4. Lavoo ed enegia Definizione di lavoo di una foza Si considea un copo di massa m in moto lungo una ceta taiettoia. Si definisce lavoo infinitesimo fatto dalla foza F duante lo spostamento infinitesimo d la quantità data dal podotto scalae dw F d e si misua in Joule (J. - la foza indicata nella definizione non è necessaiamente la foza totale (data da m a = F tot che detemina la taiettoia: può essee semplicemente una delle foze che agiscono sulla massa m - la foza pe cui si calcola il lavoo infinitesimo è paticamente costante sul tatto infinitesimo di taiettoia, ma può vaiae in diezione e modulo su un tatto finito. Il lavoo totale lungo un aco di taiettoia B è quindi la somma dei contibuti infinitesimi: = B F d - Se la foza è pependicolae alla taiettoia in ogni punto il lavoo che fa è nullo (podotto scalae di vettoi pependicolai! - Se la foza è costante in diezione e modulo il lavoo dipende solo dallo spostamento da a B (cioè dalla posizione dei punti iniziale e finale, non dalla paticolae taiettoia: = F B d = F ( B TTENZIONE: la foza di attito dinamico è costante in modulo ma opposta alla velocità, quindi genealmente vaiabile in diezione! Definizione di potenza di una foza Si definisce potenza istantanea (misuata in Watt, (W il lavoo svolto pe unità di tempo su un aco infinitesimo di taiettoia: P(t dw = F (t d dt dt = F (t v (t
Teoema dell enegia cinetica Consideiamo un copo di massa m che si sposta da un punto a un punto B lungo una ceta taiettoia deteminata dalla foza totale F. Il lavoo infinitesimo lungo ogni tattino di taiettoia si calcola dalla definizione, e usando la legge di Newton: dw = F d = m d v dt d = mv dv sepaando la vaiazione del vettoe velocità nelle sue componenti nomale alla taiettoia (quella che espime la vaiazione di diezione e paallela alla taiettoia (quella che espime la vaiazione del modulo, dv, osseviamo che v dv = v (dv // + dv = v d v // = vdv, pe cui: dw = mvdv= 1 2 mdv2 B = F d = d 1 2 mv2 v B = 1 v 2 mv 2 B 1 2 mv 2 Quindi, a pescindee dalla conoscenza della taiettoia completa e dei valoi che assume la foza in tutti i suoi punti, il lavoo (della foza totale si può calcolae come diffeenza fa l enegia cinetica K = 1 2 mv2 nelle posizioni finale (B e iniziale (: = K B K Foze consevative Pe definizione, una foza F è consevativa se il lavoo che compie pe passae da una posizione iniziale a una finale B non dipende dalla foma della taiettoia, ma solo dalle posizioni esteme. Quindi il lavoo di una foza consevativa su una taiettoia chiusa deve essee nullo. = (U B U lle foze consevative è dunque possibile associae il concetto di enegia potenziale U, in modo che il lavoo della foza consevativa si possa espimee mediante una diffeenza di U dipendente solo dalle posizioni iniziale e finale. La scelta del segno è abitaia, ed è fatta pe pote intodue il concetto di enegia totale meccanica nel seguito. Inizialmente, consideiamo pe semplicità un moto ettilineo, con uno spostamento infinitesimo dx: dw = U(x U(x + dx = Fdx
U(x + dx U(x F(x = = du dx dx Questo fonisce la elazione ta foza ed enegia potenziale, cioè ci dice come calcolae la foza data l espessione dell enegia potenziale o vicevesa. NOT: l enegia potenziale è definita a meno di una costante additiva. Nel caso più complicato del moto nello spazio, anzichè lungo una linea etta, si può ancoa intodue l enegia potenziale U che dipende solo dalla posizione. La vaiazione di U si può espimee come somma delle possibili vaiazioni nelle te diezioni x,y,z: dw = U(x, y,z U(x + dx,y + dy,z + dz = F d U x dx U y dy U z dz = F x dx + F y dy + F z dz avendo consideato la apidità di vaiazione di U lungo le te possibili diezioni (cosiddette deivate paziali. Questo deve valee pe tutte le possibili componenti dx, dy, dz. Quindi si ha: F x = U x, F y = U y, F z = U z Sinteticamente si intoduce il concetto di gadiente, come opeatoe vettoiale che tasfoma la gandezza scalae U nella foza F : F = gad(u = U = i x + j y + k z U = i U x j U y k U z
Teoema di consevazione dell enegia Distinguiamo le foze consevative (c agenti su un copo da quelle non consevative (nc, e sfuttiamo il teoema dell enegia cinetica: Quindi: (c K B K = (nc + (nc = (U B U + (nc (K B + U B (K +U = (nc E tot =, E tot K +U - si può definie un enegia totale meccanica, somma di enegia cinetica e potenziale - la vaiazione di enegia totale è nulla se tutte le foze sono consevative, cioè si conseva l enegia totale in tutti i punti della taiettoia - in pesenza di foze non consevative, l enegia meccanica non si conseva: le foze di attito (lavoo < 0 tendono a diminuila, mente le foze motici (lavoo > 0 tendono ad aumentala OSSERVZIONE: nei poblemi in cui non sono ichieste infomazioni iguadanti il tempo (quanto tempo pechè avvenga un ceto spostamento, ecc., ma solo iguadanti la posizione o la velocità, conviene decisamente utilizzae il concetto di enegia totale e consevazione, quando possibile. Esempio: enegia potenziale gavitazionale (vicino a Tea. y O g B B x L unica ipotesi è che l acceleazione di gavità sia costante. lloa anche la foza peso lo è, e il lavoo = mg ( B = m(gy B + gy = (mgy B mgy Quindi l enegia potenziale associata alla foza peso è U = mgy, e il lavoo dipende solo dalla diffeenza di quota y. Se avessimo scelto un ifeimento con y dietta veso il basso avemmo tovato U = mgy.
Si noti che pendendo la deivata du / dy si tova esattamente la componente y della foza peso, il cui segno dipende dalla scelta della diezione dell asse y. Esempio: enegia potenziale elastica. La foza elastica esecitata dalla molla defomata di una quantità x ispetto alla sua lunghezza di iposo è data da F = k x (vedi disegno. Quindi F>0 se la molla è compessa (x<0 e F<0 se è allungata (x>0. k F=-kx m x 0 x Poichè la foza elastica dipende solo dalla posizione della massa m attaccata all estemità della molla, si può calcolae il lavoo esplicitamente: = x B x (k xdx = 1 2 kx2 Quindi isultau = 1 2 kx2, e pe veifica F = du dx = kx. x B x = 1 2 kx 2 B 1 2 kx 2 Esempio: Un pendolo di lunghezza L, col filo teso oizzontalmente, è lasciato cadee veso il bass patendo da femo. Calcolae la tensione del filo quando questo passa pe la posizione veticale. Usiamo innanzitutto la consevazione dell enegia. Le foze in gioco (sistema di ifeimento ineziale! sono la foza peso (consevativa e la tensione della fune T. Si noti che la tensione, come tutte le eazioni vincolai senza attiti, sono pependicolai alla diezione del moto, quindi non fanno lavoo. Eguagliando l enegia totale iniziale a quella coispondente all istante in cui il pendolo passa pe la veticale si può calcolae la velocità: 0 + mgl = 1 2 mv2 + 0
Pe calcolae T basta scivee la legge di Newton pe la massa m coispondente alla disposizione veticale (l acceleazione di m è quella centipeta, veso l alto: m v2 L = T mg T = m v2 L + mg = 3mg Esempio: Deteminae quanto spazio occoe pe aestae il moto di un oggetto di massa m lanciato con velocità iniziale v 0 su un piano oizzontale, con coefficiente di attito dinamico μ d. La foza di attito dinamico è f = μ d N, e in questo caso N = mg. L enegia totale (tutta cinetica in questo caso diminuisce dal valoe iniziale fino a 0, pe via del lavoo fatto dalla foza di attito, opposta alla velocità: (nc E tot = 0 1 2 mv 2 0 = fl= μ d mgl L = v 2 0 2 μ d g Punti di equilibio È possibile discutee l esistenza di punti di equilibio di un sistema consevativo e il loo tipo (stabile, instabile in base all analisi delle cuve di enegia potenziale. Consideiamo pe esempio un sistema unidimensionale: l enegia meccanica totale (costante ispetto alla posizione geneica x occupata dalla massa m è data da E tot 1 2 mv2 (x + U(x 1 2 mv2 (x = E tot U(x Quindi l enegia cinetica è positiva solo pe le posizioni x pe cui U<E tot : l insieme di queste posizioni detemina le egioni dell asse x in cui può effettivamente muovesi la massa m se la sua enegia meccanica totale è E tot.
U(x E 2 F=-dU/dx F=-dU/dx E 1 c B a C b d x Nell esempio gafico ipotato sopa, la egione di moto pemesso pe E tot =E 1 è a<x<b, mente pe E tot =E 2 è c<x<d. In paticolae, i punti di minimo o massimo di U(x appesentano stati di equilibio, nel senso che la foza in quelle posizioni è pe definizione F(x = du dx =0. Petanto, un copo che occupa una posizione di equilibio con velocità nulla (femo tende a imanevi indefinitamente. (punti, B e C nell esempio gafico pecedente I punti di minimo di U(x appesentano situazioni di equilibio stabile pechè con un piccolo spostamento veso desta la massa m inizialmente fema subisce una foza F(x = du dx <0, cioè dietta in senso opposto allo spostamento (foza di ichiamo veso la posizione di equilibio stabile. nalogamente succede se lo spostamento avviene veso sinista. (punti e C nell esempio gafico pecedente Con lo stesso agionamento si mosta che i punti di massimo di U(x appesentano situazioni di equilibio instabile pechè con un piccolo spostamento veso desta la massa m inizialmente fema subisce una foza F(x = du dx >0, cioè dietta come lo spostamento (causa un moto di pogessivo allontamento dalla posizione di equilibio. nalogamente succede se lo spostamento avviene veso sinista. (punto B nell esempio gafico pecedente