ESERCITAZIONI DI LABORATORIO DI CALCOLO NUMERICO. Introduzione: Algoritmi e Programmazione strutturata

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1 ESERCITAZIONI DI LABORATORIO DI CALCOLO NUMERICO Introduzione: Algoritmi e Programmazione strutturata Prof. L. Pareschi Dott. G. Dimarco

2 Risoluzione dei Problemi mediante l uso del Calcolatore Elettronico Calcolatore Elettronico: É uno strumento in grado di eseguire insiemi di azioni elementari Le azioni vengono eseguite su oggetti (dati) per produrre altri oggetti (risultati) L esecuzione di azioni viene richiesta all elaboratore attraverso opportune direttive, dette istruzioni Programmazione É l attivitá con cui si predispone l elaboratore a eseguire un particolare insieme di azioni su particolari dati, allo scopo di risolvere un certo problema. 1 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

3 dati Calcolatore elettronico risultati I Problemi da risolvere I Problemi che siamo interessati a risolvere con l elaboratore sono di natura molto varia. Esempi I: 1. Dati due numeri trovare il maggiore 2. Dato un elenco di nomi e relativi numeri di telefono trovare il numero di telefono di una determinata persona 2 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

4 3. Stabilire se una parola viene alfabeticamente prima o dopo di un altra 4. Somma di due numeri interi 5. Prodotto di numeri interi 6. Calcolare il massimo di un insieme 7. Ordinare una lista Esempi II: 1. Risolvere equazioni lineari e non lineari 2. Risolvere Sistemi di equazioni lineari e non lineari 3. Effettuare integrazioni numeriche 4. Approssimare e interpolare funzioni 5. Risolvere numericamente equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali 6. Problemi di ottimizzazione 3 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

5 La descrizione di un problema non fornisce (in genere) un metodo per calcolare il risultato Risoluzione di Problemi Affinché il problema sia risolvibile, in generale é necessario che la sua definizione sia chiara e completa. Non tutti i problemi sono risolvibili attraverso l uso del calcolatore. In particolare esistono classi di problemi per le quali la soluzione non é determinabile per questa strada: Se il problema presenta infinite soluzioni Se per il problema non stato trovato un metodo risolutivo ( Problema di Fermat: trovare tutti gli N per cui l equazione X N + Y N = Z N ) non esiste un metodo risolutivo automatizzabile Noi ci concentremo sui problemi che ammettono un metodo risolutivo. Gli obiettivi del corso sono presentare tecniche e metodologie di programmazione: Fornire gli strumenti per la realizzazione dei programmi (Matlab). 4 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

6 Fornire i metodi per l utilizzo corretto ed efficace delle tecnologie. Risoluzione di un Problema Con questo termine si indica il processo che: Dato un problema individuato un opportuno metodo risolutivo Trasforma i dati iniziali nei corrispondenti risultati finali. Affinché la risoluzione di un problema possa essere realizzata attraverso l uso di un calcolatore, tale processo deve essere definito come sequenza di azioni elementari. Algoritmo L algoritmo é l insieme ordinato delle azioni che risolve un dato problema. l algoritmo descrive il metodo risolutivo attraverso un insieme di azioni elementari. 5 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

7 l esecuzione delle azioni secondo l ordine specificato dall algoritmo, a partire dai dati di ingresso, consente di ottenere i risultati relativi alla soluzione del problema. Modello risolutivo (algoritmo) dati esecutore risultati si fa riferimento ad un esecutore intendo un oggetto astratto in grado di eseguire le azioni specificate. Proprietá fondamentali dell Algoritmo I 1. Esegubilitá: ogni istruzione deve essere eseguibile da parte della macchina 2. Non Ambiguitá: ogni azione deve essere univocamente interpretabile. 6 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

8 3. Finitezza: il numero totale di azioni da eseguire, per ogni insieme di dati in ingresso, é finito. Quindi l algoritmo deve: essere applicabile a qualsiasi insieme di dati di ingresso appartenenti al dominio di definizione dell algoritmo essere costituito da operazioni appartenenti a un determinato insieme di operazioni fondamentali le regole che costituiscono l algoritmo non devono essere ambigue, cioé devono essere interpretabili in modo univoco qualunque sia la persona o la macchina che le legge. Proprietá fondamentali dell Algoritmo II Esistono altre proprietá che si richiedono ad un buon algoritmo: generalitá determinismo (risultati non dipendenti dall esecuzione) efficienza 7 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

9 realizzabilitá (con i mezzi a disposizione) Un algoritmo puó essere visto come il procedimento di calcolo di una funzione che mappa uno o piú valori di un dominio A (input dell algoritmo) in un valore del codominio B (output dell algoritmo). Dati (input) x algoritmo Risultati (output) f(x) 8 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

10 Programmazione strutturata Ogni Algoritmo é sempre una combinazione di strutture. punto di ingresso e un unico punto di uscita. Ogni struttura ha un unico IL TEOREMA DI BOEHM-JACOPINI: Un qualunque algoritmo puó essere descritto unicamente attraverso le tre strutture: Sequenza Diramazione Ciclo o Iterazione Una sequenza puó contenere: istruzioni di lettura e scrittura, istruzioni di assegnazione. La Dirmazione é una struttura che permette di: eseguire certe istruzioni al verificarsi di una certa condizione (selezione ad una via) o di eseguire certe istruzioni al verificarsi di una certa condizione ed altre istruzioni se non si verifica (selezione a due vie). Il Ciclo é una struttura che permette di ripetere una o piú operazioni in sequenza per un numero finito di volte. La ripetizione del gruppo di istruzioni soggette alla iterazione (o ciclo) é soggetta al verificarsi di una certa condizione ed il controllo su di essa puó essere in testa alla struttura oppure in coda alla stessa. 9 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

11 Esiste una quarta struttura chiamata procedura non indispensabile per descrivere l algoritmo ma aiuta nella realizzazione di un programma: dimostra la correttezza di ciascun blocco in maniera indipendente permette la gestione di ogni dettaglio in modo separato Permette di non influenzare troppo il progetto globale, consente passi indietro senza troppe difficoltá Algoritmi e Programmi I Ogni elaboratore é una macchina in grado di eseguire azioni elementari su oggetti detti dati. L esecuzione delle azioni é richiesta all elaboratore tramite comandi elementari chiamati istruzioni. il linguaggio di pro- Le istruzioni sono espresse attraverso un opportuno formalismo: grammazione. La formulazione testuale di un algoritmo in un linguaggio di programmazione é detta programma. 10 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

12 program somma integer :: A,B write(*,*) inserisci A e B read(*,*) A,B C=A+B write(*,*) C end program Algoritmi e Programmi II Dato un problema, la sua soluzione puó essere ottenuta mediante l uso del calcolatore, compiendo i seguenti passi: individuazione di un procedimento risolutivo scomposizione del procedimento in un insieme ordinato di azioni ALGORITMO rappresentazione dei dati e dell algoritmo attraverso un formalismo comprensibile per l elaboratore (programma) 11 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

13 Metodo risolutivo Linguaggio di programmazione problema algoritmo programma Il procedimento é complesso e non é univoco. Algoritmi: Alcuni Esempi IL Problema della capra, del lupo e del cavolo: Porta la capra sull altra sponda 12 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

14 torna indietro porta il cavolo sull altra sponda porta indietro la capra porta il lupo sull altra sponda torna indietro porta la capra sull altra sponda Soluzione dell equazione ax + b = 0: leggi i valori di a e b calcola b dividi quello che hai ottenuto per a e chiama x il risultato stampa x 13 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

15 Stabilire se una parola P viene alfabeticamente prima di una parola Q: Leggi P e Q ripeti quanto segue: SE prima lettera di P < prima lettera di Q allora scrivi vero altrimenti togli da P e Q la prima lettera fino a quando hai trovato le prime lettere diverse. Calcolo del massimo di un insieme scegli un elemento come massimo provvisorio max per ogni elemento i dell insieme se: i > max poni max = i il risultato é max nota: si utilizzano variabili cioé nomi simbolici usati nell algoritmo per denotare dati. 14 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

16 Somma degli elementi dispari di un insieme Dato INS l insieme di elementi considero un elemento X di INS alla volta senza ripetizioni. Se X é dispari sommo X a un valore S inizialmente posto uguale a 0. Se X é pari non compio nessuna azione. Somma di due numeri X e Y Incrementare il valore di Z, inizialmente posto uguale a X per Y volte. poni Z=X poni U=0 finché U é diverso da Y: incrementa Z (Z:=Z+1) incrementa U (U:=U+1) il risultato é Z Algoritmi Equivalenti 15 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

17 Due Algoritmi si dicono equivalenti quando: hanno lo stesso dominio di ingresso hanno lo stesso dominio di uscita in corrispondenza degli stessi valori nel dominio di ingresso producono gli stessi valori nel dominio di uscita Due algoritmi equivalenti: forniscono lo stesso risultato possono avere differente efficienza possono essere profondamente diversi Algoritmi Equivalenti: Esempio Calcolo del massimo comun divisore fra m e n Algoritmo a: 16 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

18 Calcola l insieme I dei divisori di m Calcola l insieme J dei divisori di n Calcola l insieme dei divisori comuni K(I J) Calcola il massimo in K: questo é il risultato. Algoritmo b: si basa sul metodo di Euclide: mcd(m,n)=m (oppure n) se m=n mcd(m-n,n) se m > n mcd(m,n-m) se m < n Algoritmo: Finché m é diverso da n esegui le seguenti azioni: se m > n sostituisci a m il valore (m-n) altrimenti sostituisci a n il valore(n-m) il massimo comun divisore é m Gli algoritmi a e b sono equivalenti 17 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

19 Rappresentazione di Algoritmi: Diagrammi di Flusso É un formalismo che consente di rappresentare graficamente gli algoritmi. un diagramma di flusso descrive le azioni da eseguire e il loro ordine di esecuzione. ogni azione elementare corrisponde a un simbolo grafico (blocco) diverso (sono convenzioni non universali). ogni blocco ha un ramo in ingresso e uno o piú in uscita; collegando tra loro i vari blocchi attraverso i rami, si ottiene un diagramma di flusso. un diagramma di flusso appare, quindi, come un insieme di blocchi di forme diverse che contengono le istruzioni da eseguire, collegati fra loro da linee orientate che specificano la sequenza in cui i blocchi devono essere eseguiti( flusso di controllo di esecuzione). 18 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

20 Diagrammi di Flusso I start A:=1 i:=1 NO i>10 SI A A:=A+i stop i:=i+1 19 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

21 L insieme dei dati di ingresso e dei risultati vengono rappresentati attraverso dei nomi simbolici, detti variabili. Puó essere inoltre necessario introdurre delle variabili temporanee (ad esempio, i), necessarie alla risoluzione del problema: tali variabili vengono anch esse rappresentate da nomi simbolici. I diagrammi di flusso hanno notevoli limiti per la soluzione di problemi di una certa complessitá. Valori: Numerici: interi e reali Diagrammi di Flusso II Alfanumerici (stringhe): AAAA,Pippo logici: Vero, Falso Grandezze: Costanti: Quantitá note a priori, il cui valore non cambia durante l esecuzione 20 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

22 Variabili: Rappresentate da un nome simbolico cui é assegnato un valore che puó cambiare durante l esecuzione dell algoritmo. Espressioni: Sequenze di variabili e cosanti combinate fra loro mediante operatori (ad esempio, operatori aritmetici:+,-,*,/). Nella valutazione di un espressione, si sostituisce a ogni variabile il suo valore attuale e si eseguono le operazioni secondo un ordine prestabilito da regole di precedenza (esempio,parentesi). A tutte le variabili che compaiono nell espressione deve essere stato associato un valore prima della valutazione dell espressione Espressioni relazionali e logiche: danno come risultato vero o falso. Istruzioni(blocchi) fondamentali Inizio e fine esecuzione (START e STOP) START é il blocco da cui deve iniziare l esecuzione (in ogni diagramma di flusso ne deve comparire uno solo) STOP fa terminare l esecuzione dell algoritmo (in ogni diagramma di flusso ne deve comparire almeno uno) 21 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

23 Ingresso (lettura,read,input) esecuzione dell istruzione: Si ricevono dall unitá di ingresso (per esempio, la tastiera) tanti valori quante sono le variabili specificate all interno del blocco, e si assegnano nello stesso ordine delle variabili. A,B,C sono nomi di variabili. A,B,C Leggi i tre valori dati in ingresso, e assegnali rispettivamente alle variabili A,B,C. 22 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

24 esecuzione: Uscita (stampa,type,print,output) Si calcolano i valori delle espressioni e si trasmettono all unitá di uscita (esempio:monitor). X,Y,Z X,Y,Z sono espressioni calcola i valori delle espressioni X,Y,Z e trasmettili in uscita. 23 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

25 esecuzione: Assegnamento Si calcola il valore dell espressione a destra del simbolo := e lo si assegna alla variabile indicata a sinistra del simbolo := (con eventuale perdita del valore precedente di V). V:=E V é il nome di una variabile, E é un espressione. calcola il valore dell espression E e assegnalo alla variabile V. 24 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

26 Esempio (sequenza): start input A,B assegnamento C:=A+B output C stop 25 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

27 esecuzione: Condizioni o salti condizionati Si valuta la condizione specificata all interno del blocco: se é verificata, si prosegue con la linea di flusso contrassegnata da SI, altrimenti (se non é verificata) si prosegue per il ramo etichettato con NO. E é un espressione relazionale o logica (ritorna valore vero, oppure falso). E Calcola il valore dell espressione E: se é vero, prosegui per il ramo SI, altrimenti prosegui per il ramo NO Il blocco condizione é l elemento di base per realizzare alternative e ripetizioni. 26 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

28 Alternativa Esprime la scelta tra due possibili azioni(o sequenze di azioni)mutuamente esclusive: start A,B C:=A NO A<B SI C:=B C stop 27 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

29 Iterazione o Ripetizione Esprime la ripetizione di una sequenza di istruzioni. da: Nel caso piú generale, é costituito Inizializzazione: assegnazione dei valori iniziali alle variabili caratteristiche del ciclo; Corpo: esecuzione delle istruzioni fondamentali del ciclo che devono essere eseguite in modo ripetitivo; Modifica: modifica dei valori delle variabili che controllano l esecuzione del ciclo (eseguito ad ogni iterazione); Controllo: determina, in base al valore delle variabili che controllano l esecuzione del ciclo se il ciclo deve essere ripetuto o meno. 28 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

30 Iterazione start N, i:=1 Inizializzazione controllo SI i>n i NO corpo modifica i:=i+1 stop 29 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

31 Esempio: start X,Y,Z variabili X,Y Z:=0 Lettura SI X=0 X:=X-1 NO Test (salto condizionato) Z stampa Z:=Z+Y stop 30 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

32 Algoritmo che calcola il prodotto come sequenza di somme (si suppone Y > 0, X 0). Pseudo-codifica: prodotto come sequenza di somme (si suppone Y > 0, X 0). 1. leggi X e Y 2. poni Z=0 3. se X=0 allora stampa Z vai al passo 7 altrimenti (vai al passo succesivo) 4. decrementa X 5. somma Y a Z 6. vai al passo 3 7. fine Poco strutturata: incoraggia uno stile di programmazione che fa uso di istruzioni di salto. 31 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

33 Metodologie di Programmazione Il costo del software é alto. Occorre semplificare la progettazione degli algoritmi di soluzione di problemi e produrre programmi di elevata qualitá. Programmazione in the small: programmi scritti da una sola persona. Programmazione in the large: programmi scritti da gruppi di persone ognuno dei quali é responsabile di un insieme di funzionalitá limitato. Ciclo di vita di un programma: 1. specifica dei requisiti (problema) 2. scelta del sistema di calcolo (linguaggio,hardware) 3. progetto(algoritmo) 4. test e correzione 5. manutenzione Qualitá dei programmi: Scrivere programmi che abbiano le seguenti caratteristiche: 32 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

34 correttezza: aderenza alle specifiche Leggibilitá: comprensibilitá da parte degli utenti Efficienza capacitá di ottenere risultati a basso costo Modificabilitá: semplicitá di trasformazione e adeguamento Ri-usabilitá: capacitá di risolvere classi di problemi Portabilitá: capacitá di utilizzo in ambienti di calcolo diversi Robustezza: capacitá di operare in maniera prevedibile anche con dati non coerenti Principio ǵarantire un elevata struttura e modularitá Metodologia top-down Si applica il principio di scomposizione, spezzando un problema in sotto-problemi la cui soluzione congiunta costituisce la soluzione per il problema generale. La scomposizione prosegue fin quando ogni singolo sotto-problema é cosí semplice da poter essere direttamente espresso per mezzo di istruzioni del linguaggio di programmazione (passi di raffinamento successivo). 33 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

35 Se P é un problema non elementare: si individuano P 1, P 2,.., P n sotto-problemi supponendo di aver risolto i sotto-problemi P i, si cerca di risolvere P si applica la metodologia top-down a ciascuno sotto-problema P i Metodologia favorita dall uso di procedure e funzioni. Metodologia bottom-up Costruisce l algoritmo risolutivo individuando un insieme di passi elementari e componendo succesivamente tali passi in frammenti piú grandi fino alla costruzione dell intero algoritmo. Dal dettaglio si passa all astratto. La visione complessiva del progetto si ha solo alla fine. Permette il riutilizzo di codice giá esistente. 34 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

36 Esempio: Problema: dato un valore VAL e un vettore di elementi di V, stampare un messaggio se VAL é un elemento di V. Metodologia top-down: Primo raffinamento: Cerca VAL nel vettore V Se VAL é un valore di V stampa un messaggio Secondo raffinamento: per tutti gli elementi di V: Confronta VAL con l i-esimo elemento di V, se sono uguali, ricordatelo Se hai trovato almeno un elemento di V uguale a VAL allora stampa il messaggio. Terzo raffinamento: for i:= 1 to N do if V(i) = VAL then RICORDA:= true if RICORDA = true then write ( Ho trovato l elemento ) 35 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco

37 Metodologia bottom-up: Passo 1: Operazioni elementari individuate O1: VAL é uguale a V(i) 02: Ricordati che hai trovato un valore 03: Hai finito di guardare il vettore V? Manca un operazione di avanzamento nel vettore: Passo 2: Nuova operazione individuata 04: Avanza nel vettore Passo 3: Composizione delle precedenti operazioni: 012: if 01 then 02 repeat 012;04 until 03 Passo 4: Nuove operazioni da aggiungere 05: Inizia a scandire il primo elemento del vettore 06: Se hai trovato un valore uguale stampa messaggio Passo 5: Algoritmo finale( ) 36 Prof. L. Pareschi, Dott. G. Dimarco