La matematica nascosta dietro le immagini digitali

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1 La matematica nascosta dietro le immagini digitali Primo Brandi Anna Salvadori Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Perugia Introduzione. A circa un secolo e mezzo dalla sua invenzione la fotografia sembra vivere un momento di vera e propria rinascita, grazie alla diffusione della fotografia digitale. Un numero crescente di appassionati sta scoprendo le potenzialità della fotografia digitale, anche grazie ai numerosi software di gestione delle immagini che sono oggi disponibili. Le nuove generazioni spesso non hanno mai visto una macchina fotografica tradizionale e sono abituati a vedere solo immagini a video. Dopo un primo impatto di diffidenza anche i fotografi professionisti, perfino quelli di National Geographic, si stanno riciclando al digitale. Infatti le potenzialità offerte dal nuovo mezzo sono sorprendenti e non necessitano di esperti che lavorano in camera oscura in mezzo a sostanze chimiche di non facile gestione, bensì possono essere scoperte e utilizzate da chiunque, con più consapevolezza e in modo ottimale se conosce un po di matematica! Questa nota 1 vuol esser solo un saggio per evidenziare quanta matematica elementare sia nascosta dietro la fotografia digitale, anche con l intento di offrire un ottima opportunità per riavvicinare i traumatizzati della matematica. Cos è un immagine digitale. Il supporto delle immagini nella fotografia tradizionale è di tipo chimico: carte, lastre di vetro o pellicole, ricoperte di gelatina contenente in sospensione granuli di sali d'argento. Questi sali sono sensibili alla luce, che modifica le loro proprietà e rende possibile, attraverso un procedimento chimico (lo sviluppo), far comparire delle immagini sul supporto stesso. La nuova tecnica è radicalmente diversa e si basa su un processo di discretizzazione dell immagine e sulla sua codifica e memorizzazione in formato digitale (ovvero mediante codici binari). Focalizziamo la nostra attenzione sul monitor di un PC come supporto per visualizzare un immagine. La superficie attiva dello schermo è composta da un mosaico a tessere rettangolari, chiamate pixel (acronimo di picture element), disposte in una strutture a griglia, come in una carta quadrettata. Per essere rappresentata su questo supporto, un immagine deve subire innanzi tutto un processo di discretizzazione, analogo a quello subito da un disegno nella tecnica del ricamo a mezzo punto oppure nel lavoro a maglia jakard. Esempio di discretizzazione dello stemma dell Università degli Studi di Perugia 1 Nella nota [2] abbiamo sviluppato un percorso completo sull argomento: acquisizione, codifica, memorizzazione in chiaro, algoritmi di compressione, risoluzione, visualizzazione. qualità, dimensione, stampa (in b/n, scala dei grigi, colore), zoom in, zoom out, fotoritocco, ricostruzione, algoritmi di compressione, dithering, etc. 1

2 Particolari ingranditi della testa e dell occhio del grifone Ovviamente diminuendo la dimensione del pixel, la grana della griglia diventa via via più fine e di conseguenza migliora la qualità delle immagini sullo schermo. Codifica in chiaro di un immagine digitale. I sistemi di elaborazione digitale basano il loro funzionamento su un sistema binario, ove sono presenti solo le cifre 0 e 1. L unità centrale di un PC è in grado di gestire solo stringhe binarie (sequenze di 0 e 1). Un immagine discretizzata, per essere gestita da un supporto elettronico, deve essere codificata in una stringa binaria. Il processo avviene generalmente in due passi. A ciascun pixel della matrice viene assegnata una etichetta numerica in base decimale. Successivamente la rappresentazione viene convertita in codice binario. Codifica di un immagine in bianco e nero. La codifica in bianco-nero avviene assegnando il valore 0 al pixel nero ed il valore 1 al pixel bianco. L immagine viene così identificata con una matrice numerica. Esempio 1. Consideriamo la seguente figura test. Figura test Codifica Codice b/n Codifica in file portable bitmap (*.pbm): P Diamo una interpretazione della codifica in formato pbm: - il codice P1 denota la codifica in bianco e nero - i primi due elementi (es. 6 e 4) indicano il numero di colonne e di righe della matrice - la cifre successive sono gli elementi della matrice-immagine, trascritti ordinatamente colonna per colonna. Esempio 2. Se ruotiamo la figura test di un angolo di 90 gradi, la nuova matrice-immagine si ottiene scambiando le righe con le colonne (nota come operazione di trasposizione di matrice o matrice trasposta). 2

3 Codifica in file portable bitmap (*.pbm): P Esempio 3. Codifica in b/n del particolare dell occhio del grifo creata da un software di gestione di immagini. P1 # Created by Paint ***** Codifica di un immagine nella scala dei grigi. L occhio umano è in grado di distinguere fino a 160 sfumature di uno stesso colore. Per rappresentare in binario tali sfumature, si deve far ricorso a numeri binari a 8 cifre. In tal modo 8 vengono ad essere rappresentate sfumature. La scala dei grigi è dunque rappresentata da un numero binario di 8 bit (1 byte). I numeri binari sono ordinati secondo grandezza e sono posti in corrispondenza biunivoca con altrettanti toni di grigio della scala. Spesso, per semplicità, si ricorre alla corrispondente rappresentazione decimale dei toni di grigio, costituita dai numeri interi fra 0 e 255. Rappresentazione decimale e binaria Tavolozza della scala dei grigi di 256 livelli di grigio nero grigio 75% grigio 50% grigio 25% bianco

4 Proponiamo due esempi di codifica di un immagine nella scala dei grigi. Figura test Codice nella scala dei grigi Esempio 4. Codifica in file portable greymap (*.pgm) della figura test P Diamo una interpretazione della codifica: - il codice P2 denota la codifica nella scala dei grigi - i primi tre elementi (es. 5, 5 e 255) indicano rispettivamente il numero di colonne, il numero di righe della matrice e il numero di sfumature di grigio prese in esame - i numeri successivi sono gli elementi della matrice-immagine, trascritti ordinatamente colonna per colonna. Esempio 5. Come altro esempio, riportiamo una parte della codifica (vedi sotto) dell immagine a fianco ottenuta mediante un file di gestione di immagini. Logo del progetto Innovamatica P2 # Created by Paint ***** Codifica di un immagine a colori. Per illustrare il sistema di codifica di un immagine a colori è necessario premettere alcune nozioni sulla percezione dei colori da parte dell occhio umano. 4

5 Come è noto, la luce solare riguardata nella sua natura ondulatoria è una miscela di radiazioni di diversa lunghezza d onda (compresa fra 380 e 760 nanometri 2 ) corrispondenti a diversi colori che comprendono tutta la gamma dell iride: rosso, arancione, giallo, verde, azzurro, indaco e violetto. La visione a colori dell occhio umano si basa su un sistema additivo costruito su tre colori fondamentali rosso (red), verde (green) e blu. Questi hanno rispettivamente lunghezza d onda pari a 700, 546,1 e 435,8 nm. Questo modello della percezione dei colori, posto come congetture dal medico e fisico Thomas Young (1801) è stata confermata dagli esperimenti di Wright e Guild ( ) sulle cellule fotorecettori della retina. In particolare, i coni che sono responsabili della visione a colori, sono suddivisi in tre famiglie, disposte in altrettante zone della retina: i coni sensibili alla componente rossa del colore, alla componente verde o a quella blu, rispettivamente. La stimolazione dei fotorecettori da parte dei raggi luminosi permette di distinguere fino a 160 sfumature cromatiche per ciascuno dei tre colori fondamentali. Di conseguenza, con solo tre 3 famiglie di recettori (sensibili ai tre colori base) l occhio può apprezzare milioni di sfumature cromatiche. In realtà i colori percepiti dall occhio umano si ottengono miscelando i tre colori base in diversa proporzione. Tale sistema è noto come sintesi additiva 4 RGB. Gli schermi TV e i vari tipi di monitor a colori, sia a raggi catodici che a cristalli liquidi, utilizzano sistemi di visualizzazione basati sulla sintesi additiva RGB. Al sistema RGB può essere associato, in modo naturale, un sistema di riferimento 3D. Ricorrendo ad una rappresentazione decimale, per ogni colore vengono considerate 256 sfumature cromatiche indicate con la sequenza (la cui codifica binaria è data dalla tabella della pagina precedente). Nella sintesi additiva RGB ciascun colore è ottenuto miscelando opportune quantità di ciascun colore primario. Così è possibile rappresentare ogni colore mediante una terna di numeri ( r, g, b ), ciascuno dei quali è un numero compreso tra 0 e 255 che rappresenta la quantità di ciascun colore base presente nella miscela. In altri termini, la rappresentazione dei colori mediante un sistema cartesiano ortogonale 3D a coordinate intere è contenuta in un cubo, noto come cubo RGB. 3 In complesso i punti del cubo RGB rappresentano colori diversi. Infatti nel linguaggio comune spesso ci si riferisce a monitor con 16 milioni di colori. Dunque a ogni terna di coordinate cromatiche ( r, g, b ) corrispondono tre stringhe binarie, ciascuna di 8 bit, ovvero una stringa complessiva di 24 bit (cioè 3 byte essendo 1 byte = 8 bit). In particolare il bianco e il nero sono rappresentati, rispettivamente, dalle terne 255,255,255, (0,0,0), in quanto la luce bianca si ottiene come composizione delle tre radiazioni fondamentali alla 2 Un manometro (nm) è pari a 9 10 metri. 3 Alcuni animali posseggono due sole famiglie o addirittura una sola famiglia di fotorecettori; in quest ultimo caso si parla di visione monocromatica. 4 In realtà il sistema RGB non è adatto a rappresentare tutte le sfumature percepite dall occhio. Nel corso degli anni sono stati proposti numerosi sistemi di rappresentazione dei colori che sono oggetto della moderna Colorimetria. 5

6 massima intensità e il nero corrisponde all assenza di luce, cioè al buio totale. Il bianco e il nero occupano quindi due vertici opposti del cubo RGB. I punti del segmento congiungente tali vertici sono ottenuti come miscela di bianco e nero e costituiscono la scala dei grigi. Le diverse tonalità di grigio si ottengono pertanto miscelando le stesse porzioni di colori primari, sono cioè terne del tipo, ove h è detto livello o tono di grigio. Nei programmi per la creazione e il ritocco di immagini è disponibile una tavolozza di sfumature cromatiche. Cliccando su uno dei colori, appare a video la corrispondente terna RGB; viceversa digitando una terna di numeri compresi tra 0 e 255, una paletta assume il colore corrispondente. ( hhh,, ) Esempio 6. Come esempio, riportiamo una parte della codifica dell immagine logo Innovamatica a colori, ottenuta mediante un file di gestione di immagini. Codifica in file portable pixelmap (*.ppm) P3 # Created by Paint ***** Diamo una interpretazione della codifica: - il codice P3 denota la codifica a colori - i primi tre elementi (es. 350, 175 e 255) indicano rispettivamente il numero di colonne, il numero di righe della matrice e il numero di sfumature di ciascun colore base i numeri successivi, raggruppati in terne ordinate, sono gli elementi della matrice-immagine, trascritti ordinatamente colonna per colonna, Codifica criptata di un immagine digitale. Da quanto abbiamo visto, la codifica in b/n di un pixel è costituita da una sola cifra (0 o 1), quella nella scala dei grigi da una stringa di 8 bit, quelle a colori da 3 byte. Di conseguenza, un immagine a colori occupa molta più memoria di un immagine nella scala dei grigi e questa occupa più memoria di un immagine in b/n. A titolo di esempio, riportiamo le diverse dimensioni dell immagine del logo Innovamatica nei tre casi. Immagine logo Innovamatica rappresentazione digitale formato Size (kbyte) Bianco-nero pbm 122 Scala dei grigi pgm milioni di colori ppm 693 compressa jpg 25 Non compressa tif 180 Allo scopo di ridurre lo spazio necessario alla memorizzazione di un immagine sono stati introdotti numerosi algoritmi di codifica non in chiaro, che riescono a raggiungere notevoli rapporti di compressione con perdite accettabili dell informazione I formati più diffusi sono: *.jpg, *.tif, *.gif, *.wmf, *.bmp, *.img, *.eps. 6

7 Tali formati sono ottenuti attraverso opportuni algoritmi matematici. Stampa di un immagine digitale. Per illustrare il sistema di stampa di un immagine digitale, è necessario premettere alcune considerazioni circa il sistema di percezione del colore degli oggetti illuminati, che mettono in evidenza la fondamentale differenza tra gli oggetti che sono visti in luce trasmessa e quelli illuminati da luce riflessa. Quando un oggetto è illuminato da una sorgente di luce bianca la percezione del colore che ne ricaviamo dipende dalle proprietà della superficie che assorbe certe componenti della luce e ne riflette altre. Il suo colore è il colore di quella parte della luce che non viene assorbita dai pigmenti dell oggetto, ma è riflessa verso l osservatore. Vediamo come la rappresentazione 3D del sistema RGB permette di determinare anche una rappresentazione della colorazione dei pigmenti. Osservando il cubo RGB si deduce quanto segue. Componendo mediante sintesi additiva il verde e il blu si ha un colore turchese detto ciano (vertice (0,255,255)). Questo colore si ottiene anche sottraendo alla luce bianca la sua componente rossa: (255,255,255) (255,0,0) (0,255,255) In altre parole, la superficie di un oggetto è di colore ciano quando, illuminata da luce bianca assorbe la componente rossa e restituisce le componenti verde e blu. Componendo (mediante sintesi additiva) il rosso e il blu si ha un colore violaceo detto magenta (vertice (255,0,255)). I pigmenti di questo colore assorbono la componente verde e restituiscono le componenti rossa e blu. - Componendo il rosso e il verde si ha il colore giallo (vertice (255,255,0)). I pigmenti di questo colore assorbono la componente blu e restituiscono le componenti rossa e verde. I pigmenti che costituiscono la base del sistema di sintesi sottrattiva dei colori sono quindi ancora tre: ciano, magenta e giallo. Questo sistema è quindi denotato con CMY. Il sistema CMY è quello su cui si basano i procedimenti di stampa più diffusi. Le cartucce delle stampanti a colori presentano tre scomparti, contenenti i pigmenti ciano, magenta e giallo. A volte si hanno cartucce separate per ciascun colore. Analogamente al sistema RGB, anche il sistema CMY ammette una rappresentazione in 3D. Precisamente, scelto come origine il punto indicato W (da white = bianco), i segmenti W-C (biancociano), W-M (bianco-magenta) e W-Y (biancogiallo) determinano l orientamento dei nuovi assi coordinati (vedi figura). Supponiamo di voler stampare un immagine visualizzata sul monitor di un PC. Poiché, come abbiamo già osservato, il monitor utilizza il sistema additivo RGB, mentre il dispositivo di stampa utilizza il sistema sottrattivo CMY, è necessario un commutatore di indirizzo. Il riferimento CMY si ottiene dal riferimento RGB mediante una traslazione e una commutazione dell orientamento degli assi: precisamente si trasla l origine dal punto black (nero) al punto white e si inverte l orientamento di tutti gli assi coordinati. 7

8 Pertanto, indicando con (c, m, y) le coordinate nel sistema CMY, in forza delle (1.1) e (1.3) si deduce la formula di passaggio dal sistema RGB al sistema CMY: c r 255 m g 255 y b 255 Così, per esempio, il verde chiaro, rappresentato nel sistema RGB da un punto di coordinate (r, g, b) = (186, 232, 165), nel sistema CMY è rappresentato da un punto il cui indirizzo è definito dalla terna (c, m, y) = (69, 23, 90). In particolare il nero, che nel sistema additivo RGB equivale alla terna (0, 0, 0), nel sistema sottrattivo corrisponde alla combinazione dei tre pigmenti fondamentali cioè (255, 255, 255). Viceversa il bianco che nel sistema additivo è dato dalla combinazione dei colori base, cioè (255, 255, 255), nel sistema sottrattivo CMY è rappresentato dalla terna (0, 0, 0). Nei software di gestione delle immagini la conversione tra i due sistemi di riferimento è eseguita automaticamente dal driver di stampa. La (1) si può anche riscrivere: c r 255 m g 255 y b 255 di conseguenza le terne (c, m, y) e (r, g, b) sono complementari rispetto alla luce bianca. In altri termini, un pigmento (c, m, y) illuminato da luce bianca è percepito del colore (r, g, b) corrispondente, secondo la (2). In pratica, nei procedimenti di stampa il modello CMY è sostituito dal modello CMYK, ove K = black, cioè nero. L aggiunta del quarto inchiostro, costituito da pigmenti neri, è motivata dal fatto che allo stato attuale della tecnologia i pigmenti dei tre colori primari non sono mai così puri da fornire un nero deciso. In realtà il risultato della mescolanza dei tre pigmenti ciano, magenta e giallo non è il nero, quale si dovrebbe avere teoricamente, ma una sorta di colore marrone scuro (che gli artisti chiamano bistro ). Inoltre l inchiostro nero è meno costoso degli altri tre e quindi il sistema CMYK è più economico del sistema CMY. Osserviamo infine che alcune case costruttrici di stampanti, per migliorare la qualità di stampa, hanno aumentato il numero degli inchiostri, passando dalla quadricromia CMYK all esacromia, con l aggiunta di ciano chiaro e magenta chiaro. Bibliografia 1. P.Brandi A.Salvadori, Modelli matematici elementari, B. Mondadori Ed. (2004) 2. Brandi A.Salvadori, La matematica delle immagini digitali, preprint 3. C.Salvadori, Acquisizione di immagini in forma digitale, Aracne (2005) 4. R.Sheppard, La fotografia digitale, National Geographic Society (2004) (2) (1) 8