PARTE I Accordi e note
LE NOTE e le loro frequenze
Cosa sono i suoni Chiamiamo suono una vibrazione periodica della pressione atmosferica vicino alle nostre orecchie. 0,8 0,6 0, 0, 0-0, 0 6 8 10-0, -0,6-0,8 L altezza dei suoni viene misurata in Hertz [Hz].
Alcuni esempi: 6 8 106 11 0 660 10 60 96 79 18 168 Oltre alle frequenze, contano i rapporti 0 0 0 0 0 = 0 1. = 1.
6 8 79 106 10 18 188 11 (6x1) (6x) (6x) (6x) (6x) (6x6) (6x7) (6x8) :1 : : : 6: ottava quinta quarta terza maggiore terza minore
Riportiamo tutti i rapporti al do centrale 8 = 6 1 96 = 6 = 6 0 = 6 16. 8 = 6 6 ottava quinta quarta terza maggiore terza minore DO-MI-S0L formano l accordo cardine. 1
TEMPERAMENTO PURO Le note
Per determinare le frequenze del temperamento puro, usiamo l accordo maggiore, con la sua terna 1 in cui spicca /, come rapporto tra una nota e la sua quinta superiore.
1
Osserviamo che il DO e` una quinta sopra il FA 1 1
1 8 9 9 = : 8 1 9 8 9 1 9 8 1 Prolungando la scala, costruiamo l ultimo accordo.
6 1 16 9 1 1 8 8 9 8 DO RE MI FA SOL LA SI DO 6 97 0 96 0 9 8 9 1 6 6 = 97 6 = 0 6 = 6 = 96 6 = 0 6 = 9 = 8 8 8
TEMPERAMENTO PURO Gli accordi
1 8 1 8 9 9 8 6 16 1 Accordo maggiore Accordo minore 1 1 6 6 1 6
6 1 16 9 1 1 8 8 9 8 Tritono
Accordi maggiori: DO-MI-SOL 1 FA-LA-DO 1 SOL-SI-RE 1 8 9 1
Accordi minori: LA-DO-MI 6 1 MI-SOL-SI 1 8 6 1 RE-FA-LA 9 8 8 9 1 7 0 7 6 = 0 1. ; = 1. ; = 118. ; = 1. 81. 7 7
9 1 1 8 8 SEMITONI: MI-FA = 16 1 SI-DO = 1 8 16 1
9 1 1 8 8 TONI: DO-RE RE-MI FA-SOL SOL-LA 9/8 10/9 9/8 10/9 = 1 8 = 9 8 9 8 = = 10 9 LA-SI 9/8
6 1 16 9 1 1 8 8 9 8 DO-MI-SOL FA-LA-DO SOL-SI-RE
6 1 16 9 1 1 8 8 9 8 LA-DO-MI MI-SOL-SI RE-FA-LA
Confrontiamo gli accordi: LA-DO-MI MI-SOL-SI 6 1 Esaminiamo i gradi corrispondenti: 6 7 = 0 7 81 80 Potremmo abbassare il RE: = RE-FA-LA 1 7 Comma sintonico 9 8 81 80 = 10 9 0 7
Una soluzione: abbassare il RE Se lo abbassiamo di un comma sintonico, la nuova frequenza sara` (rispetto al DO) 9 8 81 80 = 10 9 Si passa da 97 Hz a 9. Hz Confrontiamoli con il DO Cofrontiamoli fra loro
prima: dopo: Il RE compare in: RE-FA-LA SI-RE-FA 10 1 1 9 8 SOL-SI-RE 0 9 prima dopo
Ricapitolando, abbiamo diversi tipi di tono: Tono grande : = 1. 1 Tono piccolo : = 1. 111 ed inoltre 9 8 10 9 16 1 16 1 due semitoni: = 1. 18
TEMPERAMENTO PITAGORICO
Nel temperamento pitagorico, l unico intervallo ammesso era quello di quinta, con il rapporto 1.
+ 1 ottava - 1 ottava - -1 ottava ottave - ottave 1 9 7 8 81 16 1 9 8 81 6 7 16 18
Confrontiamo la scala pura e quella pitagorica: nota pura pitagorica rapporto DO 1 6 1 6 RE 9/8 97 9/8 97 MI / 0 81/6.1 81/80 FA / / SOL / 96 / 96 LA / 0 7/16.0 81/80 SI 1/8 9 /18 01.19 81/80 In contemporanea:
Confrontiamo toni e semitoni pura: pitagorica: I toni valgono tutti 9/8 I semitoni valgono entrambi 6/=1.0 (nella scala pura valevano 16/1=1.0666)
Confrontiamo gli accordi DO-MI-SOL RE-FA-LA MI-SOL-SI FA-LA-DO SOL-SI-RE LA-DO-MI SI-RE-FA Temperamento puro Temperamento pitagorico
Un problema ancora piu` grave Il circolo delle quinte do sol re la mi si fa# do# sol# re# la# fa do dodici quinte equivalgono a sette ottave 1 7 19. 7 18
TEMPERAMENTO MESOTONICO
Considerazione: una terza (maggiore) si ottiene salendo di quattro quinte e scendendo di due ottave: - ottave + quinte
Nel temperamento pitagorico 81 6 81 : : 81 16 1 9 7 8 81 16 La terza cosi` ottenuta 81 e` piu` grande di un 6 81 = comma sintonico: 80
Nel temperamento mesotonico si riduce la quinta, affinche la terza sia una terza pura: : : 1 α [ α ] α α [ α ] [ α ] [ α ] α α = α = = 1. 9
Nel temperamento mesotonico, la terza maggiore vale /, mentre la quinta vale α, con α = = 1.9, per determinare la scala, usiamo lo stesso metodo usato per la scala pura, ci basiamo sull accordo maggiore, i cui valori sono 1 α.
1 α
Ricordiamo che il DO e` una quinta sopra il FA α α 1 α 1 α α α α
Prolungando la scala, costruiamo l ultimo accordo. 1 α α α α α α 1 α [ α ] α α α α α : =
Confrontiamo le scale che abbiamo trovato: 01.19.0 96.1 97 6 1.898 1.687 1. 1. 1.66 1.1 1 pitagorica 1.869 1.6719 1.9 1.7 1. 1.1180 1 1.87 1.6667 1. 1. 1. 1.1 1 8 9 SI 1.7 0 LA 9.77 96 SOL.09 FA 0 0 MI 9.16 97 RE 6 6 DO mesotonica pura nota pura-pitagorica pura-mesotonica
Confrontiamo gli accordi DO-MI-SOL (do maggiore) RE-FA-LA (re minore) MI-SOL-SI (mi minore) FA-LA-DO (fa maggiore) SOL-SI-RE (sol maggiore) LA-DO-MI (la minore) SI-RE-FA ( ) puro Temperamento pitagorico mesotonico
Un problema che si ripresenta Il circolo delle quinte do sol re la mi si fa# do# sol# re# la# fa do Temperamento pitagorico 1 7 19. 7 18 Temperamento mesotonico 7 α 1 1 18
Confrontiamo i valori Temperamento pitagorico 19. 7 18 = 1. 016 Comma pitagorico Temperamento mesotonico 1 18 = 0. 9766 Partiamo dal DO centrale, saliamo di dodici quinte e scendiamo di sette ottave Temperamento pitagorico Temperamento mesotonico 6 67. 6 6 7. 8
Un problema ulteriore Due terze maggiori: MI-SOL# LAЬ-DO Scala pura e mesotonica Scala pitagorica SOL# 1.6 1.6018 LAЬ 1.6 1.80
TEMPERAMENTO EQUABILE
Una nuova unita` di misura: il cent; un semitono (qualsiasi semitono) e` composto da 100 cent; un ottava (che consta di 1 semitoni) e` pertanto composta da 100 cent. 100 Quindi: 1 cent = 1 1 semitono = 100 cent = = 1. 096
Costruiamo la tabella un tono semitoni [ 1 ] = 1. 1 terza minore terza maggiore quarta quinta semitoni semitoni semitoni 7 semitoni [ 1 ] = 1. 189 [ 1 ] = 1. 99 [ 1 ] = 1. 8 [ 1 ] 7 = 1. 98
Confrontiamo le scale (a - i rapporti) nota pura pitagorica mesotonica equabile DO 1 1 1 1 RE 1.1 1.1 1.1180 1.1 MI 1. 1.66 1. 1.99 FA 1. 1. 1.7 1.8 SOL 1. 1. 1.9 1.98 LA 1.6667 1.687 1.6719 1.6818 SI 1.87 1.898 1.869 1.8877
Confrontiamo le scale (b le frequenze) nota pura pitagorica mesotonica equabile DO 6 6 6 6 RE 97 97 9.16 96. MI 0.1 0.6 FA.09.0 SOL 96 96 9.77 9. LA 0.0 1.7.99 SI 9 01.19 8 98.7 pura-pitagorica pura-mesotonica pura-equabile
Confrontiamo gli accordi DO-MI-SOL (do+) RE-FA-LA (re-) MI-SOL-SI (mi-) FA-LA-DO (fa+) SOL-SI-RE (sol+) LA-DO-MI (la-) SI-RE-FA ( ) Temperamento puro pitagorico mesotonico equabile
PARTE II
J.S. BACH SIMMETRIE GIOCHI ARITMETICI
Canoni Struttura: ABCDEFGHILMNOPQRST ABCDEFGHILMNOPQ ABCDEFGHILMN ABCDEFGHI Un esempio particolare:
Fughe a specchio (inizio)
Fughe a specchio (continuazione)
Aritmetica e lettere A B C D E F G H I J K L M 1 6 7 8 9 10 11 1 1 N O P Q R S T U V W X Y Z 1 1 16 17 18 19 0 1 6 Qualche esempio: BACH : +1++8=1 J.S. BACH : 9+18++1++8=1
Le Variazioni di Goldberg Aria Var. 1 Var. Var. canone alla prima Var. Var. Var. 6 canone alla seconda Var. 7 Var. 8 Var. 9 canone alla terza Var. 10 Var. 11 Var. 1 canone alla quarta Var. 1 Var. 1 Var. 1 canone alla quinta 1 brano non scritto 8 brani in sol maggiore brani in sol minore Var. 16 Var. 17 Var. 18 canone alla sesta Var. 19 Var. 0 Var. 1 canone alla settima Var. Var. Var. canone alla ottava Var. Var. 6 Var. 7 canone alla nona Var. 8 Var. 9 Var. 0 - quodlibet Aria
Orgelbüchlein, n.8 Alto Tenore Basso 1=BACH 18=S 9=J 8 rectus 1 inversus insieme 1 con la VI 8 rimanenti
Messa in si minore Credo =CRE Soprano 1 Soprano Contralto 9=J 18=S 8=H =C Tenore Basso 18=DO 1=A =B
PARTE III
MELODIE E RUMORI
Rumore bianco 0 1 10 0 - -10-1 -0 0 1 10 0 - -10-1
Rumore browniano 0 0 0 10-0 -10-10 -1-0 -0-0 -
Rumore intermedio 1 10 0 - -10-1 -0 1 10 0 - -10-1 Musica frattale