Capitolo 1 Il nucleo atomico: generalità

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1 Capitolo 1 Il nucleo atomico: generalità 1.1 Struttura e sistematica del nucleo La Fisica atomica era nata con la scoperta dell elettrone (J.J.Thomson 1897). A distanza di poco più di 30 anni, con la scoperta del neutrone (Chadwick 193) nasce la fisica nucleare. Nasce così la concezione dell atomo costituito da una nuvola di elettroni distribuita in una zona di dimensioni 10-8 cm e da un nucleo centrale costituito da protoni e neutroni con dimensioni di cm. Una dettagliata teoria dell atomo e del nucleo è stata usata per la prima volta da Heisemberg nel 193. Precedentemente non era netta la distinzione tra atomo e nucleo: nel modello di Thomson gli atomi venivano descritti come distribuzioni sferiche di carica positiva, delle dimensioni di 10-8 cm all interno delle quali erano sistemati gli elettroni in numero tale da garantire una carica complessivamente nulla all atomo. Il modello tuttavia non rendeva conto dei risultati dell esperimento di diffusione delle particelle α su atomi pesanti (un sottile foglio di oro dello spessore di mm) effettuato da Rutherford. Nel modello di Thomson le particelle α interagiscono con una sfera essenzialmente neutra (teorema di Gauss) e non possono quindi subire deflessioni a grandi angoli. Sperimentalmente si trovò invece che alcune particelle α erano deflesse ad angoli anche maggiori di 90. Rutherford immaginò che l atomo fosse composto da un nucleo centrale con carica positiva +Ze delle dimensioni di R N 10-1 cm; gli Z elettroni erano sistemati attorno al nucleo ad una distanza dell ordine del raggio atomico R a 10-8 cm. V(r) nucle o V(r) elettro ni V tot R a r Figura 1.1 andamento del potenziale coulombiano dovuto al nucleo e agli elettroni r 1

2 In questo modo le particelle α che passano ad una distanza inferiore a R a dal nucleo centrale vedono una carica effettiva +Ze e possono quindi subire deflessioni considerevoli. Gli elettroni esercitano una sorta di schermo elettrostatico a distanze maggiori del raggio atomico. In figura 1.1 è riportato il potenziale elettrostatico dovuto al nucleo centrale e agli elettroni, schematizzati come una corteccia sferica di raggio R a e carica -Ze. Una stima della dimensione del nucleo può essere ricavata dal seguente ragionamento. Il minimo parametro d urto è dell ordine delle dimensioni del nucleo e, se sono possibili deflessioni delle particelle α a grandi angoli, significa che vi può essere una quasi totale trasformazione dell energia cinetica incidente in energia potenziale (per grandi angoli, nel limite di una retrodiffusione a 180, la particella si ferma per un istante alla minima distanza dal centro del potenziale). Quindi: Ze Ze Eα = Eα = V( RN ) = RN = RN E α Poiché e =1.44 MeV.fm, e per Z 80 ed E a 10 MeV, si ricava appunto che il raggio nucleare vale R N 10-1 cm. (per una descrizione delle unità usate vedi paragrafi 1.3 e 1.5) La scoperta del neutrone effettuata de Chadwick nel 193 suggellò definitivamente il modello del nucleo atomico. E da notare comunque che già nel 190 era stata suggerita da Rutherford la possibilità che un elettrone ed un protone potessero essere così vicini nel nucleo da formare una particella neutra, e a questa particella diede appunto il nome di neutrone. Inoltre, poiché la massa dell elettrone è circa 000 volte più piccola della massa del protone, questa ipotetica particella avrebbe avuto la massa praticamente uguale a quella del protone, come di fatto è per il neutrone. Il nuclide è un ben definito nucleo costituito da un determinato numero di protoni e di neutroni. Esso viene indicato come A Z X o spesso più semplicemente A Z X dove: N - X sta a indicare l elemento chimico; - Z è il numero atomico dell elemento, cioè il numero di protoni nel nucleo (anche uguale al numero di elettroni atomici); - A è il numero di massa del nucleo, cioè il numero totale di protoni (Z) e neutroni (N). I protoni ed i neutroni vengono chiamati genericamente nucleoni Ne risulta ovviamente che N=A-Z Tutti i nuclidi con lo stesso numero di protoni Z si chiamano isotopi. Essi hanno lo stesso numero di elettroni e quindi le stesse proprietà chimiche, e sono indicati dallo stesso elemento X. Tutti i nuclidi con lo stesso numero di neutroni N si chiamano isotoni: essi non hanno in generale lo stesso numero di protoni (e di elettroni) e quindi appartengono ad elementi chimici diversi. Tutti i nuclidi con lo stesso numero di massa A si chiamano isobari: anche questa volta non possono appartenere allo stesso elemento.

3 Esempio di isotopi: Li 7 Li C C C Esempio di isotoni: H 1 He1 C 8 7N8 8O8 Esempio di isobari: 14 C 14 N He 4 3Li3 4Be 1H He1 Il nome degli elementi è noto dalla chimica o dalla fisica atomica. Un quantità importante del nuclide è la massa nucleare, cioè l esatto valore della massa del nucleo. Esso non va confuso con la massa atomica, che comprende anche la massa degli elettroni. Le due quantità comunque sono numericamente molto vicine, dato che gli elettroni sono molto meno massivi. La massa di un nucleo costituito da Z protoni e N neutroni M(Z,N) non è uguale alla somma delle masse dei nucleoni costituenti: M(Z,A) Zm p + (A-Z)m n essendo rispettivamente m p e m n la massa del protone e del neutrone. Questo deriva dal principio di equivalenza massa-energia, principio fondamentale della meccanica relativistica di Einstein espresso dalla famosa relazione: E=mc, ed ampiamente verificato nella fisica nucleare: Massa ed energia sono essenzialmente simili, sono soltanto espressioni differenti dello steso concetto. La massa di un corpo non è costante, essa varia al variare della sua energia. Ad una variazione di energia E di un sistema isolato deve essere associata una variazione di massa m = E/c e viceversa. Questo principio si applica anche alla massa a riposo dei nuclei. L energia potenziale dei nucleoni dentro il nucleo è negativa (stato legato): occorre infatti compiere del lavoro per rimuovere protoni e neutroni dal nucleo. La forza nucleare è infatti attrattiva, dovendo come minimo superare la enorme forza di repulsione elettrostatica con la quale i protoni si respingono. Alla energia potenziale negativa corrisponde una diminuzione di massa inerziale. Si definisce difetto di massa di un nucleo la differenza: m = Zm p + (A-Z)m n M(Z,A) Il difetto di massa rappresenta quindi anche l energia di legame del nucleo, cioè il lavoro che si deve compiere per portare tutti i nucleoni allo stato libero. Vediamo ora come si misurano le masse atomiche (da queste si deducono le masse nucleari). 1. Lo spettrometro di massa Lo spettrometro di massa dà informazioni sulla massa atomica caratteristica di un particolare valore di Z ed A. Da questo valore, sottraendo Z volte la massa dell elettrone, si ottiene la massa del nucleo. In effetti, essendo gli elettroni legati, la loro massa nell atomo è minore della massa dell elettrone libero: per il calcolo esatto (valori riportati nelle tabelle dei nuclidi) va sottratta quindi l energia di legame atomica degli elettroni nell atomo. Tuttavia questa energia di legame 3

4 elettronico rappresenta una correzione piccola, essendo dell ordine del centinaio di ev o al più di qualche kev. Il funzionamento dello spettrometro è schematizzato in figura 1. (spettrometro tipo Bainbridge) Figura 1. Lo spettrometro di massa La sorgente produce atomi ionizzati con carica +ne, massa M, ed una certa distribuzione di velocità. Si noti che la carica ne dello ione non corrisponde alla carica Ze dell atomo, in quanto la ionizzazione non è completa: essa è prodotta per effetto termoionico e quindi, di solito n=1 o al massimo n=. Gli atomi ionizzati passano attraverso il foro S 1 e raggiungono la zona di campo magnetico B ed elettrico E. L insieme di questi due campi agisce come selettore di velocità. Infatti, oltre la zona di campi B ed E vi è un secondo foro S, e solo gli ioni che hanno un ben determinata velocità lo attraversano. La velocità selezionata dai collimatori è legata al valore di E e di B. Infatti le particelle si muovono di moto rettilineo solo se le forze elettrica e magnetica si annullano, cioè quando: nee = nevb. Ossia: v = E/B non dipende dal valore di n (nel seguito assumeremo n=1). Gli ioni di velocità fissata, oltrepassato il foro S, sono soggetti solo al campo magnetico costante e quindi seguono una traiettoria circolare di raggio R, tale che: Mv RBe RB e evb =. Da cui si ricava: M = =. La massa atomica può essere R v E determinata dalla misura assoluta di R, B ed E. In pratica si fa uso di masse note 4

5 per calibrare l apparato. Con questo metodo si possono fare misure estremamente accurate di masse atomiche. Inoltre con lo spettrometro di massa si possono misurare, in un campione chimico, le percentuali isotopiche. Un altro tipo di spettrometro di massa (tipo Dempster) è rappresentato in figura 1.3 In questo caso gli atomi ionizzati sono accelerati tra A e C da una d.d.p. V ed escono dal foro S 1 con energia cinetica data da: ev = ½Mv (1) Incontrano la zona di campo magnetico B e vengono deflessi in un moto circolare definito dalla solita relazione: Mv evb = () R Figura 1.3 Affinché gli ioni attraversino la fenditura S e siano rivelati in P, il raggio della traiettoria deve avere un particolare valore, legato al rapporto M e. Infatti: ev ebr e V dalla (1): v =, e dalla (): v =. Eliminando quindi la velocità v: =. M M M B R e B R Da cui si ricava il valore della massa M = V e Per un fissato valore di R ogni corrisponde ad una data combinazione di V e B: M variando quindi V, B o entrambi, saranno selezionate dal foro diverse masse M. 5

6 Anche in questo caso lo strumento è calibrato sulla misura di masse note. Le figure 1.4 e 1.5 che seguono riportano alcuni spettri di massa. Figura 1.5 spettro di massa del mercurio

7 Figura 1.4 spettro di massa del potassio Figura 1.5 spettro di massa 7

8 1.3 Unità di misura per massa ed energia In fisica nucleare la massa di un nucleo (e di un atomo) è misurata in unità di massa atomica. L unità di massa atomia (amu, da: atomic mass unit) è stata scelta come un dodicesimo della massa atomica di un atomo neutro di 1 C. Il valore di 1 amu può essere facilmente espresso in grammi, ed è pari al reciproco del numero di Avogadro. Infatti: amu = m( C) = = g 1 1 NAv Noi useremo però un altra unità di misura, molto più pratica specie quando si devono fare conti numerici che spesso coinvolgono energia e quantità di moto. Dalla relazione di equivalenza massa-energia E=mc si ricava per l energia a riposo di una particella: E o = m o c. Ad esempio, l energia a riposo di un elettrone vale: e E o = m o c = ( ) ( ) = e J; per un protone si ha invece: E p = m o c = ( ) ( ) = J. Tali unità di misura sono inadeguate per la misura delle energie in fisica atomica e nucleare. Si ricorre ad un altra unità di misura: l elettronvolt (ev) ed i suoi multipli (kev, MeV). Quando si accelera una carica q tramite una differenza di potenziale V, il guadagno di energia cinetica vale: T = qv. Un elettronvolt è l energia acquistata da un particella avente la carica unitaria (la carica di un elettrone) attraverso una differenza di potenziale di un Volt: 1 ev = Coulomb Volt = Joule = erg con i rispettivi multipli: 1 kev = 10 3 ev e 1 MeV = 10 ev In queste unità di misura: E e o =0.511 MeV e E P o MeV. L unità di misura della massa si ricava dalla solita equivalenza E=mc. Si esprime m = E/c, e si prende come unità di misura della massa il valore espresso in MeV/c Così l energia a riposo dell elettrone vale MeV, la sua massa a riposo vale MeV/c ; l energia a riposo del protone vale MeV, la sua massa a riposo vale MeV/c. Possiamo introdurre una ulteriore semplificazione: specie quando si fanno conti relativistici, è molto più utile usare il cosiddetto sistema c=1 : come unità di misura della velocità scegliamo la velocità della luce nel vuoto (c= m/s m/s) e poniamo quindi c=1: lunghezza e tempo hanno le stesse dimensioni: 1s m e 1m s Quindi la velocità, indicata con β (β = v /c appunto), è una grandezza adimensionale. Inoltre, dalla relazione E=mc si vede che energia e massa hanno le stesse dimensioni: scegliamo come unità di misura per entrambe il MeV. Anche il momento p=mv ha le stesse dimensioni di m e di E, e sarà misurato anch esso in MeV. Vediamo alcune formule relativistiche che ci saranno utili nel seguito. Nel sistema c=1 la relazione: E = mc diviene semplicemente: E = m Nel caso di una particella in quiete: E = m 0, avendo indicato con m 0 la massa a riposo della particella. Se indichiamo con T l energia cinetica possiamo scrivere: E = m = m 0 + T 8

9 D altra parte, sempre dalla relatività ristretta, sappiamo che m = m 0 γ, dove γ = ( 1 β ) 1 / T = m m 0 = m 0 (γ-1) Nel caso classico, dove β<<1 (ossia: v<<c) si può sviluppare γ in serie ed arrestarsi al 1 / che, sostituito nella espressione di T 1 primo termine: γ = ( 1 β ) 1 + β 1 1 fornisce la usuale relazione classica: T = m 0 (γ-1) = ( ) m0 1 + β 1 = m 0β La quantità di moto si scrive: p = mβ = Eβ. Pertanto il valore di β per una particella è p dato dal rapporto tra il suo momento p e la sua energia totale: β = E La quantità di moto si può anche scrivere: p = mβ = m 0 βγ. Quadrando: p = m 0 β γ Le relazioni tra β e γ sono: 1 ( γ ) γ =, ( 1 β ) 1 β =, γ = ( γ 1) γ β. Pertanto: p = m 0 (γ 1) = m m 0 = E - m 0 che fornisce le importanti relazioni: E = p + m 0, ossia: E = p + m0, p = E m0 D altra parte, poichè E = T + m 0, si ha: E = p + m = T + m + Tm, da cui si ricava la relazione relativistica tra p e T: 0 ( T ) 0 0 p = T + m 0 che nel limite classico di basse velocità, quindi con T<<m 0, si riduce a: p = m0t Vediamo ora alcuni esempi di impiego delle tabelle delle masse ed il loro utilizzo per il calcolo dei difetti di massa e delle energie di legame. Cominciamo con il nucleo composto più semplice esistente in natura, il deutone (nucleo dell atomo di deuterio) 1H 1 d, composto da un protone e da un neutrone, per il quale Z=1 e A= Sulle tavole non si trovano le masse nucleari (che nel seguito indicheremo con m, in minuscolo) ma le masse atomiche M. M d = MeV è la massa dell atomo di deuterio M p = MeV è la massa dell atomo di idrogeno m n = MeV è la massa del neutrone Poiché sia l atomo di deuterio che quello di idrogeno contengono un solo elettrone, si ha che: M d = m d + m e M p = m p + m e Come è facile verificare, a causa dell energia di legame, risulta: m d < m p + m n. Il difetto di massa è pari a: m = m p + m n - m d = M p + m n - M d =. MeV. Questa è appunto l energia di legame del deutone, e rappresenta il lavoro che bisogna fare per separare il protone ed il neutrone. Notare che abbiamo usato la masse atomiche, non quelle nucleari. Ma poiché il numero degli elettroni che compare nei due termini della differenza è lo stesso, il loro contributo in massa si cancella automaticamente. Questo è vero in genere, per tutti i nuclei. In effetti nella massa a riposo bisognerebbe tener presente che gli 9

10 elettroni sono legati, e quindi sottrarre la loro energia di legame. Questa e comunque dell ordine di 13.5 Z ev e quindi almeno 8 ordini di grandezza minore della energia a riposo del nucleo ( A 10 9 ev) Vediamo qualche altro esempio: Carbonio 1: M,1 = MeV M,1 = M p +m n M,1 = 9 MeV Alluminio 7: M 13,7 = MeV M 13,7 = 13M p +14m n M 13,7 = 9.4 MeV Calcio 40: M 0.40 = MeV M 0.40 = 0M p +0m n M 0.40 = 34.0 MeV Iodio 17: M 53,17 = MeV M 53,17 = 53M p +74m n M 53,17 = MeV 1.4 Energia di legame. Proprietà generali dei nuclei Si definisce Energia di legame media per nucleone l energia di legame del nucleo divisa per il numero di nucleoni che lo costituiscono. B BZ A, MZ A, B Z A, = MZ A, = = A A A Dai valori calcolati prima, ricaviamo: nuclide B (MeV) B/A (MeV) H C Al Ca I Possiamo notare che, ad eccezione del deuterio, l energia di legame per nucleone è pressoché costante e dell ordine di 8 MeV. In tabella 1.1 sono riportate le energie di legame e le caratteristiche di alcuni nuclei. 10

11 Nuclide Z N=A-Z B (MeV) B/A (MeV) n 1 H 1 H He 4 Li 7 Be 9 B 11 C 1 C 13 N 14 O 1 O 17 O 18 F 19 Ne 0 Al 7 Si 8 P 31 S 3 Cl 35 Cl 37 A 40 Ca 40 Fe 5 Cu 3 As 75 Sr 88 Mo 98 Sn 11 Sn 10 Xe 130 Xe 13 Nd 150 Hf 17 W 184 Au 197 Pb 0 Th 3 U La figura 1. rappresenta invece l andamento di B/A in funzione di A

12 Figura 1. andamento di B/A in funzione di A Esiste inoltre una correlazione tra il numero di protoni Z ed il numero di neutroni N che compongono un nucleo: se osserviamo infatti come sono disposti i nuclei nel piano Z-N (fig 1.7), notiamo che questi si addensano in una regione ristretta del piano e quindi secondo una relazione del tipo Z=Z(N), oppure Z=Z(A). Per i nuclei A stabili si ottiene: Z = / A In particolare, per A < 40 si ha che N Z; per nuclei più pesanti N aumenta più velocemente di Z. Il motivo, che sarà meglio spiegato nel seguito, è il seguente: tutti i nucleoni, cioè sia i protoni sia i neutroni, subiscono indistintamente la forza nucleare attrattiva, mentre solo i protoni subiscono la forza elettrostatica repulsiva. Quando Z cresce, la stabilità del nucleo tende a diminuire a causa della repulsione coulombiana, le forze nucleari attrattive devono quindi aumentare ed è necessario un numero N di neutroni percentualmente maggiore. 1.5 Valori di alcune costanti utili. Abbiamo introdotto nuove unità di misura per l energia e la massa. La lunghezza è spesso misurata in fermi, fm) 1 fm = m = cm Già che siamo in argomento, apriamo una parentesi riguardante i valori numerici di alcune costanti espresse in MeV e fermi. E utile ricordarli: questo semplificherà di molto i calcoli che faremo nel seguito del corso. e 1 la costante di struttura fine (adimensionale) vale: α = = hc 137 1

13 la costante di Plank, espressa in MeV s, vale: h = MeV s la velocità della luce vale invece: c = cm/s =30 cm/ns = fm/s Ricaviamo allora due importanti valori numerici, che incontreremo spesso nel seguito: hc = MeV fm hc e = = 1.44 MeV fm 137 Figura 1.7 la rappresentazione dei nuclei stabili nel piano Z-N 13