3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE

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1 3 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 31 Prodotti scalari Definizione 311 Sia V SV(R) Un prodotto scalare su V è un applicazione, : V V R (v 1,v 2 ) v 1,v 2 tale che: i) v,v = v,v per ogni v,v V ; ii) v,v + v = v,v + v,v per ogni v,v,v V ; iii) α v,v = αv,v per ogni α R e v v V ; iv), è definito positivo, cioè per ogni v V \{0}si ha v, v > 0 Uno spazio vettorale su k con prodotto scalare è una coppia (V,, ) ove V SV(R) e, è un prodotto scalare in V L insieme di tutti gli spazi vettoriali (risp spazi vettoriali di dimensione finita) con prodotto scalare verrà nel seguito indicato con SVPS (risp SVFPS) Per ogni v V il numero v := v, v si dice norma di v: i vettori di norma 1 si dicono versori Osservazione 312 Sia (V,, ) SVPS proprietà i) Sia v 0 V fissato Allora l applicazioni,v 0 :V R v v, v 0 Elenchiamo di seguito alcune ovvie è lineare Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione v 0, : V R v v 0,v Per questa doppia proprietà di linearità si dice spesso che il prodotto scalare è un applicazione bilineare ii) Si ha allora che 0,v = v, 0 = 0 per ogni v V : in particolare v, v = 0 se e solo se v =0 Typeset by AMS-TEX 60

2 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 61 iii) Chiaramente se W V è un sottoinsieme ha senso considerare la restrizione, W W : in particolare se W è un sottospazio (W,, W W ) SVPS Esempio 313 Siano A 3 R lo spazio geometrico con sistema di riferimento 0 ı j k, V 3 (O) lo spazio dei vettori applicati in O con base ı, j, k Allora è noto che si può definire un prodotto scalare in V 3 (O) ponendo (3131) v, w = v w cos( v w) Se v := v x ı + v y j + v z k e w := wx ı + w y j + w z k è noto anche che v, w = v x w x + v y w y + v z w z Esempio 314 Sia V := R n Sex= T (x 1,,x n )ey:= T (y 1,,y n ) si definisce prodotto scalare standard x, y := x i y i Si noti che in tal caso risulta x, y = T xy = T xi n y come prodotto di matrici La coppia (R n,, ) viene detta spazio euclideo standard Più in generale se A R n,n è una qualsiasi matrice si può considerare l applicazione f: V V R data da (x, y) T xay: tale applicazione risulta essere un prodotto scalare se e solo se A è simmetrica (perché f soddisfi la condizione i)) e definita positiva, cioè T xax > 0 per ogni x V \{0}(perché f soddisfi iv)) Per esempio, sia in R 2 T (x 1,x 2 ), T (y 1,y 2 ) =x 1 y 1 +2x 1 y 2 +2x 2 y 1 +5x 2 y 2 = T (x 1,x 2 ) ( )( ) 1 2 y1 2 5 y 2 Si noti che T (x 1,x 2 ), T (x 1,x 2 ) =x x 1 x 2 +5x 2 2 =(x 1 +2x 2 ) 2 +x Esempio 315 Più in generale siano (V,, ) SVFPS, B := (v 1,,v n ) una base di V Dati due elementi v, w V, siano x := [v] B,y := [w] B k n : ciò significa che x := n x iv i e y := n y jv j Risulta v, w = v i,v j y j x i = v 1,v 1 v 1,v 2 v 1,v n v 2,v 1 v 2,v 2 v 2,v n =(x 1,,x n ) v n,v 1 v n,v 2 v n,v n y 1 y n

3 62 31 PRODOTTI SCALARI La matrice v 1,v 1 v 1,v 2 v 1,v n v 2,v 1 v 2,v 2 v 2,v n G(B) := v n,v 1 v n,v 2 v n,v n è detta matrice di Gram dei vettori v 1,,v n Si noti che, dalla definizione di prodotto scalare, segue T G(B) =G(B), cioè G(B) è simmetrica Più in generale, se k è un campo e V,W SV(k), si può definire la matrice di Gram relativa a due basi B := (v 1,,v n )div ec:= (w 1,,w m )diw per ogni applicazione f: V W k bilineare (cioè tale che f(v + v,w)=f(v,w)+ f(v,w), f(v, w + w )=f(v, w )+f(v,w), αf(v, w) =f(αv, w) =f(v, αw) per ogni v, v,v V, w, w,w W ed α k) come f(v 1,w 1 ) f(v 1,w 2 ) f(v 1,w m ) f(v 2,w 1 ) f(v 2,w 2 ) f(v 2,w m ) G(B, C) := f(v n,w 1 ) f(v n,w 2 ) f(v n,w m ) Si ha allora f(v, w) = T [v] B G(B,C)[w] C Siano (V,, ) SVPS, v, w V \{0} Per ogni t k si ha v 2 2t v, w + t 2 w 2 = v tw, v tw 0 Il primo membro di tale trinomio non può avere radici distinte, dovendo altrimenti cambiare di segno, quindi v, w 2 v 2 w 2 0: essendo v, w > 0 segue allora la seguente disuguaglianza di Cauchy Schwartz Proposizione 316 Siano (V,, ) SVPS Per ogni v, w V (3161) v, w v w Inoltre vale l uguaglianza in (3161) se e solo se v e w sono proporzionali Dimostrazione Rimane da dimostrare la seconda affermazione Vale l uguaglianza in (3161) se e solo se l equazione v 2 2t v, w +t 2 w 2 = 0 ha soluzione, ovvero se e solo se v tw, v tw = 0 ha soluzione, sicché v = tw Osservazione 317 Siano (V,, ) SVPS i) Se v, w V \{0}allora 1 v, w v w 1: possiamo allora definire l angolo fra v e w come ( ) v, w vw := arccos v w

4 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 63 Si ha allora v, w = v w cos( vw) che generalizza la (3131) a prodotti scalari qualsiasi ii) Sempre da 316 ricaviamo la disuguaglianza triangolare: v + w 2 = v + w, v + w = v 2 + v, w + w, v + w 2 = = v 2 +2 v, w + w 2 v 2 +2 v, w + w 2 v 2 +2 v w + w 2 =( v + w ) 2 Esempio 318 Sia I := [a, b] R e si consideri nello spazio C 0 (I) l applicazione f,g := b a f(x)g(x)dx Che le proprietà i), ii) ed iii) di 311 siano soddisfatte è ovvio Inoltre il teorema della permanenza del segno per funzioni continue ci assicura che anche la condizione iv) è soddisfatta, quindi (C 0 (I),, ) SVPS In questo caso la disuguaglianza di Cauchy Schwartz diviene b b b f(x)g(x)dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx Per ogni f C 0 (I) la quantità a a b a f 2 := a f(x) 2 dx viene detta norma L 2 di f Definizione 319 Siano (V,, ) SVPS, v,v V si dicono ortogonali (o perpendicolari) se v,v = 0 ed in tal caso si scrive v v Se U V si pone U := { v V v u u U } Proposizione 3110 Siano (V,, ) SVPS, U V Allora U èun sottospazio, U (U ) e U U {0}: in particolare se U è un sottospazio allora la somma U + U è diretta Dimostrazione Ovviamente 0 U Inoltre siano v,v U Ciò significa che per ogni u U risulta v,u = v,u = 0: concludiamo che v + v,u =0per ogni u U Infine se v U ed α k risulta αv, u = α v, u = 0: concludiamo anche in questo caso che αv U Se u U per ogni v U si ha u, v = 0 dunque u (U ) Se u U U U risulta u, v = 0 per ogni v U : d altra parte da u U segue che u 2 = u, u = 0, sicché u =0 32 Ortonormalizzazione di Gram Schmidt Nel seguito chiameremo insieme di indici ogni sottoinsieme I N avente la seguente proprietà: se n I allora anche n I per ogni n <n

5 64 32 ORTONORMALIZZAZIONE DI GRAM SCHMIDT Definizione 321 Siano (V,, ) SVPS, I N un insieme di indici, v n V per n I L insieme { v n } n I V si dice ortogonale se v i v j per i, j I con i j L insieme { v n } n I V si dice ortonormale se è ortogonale ed i v i sono versori (cioè v i = v i,v i =1)peri I Esempio 322 Siano V := (R n,, ) lo spazio euclideo standard definito in 314 Allora i vettori della base canonica formano un insieme { e 1,,e n }ortonormale: in questo caso si dice anche che la base canonica C := (e 1,,e n )è una base ortonormale Esempio 323 Sia dato il prodotto scalare definito nell esempio 314 I due vettori v 1 := T (1, 0) e v 2 := T ( 2, 1) sono ortogonali Inoltre v 1 =1e v 2 = = 1: in particolare (v1,v 2 )è una base ortonormale di R 2 Esempio 324 Si consideri lo spazio V delle funzioni continue e periodiche di periodo 2π Per esempio 1, cos px, sin px V per ogni p N (si noti che sin px e cos px hanno periodo minimo 2π/p) In V definiamo f,g := 1 π π π f(x)g(x)dx : è facile verificare che, con tale definizione, (V,, ) SVPS(R) Inoltre dall analisi è noto che 1/ 2, 1/ 2 =1 { 1 se p = q 0, cos px, cos qx = 0 se p q, sin px, cos qx =0 { 1 se p = q 0, sin px, sin qx = 0 se p q, quindi l insieme { 1/ 2, cos px, sin qx } p,q N è ortonormale Esempio 325 Sia I := [ 1, 1] R e si consideri in C 0 (I) il prodotto scalare definito nell esempio 318 Abbiamo l inclusione naturale R[x] C 0 (I) È facile verificare che il sottoinsieme { x n } n N { 0 } non è ortogonale Invece se definiamo l n esimo polinomio di Legendre come P n (x) := 1 d n 2 n n! dx n (x2 1) n l insieme { P n (x) } n N { 0 } è ortogonale come verificheremo tra poco Il coefficiente 1/2 n n!è necessario perché, per motivi storici, si chiede che P n (1)=1

6 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 65 Chiaramente la definizione di P n (x) e le formule di derivazione dei polinomi ci permettono d affermare che P n (x) L(1,,x n ) \L(1,,x n 1 ), dunque i polinomi P n (x) sono linearmente indipendenti Per verificare la condizione di ortogonalità è sufficiente verificare che P n (x) è perpendicolare ad x h per ogni h =1,,n 1 Integrando per parti otteniamo 2 n n! x h,p n (x) = = 1 x h dn dx n (x2 1) n dx = 1 [x h dn 1 = h dx n 1 (x2 1) n 1 1 ] 1 1 h 1 dn 1 x dx n 1 (x2 1) n dx 1 h 1 dn 1 h x 1 dx n 1 (x2 1) n dx = Procedendo per induzione su n si ottiene infine 1 2 n n! x h,p n (x) =( 1) h d n h h! 1 dx n h (x2 1) n dx = [ ] d =( 1) h n h 1 1 h! dx n h 1 (x2 1) n =0 poiché h n 1 per ipotesi Lemma 326 Siano (V,, ) SVPS, I N un insieme di indici, { v n } n I V un insieme di vettori ortonormali Allora per ogni N I i vettori v 1,,v N sono linearmente indipendenti Dimostrazione Sia N α iv i = 0 una relazione di dipendenza lineare: allora 1 0= 0,v j = α i v i,v j = α i v i,v j =α j per ogni j =1,,N Lemma 327 Siano (V,, ) SVFPS, dim k (V )=n,{v 1,,v n } V i) B := (v 1,v n ) è una base di V ; ii) per ogni v V si ha v = n v, v i v i ; iii) v,v coincide con il prodotto scalare euclideo standard [v ] B, [v ] B in R n Dimostrazione Per definizione { v 1,,v n } V è un insieme di vettori ortonormali se e solo se { 0 se i j, v i,v j = 1 se i = j, quindi se e solo se G(B) =I n La prima affermazione segue dal fatto che per il lemma 326 i vettori v 1,,v n sono linearmente indipendenti: d altra parte dim k (V )=n, quindi v 1,,v n sono anche generatori di V

7 66 32 ORTONORMALIZZAZIONE DI GRAM SCHMIDT In particolare esistono α 1,,α n k tali che v = n α iv i Quindi v, v j = α i v i,v j = α i v i,v j =α j per ogni j =1,,n Infine se v = n x i v i, v = n x j v j risulta v,v = x iv i, x j v j = x ix j v i,v j = x ix i : l ultima quantità coincide con il prodotto scalare euclideo standard [v ] B, [v ] B in R n Il coefficiente v, v j viene spesso detto coefficiente di Fourier (di v rispetto a v j ) Esempio 328 Nello spazio euclideo standard (R 3,, ) si considerino i tre vettori v 1 := T (2, 2, 1)/3, v 2 := T (1, 2, 2)/3 ev 3 := T ( 2, 1, 2)/3 È facile verificare che l insieme { v 1,v 2,v 3 } è ortonormale Sia v := T (1, 1, 1) R 3 Allora v, v 1 =5/3, v, v 2 = v, v 3 =1/3: quindi, come è facile verificare direttamente, risulta v = 5 3 v v v 3 Il seguente metodo per costruire insiemi ortogonali di vettori è noto sotto il nome di metodo di ortogonalizzazione di Gram Schmidt Teorema 329 Siano (V,, ) SVPS, I N un insieme di indici, { v n } n I V Allora esistono vettori { e n } n I V tali che: i) { e n } n I è ortogonale; ii) L(v 1,,v N )=L(e 1,,e N ) per ogni N I I vettori e n sono unici a meno di un fattore moltiplicativo Se, inoltre, i vettori v 1,,v N sono anche linearmente indipendenti per qualche N N è possibile scegliere gli e n in modo tale che l insieme { e 1,,e N } sia ortonormale Dimostrazione Procediamo per induzione su N Scegliamo e 1 := v 1 Supponiamo poi di aver costruito e 1,,e N tali che { e 1,,e N } sia ortogonale e L(v 1,,v N )=L(e 1,,e N ) Poiché vogliamo che L(v 1,,v N+1 )=L(e 1,,e N+1 ) dobbiamo scegliere un opportuno e N+1 L(v 1,,v N+1 )=L(e 1,,e N,v N+1 ) ortogonale su tutti i vettori e 1,e N : dunque stiamo cercando α 1,α N k tali che v N+1 + α i e i,e j =0, j =1,,N

8 Allora deve essere 0= v N+1 + SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 67 α i e i,e j = v N+1,e j + α i e i,e j = v N+1,e j +α j e j,e j Se allora e j 0 segue che α j = v N+1,e j / e j,e j Se e j = 0 si può invece scegliere α j =0 Se { e n } n I sono altri vettori aventi le proprietà i) ed ii) segue che e 1,e 1 L(v 1 ), dunque e 1 ed e 1 sono proporzionali Inoltre essendo L(e 1,,e N)=L(v 1,,v N )=L(e 1,,e N ), L(e 1,,e N+1) =L(v 1,,v N+1 )=L(e 1,,e N+1 )=L(e 1,,e N,e N+1) segue che e N+1,e j =0per,,N, ed anche che e N+1 = N α ie i + α N+1 e N+1 Allora 0= e N+1,e j = α i e i,e j =α j e j,e j, quindi o e j,e j = 0, da cui segue e j = 0, ovvero α j = 0: concludiamo dunque e N+1 = α N+1e N+1 Chiaramente se i v n sono linearmente indipendenti si ha L(e 1,,e N )=L(v 1,,v N ) L(v 1,,v N+1 )=L(e 1,,e N+1 ), quindi e 1,,e N sono anch essi linearmente indipendenti, sicché sono necessariamente non nulli Pertanto è possibile rimpiazzare sempre e j con e j / e j Si noti che ej e j, e j = 1 e j e j 2 e j,e j = e j,e j e j,e j, quindi l insieme costruito in questo modo è ortonormale Se W V è un sottospazio di dimensione finita, diciamo dim k (W ) = N, il metodo di Gram Schmidt ci permette di costruire un insieme ortonormale di vettori { e n } n N V in modo tale che (e 1,,e N ) sia base di W Infatti scegliamo una base (v 1,,v N )diw e, induttivamente, costruiamo un insieme di vettori linearmente indipendenti { v n } n N V, applicando poi il metodo di Gram Schmidt ad esso: poiché sihal(v 1,,v n )=L(e 1,,e n ) per ogni n, segue che (e 1,,e N )è una base di W Abbiamo quindi dimostrato il seguente corollario Corollario 3210 Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio di dimensione finita i) W ha una base ortonormale

9 68 32 ORTONORMALIZZAZIONE DI GRAM SCHMIDT ii) Se anche V ha dimensione finita ogni base ortonormale di W può essere completata a base ortonormale di W Esempio 3211 In R 3 con il prodotto scalare standard consideriamo i tre vettori v 1 := T (1, 1, 0), v 2 := T (2, 0, 1), v 3 := T (1, 0, 1) Allora è facile verificare direttamente che G(B) = Vogliamo applicare il metodo di Gram Schmidt sopra descritto all insieme di vettori { v 1,v 2,v 3 } per ottenere un insieme di vettori ortogonale { e 1,e 2,e 3 } A tale scopo scegliamo e 1 := v 1 := T (1, 1, 0) Sia poi e 2 := v 2 +αe 1 : si deve avere 0 = e 2,e 1 = v 2,e 1 +α e 1,e 1 Concludiamo che α = v 2,e 1 / e 1,e 1 = 1, sicché e 2 = T (1, 1, 0) T (2, 0, 1) = T ( 1, 1, 1) Infine scegliamo e 3 := v 3 + α 2 e 2 + α 1 e 1 : si deve avere 0 = e 3,e 2 = v 3,e 2 + α 2 e 2,e 2 e0= e 3,e 1 = v 3,e 1 +α 1 e 1,e 1 Possiamo allora concludere che α 2 = v 3,e 2 / e 2,e 2 =2/3eα 1 = v 3,e 1 / e 1,e 1 = 1/2, sicché e 3 = T (1, 0, 1)+2/3 T ( 1,1, 1) 1/2(1, 1, 0) = 1 6 T ( 1, 1, 2) Posto, infine, e 1 := T (1, 1, 0)/ 2, e 2 = T ( 1, 1, 1)/ 3, e 3 = T ( 1, 1, 2)/ 6, è facile verificare che l insieme { e 1,e 2,e 3 } è ortonormale 33 Proiezioni ortogonali Iniziamo questo paragrafo ricordando cosa si intende per proiezione ortogonale di un vettore geometrico lungo una retta nello spazio geometrico A 3 R Esempio 331 Siano A 3 R lo spazio geometrico con sistema di riferimento 0 ı j k, V 3 (O) lo spazio dei vettori applicati in O con base ı, j, k Sia r una retta e sia v V 3 (O) un vettore non nullo Cosa significa calcolare la proiezione ortogonale p r ( v) di vlungo la direzione di r? Intuitivamente possiamo procedere come segue Sia r la retta per O parallela ad r Se v= OP consideriamo il piano π per P perpendicolare a r: sep =π r allora è naturale porre p r ( v) := OP Si noti che con tale definizione p r ( v) v p r ( v) Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio, v V Viene allora naturale definire proiezione ortogonale di v su W un qualsiasi w W tale che v w W Supponiamo che w,w W siano entrambi proiezioni ortogonali di v Allora w w W : d altra parte, per definizione, si ha anche w w =(v w ) (v w ) W Quindi w w W W = { 0 }, cioè la proiezione ortogonale di v, se esiste, è unica Ha quindi senso dare la seguente

10 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 69 Definizione 332 Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio, v V La proiezione ortogonale di v su W è, se esiste, l unico vettore p W (v) tale che v p W (v) W Osservazione 333 Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio, v V Elenchiamo alcune proprietà notevoli della proiezione i) p W (v) esiste e si ha p W (v) = 0 (risp p W (v) =v) se e solo se v W (risp v W ) ii) Supponiamo che esista p W (v) Allora esiste anche p W (v) e risulta p W (v) = v p W (v) Infatti basta verificare che v p W (v) (W ), il che è evidente poiché da 3110 segue che v p W (v) =p W (v) W (W ) Non è detto che la proiezione ortogonale di un vettore esista, né che sia facile calcolarla a partire dalla definizione Il seguente risultato ci viene in aiuto almeno nel caso in cui W abbia dimensione finita Proposizione 334 Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio di dimensione finita, B := (w 1,,w N ) una base ortonormale di W Allora per ogni v V esistono p W (v) e p W (v) esiha p W (v)= v, w i w i, p W (v)=v v, w i w i Dimostrazione Dimostriamo la prima eguaglianza verificando che v = v, w i w i W ovvero che v v, w i w i, α j w j =0 per ogni scelta di T (α 1,,α N ) R N Si ha infatti v v, w i w i, α j w j = v, α j w j v, w i w i, α j w j = = α j v, w j v, w i α j w i,w j La tesi allora segue ricordando che la base B è, per ipotesi, ortonormale La seconda eguaglianza segue dalla prima e da 333 ii) Facciamo ora alcuni esempi notevoli

11 70 33 PROIEZIONI ORTOGONALI Esempio 335 Riprendiamo l esempio 331 Per calcolare la proiezione ortogonale di v lungo la direzione di r è sufficiente considerare un versore u parallelo ad r: allora p r ( v) = v, u u, p r ( v) = v v, u u Infatti Per esempio sia x = t r : y =1+2t z=3 2t e v= ı+ j+ k Il versore u =( ı+2 j 2 k)/3è parallelo ad r, dunque p r ( v) = u/3 e p r ( v) =(8 ı+7 j +11 k)/9 Esempio 336 Si consideri lo spazio euclideo standard (R n,, ): come visto nell esempio 322 la base canonica (e 1,,e n )è un insieme ortonormale Se W := L(e 1,,e h ) allora p W ( T (x 1,,x n ))=(x 1,,x h,0,,0), p W ( T (x 1,,x n ))=(0,,0,x h+1,,x n ) Esempio 337 Nello spazio euclideo standard (R 4,, ), si considerino il sottospazio W := L( T (1, 0, 1, 0), T (1, 1, 1, 1)) ed il vettore v := T (1, 1, 1, 0): vogliamo calcolare p W (v) ep W (v) A tale scopo iniziamo a calcolare una base ortonormale di W Applicando il metodo di Gram-Schmidt otteniamo B := (v 1,v 2 ) ove v 1 := T (1/ 2, 0, 1/ 2, 0), v 2 := T (0, 1/ 2, 0, 1/ 2) Allora p W (v) = v, v 1 v 1 + v, v 2 v 2 =2/ 2v 1 +1/ 2v 2 = T (1, 1/2, 1, 1/2), p W (v) =v p W (v)=(0,1/2,0, 1/2) Esempio 338 Si consideri lo spazio (V,, ) SVPS definito nell esempio 324 Per ogni n N definiamo il sottospazio W n := L(1/ 2, cos px, sin px p = 1,,n) Se f V allora Posto a 0 := 1 π π p Wn (f) = 1 1 2,f 2 + = 1,f 2 + π f(x)dx, a p := 1 π ( cos qx, f + sin qx, f ) = q=1 ( cos qx, f + sin qx, f ) q=1 π π f(x) cos pxdx, b p := 1 π π π f(x) sin pxdx,

12 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 71 si ha allora p Wn (f) =a 0 /2+ (a q cos qx + b q sin qx) q=1 La serie a 0 /2+ + q=1 (a q cos qx + b q sin qx) viene detta serie di Fourier di f La teoria delle serie di Fourier si applica più in generale a qualsiasi funzione periodica, non necessariamente continua Proposizione 339 Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio di dimensione finita Le applicazioni p W,p W :V V sono proiezioni nel senso di 226 Inoltre ker(p W ) = im(p W )=W,im(p W )=ker(p W )=W Dimostrazione Innanzi tutto p W e p W sono endomorfismi Infatti p W = C B (,w 1,,,w N ) ove (,w 1,,,w N ): V R N è stata definita in 119 e C B : R N V in 117: in particolare come composizione di applicazioni lineari p W Hom R (V,V )= End R (V ) Poiché End R (V ) SV(R) eid V,p W End R (V ) allora segue anche che p W =id V p W End R (V ) Risulta poi p 2 W (v) =p W ( v, w i w i )= = v, w i p W (w i )= v, w i ( w i,w j w j )= v, w i w i = p W (v) Inoltre poiché id V commuta con p W segue che p 2 W (v) =v 2p W (v)+p 2 W(v)= =v 2p W (v)+p W (v)=v p W (v)=p W (v) Le identità sul nucleo e l immagine di p W e p W seguono da 333 i) Corollario 3310 Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio di dimensione finita Risulta V = W W, W =(W ) Dimostrazione Chiaramente W W V : da 333 ii) segue poi che v = p W (v)+ p W (v) W W, sicché V W W, dunque V = W W (o anche ricordando che da 226 segue V = im(p W ) ker(p W )) Sappiamo già chew (W ) Se v (W ) allora p W (v) = 0 da 332 i): essendo v = p W (v)+p W (v) segue v = p W (v) W Concludiamo il paragrafo con una caratterizzazione della proiezione ortogonale in termini di soluzione di un opportuno problema di minimo

13 72 33 PROIEZIONI ORTOGONALI Proposizione 3311 Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio, v V e supponiamo che p W (v) esista Allora p W (v) = v p W (v) v w w W e vale l uguaglianza se e solo se w = p W (v) Dimostrazione Innanzi tutto osserviamo che se w W allora p W (v) w p W (v) Quindi, essendo v w = p W (v)+(p W (v) w), segue v w 2 = p W (v)+(p W (v) w) 2 = p W (v) 2 + p W (v) w 2 Poiché v w, p W (v), p W (v) w sono quantità non negative segue che p W (v) v w e vale l eguaglianza se e solo se p W (v) w = 0 ovvero se e solo se w = p W (v) Osservazione 3312 Siano (V,, ) SVPS, W V un sottospazio, v V Allora abbiamo la funzione f v : W R definita da w v w : la proposizione precedente afferma che p W (v) è l eventuale unico punto di minimo di f v, in particolare la proiezione ortogonale risolve un problema di minimo 34 Diagonalizzazione e triangolarizzazione ortogonali Siano (V,, ) SVFPS, B := (v 1,,v n ), B := (v 1,,v n) basi di V Allora è definita la matrice del cambiamento di base P := MB B (id V ) Le colonne di P := (p i,j ) sono date da [v 1] B,,[v n] B Supponiamo ora che B sia ortonormale Allora B è anch essa ortonormale se e solo se δ i,j = v i,v j = p i,h p h,j, cioè se e solo se P T P = I n Ciò accade se e solo se P 1 = T P, ovvero anche se e solo se T PP = I n Definizione 341 P R n,n si dice ortogonale se P T P = T PP = I n h=1 Supponiamo che P R n,n sia ortogonale Allora 1 = det(i n ) = det( T PP) = det( T P ) det(p ) = det(p ) 2 Abbiamo dunque dimostrato la seguente Proposizione 342 Se P R n,n è ortogonale allora P è invertibile, P 1 = T P e det(p )=±1

14 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 73 Definizione 343 Sia P R n,n ortogonale P si dice speciale se det(p )=1 non speciale det(p )= 1 Esempio 344 Determiniamo le matrici ortogonali d ordine 2 Sia ( ) p1,1 p P := 1,2 R 2,2 p 2,1 p 2,2 ortogonale La condizione P T P = I 2 si traduce allora nel sistema p 2 1,1 + p 2 1,2 =1 p 1,1 p 2,1 +p 1,2 p 2,2 =0 p 2 2,1+p 2 2,2 =1 La prima e la terza equazione implicano l esistenza di ϑ, ϕ [0, 2π] tali che p 1,1 = cos ϑ, p 1,2 = sin ϑ, p 2,1 = sin ϕ, p 2,2 = cos ϕ La seconda equazione è allora equivalente a 0 = cos ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϕ = sin(ϕ ϑ) In particolare, a meno di multipli di 2π, si deve avere o ϕ = ϑ ovvero ϕ = ϑ + π Nel primo caso ( ) cos ϑ sin ϑ P :=, sin ϑ cos ϑ (in tal caso P è ortogonale speciale) nel secondo ( ) cos ϑ sin ϑ P := sin ϑ cos ϑ (in tal caso P è ortogonale non speciale) Diamo ora un interpretazione geometrica delle matrici ortogonali speciali Consideriamo in A 2 R due sistemi di riferimento O ı j, O ı j e sia ϑ l angolo misurato in senso antiorario fra i versori ı e ı Allora si deve avere ı = a ı + b j, j = c ı + d j : poiché( ı, j)è una base ortonormale di V 2 (O) i coefficienti a, b, c, d sono, nell ordine, i prodotti scalari ı, ı = cos ϑ, ı, j = sin ϑ, j, ı = sin ϑ, j, j = cos ϑ Se ora considero v = x ı + y j = x ı + y j è facile verificare che ( ) x y ( cos ϑ sin ϑ = sin ϑ cos ϑ )( x y Concludiamo che le matrici ortogonali speciali corrispondono alle rotazioni nel piano Per questo nel spesso indichiamo con R ϑ la matrice ( ) cos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ Un analoga interpretazione può essere data per matrici ortogonali in R n,n con n 3 )

15 74 34 DIAGONALIZZAZIONE E TRIANGOLARIZZAZIONE ORTOGONALI Esempio 345 Le matrici di R 3,3 P 1 := , P 2 := , sono ortogonali: la prima è speciale, la seconda non speciale Con le notazioni e le ipotesi sopra introdotte sia ora f End R (V ): allora da (216) MB B (f) =P 1 MB B B (f)p ovvero MB (f)emb B (f) sono ortogonalmente (se k = R) simili nel senso della seguente definizione Definizione 346 A, B R n,n si dicono ortogonalmente simili se esiste P GL n (R) ortogonale e tale che B = P 1 AP Si noti che se P è ortogonale allora P 1 AP = T PAP Siano (V,, ) SVFPS, f End R (V ) Supponiamo che tutte le radici di p f (t) siano in R Allora f è triangolarizzabile su R (si veda 2415): sia B := (v 1,,v n ) una base a ventaglio per f Applicando il metodo di Gramm-Schmidt a B si ottiene una nuova base ortonormale C := (w 1,,w n ) tale che w i L(v 1,,v i ), per i =1,,n Allora L(w 1,,w i )=L(v 1,,v i )e f(w i ) f(l(v 1,,v i )) = L(f(v 1 ),,f(v i )) L(v 1,,v i )=L(w 1,,w i ) per i =1,,n: concludiamo che anche C è una base a ventaglio (e, di più, è ortogonale) Teorema 347 Siano (V,, ) SVFPS, f End R (V ) triangolarizzabile Allora f è triangolarizzabile mediante una base ortonormale Corollario 348 Sia A R n,n triangolarizzabile Allora A è ortogonalmente simile ad una matrice triangolare superiore Più complesso è il problema della diagonalizzazione mediante basi ortonormali Siano (V,, ) SVFPS, f End R (V ) diagonalizzabile mediante una base ortonormale B: si consideri la matrice diagonale A := MB B (f) Sia poi C un altra base ortonormale: poniamo P := MB C(id V ), B := MC C (f) Da (216) segue che B = M C C (f) =M C B(id V ) 1 M B B (f)m C B(id V )=P 1 AP = T PAP In particolare dal fatto che A è simmetrica, perché diagonale, segue che anche B è simmetrica: infatti T B = T ( T PAP)= T P T AP = T PAP = B Abbiamo perciò dimostrato che se f è diagonalizzabile mediante una base ortonormale allora la matrice di f rispetto ad una qualsiasi base ortonormale è simmetrica Nel seguite paragrafo vogliamo studiare come invertire la proposizione di cui sopra

16 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Endomorfismi autoaggiunti Proposizione 351 Siano (V,, ) SVFPS, f End R (V ) Le seguenti affermazioni sono equivalenti i) f(v ),v = v,f(v ) per ogni v,v V ii) Se B := (v 1,,v n ) è una base di V allora f(v i ),v j = v i,f(v j ) per ogni i, j =1,,n iii) Se B è una base ortonormale di V allora MB B (f) è simmetrica Dimostrazione i) implica ii) banalmente Verifichiamo che ii) implica iii) Sia A := MB B(f) Se B := (v 1,,v n ), allora f(v j )= n a i,jv i : d altra parte 327 ii) implica anche f(v j )= a i,j v j = f(v j ),v i v i Concludiamo allora che a i,j = f(v j ),v i = v j,f(v i ) = f(v i ),v j =a j,i ovvero A è simmetrica Verifichiamo, infine, che iii) implica i) Siano v := n x i v i, v := n x j v j: allora f(v ),v = f( = x iv i ), Ciò conclude la dimostrazione x j v j = x ix j v i,f(v j ) = x ix j f(v i ),v j = x iv i,f( x j v j ) = v,f(v ) In forza delle proposizioni precedenti ha senso ha senso introdurre la seguente nozione di endomorfismo autoaggiunto Definizione 352 Sia (V,, ) SVPS f End R (V ) si dice autoaggiunto se e solo se f(v ),v = v,f(v ) per ogni v,v V Osservazione 353 Sia (V,, ) SVPS i) id V, 0 V,V End R (V ) sono ovviamente autoaggiunti ii) È facile verificare che se f,g End R(V ) sono autoaggiunti tali sono anche f + g, αf per ogni α R: in particolare il sottoinsieme di End R (V ) costituiti dagli endomorfismi autoaggiunti è un sottospazio Se (V,, ) SVFPS e B è una sua base ortonormale, allora l applicazione M B B : End R(V ) R n,n induce un isomorfismo fra il sottospazio degli endomorfismi autoaggiunti ed il sottospazio delle matrici simmetriche iii) Si consideri lo spazio euclideo standard (R n,, ) La base canonica C è una base ortonormale e risulta A = M C C (µ A) per ogni A R n,n : segue che A è simmetrica se e solo se µ A è autoaggiunto

17 76 31 ENDOMORFISMI AUTOAGGIUNTI iv) Sia W V un sottospazio, f End R (V ) autoaggiunto Se f(w ) W allora f W End R (W )è autoaggiunto rispetto al prodotto scalare, W W Esempio 354 Siano V SVPS, W V un suo sottospazio di dimensione finita, sicché sono definiti p W,p W End R (V ): allora p W e p W sono autoaggiunti Dimostriamo la tesi per p W :siha p W (v ),v = p W (v ),p W (v )+p W (v ) = = p W (v ),p W (v ) + p W (v ),p W (v ) : poiché p W (v ) W e p W (v ) W, risulta p W (v ),v = p W (v ),p W (v ) Procedendo in maniera del tutto analoga si dimostra anche che v,p W (v ) = p W (v ),p W (v ), dunque p W (v ),v = v,p W (v ) Esempio 355 Siano (V,, ) SVFPS, u V un versore (cioè u = 1) Si consideri H u := id V 2,u u End k (V ) H u viene detto endomorfismo di Householder relativo ad u H u è autoaggiunto: infatti H u (v ),v = v 2 v,u u, v = v,v v,u u, v Similmente v,h u (v ) = v,v 2 v,u u = v,v v,u v,u Dalla commutatività di, segue allora che H u (v ),v = v,h u (v ) H u ha un importante interpretazione geometrica Infatti siano V 3 (O) lo spazio dei vettori applicati in O,, il prodotto scalare fra vettori geometrici, u V 3 (O) un versore Allora H u è la simmetria rispetto al piano per O perpendicolare ad u Desideriamo sottolineare ancora una volta che la restrizione di MB B allo spazio endomorfismi autoaggiunti ha per immagine lo spazio delle matrici simmetriche solo se B è una base ortonormale, come mostra il sehguente esempio Esempio 356 Siano V := R 1 [x] con il prodotto scalare in V definito da Sia poi p, q := 1 1 p(x)q(x)dx f: V V a + bx b + ax Posto B := (1,x), chiaramente M B B = ( ) 0 1, 1 0

18 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 77 ma f non è antiautoaggiunto Infatti f(1),x = x, x = =2/3 2= x 2 dx = 1 dx = 1, 1 = 1,f(x) : all esempio in esame non si può applicare 351 in quanto B non è ortonormale (per esempio 1, 1 = 1 xdx = 2) 1 Lemma 357 Siano (V,, ) SVFPS, f End R (V ) autoaggiunto i) Tutte le radici di p f (t) sono in R ii) Autospazi associati ad autovalori distinti sono ortogonali Dimostrazione Dimostriamo i) Sia λ una radice qualsiasi di p f (t) Fissiamo una base ortonormale B di V : allora A := MB B(f) Rn,n è simmetrica Esiste z C n \{ 0 }, soluzione di Az = λz Possiamo scrivere λ = a + bi, z = x + iy ove a, b R, x, y R n Allora l equazione Az = λz diviene Ax + iay = ax by + i(ay + bx), da cui segue necessariamente Ax = ax by e Ay = ay + bx Poiché la simmetria di A implica T yax = T xay, otteniamo 0= T yax + T xay = T y(ax by)+ T x(ay + bx) =b( x 2 + y 2 ) Essendo z 0 segue che x 2 + y 2 0, sicché b =0 Dimostriamo ii) Siano λ,λ sp R (f): per ogni scelta di v E f (λ ), v E f (λ )siha λ v,v = λ v,v = f(v ),v = v,f(v ) = v,λ v = λ v,v Quindi (λ λ ) v,v =0: seλ λ 0 otteniamo v,v = 0 e la tesi segue dall arbitrarietà div ev Siamo ora finalmente in grado di completare la dimostrazione del seguente teorema, detto Teorema degli assi principali (il nome deriva dalla sua fondamentale applicazione geometrica nell ambito della teoria delle quadriche) Teorema 358 Siano (V,, ) SVFPS, f End R (V ) Le seguenti affermazioni sono equivalenti i) f è autoaggiunto ii) f è diagonalizzabile ed i suoi autospazi sono a due a due ortogonali iii) f è diagonalizzabile mediante una base ortonormale Dimostrazione Dimostriamo che i) implica ii) Sia f autoaggiunto e dimostriamo che è diagonalizzabile: ciò basta a dimostrare ii) grazie a 358 ii) Se sp R (f) = {λ 1,,λ p } poniamo W := E f (λ 1 )+ + E f (λ p ) V e consideriamo la decomposizione V = W W Chiaramente f W End R (W ): vogliamo verificare