Algoritmi e Strutture Dati. Luciano Gualà
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- Orlando Cipriani
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1 Algoritmi e Strutture Dati Luciano Gualà guala@mat.uniroma2.it
2 Esercizio Analizzare la complessità nel caso medio del primo algoritmo di pesatura (Alg1) presentato nella prima lezione. Rispetto alla distribuzione di probabilità sulle istanze, si assuma che la moneta falsa possa trovarsi in modo equiprobabile in una qualsiasi delle n posizioni. Alg1 (X={x 1, x 2,, x n }) 1. for i=2 to n do 2. if peso(x 1 ) > peso(x i ) then return x 1 3. if peso(x 1 ) < peso(x i ) then return x i Pr(I) #pesate(i) = I di dim n n Pr( moneta falsa è in posizione j in I ) #pesate(i) j=1 1/n 1 se j=1, n-1 =(1/n)(1+ j) j=1 j-1 altrimenti =(1/n)(1+ (n-1) n/2)= 1/n + (n-1)/2 n =(1/n)(1+ (j-1)) j=2
3 Un problema simile: ricerca di un elemento in un array/lista non ordinata l algoritmo torna la posizione di x in L se x è presente, -1 altrimenti algoritmo RicercaSequenziale(array L, elem x) intero 1. n = lunghezza di L 2. i=1 3. for i=1 to n do 4. if (L[i]=x) then return i \\trovato 5. return -1 \\non trovato T best (n) = 1 T worst (n) = n T avg (n) = (n+1)/2 x è in prima posizione x L oppure è in ultima posizione assumendo che x L e che si trovi con la stessa probabilità in una qualsiasi posizione
4 Una variante: ricerca di un elemento in un array/lista ordinata Algoritmo di ricerca binaria: uno strumento molto potente gli indici i e j indicano la porzione di L in cui cercare l elemento x l algoritmo torna la posizione di x in L, se x c è, -1 altrimenti algoritmo RicercaBinariaRic(array L, elem x, int i, int j) -> intero 1. if (i>j) then return m= (i+j)/2 3. if (L[m]=x) then return m 4. if (L[m]>x) then return RicercaBinariaRic(L, x, i, m-1) 5. else return RicercaBinariaRic(L, x, m+1,j) T(n)=T(n/2)+O(1) T(n)=O(log n)
5 Esempi su un array di 9 elementi Cerca 2 Cerca 1 Cerca 9 Cerca 3 3<4 quindi i e j si invertono
6 ricorsione,tecniche di progettazione e equazioni di ricorrenza
7 Sommario Algoritmi ricorsivi: come analizzarli? Complessità di algoritmi ricorsivi e equazioni di ricorrenza Una tecnica di progettazione algoritmica: divide et impera Metodi per risovere equazioni di ricorrenza: iterazione albero della ricorsione sostituzione teorema Master cambiamento di variabile
8 Algoritmi ricorsivi: come analizzarli? algoritmo fibonacci2(intero n) intero if (n 2) then return 1 else return fibonacci2(n-1) + fibonacci2(n-2) T(n)=T(n-1)+T(n-2)+O(1)
9 Algoritmi ricorsivi: come analizzarli? Algoritmo di ricerca binaria: uno strumento molto potente gli indici i e j indicano la porzione di L in cui cercare l elemento x l algoritmo torna la posizione di x in L, se x c è, -1 altrimenti algoritmo RicercaBinariaRic(array L, elem x, int i, int j) -> intero 1. if (i>j) then return m= (i+j)/2 3. if (L[m]=x) then return m 4. if (L[m]>x) then return RicercaBinariaRic(L, x, i, m-1) 5. else return RicercaBinariaRic(L, x, m+1,j) T(n)=T(n/2)+O(1)
10 Algoritmi ricorsivi: come analizzarli? Alg4 (X) 1. if ( X =1) then return unica moneta in X 2. dividi X in tre gruppi X 1, X 2, X 3 di dimensione bilanciata siano X 1 e X 2 i gruppi che hanno la stessa dimensione (ci sono sempre) 3. if peso(x 1 ) = peso(x 2 ) then return Alg4(X 3 ) 4. if peso(x 1 ) > peso(x 2 ) then return Alg4(X 1 ) else return Alg4(X 2 ) T(n)=T(n/3)+O(1)
11 Equazioni di ricorrenza la complessità computazionale di un algoritmo ricorsivo può essere espressa in modo naturale attraverso una equazione di ricorrenza esempi: T(n) = T(n/3) + 2T(n/4) + O(n log n) T(n) = T(n-1) + O(1) T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n casi base: T(costante)=cost (a voltet(1)=1)
12 Metodo dell iterazione Idea: srotolare la ricorsione, ottenendo una sommatoria dipendente solo dalla dimensione n del problema iniziale Esempio: T(n) = c + T(n/2) T(n/2) = c + T(n/4)... T(n) = c + T(n/2) = 2c + T(n/4) = 2c + c + T(n/8) = 3c + T(n/8) = i c + T(n/2 i ) Per i=log 2 n: T(n) = c log 2 n + T(1) = Θ(log n)
13 Esempio: T(n) = T(n-1) + 1 T(n) = T(n-1) + 1 = T(n-2) = T(n-2) + 2 = T(n-3) = T(n-3) + 3 = T(n-4) + 4 = T(n-i) + i Metodo dell iterazione Per i=n-1: T(n) = T(1) + n-1 = Θ(n)
14 Esempio: T(n) = 2T(n-1)+1 T(n) = 2T(n-1) +1 = 2(2T(n-2)+1) +1 = 4T(n-2)+2+1 = 4(2T(n-3)+1)+2+1 = 8T(n-3) = 16T(n-4) i-1 = 2 i T(n-i) + 2 j j=0 per i=n-1 n-2 T(n) = 2 n-1 T(1) + 2 j = Θ(2 n ) j=0 Metodo dell iterazione
15 Esempio: T(n) = T(n-1)+ T(n-2) +1 Metodo dell iterazione T(n) = T(n-1) + T(n-2) +1 = T(n-2)+T(n-3) +1+T(n-3) +T(n-4)+1 +1 = T(n-2)+2T(n-3) +T(n-4)+3 = T(n-3)+T(n-4)+1+2(T(n-4)+T(n-5)+1) +T(n-5)+T(n-6)+1+3 = T(n-3)+3T(n-4)+3T(n-5) +T(n-6)+7???
16 Esercizi risolvere usando il metodo dell iterazione: Esercizio 1: T(n) = T(n-1) + n, T(1) = 1 Esercizio 2: T(n) = 9 T(n/3) + n, T(1) = 1 (soluzione sul libro di testo: Esempio 2.4)
17 Analisi dell albero della ricorsione (un modo grafico di pensare il metodo dell iterazione) Idea: disegnare l albero delle chiamate ricorsive indicando la dimensione di ogni nodo stimare il tempo speso da ogni nodo dell albero stimare il tempo complessivo sommando il tempo speso da ogni nodo Suggerimento 1: se il tempo speso da ogni nodo è costante, T(n) è proporzionale al numero di nodi Suggerimento 2: a volte conviene analizzare l albero per livelli: -analizzare il tempo speso su ogni livello (fornendo upper bound) -stimare il numero di livelli
18 tecnica albero della ricorsione T(n)= T(n -1) + 1 T(1)= 1 n n - 1 quanto costa ogni nodo? quanti nodi ha l albero? uno! n n-2 n-i 2 T(n)= (n) 1
19 tecnica albero della ricorsione T(n)= T(n -1) + n T(1)= 1 n n - 1 quanto costa ogni nodo? quanti nodi ha l albero? al più n n n-2 n-i 2 T(n)=O(n 2 ) vale T(n)=Θ(n 2 )? 1
20 tecnica albero della ricorsione T(n)= T(n -1) + n T(1)= 1 n n - 1 n-2 n-i n/2 nodi ognuno dei quali costa n/2 quanto costa ogni nodo? al più n quanti nodi ha l albero? n T(n)=O(n 2 ) vale T(n)=Θ(n 2 )? 2 1 T(n) n/2n/2=n 2 /4 T(n)=Ω(n 2 )
21 tecnica albero della ricorsione T(n)= T(n -1) + n T(1)= 1 n quanto costa ogni nodo? al più n n - 1 n-2 n-i n/2 nodi ognuno dei quali costa n/2 quanti nodi ha l albero? T(n)=O(n 2 ) T(n)=Θ(n 2 ) n 2 1 T(n) n/2n/2=n 2 /4 T(n)=Ω(n 2 )
22 tecnica albero della ricorsione T(n)= 2T(n -1) + 1 T(1)= 1 n n-1 n-2 n-2 n-1 n-2 n-2 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n albero binario completo! quanto costa ogni nodo? uno! quanto è alto l albero? n-1! quanti nodi ha un albero h binario completo di altezza h? 2 i = 2 h+1-1 i=0 T(n)= 2 n -1= (2 n )
23 tecnica albero della ricorsione T(n)= 2T(n -1) + n T(1)= 1 n n-1 n-2 n-2 n-1 n-2 n-2 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n albero binario completo! quanto costa ogni nodo? al più n quanto è alto l albero? n-1 quanti nodi ha un albero h binario completo di altezza h? 2 i = 2 h+1-1 i=0 T(n) n2 n = (n2 n ) T(n) = O(n2 n )
24 T(n)= T(n -1) +T (n -2) +1 T(1)= 1 tecnica albero della ricorsione Un idea: usare maggiorazioni per fornire upper bound T(n) R(n) R(n)= 2 R(n -1) +1 T(n)=O(2 n ) R(n) = (2 n ) vale T(n)=Θ(2 n )?
25 tecnica albero della ricorsione T(n)= T(n -1) +T (n -2) +1 T(1)= 1 n n-1 n-2 n-3 n-2 n-3 n-4 n-3 n-4 n-4 n-5 n-4 n-5 n-5 n-6 albero chiamate ricorsive dell algorito Fibonacci2! quanto costa ogni nodo? uno ( n ) quanti nodi ha l albero? T(n) = ( n ) [T(n) = o(2 n )]
26 Analisi dell albero della ricorsione due esempi: Esempio 1: T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n, T(1) = 1 Esempio 2: T(n) = 2 T(n-2) + 1, T(1) = 1
27 Sommario Algoritmi ricorsivi: come analizzarli? Complessità di algoritmi ricorsivi e equazioni di ricorrenza Una tecnica di progettazione algoritmica: divide et impera Metodi per risovere equazioni di ricorrenza: iterazione albero della ricorsione sostituzione teorema Master cambiamento di variabile
28 Idea: Metodo della sostituzione 1. indovinare la (forma della) soluzione 2. usare induzione matematica per provare che la soluzione è quella intuita 3. risolvi rispetto alle costanti
29 Metodo della sostituzione Esempio: T(n) = n + T(n/2), T(1)=1 Assumiamo che la soluzione sia T(n) c n per una costante c opportuna Passo base: T(1)=1 c 1 per ogni c 1 Passo induttivo: T(n)= n + T(n/2) n+c (n/2) = (c/2+1) n Quindi: quando T(n) c n? devo avere: c/2+1 c da cui segue: c 2 T(n) 2n T(n)=O(n)
30 Esercizi risolvere usando il metodo della sostituzione: Esercizio: T(n) = 4T(n/2) + n, T(1) = 1 ( e fare esperienza della tecnicità del metodo.)
31 Tecnica del divide et impera Algoritmi basati sulla tecnica del divide et impera: - dividi il problema (di dimensione n) in a sottoproblemi di dimensione n/b - risolvi i sottoproblemi ricorsivamente - ricombina le soluzioni Sia f(n) il tempo per dividere e ricombinare istanze di dimensione n. La relazione di ricorrenza è data da: T(n) = a T(n/b) + f(n) se n>1 (1) se n=1
32 Algoritmo Fibonacci6 a=1, b=2, f(n)=o(1)
33 Algoritmo ottimo di pesatura Alg4 (X) 1. if ( X =1) then return unica moneta in X 2. dividi X in tre gruppi X 1, X 2, X 3 di dimensione bilanciata siano X 1 e X 2 i gruppi che hanno la stessa dimensione (ci sono sempre) 3. if peso(x 1 ) = peso(x 2 ) then return Alg4(X 3 ) 4. if peso(x 1 ) > peso(x 2 ) then return Alg4(X 1 ) else return Alg4(X 2 ) a=1, b=3, f(n)=o(1)
34 Teorema Master: enunciato informale n log b a vs f(n) quale va più velocemente a infinito? Stesso ordine asintotico T(n) = (f(n) log n) Se una delle due è polinomialmente più veloce T(n) ha l ordine asintotico della più veloce
35 La relazione di ricorrenza: Teorema Master T(n) = a T(n/b) + f(n) se n>1 (1) se n=1 ha soluzione: log 1. T(n) = (n b a log ) se f(n)=o(n b a - ) per >0 log 2. T(n) = (n b a log log n) se f(n) = (n b a ) log 3. T(n) = (f(n)) se f(n)= (n b a + ) per >0 e a f(n/b) c f(n) per c<1 e n sufficientemente grande
36 1) T(n) = n + 2T(n/2) Esempi a=2, b=2, f(n)=n= (n log 2 2 ) T(n)= (n log n) (caso 2 del teorema master) 2) T(n) = c + 3T(n/9) log a=3, b=9, f(n)=c=o(n ) T(n)= ( n) (caso 1 del teorema master) 3) T(n) = n + 3T(n/9) log a=3, b=9, f(n)=n= (n ) 3(n/9) c n per c=1/3 (caso 3 del teorema master) T(n)= (n)
37 Esempi 4) T(n) = n log n + 2T(n/2) log 2 2 a=2, b=2, f(n) = (n ) ma f(n) (n log 2 2+ ), > 0 non si può applicare il teorema Master!
38 Esempio: T(n) = T( n) + O(1), T(1) = 1 Cambiamento di variabile T(n) = T(n 1/2 ) + O(1) n=2 x x =log 2 n T(2 x ) = T(2 x/2 ) + O(1) R(x):=T(2 x ) R(x) = R(x/2) + O(1) R(x) = O(log x) T(n) = O(log log n)
39 due problemi (per cui la ricorsione può aiutare) Esercizio: progettare due algoritmi ricorsivi per i seguenti due problemi. Se ne studi la complessità temporale (nel caso peggiore).
40 problema della celebrità ad una festa ci sono n persone una di queste è una celebrità la celebrità non conosce nessuno ma è obiettivo: conosciuta da tutti individuare la celebrità facendo (poche) domande a persone del tipo: conosci questa persona?
41 problema della celebrità: un algoritmo ricorsivo Celebrità (X) 1. if X =1 then return l unica persona in X % che è la celebrità X: insieme di persone fra le quali sto cercando la celebrità 2. siano A e B due persone qualsiasi in X: chiedi ad A se conose B 3. if (A conosce B) then %A non può essere la celebrità return Celebrità(X-{A}) else %B non può essere la celebrità return Celebrità(X-{B}) quante domande fa l algoritmo? T(n): # domande che l algoritmo fa nel caso peggiore prima di individuare la celebrità fra n persone T(n)=T(n-1)+1 T(1)=0 T(n)= n-1 (srotolando) T(n)=T(n-1)+1=T(n-2)+2=T(n-3)+3= T(n-i)+i =T(1)+n-1=n-1
42 La torre di Hanoi A B C n dischi di diametro diverso, tre pali regole: si può spostare un disco alla volta e non si può mettere un disco di diametro più grande sopra uno di diametro più piccolo obiettivo: spostare i dischi dal palo A al palo C (facendo meno spostamenti possibile)
43 Un elegante soluzione ricorsiva 1 3 A B 2 C Hanoi(dischi, destinazione, palo ausiliario) Hanoi ([1,2..,n], C, B) 1. if n=1 then sposta il disco su C 2. Hanoi([1,2,,n-1], B, C) 3. sposta il disco n su C 4. Hanoi([1,2,,n-1], C, A)
44 esecuzione dell algoritmo n = 3 A B C
45 esecuzione dell algoritmo n = 3 A B C
46 esecuzione dell algoritmo n = 3 A B C
47 esecuzione dell algoritmo n = 3 A B C
48 esecuzione dell algoritmo n = 3 A B C
49 esecuzione dell algoritmo n = 3 A B C
50 esecuzione dell algoritmo n = 3 A B C
51 esecuzione dell algoritmo n = 3 A B C
52 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
53 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
54 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
55 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
56 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
57 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
58 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
59 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
60 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
61 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
62 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
63 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
64 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
65 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
66 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
67 esecuzione dell algoritmo n = 4 A B C
68 quanti spostamenti fa l algoritmo? 1 3 A B C 2 T(n): #spostamenti che l alg fa nel caso peggiore (?) per spostare n dischi Hanoi(dischi, destinazione, palo ausiliario) Hanoi ([1,2..,n], C, B) 1. if n=1 then sposta il disco su C 2. Hanoi([1,2,,n-1], B, C) 3. sposta il disco n su C 4. Hanoi([1,2,,n-1], C, A) T(n)= 2T(n -1) + 1 T(1)= 1
69 T(n)= 2T(n -1) + 1 analisi (tecnica albero della ricorsione) T(1)= 1 n n-1 n-2 n-2 n-1 n-2 n-2 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n-3 n albero binario completo! quanti spostamenti fa ogni nodo? uno! quanto è alto l albero? n-1! quanti nodi ha un albero h binario completo di altezza h? 2 i = 2 h+1-1 i=0 T(n)= 2 n -1= (2 n )
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