura/funzione. d) Precisare come si chiama la procedura a partire dal "main". Poichè un punto chiave è la costruzione della lista, se per farlo usate delle procedure ausiliarie, dovete fornire anche il codice... 4

5 SOLUZIONI Es 1: 3 : 7 : 8 : 9 : 9 : 8 : 9 : 9 : 7 : 8 : 9 : 9 : 8 : 9 : 9 : Es2 a) NO b) NO c) NO d) ad esempio: [A:5:3:1] $ B oppure [ [B:4] $ F ] $ G:3 Es3 a) nomi tel rub bool sorte insieme NOMI = Insieme delle stringhe di lettere di lunghezza al piu' MS TEL = Insieme delle stringhe di cifre di lunghezza al piu' MS RUB = Insieme dei sottinsiemi finiti di NOMI x TEL BOOL = {vero, falso NOTA: Quelle di sopra sono le sorti strettamente necessarie; non è sbagliato dire che ci sono anche le sorti "lettere" e "cifre". Es3) b1 Il tdd rubriche, e` una piccola variante del tdd DIZIONARI; la variante e` nell'operazione di inserimento. Implemento le stringhe (nomi e numeri di telefono) come array di caratteri, stile C. Implemento le rubriche usando hashing aperto: la dimensione della tabella è B = 100 (sembra ragionevole date le dimensioni "standard" delle rubriche); i bucket sono liste semplici, dove le celle hanno 3 campi: nome, telefono, puntatore al successivo; la funzione di hashing prende per argomento i nomi ed è quella semplice (ASCII ( C ) è il codice ASCII del carattere C) h(c1...cn) = [ ASCII(C1) ASCII(Cn) ] mod B Es3 b) In pseudocodice b2) const MT =... MS =... B = 100 type Nomi = array [1.. MS+1] of char nota : +1 per il terminatore Numtel = array [1.. MT+1] of char Liste = punta a Celle Celle = record nome : Nomi; numtel : Numtel ; next : Liste end Rub = array [ ] of Liste 5

6 b3) la rubrica vuota è una tabella hash, con tutti i puntatori nulli b4) poichè 0 non è un numero di telefono accettabile, restituisco la stringa "0" NOTA: stampare un messaggo a video NON serve a nulla (il main che chiama la procedura num NON puo` leggere cosa si scrive sul video!!!!) b5) a parole l'implementazione è fatta tramite una procedura: procedura add ( r : Rub IN-OUT, n : Nomi IN, t : Numtel IN ) la procedura usa due funzioni ausiliarie una che implementa la funzione di hashing, la chiamo h l'altra, la chiamo eq, implementa l'eguaglianza tra stringhe nomi quindi la procedura: dato n calcola h(n) scorre la lista puntata da Rub(h(n)), confrontando i nomi con n, usando eq se trova una cella contenente n, modifica il campo numtel altrimenti, inserisce una cella con n e t in testa alla lista Esercizio 4 Nell'algoritmo, tutto è a costo costante, tranne per kk... che ha un costo lineare in n while kk 1... che ha un costo in Q(n 2 ) - vedi sotto quindi l'intero algoritmo ha complessità in Q(n 2 ); non esiste caso peggiore Per calcolare la complessità del while, serve quella della chiamata fff(kk). Nella chiamata fff(kk) è tutto a costo costante (passaggio dei parametri, istruzioni) tranne l'istruzione : per j = 1, 2,..., p :... dove p vale kk Quindi il costo di fff(kk) è lineare in kk, cioè della forma : a kk + b (a, b costanti, a >0) Nel while, kk assume i valori : n, n-1, n-2,..., 1 (e 0 quando si esce) Quindi il costo del while è sostanzialmente dato dalla somma: S kk= n, n-1,..., 1 (a kk + b) = = a S kk= n, n-1,..., 1 kk + S kk= n, n-1,..., 1 b = = n(n-1)/2 + nb 6

7 Esercizio 5 (in pseudocodice) a) Se ho un albero di ricerca t = < n, t1, t2 >, tutte le etichette di t1 sono minori di quella del nodo n e quelle di t2 maggiori; quindi nella lista, alla fine, devo avere prima le etichette di t1 poi quella di n e poi le etichette di t2; per inserire comodamente nella lista, pero`, prima inserisco le etichette di t2, poi quella di n e poi quelle di t1, facendo sempre inserimento in testa; NOTA : quanto sopra si spiegava meglio con un disegno... Uso una funzione ord ( t : Bst) : Liste questa usa una procedura ricorsiva ausiliaria, con chiamata: ord-rec (t, lista) dove lista è inizialmente vuota alla fine lista contiene la lista voluta b) Tipi: Liste = puntatore a Celle Celle = record info : integer; next : Liste end Bst = puntatore a Nodi Nodi = record info : integer; sin, des : Bst end c) funzione ord ( t : Bst) : Liste { var res : Liste if t = NULL then return (NULL) else { res <-- NULL; ord_rec(t, res) return res vedere sotto procedura ord_rec( tt : Bst IN, lis : Liste IN-OUT) { var aux : Liste if tt non è NULL then { il sottoalbero destro viene inserito in lista, in ordine: ord_rec( tt->des, lis ) poi inserisco la radice: new(aux) aux->info <---- tt->info aux ->next < lis lis<----- aux infine, il sottoalbero sinistro viene inserito in lista, in ordine: ord_rec( tt->sin, lis) 7