Fondamenti di Programmazione - Prof.ssa Gargano Anno Acc Esercitazioni 2009

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1 Fondamenti di Programmazione - Prof.ssa Gargano Anno Acc Esercitazioni Mostrare per induzione che per ogni intero positivo n 0, la seguente affermazione S(n) é vera: S(n): n i=0 2i = 2 n Mostrare per induzione che per ogni intero positivo n 1, la seguente affermazione S(n) é vera: S(n) : 2 n k=1 k = (n + 1)2 (n + 1). 3. Mostrare per induzione che la seguente affermazione S(n) é vera per ogni intero n 1: S(n) : n! n n n. Mostrare il Passo Induttivo: 4. Mostrare per induzione che la seguente affermazione S(n) è vera per ogni intero positivo n 1: S(n) : log(n!) nlog n. (Si ricorda che log(ab) = log a + log b.) Mostrare il Passo Induttivo (indicando chiaramente lipotesi induttiva fatta: 5. Si consideri il seguente frammento di programma con A e B array con elementi indicizzati da 0 a n 1. r=1; for(i=0, i<n, i++) if (B[i]>A[i]) r=0; Si vuole mostrare per induzione che al termine del ciclo di for la variabile r ha valore 1 se e solo se B[i] A[i] per ogni i = 0,...,n 1. A tale scopo definiamo l invariante di Ciclo S(k): Se si raggiunge il test i< n con valore di i pari a k, con k compreso tra 0 ed n, allora r ha valore 1 se e solo se B[i] A[i] per ogni i = 0,...,k 1. Quale è il valore k per la Base induttiva? Mostre il Passo Induttivo: Mostrare la Correttezza al termine del ciclo: 6. Si consideri il seguente frammento di programma dove A è un array con elementi indicizzati da 0 a n 1. p=a[0]; for(i=1, i<n, i++) p=p*a[i]; Si vuole mostrare per induzione che al termine del ciclo di for la variabile p restituisce il prodotto di tutti gli elementi dell array A. A tale scopo definiamo l invariante di Ciclo S(k): Se si raggiunge il test i < n con valore di i pari a k, per k compreso tra 1 ed n, allora la variabile p ha valore pari al prodotto dei primi k elementi dell array, cioé A[0]... A[k 1].

2 2 7. Si consideri il seguente ciclo di for in cui A[0..n 1] è un vettore di interi non negativi, C[0..m 1] è un vettore di dimensione m, dove m 1 è il massimo degli elementi di A e, prima dell esecuzione del ciclo di for, gli elementi di C sono tutti uguali a zero. for (i= 0, i< n, i++) C[A[i]] = C[A[i]] + 1 Si vuole mostrare che al termine del ciclo for, C è un vettore tale che C[j] contiene il numero degli elementi di A uguali a j. A tale scopo definiamo la seguente invariante relativa al ciclo for nel frammento S(k): Se si raggiunge il controllo i < n con k uguale al valore dell indice i del ciclo, allora C[j] contiene il numero degli elementi di A[0..k 1] uguali a j, per ogni j = 0,...,m 1. Si dimostri per induzione che S(k) è vera per ogni k con k 0. Mostrare il Passo Induttivo (indicando chiaramente l ipotesi induttiva fatta): 8. Si consideri il seguente frammento di programma con A[0..n 1] array di n interi. i=0; r=1; while (i < n) if (A[i]!= 0) i++ else { i=n; r=0 } Si vuole mostrare che al termine del ciclo while risulta r = 1 se e solo se ogni elemento A[j] di A risulta diverso da 0. A tale scopo definiamo la seguente invariante relativa al ciclo while nel frammento S(k): Se si raggiunge il controllo i n con k pari al valore dell indice i del ciclo, k 0, allora risulta r = 1 se e solo se ogni elemento A[j] risulta diverso da 0. Si dimostri per induzione che S(k) è vera per ogni k, k Si consideri il seguente frammento di programma in cui L e una lista di interi positivi, rappresentata mediante array (usando una struttura di tipo LIST). somma = 0; i = 0; while (i < *pl->length) { if (*pl->a[i] > 8) then somma = somma + *pl->a[i]; i = i + 1 } Si vuole mostrare che al termine del ciclo while, la variabile somma contiene la somma degli elementi di L maggiori di 8. A tale scopo definiamo la seguente invariante relativa al ciclo while nel frammento S(k): Se si raggiunge il controllo del ciclo while con k = i, k 0, allora somma contiene la somma degli elementi di L indicizzati 0,..., k - 1 e maggiori di 8. Si dimostri per induzione che S(k) è vera per ogni k 0. Base (indicando il valore base di k): Passo Induttivo (descrivere dettagliatamente lipotesi Induttiva ed il ragionamento fatto): Mostrare che al termine del ciclo while, la variabile somma contiene il numero degli elementi di L maggiori di 8:

3 3 10. Si consideri il seguente frammento di programma con A[0..n - 1] e B[0..n - 1] array di n interi. i=0; r=1; while (i < n) if (A[i]!= B[i]) i ++ else { i=n; r=0 } Si vuole mostrare che al termine del ciclo while risulta r = 1 se e solo se ogni elemento A[j] di A risulta diverso dal corrispondente elemento B[j] di B. A tale scopo definiamo la seguente invariante relativa al ciclo while nel frammento S(k): Se si raggiunge il controllo i n con k pari al valore dellindice i del ciclo, k 0, allora risulta r = 1 se e solo se ogni elemento A[j] risulta diverso dellelemento B[j] per j = 0,...,k 1. Si dimostri per induzione che S(k) e vera per ogni k, k 0. Mostrare il Passo Induttivo (indicando chiaramente lipotesi induttiva): Mostrare che al termine del ciclo while risulta r = 1 se e solo se ogni elemento A[j] di A risulta diverso dallelemento B[j] di B: 11. Simulare l esecuzione del SelectionSort iterativo sull array A = [15; 13; 23; 10] mostrando i confronti fatti ad ogni iterazione ed il contenuto dell array dopo ogni modifica dell array stesso. 12. Si considerino le seguenti funzioni: f(n) = n(n+1) 2, g(n) = max{n 3,9n}, h(n) = nlog n Per ognuna delle seguenti affermazioni dire se essa è vera o falsa. Per ogni affermazione vera si devono fornire i valori c ed n 0 che provano che la relazione O-grande è valida. a) f(n) è O(n 2 ) b) f(n) è O(g(n)) c) g(n) è O(h(n)) d) g(n) è O(n 3 ). 13. Si considerino le seguenti funzioni: f(n) = 2n 2 10, g(n) = 3n, { 2n se n è dispari h(n) = n 2 se n è pari. Per ognuna delle seguenti affermazioni dire se essa è vera o falsa. Per ogni affermazione vera si deveono fornire i valori c ed n 0 che provano che la relazione O-grande è valida. a) f(n) è O(g(n)) b) g(n) è O(h(n)) c) h(n) è O(f(n)). 14. Si considerino le seguenti funzioni: f(n) = { n i=1 i, g(n) n 3 se n è pari 4n se n altrimenti, h(n) = 2n /n. Per ognuna delle seguenti affermazioni dire se essa é vera o falsa. Per ogni affermazione vera si devono fornire i valori c ed n 0 che provano che la relazione O-grande é valida e occorre giustificare la risposta. a) f(n) è O(g(n)) b) f(n) è O(h(n)) c) g(n) è O(f(n)) d) g(n) è O(h(n)) e) h(n) è O(f(n)) f) h(n) è O(g(n)).

4 4 { { 15. Si considerino le seguenti funzioni: f(n) = n 4 n 3 se n < log n, g(n) = n 5 se n 100, h(n) = n 3 7 se n é pari n 5 altrimenti. Per ognuna delle seguenti affermazioni dire se essa è vera o falsa. Per ogni affermazione vera si deveono fornire i valori c ed n 0 che provano che la relazione O-grande è valida. a) g(n) è O(f(n)) a) f(n) è O(g(n)) b) g(n) è O(h(n)) c) h(n) è O(f(n)) c) h(n) è O(g(n)) c) 2 log 2 n è O(f(n)). 16. Si consideri la seguente relazione di ricorrenza BASE: T(1) = 1 PASSO Induttivo: T(n) = 2T(n 1) + n 2, per n n > 1. Si vuole determinare il valore esatto di T(n) per ogni n > 1. a) Determinare i valori iniziali di T(n): T(1) =, T(2) =, T(3) = b) Espandere la regola induttiva ed esprimere T(n) in termini di T(n 2). c) Esprimere T(n) in termini di T(n 3). d) Determinare la regola generale per esprimere T(n) in termini di T(n i). e) Per quale valore di i si può eliminare T(n i) dall espressione? f) Utilizzare la risposta ai punti d) ed e) per esprimere T(n) in termini solo di n (cioè non in funzione di altri valori della funzione T). 17. Si consideri la seguente relazione di ricorrenza BASE: T(0) = 1 PASSO Induttivo: T(n) = 2T(n 1) + 2 n, per n > 0. Si vuole determinare il valore esatto di T(n) per ogni n > 1. a) Determinare i valori iniziali di T(n): T(0) =, T(1) =, T(2) = b) Espandere la regola induttiva ed esprimere T(n) in termini di T(n 2). c) Esprimere T(n) in termini di T(n 3). d) Determinare la regola generale per esprimere T(n) in termini di T(n i). e) Per quale valore di i si può eliminare T(n i) dall espressione? f) Utilizzare la risposta ai punti d) ed e) per esprimere T(n) in termini solo di n (cioè non in funzione di altri valori della funzione T).

5 5 18. Si consideri la seguente relazione di ricorrenza BASE: T(1) = 1 PASSO Induttivo: T(n) = 2T(n 2) + 3n, per n multiplo di 2 ed n > 1. Si vuole determinare il valore esatto di T(n) per ogni n > 1. a) Determinare i valori iniziali di T(n): T(1) =, T(2) =, T(4) = b) Espandere la regola induttiva ed esprimere T(n) in termini di T(n 4). c) Esprimere T(n) in termini di T(n 6). d) Determinare la regola generale per esprimere T(n) in termini di T(n 2i). e) Per quale valore di i si può eliminare T(n 2i) dall espressione? f) Utilizzare la risposta ai punti d) ed e) per esprimere T(n) in termini solo di n (cioè non in funzione di altri valori della funzione T), 19. Si consideri la seguente relazione di ricorrenza BASE: T(1) = 1 PASSO Induttivo: T(n) = 2T(n/2) + 3n, per n potenza di 2 ed n > 1. Si vuole determinare il valore esatto di T(n) per ogni n > 1. a) Determinare i valori iniziali di T(n): T(1) =, T(2) =, T(4) = b) Espandere la regola induttiva ed esprimere T(n) in termini di T(n/2 2 ). c) Esprimere T(n) in termini di T(n/2 3 ). d) Determinare la regola generale per esprimere T(n) in termini di T(n/2 i ). e) Per quale valore di i si può eliminare T(n/2 i ) dall espressione? f) Utilizzare la risposta ai punti d) ed e) per esprimere T(n) in termini solo di n (cioè non in funzione di altri valori della funzione T). 20. Scrivere una relazione di ricorrenza per T(n), il tempo di esecuzione della seguente procedura f oo quando ha come argomento L una lista di lunghezza n; P2 e P1 richiedono tempo O(n) ciascuna. void foo(list L) {if (L == NULL) M = 4 else {P1(L); foo(l->next); P2(L)} } 21. Risolvere la relazione di ricorrenza trovata nell esercizio precedente. 22. Si analizzi il tempo di esecuzione della seguente funzione ALTER(L,M) in termini della somma n delle lunghezze delle due liste input. Giustificare la risposta. LIST ALTER ( LIST L, LIST M) { LIST S; if (L ==NULL) return NULL; else {S: = L->next; L->next = M; M->next = ALTER(S, M->next); return L; end; end

6 6 23. Sia X(n) definita ricorsivamente come segue BASE X(0) = 1, X(1) = 1 PASSO X(n) = 2X(n 2) + 1, per ogni n 2 Scrivere una funzione ricorsiva POT(n) che avendo in input un intero n restituisce X(n) (cio POT(n)=X(n), per ogni n 0). La procedura deve chiamare ricorsivamente se stessa con parametro < n. 24. Sia X(n) la funzione definita all esercizio precedente. Mostrare per induzione su m che per ogni m > 0 vale la seguente affermazione S(m) : X(2m) = 2 m+1 1. Mostrare la Base Induttiva : Mostrare il Passo Induttivo (Indicando chiaramente l Ipotesi Induttiva usata): 25. Sia A[1..n] un array di n interi. Si analizzi il tempo di esecuzione del seguente frammento di programma. Giustificare la risposta. Risposte non giustificate saranno valutate 0. void Funz(int A[]; int n); int x; { if (n > 1) { for (i= 1, i< n, i++) { if (A[i] > A[i+1]) {x=a[i]; A[i]=A[i+1]; A[i+1]=x} Funz(A,n-1) } } 26. Data la lista L = ( ), esegire lo split di L nelle due liste L 1 ed L 2 L 1 = L 2 = Siano L 1 ed L 2 le liste ordinate contenenti gli stessi elementi di L 1 ed L 2 rispettivamente, determinare la lista M che si ottiene dal merge di L 1 ed L 2 L 1 = L 2 = M = 27. Simulare lesecuzione del MergeSort sulla lista L = {9, 7, 5, 3} mostrando tutte le funzioni chiamate (mergesort, split, merge) con i rispettivi input e le liste intermedie prodotte durante lesecuzione della procedura (nellordine in cui esse sono chiamate e prodotte). 28. Scrivere una funzione ricorsiva in C che avendo in input una lista (a 1,...,a n ), rappresentata mediante una lista a puntatori L, dia in output tutti gli elementi a k della lista la cui posizione k è un multiplo di Scrivere una funzione in C che avendo in input una lista a puntatori L = (a 1,...,a n ) restituisce la lista (a 2,...,a n,a 1 ). Giustificare la risposta. 30. Utilizzando per le liste la rappresentazione mediante liste a puntatori, scrivere una funzione ricorsiva in C che, avendo in input una lista di interi L e un intero x, restituisca TRUE se esistono due elementi consecutivi in L la cui somma sia x, FALSE altrimenti. 31. Scrivere una funzione ricorsiva in C che, avendo in input una lista di interi positivi, rappresentata mediante una lista a puntatori restituisce la somma degli elementi nella lista. 32. Scrivere una procedura ricorsiva che, avendo in input una lista di interi positivi L, rappresentata mediante lista a puntatori cancella da L i suoi elementi maggiori di 7.

7 7 33. Si analizzi il tempo di esecuzione della seguente funzione ALTER(L,M) in termini della somma n delle lunghezze delle due liste input. Giustificare la risposta. LIST ALTER ( LIST L, LIST M) { LIST S; if (L ==NULL) return NULL; else {S: = L->next; L->next = M; M->next = ALTER(S, M->next); return L; } } 34. Utilizzando per le code la struttura dati lista a puntatori, mostrare la coda risultante e l output di ognuna delle seguenti operazioni applicate a una coda Q inizialmente vuota: enqueue(3,q), enqueue(4,q), dequeue(q), dequeue(q), dequeue(q), enqueue(1,q), enqueue(3,q), enqueue(1,q), dequeue(q). 35. Utilizzando per le code la rappresentazione mediante liste a puntatori, illustrare il risultato e la coda risultante dopo ognuna delle seguenti operazioni applicate a una coda Q inizialmente vuota: enqueue(7,q), enqueue(5,q), dequeue(q), enqueue(3,q), enqueue(7,q), dequeue(q), dequeue(q), dequeue(q), enqueue(6,q), dequeue(q). 36. Illustrare il risultato di ognuna delle seguenti operazioni applicate a uno stack S rappresentato mediante lista a puntatori ed inizialmente vuoto. push(3,s): push(2,s): pop(s): push(2,s): push(7,s): pop(s): pop(s): pop(s): push(15,s): 37. Utilizzare una pila per la valutazione dellespressione aritmetica in notazione postfissa Simulare lesecuzione della procedura per la ricerca binaria per lintero 38 in un array che contiene gli elementi 13, 15, 19, 21, 27, 30, 31, 35, 44 mostrando a ogni iterazione: i confronti fatti ed il contenuto della parte di array su cui si effettua la ricerca. 39. Ricerca binaria di 5 su array A[0..9]=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]: simulazione usando stack per i record di attivazione. Sia assuma (record di attivazione)=(parte di array su cui si effettua la ricerca). 40. Si consieri la rappresentazione leftmostchild rightsibling di un albero T e siano i nodi di T: (10,5,NULL), (5,NULL,7), (7,2,4), (4,NULL,NULL), (2,NULL,8), (8,NULL,NULL) Simulare la procedura ricorsiva per la visita in preorder sull albero T, elencando in ordine le chiamate ricorsive e la lista dei nodi in output. 41. Dimostrare la seguente affermazione S(T) mediante induzione strutturale: Se T un albero in cui ogni nodo ha un numero pari di figli allora T ha un numero dispari di nodi. 42. Un albero T si dice ordinato se T ha un solo nodo oppure se ogni suo nodo interno ha etichetta minore delle etichette di ognuno dei suoi figli. Utilizzando per gli alberi la rappresentazione leftmostchild rightsibling, scrivere una funzione ricorsiva in C che avendo in input un albero T restituisce TRUE se T é ordinato, FALSE altrimenti. Soluzioni non ricorsive sono valutate 0.

8 8 43. Utilizzando per gli alberi la rappresentazione sinistradestra, scrivere una procedura ricorsiva in C che dia in output TRUE se T é un albero in cui ogni foglia ha etichetta 2 e ogni nodo interno ha etichetta pari alla somma delle etichette dei suoi figli, FALSE altrimenti. Giustificare la risposta. 44. Utilizzando per gli alberi la rappresentazione leftmostchild rigthsibling, scrivere una funzione ricorsiva che dato un albero T e un intero x, stampa le label di tutti i nodi di T aventi label minore o uguale a x. 45. Utilizzando per gli alberi la rappresentazione sinistradestra, scrivere una funzione ricorsiva in C che avendo in input un albero T, assegna a ogni nodo interno una label pari alla somma delle label dei suoi figli ed assegna label 1 a tutte le foglie. Giustificare la risposta, risposte non giustificate saranno valutate Un albero T si dice di valore L se ogni nodo interno ha esattamente due figli e tutte le foglie hanno lo stesso livello. Il livello di un nodo n in un albero T e la lunghezza del cammino dalla radice di T al nodo n. Sia D(T) la somma dei livelli dei nodi di T e sia V il numero dei nodi di T. Dimostrare la seguente affermazione S(T) mediante induzione strutturale: Se T e un albero di valore L, D(T) = (L 1)( V + 1) a) Disegnare il diagramma delle transizioni di un automa finito deterministico A il cui linguaggio L(A) sia L(A) = {010, 001}. b) Disegnare il diagramma delle transizioni di un automa finito deterministico A il cui linguaggio L(A ) sia L(A ) = {(01) n n 0}. 48. Disegnare il diagramma delle transizioni dell automa finito deterministico A la cui tavola delle transizioni è riportata di seguito. Lo stato iniziale di A è indicato da una freccia, gli stati finali da un asterisco. 0 1 q 0 q 1 q 2 q 1 q 3 q 0 q 2 q 2 q 1 q 3 q 2 q 3 Per ciascuna delle seguenti parole, indicare se essa è accettata o meno dall automa. Giustificare la risposta w {10 n 10 n 0} w {10 n 110 n 0} Disegnare il diagramma delle transizioni dell automa finito deterministico A la cui tavola delle transizioni è riportata di seguito. Lo stato iniziale di A è indicato da una freccia, gli stati finali da un asterisco. Determinare il linguaggio L(A) dell automa A; giustificare la risposta. 0 1 q 0 q 1 q 2 q 1 q 3 q 2 q 2 q 3 q 3 q 3 q 2 q Disegnare il diagramma delle transizioni dell automa finito deterministico A la cui tavola delle transizioni è riportata di seguito. Lo stato iniziale di A è indicato da una freccia, gli stati finali da un asterisco. Determinare il linguaggio L(A) dell automa A. Giustificare la risposta. a b q 0 q 1 q 3 q 1 q 2 q 1 q 2 q 4 q 4 q 3 q 4 q 4 q 4 q 4 q 4