Esercizi per il corso di Algoritmi

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1 1 Esercizi per il corso di Algoritmi Esercizi sulle Notazioni Asintotiche 1. Esercizio: In ciascuno dei seguenti casi, indicare se f(n) = O(g(n)), o se f(n) = Ω(g(n)), oppure entrambi (nel cui caso occorre indicare che f(n) = Θ(g(n)). (a) f(n) = n n, g(n) = 5n + 2 n log n (b) f(n) = 10n log n, g(n) = (n/10) 4 n (c) f(n) = 5n + 10 n, g(n) = n 10 n log n (d) f(n) = n 3/2 n log n, g(n) = 8n log n (e) f(n) = 3 log n, g(n) = log n 8 (f) f(n) = log n, g(n) = log n (g) f(n) = 6n 5 + n log n 2 + n, g(n) = n 5 4n log n 2 8 n (h) f(n) = n 1.01, g(n) = n(log n) 3 (i) f(n) = 7 n, g(n) = 8 n (j) f(n) = 3 log 2 n, g(n) = 2 log 3 n (k) f(n) = n4 n, g(n) = n! (l) f(n) = 3 n+2, g(n) = 3 n 3 (m) f(n) = n5 n, g(n) = 6 n (n) f(n) = n 2 n 3/2, g(n) = n 2 + n 2/3 (o) f(n) = log n 8, g(n) = log 2 n 2. Esercizio: Date le seguenti funzioni: n n log n, log(n!/2 n ) 4, log log 2 n 3, n 2 +log n 2, 3 n +5 n, n log 3 n, n!, 4n 2 +6n n, 10n+3 log log 2 n, log log n, 4n+20 log n+3 n, log(n!), 5 2 n, n log(n+2) 3, 5n 2 +n log n+n 3/2, 4 log n, n log(n+2) 3, 4 n, 8n log 3 n, partizionarle in insiemi disgiunti A 1, A 2,... tali che entrambe le seguenti condizioni valgano 1. f(n), g(n) A i f(n) = Θ(g(n)) 2. f(n) A i, g(n) A j, con i < j f(n) = O(g(n)) ma f(n) Θ(g(n)) 3. Esercizio: (a) Provare che 5n nlog n n 2 = Θ(n 2 ). (b) Provare che (n + log n)3 n = O(4 n /n).

2 2 4. Esercizio: Date le seguenti funzioni 2n log 3 n, 4 3 n log n, log n 4, n log n, n 2 log n 3, n n, n 5, (log n) n, 10 4 n, n log 3 n, 7 log 3 n, n 3 3 n, 10 log log 2 n, 3 log n 4, n!, n 1/log n ordinarle scrivendole da sinistra a destra in modo tale che la funzione f(n) venga posta a sinistra della funzione g(n) se f(n) = O(g(n)). 5. Esercizio: Tracciare una linea da ciascuna delle cinque funzioni al centro al miglior valore Ω sulla sinistra (ovvero alla funzione sulla sinistra che cresce piú velocemente e che continua ad essere Ω di quella centrale), ed al miglior valore O sulla destra (ovvero alla funzione sulla destra che cresce meno velocemente e che continua ad essere O di quella centrale). Ω(1/n) O(1/n) Ω(1) O(1) Ω(log log n) O(log log n) Ω(log n) O(log n) Ω(log 2 n) O(log 2 n) Ω( 3 n) O( 3 n) Ω(n/ log n) 1/( n) O(n/ log n) Ω(n) 2n 4 3n 3 O(n) Ω(n ) (n 3 + n)/(n log 2 n + log n) O(n ) Ω(n 2 / log 2 n) 3 (log 3 n)3 O(n 2 / log 2 n) Ω(n 2 / log n) 4 n O(n 2 / log n) Ω(n 2 ) O(n 2 ) Ω(n 3/2 ) O(n 3/2 ) Ω(2 n ) O(2 n ) Ω(5 n ) O(5 n ) Ω(n n ) O(n n ) Ω(n n2 ) O(n n2 ) 6. Esercizio: Provare che se f 1 (n) = O(g 1 (n)) e f 2 (n) = O(g 2 (n)), allora f 1 (n)+f 2 (n) = O(g 1 (n)+ g 2 (n)). 7. Esercizio: Provare che se f 1 (n) = Ω(g 1 (n)) e f 2 (n) = Ω(g 2 (n)), allora f 1 (n)+f 2 (n) = Ω(g 1 (n)+ g 2 (n)). 8. Esercizio: Provare che se f 1 (n) = O(g 1 (n)) e f 2 (n) = O(g 2 (n)), allora f 1 (n) + f 2 (n) = O(max{g 1 (n), g 2 (n)}).

3 3 9. Esercizio: Si supponga di avere due funzioni f(x) e g(x) tali che f(x) = O(g(x)). Per ciascuna delle seguenti affermazioni, di dica se essa é vera, fornendone una prova, o falsa, fornendone un contresempio. (a) log f(x) = O(log g(x)) (b) 2 f(n) = O(2 g(x) ) (c) f(n) 2 = O(g(n) 2 ) 10. Esercizio: Si supponga che f 1 (n) = Θ(g 1 (n)) e che f 2 (n) = Θ(g 2 (n)). É vero che f 1 (n) + f 2 (n) = Θ(g 1 (n) + g 2 (n))? É vero che f 1(n) + f 2 (n) = Θ(max{g 1 (n), g 2 (n)})? É vero che f 1 (n) + f 2 (n) = Θ(min{g 1 (n), g 2 (n)})? Giustificare le risposte. 11. Esercizio: Provare che se f 1 (n) = O(g 1 (n)) e f 2 (n) = O(g 2 (n)), allora f 1 (n) f 2 (n) = O(g 1 (n) g 2 (n)). 12. Esercizio: Provare che se f 1 (n) = Ω(g 1 (n)) e f 2 (n) = Ω(g 2 (n)), allora f 1 (n) f 2 (n) = Ω(g 1 (n) g 2 (n)). 13. Esercizio: Provare o refutare: per tutte le funzioni f(n) e g(n), o vale che f(n) = O(g(n)), oppure vale che g(n) = O(f(n)). 14. Esercizio: Per ciascuna delle seguenti funzioni f, si trovi la piú semplice possibile funzione g tale che f(n) = Θ(g(n)). (a) f(n) = 3 n + 4 n + n 5 (b) f(n) = n 2 + n log n + n n (c) f(n) = 10 log(n 10 ) + (log n) 5 + log log n (d) f(n) = (1/2) n + n 10 (e) f(n) = 2n 3 + 2n 2 n + 3n 2 log 5 n 7 (f) f(n) = n 2 log n + 34n 2 + n 3 / log 4 n 5 (g) f(n) = n 5 log 3 n + (2 n /n 10 ) + n (h) f(n) = n 1/ log n + (log n)/n + 1 (i) f(n) = 10n 2 + 2n log n 7 + n 3 n + n 4 / log n + 100n 3 (j) f(n) = 2 log n + 4 log n n + log 6 n (k) f(n) = 2 (log n)2 + n n 7 n (l) f(n) = 4 log n + n log 3 n 4 + 3n n

4 4 (m) f(n) = 4 n + n n! + n log n (n) f(n) = (3/2) n + n 4 + n 6 n (o) f(n) = 7n log n + (log n) n + n 8 (log n 5 ) Esercizio: Provare che (a) 2(n + 2) 2 = O(n 2 ) (b) 5n 2 8n log n + 9n n = O(n 2 ) (c) 3n log n = O(n 2 ) (d) n log n 3n 18 = Ω(n) (e) n 3 3n 2 n n + log n 5 = Θ(n 3 ) (f) n 2 = O(2 n ) (g) n = O(2 n ) (h) cn + d = O(2 n ) per tutte le costanti c, d R + (i) cn k + d = O(2 n ) per tutte le costanti c, d, k R + (j) 3n n log n = O(n 2 ) (k) n/(log n 4 ) = Ω( n) 16. Esercizio: Per ciascuna delle seguenti coppie di funzioni f e g, trovare costanti c R + per cui f(n) c g(n), per ogni n > 1. (a) f(n) = 3n 2 + 4n, g(n) = n 2 (b) f(n) = 2 n log n + 1, g(n) = n + n 2 (c) f(n) = n 3 + n , g(n) = 2n 4 (d) f(n) = n n + 4n 2, g(n) = n 2 (e) f(n) = 12n + 3, g(n) = n 7 (f) f(n) = n 2 n + 1, g(n) = n 2 /10 (g) f(n) = 3n + 1, g(n) = (2n 2 10n)/6 (h) f(n) = 5 n log n 1, g(n) = n n

5 5 Esercizi sull Analisi di Algoritmi 1. Esercizio: Si consideri la seguente equazione di ricorrenza per la funzione T(n): T(n) = T(c 1 n) + T(c 2 n) T(c k n) + Θ(n), per costanti positive c 1,...,c k tali che c c k < 1. Si provi che T(n) = Θ(n), usando il metodo induttivo. 2. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo k 1; s 0 while k n do for j 1 to n do s j k k 2 k 3. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo k 0; s 0, t 0 while k n do for j 1 to n do s j k t t + 1 k t + k 4. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo k 0; s 0, t 0, j 1 while k n do while j n do t t + 1 s j k j 2 j k t + k

6 6 5. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo k 0; s 0, t 0, j 1 while k n do while j n do s j k j 2 j t t + 1 k 2 k 6. Esercizio: Si consideri il seguente Algoritmo i 1; r 0 while i n do for j 1 to n i do r r + i i i 2 7. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Algoritmo B(n) x 1 if n = 1 or n = 2 then do x x + 1 else B(n 2); for i = 1 to n do x x + 1 B(n 2) Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessità dell algoritmo B(n), e la si risolva, usando il metodo di iterazione.

7 7 8. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo Algorithm(n) che prende in input un intero n 0 e che effettua le seguenti operazioni: Algorithm(n) if n 1 then esegue 2 operazioni e si ferma Esegue n/5 operazioni Algorithm(n/5) Esegue n/5 operazioni Algorithm(n/6) Esegue n/3 operazioni Algorithm(n/6) Detto T(n) il tempo di esecuzione di Algorithm(n) sull input n, scrivere una equazione di ricorrenza per T(n). Trovare una costante c tale che T(n) cn, per ogni n 1. Si assuma che ogni operazione elementare costi Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: if n = 1 then return(0) else Algoritmo(n/2) x 0; i 0 while x n do x x + (2i + 1) i i + 1 Si esprima la complessitá di mediante una equazione di ricorrenza e se ne dia una soluzione in termini della notazione Θ. 10. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Arcanum(X[i... j]) if j = i then return (X[i]) else m = (i + j)/2 x Arcanum(X[i...m]) y Arcanum(X[m j]) if x y then return (x) else return (y) (a) Cosa calcola l algoritmo, una volta chiamato su di un array X[1...n] di n interi? (b) derivare una equazione di ricorrenza per la complessitá dell algoritmo e risolverla. Giustifcare le affermazioni fatte.

8 8 11. Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Alg(n) r 0 for j 1 to n do i n while i j do r r + i i i 1 return (r) Valutare la complessitá dell algoritmo mediante la notazione Θ, in funzione del parametro n. 12. Esercizio: Sia T(1) = 1. Risolvere le seguenti equazioni di ricorrenza, usando i teoremi visti a lezione (a) T(n) = 2T(n/2) + 5n 3 (b) T(n) = T(9n/10) + 2n (c) T(n) = 16T(n/4) + 8n 2 (d) T(n) = 7T(n/3) + 12n 2 (e) T(n) = 7T(n/2) + 6n 2 (f) T(n) = 2T(n/4) + 4 n (g) T(n) = T(n 1) + n (h) T(n) = T( n) Esercizio: Si consideri il seguente algoritmo: Algoritmo S(n) if n = 1 then return(0) else S(n/3) x 0 while x 3n 3 do x x + 3 S(n/3) Si derivi una equazione di ricorrenza che descrive la complessità dell algoritmo S(n), e la si risolva.