Dizionari. Realizzazione con alberi binari di ricerca. Alberi rosso-neri. Ugo de' Liguoro - Algoritmi e Seprimentazioni 03/04 Lez.

Transcript

1 Dizionari Realizzazione con alberi binari di ricerca. Alberi rosso-neri.

2 Dizionari con gli alberi Astro, Dado, Lana, Mela, Tasto,Vela, Zappa Mela Astro Tasto Zappa

3 Alberi binari di ricerca Gli alberi binari di di ricerca sono etichettati in in modo che i i sottoalberi sinistro e destro siano di di ricerca, e la la radice maggiorizza propriamente tutte le le etichette a sinistra ed ed è maggiorizzata da da tutte quelle a destra label( t) = { k} label(left( t)) label(right( t)) se t = se t = Nil ConsTree( k, l, r) t è di ricerca se è vuoto oppure se t = ConsTree(k, l, r) e l, r sono di ricerca max(label(l)) < k < min(label(r))

4 Un albero di ricerca

5 ADT degli alberi binari di ricerca Tipi: Key, Stree Operatori: Nil: void Stree ConsTree: Key, Stree, Stree Stree Left, Right: Stree Stree Label: Stree Key SetLabel: Key, Stree Stree SetLeft, SetRight: Stree, Stree Stree

6 ADT degli alberi binari di ricerca Label(ConsTree(k, l, r)) = k Left(ConsTree(k, l, r)) = l, Right(ConsTree(k, l, r)) = r ConsTree(k, l, r) Nil SetLabel(k, t) = t Pre: t Nil, Post: Label(t ) = k, Left(t ) = Left(t), Right(t ) = Right(t) SetLeft(t, t) = t, Pre: t Nil, Post: Label(t ) = Label(t), Left(t ) = t, Right(t ) = Right(t)

7 Ricerca Search (k, t) // Post: ritorna true sse k label(t) if t = Nil then return false else if Label(t) = k then return true else if k < Label(t) then return Search(k, Left(t)) else return Search(k, Right(t))

8 Minimo Minimum (t) // Pre: t Nil // Post: ritorna il minimo in label(t) // Oss. Il minimo in t è il nodo più a sinistra if Left(t) = Nil then return Label(t) else return Minimum (Left(t))

9 Successore Successor (15, t) = 17 = Minimum(Left(t))

10 Successore Successor (13, t) =

11 Successore Successor (k, t) // Pre: k label(t) // Post: ritorna il minimo in label(t) {k : k k} se esiste // + altrimenti return Succ(k, +, t) Succ(k, x, t) // Post: ritorna il minimo in label(t) {k : k k} se esiste // x altrimenti

12 Successore Succ(k, x, t) // Pre: k label(t) // Post: ritorna il minimo in label(t) {k : k k} se esiste // x altrimenti if Label(t) = k then if Right(t) Nil then return Minimum(Right(t)) else return x else if k < Label(t) then return Succ (k, Label(t), Left(t)) else // Label(t) < k return Succ(k, x, Right(t))

13 Inserimento Insert (k, t) // Post: trasforma t nel più piccolo albero di ricerca t t.c. // t t e label(t ) = label(t) {k} if t = Nil then return ConsTree(k, Nil, Nil) else if Label(t) = k then return t else if k < Label(t) then SetLeft(Insert(k, Left(t)), t), return t else SetRight(Insert(k, Right(t)), t), return t t t se t è un albero che si ottiene da t omettendo un sottoalbero

14 Un albero di ricerca 15 Gli inserimenti avvengono sempre sulle foglie Chiave inserita

15 Cancellazione Delete (k, t) // Post: trasforma t nel più grande albero di ricerca t t.c. // t t e label(t ) = label(t) {k} if t = Nil then return t else if Label(t) = k then /* canc. in radice: casi di base */ else if k < Label(t) then SetLeft(Delete(k, Left(t)), t), return t else SetRight(Delete(k, Right(t), t), return t

16 Cancellazione della radice Caso 1: Caso 3: Caso 2:

17 Cancellazione della radice Caso 1: if Left(t) = Nil then return Rigth(t)

18 Cancellazione della radice Caso 2: else if Right(t) = Nil then return Left(t)

19 Cancellazione della radice Caso 3: else m (m, t ) DelMax(Left(t)) SetLabel(m, t) // rimpiazza con m l etichetta della radice SetLeft (t, t) // rimpiazza Left(t) con t = Left(t) {m} return t

20 Cancellazione del massimo DelMax (t) // Pre: t Nil // Post: ritorna (m, t ), m = max (label(t)), // t è l albero ottenuto da t rimuovendo m if Right(t) = Nil then return (Label(t), Left(t)) else (m, t ) DelMax(Right(t)) SetRight(t, t) return (m, t) O m

21 Alberi bilanciati O(log n) Qual è il il caso peggiore? Cosa sappiamo del caso medio? Search, Insert e Delete hanno complessità O(h) dove h è l altezza dell albero Esistono alberi (completi, quasi completi) la cui altezza h è O(log n), dove n è la cardinalità Potremmo definire bilanciati gli alberi con questa relazione altezza/cardinalità

22 Alberi (s)bilanciati Se inseriamo n chiavi in un albero di ricerca inizialmente vuoto in ordine crescente cosa si ottiene? a 1 h = n 1 a2 O a n

23 Alberi bilanciati Se le n! possibili permutazioni di n chiavi distinte sono equiprobabili, il tempo medio di Search, Insert e Delete è effettivamente Θ(log n) ma Sarà meglio ristrutturare!

24 Alberi Rosso-Neri (Red-Black) Un Un albero binario di di ricerca è Rosso-Nero se se i i vertici sono rossi o neri e se: se: (Nero) le le foglie (NIL) sono nere (Rosso) ogni vertice rosso ha ha due figli neri (Ramo) il il numero dei dei nodi neri è uguale su su ogni ramo Per semplicità terminologica consideriamo foglia l albero vuoto: i vertici interni sono allora i vertici tout court

25 Un albero Rosso-Nero bh(15) = numero di vertici (interni) neri sui rami dell albero con radice in 15 = 2 22

26 Il teorema degli alberi RB Teorema. L altezza di di un un albero RB di di n vertici interni (per non contare le le foglie NIL) è h 2 log (n (n + 1) 1) Se v = root(t) ed n il numero dei vertici interni di t allora: n 2 bh( v) 1 Prova: per induzione su bh(v).

27 Il teorema degli alberi RB Teorema. L altezza di di un un albero RB di di n vertici interni (per non contare le le foglie NIL) è h 2 log (n (n + 1) 1) bh(v) = 0 t = n 2 bh( v) 1 n = 0 = 2 0 1

28 Il teorema degli alberi RB Teorema. L altezza di di un un albero RB di di n vertici interni (per non contare le le foglie NIL) è h 2 log (n (n + 1) 1) bh( v) bh(v) > 0 u = root( left( t)), w = root( right( t)) n 2 1 t = oppure t = bh ( u) = bh( w) = bh( v) bh( u) = bh( w) = bh( v) 1

29 Il teorema degli alberi RB Teorema. L altezza di di un un albero RB di di n vertici interni (per non contare le le foglie NIL) è h 2 log (n (n + 1) 1) bh( v) bh(v) > 0 u = root( left( t)), w = root( right( t)) n 2 1 t = oppure t = n = = int( t) = int( left( t)) + int( right( t)) bh( v) 1 bh( v) bh( v) ip. ind.

30 Il teorema degli alberi RB Teorema. L altezza di di un un albero RB di di n vertici interni (per non contare le le foglie NIL) è h 2 log (n (n + 1) 1) n 2 bh( v) 1 Regole (Rosso) e (Cammino) h 2 bh( v) quando v = root( t) : n 2 h / 2 1 n 2 n h / h / 2 2log( n + 1) h

31 Inserimento in un albero RB L inserimento in un albero di ricerca avviene sempre sulle foglie

32 Inserimento in un albero RB Come è possibile aggiungere vertici mantenendo l invariante di struttura? v

33 Inserimento in un albero RB v Devo colorare il nuovo vertice, e scelgo il rosso: la regola (Cammino) è salva, ma la regola (Rosso) è violata La regola (Rosso) è locale, ma (Cammino) è globale: dunque più difficile da recuperare

34 Inserimento in un albero RB v u Caso 1 x w Ricolorando u, x, w la regola (Cammino) è salva; la regola (Rosso) è soddisfatta in u ma non in y y v u x w Vero, ma y è più vicino alla radice di v!

35 Ricolorazione Caso 1: se il padre u e lo zio w di v sono rossi (e dunque il nonno x è nero) allora colora di rosso il nonno e di nero il padre e lo zio Post: l altezza nera dell albero è immutata, ma può darsi che ora il nonno sia figlio rosso di un altro vertice rosso

36 Inserimento in un albero RB y LR(y) u v w z Poiché v è figlio destro del nodo rosso y, ma lo zio z è nero, ruotiamo y a sinistra Caso 2 y u v w z Ora v è ancora anomalo, ma più prossimo alla radice

37 Rotazione y x x γ RightRotate(y, t) α y α β LeftRotate(x, t) β γ La rotazione sinistra/destra preserva la proprietà di essere un albero di ricerca

38 Rotazione: caso 2 Caso 2: se v è figlio destro (sinistro) del vertice rosso y, ma lo zio z è nero, ruota y a sinistra (destra). Post: l altezza nera dell albero è immutata, ma v è padre rosso di un vertice rosso (cioè y)

39 Inserimento in un albero RB y v w r RR(r) Non potendo ricolorare subito, prima ruotiamo a destra il padre r di v, poi ricoloriamo r di rosso e v di nero Caso 3 v y w r Finalmente un albero RB

40 Rotazione: caso 3 Caso 3: se v (rosso) ha un figlio sinistro (destro) rosso allora: 1. Se v è la radice, allora colorala di nero 2. Se v non è la radice allora ruota a destra (sinistra) il padre r di v, e colora v di nero ed r di rosso Post: l altezza nera dell albero è immutata, e l anomalia di v rispetto alla regola (Rosso) è risolta

41 Realizzazione di un albero RB parent key color left right

42 Realizzazione delle rotazioni y x x γ α y LeftRotate(v, t) w v.right, v.right w.left α β LeftRotate(x, t) β γ if w.left Nil then w.left.parent v w.parent v.parent if v.parent = Nil then t.root w else if v = v.parent.left then v.parent.left w else v.parent.right w w.left v, v.parent w

43 Analisi della complessità Insert(k, t) inserisci k in t come per gli alberi binari di ricerca O(h) ristruttura ricolorando e con rotazioni da una foglia verso la radice O(h) O ( h) + O( h) = O( h) = O(log n) Analoghe considerazioni valgono per Delete, mentre Search è ovviamente O(h) = O(log n)

44 Fine