Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza. Lezione 2. Le masse dei nuclei

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 2 Le masse dei nuclei

2 L inizio: trasmutazioni nucleari Osservazione di Bequerel della presenza di trasmutazioni di atomi. Osservazione di radiazione con energia dell ordine del MeV di differente carica e grado di penetrazione. Energia per atomo 106 volte maggiore delle reazioni chimiche. Cambio di natura degli stessi atomi. 2

3 Masse e dimensioni dei nuclei (Das-Ferbel, capp. 2 e 3) L esperimento di Rutherford dimostra che la carica positiva dell atomo è contentrata in un nucleo. Dimensioni del nucleo << dimensioni atomiche (10-10 m) Gli elettroni occupano lo spazio restante, ma costituiscono una frazione piccola della massa atomica: m e = kg << M atomi kg Dimensioni dei nuclei stimabili da considerazioni quantistiche (vedremo più avanti la misura diretta con gli esperimenti di Hofstadter) Determinazione sperimentale delle masse di nuclei permette di formulare le basi della struttura nucleare: nuclei sono costituiti da protoni e neutroni, e m p ~m n la massa nucleare è minore di quella dei costituenti osservazione diretta equivalenza massa-energia Lo studio dell energia di legame fornisce importanti informazioni qualitative sulle interazioni nucleari: modello a goccia 3

4 SISTEMA DI UNITÀ NATURALI

5 Costanti fondamentali Prima di iniziare la discussione sulle masse e dimensioni dei nuclei consideriamo due costanti fondamentali della natura. La relatività ristretta introduce come costante la velocità della luce: c = m/s permette di collegare tra di loro le unità di misura di: massa [M] momento [P]=[Mc] energia [E]=[Mc 2 ] lunghezza [L] tempo [T]=[L/c] La meccanica quantistica introduce la costante di Planck, come unità fondamentale dell azione (area nello spazio delle fasi):! = h 2π = Js permette di collegare tra di loro le unità di misura di: energia [E] tempo [T]=[ħ/E] lunghezza [L] momento [P]=[ħ/L] 5

6 Sistema di unità naturali In pratica possiamo definire una sola unità di misura fondamentale. Tutte le altre possono venire derivate da questa attraverso ħ e c. Un sistema che useremo spesso durante il corso: Unità di misura dell energia: ev Unità di misura della massa: ev/c 2 Unità di misura della quantità di moto: ev/c Unità di misura del tempo: ev -1 ħ Unità di misura della lunghezza: ev -1 ħc Unità di misura della velocità: c Unità di misura del momento angolare: ħ Numericamente è come usare un sistema di unità in cui: ħ = c = 1 6

7 Sistema di unità naturali Un sistema di unità in cui ħ = c = 1 viene spesso chiamato sistema naturale calcoli e formule sono spesso molto semplificati in un sistema naturale per trasformare i risultati in unità SI si tratta di moltiplicarli per i corretti fattori di conversione: c = m/s m/s! = MeVs MeVs!c = MeVfm 200 MeVfm 7

8 Costante di struttura fine La quantità che compare nell energia potenziale elettrostatica: e 2 ε 0 ( ) 2 = C F/m = Jm = MeVfm ha le dimensioni di Energia Lunghezza = [ħc] Il suo valore in sistema di unità naturali è: indipendente dall unità fondamentale scelta in questi sistemi la carica elettrica elementare è un numero adimensionale: e 2 ε 0!c = e 2 ε 0!c = Il coefficiente che compare in molte espressioni dell elettromagnetismo: e 2 1 4πε 0!c = α = prende il nome di costante di struttura fine. Ad esempio, la sezione d urto di Rutherford: Termine adimensionale dσ dω = ZZ α 4 α 2 1 sin 4 θ 2 Superfice!c E 2 8

9 Dimensioni dei nuclei Nell esperimento di Rutherford non si riusciva a distinguere la dimensione del nucleo Una prima stima può venire dai decadimenti α Se prendiamo un energia tipica dei decadimenti α: T α = 5 MeV Corrisponde ad un momento: p α = 2m α T α 200 MeV Assumiamo che la particella α sia inizialmente confinata nel nucleo: Quando è confinata il suo momento varia di ±p α : Δp = 2p α Dal principio di indeterminazione: ΔxΔp 1 Δx 1 / Δp MeV fm Una misura sistematica si ottiene dalla studio della sezione d urto elettrone-nucleo: se parametro d impatto < dimensione nucleare la sezione d urto differisce dalla sezione d urto coulombiana si ottiene: R ~ r 0 A 1/3 r 0 = 1.2 fm Unità naturali Volume: V A 9

10 I Nobel di oggi E=Mc2 Energia di legame e massa misurata dei nuclei. Stessi elementi chimici possono avere nuclei diversi. Misura precisa delle masse atomiche. Matomi ~multipli interi di Midrogeno (entro 1%) 10

11 Classificazione dei nuclei I nuclei sono costituiti da protoni e neutroni. La carica del nucleo è data dal numero di protoni: numero atomico Z determina le proprietà chimiche dell atomo risultante di solito indicato attraverso il simbolo dell elemento chimico La massa del nucleo dipende principalmente dal numero di nucleoni: numero di massa A somma di Z e del numero di neutroni N Numero di massa A=9 9 Be Berillio: Z=4 Neutroni N=A-Z=5 N.B.: se fosse necessario indicare esplicitamente Z, useremo la notazione: A Z X 11

12 Classificazione dei nuclei Nuclei con lo stesso Z ma diverso N sono detti isotopi dello stesso elemento. Nuclei con lo stesso A, ma diverso Z, sono detti isobari. Nuclei con lo stesso N, ma diverso Z, sono detti isotoni. Z Un nucleo con determinati valori di A e Z può trovarsi in stati eccitati, isomeri o risonanze, da cui solitamente decade nello stato fondamentale emettendo radiazione elettromagnetica (raggi γ) 12 N BNL Nuclide Map

13 Carta dei Nuclidi Bi BNL Nuclide Map 13

14 Masse dei nuclei La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti: M(A, Z) < Zm p + (A Z)m n m p = MeV / c 2 m n = MeV / c 2 La differenza di massa è dovuta all energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari: B.E. / c 2 = M(A, Z) Zm p (A Z)m n Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità. Una quantità fisicamente importante è l energia media di legame per nucleone: B A = B.E. A = "# Zm p + (A Z)m n M(A, Z) $ % c 2 A 14

15 Masse dei nuclei (sottintendendo unità naturali) La massa di un nucleo è inferiore alla somma delle masse dei costituenti: M(A, Z) < Zm p + (A Z)m n m p = MeV m n = MeV La differenza di massa è dovuta all energia di legame (binding energy) dovuta alle forze nucleari: B.E. = M(A, Z) Zm p (A Z)m n Il fatto che la massa del sistema sia minore delle sue componenti ne garantisce la stabilità. Una quantità fisicamente importante è l energia media di legame per nucleone: B A = B.E. A = Zm p + (A Z)m n M(A, Z) A 15

16 Spettrometro di massa Per la misura di masse atomiche si usano spettrometri di massa! Il principio di funzionamento è il seguente F E = q E! v una sorgente di ioni gli atomi sono ionizzati e accelerati un selettore di velocità solo le particelle che viaggiano in linea retta attraversano i collimatori La forza elettrica e la forza magnetica si bilanciano uno spettrometro magnetico masse diverse hanno raggi diversi collimatori! v! F B = q! v! B v! F E =! F B R v = E v B v qvb = mv 2 R mv = qbr m = q B v E v BR sorgente di ioni! E v! B v selettore v spettrometro magnetico 16

17 Spettrometro di massa Interessano precisioni sulle masse ~0.1 MeV. ~10-6 per atomi con A~100 Per poter determinare la massa con precisione occorre 17 misurare con precisione R misurare con precisione E v, B v, B stabilità ed uniformità Si ottengono precisioni migliori per rapporti di masse Le molecole passano attraverso le stesse regioni dell apparato Il rapporto delle masse dipende solo dai raggi: m = q B v E v BR si utilizzano due molecole che hanno circa la stessa massa; ad esempio: Gd C 12 H 16 A C12 H 16 = si possono utilizzare le stesse regolazioni di E e B per le due molecole m 1 = q B v BR E 1 v 160 Gd m 1 m 2 = R 1 R 2 m 2 = q B v E v BR 2 C 12 H 16 Il carbonio consente numerose possibilità di realizzare le masse volute.

18 Masse atomiche Normalmente viene tabulato il peso atomico: m(a, Z) = M(A, Z)+ Zm e B e (Z) / c 2 include le masse degli elettroni e la loro piccola energia di legame B e : espresso in unified atomic mass unit (u): 1/12 della massa di un atomo di 12 C 1 u = MeV/c 2 = kg N A = mol -1 è il numero di atomi contenuti in 12 g di 12 C Si definisce eccesso di massa la differenza rispetto ad A u: Mass excess = m(a, Z) A u Mass excess [kev/c 2 ] Atomic mass [µu] 18

19 Isotopi e pesi atomici Uno spettrometro di massa può venire usato come separatore di isotopi. sia come analisi di composizione che come produzione di specifici nuclidi I pesi atomici degli elementi tengono conto dell abbondanza isotopica. Tipicamente differiscono da A di frazioni in 10-3, eccetto quanto sono presenti diversi isotopi con abbondanza comparabile. 19

20 Energia di legame per nucleone Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons. 20

21 Energia di legame per nucleone Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons. Osservazione: l energia media di legame è approssimativamente costante: B/A ~ 8 MeV l interazione nucleare deve essere a corto range. 21

22 Interazioni a lungo e corto range Interazioni a lungo range (es. interazione Coulombiana): una particella interagisce con tutte le altre particelle presenti energia della particella: A+1 A energia totale proporzionale al numero di coppie: E A(A-1)/2 Interazioni a breve range (es. legami molecolari) una particella interagisce solo con le particelle più vicine energia della particella: A+1~costante energia totale proporzionale al numero di particelle: E A 22

23 Energia di legame per nucleone Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons. Osservazione: esiste un massimo in corrispondenza del 56 Fe. Sotto tale A, è energeticamente conveniente combinare nuclei leggeri in un nucleo pesante: fusione nucleare processo di nucleosintesi primordiale e stellare. Al di sopra i nuclei devono venire prodotti da altri meccanismi: esplosioni di supernovae. 23

24 Energia di legame per nucleone Binding energy curve - common isotopes. Licensed under Public Domain via Commons. Osservazione: L energia media di legame presenta irregolarità nella regione di basse masse: modelli nucleari dovranno spiegare queste proprietà In particolare 4 He (Z=2, N=2) è più strettamente legato degli stati vicini: assenza di nuclei stabili con A=5 e 8 possibilità di decadimenti α di elementi pesanti 24

25 Le barriere di massa A=5, A=8 Energia di separazione Energia minima necessaria da fornire ad un nucleone per estrarlo dal nucleo. Per protoni: S p ( A Z X) = " # m Z 1 Per neutroni S A n Z X " # ( A 1 X) + m 1 H S p ( 5 Li) e S n ( 5 He) sono negative: gli stati legati sono instabili. Infine abbiamo che: ( ) m( A Z X) ( ) = m( A 1 Z X) + m n m( A Z X) m( 8 Be)>2m( 4 He) tale nucleo decade immediatamente in due α $ % c 2 $ % c 2 Z A=8 N A=5 25

26 Stabilità dei nuclei Stabile β + β + A Z X A Z-1 X β - β - A Z X A Z+1 X Trasformazioni tra nuclei isobari: p n o n p (con emissione o cattura di e per conservare la carica) Serie di decadimenti fino a raggiungere l isobaro più stabile: valle di stabilità 26

27 Stabilità dei nuclei α α A Z X A-4 Z-2 X+4 2 He Stabile β + β - emissione di p Fissione spontanea emissione di n 27

28 Modello a goccia Primo modello, suggerito da Bohr, che cerca di sistematizzare le osservazioni: incompressibilità della materia nucleare (R A 1/3 ) breve range delle forze (B.E. A) Ispirato ad una goccia di liquido, tenuta insieme dalla forze inter-molecolari: descrive l andamento generale dell energia di legame necessita dell introduzione di termini fenomenologici per descrivere alcune caratteristiche osservate. formula semiempirica di Bethe-Weizsacker B.E. ( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z a3 A 1 3 ( N Z ) 2 + a 4 A ± a 5 A

29 La formula di Bethe-Weizsäcker B.E. A, Z ( ) = a 1 A + a 2 A 2 3 a 1 = MeV a 2 = MeV Il primo termine rappresenta l energia dovuta all interazione a corto range di tra nucleoni vicini: proporzionale al numero di nucleoni interagenti ed al volume Il secondo termine positivo è una correzione al primo ed è proporzionale alla superficie del nucleo i nucleoni interni hanno vicini in tutte le direzioni i nucleoni sulla superficie interagiscono solo con quelli interni e quelli sulla superficie ~ A ~ A 2 3 La correzione all energia di legame media è più rilevante per nuclei leggeri e spiega l aumento di B/A per basse masse. 29

30 La formula di Bethe-Weizsäcker B( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z a3 A 1 3 Il terzo termine è dovuto alla repulsione elettrostatica è inversamente proporzionale al raggio del nucleo è proporzionale a Z 2 e può essere calcolato per alti valori di A favorisce l eccesso dei neutroni sui protoni a 1 = MeV a 2 = MeV a 3 = MeV ~ A - descrive la decrescita di B/A per i nuclei con grande numero atomico 1 3 Ordine di grandezza: energia potenziale di una sfera carica uniformemente: E = 3 ( Ze) 2 5 4πε 0 r 0 A 1/3 = 3 e 2 Z 2 = 3 5 4πε 0 r 0 A 1/3 5 α!c Z 2 r 0 A 1/3 E = 3 5 ( Ze) 2 4πε 0 R a α!c MeV fm r fm = 0.73MeV 30

31 La formula di Bethe-Weizsäcker B.E. ( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z a3 A 1 3 ( N Z ) 2 + a 4 A ± a 5 A 3 4 Gli ultimi due termini non hanno un analogo classico e vengono introdotti fenomenologicamente. a 1 = MeV a 2 = MeV a 3 = MeV a 4 = MeV a 5 = 33.6 MeV Il quarto termine tiene conto del fatto che i nuclei sono più stabili quando c è simmetria fra protoni e neutroni: N ~ Z 31 descrive la valle di stabilità Il quinto descrive una sorta di pairing dei nucleoni è nullo per A dispari è negativo quando N e Z sono pari (nuclei pari-pari) Vedremo che è collegato alla struttura quantizzata dei livelli di energia ed al Principio di Esclusione di Pauli è positivo quando N e Z sono dispari (nuclei dispari dispari) Vedremo la motivazione di questo ternine nell interazione tra i momenti Istituzioni magnetici di Fisica Nucleare dei nucleoni e Subnucleare Lezione 2

32 La valle di stabilità β La formula dell energia di legame presenta una evidente regione di stabilità (stabilità β) Per un dato valore di A l energia di legame è una parabola al variare di Z B( A, Z ) = a 1 A + a 2 A 2 Z a3 ( A 2Z ) 2 + a A 1 4 ± a 3 A 5 A 3 4 Il punto di minimo si trova semplicemente B( A, Z ) Z A=cost = 2a 3 Z A 1 3 4a 4 A 2Z A = 0 B Z Z A Z = 2a 4 A a 3 A a4 32 La formula ha i due valori limite: " $ Z # $ % $ A 2 piccoli A 2a 4 A 1 3 a 3 grandia A

33 ESERCIZI 33

34 Esercizio 2.1 Si consideri una particella α di energia 5 MeV con parametro di impatto rispetto ad un nucleo di 1 fm. Calcolare in un sistema di unità naturali: quantità di moto velocità momento angolare 34

35 Esercizio 2.2 Si calcoli, usando la tabella delle masse atomiche: le energie di legame Sp ed Sn per l aggiunta, rispettivamente di protone o un neutrone ad un nucleo di 16 O le energie di legame Sp ed Sn per l aggiunta, rispettivamente di protone o un neutrone ad un nucleo di 14 N Che conclusioni si possono trarre sul valore di a 3? Questi dati sono consistenti con la presenza del termine a 5? 35

36 Esercizio 2.3 Usando le tavole, fare un grafico dell energia di legame totale in funzione di Z per gli isobari con A=125 e A=128 in prossimità del minimo dell energia. Questo grafico dà supporto alla presenza del termine di pairing? 36