Algoritmi e Strutture di Dati I 1. Algoritmi e Strutture di Dati I Massimo Franceschet francesc
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1 Algoritmi e Strutture di Dati I 1 Algoritmi e Strutture di Dati I Massimo Franceschet francesc m.franceschet@unich.it
2 Algoritmi e Strutture di Dati I 2 Problema dell ordinamento Data in ingresso una sequenza a 1, a 2,..., a n fornire in uscita una permutazione a 1, a 2,..., a n della sequenza di ingresso tale che a 1 a 2,..., a n
3 Algoritmi e Strutture di Dati I 3 Ordinamento per confronto Un algoritmo di ordinamento per confronto utilizza il confronto tra elementi del vettore per determinare l ordine relativo degli elementi del vettore. Dati due elementi a i e a j del vettore, un confronto è un test del tipo a i a j.
4 Algoritmi e Strutture di Dati I 4 Ordinamento sul posto Un algoritmo di ordinamento di un vettore A viene detto sul posto (in-place) se gli elementi di A vengono riarrangiati all interno del vettore A, e, in ogni istante, solo un numero costante di elementi vengono tenuti fuori da A.
5 Algoritmi e Strutture di Dati I 5 HeapSort HeapSort è un algoritmo di ordinamento iterativo, per confronto, e sul posto che usa la struttura di dati heap.
6 Algoritmi e Strutture di Dati I 6 HeapSort(A) 1: HeapBuild(A) 2: for i length(a) downto 2 do 3: Exchange(A, 1, i) 4: heapsize(a) heapsize(a) 1 5: Heapif y(a, 1) 6: end for
7 Algoritmi e Strutture di Dati I
8 Algoritmi e Strutture di Dati I
9 Algoritmi e Strutture di Dati I
10 Algoritmi e Strutture di Dati I
11 Algoritmi e Strutture di Dati I
12 Algoritmi e Strutture di Dati I
13 Algoritmi e Strutture di Dati I 13 Complessità di HeapSort Sia n = length(a). La complessità pessima di HeapSort è: HeapBuild costa Θ(n); il ciclo for esegue n 1 volte. Ogni iterazione ha complessità O(log n). Dunque HeapSort costa O(n) + (n 1) O(log n) = O(n + n log n) = O(n log n) Vale un limite stretto?
14 Algoritmi e Strutture di Dati I 14 Complessità di HeapSort HeapSort non è sensibile alla forma della sequenza di ingresso. Ciò significa che il costo di HeapSort è indipendente dal numero di coppie che sono già ordinate in partenza. Infatti, si può dimostrare che, se gli elementi del vettore sono tutti distinti, la complessità ottima di HeapSort è Θ(n log n). Quindi anche la complessità media e quella pessima di HeapSort sono Θ(n log n).
15 Algoritmi e Strutture di Dati I 15 TreeSort T reesort è un algoritmo di ordinamento iterativo, per confronto e non sul posto che usa la struttura di dati albero binario di ricerca.
16 Algoritmi e Strutture di Dati I 16 La procedura T reesort(a) consiste di due passi: 1. gli elementi di A vengono inseriti in un albero binario di ricerca T usando la procedura T reeinsert; 2. l albero T viene visitato in ordine intermedio e gli elementi di T vengono reinseriti nel vettore A. La complessità pessima di questa procedure è Θ(n 2 ), quella media e quella ottima sono Θ(n log n).
17 Algoritmi e Strutture di Dati I 17 InsertionSort InsertionSort è un algoritmo di ordinamento iterativo, per confronto, e sul posto.
18 Algoritmi e Strutture di Dati I 18 InsertionSort(A) 1: for j 2 to length(a) do 2: key A[j] 3: i j 1 4: while (i > 0) and (key < A[i]) do 5: A[i + 1] A[i] 6: i i 1 7: end while 8: A[i + 1] key 9: end for
19 Algoritmi e Strutture di Dati I 19 j
20 Algoritmi e Strutture di Dati I 20 j
21 Algoritmi e Strutture di Dati I 21 j
22 Algoritmi e Strutture di Dati I 22 j
23 Algoritmi e Strutture di Dati I 23 j
24 Algoritmi e Strutture di Dati I j 1 7
25 Algoritmi e Strutture di Dati I
26 Algoritmi e Strutture di Dati I 26 Complessità ottima di InsertionSort Sia n = length(a). Il caso ottimo si ha quando A è inizialmente ordinato in senso crescente. In tal caso, il ciclo while non viene mai eseguito, e dunque ogni iterazione del ciclo for ha complessità costante. Dato che ci sono n 1 iterazioni del ciclo for, la complessità ottima risulta (n 1)Θ(1) = Θ(n 1) = Θ(n)
27 Algoritmi e Strutture di Dati I 27 Complessità pessima di InsertionSort Il caso pessimo si ha quando A è inizialmente ordinato in senso decrescente. In tal caso, il ciclo while viene sempre eseguito fino all ultimo, cioè da i = j 1 fino a i = 0. Dunque ogni iterazione del ciclo for ha complessità Θ(j). Dato che il ciclo for itera da j = 2 fino a j = n, la complessità pessima risulta n Θ(j) = Θ( j=2 n j) = Θ(n(n + 1)/2 1) = Θ(n 2 ) j=2
28 Algoritmi e Strutture di Dati I 28 Complessità media di InsertionSort Nel caso medio, l elemento chiave A[j] è più grande della metà degli elementi che lo precedono, e quindi il ciclo while costa Θ(j/2). La complessità media risulta n Θ(j/2) = Θ(1/2 j=2 n j) = Θ(n(n + 1)/4 1/2) = Θ(n 2 ) j=2
29 Algoritmi e Strutture di Dati I 29 QuickSort QuickSort è un algoritmo di ordinamento ricorsivo, per confronto, e sul posto.
30 Algoritmi e Strutture di Dati I 30 QuickSort usa una procedura ausiliaria P artition(a, p, r) che partiziona il sottovettore A[p,..., r] in due sottovettori A[p,..., q 1] e A[q + 1,..., r] per qualche p q r, tali che, se x = A[q], per ogni p i q 1, A[i] x e, per ogni q + 1 i r, x A[i] L elemento x = A[q] viene detto perno (o pivot) e la procedura ritorna l indice q.
31 Algoritmi e Strutture di Dati I 31 Partition(A,p,r) 1: x A[r] 2: i p 1 3: for j p to r 1 do 4: if A[j] x then 5: i i + 1 6: Exchange(A, i, j) 7: end if 8: end for 9: i i : Exchange(A, i, r) 11: return i La complessità di P artition(a, p, r) è Θ(n), ove n = r p + 1 è la dimensione del sottovettore A[p,..., r].
32 Algoritmi e Strutture di Dati I 32 i j x 5
33 Algoritmi e Strutture di Dati I 33 i j x
34 Algoritmi e Strutture di Dati I 34 i j x
35 Algoritmi e Strutture di Dati I 35 i j x
36 Algoritmi e Strutture di Dati I 36 i j x
37 Algoritmi e Strutture di Dati I 37 i j x
38 Algoritmi e Strutture di Dati I 38 i j x
39 Algoritmi e Strutture di Dati I 39 i j x
40 Algoritmi e Strutture di Dati I 40 i j x
41 Algoritmi e Strutture di Dati I 41 QuickSort QuickSort(A,p,r) 1: if p < r then 2: q P artition(a, p, r) 3: QuickSort(A, p, q 1) 4: QuickSort(A, q + 1, r) 5: end if
42 Algoritmi e Strutture di Dati I
43 Algoritmi e Strutture di Dati I
44 Algoritmi e Strutture di Dati I
45 Algoritmi e Strutture di Dati I 45 Complessità pessima di QuickSort Nel caso pessimo la procedura P artition(a, p, r) ritorna in tempo Θ(n) un estremo (p o r), cioè il vettore A[p,..., r] viene suddiviso in un sottovettore di dimensione n 1 e uno di dimensione 0, ove n = r p + 1. Dunque la complessità pessima di QuickSort è espressa dalla seguente equazione ricorsiva: C(0) = Θ(1) C(n) = C(n 1) + C(0) + Θ(n) = C(n 1) + Θ(n) per n > 0. Dunque C(n) = Θ(n 2 )
46 Algoritmi e Strutture di Dati I 46 Complessità ottima di QuickSort Nel caso ottimo la procedura P artition(a, p, r) ritorna in tempo Θ(n) l indice della mediana del vettore A[p,..., r]. Dunque il vettore A[p,..., r] viene suddiviso in due parti di dimensione circa n/2, ove n = r p + 1. Dunque la complessità ottima di QuickSort è espressa dalla seguente equazione ricorsiva: C(0) = Θ(1) C(n) = 2C(n/2) + Θ(n) per n > 0. Dunque C(n) = Θ(n log n)
47 Algoritmi e Strutture di Dati I 47 Complessità media di QuickSort Nel caso medio la procedura P artition(a, p, r) ritorna in tempo Θ(n) l indice della mediana del vettore A[p,..., r]. Infatti, scegliendo a caso un elemento x in un vettore, in media, metà degli elementi del vettore sarà minore di x e l altra metà sarà maggiore di x. Dunque il caso medio equivale al caso ottimo, e la complessità media di QuickSort è Θ(n log n).
48 Algoritmi e Strutture di Dati I 48 Velocizziamo QuickSort Si supponga di avere una procedura Median(A, p, r) di complessità lineare che restituisce l indice della mediana in A[p, r]. Su usi questa procedura per implementare una versione di QuickSort con complessità pessima O(n log n).
49 Algoritmi e Strutture di Dati I 49 QuickSort(A,p,r) 1: if p < r then 2: i Median(A, p, r) 3: Exchange(A, i, r) 4: q P artition(a, p, r) 5: QuickSort(A, p, q 1) 6: QuickSort(A, q + 1, r) 7: end if
50 Algoritmi e Strutture di Dati I 50 MergeSort M ergesort è un algoritmo di ordinamento ricorsivo, per confronto, e non sul posto.
51 Algoritmi e Strutture di Dati I 51 MergeSort usa una procedura ausiliaria Merge(A, p, q, r) che presuppone che i sottovettori A[p,..., q] e A[q + 1,..., r] siamo ordinati (in senso crescente). Il compito di Merge(A, p, q, r) è quello di odinare il vettore A[p,..., r].
52 Algoritmi e Strutture di Dati I 52 1: Merge(A, p, q, r) 2: n 1 q p + 1 3: n 2 r q 4: for i 1 to n 1 do 5: L[i] A[p + i 1] 6: end for 7: for j 1 to n 2 do 8: R[j] A[q + j] 9: end for
53 Algoritmi e Strutture di Dati I 53 10: L[n 1 + 1] 11: R[n 2 + 1] 12: i 1 13: j 1 14: for k p to r do 15: if L[i] R[j] then 16: A[k] L[i] 17: i i : else 19: A[k] R[j] 20: j j : end if 22: end for La complessità di Merge(A, p, q, r) è Θ(n), over n = r p + 1 è la dimensione del sottovettore A[p,..., r].
54 Algoritmi e Strutture di Dati I 54 i j L R A
55 Algoritmi e Strutture di Dati I 55 i j L R A 2
56 Algoritmi e Strutture di Dati I 56 i j L R A 2 3
57 Algoritmi e Strutture di Dati I 57 i j L R A 2 3 4
58 Algoritmi e Strutture di Dati I 58 i j L R A
59 Algoritmi e Strutture di Dati I 59 i j L R A
60 Algoritmi e Strutture di Dati I 60 i j L R A
61 Algoritmi e Strutture di Dati I 61 i j L R A
62 Algoritmi e Strutture di Dati I 62 i j L R A
63 Algoritmi e Strutture di Dati I 63 MergeSort MergeSort(A, p, r) 1: if p < r then 2: q (p + r) div 2 3: M ergesort(a, p, q) 4: MergeSort(A, q + 1, r) 5: Merge(A, p, q, r) 6: end if
64 Algoritmi e Strutture di Dati I 64 Complessità di MergeSort La complessità di M ergesort è espressa dalla seguente equazione ricorsiva: per n > 0. Dunque C(0) = Θ(1) C(n) = 2C(n/2) + Θ(n) C(n) = Θ(n log n) M ergesort non distingue tra caso ottimo, medio e pessimo.
65 Algoritmi e Strutture di Dati I 65 Confronto tra gli algoritmi per confronto Algoritmo Ottima Media Pessima InsertionSort n n 2 n 2 TreeSort n log n n log n n 2 HeapSort n log n n log n n log n QuickSort n log n n log n n 2 MergeSort n log n n log n n log n
66 Algoritmi e Strutture di Dati I 66 Complessità dell ordinamento per confronto Teorema Sia Sort un qualsiasi algoritmo di ordinamento per confronto di una sequenza di n elementi. Allora: La complessità pessima di Sort è Ω(n log n); la complessità media di Sort è Ω(n log n); La complessità ottima di Sort è Ω(n).
67 Algoritmi e Strutture di Dati I 67 Dimostrazione Dimostriamo il teorema per il caso pessimo. Tutte le possibile esecuzioni dell algoritmo generico Sort possono essere rappresentate da un albero binario pieno chiamato albero di decisione.
68 Algoritmi e Strutture di Dati I 68 a1 < a2 Sort(<a1,a2,a3>) si no a2 < a3 a1 < a3 si no si no <a1,a2,a3> si a1 < a3 no <a2,a1,a3> si a2 < a3 no <a1,a3,a2> <a3,a1,a2> <a2,a3,a1> <a3,a2,a1>
69 Algoritmi e Strutture di Dati I 69 Una esecuzione dell algoritmo generico Sort corrisponde ad un cammino dalla radice dell albero di decisione ad una foglia. La complessità di una esecuzione dell algoritmo corrisponde al numero di confronti fatti prima di fornire il risultato. Essa corrisponde alla lunghezza del cammino associato all esecuzione. La complessità pessima è dunque la lunghezza del cammino più lungo dalla radice a una foglia, cioè l altezza h dell albero di decisione.
70 Algoritmi e Strutture di Dati I 70 Il numero di foglie dell albero di decisione è n!. L albero di decisione è un albero binario pieno. Il massimo numero di foglie di un albero binario pieno di altezza h è 2 h. Quindi deve valere che n! 2 h cioè h log(n!) = Θ(n log n) In particolare, vale che h = Ω(n log n)
71 Algoritmi e Strutture di Dati I 71 CountingSort CountingSort è un algoritmo di ordinamento che non si basa sui confronti. Sotto opportune ipotesi, l algoritmo CountingSort ha complessità pessima lineare Θ(n). CountingSort si basa sulla seguente osservazione: Sia x un elemento da ordinare e sia i il numero di elementi da ordinare minori o uguali a x (includendo x stesso nel conto). Allora, nella sequenza ordinata, l elemento x occuperà la posizione i. CountingSort assume che gli elementi da ordinare siano numeri interi compresi nell intervallo [0, k], cioè per ogni indice i del vettore A da ordinare vale che 0 A[i] k
72 Algoritmi e Strutture di Dati I 72 CountingSort(A, k) 1: for x 0 to k do 2: C[x] 0 3: end for 4: for i 1 to length(a) do 5: x A[i] 6: C[x] C[x] + 1 7: end for 8: for x 1 to k do 9: C[x] C[x 1] + C[x] 10: end for 11: for i length(a) downto 1 do 12: x A[i] 13: B[C[x]] x 14: C[x] C[x] 1 15: end for 16: for i 1 to length(a) do 17: A[i] B[i] 18: end for
73 Algoritmi e Strutture di Dati I 73 Correttezza di CountingSort Dopo il primo ciclo for l elemento C[x] contiene zero; dopo il secondo ciclo for l elemento C[x] contiene il numero di elementi di A che sono uguali a x; dopo il terzo ciclo for l elemento C[x] contiene il numero di elementi di A che sono minori o uguali a x; a questo punto C[x] è la posizione di x nel vettore ordinato.
74 Algoritmi e Strutture di Dati I A = [4,1,4,2,1] n = 5 k = C = [0,0,0,0,0] C = [0,2,1,0,2] C = [0,2,3,3,5] B = [1,1,2,4,4] A = [1,1,2,4,4]
75 Algoritmi e Strutture di Dati I 75 Complessità di CountingSort Sia n = length(a). La complessità di CountingSort(A, k) è Θ(3n + 2k) = Θ(n + k) Qualora k = O(n) la complessità è lineare Θ(n).
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