Gianpiero Cabodi e Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino. Prestazioni dei BST

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1 Gli alberi bilanciati Gianpiero abodi e Paolo amurati Dip. utomatica e nformatica Politecnico di Torino Prestazioni dei BT Prestazioni variabili da: logaritmiche: caso migliore, albero bilanciato lineari: caso peggiore, albero degenere. oluzioni: applicazione periodica di procedure di ribilanciamento imposizione di vincoli sull albero per progr c limitare lo sbilanciamento /2005 Gli alberi bilanciati 2 1

2 pplicazione periodica di procedure di ribilanciamento: costo della procedura difficoltà nel determinare quando applicarla. Vincoli per ottenere alberi bilanciati o quantomeno limitare lo sbilanciamento /2005 Gli alberi bilanciati 3 lberi di ricerca lbero vuoto o con 3 tipi di nodi: : 1 chiave, sottoalbero X delle chiavi minori, sottoalbero DX delle chiavi maggiori 3-nodi: 2 chiavi ordinate, sottoalbero X delle chiavi minori di entrambe le chiavi, sottoalbero centrale delle chiavi comprese tra le due, sottoalbero DX delle chiavi maggiori di entrambe le chiavi 4-nodi: 3 chiavi ordinate, 4 sottoalberi con chiavi con valori che stanno negli intervalli di valori definiti dalle 3 chiavi /2005 Gli alberi bilanciati 4 2

3 sempio N G L M P X /2005 Gli alberi bilanciati 5 lberi di ricerca bilanciati Bilanciamento: tutte le foglie hanno ugual distanza dalla radice. i considerano esclusivamente alberi di ricerca bilanciati. BT: alberi non bilanciati formati da soli /2005 Gli alberi bilanciati 6 3

4 earch Generalizzazione della search nei BT onfronto sequenziale della chiave cercata con le chiavi della radice search hit se trovata se non trovata, scendo nel sottoalbero che corrisponde all intervallo di valori che comprende la chiave ricorsione nel sottoalbero /2005 Gli alberi bilanciati 7 sempio search di P N G L M P X /2005 Gli alberi bilanciati 8 4

5 nsert icerca a partire dalla radice per identificare il nodo in cui inserire la chiave: se il nodo corrente è un 4-nodi, lo si decompone in 2 e si inserisce la chiave di mezzo nel padre (che può essere solo un o un 3-nodi) /2005 Gli alberi bilanciati 9 Decomposizione (split) di un 4-nodi: 3-nodi 4-nodi /2005 Gli alberi bilanciati 10 5

6 Decomposizione (split) di un 4-nodi: 3-nodi 4-nodi 4-nodi /2005 Gli alberi bilanciati 11 Decomposizione (split) di una radice 4-nodi: 4-nodi L altezza dell albero cresce di 1. L albero cresce dalla radice verso l alto /2005 Gli alberi bilanciati 12 6

7 l termine della ricerca: il nodo identificato non può essere un 4-nodi (sarebbe stato decomposto prima di arrivarci) se il nodo identificato è un, inserisco ordinatamente la chiave trasformandolo in 3- nodi se il nodo identificato è un 3-nodi, inserisco ordinatamente la chiave trasformandolo in 4- nodi /2005 Gli alberi bilanciati 13 sempio nserimento in sequenza di NGX split split /2005 Gli alberi bilanciati 14 7

8 split N N split G N /2005 Gli alberi bilanciati 15 G N G N X /2005 Gli alberi bilanciati 16 8

9 nalisi di complessità Una ricerca in un albero bilanciato di N nodi non visita mai più di lgn + 1 nodi Un inserimento in un albero bilanciato di N nodi richiede nel caso peggiore meno di lgn + 1 split /2005 Gli alberi bilanciati 17 lberi red-black (B-tree) DT BT con proprietà: ogni nodo è o rosso o nero se un nodo è rosso, non può avere figli rossi ogni cammino semplice dalla radice a una foglia contiene lo stesso numero di nodi neri (l altezza nera b-height è la stessa) /2005 Gli alberi bilanciati 18 9

10 Definizione alternativa appresentazione degli alberi come BT con ulteriore bit di informazione per codificare e 3-nodi: link rossi che connettono piccoli alberi binari che formano 3-nodi e 4-nodi link neri che connettono l intero albero Ogni nodo è raggiunto tramite 1 solo link, quindi colorare i link equivale a colorare i nodi /2005 Gli alberi bilanciati 19 sempio 4-nodi /2005 Gli alberi bilanciati 20 10

11 3-nodi prima alternativa /2005 Gli alberi bilanciati 21 3-nodi seconda alternativa /2005 Gli alberi bilanciati 22 11

12 Da albero a B-tree N G L M P X /2005 Gli alberi bilanciati 23 Trasformazione del 4-nodo G N L M P X G /2005 Gli alberi bilanciati 24 12

13 Trasformazione del 3-nodo LM ( alternativa) N M P X G L /2005 Gli alberi bilanciati 25 Trasformazione del 3-nodo X ( alternativa) N M P G L X /2005 Gli alberi bilanciati 26 13

14 /2005 Gli alberi bilanciati 27 N P Trasformazione del 3-nodo N ( alternativa) G M L X /2005 Gli alberi bilanciati 28 N P G M L X

15 sempio /2005 Gli alberi bilanciati 29 Operazioni La ricerca è identica a quella nel BT: il colore dei nodi non ha effetto L inserzione deve garantire le proprietà dell Btree. Può avvenire in modo: bottom-up top-down nserzione top-down: immaginiamo di operare su un albero implementato tramite un B-tree /2005 Gli alberi bilanciati 30 15

16 nserzione top-down 4-nodi figlio di (link DX) lbero B-tree trasformazione cambio di colore /2005 Gli alberi bilanciati 31 sempio: 4-nodi figlio di (link DX) lbero B-tree trasformazione cambio di colore /2005 Gli alberi bilanciati 32 16

17 4-nodi figlio di (link X) lbero B-tree trasformazione cambio di colore /2005 Gli alberi bilanciati 33 sempio: 4-nodi figlio di (link X) lbero B-tree trasformazione cambio di colore /2005 Gli alberi bilanciati 34 17

18 4-nodi figlio di 3-nodi (link DX) lbero B-tree trasformazione cambio di colore /2005 Gli alberi bilanciati 35 sempio: 4-nodi figlio di 3-nodi (link DX) lbero B-tree trasformazione cambio di colore /2005 Gli alberi bilanciati 36 18

19 4-nodi figlio di 3-nodi (link X) lbero B-tree trasformazione cambio di colore rotazione DX /2005 Gli alberi bilanciati 37 sempio: 4-nodi figlio di 3-nodi (link X) lbero trasformazione cambio di colore rotazione DX B-tree /2005 Gli alberi bilanciati 38 19

20 4-nodi figlio di 3-nodi (link centrale) lbero B-tree trasformazione cambio colore rot. X rot. DX /2005 Gli alberi bilanciati 39 sempio: 4-nodi figlio di 3-nodi (link centrale) lbero trasformazione cambio colore rot. X rot. DX B-tree /2005 Gli alberi bilanciati 40 20

21 progr c L inserzione richiede operazioni locali di ristrutturazione dell albero con: cambi di colore: sw: 0 rosso, 1 nero ribilanciamento: scendendo nell albero si scompongono i 4- nodi, invertendo il colore dei 3 nodi risultanti risalendo si eseguono le rotazioni se necessario /2005 Gli alberi bilanciati 41 sempio nserimento di discesa ricorsiva su e cambio colore discesa ricorsiva su e creazione di nuovo nodo rosso risalita senza rotazioni /2005 Gli alberi bilanciati 42 21

22 sempio nserimento di G N N G N discesa ricorsiva su e cambio colore discesa ricorsiva su e creazione di nuovo nodo rosso /2005 Gli alberi bilanciati 43 G N G N G N risalita e rotazione a X rispetto a risalita e rotazione a DX rispetto a cambio colore della radice /2005 Gli alberi bilanciati 44 22

23 /2005 Gli alberi bilanciati 45 sempio nserimento di in B-tree vuoto /2005 Gli alberi bilanciati 46

24 Proprietà Un B-tree con n nodi ha al più un altezza pari a 2lg(N+1) Una ricerca in un B-tree richiede meno di 2lgN + 2 confronti Una ricerca in un B-tree con N chiavi casuali esegue in media 1.002lgN confronti /2005 Gli alberi bilanciati 47 24