Dallo heap per la coda con priorità a un nuovo algoritmo di ordinamento. Algoritmi e Laboratorio a.a Lezioni. I due cicli dell'algoritmo

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1 Università di Torino Facoltà di Scienze MFN Corso di Studi in Informatica Curriculum SR (Sistemi e Reti) Algoritmi e Laboratorio a.a. -1 Lezioni prof. Elio Giovannetti Lezione Heapsort versione 11/11/ Quest' opera è pubblicata sotto una Licenza Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike.5. Dallo per la coda con priorità a un nuovo algoritmo di ordinamento. Partiamo dal Selection sort (ordinamento per estrazione successiva del minimo), pessimo perché quadratico, e modifichiamolo come segue. Prima di iniziare il ciclo di estrazioni successive del minimo, trasformiamo l'array in uno, attraverso n inserimenti: ciascuno di essi ha complessità log i, con i che varia da 1 a n: log 1 + log log n < n log n Poi operiamo le estrazioni successive del minimo usando l'algoritmo di estrazione del minimo dello : abbiamo n estrazioni, con i che varia da n a 1, quindi di nuovo: log n log + log 1 < n log n La complessità nel caso peggiore è quindi n log n T worst (n) = Θ(n log n): è un algoritmo ottimale! 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. I due cicli dell'algoritmo 1. Lo può essere costruito sullo stesso array da ordinare: ancora da esaminare Alla fine del ciclo l'intero array è diventato uno.. Ricorda: quando si estrae il minimo, lo si accorcia "dal fondo". Gli elementi successivamente estratti dallo possono perciò essere messi nello stesso array contenente lo, a partire dal fondo: ancora da svuotare parte già ordinata Estraendo ripetutamente il minimo e inserendolo nell'array a partire dal fondo si ottiene però l'ordine inverso. Come si può realizzare l'ordinamento solito? 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Ordinamento tramite (sort): soluzione. Basta usare uno a massimo invece di uno a minimo! In modo del tutto analogo a quanto illustrato nella slide precedente: 1. prima si trasforma, mediante inserimenti successivi, l'array in uno -a-massimo;. poi da esso si fanno successive estrazioni del massimo ognuna in tempo logaritmico, e i valori estratti vanno via via a riempire la parte di array liberata dallo, a partire dal fondo. Così l'ordine risultante è quello "giusto". 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Heapsort: caratteristiche. Complessità temporale del caso peggiore: Θ(n log n); non ha, come il quicksort, un caso peggiore quadratico, bensì è ottimale in ogni caso, come il mergesort. È un algoritmo che "lavora sul posto" (in place) cioè che, a differenza del mergesort, non ha bisogno di un array ausiliario della stessa dimensione dell'input. Inoltre, a differenza del quicksort, è un algoritmo iterativo, quindi il suo stack occupa solamente uno spazio massimo costante. Pertanto: Complessità spaziale (in ogni caso): Θ(1) Lo sort è dunque, dal punto di vista asintotico, l'algoritmo di ordinamento migliore fra quelli esaminati. Tuttavia nella maggior parte delle situazioni l'algoritmo di ordinamento più veloce, in media, risulta essere il quicksort! 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 Heap in un array a partire dall'indice. Nota: Volendo usare lo per realizzare un algoritmo di ordinamento, lo stesso deve partire dall'indice invece che dall'indice 1. Il calcolo degl'indici del genitore e dei figli di un nodo deve essere cambiato di conseguenza: left(i) = i+1 right(i) = i+ parent(i) = (i-1)/ ( ) /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1

2 Heapsort e coda con priorità Nell'algoritmo di ordinamento evidentemente non si vuole creare un oggetto separato di una classe PriorityQueue, ma realizzare lo direttamente nell'array da ordinare. Occorre quindi modificare i metodi di inserimento nello e di estrazione del massimo, facendoli diventare metodi statici che operano sull'array da ordinare. L'array degli elementi e l'indice dell'ultimo elemento, che erano campi della classe PriorityQueue, diventano quindi parametri espliciti del metodo. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. i Heapsort per array di int ancora da esaminare static void addtoheap(int[] a, int i) inserisce l'elemento a[i] nello a[.. i-1]; i ancora da svuotare parte già ordinata static void getmax(int[] a, int i) estrae il massimo dallo a[.. i] e lo mette in a[i]; public static void sort(int[] a) { int n = a.length; for(int i = 1; i < n; i++) addtoheap(a, i); for(int i = n -1; i > ; i--) getmax(a, i); 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 8 Inserimento nello (= moveup) i i inserisce l'elemento a[i] nello a[.. i-1]; a[i] è già in fondo allo, bisogna solo farlo salire; addtoheap coincide quindi con una opportuna moveup static ti void addtoheap(int[] a, int i) { elem = a[i]; // elemento da far salire; i è l'indice del posto in cui mettere l'elemento while(i > radice && elem > genitore di i) { a[i] = genitore di i; il genitore scende nel posto del figlio i = indice_genitore di i ; il posto dell'elemento sale al posto del genitore a[i] = elem; 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Inserimento nello (= moveup) i i inserisce l'elemento a[i] nello a[.. i-1]; a[i] è già in fondo allo, bisogna solo farlo salire; addtoheap coincide quindi con una opportuna moveup static ti void addtoheap(int[] a, int i) { elem = a[i]; // elemento da far salire; i è l'indice del posto in cui mettere l'elemento while(i > && elem > a[(i-1)/]) { a[i] = genitore di i; il genitore scende nel posto del figlio i = indice_genitore di i ; il posto dell'elemento sale al posto del genitore a[i] = elem; 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 Inserimento nello (= moveup) i i inserisce l'elemento a[i] nello a[.. i-1]; a[i] è già in fondo allo, bisogna solo farlo salire; addtoheap coincide quindi con una opportuna moveup static ti void addtoheap(int[] a, int i) { elem = a[i]; // elemento da far salire; i è l'indice del posto in cui mettere l'elemento while(i > && elem > a[(i-1)/]) { a[i] = a[(i-1)/]; // il genitore scende nel posto del figlio i = (i-1)/; // il posto per l'elemento sale nel genitore a[i] = elem; 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 11 Estrazione del massimo i ancora da svuotare parte già ordinata estrae il massimo dallo a[.. i] e lo mette in a[i]; a[i] è l'ultima foglia, che deve essere "tagliata"; il massimo si trova in a[] e va spostato in a[i]; la "foglia tagliata" deve essere messa al posto della radice e poi fatta scendere; static void getmax(int[] a, int i) { // si estrae il massimo a[] e lo si mette al posto della // foglia a[i], che viene spostata nella radice; scambia(a, i, ); movedown nello a[..i-1], a partire dalla radice 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1

3 Estrazione del massimo i ancora da svuotare parte già ordinata estrae il massimo dallo a[.. i] e lo mette in a[i]; a[i] è l'ultima foglia, che deve essere "tagliata"; il massimo si trova in a[] e va spostato in a[i]; la "foglia tagliata" deve essere messa al posto della radice e poi fatta scendere; static void getmax(int[] a, int i) { // si estrae il massimo a[] e lo si mette al posto della // foglia a[i], che viene spostata nella radice; scambia(a, i, ); movedown(a,, i) ; dove movedown(int[] a, int k, int length) fa scendere l'el. di indice k nello a[.. length-1] 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 Estrazione del massimo i ancora da svuotare parte già ordinata Il corpo della procedura getmax è costituito da due sole istruzioni; è quindi conveniente eliminarla, espandendo in linea le due istruzioni: public static void sort(int[] a) {... for( ) { scambia(a, i, ); movedown(a,, i) ; dove movedown(int[] a, int k, int length) fa scendere l'el. di indice k nello a[.. length-1] 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 movedown o fixheap k, inizialmente indice del nodo da far scendere, è poi l'indice del "posto vuoto" che viene via via fatto scendere, finché non è maggiore di entrambi i figli (o dell'unico figlio). k 8 ichild 5 Estrazione del massimo = movedown k i parte già ordinata Attenzione: tagliata la foglia, lo diventa a[.. i-1] int elem = a[k]; int ichild; while(k ha almeno un figlio) { ichild = ifiglio sin. di k int j = indice del figlio destro; if(figlio destro esiste && è maggiore del sinistro) ichild = j; se elem è >= figlio maggiore, è al posto giusto: if(elem >= a[ichild]) break; altrimenti: a[k] = figlio maggiore di k; il figlio sale nel posto libero; k = ichild; // il posto libero per elem scende nel figlio a[k] = elem; 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 Estrazione del massimo = movedown k i parte già ordinata Attenzione: tagliata la foglia, lo diventa a[.. i-1] int elem = a[k]; int ichild; Attenzione! Test con effetto collaterale! while((ichild = *k + 1) < i) { int j = ichild + 1; // indice del figlio destro if(figlio destro esiste && è maggiore del sinistro) ichild = j; se elem è >= figlio maggiore, è al posto giusto: if(elem >= a[ichild]) break; altrimenti: a[k] = figlio maggiore di k; il figlio sale nel posto libero; k = ichild; // il posto libero per elem scende nel figlio a[k] = elem; Estrazione del massimo = movedown k i parte già ordinata Attenzione: tagliata la foglia, lo diventa a[.. i-1] int elem = a[k]; int ichild; while((ichild = *k + 1) < i) { int j = ichild + 1; if(j < i && a[j] > a[ichild]) ichild ++; if(elem >= a[ichild]) break; a[k] = a[ichild]; il figlio maggiore sale nel posto libero k = ichild; il posto per l'elemento scende nel figlio a[k] = elem; 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez.

4 Esercizio 1. Raffinamento Si completi la definizione della procedura di ordinamento public static void sort(int[] a) Trasformazione dell'array in "partendo dal basso". 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Raffinamento. L'array può essere trasformato in uno, invece che per mezzo di n inserimenti successivi (tempo totale Θ(n log n)), applicando ripetutamente movedown ai nodi a partire dal basso (vedremo che ciò richiede solo un tempo Θ(n)). Infatti: un albero costituito da una foglia è uno ; un albero quasi completo i cui sottoalberi sinistro e destro sono degli (e in cui quindi solo la radice può essere "fuori posto") diventa uno se si applica movedown alla sua radice: nodo fuori posto L'algoritmo ricorsivo trasformainheap (in inglese ify, cioè ifica) void trasformainheap(subarray di radice i) { if(subarray non è vuoto e non è una foglia) { trasformainheap(sottoalbero sinistro di subarray); trasformainheap(sottoalbero destro di subarray); movedown nel subarray la radice del subarray; 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. L'algoritmo ricorsivo trasformainheap (in inglese ify, cioè ifica) void ify(int[] a, int i) { int j = *i + 1; // figlio sinistro di i if(j < a.length) { // se il figlio sinistro esiste ify(sottoalbero sinistro di subarray); ify(sottoalbero destro di subarray); movedown nel subarray la radice del subarray; Nota: se il figlio destro è inesistente, esso non ha a sua volta figli, quindi la procedura invocata su di esso ritorna senza errori e senza fare nulla (come nel caso di una foglia). L'algoritmo ricorsivo trasformainheap (in inglese ify, cioè ifica) void ify(int[] a, int i) { int j = *i + 1; // figlio sinistro if(j < a.length) { ify(a, j); ify(a, j+1); movedown nel subarray la radice del subarray; Nota: se il figlio destro è inesistente, esso non ha a sua volta figli, quindi la procedura invocata su di esso ritorna senza errori e senza fare nulla (come nel caso di una foglia). 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez.

5 L'algoritmo ricorsivo trasformainheap (in inglese ify, cioè ifica) void ify(int[] a, int i) { int j = *i + 1; // figlio sinistro if(j < a.length) { ify(a, j); ify(a, j+1); movedown(a, i, a.length); Nota: se il figlio destro è inesistente, esso non ha a sua volta figli, quindi la procedura invocata su di esso ritorna senza errori e senza fare nulla (come nel caso di una foglia). Raffinamento (continua) Con l'utilizzo dell'algoritmo lineare (vedi dimostrazione più avanti) di trasformazione diretta dell'array in, la complessità asintotica non cambia, perché il ciclo di estrazioni successive del massimo rimane n log n, e si ha quindi: T(n) = n + n log n = Θ(n log n) Tale tempo è tuttavia migliore di quello della versione iniziale, espresso da n log n. La versione ricorsiva, però, accresce ovviamente la complessità in spazio. Ne esiste però una facile versione iterativa: nella versione finale di sort adottiamo perciò quest'ultima. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Le foglie sono già banalmente degli. Allora basta ificare dapprima tutti i sottoalberi di altezza 1 (nell'esempio, quelli di radici risp. in 5,, ); allora i sottoalberi di altezza (nell'es., quelli di radici di indici 1 e ) avranno fuori posto solo le radici, e si possono a loro volta ificare; poi i sottoalberi di altezza, ecc. (nell'es. l'intero albero, di radice di indice ). indice /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 8 Allora basta ificare dapprima tutti i sottoalberi di altezza 1 (nell'esempio, quelli di radici risp. in 5,, ); allora i sottoalberi di altezza (nell'es., quelli di radici di indici 1 e ) avranno fuori posto solo le radici, e si possono a loro volta ificare; poi i sottoalberi di altezza, ecc. (nell'es. l'intero albero, di radice di indice ). Allora basta ificare dapprima tutti i sottoalberi di altezza 1 (nell'esempio, quelli di radici risp. in 5,, ); allora i sottoalberi di altezza (nell'es., quelli di radici di indici 1 e ) avranno fuori posto solo le radici, e si possono a loro volta ificare; poi i sottoalberi di altezza, ecc. (nell'es. l'intero albero, di radice di indice ) /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5

6 Basta cioè ificare su tutti i nodi percorrendo l'albero per livelli dal basso verso l'alto e da destra a sinistra, a partire dal primo nodo non-foglia: static void ify(int[] a) { int lastindex = a.length - 1 for(int j = indice ultimo nodo interno; j >= ; j--) movedown(a, j, a.length); Nota: (lastindex-1)/ è l'indice del genitore dell'ultima foglia, cioè l'indice dell'ultimo nodo interno. Iniziando da esso e andando all'indietro, si esegue movedown su tutti i nodi interni. Si vede facilmente che la procedura iterativa e quella ricorsiva eseguono esattamente le stesse chiamate di movedown; esse hanno quindi la stessa complessità temporale, ma naturalmente la procedura iterativa è più efficiente e ha bisogno solo di uno spazio costante. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 Basta cioè ificare su tutti i nodi percorrendo l'albero per livelli dal basso verso l'alto e da sinistra a destra, a partire dal primo nodo non-foglia: static void ify(int[] a) { int lastindex = a.length - 1 for(int j = (lastindex-1)/; j >= ; j--) movedown(a, j, a.length); Nota: (lastindex-1)/ è l'indice del genitore dell'ultima foglia, cioè l'indice dell'ultimo nodo interno. Iniziando da esso e andando all'indietro, si esegue movedown su tutti i nodi interni. Si vede facilmente che la procedura iterativa e quella ricorsiva eseguono esattamente le stesse chiamate di movedown; esse hanno quindi la stessa complessità temporale, ma naturalmente la procedura iterativa è più efficiente e ha bisogno solo di uno spazio costante. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Basta cioè ificare su tutti i nodi percorrendo l'albero per livelli dal basso verso l'alto e da sinistra a destra, a partire dal primo nodo non-foglia: static void ify(int[] a) { int lastindex = a.length - 1 for(int j = (lastindex-1)/; j >= ; j--) movedown(a, j, a.length); Nota: (lastindex-1)/ è l'indice del genitore dell'ultima foglia, cioè l'indice dell'ultimo nodo interno. Iniziando da esso e andando all'indietro, si esegue movedown su tutti i nodi interni. Si vede facilmente che la procedura iterativa e quella ricorsiva eseguono esattamente le stesse chiamate di movedown; esse hanno quindi la stessa complessità temporale, ma naturalmente la procedura iterativa è più efficiente e ha bisogno solo di uno spazio costante. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Heapsort: versione finale, in C. Nota: la procedura ify può essere eliminata espandendo in linea il suo corpo; in tal modo si ottiene una procedura sort che usa solo la procedura ausiliaria movedown. In C: void sort(int a[], int n) { int j, i; for(j =(n-)/; j >= ; j--) movedown(a,j,n); for(i = n-1; i > ; i--) { scambia(a,,i); movedown(a,,i); 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Esercizio Si scriva e si provi la procedura sort in Java. Calcolo della complessità di ify Il tempo di esecuzione ify è la somma dei tempi di tutte le esecuzioni di movedown, quindi è la somma di tutte le altezze dei sottoalberi non-foglie (nel caso peggiore). Assumiamo per semplicità che l'albero sia completo, e abbia altezza h; il numero n dei nodi, cioè la lunghezza dell'array, è quindi: n = h = h h /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez.

7 Calcolo della complessità di ify altezza: h; numero di nodi: n = h+1 1; numero di foglie: h 1 Calcolo della complessità di ify altezza: h; numero di nodi: n = h+1 1; numero di foglie: h Quanti sono gli alberi di altezza 1 (radici gialle)? Sono h-1 ; la somma delle loro altezze è quindi 1 h-1. Quanti sono gli alberi di altezza (radici arancioni)? Sono h- ; la somma delle loro altezze è quindi h-. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez Quanti sono gli alberi di altezza (radici viola)? Sono h- ; la somma delle loro altezze è quindi h-. Quanti sono gli alberi di altezza k? Sono h-k ; la somma delle loro altezze è quindi k h-k. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 8 Calcolo della complessità di ify altezza: h; numero di nodi: n = h+1 1; numero di foglie: h La somma delle altezze dei sottoalberi non-foglie è quindi: 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 Calcolo della complessità di ify Per calcolare il valore della somma 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 riscriviamola così, su h righe: = 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k h righe h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k ora calcoliamo la somma di ogni riga: ( h 1) + ( h-1 1) + ( h- 1) ( 1) + ( 1 1) + ( 1) = h+1 1 (h + 1) 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Calcolo della complessità di ify Per calcolare il valore della somma 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 riscriviamola così, su h righe: = 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k ora calcoliamo la somma di ogni riga: ( h 1) + ( h-1 1) + ( h- 1) ( 1) + ( 1 1) + ( 1) = h+1 1 (h + 1) Calcolo della complessità di ify Per calcolare il valore della somma 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 riscriviamola così, su h righe: = 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k ora calcoliamo la somma di ogni riga: ( h 1) + ( h-1 1) + ( h- 1) ( 1) + ( 1 1) + ( 1) = h+1 1 (h + 1) 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez.

8 Calcolo della complessità di ify Per calcolare il valore della somma 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 riscriviamola così, su h righe: = 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 1 h-1 + h- + h k h-k (h-1) + h 1 h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k h-1 + h- + h h-k ora calcoliamo la somma di ogni riga: ( h 1) + ( h-1 1) + ( h- 1) ( 1) + ( 1 1) + ( 1) = h+1 1 (h + 1) ricorda che n = h+1 1 = n - Θ(log n) = Θ(n) 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Calcolo della complessità di ify Abbiamo così dimostrato che ify, cioè la procedura di trasformazione dell'array in a partire dal basso, ha complessità temporale (del caso peggiore) lineare. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Riassunto sort. È per selezione successiva del massimo, analogo al pessimo selection sort, ma usa uno -a-massimo (brevemente max-) perché da esso si estrae il massimo in modo più efficiente (logaritmico). Trasforma l'array in uno "partendo dal basso" tramite la procedura ify che usa ripetutamente movedown. Estrae ripetutamente il massimo dallo, usando ogni volta la procedura movedown per riaggiustare lo. Attenzione ai nomi: non confondere fixheap, che è un altro nome di movedown, con ify! Per aumentare la confusione, alcuni testi scambiano i nomi di fixheap e ify! Quindi attenzione! Riassunto sort più a basso livello. Trasforma l'array in uno "partendo dal basso" tramite la procedura ify che usa ripetutamente movedown per spostare in basso i nodi fuori posto. Ripetutamente scambia il primo elemento, che è il massimo, con l'ultima foglia dello (cioè con il primo da destra della parte ancora da ordinare), e poi fa scendere ogni volta con movedown tale ultimo elemento dalla radice fino al posto giusto. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Esempio di estrazione del massimo (1) Esempio di estrazione del massimo () /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 8 8

9 Esempio di estrazione del massimo () Esempio di estrazione del massimo () /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 Esempio di estrazione del massimo (5) Esecuzione di sort: costruzione dello Heap (1) /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 Esecuzione di sort: costruzione dello Heap () Esecuzione di sort: costruzione dello Heap () /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5

10 Esecuzione di sort: costruzione dello Heap () Esecuzione di sort: costruzione dello Heap (5) /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 Esecuzione di sort: costruzione dello Heap () Esecuzione di sort: costruzione dello Heap () /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 58 Esecuzione di sort: estrazione del massimo (1) movedown /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1

11 Esecuzione di sort: estrazione del massimo () movedown /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 1 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. Esecuzione di sort: estrazione del massimo () movedown /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez /11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez.... e così via. 11/11/.5 E. Giovannetti - AlgELab--1 - Lez. 5 11