Matematica Corso Base a.a INTRODUZIONE LEZIONE I Federica Ricca

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1 Matematica Corso Base a.a INTRODUZIONE LEZIONE I Federica Ricca

2 Informazioni generali

3 Introduzione: informazioni generali INSEGNAMENTO DOCENTE MATEMATICA CORSO BASE (Scienze Aziendali E-M) Prof.ssa Federica Ricca studio: stanza n.148, I piano, corridoio Ala B homepage: RICEVIMENTO STUDENTI Giovedì dopo lezione Per esigenze particolari: per appuntamento da richiedere per . ORARIO DELLE LEZIONI AULA 3 Martedì 9-11 Mercoledì 9-11 Giovedì

4 Introduzione: obiettivi e contenuti INSEGNAMENTO DOCENTE OBIETTIVI MATEMATICA CORSO BASE (Scienze Aziendali E-M) Prof.ssa Federica Ricca federica.ricca@uniroma1.it studio: stanza n.148, I piano, corridoio Ala B homepage: Obiettivo dell insegnamento è fornire allo studente, che si trova all'inizio del percorso degli studi universitari alla Facoltà di Economia, gli strumenti fondamentali per le analisi quantitative che dovrà affrontare sia nei successivi corsi di base del corso di studi della laurea triennale, come ad esempio Matematica Finanziaria, sia più avanti negli studi dei corsi di laurea magistrale. Si tratta di strumenti utili qualsiasi sia il percorso di studi che verrà scelto dallo studente (aziendale, economico, finanziario). CONTENUTI ALGEBRA LINEARE ANALISI MATEMATICA 4

5 Introduzione: testi INSEGNAMENTO DOCENTE TESTI MATEMATICA CORSO BASE (Scienze Aziendali E-M) Prof.ssa Federica Ricca studio: stanza n.148, I piano, corridoio Ala B homepage: ALGEBRA LINEARE S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare ( Appunti integrativi del docente (lucidi delle lezioni) ANALISI MATEMATICA M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, CISU Edizioni, Roma, 2015 A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica. 700 esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012 Appunti integrativi del docente (lucidi delle lezioni) NOTA Per la parte di analisi matematica all inizio non seguiremo molto il testo del prof. Angrisani, perché troppo ampio e generale, ma cercheremo di focalizzare sulle nozioni fondamentali (NO capitoli 1 e 2 e solo parzialmente capitolo 3). 5

6 Introduzione: piattaforma di e-learning Moodle Il corso è svolto nella maniera tradizionale con le lezioni frontali in aula. Il corso si avvale della piattaforma di e-learning Moodle attraverso la quale è possibile scambiare agevolmente materiale didattico e comunicazioni. Ogni studente deve iscriversi al corso on-line Matematica Corso Base. 6

7 Introduzione: piattaforma di e-learning Moodle Il corso è svolto nella maniera tradizionale con le lezioni frontali in aula. Il corso si avvale della piattaforma di e-learning Moodle attraverso la quale è possibile scambiare agevolmente materiale didattico e comunicazioni. Ogni studente deve iscriversi al corso on-line Matematica Corso Base. 7

8 Indicazioni generali sulla prova d esame e metodo di studio

9 Prova d esame REGOLE Tutte le informazioni sono disponibili nella pagina web del sito del docente dedicata a questo insegnamento Tutte le comunicazioni relative all insegnamento (avvisi di sospensione o spostamento lezione, comunicazioni relative agli esami, convocazioni alla prova scritta e orale) verranno pubblicate nella stessa pagina web del docente In caso di cattivo funzionamento delle pagina web del docente, gli avvisi verranno pubblicati sul forum del corso di e-learning Moodle. 9

10 Prova d esame REGOLE Tutte le informazioni sono disponibili nella pagina web del sito del docente dedicata a questo insegnamento 10

11 Prova d esame REGOLE Tutte le informazioni sono disponibili nella pagina web del sito del docente dedicata a questo insegnamento 11

12 Prova d esame REGOLE Tutte le informazioni sono disponibili nella pagina web del sito del docente dedicata a questo insegnamento 12

13 Prova d esame CALENDARIO PROVE D ESAME APPELLI MATEMATICA CORSO BASE (Scienze Aziendali) gennaio 2018 (martedi') 9 febbraio 2018 (venerdi') 7 maggio 2018 (lunedi ) riservato agli studenti fuori corso 13 giugno 2018 (mercoledi') 10 luglio 2018 (martedi') 7 settembre 2018 (venerdi') 22 ottobre 2018 (lunedi ) riservato agli studenti fuori corso e laureandi NOTA SULLE PRENOTAZIONI È OBBLIGATORIO prenotarsi all appello del docente del proprio canale. Chi si prenota in un altro canale non sarà considerato prenotato in E-M. Chi si prenota nel canale E-M appartenendo ad un altro canale non sarà chiamato all appello. 13

14 Prova d esame CONSIGLI PER SUPERARE LA PROVA D ESAME Si deve studiare la teoria per capire i risultati e poi saperli applicare. Si deve fare esercizio pratico per verificare di saper applicare i risultati teorici per la risoluzione dei problemi pratici. Si deve studiare la teoria imparando ad usare correttamente e correntemente il linguaggio matematico ed essere in grado di esprimersi alla prova orale. Per svolgere una prova orale positiva occorre: saper enunciare i teoremi, le definizioni e le proprietà nella loro forma generale; saper illustrare esempi; saper dimostrare formalmente i teoremi (quelli dimostrati a lezione). Per questo occorre studiare ripetendo a voce alta ciò che si afferma e scrivendo su carta i passaggi matematici che si stanno illustrando (questa è anche la modalità della prova orale). 14

15 Prova d esame Fac-simile prova d esame scritta 15

16 Metodo matematico: POSTULATI e TEOREMI

17 METODO MATEMATICO: POSTULATI Sono stabiliti, con precisione e senza ambiguità, dei presupposti che chiamiamo postulati o assiomi. A partire da tali presupposti, si ottengono risultati teorici (che chiamiamo teoremi) attraverso dimostrazioni formali. (REGOLE DEL GIOCO) (GIOCO) POCHI postulati MOLTI risultati I postulati dei numeri reali sono generalmente dati per scontati. Esempio Siamo tutti d accordo che: 3+2 = 2+3? PROPRIETA COMMUTATIVA DELLA SOMMA DI DUE NUMERI REALI

18 METODO MATEMATICO: TEOREMI Sono stabiliti, con precisione e senza ambiguità, dei presupposti che chiamiamo postulati o assiomi. A partire da tali presupposti, si ottengono risultati teorici (che chiamiamo teoremi) attraverso dimostrazioni formali. I TEOREMI consistono in un enunciato e una dimostrazione. Proposizione Una proposizione è una affermazione per la quale è immediato stabilire se è vera o falsa. Esempio T è un triangolo rettangolo. Enunciato L ENUNCIATO di un teorema è una implicazione logica del tipo: se IPOTESI allora TESI dove IPOTESI e TESI sono due proposizioni. Esempio se T è un triangolo rettangolo allora la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all area del quadrato costruito sull ipotenusa. La TESI del Teorema deve essere dimostrata.

19 METODO MATEMATICO: TEOREMI Sono stabiliti, con precisione e senza ambiguità, dei presupposti che chiamiamo postulati o assiomi. A partire da tali presupposti, si ottengono risultati teorici (che chiamiamo teoremi) attraverso dimostrazioni formali. I TEOREMI consistono in un enunciato e una dimostrazione. Dimostrazione La DIMOSTRAZIONE di un teorema consiste nell assumere come vera l ipotesi e arrivare a stabilire la veridicità della tesi attraverso una sequenza di implicazioni logiche. se IPOTESI allora TESI Tipologie di dimostrazione DIRETTA INDIRETTA o PER ASSURDO PER INDUZIONE

20 Postulati dei NUMERI REALI

21 POSTULATI DEI NUMERI REALI Enunciamo in maniera formale i quattro postulati che consideriamo in questo corso e che riguardano i NUMERI REALI indicati solitamente con R. Notazione Già a partire da qui utilizziamo il linguaggio rigoroso della matematica che richiede una scrittura formale (più sintetica e precisa della scrittura a parole ) basata su simboli e notazioni che occorre conoscere e saper utilizzare fluentemente. (linguaggio UNICO e UNIVERSALE) Esempi di notazione matematica 1,2,3, simboli utilizzati per i numeri naturali > < = confronto tra quantità implicazione logica appartenenza e inclusione E E quantificatori

22 POSTULATI DEI NUMERI REALI Enunciamo in maniera formale i quattro postulati che consideriamo in questo corso e che riguardano i NUMERI REALI indicati solitamente con R. Postulati dei numeri REALI Postulato 1 Esistenza dei numeri reali Esiste una collezione di elementi che chiamiamo numeri reali e indichiamo coni simboli noti per i quali è possibile eseguire le quattro operazioni elementari: addizione + sottrazione - moltiplicazione divisione / ed effettuare confronti attraverso gli operatori > < = Esempio Se a e b sono due elementi della collezione, allora lo sono anche: a+b a-b a b a/b Esempio Se a e b sono due elementi della collezione, allora siamo in grado di stabilire se: a<b a>b a=b

23 POSTULATI DEI NUMERI REALI Postulato 2 Proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione P2.1 Proprietà commutativa Dati a e b numeri reali si ha: a+b = b+a a b=b a P2.2 Proprietà associativa Dati a, b e c numeri reali si ha: (a+b)+c = a+(b+c) (a b) c = a (b c) P2.3 Proprietà distributiva (del prodotto nella somma) Dati a, b e c numeri reali si ha: a (b+c) = (a b)+(a c) P2.4 Esistenza degli elementi neutri (della somma e del prodotto) Esistono in R: il numero 0 (elemento neutro della somma) tale che a+0 = a a R il numero 1 (elemento neutro del prodotto) tale che a 1 = a a R P2.5 Esistenza dell opposto Per ogni numero a in R esiste il numero a tale che a+( a) = 0 P2.6 Esistenza del reciproco Per ogni numero a in R, a 0, esiste il numero a -1 tale che a (a -1 ) = 1

24 POSTULATI DEI NUMERI REALI Postulato 3 Proprietà delle operazioni di confronto P3.1 Dicotomia Per ogni a e b numeri reali si ha: a b oppure a b P3.2 Proprietà asimmetrica Se a b e simultaneamente a b allora a = b P3.3 Invarianza dell ordinamento per traslazione Se a b allora a + c b + c c R P3.4 Invarianza del segno per traslazione positiva e per scalatura positiva Se a 0 e b 0 allora a + b 0 e a b 0

25 POSTULATI DEI NUMERI REALI Postulato 4 Assioma di completezza Siano A e B due collezioni di numeri scelti tra i numeri reali per i quali valga la proprietà seguente: comunque presi a A e b B si ha a b. Allora, qualunque siano i numeri a A e b B, esiste almeno un numero reale c tale che a c b. Esempio A è costituito da tutti i numeri reali negativi e B da tutti i numeri reali positivi. È verificato che comunque presi a A e b B si ha a b. Per ogni scelta di a e b il numero reale c per cui a c b è c=0. NOTA Da questi assiomi (per noi tutti naturali e intuitivi) derivano moltissime altre proprietà dei numeri reali che diamo per scontate e che invece si DEVONO DIMOSTRARE formalmente a partire dagli assiomi.

26 CONSEGUENZE DEI POSTULATI

27 CONSEGUENZE DEI POSTULATI Un postulato afferma una proprietà che consideriamo vera. Un teorema (o lemma, o proposizione) che affermi una proprietà diversa da quelle dei postulati DEVE ESSERE DIMOSTRATO. Esempio: Legge di annullamento del prodotto Dati a e b reali: a b= 0 almeno uno tra a e b è nullo NOTA Da questi assiomi (per noi tutti naturali e intuitivi) derivano moltissime altre proprietà dei numeri reali che diamo per scontate e che invece si DEVONO DIMOSTRARE formalmente a partire dagli assiomi. Non si tratta dunque di altri assiomi, ma di risultati che occorre dimostrare. 27

28 CONSEGUENZE DEI POSTULATI Un postulato afferma una proprietà che consideriamo vera. Un teorema (o lemma, o proposizione) che affermi una proprietà diversa da quelle dei postulati DEVE ESSERE DIMOSTRATO. Esempio: Legge di annullamento del prodotto Dati a e b reali: a b= 0 almeno uno tra a e b è nullo DIMOSTRAZIONE ( sufficienza) Dimostriamo che: SE almeno uno tra a e b è nullo (ALLORA) a b= 0 IPOTESI Supponiamo, Senza Perdere In Generalità (SPIG), che sia b=0. Vale allora la seguente catena di uguaglianze: P2.4 P2.3 P2.4 P2.4 P2.4 a + a 0 = a 1 + a 0 = a (1+0) = a 1 = a = a + 0 TESI NOTA: Sotto l ipotesi fatta a 0 = a b si conclude quindi che a b= 0

29 CONSEGUENZE DEI POSTULATI Un postulato afferma una proprietà che consideriamo vera. Un teorema (o lemma, o proposizione) che affermi una proprietà diversa da quelle dei postulati DEVE ESSERE DIMOSTRATO. Esempio: Legge di annullamento del prodotto Dati a e b reali: a b= 0 almeno uno tra a e b è nullo DIMOSTRAZIONE ( necessità) Dimostriamo che: SE a b= 0 (ALLORA) almeno uno tra a e b è nullo IPOTESI Ci sono solo due casi possibili Caso 1: a=0 Caso 2: a 0 TESI 29

30 CONSEGUENZE DEI POSTULATI Un postulato afferma una proprietà che consideriamo vera. Un teorema (o lemma, o proposizione) che affermi una proprietà diversa da quelle dei postulati DEVE ESSERE DIMOSTRATO. Esempio: Legge di annullamento del prodotto Dati a e b reali: a b= 0 almeno uno tra a e b è nullo DIMOSTRAZIONE ( necessità) Dimostriamo che: SE a b= 0 (ALLORA) almeno uno tra a e b è nullo Ci sono solo due casi possibili Caso 1: a=0 IPOTESI TESI in questo caso la tesi è ovviamente verificata 30

31 CONSEGUENZE DEI POSTULATI Un postulato afferma una proprietà che consideriamo vera. Un teorema (o lemma, o proposizione) che affermi una proprietà diversa da quelle dei postulati DEVE ESSERE DIMOSTRATO. Esempio: Legge di annullamento del prodotto Dati a e b reali: a b= 0 almeno uno tra a e b è nullo DIMOSTRAZIONE ( necessità) Dimostriamo che: SE a b= 0 (ALLORA) almeno uno tra a e b è nullo IPOTESI Ci sono solo due casi possibili Caso 2: a 0 SE a 0 per il post. di esistenza del reciproco esiste a -1 tale che a a -1 = 1 Vale allora la seguente catena di uguaglianze: TESI b = b 1 = b (a a -1 ) = a -1 (a b) = a -1 0 = 0 si conclude che b = 0