Ottica. 1 p + 1 q = 2 R

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1 - - I amosi specchi ustori usati da rchimede per bruciare le navi nemiche erano specchi serici. Sapendo che la distanza delle alture, dove erano posti gli specchi, dal mare era di 00 m, dite uale doveva essere il raggio di curvatura degli specchi. L'euazione dei punti coniugati è: p + dove è: p distanza tra oggetto e specchio distanza tra specchio e immagine R raggio dello specchio Essendo il Sole lontanissimo, i raggi che provengono da esso si possono considerare provenienti dall'ininito, uindi, in uesto caso, p. Per bruciare le navi, era necessario che i raggi rilessi convergessero su di esse, cioè a 00 m dagli specchi: uindi 00 m. llora l'euazione dei punti coniugati, in uesto caso, diventa: + 00 R R - - R 00 R 00 m L immagine di un oggetto si orma ad una distanza 0 cm da una lente piano-convessa di indice di rirazione n,5 e raggio di curvatura R 0 cm. Calcolare la distanza p oggetto-lente. Si consideri l euazione dei punti coniugati: p + ( n ) R R in cui, nella presente circostanza, si ha: segue: p + 0 cm n,5 R 0 cm R ( ),5 0 ( ) 0, allora, se / / 0, è evidente che 0 cm ( dato che il raggio di curvatura R era stato dato in cm ). Ma allora è, uindi, sempre per l euazione dei punti coniugati si ha: e se / p 0, allora p / 0, cioè è p. p 0 0 0

2 - 3 - Quali sono le lunghezze ocali delle lenti mostrate in igura? ( Indice di rirazione del vetro n.5 e R 0 cm ). Che cosa risulta dal conronto della lunghezza ocale della lente ( b ) con una lastra piana di vetro? * * Per la legge dei punti R ( a ) ( b ) R - ig. - R SOLUZIONE coniugati: ( ) n R R lente ( a ): tenendo presente che uno dei due raggi, essendo nello spazio virtuale, è negativo, si ha: ( ), uindi: 0 cm lente ( b ): avendo, ora, tutti e due i raggi dalla stessa parte, nello spazio virtuale, si ha: uindi è: uindi è ( ),5 0 0, , Nel caso di una lastra piana di vetro, essendo entrambi i raggi ininiti ( un piano, inatti, si può considerare una circonerenza di raggio ininito ) la legge dei punti coniugati diventa: ( ), 5 ( 0,5 ) ( 0 0 ) 0 Dunue la lente ( b) ed una lastra piana di vetro hanno la stessa distanza ocale: Determinare la relazione che intercorre tra la distanza ocale di uno specchio concavo e la distanze x e x' del punto oggetto e del suo punto immagine dal uoco dello specchio. x C F Dalla relazione dei punti coniugati: in cui: p + - Fig. - x'

3 3 è la distanza ocale p è la distanza tra l oggetto e lo specchio è la distanza tra lo specchio e l immagine notando che: e uindi: sostituendo nell euazione dei punti coniugati si trova: x + + x' + x p - x' - p x + x' + x' + + x + x + ( )( x' + ) - 0 e uindi: che è la relazione richiesta. x' + x + - xx' - x' - x - xx' + x' + x xx' 0 xx' x' Determinare l angolo di rirazione corrispondente ad un raggio luminoso che incide sulla supericie di separazione vetro-aria, ormando un angolo di 60. ( Si veda la igura ui a ianco ) Dalla Legge di Snell, dove: si ricava: sin ˆ i sin ˆ r n n ˆ i angolo d incidenza ˆ r angolo di rirazione n indice di rirazione dell aria n indice di rirazione del vetro x r i 60 aria n vetro n.5 - Fig. 3 - aria n vetro n Fig. 4 - sin ˆ r n n sin ˆ i nella uale, sostituendo i numeri, si ha: sin ˆ r,5 sin 30,5 0,5 0, 75 sin ˆ r 0,75 ˆ r arc sin 0,75 48,6 cioè: r ˆ 48,6 Degno di nota è il atto che, per deinizione, l angolo d incidenza - come, del resto, l angolo di rirazione - è uello

4 4 tra il raggio incidente e la normale alla supericie d incidenza o di separazione tra i due mezzi, uindi l angolo da considerare è non uello di 60 dato ( che è tra raggio incidente e supericie d incidenza ), ma il suo complemento a π/, cioè: come risulta dai calcoli appena eseguiti La lente di una macchina otograica ha una lunghezza ocale di +0 cm. ( a ) Se la macchina è messa a uoco su un bambino distante m dalla lente, ual è la distanza tra lente e pellicola? ( b ) Se il bambino è alto m, uant è l altezza dell immagine sulla pellicola? ( a ) Dalla legge dei punti coniugati, p + sapendo per ipotesi che 0 cm e che il bambino dista m, cioè che p m 00 cm, si ha: ( b ) Per l altezza dell immagine sulla pellicola, si utilizza la ormula dell ingrandimento: G p uindi, sapendo che il bambino è alto m, si ha: e uindi: 0,53 cm 00 cm 0,053 h' h G h' 00 cm 0,053 h' 5,3 cm ,53 cm Una soluzione biologica ha indice di rirazione n,4. Qual è la velocità della luce nella soluzione? Se un raggio di luce incide sulla sua supericie con un angolo di incidenza di 45, ual è l angolo di rirazione? L indice di rirazione di un certo mezzo è deinito come il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto, c, e uella nel mezzo in esame, v, cioè: dato che l incognita, ora, è v, si ha: n c v n c / v v c n e uindi, se è: si ha: c ms - v 3 08,4,3 0 8 ms - per la legge di Snell:

5 5 sin ˆ i sin ˆ r n r n i dalla uale, se con ˆ i e con ˆ r si intendono rispettivamente l angolo d incidenza e di rirazione, mentre con n i ed n r, l indice di rirazione del mezzo d incidenza e di uello di rirazione entrambi rispetto al vuoto, si ha: sin ˆ i sin ˆ r n r n i sin ˆ r sin ˆ i n i n r sin ˆ r n i n r se si considera che il raggio luminoso provenga dall aria, si ha che n i, uindi: sin ˆ i sin ˆ r n i n r sin ˆ i da cui: sin ˆ r, 4 sin 45 0, 5 e uindi: ˆ r arcsin 0, 5 ˆ r Tra due schermi bianchi paralleli, S ed S, è posta una piccola sorgente di luce, L. Essa dista 5 cm da S e 45 cm da S. Tra la sorgente luminosa e lo schermo più distante viene collocato un iltro assorbente, F, che lascia passare solamente la metà della luce che cade su di esso. Qual è il rapporto I / I delle intensità di illuminazione su S ed S? Poiché l intensità d illuminazione di uno schermo dipende dal uadrato della distanza tra esso e la sorgente, il rapporto richiesto, I / I, se non ci osse alcun iltro, altro non è che uello tra i uadrati delle rispettive distanze dei due schermi dalla sorgente L: I I ( 5 cm ) 45 cm ( ) 5 cm 05 cm 9 I I 9 5 cm 45 cm L S F S - Fig. 5 - Ma siccome tra la sorgente e lo schermo S c è il iltro, F, che assorbe la metà della luce che lo colpisce, tale rapporto va raddoppiato: I I 9 8 I 8 I e cioè la luce che colpisce lo schermo S è / 8 di uella che colpisce S Un proiettore di diapositive è posto ad una distanza di m da uno schermo largo,5 m. Quale distanza ocale deve avere la lente se si vuole che l immagine di una diapositiva da 35 mm copra tutto lo schermo? Volendo che una diapositiva larga 35 mm, proiettata, copra del tutto lo schermo largo,5 m, cioè 500 mm, occorrerà un ingrandimento, G, di:

6 6 Dalla ormula dell ingrandimento, si ha: ,9 G p p G 4,9 Per la distanza ocale,, si utilizza la ormula dei punti coniugati: p + 0, 8 + p 0, 8 m 3,65 m - 0,7 m cioè 7 cm Determinare la distanza ocale delle lenti per occhiali adatti ad una persona che ha il punto prossimo a 50 cm. Qual è potere diottrico di ueste lenti (in diottrie)? Per un occhio normale il punto prossimo deve essere a 5 cm. Occorre, uindi, una lente che dia le immagini degli oggetti situati a 5 cm da essa, a 50 cm sempre dalla stessa parte, e uindi, tali immagini, devono essere virtuali. Dalla legge dei punti coniugati, si ha: p cm Il potere diottrico in diottrie è dato da / con espresso in metri ( allora 30 cm 3,0 0- m ); uindi il potere diottrico delle lenti cercate, P, sarà: P 3, 0 0-3,3 diottrie - - che distanza si trova un albero alto 5 m se la sua immagine sulla retina è 0 mm? Se l albero è alto 5 m 500 cm e la sua immagine è alta 0 mm cm, l ingrandimento, sarà dato dal rapporto tra ueste due altezze: G ma, inoltre, dalla deinizione di ingrandimento, si ha: G p dove è la distanza dell immagine dalla lente ( in uesto caso uella del cristallino dalla retina che si sa essere circa cm 0- m ), e p, uella tra l oggetto e la lente. vendo, ora, sia G che, non resta che calcolare p: p G ,0 0 3 cm 50 m - -

7 7 Qual è la distanza ocale di una lente di ingrandimento che ha un potere d ingrandimento di 0? che distanza deve essere l oggetto perché si abbia uesto ingrandimento? Nel caso delle lenti d ingrandimento, G ,3 cm E per trovare la distanza,, cui deve essere l oggetto per avere l ingrandimento 0, si risolve un sistema tra la deinizione d ingrandimento e la legge dei punti coniugati: p 0 p + 0 p p + 0p p e uindi: 0 p 5 0 p 5 0 p 5 p, 5 cm Una macchina otograica con teleobiettivo di distanza ocale 500 mm scatta una oto di un oggetto distante 60 m. che distanza dall oggetto si dovrebbe porre una macchina otograica con obiettivo di 50 mm per avere un immagine delle stesse dimensioni? Per avere un immagine delle stesse dimensioni, si deve avere lo stesso ingrandimento: G p ' p' Dall euazione dei punti coniugati si ha: p + - p p - p p p - ed ora: G p p p - p - e uindi: G Se G rimane costante, ma diventa 50 mm, esplicitando p dall euazione precedente, si ha: cioè: G p - p 50 9 ( + 9 ( p - ) G p + G G ) G ( + G ) p 6000 mm 6 m

8 8-4 - Due lenti, di distanze ocali 30 cm e 3 cm rispettivamente, vengono usate per costruire un piccolo telescopio con disposizione delle lenti detta aocale. a) Quale della due lenti dovrebbe costituire l obiettivo? b) Qual è il potere d ingrandimento del telescopio? c) che distanza, d, devono essere poste le due lenti? a) La lente. Inatti l immagime di oggetti molto lontani prodotta dall obiettivo alla sua distanza ocale,, per l oculare unge da oggetto e si trova in corrispondenza del suo primo uoco,. Quest ultima lente, uindi, si comporta da lente d ingrandimento, per cui, minore è la sua distanza ocale e maggiore è il suo potere d ingrandimento, come si evince dalla ormula: G 5 Per costruire un telescopio, allora, si deve mettere la lente con distanza ocale maggiore,, come obiettivo, e l altra,, come oculare. b) Per l ingrandimento, si ha: - G p Nel caso di un telescopio l immagine, che normalmente proviene da oggetti molto lontani (e uindi i raggi luminosi che raggiungono la lente sono paralleli al suo asse ottico principale), si orma approssimativamente nel uoco della prima lente. La seconda - Fig. 6 - deve ormare un immagine notevolmente ingrandita di uella della prima, che ora unge da oggetto. E necessario, uindi, are in modo che la distanza tra oggetto e lente, la seconda, coincida circa con la sua distanza ocale,. llora, in uesto caso, si avrà: e uindi: p G p G 30 cm 3 cm 0 c) Per il motivo della risposta b), le lenti devono essere devono essere disposte in modo che l immagine della prima sia l oggetto della seconda, e uindi ueste due distanze devono essere sommate, cioè per avere la distanza, d, tra le lenti del telescopio, bisogna sommare le loro distanze ocali: d cm 330 mm Una lente sottile biconvessa realizzata con vetro di indice di rirazione n,5 ha entrambi i raggi di curvatura di 0 cm. Un oggetto alto cm è posto a 0 cm dalla lente. Si trovi la distanza ocale della lente in cm, il potere diottrico espresso in diottrie, la posizione dell immagine e la sua altezza, entrambe in cm, nonchè il tipo di immagine. Dalle seguenti relazioni: p +

9 9 e ( n - ) - R R si ha: (,5 - ) , cm e se l oggetto si trova a 0 cm dalla lente, è, per deinizione, p 0 cm, per cui: Calcolo dell ingrandimento: cm G p cioè: G 0 0 e uindi, se l ingrandimento G, l altezza dell immagine sarà: cioè: h' G h h' 4 cm Una lente di distanza ocale proietta su uno schermo l immagine di un oggetto luminoso ingrandito M volte. Calcolare la distanza dello schermo in unzione di e di M. Mettendo a sistema l euazione dei punti coniugati: p + ( in cui con p s intende la distanza tra l oggetto e la lente e con uella tra l immagine, e uindi lo schermo, e la lente stessa ) e la deinizione di ingrandimento: G p e uindi: M p si ha:

10 0 p M M + p M M + p M ( M + ) dunue l euazione: ( M + ) è un espressione di in unzione di e di M Dal punto di vista ottico, una macchina otograica può essere considerata semplicemente come una lente convergente ( l obiettivo ), che orma un immagine reale su di uno schermo ( la pellicola ). Se la distanza ocale vale 50 mm, e se l obiettivo può essere spostato verso l esterno, allontanandolo dalla pellicola ino a 60 mm, uanto vale la distanza minima a cui uesta macchina può otograare? Nell euazione dei punti coniugati: p + bisogna trovare il valore di p uando: 60 mm 50 mm e cioè: p - p - p - p mm 30 cm Se una sostanza ha indice di rirazione n R,46 per un certo raggio monocromatico R, mentre per un altro raggio monocromatico, V, il suo indice di rirazione è n V,606. Quale dei due raggi viene deviato di più, entrando nella sostanza considerata? Quale dei due raggi si propaga più velocemente? Qual è il rapporto delle velocità v R / v V? Dalla deinizione di indice di rirazione: n c v in cui: c 3,0 08 m s- velocità della luce nel vuoto v velocità della luce nel mezzo di cui n è l indice di rirazione Il raggio meno viene deviato dal mezzo in cui entra, e più si propaga velocemente in tale mezzo, uindi è suiciente conrontare le velocità del raggio nei due mezzi. Per are ciò si esplicita v nella deinizione di indice di rirazione: e uindi: v c n v R c n R v R 3 08, 46, m s -

11 v V c n V v V 3 08, 606, m s - essendo v R > v V, il raggio R si propaga più velocemente, e verrà deviato di meno che il raggio V. Inatti, dalla legge di Snell: sin ˆ i sin ˆ r n r, i se i due raggi incidono nel mezzo con lo stesso angolo d incidenza, si avrà: sinˆ i V sinˆ i R allora sapendo anche: e sinˆ i V n V sin ˆ r V sinˆ i R n R sin ˆ r R si ha: n V sin ˆ r V n R sin ˆ r R sinˆ r V n R n V sinˆ r R e passando ai valori numerici: sinr ˆ V,46,606 sin ˆ r R sin ˆ r V 0,9 sin ˆ r R ˆ r V < r ˆ R uindi, a parità di angolo d incidenza, l angolo di rirazione del raggio V è più piccolo di uello del raggio R: ciò signiica che, come volevasi dimostrare, V, avvicinandosi di più alla normale rispetto ad R, risulta più deviato. Il rapporto tra le velocità v R / v V è: v R, m s -, v V, m s Calcolare la distanza ocale che assume una lente da 5 diottrie in aria, atta con vetro di indice di rirazione n,5, uando è immersa in un liuido di indice di rirazione n,3. Poiché il potere diottrico di una lente, per deinizione, è dato dall inverso della sua distanza ocale espressa in metri, se la lente è da 5 diottrie, in aria, sarà: aria Dalla ormula dei punti coniugati per una lente: p + m 0, m 0 cm 5 ( ) n - - R R dove n è l indice di rirazione del materiale di cui è costituita la lente. Questa relazione si ricava dalla somma termine a termine delle euazioni dei punti coniugati dei due diottri costituenti la lente, ove si è supposto n ( dato che la lente è in aria ). Ma se n, si ha:

12 n p + n ( ) n - R + R n p + n - ( ) + R R e uindi: n - n R - R p + dato che la lente si suppone sottile, è lecito are l approssimazione seguente: da: a: che porge: n - n n n n n R - Il primo termine rappresenta / l, cioè l inverso della distanza ocale che ha la lente uando è immersa nel liuido. Quindi: Sapendo che: e che uindi: e passando ai valori numerici: aria n - ( ),5,3 - n - n R R - aria 0, m - R R n n - 0,,5 - R aria n - p R - R + l ( ) ( n - ) aria ( ),44 m- l 0,69 m 69 cm Nel vuoto la luce rossa ha una lunghezza d onda λ nm. Se essa incide su una lastra di vetro di indice di rirazione n v,5, calcolare:. la velocità della luce nel vetro. la lunghezza d onda λ v nel vetro.

13 3. Dalla deinizione di indice di rirazione, n v c v v in cui si ha: c velocità della luce nel vuoto: c 3,0 08 ms- v v velocità della luce nel vetro, da trovare v v c n v v v ms -,5,0 0 8 ms -. Dalla deinizione di velocità di un onda: v λ ν dove ν è la reuenza dell onda, indipendente dal mezzo in cui uesta si propaga, si ha: e, ricordando che: passando ai valori numerici, si ha: ν v λ v v λ v c λ c λ v v v λ c c nm,0 0-9 m 600 nm 6,0 0-7 m λ v,0 0 8 ms - 6,0 0-7 m 4,0 0-7 m λ 3, ms - v 400 nm - - Un oggetto luminoso è situato a 3 m da uno specchio concavo. Se la sua immagine si orma ad m, calcolare la distanza ocale dello specchio ed il suo raggio di curvatura. Dalla legge dei punti coniugati: p + R se p 3 m e m si ha: 3 + R 4 3 R 3 R R 3 m,5 m - - Una reccia luminosa alta 0 cm è disposta verticalmente col proprio centro sull asse di uno specchio convesso di raggio 80 cm. Sapendo che la reccia si trova a m dallo specchio, si determini la distanza e la lunghezza della sua immagine.

14 4 Dalla legge dei punti coniugati: p R - ig. 7 - p + - R - R - p e passando ai valori numerici: cm ,3 cm in cui: p distanza tra la reccia ed il vertice dello specchio ( m ) distanza tra il vertice dello specchio e l immagine R raggio di curvatura dello specchio ( essendo nello spazio virtunale, è negativo: R m ) E uindi l immagine, virtuale, si viene a ormare a 33,3 cm dall intersezione tra lo specchio e l asse ottico principale all interno dello specchio. Per l ingrandimento, utilizzando la: si ottiene: G G 33, 3 00 p 0, 665 essendo G positivo, l immagine risulta dritta e la sua altezza, allora, sarà: h 0 cm 0,665 h 3,33 cm Un disco opaco del diametro di 0 cm, disposto parallelamente ad uno schermo, viene illuminato da una sorgente puntiorme posta sull asse del disco ad m da uesto. uale distanza dallo schermo è posto il disco se la zona d ombra proiettata sullo schermo ha il raggio di 0,5 m? Poiché i triangoli S D C e S D C sono simili - dato che sono rettangoli in C e C, l angolo in S è in comune, e, di conseguenza, anche il terzo angolo sarà D uguale ( visto che la somma degli angoli interni di un triangolo deve essere S C 80 ) - hanno i lati omologhi in proporzione. Quindi sarà: R 5 cm disco D' 0.5 m C' schermo SD SD' DC D'C' SC SC' m X - Fig. 8 - in particolare sarà:

15 5 SC SC' DC D'C' SC SC' SC SC' 0 e uindi: La distanza richiesta era X, cioè: SC' 0 SC 0 m SC' 0 m X SC' - SC 0 m - m X 9 m Una lente biconvessa di vetro ( n V 3/ ), le cui acce hanno raggio di curvatura uguale, presenta nell aria una distanza ocale di 50 cm. Qual è la lunghezza del raggio di curvatura? Se la lente osse immersa nell acua ( n 4/3 ), uale valore assumerebbe la distanza ocale? Considerando l indice di rirazione dell aria uguale a uello del vuoto, cioè, ed applicando l euazione dei punti coniugati - nella uale R R R per ipotesi - si ha: ( n - ) - R R allora: R - - R 50 R 50 R e uindi: R 50 cm Se la lente osse in acua, nella legge dei punti coniugati, n, che è il rapporto tra l indice di rirazione del mezzo di cui è costituita la lente e uello del mezzo in cui essa si trova, diventa: llora: n cm Una reccia luminosa alta 0 cm è posta davanti ad uno specchio concavo perpendicolarmente al suo asse e con la base su uesto. Sapendo che il raggio di curvatura dello specchio è di m e che la reccia è posta alla distanza di 3 m dal suo vertice, si determini la distanza dell immagine della reccia e la sua lunghezza. Si dica inoltre se si tratta di un immagine reale o virtuale e se è dritta o capovolta.

16 6 Per calcolare la distanza dell immagine della reccia dal vertice dello specchio,, si può are ricorso all euazione dei punti coniugati: p + P C P' dalla uale si ricava: - p p p - e, tenendo presente che, nel caso dello specchio, è: e che, uindi: si ha: e passando ai valori numerici: R p p - R R R/ 50 cm R p p - R R p p - R 60 cm Per calcolare la lunghezza dell immagine, cioè l ingrandimento G, si ricorre alla ormula: G p G 60 cm 300 cm 5 allora l altezza, h, dell immagine sarà /5 di uella della reccia: p R - Fig. 9 - h 5 0 cm h cm Essendo p e positivi, sono entrambi nello spazio reale, uindi, come si vede anche dalla igura, l immagine risulta reale e capovolta In un blocco di vetro ( indice di rirazione relativo all aria: 3/ ) si è ormata una cavità d aria a orma di lente sottile biconvessa, le cui acce hanno raggi di curvatura rispettivamente di 0 cm e di 30 cm. Determinare la lunghezza ocale della lente. Dire se si tratta di una lente convergente o divergente. Nella ormula: ( n - ) + R R bisogna are attenzione che l indice di rirazione, n, non è del vetro rispetto all aria, come sarebbe nel caso di una lente di vetro in aria, ma dell aria rispetto al vetro, cioè l inverso del dato ornito dal problema, visto che in uesto caso si ha una lente d aria nel vetro; allora:

17 7 n n V - n - V 3 n 3 e uindi: da cui: - 36 cm Essendo la sua distanza ocale negativa, la lente è divergente Qual è il potere di ingrandimento di una lente di lunghezza ocale 5 cm? uale distanza dalla lente deve essere posto un oggetto per avere uesto ingrandimento? Dall euazione dei punti coniugati: p + poichè in una lente d ingrandimento l immagine è virtuale, è negativo, e uindi: e dalla ormula dell ingrandimento: p - p - G p ma, ricordando che è negativo: G p p - - G - nel caso della lente d ingrandimento, non può essere ineriore alla distanza del punto prossimo ( per un occhio normale è circa 5 cm ) e uindi, tenendo presente che 5 cm, si ha: G 5 cm 5 cm - G 4 X Calcolo della distanza cui si deve mettere un oggetto ainchè, con uesta lente, sia ingrandito 6 volte: ancora dalla ormula dell ingrandimento: G p p G p ,5 cm

18 8 Quali sono le immagini prodotte da una sorgente puntiorme posta ad ugual distanza da due specchi piani, che ormano tra loro un angolo di 60?, 5, 3, 3, 5, 4,, 3, 4, 5 Spiegare dettagliatamente perché utilizzando anche la costruzione graica. Il numero delle immagini prodotte dalla sorgente, posta ad ugual distanza da due specchi piani che ormano un angolo α, si può calcolare utilizzando la ormula: ed essendo α 60 si ha: n 360 α - n n I - Fig Fig. - E uindi le immagini che si producono sono 5. Poichè l unica risposta che elenca 5 immagini è la 5 ), signiica che uest ultima è uella esatta. Dalla igura ui accanto, si vede che un raggio luminoso, per esempio parallelo allo specchio I, dopo aver investito, si rilette sullo specchio II, producendo l immagine 5. Dopo tale rilessione, il raggio incide sullo specchio I originando, uesta volta, l immagine. Considerando, ora, un raggio ualunue, si vede che dopo la prima rilessione esso genera l immagine, dopo la seconda, 4, e, dopo la terza, Qual è il potere diottrico ( in diottrie ) di una lente necessaria a correggere la miopia in 4 una persona con un punto remoto di 50 cm? Nel calcolo si operi l opportuna approssimazione. Si ricordi, inoltre che la miopia ( capacità di vedere soltanto da vicino ) è un dietto di vista per cui l occhio non è più in grado di accomodare gli oggetti più lontani di una certa distanza ( punto - Fig. - remoto ). Il punto remoto, per un occhio sano, è, ovviamente, all ininito. Quindi, il compito della lente sarà uello di portare alla distanza di 50 cm da essa l immagine che si trova all ininito o, comunue, molto lontano. E poichè tale immagine dovrà essere dalla stessa parte della sorgente e visibile senza l ausilio di uno schermo, essa dovrà essere virtuale; allora la distanza tra essa e la lente,, sarà negativa. Dall euazione dei punti coniugati, si ha: p I 5 I 5 I II I II I II la uale se: e diventa: p - 50 cm -,5 m

19 9 mentre il potere diottrico, essendo espresso in metri è: D -,5 m -,5 m -,5 m ,4 diottrie In un blocco di ghiaccio si è ormata una cavità d aria a orma piano-convessa, la cui accia convessa ha raggio di curvatura 50 cm. Determinare la lunghezza ocale della lente ed il suo potere diottrico ricordando che l indice di rirazione del ghiaccio rispetto all aria è n 4/3. Essendo la lente di aria nel ghiaccio, ed avendo l indice di rirazione del ghiaccio rispetto all aria, è necessario trovare l indice di rirazione dell aria rispetto al ghiaccio che è l inverso di uello dato: se: n g-a 4/3 è: poi, dall euazione dei punti coniugati: n a-g - n a-g 3/4 ( ) R - R discende: cm- e uindi: 00 cm m llora il potere diottrico, se è espresso in m, per deinizione sarà: D m D 0,5 diottrie Un uomo si trova a m da uno specchio piano verticale. Calcolare la distanza dell uomo dalla sua immagine e l ingrandimento G dello specchio. Dall euazione: p + nella uale: p distanza uomo - specchio distanza specchio - immagine distanza ocale ( per uno specchio piano è )

20 0 si ha: p + p + 0 p - p - allora se p m, sarà: - m, cioè m nello spazio virtuale ( dato che il valore di è negativo ), e uindi la distanza tra l uomo e la sua immagine è data dalla ormula: e uindi: L ingrandimento, G, è dato dalla: D p - D p - m - ( - m ) m + m 4 m G p G m m Date due lenti di distanze ocali 0,5 m e 5 cm, dire ual è il potere diottrico ( espresso in diottrie ) del sistema ormato dalle due lenti. Il potere diottrico di una lente, D, è dato dalla: purché la distanza ocale,, sia espressa in metri: 0,5 m; 5 cm 0,5 m llora: D D D 0,5 diottrie e D D 0,5 4 diottrie essendo il potere diottrico totale del sistema dato dalla somma di uelli delle due lenti, si ha: D, D + D diottrie Dati due specchi piani a 90 ra di loro, determinare il numero e la posizione delle immagini di un oggetto posto ad ugual distanza p m dai due specchi. iutarsi con un disegno.

21 L oggetto S, posto ad un metro da entrambi gli specchi, e uindi sulla bisettrice dell angolo di 90 tra di essi, genera tre immagini, come si può vedere dalla seguente ormula: n 360 α - n e dalla igura 3 ui accanto: II Dalla rilessione con lo specchio verticale, I, si ha l immagine I. Se si osserva il raggio, tra gli ininiti uscenti da S, che incontra lo specchio I m nel punto, si vede che esso si rilette sulla stessa retta tornando verso S; essendo l angolo d incidenza proprio 0, tale sarà anche uello di rilessione ( per la legge di Euclide - il raggio incidente e uello rilesso, oltre ad essere complanari, ormano con la normale al punto d incidenza due angoli uguali, detti I 3 I angolo d incidenza e angolo di rilessione - ). Se ora si studia un secondo raggio - Fig. 3 - uscente da S, uello che si rilette nel punto B, si nota che i prolungamenti di entrambi i raggi rilessi si incontra- no nel punto I. Non è diicile dimostrare che i triangoli SB e I B sono uguali: inatti sono rettangoli, hanno il lato B in comune e gli angoli in B uguali: inatti uno è l angolo d incidenza mentre l altro è l alterno interno all angolo di rilessione. Essendo i triangoli uguali, in particolare avranno uguali i lati IS e II, ma IS è la distanza, p, tra la sorgente e lo specchio, cioè m, allora anche sarà m ( è negativo perchè si trova nello spazio virtuale ). Nella igura 4 è mostrato come vede l osservatore: è disegnato, cioè il ascio dei raggi uscenti da S che, dopo la rilessione con lo specchio I, raggiungono l occhio dell osservatore. Il punto d incontro dei prolungamenti I I S dei raggi rilessi è il punto immagine I. Con ragionamento del tutto analogo si può dimostrare che I è l immagine di m S dopo la rilessione con lo specchio orizzontale II. nche in uesto caso, visto che p m, sarà - m. II Inine, considerando due rilessioni negli specchi, come nella igura 5 ui di ianco, un osservatore O vede anche una terza immagine, I 3, in posizione m simmetrica ad S rispetto al vertice dei due specchi. Per costruirla è suiciente prolungare idealmente gli specchi ed essa risulta contemporaneamente l immagine di I rispetto allo specchio I e di I rispetto allo specchio II. In I 3 I uesto caso, però p sarà dato dall ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele - Fig 4 - i cui lati uguali sono lunghi m, per il teorema di Pitagora: I m I B N S p +,4 m I I S e, uindi, anche -,4 m. Poiché tutte e tre le immagini si ottengono dai prolungamenti dei raggi rilessi, esse sono virtuali e, uindi, negative. llora, come si è appena visto, si ha: - m e 3 -,4 m. m m II I 3 I - Fig. 5 -

22 Un signore vede bene ino a metri di distanza, cioè riesce a mettere a uoco gli oggetti situati ino a metri. Dire: a) ual è il dietto di vista b) che tipo di lente correttiva occorre c) e di uante diottrie a) Il dietto di vista di chi non ha il punto remoto non è all ininito, è la miopia. b) Per correggere tale dietto occorre una lente che dia le immagini degli oggetti che si trovano tra il punto remoto e l ininito, esattamente nel punto remoto. Tali immagini dovranno essere virtuali, altrimenti occorrerebbe uno schermo per raccoglierle, e dalla stessa parte degli oggetti che le producono. Lenti con tali caratteristiche si chiamano lenti divergenti. c) Per calcolare il potere diottrico della lente che occorre in uesto caso, si può procedere così: essendo il potere diottrico di una lente dato dall inverso della distanza ocale se uesta è espressa in metri, e sapendo che, per sua deinizione, la distanza ocale,, è la distanza in cui si ormano le immagini degli oggetti a distanza ininita, e siccome in uesto caso le immagini di tali oggetti devono ormarsi nel punto remoto, cioè a m nello spazio virtuale, deve essere: e uindi: D D - m ,5 diottrie Un raggio luminoso monocromatico incide sulla supericie di separeazione B tra aria ed un mezzo liuido trasparente, come rappresentato nella igura ui di ianco. Si deduca ual è il valore dell indice di rirazione rispetto all aria del mezzo incognito. Essendo, per deinizione, l angolo d incidenza e di rirazione uelli tra raggio incidente, î, e riratto, ˆ r rispettivamente e la supericie di separazione tra i due mezzi nel punto d incidenza, si ha: e î î 30 ˆ r 90-67,5 ˆ r,5 - Fig. - allora, applicando la legge della rirazione, o di Snell, nella uale con n aria e con n inc si intendono rispettivamente l indice di rirazione dell aria e del mezzo incognito: e uindi n inc,3 n aria. sin ˆ i sin ˆ r n inc n aria sin30 sin,5 n inc n aria n inc n aria 0, 5 0, 38, 3 Di uale attore 3 si ridurrà l intensità di un raggio luminoso dopo tre rilessioni ( su tre specchi ), in ognuna delle uali l intensità della luce assorbita è /3 di uella incidente.

23 3 Se l intensità della luce assorbita è /3 di uella incidente, uella rilessa sarà: - /3 /3 di uella incidente. Quindi dopo la prima rilessione, l intensità della luce rilessa è /3 di uella incidente, cioè: e dopo un altra rilessione: inine, dopo un ulteriore rilessione: e allora: /3 0 /3 /3 /3 0 (/3) 0 3 /3 /3 /3 /3 0 (/3)3 0 8/ ,96 0 9,6 % 0 N.B. Da notare che, iterando il ragionamento, dopo n rilessioni si avrà: n (/3)n Un oggetto luminoso è posto ad una distanza p 0,5 m da uno specchio serico con raggio di curvatura R m. Determinare: a) se lo specchio è concavo o convesso; b) la sua distanza ocale ; c) a che distanza dallo specchio si orma l immagine; d) il tipo d immagine e) l ingrandimento lineare. a) Essendo R m, uindi R > 0, per deinizione, lo specchio è concavo. b) La sua distanza ocale, ancora per deinizione, è: R c) Dall euazione dei punti coniugati: si ha: p + m m 0, d) Essendo < 0, l immagine risulta virtuale. e) L ingrandimento è dato dall euazione: G - - m - - m p - Fig. 3 -

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