Riassuno di Meccanica Cinemaica del puno maeriale 1 Cinemaica del puno: moo nel piano 5 Dinamica del puno: le leggi di Newon 6 Dinamica del puno: Lavoro, energia, momeni 8 Dinamica del puno: Lavoro, energia, 9 Dinamica dei sisemi di puni maeriali 9 Dinamica del corpo rigido 1 Fenomeni dʼuro 13 Cinemaica del puno maeriale Verde: nuove aggiune. Rosso: pari incere. ------------------- Moo reilineo ------------------- Velocià media: υ m x x x 1 1 La velocià media di sposameno è definia come rapporo ra lo sposameno e l inervallo di empo. Velocià isananea: dx d La velocià isananea è definia come rapporo ra l infiniesima disanza percorsa e l inervallo infiniesimo di empo. Queso avviene dividendo in spazzi e empi sempre più piccoli il problema. La velocià isananea rappresena la rapidià di variazione emporale della posizione nell isane considerao. Legge oraria: x x + v( ) Osservazione: Velocià: υ dx d e con procedimeno inverso: dx υ() d 1
Se è noa la legge oraria si può oenere la velocià isananea ramie un processo di derivazione. -------------- Regole generali del moo reilineo -------------- Calcolo dello spazio: x() x υ()d Quesa è la relazione generale che permee il calcolo della disanza complessiva percorsa in qualsiasi ipo di moo. Dimosrazione: Lo sposameno complessivo è dao dalla somma degli infiniesimi sposameni dx nellʼinervallo di empo finio - si procede dunque con una inegrazione: x x dx υ d Il primo inegrale è immediao e vale x x perano: x x x υ d x rappresena lo sposameno complessivo e non lo spazio percorso se dopo un lungo ragio il puno riorna nella posizione iniziale lo spazio complessivo percorso è nullo. Relazione velocià media ed isananea: υ m 1 υ d Quesa equazione coincide con la definizione maemaica di valor medio di una funzione in un dao inervallo (vedi appendice A del M.N.V) perano la velocià media è uguale al valor medio della velocià isananea come è facilmene inuibile. -------------- Moo reilineo uniforme -------------- In empi uguali sono percorsi spazi uguali. Leggi orarie: x + υ d x x + υ Viene mosrao come lo spazio è una funzione lineare del empo. La velocià isananea coincide sempre con la velocià media. -------------- Moo reilineo uniformemene accelerao -------------- Un moo si dice uniformemene accelerao quando la velocià varia in funzione del empo. Accelerazione media: a m υ υ 1 1 υ Con procedimeno analogo a quello usao per la velocià isananea oeniamo ora l accelerazione isananea. Accelerazione isananea: a i dυ d d x d Osserviamo che l accelerazione isananea è la derivaa prima della velocià rispeo al empo e la derivaa seconda dello spazio rispeo al empo.
velocià ricavaa dall accelerazione: υ + a υ d Eq del moo: x x + υ ( ) + 1 a ( ) Dimosrazione: La legge oraria del moo reilineo uniformemene accelerao si ricava così: x() x υ + a( ) d x υ d + a( ) x x + v ( ) + 1 a ( ) Velocià: υ υ a Velocià: υ υ + a( x x ) Accelerazione: a υ υ 1 x Chiaramene si inende l accelerazione media. -------------- Moo vericale di un corpo -------------- Tempo cadua: c υ 1 g + υ 1 g + h g Velocià al suolo: υ c υ 1 + gh -- con puno lanciao in lao Velocià: Posizione: υ υ g (fino al verice) x x + υ 1 g -- velocià in funzione della posizione Velocià: Velocià: Velocià: υ ( x) g( h x) υ ( x) υ 1 + g( h x) υ ( x) ± υ gx -------------- Moo armonico semplice -------------- 3
Differenziale: Eq del moo: d x d + ω x A cos( ω + ϕ) x Pulsazione : ω k m π T π v Periodo: T π ω π m k Frequenza: v 1 T ω π 1 π Velocià: Accelerazione: k m υ dx ω Acos ( ω + ϕ ) d a dυ d d x d ω Asin( ω + ϕ) ω x -- velocià in funzione della posizione Velocià: υ ( x) υ + ω x x Velocià: υ ( x) ω ( A x ) (NB: con riferimeno al cenro) -------------- Moo reilineo smorzao esponenzialmene -------------- Accelerazione: a kυ Con k cosane posiiva. In queso paricolare ipo di moo vario l accelerazione è cosane e sempre conraria alla velocià che quindi dovrà necessariamene diminuire. Differenziale: dυ d kυ Ricordiamo che l accelerazione è la derivaa prima della velocià sul empo. Dimosrazione: Vediamo che lʼequazione differenziale soprasane dυ υ k d υ dυ k d υ υ dυ d kυ diviene: ln υ k υ υ e k υ Tramie un uleriore inegrazione di v() si oiene la legge oraria: x x υ d υ e k d υ k 1 e k 4
Equazione del moo: Velocià: -- velocià in funzione della posizione Velocià: x υ k 1 e k υ υ e k υ k( x x ) υ x -------------- Velocià e accelerazione in funzione della posizione -------------- Inegrale: x adx 1 υ 1 υ x -------------- Moo relaivo reilineo-------------- Eq del moo: x 1, x x 1 (NB: vale lo sesso per l accelerazione) Cinemaica del puno: moo nel piano -------------- Moo circolare-------------- Velocià angolare media: Velocià angolare is: Posizione: ω m θ ω i dθ d θ Accelerazione: a υ θ + ω R ω R -------------- Moo parabolico-------------- Per il moo parabolico si può uilizzare la scomposizione in due moi: (moo vericale e moo reilineo uniforme) Parabola del puno y( x) υ anθ g υ cos θ x Conoscendo la parabola del puno è molo più facile calcolare il moo sul piano e si possono ricavare alezza massima e giaa. Giaa: x G υ cos θgθ υ g cosθ sinθ g υ sinθ g Alezza max. y M υ y x M sin θ g Moi proieai x e y : x υ cosθ, y υ sinθ 1 g 5
Tempo di volo: G υ sinθ g Dinamica del puno: le leggi di Newon -------------- Leggi di newon -------------- Quanià di moo e impulso hanno la sessa unià di misura: Newon per secondo. legge di Newon: F m a dυ d d x d con massa cosane: F dp d 3 legge di Newon: F A,B F B,A Quanià di moo: p m υ me k In assenza di forze applicae la quanià di moo di un puno maeriale rimane cosane, ovvero si conserva. Teorema dell impulso: J m υ υ m υ (NB: se la massa è cosane) L impulso di una forza applicaa ad un puno maeriale provoca la variazione della quanià di moo. Valore medio forza: F m p -------------- Risulane delle forze -------------- La risulane veoriale delle forze descrive il moo e l accelerazione di un corpo a cui sono applicae più forze insieme. Risulane: R F i Si parla infai di indipendenza delle azioni simulanee in quano ogni forza agisce singolarmene.su un un corpo in equilibrio saico possono agire conemporaneamene forze la cui risulane è nulla. -------------- Reazioni vincolari -------------- In generale una reazione vincolare non è deerminabile a priori ma va calcolaa caso per caso dall esame delle condizioni fisiche. Risulane: R + N -------------- Forza peso -------------- Forza peso: Sensazione peso: P m g N m ( a g) -------------- Forza di ario radene -------------- Ario radene saico: F as F ( max µ s N ) Ario radene dinamico: F ad µ d Nu υ ( u υ versore velocià) 6
-------------- Piano inclinao -------------- Componene vericale: mg cosθ N Componene orizzonale: Equilibrio saico: mg sinθ ma a g sinθ gθ µ s -------------- forza elasica -------------- Forza di richiamo: F kx Accelerazione: a F m k m x ω x Pulsazione : ω k m π T π v Periodo: T π ω π m k Risonanza: v 1 T 1 π k m Frequenza : v 1 T ω π 1 π -------------- forza di ario viscoso -------------- Ario viscoso: F bυ b m k Accelerazione: Velocià: a bυ m υ g k -------------- forze cenripee -------------- (frequenza naurale) k m k ( 1 e ) Forza: F N m a N m υ -------------- Pendolo semplice -------------- Tensione filo: T F mg r Differenziale: d θ d + g θ (per piccole oscillazioni) L Periodo: T π ω π L g Legge oraria: Velocià angolare: Velocià lineare: s Lθ Lθ sin( ω + ϕ) ω dθ d ωθ cos ( ω + ϕ ) υ ds d L dθ d Lωθ cos ( ω + ϕ ) 7
Tensione filo: T F m gcosθ + υ -------------- ensione dei fili -------------- Corde e carrucole singole hanno la sola funzione di deviare l angolo di incidenza di una forza senza modificarne l inensià. Dinamica del puno: Lavoro, energia, momeni L -------------- Lavoro poenza energia cineica -------------- Lavoro: W F s F s cosθ F T s Se l angolo di incidenza della forza è concorde con lo sposameno allora abbiamo un lavoro moore se viceversa il puno viene frenao allora abbiamo un lavoro resisene, se la forza è orogonale alla raieoria allora abbiamo un lavoro nullo. Il lavoro è l inegrale di linea della forza lungo la raieoria. Poenza: P dw F dr d d F υ F Tυ Energia cineica: Lavoro forza peso: E k E k 1 mυ p m ( p quan. di moo) W ( mgz B mgz A ) E p,b E p,a E p (energia po.) Lavoro forza elasica: W E p E p 1 ( kx energia po. elasica ) Il lavoro è espresso come l opposo della variazione dell energia poenziale ra la posizione finale e iniziale. Lavoro ario radene: W µ d N ds Lungo un qualsiasi percorso chiuso il lavoro è nullo. Energia poenziale: W E p,a E p,b E p B A Energia po. peso: Energia po. elasica: E p, peso mgz E p,el 1 kx Forze non conservaive non possiedono una energia poenziale. -------------- conservazione dell energia meccanica -------------- Energia meccanica: E k,a + E p,a E k,b + E p,b Energia meccanica: E m E k + E p In presenza di forze conservaive l energia meccanica si conserva. In presenza di forze non conservaive l energia meccanica varia e la sua variazione è appuno uguale al lavoro delle forze non conservaive. 8
-------------- Momeno angolare. Momeno della forza -------------- Momeno angolare: L r p r mυ Il momeno angolare definio come il prodoo della quanià di moo ( angenziale ) e il raggio Momeno della forza: M r F T (chiamao anche momeno orcene) Il momeno della forza o momeno orcene è il prodoo ra raggio e forza angenziale. dl Teo. momeno angolare: d M La derivaa emporale del momeno angolare è uguale al momeno della forza se enrambi i momeni sono riferio allo sesso polo fisso in un sisema di riferimeno inerziale. dl L cosane: d L cosane Il momeno angolare di un puno maeriale riamane cosane nel empo, si conserva, se il momeno delle forze è nullo. Teo. Momeno dell impulso: M d r F d r F d r J L fin L in L B Lavoro: W M d ( r F)d r F d r J L Lavoro moo circolare: W F ds r F dθ M dθ A B A Il lavoro di un moo circolare è dao dalla forza angenziale moliplicaa per il raggio (ovvero il momeno angolare) per lo sposameno angolare. θ B θ A θ B θ A Dinamica del puno: Lavoro, energia, Le leggi fisiche non dipendono dalla scela del sisema di riferimeno. Lo spazio è dunque omogeneo e isoropo. Dinamica dei sisemi di puni maeriali -------------- Sisemi di puni. Forze inerne e forze eserne -------------- Risulane delle forze: ( E F i F ) ( I ) i + F i Se l angolo di incidenza della forza è concorde con lo sposameno allora abbiamo un lavoro. Posizione: r i velocià: accelerazione: a i F i Momeno angolare: Quanià di moo: L i r i p i Energia cineica: E k,i 1 9
Quanià di moo oale: p p i Momeno angolare oale: L L i r i Energia cineica oale: E k E k,i Posizione cenro di massa: r CM r i Coordinae caresiane: x CM x i i 1 m i Velocià del cenro di massa: Teo. Moo cenro di massa: Teo. Energia cineica: Lavoro forze non conservaive: υ CM dr CM d dr i d R ( E) ma CM m dυ CM d d d W ( E) + W ( I ) E k,b E k,a E k i P m ( mυ CM ) dp d E m,b E m,a ( E k + E p ) B ( E k + E p ) A W nc Cenro forze parallele: r c OC Cenro di gravià, baricenro: r C Momeno della forza peso: F i gr i g F i r i m i i r i M OC mg r CM mg r CM Dinamica del corpo rigido -------------- Sisemi di puni. Forze inerne e forze eserne -------------- Nel corpo rigido ue le possibili coppie di puni si rovano ad una disanza immuabile, si raa ovviamene di una condizione ipoeica. Leggi fondamenali: Densià: Densià superficiale: Densià lineare: R ma CM, m dl d ρ dm dv ρ s dm ds ρ l dm dl, E k W 1
Posizione cenro di massa: r CM 1 V r dv Risulane forza peso: Risulane momeno: Energia poenziale: F p mg M r CM mg E p mgz CM Moi di raslazione: Quanià di moo: Energia cineica: p mυ CM E k E k,cm 1 mυ CM Equazione del moo: Momeno angolare: Eq. Dinamica base moo ro: R ma CM L r CM p M dl d -------------- roazioni Rigide aorno ad un asse fisso -------------- Momeno angolare: L z L iz ( R i )ω I z ω i Momeni inerzia asse z: I z R i x i + y i Asse principale di inerzia: L I z ω, L L z, L 1 Calcolo energia cineica: E k m 1 i i m R i i ω 1 I zω i Lavoro: Poenza isananea: Processione momeno angolare: W E k 1 I zω fin P dw d I z α M z M dθ d mω 1 I zω in Energia cineica: E k L z I z Lavoro: W m z dθ Mom. Inerzia corpo coninuo. I R dm -------------- eorema di Huygens-Seiner e König -------------- Teorema H-S: I I c + ma Teorema K: E k 1 I z ω + 1 mυ CM 11
-------------- Pendolo composo -------------- Periodo: con l I z mh -------------- moo di puro roolameno -------------- Velocià cenro di massa: υ CM ω r ωr Accelerazione cenro di massa: a CM αr Legge del moo cenro di massa: F + R + mg ma CM F Accelerazione: a CM m 1+ I mr F Forza resisene: f a + mr Diseguaglianza ario: F µ s mg 1+ mr I F lim -------------- momeno angolare momeno dell impulso -------------- Impulso angolare: I M d L 1 L( 1 ) L Momeno dell impulso: M d r F d r F d r J L -------------- proprieà elasiche dei solidi -------------- Carico specifico: σ F S Allungameno lineare uniario: Modulo di Young: Legge di Poisson (sezione): Scorrimeno: ε l l E σ ε ε 1 E σ l l r r v l vε v σ l E σ Gθ Modulo di rigidià: G E 1+ v 1 E Pendolo di orsione: M π G r 4 θ kθ (k cosane) l θ θ Lavoro momeno eserno: W M ( θ)dθ k θdθ 1 kθ F S (con v coeff. Di Poisson) Compressione uniforme: V V 1 β p 1
Cosane bea: β Cosane bea nei gas: β p E (con v coeff. Di Poisson) 3( 1 v) Fenomeni d uro -------------- Uro ra due puni maeriali-------------- Se non inervengono forze eserne la quanià di moo oale si conserva in un uro. Conservazione: P ( m 1 + m )υ CM P in P fin cosane La velocià del cenro di massa rimane invariaa. Conservazione: P ( m 1 + m )υ CM P in P fin cosane -------------- Uro compleamene anelasico -------------- Se i due puni rimangono aaccai dopo l uro. Conservazione: m 1 υ 1 + m υ m 1 + m Da cui si ricava la velocià del cenro di massa Velocià cenro di massa: υ CM m 1υ 1 + m υ m 1 + m υ ( m 1 + m )υ CM Energia cineica assorbia: E k E k, fin E k,in E k 1 m + m ( 1 )υ CM 1 m 1υ 1 1 mυ 1 13