alberi binari di ricerca (BST)

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1 Le tabelle di simboli e gli alberi binari di ricerca (BT) ianpiero abodi e Paolo amurati Dip. utomatica e Informatica Politecnico di Torino Tabelle di simboli Definizione: una tabella di simboli è una struttura dati formata da record con chiave con operazioni di base: inserimento di un nuovo record ricerca di un record con chiave data. Talora è detta dizionario /2005 Le tabelle di simboli e i BT 2 1

2 DT tabella di simboli Operazioni: inserimento di un nuovo elemento ricerca di un elemento con data chiave cancellazione di elemento specificato selezione del k-esimo elemento più piccolo ordinamento della tabella secondo la chiave unione di due tabelle /2005 Le tabelle di simboli e i BT 3 lgoritmo di ricerca = implementazione dell DT tabella di simboli. ecord di tipo Item che includono chiavi di tipo Key con operazioni less e eq. key per recuperare la chiave /2005 Le tabelle di simboli e i BT 4 2

3 Interfaccia void Tinit(int) ; int Tcount() ; void Tinsert(Item) ; Item Tsearch(Key) ; void Tdelete(Item) ; Item Tselect(int) ; void Tsort(void (*visit) (Item)) ; /2005 Le tabelle di simboli e i BT 5 estione delle chiavi duplicate truttura primaria con record privi di duplicati, composti da chiave e link a record con la stessa chiave, gestione della duplicazione affidata al client truttura con chiavi duplicate, ricerca che restituisce un qualsiasi record contenente la chiave ecord con chiave e identificatore univoco (eliminazione della duplicazione) /2005 Le tabelle di simboli e i BT 6 3

4 sempio lienttabellaimboli.c equenza di chiavi in input generata casualmente o letta da standard input controllo se la chiave era già stata vista inserimento solo di chiavi non ancora viste nella tabella dei simboli tipi delle chiavi e operazioni su di esse specificati in Item.h /2005 Le tabelle di simboli e i BT 7 icerca indicizzata da chiave Tabelle ad accesso diretto: chiave k U = {0, 1,, M-1} tutte le chiavi sono interi distinti che fungono da indici di un array array st[0, 1,, M-1]: se key, essa è in st[key], altrimenti st[key] contiene NULLitem memorizzazione di un insieme K di K chiavi /2005 Le tabelle di simboli e i BT 8 4

5 1 2 4 U (universo delle chiavi) M-1 TabellaccessoDiretto. st c K (chiavi usate) /2005 Le tabelle di simboli e i BT 9 Vantaggi/svantaggi omplessità delle operazioni di inserimento, ricerca e cancellazione: T(n) = O(1) omplessità delle operazioni di inizializzazione, selezione e ordinamento: T(n) = O(M) Occupazione di memoria (n) = O( U ) = O(M) applicabile per M piccolo spreco di memoria per K << M /2005 Le tabelle di simboli e i BT 10 5

6 icerca sequenziale truttura dati: array lista concatenata Proprietà della struttura dati: ordinata non ordinata /2005 Le tabelle di simboli e i BT 11 TabellarrayOrdinato.c rray ordinato: inserimento con spostamento di una posizione degli elementi più grandi ricerca mediante scansione sequenziale, terminazione: chiave trovata o chiave più grande. rray non ordinato: inserimento in fondo ricerca mediante scansione sequenziale completa /2005 Le tabelle di simboli e i BT 12 6

7 Lista ordinata: inserimento in ordine TabellaListaNonOrdina ta.c ricerca mediante scansione sequenziale, terminazione: chiave trovata o chiave più grande. Lista non ordinata: inserimento in testa ricerca mediante scansione sequenziale completa /2005 Le tabelle di simboli e i BT 13 nalisi di complessità caso peggiore inserim. ricerca array indicizz. 1 1 array ordin. N N lista ordin. N N lista non ordin. 1 N /2005 Le tabelle di simboli e i BT 14 7

8 earch hit: ricerca con successo earch miss: ricerca senza successo. caso medio inserim. search hit search miss array indicizz array ordin. N/2 N/2 N/2 lista ordin. N/2 N/2 N/2 lista non ordin. 1 N/2 N /2005 Le tabelle di simboli e i BT 15 icerca binaria icbin.c osto quadratico per mantenere ordinato l array in inserimento Vantaggioso in situazioni statiche : array ordinato una sola volta all inizio ricerche, non inserzioni/cancellazioni fficienza legata alla capacità di accesso immediato alla cella dell array, svantaggioso usare liste concatenate /2005 Le tabelle di simboli e i BT 16 8

9 nalisi di complessità caso peggiore caso medio inserim. ricerca inserim. search hit search miss ric. bin. N lgn N/2 lgn lgn /2005 Le tabelle di simboli e i BT 17 lberi binari di ricerca (BT) DT albero binario con proprietà: nodo x vale che: nodo y Left(x), key[y] key[x] nodo y ight(x), key[y] key[x] x Left(x) ight(x) /2005 Le tabelle di simboli e i BT 18 9

10 sempi /2005 Le tabelle di simboli e i BT 19 Operazioni search minimum maximum predecessor successor insert sort select delete. TabellaBT.c /2005 Le tabelle di simboli e i BT 20 10

11 earch icerca ricorsiva di un nodo con chiave v: percorrimento dell albero dalla radice terminazione: v uguale alla chiave della radice dell albero (search hit) oppure giunti ad un albero vuoto (search miss) ricorsione: dal nodo x su sottoalbero sinistro se v < della chiave in x su sottoalbero sinistro se v della chiave in x /2005 Le tabelle di simboli e i BT 21 sempio 15 k = < /2005 Le tabelle di simboli e i BT 22 11

12 15 k = > /2005 Le tabelle di simboli e i BT k = > /2005 Le tabelle di simboli e i BT 24 12

13 15 k = = trovato! /2005 Le tabelle di simboli e i BT 25 Min e max Min: seguire il puntatore al sottoalbero sinistro finchè esiste Max: seguire il puntatore al sottoalbero destro finchè esiste /2005 Le tabelle di simboli e i BT 26 13

14 sempio 15 min = 2 max = /2005 Le tabelle di simboli e i BT 27 uccessor uccessore di un nodo x:nodo con la più piccola chiave k > della chiave in x. Due casi: ight(x): succ(x) = min(ight(x)) ight(x): succ(x) = primo antenato di x il cui figlio sinistro è anche un antenato di x. p[x] x x p[x] /2005 Le tabelle di simboli e i BT 28 14

15 sempio 15 x succ(x) /2005 Le tabelle di simboli e i BT succ(x) x /2005 Le tabelle di simboli e i BT 30 15

16 Predecessor Predecessore di un nodo x: nodo con la più grande chiave k < della chiave in x. Due casi: Left(x): pred(x) = max(left(x)) Left(x): pred(x) = primo antenato di x il cui figlio destro è anche un antenato di x /2005 Le tabelle di simboli e i BT 31 sempio 15 x pred(x) /2005 Le tabelle di simboli e i BT 32 16

17 pred(x) x /2005 Le tabelle di simboli e i BT 33 Insert InsertIter.c Inserire in un albero binario di ricerca un nodo z con chiave v mantenimento della proprietà: se il BT è vuoto, creazione del nuovo albero inserimento ricorsivo nel sottoalbero sinistro o destro a seconda del confronto inserimento iterativo: prima si ricerca la posizione, poi si appende il nuovo nodo /2005 Le tabelle di simboli e i BT 34 17

18 sempio z 13 T 12 insert(t,13) /2005 Le tabelle di simboli e i BT 35 z 13 T 12 insert(t,13) /2005 Le tabelle di simboli e i BT 36 18

19 T /2005 Le tabelle di simboli e i BT 37 ort ort.c ttraversamento: elenco dei nodi secondo una strategia: Pre-ordine: x, Left(x), ight(x) In-ordine: Left(x), x, ight(x) Post-ordine: Left(x), ight(x), x omplessità: T(n) = Θ(n). ttraversamento in-ordine: ordinamento crescente delle chiavi /2005 Le tabelle di simboli e i BT 38 19

20 sempio /2005 Le tabelle di simboli e i BT 39 Visita in pre-ordine /2005 Le tabelle di simboli e i BT

21 Visita in-ordine /2005 Le tabelle di simboli e i BT Visita in post-ordine /2005 Le tabelle di simboli e i BT

22 omplessità Le operazioni hanno complessità T(n) = O(h): albero con n nodi completamente bilanciato altezza h = log 2 n albero con n nodi completamente sbilanciato ha altezza h = n O(log 2 n) T(n) O(n) /2005 Le tabelle di simboli e i BT 43 caso peggiore caso medio inserim. ricerca inserim. search hit search miss BT N N lgn lgn lgn /2005 Le tabelle di simboli e i BT 44 22

23 Inserimento alla radice Inserimento dalle foglie a scelta e non obbligatorio Nodi più recenti nella parte alta del BT Operazioni ausiliarie: rotazione a D di radice e suo figlio rotazione a di radice e suo figlio D. Inserimento ricorsivo alla radice: inserimento nel sottoalbero appropriato rotazione per farlo diventare radice dell albero principale /2005 Le tabelle di simboli e i BT 45 otazione a destra di BT x = h->l x y h γ α x x->r = h y α β x->r β γ h->l = x->r link rot(link h) { link x = h->l; h->l = x->r; x->r = h; return x; } /2005 Le tabelle di simboli e i BT 46 23

24 otazione a sinistra di BT h x = h->r x x->l = h α x γ β x->l γ α β h->r = x->l link rotl(link h) { link x = h->r; h->r = x->l; x->l = h; return x; } /2005 Le tabelle di simboli e i BT 47 sempio otazione a sinistra attorno a /2005 Le tabelle di simboli e i BT

25 sempio inserzione di inserzione di alla radice del sottoalbero opportuno /2005 Le tabelle di simboli e i BT 49 rotazione a D /2005 Le tabelle di simboli e i BT 50 25

26 /2005 Le tabelle di simboli e i BT 51 rotazione a D /2005 Le tabelle di simboli e i BT 52 rotazione a

27 /2005 Le tabelle di simboli e i BT 53 rotazione a D /2005 Le tabelle di simboli e i BT 54 rotazione a prog c

28 elect elezione della k-esima chiave più piccola (k=0 chiave minima): t è il numero di nodi del sottoalbero sinistro: t = k: ritorno la radice del sottoalbero t > k: ricorsione nel sottoalbero sinistro alla ricerca della k-esima chiave più piccola t < k: ricorsione nel sottoalbero destro alla ricerca della (k-t-1)-esima chiave più piccola /2005 Le tabelle di simboli e i BT 55 sempio k = 4 quinta più piccola chiave t=7 7>4 scendo a /2005 Le tabelle di simboli e i BT 56 28

29 k = 4 t=3 3<4 scendo a D cerco k=4-3-1= /2005 Le tabelle di simboli e i BT k = 0 t=0 return /2005 Le tabelle di simboli e i BT 58 29

30 Partition progr c iorganizza l albero avendo la k-esima chiave più piccola nella radice: poni il nodo come radice di un sottoalbero: t > k: ricorsione nel sottoalbero sinistro, partizionamento rispetto alla k-esima chiave più piccola t < k: ricorsione nel sottoalbero destro, partizionamento rispetto alla (k-t-1)-esima chiave più piccola esegui rotazione per farlo diventare radice dell albero /2005 Le tabelle di simboli e i BT 59 sempio Partizionamento rispetto alla 5a chiave più piccola (M, k=4) M T /2005 Le tabelle di simboli e i BT 60 30

31 /2005 Le tabelle di simboli e i BT 61 M T rotazione a M T /2005 Le tabelle di simboli e i BT 62 rotazione a D M T M T

32 /2005 Le tabelle di simboli e i BT 63 rotazione a L M T M T /2005 Le tabelle di simboli e i BT 64 rotazione a D M T M T

33 M M T T rotazione a /2005 Le tabelle di simboli e i BT 65 Delete Per cancellare da un albero binario di ricerca un nodo con data chiave v bisogna mantenere: la proprietà dei BT la struttura ad albero binario Passi: controllare se il nodo da cancellare è in uno dei sottoalberi. e sì, cancellazione ricorsiva nel sottoalbero se è la radice, eliminarlo e ricombinare i 2 sottoalberi. La nuova radice è il succ o il pred del nodo cancellato /2005 Le tabelle di simboli e i BT 66 33

34 ancellazione di una radice L N I M P /2005 Le tabelle di simboli e i BT 67 N I M P succ(l) /2005 Le tabelle di simboli e i BT 68 34

35 partition rispetto a M M I N /2005 Le tabelle di simboli e i BT 69 P ricostruzione dell albero con radice M M N I P /2005 Le tabelle di simboli e i BT 70 35

36 /2005 Le tabelle di simboli e i BT 71 sempio progr c cancellazione in sequenza di L,, I N L I N delete L /2005 Le tabelle di simboli e i BT 72 I N delete N I

37 /2005 Le tabelle di simboli e i BT 73 delete N I N I /2005 Le tabelle di simboli e i BT 74 N I N I