STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI

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1 STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI Quando un sistema fisico inizialmente in quiete viene sottoosto ad un ingresso di durata finita o di amiezza limitata, l uscita del sistema dovrebbe stabilizzarsi a un certo valore (non imorta quanto grande) e non continuare ad aumentare indefinitamente, oiché l energia di un sistema reale non uò essere infinita. Un classico esemio è quello della verifica delle sosensioni di un automobile. Per controllarne il funzionamento, in genere il meccanico alica una forza singola e imrovvisa verso il basso (in ratica un imulso) sull angolo della carrozzeria dell automobile. Tale ingresso imulsivo eccita le sosensioni rovocando iccole oscillazioni. In una autovettura su cui sono montate sosensioni funzionanti correttamente, le oscillazioni si estinguono velocemente e la carrozzeria dell automobile si ferma (la risosta all imulso si annulla). Se le sosensioni non funzionano correttamente, è invece necessario un temo molto lungo erché le oscillazioni si estinguano. Quando una automobile siffatta viene utilizzata su una strada sterrata o su un terreno con dossi, è ossibile che le oscillazioni continuino a crescere, ortando alla rottura delle sosensioni. Pertanto la stabilità è una caratteristica molto imortante di un generico sistema di controllo: un sistema di controllo in anello chiuso instabile non è rogettato correttamente, oiché il suo funzionamento orta al danneggiamento di alcune aarecchiature. In definitiva, un sistema di controllo deve essere di natura stabile er oter risultare di uso ratico. IL CONCETTO DI STABILITÀ Illustriamo meglio il concetto di stabilità tramite il classico esemio di una sfera in equilibrio su una suerficie in una osizione iniziale che er convenzione è osta ari a zero. Nel rimo caso (si vedano le figure successive) si assume che la suerficie è concava, nel secondo caso è iana, nel secondo è convessa. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

2 L analisi della stabilità in questo esemio revede di dare una leggera sinta alla sfera e osservare il suo movimento in ciascuna delle tre situazioni. Nel caso della suerficie concava, a seguito della sinta la sfera oscilla in avanti e indietro, ma l attrito causa il rallentamento della sfera, che rima o oi si ferma nel unto in cui si trovava inizialmente. Un ingresso (forza) finito risulta in un movimento finito con una osizione che converge a zero (la sfera si ferma). Il unto di equilibrio del sistema si dice asintoticamente stabile. Se la suerficie è iana, in risosta alla sinta ricevuta la sfera comincia a rotolare sulla suerficie iana e in seguito er l attrito si ferma in un nuovo unto, cosicché la osizione rimane costante da quell istante di temo in oi. Un ingresso (forza) finito risulta in una osizione limitata che non converge a zero. Il unto di equilibrio del sistema si dice semlicemente o marginalmente stabile. Peraltro, se la suerficie è leggermente inclinata o svilua una curvatura leggermente convessa, la sfera continua a rotolare, non fermandosi mai. Nel caso di suerficie convessa, infine, successivamente all alicazione della forza la sfera rotola verso il basso sulla suerficie, continuando a mantenere una velocità non nulla, con una osizione che tende a divergere. Nel caso di suerficie che si estende all infinito, ad una forza in ingresso finita corrisonde una osizione divergente. Il unto di equilibrio del sistema si dice instabile. Riassumendo, nel rimo caso il sistema, che si trova in una condizione iniziale di quiete, viene sottoosto ad una erturbazione finita e di durata limitata, cui risonde riortandosi nel unto iniziale di equilibrio (equilibrio asintoticamente stabile). Nel secondo caso, invece, il sistema si orta in una nuova situazione di equilibrio diversa da quella iniziale (equilibrio indifferente o marginalmente stabile). Infine, nel terzo caso il sistema anziché raggiungere una condizione di equilibrio doo la erturbazione, continua ad evolvere nel temo, fornendo una risosta divergente: la velocità della sfera cresce indefinitamente (equilibrio instabile). Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

3 DEFINIZIONI E TEOREMI RELATIVI ALLA STABILITÀ Consideriamo il sistema SISO lineare temoinvariante in figura, descritto dalla equazione differenziale: x G(s) y n n d y(t) d y(t) dy(t) an + a n n a n + a0y(t) = dt dt dt. m m d x(t) d x(t) dx(t) = bm + b m m b m + b0x(t) dt dt dt Suoniamo che il sistema sia in una condizione di quiete o di equilibrio all istante iniziale t=0. Ciò significa che inizialmente l ingresso e l uscita sono nulle o non nulle ma costanti, ossia il sistema è descritto dall equazione (ottenuta dalla recedente annullando tutte le derivate): a0y(t) = b t 0 0x(t). = t= 0 Si osserva che quest ultimo caso è analogo alla situazione in cui si assume x=y=0 in t=0, oiché dall equazione recedente ci si uò ricondurre a tale condizione semlicemente oerando un oortuno cambiamento delle origini del riferimento delle variabili. Si osserva inoltre che, nel caso di sistemi temoinvarianti, come er il sistema esresso dall equazione differenziale recedente, gli eserimenti sono rietibili, dunque studiare la stabilità del sistema con erturbazioni in t=0 è equivalente ad effettuare lo studio di stabilità a artire dall istante t=t 0. x(t) 0 τ Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 3

4 Suoniamo dunque che il sistema, inizialmente in quiete, venga erturbato alicando un segnale di ingresso diverso da zero er un intervallo di temo limitato τ, come ad esemio quello raresentato in figura ed esresso come segue: 0 er t<0,t> τ x(t)=. qualsiasi er 0 t τ La risosta a tale erturbazione uò essere di tre tii diversi. ) Risosta limitata: esiste una costante M y ositiva tale che sia: Il sistema si dice semlicemente stabile. y(t) M y er ogni t y(t) t ) Risosta convergente asintoticamente a zero: esiste una costante M y ositiva tale che sia: Il sistema si dice asintoticamente stabile. y(t) M y t 0 e lim t + y(t) = 0. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 4

5 0.5 y(t) t 3) Risosta divergente: non esiste alcuna costante M y ositiva tale che l amiezza della risosta diventi limitata a artire da un certo istante di temo. Essa cresce e diviene di amiezza infinita oure oscilla con amiezza che cresce indefinitamente. Il sistema si dice instabile. 3 0 y(t) t Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 5

6 PROPRIETÀ DI STABILITÀ DEI SISTEMI SISO LINEARI E STAZIONARI In un sistema lineare la tiologia della risosta ad una erturbazione di durata finita (limitata, convergente asintoticamente a zero o divergente) non diende dalla condizione iniziale né dall entità della erturbazione alicata, ciò er una conseguenza del rinciio di sovraosizione degli effetti. Inoltre in un sistema lineare l analisi di stabilità fatta er un unto di equilibrio vale er ogni unto di equilibrio del sistema: in altre arole, tutti i unti di equilibrio del sistema hanno le stesse caratteristiche di stabilità. Invece in un sistema non lineare l analisi di stabilità va fatta er ogni diverso unto di equilibrio e al variare della erturbazione alicata. Generalmente tale analisi fornisce risultati differenti a seconda delle erturbazioni e dei unti di equilibrio considerati. Un generico sistema lineare, quindi, è asintoticamente stabile, oure semlicemente stabile o instabile, a seconda che la sua risosta ad una qualunque erturbazione di durata finita abbia un andamento del tio visto nelle figure recedenti. Abbiamo visto che un generico sistema SISO lineare temoinvariante inizialmente in condizioni iniziali nulle roduce una risosta (forzata) ad un ingresso x(t) che comrende i modi della risosta stessa e quelli associati ai oli della funzione di trasferimento G(s). Poiché la erturbazione considerata è qualsiasi e di durata finita, essa è costituita da funzioni elementari o modi che convergono tutti a zero. Dunque il fatto che la risosta del sistema sia convergente, limitata o divergente, diende unicamente dai modi e quindi dai oli del sistema. Abbiamo visto che erché tutti i modi del sistema siano convergenti è necessario che i oli siano tutti disosti nel semiiano sinistro di Gauss. Inoltre, a oli semlici osti sull asse immaginario corrisondono modi (oscillatori o costanti) che sono limitati. Infine, a oli multili sull asse immaginario e a oli osti nel semiiano destro di Gauss corrisondono modi divergenti. Si deducono dunque le seguenti rorietà. ω Condizione necessaria e sufficiente erché un sistema SISO lineare stazionario sia asintoticamente stabile è che la sua funzione di trasferimento resenti oli tutti a arte reale negativa. σ Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 6

7 Condizione necessaria e sufficiente erché un sistema SISO lineare stazionario sia semlicemente stabile è che la sua funzione di trasferimento resenti uno o iù oli semlici sull asse immaginario e che tutti gli altri oli siano a arte reale negativa. ω σ Condizione necessaria e sufficiente erché un sistema SISO lineare stazionario sia instabile è che la sua funzione di trasferimento resenti uno o iù oli multili sull asse immaginario oure uno o iù oli a arte reale ositiva. Una articolare risosta di un sistema lineare temo invariante è la risosta all imulso, che contiene i soli modi del sistema. ω σ Ne consegue che un sistema asintoticamente stabile ha una risosta all imulso convergente a zero, un sistema semlicemente stabile ha una risosta all imulso limitata (oscillatoria o costante), mentre un sistema instabile ha una risosta all imulso divergente. ESEMPIO Si analizzi la stabilità dei sistemi aventi le seguenti funzioni di trasferimento: ) 5) G(s) = s + s+ ; ) s G(s) = s( + s) G(s) = s + 4. ; 3) G(s) = ( s + ) ; 4) G(s) = s s+ ; Quindi si scrivano er ciascuna funzione di trasferimento i modi di sistema, le funzioni elementari della risosta al gradino. Il sistema ) è asintoticamente stabile, avendo due oli in / =-±j. Invece il sistema ) è semlicemente stabile, con un olo in =0 e un olo in =-0.5. Inoltre, il sistema 3) è instabile, oiché resenta una coia con moltelicità algebrica ari a due di oli immaginari uri in / =+j e 3/4 =-j. Ancora, il sistema 4) è anch esso instabile, oiché resenta due oli in / =±j. Ancora, il sistema 5) è semlicemente stabile, oiché resenta due oli semlici in / =±j. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 7

8 Avendo determinato i oli dei sistemi, è immediato individuarne i modi, che sono le funzioni elementari resenti nella risosta all imulso: er il rimo sistema essi sono e -t cost (t) e e -t sint (t); er il secondo sistema valgono (t) e e -0.5t (t); er il terzo sistema essi sono cost (t) e sint (t) e t cost (t) e t sint (t); er il quarto sistema valgono e t cost (t) e e t sint (t); er il quinto sistema sono cost (t) e sint (t). I modi della risosta al gradino sono le funzioni elementari resenti nell antitrasformata di G(s), ertanto si individuano facilmente aggiungendo un olo s nell origine alla funzione di trasferimento data (e quindi tenendo conto dell incremento della moltelicità dei oli nell origine della nuova funzione di trasferimento se quella originaria resenta già oli nell origine): ertanto er il rimo sistema i modi della risosta al gradino sono (t), e -t cost (t) e e -t sint (t); er il secondo sistema valgono t (t), (t) e e -0.5t (t); er il terzo sistema essi sono (t), cost (t) e sint (t) e t cost (t) e t sint (t); er il quarto sistema valgono (t), e t cost (t) e e t sint (t); er il quinto sistema sono (t), cost (t) e sint (t). Si osservi quindi come nel secondo sistema nella risosta al gradino è resente un termine del tio cui sono associati i due modi t (t), (t). s STABILITÀ BIBO Oltre alla stabilità a seguito di erturbazioni di durata finita, recedentemente introdotta, si fa sesso riferimento ad un altra definizione di stabilità, la stabilità ingresso limitato uscita limitata (stabilità BIBO, Bounded Inut Bounded Outut). Un sistema SISO lineare temoinvariante si dice stabile BIBO se, trovandosi in condizioni iniziali di quiete, ad ogni ingresso di amiezza limitata risonde con una uscita di amiezza limitata. In altre arole, un sistema è stabile BIBO se, dato un ingresso x(t) tale che x(t) M x t 0 con Mx costante ositiva, esiste una costante ositiva My tale che la corrisondente risosta y(t) soddisfi la relazione Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 8

9 y(t) M y t 0. Vale la seguente rorietà: un sistema SISO lineare temoinvariante è stabile BIBO se e solo se esso è asintoticamente stabile. Ne consegue che un sistema SISO lineare temoinvariante che sia semlicemente stabile o instabile non è stabile BIBO. La rorietà recedente è facilmente dimostrabile se si considera che un sistema asintoticamente stabile risonde ad un ingresso limitato, che ha evidentemente modi limitati er la sua caratteristica di limitatezza, con una risosta forzata che contiene tali modi limitati e quelli della funzione di trasferimento del sistema, questi ultimi convergenti oiché i oli sono tutti a arte reale negativa. Quindi un sistema asintoticamente stabile risonde ad un qualsiasi ingresso limitato in amiezza con una uscita che è limitata anch essa. Analogamente, se si considera un sistema instabile, esso risonde ad un ingresso limitato con una risosta forzata che contiene i modi dell ingresso, limitati, e quelli della funzione di trasferimento, tra i quali alcuni sono divergenti, oiché almeno un olo è a arte reale ositiva o multilo e osto sull asse delle ordinate del iano di Gauss. Quindi un sistema instabile risonde ad un ingresso limitato con una uscita non limitata e dunque non è stabile BIBO. Più comlesso è il caso dei sistemi semlicemente stabili. Un sistema siffatto risonde ad un ingresso limitato con una risosta forzata che contiene i modi dell ingresso, limitati, e quelli della funzione di trasferimento, tra i quali alcuni sono limitati, oiché almeno un olo è semlice e osto sull asse delle ordinate del iano di Gauss. Per alcuni ingressi limitati, tuttavia, uò accadere che un olo della trasformata dell ingresso coincida con qualcuno dei oli semlici e a arte reale nulla del sistema semlicemente stabile. Viene in tal modo eccitato il modo di ordine sueriore del olo, originariamente semlice, il quale è disosto sull asse immaginario, sì da rendere la risosta a quel articolare ingresso divergente e quindi non limitata, ur essendo limitato l ingresso corrisondente. Pertanto un sistema semlicemente stabile non è stabile BIBO. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 9

10 ESEMPIO Si studi la stabilità del sistema con funzione di trasferimento G(s) =. s Il sistema è semlicemente stabile, avendo un unico olo semlice in s=0, cui corrisonde una risosta all imulso limitata g(t) = (t). Dimostriamo che il sistema non è stabile BIBO. Consideriamo l ingresso di amiezza limitata x(t) = (t) e dimostriamo che la risosta a tale ingresso non è di amiezza limitata, er cui il sistema non è stabile BIBO. Si ha infatti: Pertanto si ha: Y(s) = G(s) X(s) = y(t) = t (t) e la risosta è evidentemente illimitata, ur essendo l ingresso limitato in amiezza. Si conclude che il sistema dato, che è semlicemente stabile, non è stabile BIBO. Questo risultato era revedibile in quanto l ingresso limitato (t), avente trasformata, contiene un olo semlice in s=0 che coincide con quello resente nel sistema s semlicemente stabile. Viene in tal modo eccitato il modo di ordine sueriore del olo, originariamente semlice, disosto sull asse immaginario, sì da rendere la risosta, a quel articolare ingresso, divergente e quindi non limitata, ur essendo limitato l ingresso corrisondente. s Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 0

11 ESEMPIO Si analizzi la stabilità del sistema con funzione di trasferimento con a reale ositivo. G(s) = s + a Il sistema è semlicemente stabile, avendo due oli semlici a arte reale nulla in ± ja, cui corrisonde una risosta all imulso limitata g(t) = sin(at). a Dimostriamo che il sistema non è stabile BIBO. Consideriamo l ingresso di amiezza limitata x(t) = cos(bt), con b numero reale ositivo, e dimostriamo che la risosta a tale ingresso non è necessariamente di amiezza limitata. Distinguiamo i due casi b a e b=a. Si osserva che se la ulsazione dell ingresso soddisfa la relazione b a la risosta è limitata in amiezza. Infatti si ha una trasformata della risosta: s α s+β α s+β Y(s) = G(s) X(s) = = + s + a s + b s + a s + b con [ α s + β ] = Y(s) s ja ( s + a = ) [ α s + β ] = Y(s) s jb ( s + b = ) s= ja s= jb da cui doo semlici assaggi si ha: Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

12 α = α = a + b + a b e β = 0 e β = 0 Pertanto si ha: s s Y(s) = + b a s + a a b s + b quindi y(t) = ( cos(at) cos(bt) ) (t) b a e la risosta è evidentemente limitata come l ingresso. Suoniamo ora che sia b=a. Prorio questo è un caso in cui all ingresso limitato in amiezza x(t) = cos(bt) = cos(at) corrisonde una risosta illimitata, er cui il sistema non è stabile BIBO. Si ha infatti: Ricordando la rorietà si deduce che Y(s) = G(s) X(s) = d L L ds s ( s + a ) { t f(t) } = { f(t) }. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

13 Pertanto si ha: quindi d d a as L { t sin (at)} = L { sin(at) } = = ds ds s + a s Y(s) = = L a ( s + a ) y(t) = t sin (at) (t). a ( s + a ) { t sin (at)} Alternativamente, è ossibile usare il metodo classico di esansione in fratti semlici er derivare l equazione recedente. Si ha infatti: Inoltre risulta: * * s k k k k Y(s) = G(s) X(s) = = s+ ja s ja ( s + a ) ( s+ ja) ( s ja) k s ja = = = = 4ja 4a ( s ja) ( ja) ja j, d s ( s ja) s( s ja) ( s ja) s k = = = = 0, ds 4 3 ( s ja) ( s ja) ( s ja) ja ja ja da cui s j j Y(s) = G(s) X(s) = =. 4a ( ) ( ) 4a s + a s+ ja ( s ja) Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 3

14 Pertanto la risosta all ingresso considerato vale jat + jat j ( ) ( ) j y(t) = t e e (t) = t cos(at) jsin(at) cos(at) jsin(at) (t) = 4a 4a, = t sin(at) (t) a che coincide con quanto recedentemente trovato. Pertanto il sistema risonde ad un articolare ingresso limitato in amiezza con una uscita che è evidentemente oscillatoria illimitata. Si conclude che il sistema dato, che è semlicemente stabile, non è stabile BIBO. Come nel caso recedente (b a), anche questo risultato era revedibile in quanto s l ingresso limitato cos(at), avente trasformata, contiene due oli semlici in s + a s= ± ja, che coincidono con quelli resenti nel sistema semlicemente stabile. Viene in tal modo eccitato il modo di ordine sueriore di entrambi i oli, originariamente semlici, disosto sull asse immaginario, sì da rendere la risosta, a quel articolare ingresso, divergente e quindi non limitata, ur essendo limitato l ingresso corrisondente. CRITERIO DI ROUTH Consideriamo un tiico sistema di controllo in anello chiuso, comrendente un regolatore roorzionale di guadagno K, un lant con funzione di trasferimento G(s) e un trasduttore con funzione di trasferimento H(s). r + - K + G(s) y H(s) La funzione di trasferimento del sistema retroazionato vale: Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 4

15 KG(s) G 0(s) =. + KG(s)H(s) I oli del sistema in anello chiuso sono le radici della seguente equazione caratteristica del sistema: + KG(s)H(s) = 0. Evidentemente, la stabilità del sistema retroazionato è univocamente determinata dalla osizione nel iano comlesso dei oli della funzione di trasferimento G0(s) del sistema in anello chiuso, ossia dagli zeri (radici) dell equazione caratteristica. Per determinare se G0(s) è stabile o meno, in realtà non è necessario conoscere la osizione esatta dei oli, ma è sufficiente saere se essi si trovano o meno tutti a sinistra dell asse immaginario. Il criterio di Routh ermette di determinare se un sistema retroazionato è stabile senza dover calcolare esattamente la osizione delle radici stesse dell equazione caratteristica. Si suonga che l equazione caratteristica sia scritta nella forma olinomiale: n n n n 0 a s + a s a s+ a = 0. Il olinomio a rimo membro dell equazione caratteristica è detto olinomio caratteristico (del sistema in anello chiuso). Le sue radici sono evidentemente i oli del sistema in anello chiuso. Lemma di Routh: condizione necessaria affinché le radici dell equazione caratteristica abbiano tutte arte reale negativa è che tutti i coefficienti del olinomio caratteristico siano di segno concorde. In articolare, è facile dimostrare che il Lemma di Routh individua una condizione sia necessaria che sufficiente er l asintotica stabilità se il sistema è del secondo ordine. Mentre in generale il lemma di Routh fornisce una condizione necessaria er l asintotica stabilità di un sistema, il criterio di Routh fornisce una condizione necessaria e sufficiente. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 5

16 Il criterio di Routh si basa sulla costruzione della tabella di Routh a artire dal olinomio caratteristico del sistema in anello chiuso. La tabella di Routh si costruisce come segue. dove sn a n a n- a n-4 a n-6 sn- a n- a n-3 a n-5 a n-7 sn- b n- b n-4 b n-6 sn-3 c n-3 c n-5 b n a a a a a a a a =, = n n n n 3, b n n 4 n n 5 n 4 an an b n 6 an an 6 ana = n 7, a n c b a a b b a a b =, n n 3 n n 4 n 3 =, c n n 5 n n 6 n 5 bn bn Criterio di Routh: ad ogni variazione di segno che resentano i termini della rima colonna della tabella di Routh corrisonde una radice a arte reale ositiva dell equazione caratteristica, ad ogni ermanenza una radice a arte reale negativa. Dal criterio si uò dedurre quanto segue: condizione necessaria e sufficiente affinché le radici dell equazione caratteristica abbiano tutte arte reale negativa è che tutti i termini della rima colonna della tabella di Routh siano di segno concorde. Analogamente si ha: condizione sufficiente affinché un sistema lineare SISO temoinvariante sia instabile è che tra i termini della rima colonna della tabella di Routh ad esso associata vi sia almeno uno di segno discorde dagli altri. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 6

17 ESEMPIO r + - s(s 4s + ) y 3 Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: s(s 4s + ) G 0(s) = = s 4s + s+ 6 s(s 4s + ) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 3 s 4s + s+ 6= 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno. Per il lemma di Routh si conclude che il sistema non è asintoticamente stabile (ma otrebbe essere sia semlicemente stabile che instabile). La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s3 v s -4 v s = s0 = 6 5 =a0 Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 7

18 Si osserva che il termine resente sull ultima riga è ari ad a0. Questa è una rorietà generale della tabella di Routh. Dalla tabella di Routh si osserva che essa resenta due variazioni di segno sulla rima colonna, dunque il sistema è instabile con due oli nel semiiano destro. Infatti l equazione caratteristica si uò riformulare come segue: 3 s 4s + s + 6 = (s + )(s )(s 3) = 0 e la resenza dei oli + e +3 nel semiiano destro fa sì che il sistema sia instabile. ESEMPIO r s(s + s + 3s + 5) y Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: 5 3 s(s + s + 3s + 5) 5 0 = = G (s). 0 s + s + 3s + 5s + 0 s(s + s + 3s + 5) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 4 3 s + s + 3s + 5s + 0 = 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico sono tutti dello stesso segno. Il lemma di Routh non fornisce dunque alcuna indicazione sulla stabilità del sistema. La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 8

19 s4 3 0 s3 v s = 7 0 = s = v 7 7 s0 0=a0 Dalla tabella di Routh si osserva che essa resenta due variazioni di segno sulla rima colonna, dunque il sistema è instabile con due oli nel semiiano destro. r + - ESEMPIO 3 s(4s + 3s + 5s + ) y 0.5 Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: 3 s(4s + 3s + 5s + ) 0 = = G (s). 4s + 3s + 5s + s + s(4s + 3s + 5s + ) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 4 3 4s + 3s + 5s + s + = 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico sono tutti dello stesso segno. Il lemma di Routh non fornisce dunque alcuna indicazione sulla stabilità del sistema. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 9

20 Il criterio di Routh rimane valido anche se si moltilicano tutti i coefficienti di una riga er un coefficiente ositivo. La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s4 4 5 s3 3 s 7/3 7 3 s 5/7 5 s0 3 La tabella di Routh non resenta variazioni di segno sulla rima colonna, dunque il sistema è asintoticamente stabile, con quattro oli tutti nel semiiano sinistro. Vediamo nel seguito alcuni casi articolari di tabelle di Routh. Può accadere ad esemio che un coefficiente della rima colonna (il rimo termine di una riga) sia nullo. In tal caso esso viene sostituito con una quantità ositiva ε che oi si fa tendere a zero, e si ragiona come nel caso generale. ESEMPIO r + - s(s + 3) y Consideriamo il sistema in figura. Evidentemente il sistema in anello aerto è semlicemente stabile, con tre oli disosti sull asse immaginario. Determiniamo la funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema: Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 0

21 s(s + 3) 0 = = 3 + G (s). s + 3s+ s(s + 3) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 3 s + 3s+ = 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno (il coefficiente del termine s è nullo, quindi non è ositivo come gli altri). Per il lemma di Routh si conclude che il sistema non è asintoticamente stabile (ma otrebbe essere sia semlicemente stabile che instabile). La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s3 3 s (0) ε s 3 ε 3 v = ε ε s0 v I rimi due termini della tabella di Routh sono ositivi. Il terzo termine, invece, er ε 0 + tende al valore -, mentre il quarto è ositivo. Si deduce che la tabella di Routh resenta due variazioni di segno sulla rima colonna, dunque il sistema è instabile, con due oli a arte reale ositiva e un terzo osto nel semiiano sinistro, quindi reale negativo. Un altro caso articolare si ha quando una intera riga della tabella di Routh è nulla. Si uò dimostrare che tale situazione uò verificarsi solo er una riga disari (s, s3, ecc ) o er l ultima riga (s0), che è costituita da un solo elemento. L ultimo caso è semlice da analizzare: si ha a0=0, quindi manca il termine noto nel olinomio caratteristico. Ne consegue che il sistema in anello chiuso ha almeno un olo nullo nell origine. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

22 ESEMPIO r s + s + s y Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: = s + s + s = G (s). s + s + s s + s + s Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 3 s + s + s= 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno (il coefficiente del termine s 0 è nullo, quindi non è ositivo come gli altri). Per il lemma di Routh si conclude che il sistema non è asintoticamente stabile (ma otrebbe essere sia semlicemente stabile che instabile). La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s3 s 0 s s0 0(=a 0 ) I rimi tre termini della tabella di Routh sono ositivi. Il quarto termine, invece, è nullo.? Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente

23 Si deduce che la tabella di Routh resenta due ermanenze di segno sulla rima colonna, quindi due oli nel semiiano sinistro, e una riga (l ultima) tutta nulla. In effetti quest ultimo valore nullo indica che il sistema ha un olo in anello chiuso osto nell origine, infatti il olinomio caratteristico si fattorizza come segue: 3 s + s + s= s(s + s+ ). Pertanto i oli del sistema in anello chiuso valgono: s =0, s /3 = ± j 3. In definitiva il sistema in anello chiuso è semlicemente stabile. Nell esemio successivo consideriamo il caso in cui non solo l ultima riga si annulla ma anche una o iù righe che la recedono. Evidentemente, ciò corrisonde ad un olo in anello chiuso nell origine multilo, dunque ad un sistema instabile in anello chiuso. ESEMPIO r s s + y Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: 3 0 = s + s = 3 + s + s s 3 s + G (s). Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 3

24 Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 3 s + s = 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno (i coefficienti dei termini s e s 0 sono nulli, quindi non sono ositivi come gli altri). Per il lemma di Routh si conclude che il sistema non è asintoticamente stabile (ma otrebbe essere sia semlicemente stabile che instabile). La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s3 0 s? 0 s 0? s0 0(=a 0 ) I rimi due termini della tabella di Routh sono ositivi. Le ultime due righe sono entrambe nulle. Si deduce che la tabella di Routh resenta una ermanenza di segno sulla rima colonna, quindi un olo nel semiiano sinistro. Inoltre le ultime due righe nulle indicano che il sistema ha un olo doio in anello chiuso osto nell origine, infatti il olinomio caratteristico si fattorizza come segue: 3 s + s = s (s+ ). In definitiva il sistema in anello chiuso è instabile, avendo un olo in - e uno doio nell origine. Consideriamo ora il caso generale in cui la riga disari di numero m- sia comletamente nulla. sm b m b m- b 0 sm Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 4

25 Le variazioni e le ermanenze della rima colonna della tabella fino alla m-esima riga determinano univocamente la osizione nel iano di Gauss delle rime n-m radici dell equazione data. Le rimanenti m radici dell equazione caratteristica (e quindi le loro osizioni nel iano di Gauss) si determinano come soluzioni della seguente equazione ausiliaria: m m m m 0 b s + b s b s + b = 0. Tale equazione si uò risolvere facilmente, se essa è di ordine minore o uguale a 4, onendo z=s. Le soluzioni dell equazione ausiliaria sono un sottoinsieme delle soluzioni dell equazione caratteristica di artenza. In articolare, è ossibile dimostrare che le m radici dell equazione ausiliaria sono semre simmetriche risetto all origine del iano comlesso. Alcuni esemi sono riortati nelle figure successive. ω ω ω σ σ σ Se l equazione caratteristica è di ordine sueriore a 4, l equazione ausiliaria non è direttamente risolubile. In tal caso si determina il olinomio derivata rima del olinomio associato all equazione ausiliaria e si sostituiscono i coefficienti del olinomio derivata rima alla (m-)-esima riga tutta nulla della tabella di Routh, rocedendo nella costruzione di quest ultima e traendo le conclusioni in base al criterio di Routh. In questo caso, tuttavia, mentre le variazioni determinate a artire dalla riga originariamente nulla individuano radici nel semiiano destro, le ermanenze a artire dalla riga originariamente nulla non devono essere interretate come radici a arte reale negativa. In articolare alcune di esse raresentano radici disoste nel semiiano sinistro, altre sull asse immaginario. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 5

26 ESEMPIO r s(s + s 3s ) y Consideriamo il sistema in figura e determiniamone la funzione di trasferimento in anello chiuso: 3 s(s + s 3s ) 0 = = G (s). s + s 3s s+ s(s + s 3s ) Ponendo a zero il denominatore della funzione di trasferimento individuiamo l equazione caratteristica del sistema: 4 3 s + s 3s s+ = 0. Osserviamo reliminarmente che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno. Per il lemma di Routh il sistema non è asintoticamente stabile. Per determinare se esso sia semlicemente stabile o instabile è necessario costruire la tabella di Routh e alicare il criterio di Routh. La tabella di Routh del sistema è la seguente. s4-3 s3 - s -? s 0 s0 La riga numero si annulla comletamente, mentre la riga di ordine zero è nota, oiché essa comrende il termine noto del olinomio caratteristico. v? Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 6

27 Dall analisi dei rimi tre elementi della rima colonna si osserva che dei quattro oli in anello chiuso (l equazione caratteristica è del quarto ordine) un olo è a arte reale negativa e un altro a arte reale ositiva (vi sono una ermanenza e una variazione nella rima colonna della tabella di Routh), mentre sulla osizione degli altri due oli nel iano di Gauss non è al momento ossibile trarre conclusioni. È gia chiaro, comunque, che il sistema è instabile, avendo almeno un olo nel semiiano destro. Si osserva oi che l equazione ausiliaria vale: ossia si scrive ed ha dunque due radici in s + = 0 s = s= ±. In definitiva vi sono due oli reali negativi e due reali ositivi (er la simmetria risetto all asse reale della maa oli-zeri, e oiché due radici sono note e reali e le altre due sono disoste in due semiiani differenti, evidentemente le quattro radici sono tutte reali). Il sistema è instabile. È altresì ossibile determinare gli altri due oli, dividendo il olinomio caratteristico er il termine (s-)(s+)=(s-). Si determinano così le altre due radici, oste in - e +. Un modo alternativo di rocedere consiste nel derivare l equazione ausiliaria e sostituire nella tabella di Routh i coefficienti ottenuti alla riga nulla, continuando a determinare la rimanente arte della tabella secondo il metodo generale. In questo caso si ha: e la tabella di Routh diventa la seguente. ( ) d s 4s ds + = Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 7

28 s4-3 s3 v - s - s -4 v s0 Come revisto, si ottengono due ermanenze e due variazioni di segno sulla rima colonna: ertanto in questo caso il metodo della derivata dell equazione ausiliaria è efficace. Il sistema è instabile, avendo due oli nel semiiano destro di Gauss. Consideriamo l equazione caratteristica: ESEMPIO s + s s 3s 7s 4s 4 = 0. Osserviamo che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno. Per il lemma di Routh il sistema non è asintoticamente stabile. Procediamo con la determinazione della tabella di Routh. s s s4-3 -4? s3 0 0? s?? s? s0-4 La riga numero 3 si è annullata comletamente, mentre la riga di ordine zero è nota, oiché comrende il termine noto del olinomio caratteristico. Dall analisi dei rimi tre elementi della rima colonna si osserva che due dei sei oli in anello chiuso sono a arte reale negativa, essendoci due ermanenze. L equazione ausiliaria è? Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 8

29 4 s 3s 4= 0 che si risolve onendo z=s e ottenendo l equazione che ha due radici in Dunque le radici sono in e in z 3z 4= 0 3± z = =. s = 4 ossia s = ± s = ossia s = ± j Oltre alle recedenti quattro radici, il sistema resenta altri due oli in anello chiuso (infatti l equazione caratteristica è del sesto ordine) disosti nel semiiano sinistro er via delle due ermanenze individuate nella rima colonna della tabella di Routh. In definitiva vi sono tre oli a arte reale negativa, due a arte reale nulla e uno a arte reale ositiva. Il sistema è instabile. È altresì ossibile determinare gli altri due oli non noti, dividendo il olinomio caratteristico er il termine s 4 3s 4. Si determinano così le altre due radici, oste in -0.5±0.866j. Un modo alternativo di rocedere consiste nel derivare l equazione ausiliaria e sostituire i coefficienti ottenuti alla riga nulla. In questo caso si ha: ( ) d s 4 3s 4 4s 3 6s ds e la tabella di Routh diventa la seguente. = Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 9

30 s s s s3 4-6 s -6-6 s -00 s0-4 Si ottengono cinque ermanenze e una variazione di segno sulla rima colonna. Il sistema è instabile, avendo un olo a arte reale ositiva. In questo caso le ermanenze a artire dalla riga originariamente nulla non devono essere interretate come radici a arte reale negativa, ma come radici disoste simmetricamente risetto all origine. In questo caso si hanno infatti, oltre alle due radici a arte reale negativa corrisondenti alle rime due ermanenze effettive (-0.5±0.866j) anche la radice reale ositiva (+) corrisondente alla variazione, una ulteriore radice a arte reale negativa (-) e due oste sull asse immaginario (±j). v Consideriamo l equazione caratteristica: ESEMPIO 4 s + s + = 0. Osserviamo che i coefficienti del olinomio caratteristico non sono tutti dello stesso segno. Per il lemma di Routh il sistema non è asintoticamente stabile. Procediamo con la determinazione della tabella di Routh. s4? s3 0? 0 s? s? s0 La riga numero 3 si è annullata comletamente, mentre la riga di ordine zero è nota, oiché comrende il termine noto del olinomio caratteristico.?? Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 30

31 L equazione ausiliaria è la stessa equazione caratteristica, la cui derivata vale: ( ) d s 4 s 4s 3 4s ds e la tabella di Routh diventa la seguente. + + = + s4 s3 4 4 s s s0 Si ottengono quattro ermanenze, che non ossono essere interretate come radici a arte reale negativa, ma come radici disoste simmetricamente risetto all origine. In effetti, osservando che l equazione caratteristica è una equazione binomiale, essa si risolve facilmente onendo z=s e ottenendo l equazione che ha due radici in z / =-. Dunque si hanno delle radici doie in z + z+ = 0 s = ossia s / =+j, s 3/4 =-j. Pertanto il sistema è instabile, anche se la tabella di Routh ottenuta con il metodo della derivata dell equazione ausiliaria resenta solo ermanenze. ESEMPIO Consideriamo il sistema con equazione caratteristica: s + s + 8s + s + 0s + 6s + 6 = 0. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 3

32 Osserviamo che i coefficienti del olinomio caratteristico sono tutti dello stesso segno. Tramite il lemma di Routh non è ossibile concludere nulla sulla stabilità del sistema. Procediamo con la determinazione della tabella di Routh. s s s ? s3 0 0? s?? s? s0 6? La riga numero 3 si è annullata comletamente, mentre la riga di ordine zero è nota, oiché comrende il termine noto del olinomio caratteristico. Dall analisi dei rimi tre elementi della rima colonna si osserva che due oli sono a arte reale negativa, essendoci due ermanenze. L equazione ausiliaria è 4 s + 6s + 8= 0 che si risolve onendo z=s e ottenendo l equazione z + 6z+ 8= 0, che ha due radici in 4 z= 3± 9 8 =. Dunque le radici sono disoste in ossia s = 4 s = ± j e in Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 3

33 ossia s = s=± j In definitiva vi sono due oli a arte reale negativa e due coie di oli semlici immaginari uri. Il sistema è semlicemente stabile. È ossibile determinare gli altri due oli dividendo il olinomio caratteristico er il 4 termine s + 6s + 8. Si determinano così le altre due radici non note, oste in -±j. Deriviamo l equazione ausiliaria e sostituiamo i coefficienti ottenuti alla riga nulla. In questo caso si ha: ( ) d s 4 6s 8 4s = + s ds e la tabella di Routh diventa la seguente. s s5 6 8 s4 6 8 s3 4 3 s 3 8 s s0 6 Si ottengono sei ermanenze. Il sistema non resenta radici nel semiiano destro, non essendoci variazioni tra i segni dei coefficienti della rima colonna della tabella di Routh. Anche in questo caso le ermanenze a artire dalla riga originariamente nulla non devono essere interretate come radici a arte reale negativa, ma come radici alcune oste sul semiiano sinistro e altre oste sull asse immaginario. In questo caso si hanno aunto, oltre alle due radici a arte reale negativa corrisondenti alle rime due ermanenze effettive (-±j), quattro radici oste sull asse immaginario (±j, ± j). Il sistema è semlicemente stabile. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 33

34 ESEMPIO r + - K 4 3 s + 6s + s + 6s+ y Consideriamo il sistema in figura. La funzione di trasferimento del sistema retroazionato è: KG(s) G 0(s) =. + KG(s)H(s) L equazione caratteristica del sistema è quindi: + KG(s)H(s) = 0 ossia K + = s + 6s + s + 6s+ che in forma olinomiale diventa 4 3 s + 6s + s + 6s + (K+ ) = 0. Si vogliono determinare le rorietà di stabilità del sistema al variare del guadagno K dell amlificatore nell insieme dei numeri reali. Costruiamo la tabella di Routh del sistema. s4 K+ s3 6 6 s 0 K+ s 48-6K s0 K+ Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 34

35 Evidentemente le ermanenze e le variazioni (le osizioni dei oli del sistema nel iano di Gauss) diendono dal valore di K. Esaminiamo i segni dei coefficienti della rima colonna della tabella K K+ v - 8 v v Si hanno i seguenti casi. ) K<-. Vi sono tre ermanenze e una variazione. Il sistema è instabile con un olo nel semiiano destro. ) -<K<8. Vi sono quattro ermanenze. Il sistema è asintoticamente stabile. 3) K>8. Vi sono due ermanenze e due variazioni. Il sistema è instabile con due oli nel semiiano destro. 4) K=- Sostituendo il valore di K l equazione caratteristica diventa la seguente: 4 3 s + 6s + s + 6s= 0. Costruiamo la tabella di Routh del sistema in questo caso articolare. s4 0 s3 6 6 s 0 0 s 6 s0 0 Si hanno tre ermanenze e l ultima riga nulla, che corrisonde ad un olo nell origine, come è facile dedurre osservando il olinomio caratteristico. Il sistema è semlicemente stabile. 5) K=8 Sostituendo il valore di K l equazione caratteristica diventa la seguente: Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 35

36 4 3 s + 6s + s + 6s+ 0= 0. Costruiamo la tabella di Routh del sistema in questo ulteriore caso articolare. s4 0 s3 6 6 s 0 0 s 0 s0 0 Si hanno due ermanenze e si annulla la riga, situazione che corrisonde a due oli reali negativi e due ulteriori radici simmetriche risetto all origine del iano di Gauss. Determiniamo queste ultime con l equazione ausiliaria. che ha soluzione Il sistema è semlicemente stabile. 0s + 0 = 0 s = ± j. ESEMPIO Determinare er quali valori del guadagno K nell insieme dei numeri reali il sistema retroazionato in figura è asintoticamente stabile. Quindi si studino le rorietà di stabilità del sistema in anello chiuso al variare di K nell insieme dei numeri reali. r + - K 0(s ) s(s + )(s + 8s + 5) y L equazione caratteristica del sistema è Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 36

37 che in forma olinomiale diventa 0K(s ) + = 0 s(s + )(s + 8s + 5) Costruiamo la tabella di Routh del sistema. 4 3 s + 9s + 33s + (5+ 0K)s 0K= 0. s4 33-0K s K s 7-0K -90K (7 0K)(5 + 0K) + 80K s (7 0K) s0-0k Evidentemente le ermanenze e le variazioni (le osizioni dei oli del sistema nel iano di Gauss) diendono dal valore di K. Poiché si vogliono determinare i soli valori del guadagno K er i quali il sistema è asintoticamente stabile, si richiede che sulla rima colonna vi siano unicamente ermanenze, ossia che sia valido il seguente sistema di equazioni: ossia da cui 7 0K>0 (7 0K)(5 + 0K) + 80K>0-90K>0 7 K< 0-5K +64K+340>0 K<0 Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 37

38 5K -64K-340<0 K<0 o anche <K< K<0 da cui si deduce che il sistema è asintoticamente stabile er <K<0. 0 Nel seguito, anche se il roblema non lo richiede, analizziamo comunque er motivi didattici le rorietà di stabilità del sistema in modo comleto, analizzando singolarmente i segni dei coefficienti della rima colonna della tabella K 0(-5K +64K+340) (7 0K ) -90K Si hanno i seguenti casi. v v v v v v v ) K<. Vi sono due ermanenze e due variazioni. Il sistema è 0 instabile con due oli nel semiiano destro. ) <K<0. Vi sono quattro ermanenze. Il sistema è asintoticamente 0 stabile. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 38

39 3) 7 0<K< 0. Vi sono tre ermanenze e una variazione. Il sistema è instabile con un olo nel semiiano destro ) <K<. Vi sono tre ermanenze e una variazione. Il sistema è 0 0 instabile con un olo nel semiiano destro ) K>. Vi sono una ermanenza e tre variazioni. Il sistema è 0 instabile con tre oli nel semiiano destro. 6) K= 0 L equazione caratteristica diventa la seguente: 4 3 s + 9s + 33s s = 0. Costruiamo la tabella di Routh del sistema in questo caso articolare. s s s s 0 s I rimi tre coefficienti della equazione caratteristica sono ositivi, dunque si hanno due ermanenze e due oli a arte reale negativa. Inoltre si annulla la riga, situazione che corrisonde a due ulteriori radici simmetriche risetto all origine del iano di Gauss. Determiniamo queste ultime con l equazione ausiliaria. che ha soluzione (7-0K)s -90K=0 Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 39

40 Il sistema è semlicemente stabile. 90K s= ± =± j. (7-0K) 7) K=0 L equazione caratteristica diventa la seguente in questo caso articolare (corrisondente al caso dell anello aerto, infatti il olinomio caratteristico coincide con il denominatore della G(s)): Costruiamo la tabella di Routh del sistema. 4 3 s + 9s + 33s + 5s= 0. s s3 9 5 s 7 0 s 5 s0 0 Si hanno tre ermanenze e si annulla la riga 0, situazione che corrisonde a tre oli a arte reale negativa e ad una ulteriore radice nell origine. Il sistema è semlicemente stabile. 8) 7 K= 0 L equazione caratteristica diventa la seguente in questo caso articolare: Costruiamo la tabella di Routh del sistema. 4 3 s + 9s + 33s + 97s 7 = 0. s s s 0 ε -7 s /ε s0-7 v Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 40

41 Si hanno tre ermanenze e una variazione, il sistema è instabile. 9) K= 0 L equazione caratteristica diventa la seguente: 4 3 s + 9s + 33s s = 0. Costruiamo la tabella di Routh del sistema in questo caso articolare. s s v s s 0 s Si hanno una ermanenza e una variazione, ossia un olo a arte reale negativa e uno a arte reale ositiva. Inoltre si annulla la riga, situazione che corrisonde a due ulteriori radici simmetriche risetto all origine del iano di Gauss. Determiniamo queste ultime con l equazione ausiliaria. che ha soluzione s =0 s= ± 6.434j. Il sistema è dunque instabile, con un olo nel semiiano sinistro, uno nel semiiano destro e due oli semlici sull asse immaginario. Osserviamo che il criterio di Routh è utile er determinare la stabilità di un sistema anche al variare di iù di un arametro. Vediamo un esemio. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 4

42 ESEMPIO Sia un sistema in anello chiuso con retroazione unitaria e funzione di trasferimento del ramo diretto ari a: α G(s) = K s(s + a)(s + b) con K arametro ositivo e a, b e α coefficienti reali ositivi. Si determinino le relazioni che i arametri devono soddisfare affinché il sistema in anello chiuso sia asintoticamente stabile. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è: 3 s + (a+ b)s + (ab)s+α K= 0 e il lemma di Routh è verificato er le iotesi iniziali sui arametri del sistema. Si ottiene la seguente tabella di Routh. s3 ab s a+b αk s (a+b)ab-αk s0 αk Si osserva che il sistema è asintoticamente stabile er ossia nell intervallo (a + b)ab α K > 0 (a+b)ab 0<K<. α Il sistema si dice condizionatamente stabile risetto al arametro K, infatti esso è asintoticamente stabile solo in un certo intervallo di valori di K. Se K suera il valore limite * (a+b)ab K = α Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 4

43 il sistema diviene instabile. In articolare, er K=K* il sistema ha la seguente tabella di Routh: s3 ab s a+b (a+b)ab s 0 s0 (a+b)ab Pertanto il sistema resenta un olo reale negativo, corrisondente alla rima ermanenza nella tabella di Routh, e due oli che si ottengono dall equazione ausiliaria (la riga s si annulla): ossia che ha soluzioni in con ulsazione naturale delle radici in (a + b)s + (a + b)ab = 0 s + ab= 0 * s= ±ω j * ω = ab. Dunque er K=K* il sistema è semlicemente stabile e in risosta ad un ingresso convergente a zero si instaurano delle oscillazioni eriodiche di ulsazione ω* (risosta limitata). Inoltre er tale valore del guadagno il sistema in anello chiuso non è stabile BIBO. L utilizzo del criterio di Routh ermette dunque di determinare anche la ulsazione delle oscillazioni eriodiche che si instaurano nel sistema retroazionato in corrisondenza dei valori limite dei arametri er quanto riguarda la stabilità. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 43

44 STABILITÀ RELATIVA Utilizzando il criterio di Routh è anche ossibile individuare, in un sistema asintoticamente stabile, quanto lontane dall asse immaginario sono le radici dell equazione caratteristica, fornendo una fondamentale indicazione sui limiti di stabilità. Nei sistemi reali, infatti, le variazioni arametriche dovute all invecchiamento dei materiali o a variazioni ambientali (si ensi alle derive di temerature dei comonenti dei circuiti elettrici ed elettronici) ortano a richiedere che un sistema non solo sia asintoticamente stabile, ma anche che i suoi oli siano sufficientemente lontani dall asse immaginario, sì che a seguito di variazioni arametriche il sistema, ur otendosi i oli avvicinare all asse immaginario, resti asintoticamente stabile. Si consideri ad esemio il sistema con equazione caratteristica: 3 s + 5s + 8s+ 6= 0. La tabella di Routh associata al sistema è la seguente. s3 8 s 5 6 s 34/5 s0 6 La tabella di Routh resenta tre ermanenze sulla rima colonna, dunque il sistema è asintoticamente stabile. Suoniamo che una secifica aggiuntiva sia che il sistema abbia radici non solo tutte a arte reale negativa, ma in articolare con arte reale inferiore o uguale a σ (σ>0). È sufficiente cambiare l origine degli assi e osizionarla nel unto (-σ,0), traslando così verso sinistra l asse immaginario, e confrontando con il nuovo asse verticale la osizione delle radici. Si considera dunque la sostituzione z= s+σ s= z σ Im(z) z=0 -σ 0 Im(s) s=0 Re(s) Re(z) Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 44

45 e si studia il olinomio caratteristico, originariamente nella forma nella nuova forma a(s)=0 a(z-σ)=0 che corrisonde ad un nuovo olinomio caratteristico nella variabile z: a (z)=0. Studiando la osizione delle radici del olinomio caratteristico a (z) con il criterio di Routh, si confronta dunque la osizione delle radici del olinomio originario a(s) risetto all asse verticale s=-σ. Sia, er l esemio in studio, σ=. Poniamo dunque z=s+, da cui s=z- (infatti a s=0 corrisonde z=+). Sostituiamo nel olinomio caratteristico, ottenendo: che, doo semlici assaggi, diviene La nuova tabella di Routh è la seguente. 3 (z ) + 5(z ) + 8(z ) + 6 = 0 3 z z + = 0. z3 0 z - v z z0 La tabella di Routh nel nuovo riferimento resenta due variazioni e una ermanenza sulla rima colonna. v Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 45

46 Quindi il sistema, che è asintoticamente stabile, resenta una radice reale negativa inferiore a - e due radici reali o comlesse e coniugate con arte reale comresa tra - e 0. Evidentemente è ossibile iterare l alicazione del metodo er affinare la conoscenza della osizione dei oli del sistema. Ad esemio, si scelga ora er il sistema recedente σ=. Poniamo dunque z=s+, da cui s=z-. Sostituiamo nel olinomio caratteristico, ottenendo: che, doo semlici assaggi, diviene La nuova tabella di Routh è la seguente. 3 (z ) + 5(z ) + 8(z ) + 6 = 0 3 z + z + z+ = 0. z3 z z 0 z0 Pertanto la tabella nel nuovo riferimento resenta una ermanenza sulla rima colonna e quindi la riga z tutta nulla. Quindi gli altri due oli si ottengono risolvendo l equazione ausiliaria e quindi valgono z +=0 z / =±j ed effettuando la divisione dell equazione caratteristica er il olinomio z + si ottiene il terzo olo, disosto in z 3 =-. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 46

47 Pertanto il sistema, che è asintoticamente stabile, resenta una radice reale negativa inferiore a - e due radici comlesse e coniugate con arte immaginaria ari a e disoste sull asse Re(z)=0 (ovvero con Re(s)=- e quindi aventi arte reale ari a -). In definitiva, essendo er la trasformazione effettuata s=z-, i tre oli del sistema originario valgono: s / =-±j, s 3 =-3. Coyright 007 Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il ermesso er la riroduzione e la distribuzione del resente materiale er i soggetti rivati, alla condizione che la fonte originale e l autore siano eslicitamente 47