Progettazione di Algoritmi (9 CFU) Classe 3 (matricole congrue 2 modulo 3) Prof.ssa Anselmo. Appello del 27 Giugno 2018.

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1 COGNOME: Nome: Progettazione di Algoritmi (9 CFU) Classe 3 (matricole congrue 2 modulo 3) Prof.ssa Anselmo Appello del 27 Giugno 2018 Attenzione: Inserire i propri dati nell apposito spazio soprastante e sottostante. Non voltare la pagina finché non sarà dato il via. Dal via avrete 2 ore di tempo per rispondere alle domande. La prova consta di 8 domande a risposta multipla e 3 domande aperte. Per le domande a risposta multipla occorre rispondere inserendo la lettera scelta nell apposito quadratino accanto al numero della domanda. In caso di ripensamento, cancellare la risposta data e disegnare accanto un nuovo quadratino con la lettera scelta. Inoltre: ogni risposta esatta vale 4 punti; ogni risposta errata vale 1 punto; ogni domanda lasciata in bianco vale 0 punti. Le domande a risposta multipla valgono in tutto 32 punti, quelle aperte 68 punti, per un totale di 100 punti. Si è ammessi all orale se si totalizzano almeno 40/100 punti di cui almeno 10/32 nelle domande a risposta multipla. I risultati saranno disponibili sulla pagina del corso Eventuali appunti possono essere scritti fra le domande a risposta multipla, purché sia ben chiara la risposta all interno del quadratino, oppure nell ultima pagina. Gli orali si terranno dal 2 al 10 luglio. Potete eventualmente indicare di seguito una data in cui avreste seri motivi per non poter sostenere l orale: COGNOME:... Nome:... Numero di matricola:... Multiple/32 Quesito 1/26 Quesito 2/22 Quesito 3/20 Totale/100

2 1) 1 Date due funzioni f(n) e g(n) si ha che f(n) = O(g(n)) se A. Esistono c > 0, n0 0 tali che f(n) c g(n) per ogni n n0 B. f(n) g(n) per n che tende ad infinito C. Per ogni c > 0, f(n) c g(n) per ogni n n0 D. Nessuna delle risposte precedenti 2) 2 La soluzione dell equazione di ricorrenza T(n) = T(n 1)+ O(n) é A. O(n) B. O(n log n) C. O(n 2 ) D. Nessuna delle risposte precedenti 3) 3 In una coda a priorità implementata con heap binario, basato sulla priorità minima, la cancellazione del minimo può essere effettuata in tempo A. O(log n) C. Ɵ(n) B. O(1) D. Nessuna delle risposte precedenti 4) 4 Quali di queste affermazioni è vera? A. Un grafo diretto ha un vertice senza archi entranti se e solo se è aciclico B. Un grafo diretto con un vertice senza archi entranti può essere aciclico, ma può anche non esserlo C. Un grafo diretto aciclico può avere un vertice senza archi entranti, ma può anche non averlo D. Nessuna delle risposte precedenti 5) 5 Sia {a, b, c, d, e} un alfabeto i cui simboli hanno le seguenti frequenze: f(a)=23, f(b)=18, f(c)=21, f(d)=29, f(e)=9. La codifica γ che associa ad a, b, c, d, e, rispettivamente: 00, 101, 01, 11, 100 A. È ottimale ed ha lunghezza media per bit ABL(γ) =2,27 B. È ottimale ed ha lunghezza media per bit ABL(γ) =2,48 C. Non è ottimale D. Nessuna delle risposte precedenti 6) 6 Un minimo albero di ricoprimento (Minimum Spanning Tree) per il grafo G=(V,E), con V={1, 2, 3, 4, 5}, E={(1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,5)} e costi c((i,j))=i+j 2, ha costo: A. 12 B. 13 C. 14 D. Nessuna delle risposte precedenti 7) 7 Sia T l albero ottenuto dalla visita in ampiezza (BFS) di un grafo G. Ogni arco che appartiene a G, ma non a T A. Collega due vertici appartenenti allo stesso livello (layer) B. Collega due vertici formando un ciclo di lunghezza dispari C. Collega un vertice con un suo discendente D. Nessuna delle risposte precedenti 8) 8 In una rete di flusso G=(V,E), se v è il valore massimo di un flusso allora: A. Esiste un taglio di capacità minore di v C. Ogni taglio ha capacità v B. Ogni taglio ha capacità maggiore o uguale a v D. Nessuna delle risposte precedenti

3 Quesito 1 (26 punti) (k-esimo minimo) a) Indicare le varie fasi in cui è suddiviso un algoritmo basato sulla tecnica Divide et Impera. b) Descrivere un algoritmo basato sulla tecnica Divide et Impera che, dati un array A[1..n] di interi positivi distinti e un intero k, con 1 k n, calcoli il k-esimo minimo di A. Tale algoritmo non dovrà fare alcun ricorso ad algoritmi di ordinamento, ma dovrà utilizzare la procedura Partition nella sua prima fase. Si potrà ottenere il massimo del punteggio solo se l algoritmo è descritto tramite pseudo-codice. In ogni caso, è necessario spiegare verbalmente il funzionamento dell'algoritmo proposto e giustificarne la correttezza. Esempio: se A[1..7] = [6, 9, 3, 2, 5, 7, 8] e k = 3 l'algoritmo dovrà restituire 5. c) Analizzare la complessità di tempo nel caso peggiore dell'algoritmo proposto al punto b).

4 Quesito 2 (22 punti) (Allineamento di sequenze) Si consideri il problema dell allineamento delle sequenze X = mai e Y = miao, nelle ipotesi che il costo di un gap sia 5, il costo di un mismatch fra due vocali differenti sia 3, fra due consonanti differenti sia 4 e fra vocale e consonante sia 7. a) Mostrare 2 diversi allineamenti delle sequenze X e Y e valutarne i costi b) Scrivere la relazione di ricorrenza su cui si basa l algoritmo Alignment studiato per la soluzione di tale problema, giustificandone la validità. c) Eseguire l algoritmo Alignment(X,Y) mostrando tutti gli aggiornamenti della tabella utilizzata.

5 Quesito 3 (20 punti) (Proprietà del taglio con costi uguali) La proprietà del taglio in un grafo pesato è stata dimostrata per giustificare la correttezza degli algoritmi di Kruskal e di Prim, ma soltanto nel caso in cui i costi sugli archi siano distinti. Si consideri ora il caso di un grafo pesato G = (V, E) con un taglio (A, B) per cui esistano esattamente 3 archi che attraversano il taglio (A,B), gli archi e1, e2 ed e3, di costo c(e1) = c(e2) = 2 e c(e3) = 8. a) Dimostrare formalmente che ogni minimo albero di ricoprimento (MST) contiene necessariamente l arco e1 oppure l arco e2 (o entrambi). b) Fornire un esempio di un grafo G = (V, E) con un taglio (A, B), come quello descritto sopra, in cui un MST contiene entrambi gli archi e1 ed e2. c) Fornire un esempio di un grafo G = (V, E) con un taglio (A, B), come quello descritto sopra, in cui un MST contiene l arco e1, ma non l arco e2.

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