L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE

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1 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 1 L incoerenza efficace apre la strada L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE a un altra possibile formulazione della meccanica quantistica che provvisoriamente può essere riassunta nei seguenti principi. E1 Il vettore di stato evolve sempre secondo l equazione di Schrödinger. E2 Esso descrive non un singolo sistema ma un ensemble di sistemi. E3 Il legame tra il vettore di stato e i fatti sperimentali è dato dalla legge di probabilità quantistica. In particolare, dopo la misurazione di G effettuata da A su S, l ensemble è descritto dal vettore di stato ovvero, includendo nella descrizione l ambiente, L equivalenza pratica tra questa formulazione e la formulazione standard è assicurata dall incoerenza efficace. Confronto con la formulazione standard Esiste una profonda differenza concettuale tra questa formulazione e la formulazione standard. i c i ψ i A i i c i ψ i A i E i. Nella formulazione standard il vettore di stato descrive un singolo sistema, cioè un singolo elemento dell ensemble eventualmente considerato. Confrontando l interpretazione d ensemble con la formulazione standard riconosciamo subito che, nell ambito di quest ultima, l elemento del complesso dei principi che permette di associare il vettore di stato a un singolo sistema è precisamente il principio di riduzione.

2 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 2 Una precisazione importante Prima di procedere alla discussione dell interpretazione d ensemble dobbiamo precisare meglio l enunciato E3. E3 Il legame tra il vettore di stato e i fatti sperimentali è dato dalla legge di probabilità quantistica. Le probabilità specificate dalla legge di probabilità quantistica sono probabilità... di che cosa? Due risposte Sono possibili due risposte, delle quali una conduce all interpretazione d ensemble che discuteremo subito, l altra conduce alla formulazione delle storie di cui ci occuperemo in seguito. Prima risposta interpretazione d ensemble Dato il vettore di stato a un tempo t qualsiasi, le probabilità cui si riferisce l enunciato E3 sono le probabilità dei risultati di una qualsiasi misurazione che venga eseguita a un tempo successivo t + τ. (interponendo l evoluzione di Schrödinger se τ è finito). Seconda risposta formulazione delle storie Dato il vettore di stato a un tempo t qualsiasi, le probabilità cui si riferisce l enunciato E3 sono le probabilità che, fino al tempo t, si siano realizzate le successioni di situazioni descritte ognuna da un termine nel vettore di stato.

3 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 3 I principi dell interpretazione d ensemble E1 Il vettore di stato evolve sempre secondo l equazione di Schrödinger. E2 Esso descrive non un singolo sistema ma un ensemble di sistemi. In particolare, dopo la misurazione del nostro esempio, l ensemble è descritto dal vettore di stato i c i ψ i A i E3 Dato il vettore di stato a un tempo t qualsiasi, le probabilità dei risultati di una qualsiasi misurazione che venga eseguita a un tempo successivo t + τ sono date dalla legge di probabilità quantistica (applicata al vettore di stato evoluto da t a t + τ secondo l equazione di Schrödinger se τ non è zero). Attenzione! Se vogliamo discutere seriamente l interpretazione d ensemble la proposizione E3 deve essere presa sul serio, cioè deve essere applicabile a ogni tempo e a ogni misurazione sensatamente proponibile. Una prima critica: rimane il concetto di misurazione L inclusione dell apparato nella trattazione, non evita il riferimento a misurazioni ulteriori. Il concetto di misurazione resta un concetto primitivo, incorporato nell interpretazione d ensemble a livello dei principi. Dobbiamo ancora assumere che esistano sistemi apparato esterni al sistema S + A (o S + A + E), che si sottraggono all evoluzione secondo l equazione di Schrödinger nel senso che sono sempre in uno stato macroscopicamente definito. Si può inoltre obiettare che l interpretazione d ensemble non permette di fondare una cosmologia quantistica, poiché non possono esistere apparati misuratori esterni all universo e non ha senso condiderare un ensemble di universi.

4 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 4 AGAINST MEASUREMENT J.S. Bell CERN, Geneva The question,...should we not have an exact formulation...?, is often answered by one or two others. I will try to reply to them: Why bother? Why not look it up in a good book? Here are some words which, however legitimate and necessary in application, have no place in a formulation with any pretension to physical precision: system apparatus environment microscopic, macroscopic reversible, irreversible observable information measurement The concepts system, apparatus, environment, immediately imply an artificial division of the world, and an intention to neglect, or take only schematic account of, the interaction across the split. The notions microscopic and macroscopic defy precise definition. So also the notions of reversible and irreversible. Einstein said that it is theory which decides what is observable. I think he was right... observation is a complicated and theory-laden business. Then that notion should not appear in the formulation of fundamental theory. Information? Whose information? Information about what? On this list of bad words from good books, the worst of all is measurement. It must have a section to itself.

5 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/ AGAINST MEASUREMENT When I say the word measurement is even worse than the others, I do not have in mind the use of the word in phrases like measure the mass and width of the Z boson. I do have in mind its use in the fundamental interpretive rules of quantum mechanics. For example, here they are as given by Dirac ( ) :... any result of a measurement of a real dynamical variable is one of its eigenvalues if the measurement of the observable... is made a large number of times the average of all the results obtained will be a measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that it is being measured... It would seem that the theory is exclusively concerned about results of measurement, and has nothing to say about anything else. What exactly qualifies some physical systems to play the role of measurer? Was the wave function of the world waiting to jump for thousands of millions of years until a single-celled living creature appeared? Or did it have to wait a little longer, for some better qualified measurer... with a Ph.D.? If the theory is to apply to anything but highly idealized laboratory operations, are we not obliged to admit that more or less measurement-like processes are going on more or less all the time, more or less everywhere? Do we not have jumping then all the time?

6 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 6 Una critica decisiva: si ottengono inconsistenze Abbiamo già deciso di tralasciare l obiezione che i principi come li abbiamo enunciati hanno un carattere FAPP. Tralasciamo anche l obiezione sulla mancata eliminazione del concetto di misurazione a livello dei principi. Allora, se limitiamo ogni discussione all ensemble di sistemi sul quale eseguiamo la prima misurazione, l interpretazione d ensemble può apparire sostenibile. Essa tuttavia trascura il fatto che è possibile e del tutto legittimo scomporre l ensemble originario in subensemble (tutti numerosi quanto si vuole) sulla base dei risultati della prima misurazione. Se si effettua una tale scomposizione e si applica l interpretazione d ensemble ai subensemble così ottenuti, si ottengono inconsistenze. Precisamente, si possono immaginare diverse misurazioni successive alla prima per le quali, applicando i principi della formulazione, si ottengono due previsioni contrastanti (delle quali una corretta, l altra no). Nota Oltre a quello che esporrò esistono altri argomenti che mostrano le inconsistenze dell interpretazione d ensemble.

7 IL PROBLEMA DELLA MISURAZIONE QUANTISTICA Pavia 11/4/ L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 7 Discussione dell interpretazione d ensemble Consideriamo un ensemble E di sistemi S nello stato ψ. Assumiamo per semplicità che l evoluzione temporale di Schrödinger sia trascurabile, tranne che in occasione delle misurazioni che effettueremo. Al tempo t 1 l apparato A misuri la grandezza G di S rappresentata dall operatore Ĝ = i g i P S i. Al tempo t 2 > t 1 l apparato A misuri di nuovo la medesima grandezza, Al tempo t 3 > t 2 l apparato B esegua una terza misurazione che descriveremo. I tempi che ci interessano sono dunque t 1 t 1 t 1 + t 2 t 2 t 2 + t 3 t 3 Sia ψ = i c i ψ i, dove ψ i = P S i ψ i, lo stato di S al tempo t 1. Allora l evoluzione di Schrödinger fino al tempo t 3 del vettore di stato che descrive l ensemble E di sistemi S + A + A + B + E si può scrivere schematicamente ( ) Ψ t1 = c i ψ i A rd A rd B rd E 0 i S.E. ( ) Ψ t1 + = c i ψ i A i E i A rd B rd = Ψ t2 i S.E. ( ) Ψ t2 + = c i ψ i A i A i E i B rd = Ψ t3. i La decoerenza garantisce che le distribuzioni dei risultati nell ensemble E di qualsiasi misurazione che non coinvolga E (e quindi in particolare della seconda considerata) coincidano con quelle delle corrispondenti miscele e perciò siano in accordo con le previsioni della formulazione standard.

8 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 8 Selezione di subensemble Compiuta la prima misurazione, sulla base dei risultati di questa, possiamo selezionare il subensemble E k costituito dagli elementi di E per i quali è stato ottenuto il risultato G = g k. Questa è un operazione del tutto legittima che può essere fatta non solo idealmente ma anche concretamente. La funzione d onda Ψ t1 + = Ψ t2, che descrive l ensemble E prima della seconda misurazione, descrive anche il subensemble E k (l affermazione contraria equivarrebbe ad ammettere che la prima misurazione ha provocato una riduzione). Se ora applichiamo la regola E3 al subensemble E k descritto da Ψ t2 per calcolare la distribuzione dei risultati della seconda misurazione, dalla relazione Pk S ψ i = δ ki ψ i otteniamo Pr(G = g k, 2 a mis.) = Ψ t2 Pk S Ψ t2 = c k 2 anziché 1 come dovremmo. A questo punto potremmo essere tentati di concludere semplicemente che l interpretazione d ensemble dà risultati errati, ma questo non è del tutto corretto. Specifichiamo infatti la terza misurazione in modo che consista nella lettura simultanea degli indicatori di A e A. Per la perfetta correlazione tra le funzioni d onda di A e A in Ψ t2 + = Ψ t3 otteniamo Pr(risultato 1 a mis. = risultato 2 a mis.) = 1, e quindi (correttamente) per il subensemble E k Pr(G = g k, 2 a mis.) = 1. In conclusione, secondo questo argomento, l interpretazione d ensemble ha seri problemi di consistenza.

9 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 9 L origine del problema Mi sembra evidente che la difficoltà che abbiamo rilevato discende dal fatto che non esiste nell interpretazione d ensemble alcun elemento di descrizione del sistema che sia in corrispondenza con il risultato di una singola misurazione. Cioè si verifica un diverso fatto in ogni singolo sistema in istudio (ogni singolo elemento dell ensemble), il successivo comportamento del sistema dipende da quel particolare fatto, ma non è dato alcuno strumento per descriverlo. Queste considerazioni inducono a enunciare il seguente Requisito di buon senso Ogni formulazione della meccanica quantistica che non vada incontro a problemi di consistenza deve contenere elementi di descrizione del sistema che, a misurazione avvenuta, siano correlati al risultato della misurazione. Nota Il requisito di buon senso è condizione necessaria per la consistenza ma può non essere sufficiente affinché una formulazione sia soddisfacente. La formulazione standard soddisfa il requisito di buon senso. L elemento di descrizione del sistema in corrispondenza con il risultato della misurazione è la funzione d onda ridotta.

10 2 L INTERPRETAZIONE D ENSEMBLE 11/12 10 Riprendiamo il Requisito di buon senso Ogni formulazione della meccanica quantistica che non vada incontro a problemi di consistenza deve contenere elementi di descrizione del sistema che, a misurazione avvenuta, siano correlati al risultato della misurazione. Bell ha espresso lo stesso giudizio in modo molto più sintetico e molto più tassativo con la seguente affermazione: La funzione d onda, come data dall equazione di Schrödinger, o non è tutto o è sbagliata Ecco la relazione tra il problema della misurazione e la questione della completezza: discutendo la misurazione siamo giunti alla conclusione che se non ammettiamo modificazioni dell equazione di Schrödinger (la funzione d onda non è sbagliata) dobbiamo aggiungere alla funzione d onda ulteriori elementi di descrizione del sistema.