STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI

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1 STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI Quando un sistema fisico inizialmente in quiete viene sottoosto ad un ingresso di durata finita o di amiezza limitata, l uscita del sistema dovrebbe stabilizzarsi a un certo valore (non imorta quanto grande) e non continuare ad aumentare indefinitamente, oiché l energia di un sistema reale non uò essere infinita. Un classico esemio è quello della verifica delle sosensioni di un automobile. Per controllarne il funzionamento, in genere il meccanico alica una forza singola e imrovvisa verso il basso (in ratica un imulso) sull angolo della carrozzeria dell automobile. Tale ingresso imulsivo eccita le sosensioni rovocando iccole oscillazioni. In una autovettura su cui sono montate sosensioni funzionanti correttamente, le oscillazioni si estinguono velocemente e la carrozzeria dell automobile si ferma (la risosta all imulso si annulla). Se le sosensioni non funzionano correttamente, è invece necessario un temo molto lungo erché le oscillazioni si estinguano. Quando una automobile siffatta viene utilizzata su una strada sterrata o su un terreno con dossi, è ossibile che le oscillazioni continuino a crescere, ortando alla rottura delle sosensioni. Pertanto la stabilità è una caratteristica molto imortante di un generico sistema di controllo: un sistema di controllo in anello chiuso instabile non è rogettato correttamente, oiché il suo funzionamento orta al danneggiamento di alcune aarecchiature. In definitiva, un sistema di controllo deve essere di natura stabile er oter risultare di uso ratico. IL CONCETTO DI STABILITÀ Illustriamo meglio il concetto di stabilità tramite il classico esemio di una sfera in equilibrio su una suerficie in una osizione iniziale che er convenzione è osta ari a zero. Nel rimo caso (si vedano le figure successive) si assume che la suerficie è concava, nel secondo caso è iana, nel secondo è convessa. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

2 L analisi della stabilità in questo esemio revede di dare una leggera sinta alla sfera e osservare il suo movimento in ciascuna delle tre situazioni. Nel caso della suerficie concava, a seguito della sinta la sfera oscilla in avanti e indietro, ma l attrito causa il rallentamento della sfera, che rima o oi si ferma nel unto in cui si trovava inizialmente. Un ingresso (forza) finito risulta in un movimento finito con una osizione che converge a zero (la sfera si ferma). Il unto di equilibrio del sistema si dice asintoticamente stabile. Se la suerficie è iana, in risosta alla sinta ricevuta la sfera comincia a rotolare sulla suerficie iana e in seguito er l attrito si ferma in un nuovo unto, cosicché la osizione rimane costante da quell istante di temo in oi. Un ingresso (forza) finito risulta in una osizione limitata che non converge a zero. Il unto di equilibrio del sistema si dice semlicemente o marginalmente stabile. Peraltro, se la suerficie è leggermente inclinata o svilua una curvatura leggermente convessa, la sfera continua a rotolare, non fermandosi mai. Nel caso di suerficie convessa, infine, successivamente all alicazione della forza la sfera rotola verso il basso sulla suerficie, continuando a mantenere una velocità non nulla, con una osizione che tende a divergere. Nel caso di suerficie che si estende all infinito, ad una forza in ingresso finita corrisonde una osizione divergente. Il unto di equilibrio del sistema si dice instabile. Riassumendo, nel rimo caso il sistema, che si trova in una condizione iniziale di quiete, viene sottoosto ad una erturbazione finita e di durata limitata, cui risonde riortandosi nel unto iniziale di equilibrio (equilibrio asintoticamente stabile). Nel secondo caso, invece, il sistema si orta in una nuova situazione di equilibrio diversa da quella iniziale (equilibrio indifferente o marginalmente stabile). Infine, nel terzo caso il sistema anziché raggiungere una condizione di equilibrio doo la erturbazione, continua ad evolvere nel temo, fornendo una risosta divergente: la velocità della sfera cresce indefinitamente (equilibrio instabile). Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

3 DEFINIZIONI E TEOREMI RELATIVI ALLA STABILITÀ Consideriamo il sistema SISO lineare temoinvariante in figura, descritto dalla equazione differenziale: x G(s) y n n d y(t) d y(t) dy(t) an + a n n a n + a0y(t) = dt dt dt. m m d x(t) d x(t) dx(t) = bm + b m m b m + b0x(t) dt dt dt Suoniamo che il sistema sia in una condizione di quiete o di equilibrio all istante iniziale t=0. Ciò significa che inizialmente l ingresso e l uscita sono nulle o non nulle ma costanti, ossia il sistema è descritto dall equazione (ottenuta dalla recedente annullando tutte le derivate): a0y(t) = b t 0 0x(t). = t= 0 Si osserva che quest ultimo caso è analogo alla situazione in cui si assume x=y=0 in t=0, oiché dall equazione recedente ci si uò ricondurre a tale condizione semlicemente oerando un oortuno cambiamento delle origini del riferimento delle variabili. Si osserva inoltre che, nel caso di sistemi temoinvarianti, come er il sistema esresso dall equazione differenziale recedente, gli eserimenti sono rietibili, dunque studiare la stabilità del sistema con erturbazioni in t=0 è equivalente ad effettuare lo studio di stabilità a artire dall istante t=t 0. x(t) 0 τ Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 3

4 Suoniamo dunque che il sistema, inizialmente in quiete, venga erturbato alicando un segnale di ingresso diverso da zero er un intervallo di temo limitato τ, come ad esemio quello raresentato in figura ed esresso come segue: 0 er t<0,t> τ x(t)=. qualsiasi er 0 t τ La risosta a tale erturbazione uò essere di tre tii diversi. ) Risosta limitata: esiste una costante M y ositiva tale che sia: Il sistema si dice semlicemente stabile. y(t) M y er ogni t y(t) t ) Risosta convergente asintoticamente a zero: esiste una costante M y ositiva tale che sia: Il sistema si dice asintoticamente stabile. y(t) M y t 0 e lim t + y(t) = 0. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 4

5 0.5 y(t) t 3) Risosta divergente: non esiste alcuna costante M y ositiva tale che l amiezza della risosta diventi limitata a artire da un certo istante di temo. Essa cresce e diviene di amiezza infinita oure oscilla con amiezza che cresce indefinitamente. Il sistema si dice instabile. 3 0 y(t) t Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 5

6 PROPRIETÀ DI STABILITÀ DEI SISTEMI SISO LINEARI E STAZIONARI In un sistema lineare la tiologia della risosta ad una erturbazione di durata finita (limitata, convergente asintoticamente a zero o divergente) non diende dalla condizione iniziale né dall entità della erturbazione alicata, ciò er una conseguenza del rinciio di sovraosizione degli effetti. Inoltre in un sistema lineare l analisi di stabilità fatta er un unto di equilibrio vale er ogni unto di equilibrio del sistema: in altre arole, tutti i unti di equilibrio del sistema hanno le stesse caratteristiche di stabilità. Invece in un sistema non lineare l analisi di stabilità va fatta er ogni diverso unto di equilibrio e al variare della erturbazione alicata. Generalmente tale analisi fornisce risultati differenti a seconda delle erturbazioni e dei unti di equilibrio considerati. Un generico sistema lineare, quindi, è asintoticamente stabile, oure semlicemente stabile o instabile, a seconda che la sua risosta ad una qualunque erturbazione di durata finita abbia un andamento del tio visto nelle figure recedenti. Abbiamo visto che un generico sistema SISO lineare temoinvariante inizialmente in condizioni iniziali nulle roduce una risosta (forzata) ad un ingresso x(t) che comrende i modi della risosta stessa e quelli associati ai oli della funzione di trasferimento G(s). Poiché la erturbazione considerata è qualsiasi e di durata finita, essa è costituita da funzioni elementari o modi che convergono tutti a zero. Dunque il fatto che la risosta del sistema sia convergente, limitata o divergente, diende unicamente dai modi e quindi dai oli del sistema. Abbiamo visto che erché tutti i modi del sistema siano convergenti è necessario che i oli siano tutti disosti nel semiiano sinistro di Gauss. Inoltre, a oli semlici osti sull asse immaginario corrisondono modi (oscillatori o costanti) che sono limitati. Infine, a oli multili sull asse immaginario e a oli osti nel semiiano destro di Gauss corrisondono modi divergenti. Si deducono dunque le seguenti rorietà. ω Condizione necessaria e sufficiente erché un sistema SISO lineare stazionario sia asintoticamente stabile è che la sua funzione di trasferimento resenti oli tutti a arte reale negativa. σ Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 6

7 Condizione necessaria e sufficiente erché un sistema SISO lineare stazionario sia semlicemente stabile è che la sua funzione di trasferimento resenti uno o iù oli semlici sull asse immaginario e che tutti gli altri oli siano a arte reale negativa. ω σ Condizione necessaria e sufficiente erché un sistema SISO lineare stazionario sia instabile è che la sua funzione di trasferimento resenti uno o iù oli multili sull asse immaginario oure uno o iù oli a arte reale ositiva. Una articolare risosta di un sistema lineare temo invariante è la risosta all imulso, che contiene i soli modi del sistema. ω σ Ne consegue che un sistema asintoticamente stabile ha una risosta all imulso convergente a zero, un sistema semlicemente stabile ha una risosta all imulso limitata (oscillatoria o costante), mentre un sistema instabile ha una risosta all imulso divergente. ESEMPIO Si analizzi la stabilità dei sistemi aventi le seguenti funzioni di trasferimento: ) 5) G(s) = s + s+ ; ) s G(s) = s( + s) G(s) = s + 4. ; 3) G(s) = ( s + ) ; 4) G(s) = s s+ ; Quindi si scrivano er ciascuna funzione di trasferimento i modi di sistema, le funzioni elementari della risosta al gradino. Il sistema ) è asintoticamente stabile, avendo due oli in / =-±j. Invece il sistema ) è semlicemente stabile, con un olo in =0 e un olo in =-0.5. Inoltre, il sistema 3) è instabile, oiché resenta una coia con moltelicità algebrica ari a due di oli immaginari uri in / =+j e 3/4 =-j. Ancora, il sistema 4) è anch esso instabile, oiché resenta due oli in / =±j. Ancora, il sistema 5) è semlicemente stabile, oiché resenta due oli semlici in / =±j. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 7

8 Avendo determinato i oli dei sistemi, è immediato individuarne i modi, che sono le funzioni elementari resenti nella risosta all imulso: er il rimo sistema essi sono e -t cost (t) e e -t sint (t); er il secondo sistema valgono (t) e e -0.5t (t); er il terzo sistema essi sono cost (t) e sint (t) e t cost (t) e t sint (t); er il quarto sistema valgono e t cost (t) e e t sint (t); er il quinto sistema sono cost (t) e sint (t). I modi della risosta al gradino sono le funzioni elementari resenti nell antitrasformata di G(s), ertanto si individuano facilmente aggiungendo un olo s nell origine alla funzione di trasferimento data (e quindi tenendo conto dell incremento della moltelicità dei oli nell origine della nuova funzione di trasferimento se quella originaria resenta già oli nell origine): ertanto er il rimo sistema i modi della risosta al gradino sono (t), e -t cost (t) e e -t sint (t); er il secondo sistema valgono t (t), (t) e e -0.5t (t); er il terzo sistema essi sono (t), cost (t) e sint (t) e t cost (t) e t sint (t); er il quarto sistema valgono (t), e t cost (t) e e t sint (t); er il quinto sistema sono (t), cost (t) e sint (t). Si osservi quindi come nel secondo sistema nella risosta al gradino è resente un termine del tio cui sono associati i due modi t (t), (t). s STABILITÀ BIBO Oltre alla stabilità a seguito di erturbazioni di durata finita, recedentemente introdotta, si fa sesso riferimento ad un altra definizione di stabilità, la stabilità ingresso limitato uscita limitata (stabilità BIBO, Bounded Inut Bounded Outut). Un sistema SISO lineare temoinvariante si dice stabile BIBO se, trovandosi in condizioni iniziali di quiete, ad ogni ingresso di amiezza limitata risonde con una uscita di amiezza limitata. In altre arole, un sistema è stabile BIBO se, dato un ingresso x(t) tale che x(t) M x t 0 con Mx costante ositiva, esiste una costante ositiva My tale che la corrisondente risosta y(t) soddisfi la relazione Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 8

9 y(t) M y t 0. Vale la seguente rorietà: un sistema SISO lineare temoinvariante è stabile BIBO se e solo se esso è asintoticamente stabile. Ne consegue che un sistema SISO lineare temoinvariante che sia semlicemente stabile o instabile non è stabile BIBO. La rorietà recedente è facilmente dimostrabile se si considera che un sistema asintoticamente stabile risonde ad un ingresso limitato, che ha evidentemente modi limitati er la sua caratteristica di limitatezza, con una risosta forzata che contiene tali modi limitati e quelli della funzione di trasferimento del sistema, questi ultimi convergenti oiché i oli sono tutti a arte reale negativa. Quindi un sistema asintoticamente stabile risonde ad un qualsiasi ingresso limitato in amiezza con una uscita che è limitata anch essa. Analogamente, se si considera un sistema instabile, esso risonde ad un ingresso limitato con una risosta forzata che contiene i modi dell ingresso, limitati, e quelli della funzione di trasferimento, tra i quali alcuni sono divergenti, oiché almeno un olo è a arte reale ositiva o multilo e osto sull asse delle ordinate del iano di Gauss. Quindi un sistema instabile risonde ad un ingresso limitato con una uscita non limitata e dunque non è stabile BIBO. Più comlesso è il caso dei sistemi semlicemente stabili. Un sistema siffatto risonde ad un ingresso limitato con una risosta forzata che contiene i modi dell ingresso, limitati, e quelli della funzione di trasferimento, tra i quali alcuni sono limitati, oiché almeno un olo è semlice e osto sull asse delle ordinate del iano di Gauss. Per alcuni ingressi limitati, tuttavia, uò accadere che un olo della trasformata dell ingresso coincida con qualcuno dei oli semlici e a arte reale nulla del sistema semlicemente stabile. Viene in tal modo eccitato il modo di ordine sueriore del olo, originariamente semlice, il quale è disosto sull asse immaginario, sì da rendere la risosta a quel articolare ingresso divergente e quindi non limitata, ur essendo limitato l ingresso corrisondente. Pertanto un sistema semlicemente stabile non è stabile BIBO. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 9

10 ESEMPIO Si studi la stabilità del sistema con funzione di trasferimento G(s) =. s Il sistema è semlicemente stabile, avendo un unico olo semlice in s=0, cui corrisonde una risosta all imulso limitata g(t) = (t). Dimostriamo che il sistema non è stabile BIBO. Consideriamo l ingresso di amiezza limitata x(t) = (t) e dimostriamo che la risosta a tale ingresso non è di amiezza limitata, er cui il sistema non è stabile BIBO. Si ha infatti: Pertanto si ha: Y(s) = G(s) X(s) = y(t) = t (t) e la risosta è evidentemente illimitata, ur essendo l ingresso limitato in amiezza. Si conclude che il sistema dato, che è semlicemente stabile, non è stabile BIBO. Questo risultato era revedibile in quanto l ingresso limitato (t), avente trasformata, contiene un olo semlice in s=0 che coincide con quello resente nel sistema s semlicemente stabile. Viene in tal modo eccitato il modo di ordine sueriore del olo, originariamente semlice, disosto sull asse immaginario, sì da rendere la risosta, a quel articolare ingresso, divergente e quindi non limitata, ur essendo limitato l ingresso corrisondente. s Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 0

11 ESEMPIO Si analizzi la stabilità del sistema con funzione di trasferimento con a reale ositivo. G(s) = s + a Il sistema è semlicemente stabile, avendo due oli semlici a arte reale nulla in ± ja, cui corrisonde una risosta all imulso limitata g(t) = sin(at). a Dimostriamo che il sistema non è stabile BIBO. Consideriamo l ingresso di amiezza limitata x(t) = cos(bt), con b numero reale ositivo, e dimostriamo che la risosta a tale ingresso non è necessariamente di amiezza limitata. Distinguiamo i due casi b a e b=a. Si osserva che se la ulsazione dell ingresso soddisfa la relazione b a la risosta è limitata in amiezza. Infatti si ha una trasformata della risosta: s α s+β α s+β Y(s) = G(s) X(s) = = + s + a s + b s + a s + b con [ α s + β ] = Y(s) s ja ( s + a = ) [ α s + β ] = Y(s) s jb ( s + b = ) s= ja s= jb da cui doo semlici assaggi si ha: Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

12 α = α = a + b + a b e β = 0 e β = 0 Pertanto si ha: s s Y(s) = + b a s + a a b s + b quindi y(t) = ( cos(at) cos(bt) ) (t) b a e la risosta è evidentemente limitata come l ingresso. Suoniamo ora che sia b=a. Prorio questo è un caso in cui all ingresso limitato in amiezza x(t) = cos(bt) = cos(at) corrisonde una risosta illimitata, er cui il sistema non è stabile BIBO. Si ha infatti: Ricordando la rorietà si deduce che Y(s) = G(s) X(s) = d L L ds s ( s + a ) { t f(t) } = { f(t) }. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

13 Pertanto si ha: quindi d d a as L { t sin (at)} = L { sin(at) } = = ds ds s + a s Y(s) = = L a ( s + a ) y(t) = t sin (at) (t). a ( s + a ) { t sin (at)} Alternativamente, è ossibile usare il metodo classico di esansione in fratti semlici er derivare l equazione recedente. Si ha infatti: Inoltre risulta: * * s k k k k Y(s) = G(s) X(s) = = s+ ja s ja ( s + a ) ( s+ ja) ( s ja) k s ja = = = = 4ja 4a ( s ja) ( ja) ja j, d s ( s ja) s( s ja) ( s ja) s k = = = = 0, ds 4 3 ( s ja) ( s ja) ( s ja) ja ja ja da cui s j j Y(s) = G(s) X(s) = =. 4a ( ) ( ) 4a s + a s+ ja ( s ja) Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 3

14 Pertanto la risosta all ingresso considerato vale jat + jat j ( ) ( ) j y(t) = t e e (t) = t cos(at) jsin(at) cos(at) jsin(at) (t) = 4a 4a, = t sin(at) (t) a che coincide con quanto recedentemente trovato. Pertanto il sistema risonde ad un articolare ingresso limitato in amiezza con una uscita che è evidentemente oscillatoria illimitata. Si conclude che il sistema dato, che è semlicemente stabile, non è stabile BIBO. Come nel caso recedente (b a), anche questo risultato era revedibile in quanto s l ingresso limitato cos(at), avente trasformata, contiene due oli semlici in s + a s= ± ja, che coincidono con quelli resenti nel sistema semlicemente stabile. Viene in tal modo eccitato il modo di ordine sueriore di entrambi i oli, originariamente semlici, disosto sull asse immaginario, sì da rendere la risosta, a quel articolare ingresso, divergente e quindi non limitata, ur essendo limitato l ingresso corrisondente. CRITERIO DI ROUTH Consideriamo un tiico sistema di controllo in anello chiuso, comrendente un regolatore roorzionale di guadagno K, un lant con funzione di trasferimento G(s) e un trasduttore con funzione di trasferimento H(s). r + - K + G(s) y H(s) La funzione di trasferimento del sistema retroazionato vale: Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 4

15 KG(s) G 0(s) =. + KG(s)H(s) I oli del sistema in anello chiuso sono le radici della seguente equazione caratteristica del sistema: + KG(s)H(s) = 0. Evidentemente, la stabilità del sistema retroazionato è univocamente determinata dalla osizione nel iano comlesso dei oli della funzione di trasferimento G0(s) del sistema in anello chiuso, ossia dagli zeri (radici) dell equazione caratteristica. Per determinare se G0(s) è stabile o meno, in realtà non è necessario conoscere la osizione esatta dei oli, ma è sufficiente saere se essi si trovano o meno tutti a sinistra dell asse immaginario. Il criterio di Routh ermette di determinare se un sistema retroazionato è stabile senza dover calcolare esattamente la osizione delle radici stesse dell equazione caratteristica. Si suonga che l equazione caratteristica sia scritta nella forma olinomiale: n n n n 0 a s + a s a s+ a = 0. Il olinomio a rimo membro dell equazione caratteristica è detto olinomio caratteristico (del sistema in anello chiuso). Le sue radici sono evidentemente i oli del sistema in anello chiuso. Lemma di Routh: condizione necessaria affinché le radici dell equazione caratteristica abbiano tutte arte reale negativa è che tutti i coefficienti del olinomio caratteristico siano di segno concorde. In articolare, è facile dimostrare che il Lemma di Routh individua una condizione sia necessaria che sufficiente er l asintotica stabilità se il sistema è del secondo ordine. Mentre in generale il lemma di Routh fornisce una condizione necessaria er l asintotica stabilità di un sistema, il criterio di Routh fornisce una condizione necessaria e sufficiente. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 5

16 Il criterio di Routh si basa sulla costruzione della tabella di Routh a artire dal olinomio caratteristico del sistema in anello chiuso. La tabella di Routh si costruisce come segue. dove sn a n a n- a n-4 a n-6 sn- a n- a n-3 a n-5 a n-7 sn- b n- b n-4 b n-6 sn-3 c n-3 c n-5 b n a a a a a a a a =, = n n n n 3, b n n 4 n n 5 n 4 an an b n 6 an an 6 ana = n 7, a n c b a a b b a a b =, n n 3 n n 4 n 3 =, c n n 5 n n 6 n 5 bn bn Criterio di Routh: ad ogni variazione di segno che resentano i termini della rima colonna della tabella di Routh corrisonde una radice a arte reale ositiva dell equazione caratteristica, ad ogni ermanenza una radice a arte reale negativa. Dal criterio si uò dedurre quanto segue: condizione necessaria e sufficiente affinché le radici dell equazione caratteristica abbiano tutte arte reale negativa è che tutti i termini della rima colonna della tabella di Routh siano di segno concorde. Analogamente si ha: condizione sufficiente affinché un sistema lineare SISO temoinvariante sia instabile è che tra i termini della rima colonna della tabella di Routh ad esso associata vi sia almeno uno di segno discorde dagli altri. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 6

17 ESEMPIO r + - s(s 4s + ) y 3 Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: s(s 4s + ) G 0(s) = = s 4s + s+ 6 s(s 4s + ) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 3 s 4s + s+ 6= 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno. Per il lemma di Routh si conclude che il sistema non è asintoticamente stabile (ma otrebbe essere sia semlicemente stabile che instabile). La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s3 v s -4 v s = s0 = 6 5 =a0 Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 7

18 Si osserva che il termine resente sull ultima riga è ari ad a0. Questa è una rorietà generale della tabella di Routh. Dalla tabella di Routh si osserva che essa resenta due variazioni di segno sulla rima colonna, dunque il sistema è instabile con due oli nel semiiano destro. Infatti l equazione caratteristica si uò riformulare come segue: 3 s 4s + s + 6 = (s + )(s )(s 3) = 0 e la resenza dei oli + e +3 nel semiiano destro fa sì che il sistema sia instabile. ESEMPIO r s(s + s + 3s + 5) y Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: 5 3 s(s + s + 3s + 5) 5 0 = = G (s). 0 s + s + 3s + 5s + 0 s(s + s + 3s + 5) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 4 3 s + s + 3s + 5s + 0 = 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico sono tutti dello stesso segno. Il lemma di Routh non fornisce dunque alcuna indicazione sulla stabilità del sistema. La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 8

19 s4 3 0 s3 v s = 7 0 = s = v 7 7 s0 0=a0 Dalla tabella di Routh si osserva che essa resenta due variazioni di segno sulla rima colonna, dunque il sistema è instabile con due oli nel semiiano destro. r + - ESEMPIO 3 s(4s + 3s + 5s + ) y 0.5 Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: 3 s(4s + 3s + 5s + ) 0 = = G (s). 4s + 3s + 5s + s + s(4s + 3s + 5s + ) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 4 3 4s + 3s + 5s + s + = 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico sono tutti dello stesso segno. Il lemma di Routh non fornisce dunque alcuna indicazione sulla stabilità del sistema. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 9

20 Il criterio di Routh rimane valido anche se si moltilicano tutti i coefficienti di una riga er un coefficiente ositivo. La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s4 4 5 s3 3 s 7/3 7 3 s 5/7 5 s0 3 La tabella di Routh non resenta variazioni di segno sulla rima colonna, dunque il sistema è asintoticamente stabile, con quattro oli tutti nel semiiano sinistro. Vediamo nel seguito alcuni casi articolari di tabelle di Routh. Può accadere ad esemio che un coefficiente della rima colonna (il rimo termine di una riga) sia nullo. In tal caso esso viene sostituito con una quantità ositiva ε che oi si fa tendere a zero, e si ragiona come nel caso generale. ESEMPIO r + - s(s + 3) y Consideriamo il sistema in figura. Evidentemente il sistema in anello aerto è semlicemente stabile, con tre oli disosti sull asse immaginario. Determiniamo la funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema: Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 0

21 s(s + 3) 0 = = 3 + G (s). s + 3s+ s(s + 3) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 3 s + 3s+ = 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno (il coefficiente del termine s è nullo, quindi non è ositivo come gli altri). Per il lemma di Routh si conclude che il sistema non è asintoticamente stabile (ma otrebbe essere sia semlicemente stabile che instabile). La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s3 3 s (0) ε s 3 ε 3 v = ε ε s0 v I rimi due termini della tabella di Routh sono ositivi. Il terzo termine, invece, er ε 0 + tende al valore -, mentre il quarto è ositivo. Si deduce che la tabella di Routh resenta due variazioni di segno sulla rima colonna, dunque il sistema è instabile, con due oli a arte reale ositiva e un terzo osto nel semiiano sinistro, quindi reale negativo. Un altro caso articolare si ha quando una intera riga della tabella di Routh è nulla. Si uò dimostrare che tale situazione uò verificarsi solo er una riga disari (s, s3, ecc ) o er l ultima riga (s0), che è costituita da un solo elemento. L ultimo caso è semlice da analizzare: si ha a0=0, quindi manca il termine noto nel olinomio caratteristico. Ne consegue che il sistema in anello chiuso ha almeno un olo nullo nell origine. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente