Fisica per Medicina. Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna. Dr. Cristiano Fontana

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1 Fisica per Medicina Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana Dipartimento di Fisica ed Astronomia Galileo Galilei Università degli Studi di Padova 12 dicembre 2017 Indice Onde Ottica Fisica moderna Struttura atomica Struttura nucleare 2/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

2 Lavoro e potenziale elettrostatico Abbiamo visto che il lavoro compiuto per muovere una carica in due punti di un campo elettrostatico è W = U = q V (1) Il lavoro si misura in Joule, ma quando si ha a che fare con cariche elementari (i.e. singoli elettroni) il Joule diventa poco pratico da utilizzare. Se calcoliamo il lavoro fatto su un elettrone con una differenza di potenziale di 1 V otteniamo W = e V = C 1 V = J (2) Quindi quando si accelerano cariche elementari si utilizza, per motivi di praticità, l elettronvolt che corrisponde all energia che si ottiene accelerando la carica elementare di 1 V: 1 ev = e V = C 1 V = J (3) 3/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Lenti I Distanza focale f > 0 Il principio della rifrazione è sfruttato anche nelle lenti, perché la loro forma arrotondata è in grado di deviare i fasci luminosi in modo da concentrarli. Formula delle lenti sottili Per delle lenti sottili vale la formula 1 f = 1 p + 1 q (4) ove p è la distanza di un oggetto, q è la distanza di messa a fuoco e f è la lunghezza focale della lente f < 0 4/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

3 Lenti II Distanza focale f > 0 Le lenti possono essere di diversi tipi, ma il loro comportamento dipende dalla lunghezza focale: Lenti convergenti: hanno lunghezza focale positiva, f > 0. Lenti divergenti: hanno lunghezza focale negativa, f < 0. f < 0 5/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Lenti III Lente di lunghezza focale f p f f q I raggi che sono creati da una sorgente posta in p sono concentrati in q, secondo la legge delle lenti sottili 1 f = 1 p + 1 q (5) 6/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

4 Lenti IV Orizzontale: p = q = f Lente di lunghezza focale f f f Passante per f: p = f q= Passante per il centro: nessuna deviazione Per determinare l immagine di un oggetto si intersecano diversi raggi che provengono dall oggetto stesso. 7/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Lenti V Distanza focale f > 0 È definito anche il potere diottrico di una lente come l inverso della focale D = 1 f (6) Si misura in diottrie [D] = 1 [f ] = m 1 (7) f < 0 Per un sistema di lenti, il potere risultante è la somma D = D 1 + D 2 (8) 8/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

5 Lenti VI Lente di lunghezza focale f q h θ f f θ p h' Osservando che h p lente è h = tan θ = q, vediamo che l ingrandimento M della M = h h = q p (9) 9/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Occhio Cornea Pupilla Cristallino Nervo ottico Iride Corpo ciliare Coroide Retina L occhio è molto simile ad una macchina fotografica: Cornea e cristallino: lente; corpo ciliare: messa a fuoco; pupilla ed iride: diaframma; retina: sensore di luce; coroide: strato opaco scuro per evitare riflessioni. Figura: Schema dell occhio umano [wiki]. 10/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

6 Potere dell occhio I L occhio contiene due lenti, la cornea ed il cristallino D occhio = D } cornea {{} fissa + D cristallino }{{} variabile 22 m m 1 }{{} infinito 33 m 1 }{{} vicino (10) (11) 45 m 1 55 m 1 (12) 11/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Potere dell occhio II Se p = allora f = q; quindi col potere diottrico per la messa a fuoco all infinito possiamo calcolare la dimensione interna dell occhio: d = 1 D infinito = 1 = m = 2.22 cm (13) 1 45 m e quindi calcolare la posizione di messa a fuoco più vicina p, col potere diottrico per la messa a fuoco da vicino 1 p + 1 d = D vicino (14) p = d D vicino d 1 = 0.1 m = 10 cm (15) 12/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

7 Difetti dell occhio I Occhio normale Occhio miope Occhio ipermetrope Nell occhio normale il punto di messa a fuoco è la retina, nell occhio miope il punto di messa a fuoco è anteriore alla retina, nell occhio ipermetrope o nell occhio presbite è posteriore alla retina. 13/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Difetti dell occhio II Correzioni Occhio miope D lente < 0 Occhio ipermetrope D lente > 0 Nel caso della miopia le lenti devono essere divergenti per allontanare i punti troppo vicini. Nel caso dell ipermetropia o della presbiopia le lenti devono essere convergenti. 14/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

8 La struttura dell atomo 1 fm Å = 100,000 fm L atomo è costituito da un nucleo di carica positiva ed un insieme di elettroni (carica negativa). Rispetto alla dimensione complessiva dell atomo il nucleo è molto più piccolo. Gli elettroni si distribuiscono in una nube attorno al nucleo, in delle strutture chiamati orbitali. 15/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Esperimento di Rutherford I Schema dell esperimento Nei primi anni del 900 si pensava che l atomo fosse costituito da una carica positiva distribuita in cui sono immersi gli elettroni. Con l esperimento di Rutherford si scoprì che la carica è tutta concentrata in un nucleo di dimensioni molto più piccole dell atomo. 16/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

9 Esperimento di Rutherford II Risultato per il modello di Thomson Modello di Thomson Nei primi anni del 900 si pensava che l atomo fosse costituito da una carica positiva distribuita in cui sono immersi gli elettroni. Con l esperimento di Rutherford si scoprì che la carica è tutta concentrata in un nucleo di dimensioni molto più piccole dell atomo. 17/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Esperimento di Rutherford III Risultato per il modello di Rutherford Modello di Rutherford Nei primi anni del 900 si pensava che l atomo fosse costituito da una carica positiva distribuita in cui sono immersi gli elettroni. Con l esperimento di Rutherford si scoprì che la carica è tutta concentrata in un nucleo di dimensioni molto più piccole dell atomo. 18/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

10 Esperimento di Rutherford IV Modelli a confronto Modello di Thomson Modello di Rutherford Nei primi anni del 900 si pensava che l atomo fosse costituito da una carica positiva distribuita in cui sono immersi gli elettroni. Con l esperimento di Rutherford si scoprì che la carica è tutta concentrata in un nucleo di dimensioni molto più piccole dell atomo. 19/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Livelli atomici Sperimentalmente si vede che gli atomi possono avere delle energie quantizzate. Ovvero il sistema dell atomo può liberare o assorbire solo particolari valori di energia. In prima approssimazione, i livelli energetici possibili sono descritti da E n = E RZ 2 n 2 (16) ove Z è la carica del nucleo, n è un numero naturale diverso da zero e E R è detta energia di Rydberg ed è pari a E R = e4 m e 8ɛ 2 = 13.6 ev. (17) 0h2 20/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

11 Emissione ed assorbimento Essendo l energia quantizzata le transizioni possibili hanno solo energie possibilidescritte dalla formula: In prima approssimazione, i livelli energetici possibili sono descritti da [ 1 E = E R Z 2 n1 2 1 ] n2 2 (18) E.g. La serie di Lyman è la serie di transizioni possibili con n 1 = 1, per l idrogeno: [ E Lyman n 2 =2 = E R 1 1 ] hc n2 2 = 10.2 ev λ = = 121 nm (19) E Lyman 2 che è nell ultravioletto. La serie di Balmer ha n 1 = 2 ed ha quattro linee nel visibile, la serie di Paschen ha n 1 = 3 e si trova nell infrarosso. 21/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 La struttura del nucleo Il nucleo è costituito da protoni e neutroni, che sono tenuti insieme dalla forza nucleare forte. Il numero di protoni è anche chiamato Z, il numero di neutroni N e la loro somma A è il numero di massa Z + N = A Numero di Numero di Numero di protoni neutroni massa 22/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

12 Massa del nucleo Protoni e neutroni hanno una massa circa uguale tra di loro m p = kg = 938 MeV/c 2 (20) m n = kg = 940 MeV/c 2 (21) La massa degli elettroni è molto più piccola m e = kg = MeV/c 2 (22) Essendo molto grande il rapporto tra massa dei protoni ed elettroni la massa dell atomo è circa uguale alla massa del nucleo m p m e = 938 MeV/c (23) MeV/c Le masse sono tipicamente espresse con l unità elettronvolt, che è un energia, per mezzo della legge di equivalenza tra massa ed energia E = mc 2 (24) 23/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Isotopi Gli isotopi sono dei nuclei con lo stesso numero di protoni (e quindi stesso Z ) ma diverso numero di neutroni. 1. Chimicamente si comportano tutti allo stesso modo (a parte rari casi). 2. Dal punto di vista nucleare però sono molto diversi tra di loro. E.g. gli isotopi del potassio 39 K: è stabile, ha un abbondaza del 93%; 40 K: è una sorgente radioattiva naturale perché è instabile, ha un abbondanza del 0.012%; 41 K: è stabile, ha un abbondaza del 7%. 24/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

13 Tavola dei nuclei I... 5 Be 5 Be 5 Be 5 Be 9 Be 10 Be 11 Be 12 Be 13 Be 14 Be Z=3 4 Li 5 Li 6 Li 7 Li 8 Li 9 Li 10 Li 11 Li Z=2 Z=1 Z=0 3 He 4 He 5 He 6 He 7 He 8 He 9 He 1 H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 H 1 n 10 He N=0 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5... Figura: Ingrandimento della tavola dei nuclei [IAEA NDS] In analogia alla tavola periodica degli elementi si definisce una tavola dei nuclei, che sono disposti secondo i numeri Z ed N. In questa rappresentazione i nuclei stabili sono disegnati in nero, gli altri colori rappresentano la vita media. 25/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Tavola dei nuclei II N=Z Z N Vite medie Figura: Tavola dei nuclei [IAEA NDS] I nuclei stabili si raggruppano lungo la cosiddetta valle di stabilità; più ci si allontana e minore diventa la vita media. I nuclei stabili sono al di sotto della retta Z = N ovvero hanno il numero N superiore a Z, perché i neutroni compensano la forza repulsiva elettrostatica tra i protoni. 26/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

14 Forza nucleare forte I protoni sono carichi positivamente e quindi tendono a respingersi. Tenendo in considerazione la dimensione tipica del raggio di un nucleo le forze repulsive sono molto intense r m (25) F C = 1 4πε 0 e 2 r N. (26) La repulsione è compensata da una forza attrattiva detta forza forte. Per stabilizzare un nucleo quindi si possono aggiungere neutroni che non sono carichi ma si attraggono per la forza forte. 27/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Decadimenti I Cosa vuol dire che un nucleo è instabile? Vuol dire che decade in un altro nucleo, tramutandosi nel nuovo materiale. Il tecnezio usato in medicina nucleare Il 99 Mo decade in 99m Tc con una vita media τ = 66 h. A sua volta decade con una vita media τ = 6 h in 99g Tc emettendo un raggio γ con energia E = 140 kev. Il gamma prodotto è utilizzato in diverse tecniche di medicina nucleare. Radon-222 L uranio naturale 238 U decade alpha con una vita media τ = yr, dopo una serie di decadimenti raggiunge il 226 Ra. Questo decade alpha con una vita media τ = 1600 yr in 222 Rn. Il radon è un gas nobile che decade alpha ed è quindi pericoloso se inalato. 28/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

15 Decadimenti II Possibili decadimenti 1. Fissione: Il nucleo si spacca in molti altri nuclei più leggeri, tipico per i nuclei molto pesanti (e.g. Uranio). 2. Decadimento alpha: Il nucleo emette una particella alpha, che è un nucleo di 4 He (N = 2, Z = 2): Z Z 2, N N 2 & A A 4 (27) 3. Decadimento beta-: Un neutrone si trasforma in un protone emettendo un elettrone (n p + e + ν e ): Z Z + 1, N N 1 & A = A (28) 4. Decadimento beta+: Un protone si trasforma in un neutrone emettendo un positrone (p n + e + + ν e ): Z Z 1, N N + 1 & A = A (29) 5. Decadimento gamma: Un nucleo eccitato (come può essere anche un atomo eccitato) torna allo stato fondamentale emettendo un fotone molto energetico chiamato raggio gamma (raggio γ). I valori di N e Z non cambiano. 29/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Decadimenti III Decadimenti e tabella dei nuclidi Z+1 Z Z-1 Z-2 α β - β + I processi di decadimento possono essere visualizzati sulla tavola dei nuclei, in funzione della variazione dei numeri N e Z. E.g. Il decadimento alpha cambia il valore di N e Z di due e quindi ci si sposta in diagonale di due posizioni. N-2 N-1 N N+1 30/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

16 Decadimento alpha Il decadimento alpha è tipico per gli elementi più pesanti. È dovuto all interazione forte e quindi ha tempi di vita medi tipicamente piccoli. E.g. Il gas nobile radon-222 decade alpha in polonio Rn 218 Po + α (30) 31/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Decadimenti beta I due decadimenti beta sono dovuti all interazione debole e quindi hanno tipicamente tempi di vita medi lunghi. Si osservi come non cambia il numero di massa degli elementi, perché si tratta di una trasmutazione di un protone in un neutrone o viceversa. E.g. Il carbonio-14 decade in azoto-14 per decadimento beta- 14 C 14 N + e + ν e (31) E.g. Il fluoro-18 decade in ossigeno-18 per decadimento beta+ 18 F 18 O + e + + ν e (32) Il positrone emesso dal 18 F è usato in medicina nucleare per la Positron Emission Tomography (PET). 32/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

17 Decadimento gamma Il decadimento gamma è un decadimento che si ha quando un nucleo eccitato si diseccita emettendo un fotone molto energetico (chiamato anche raggio gamma). E.g. Il tecnezio-99m decade in tecnezio-99g emettendo un gamma da 140 kev. Il 99m Tc è uno stato eccitato del tecnezio, mentre il 99g Tc è lo stato fondamentale del nucleo. 99m Tc 99g Tc + e + ν e (33) Il gamma emesso dal 99m Tc è usato in medicina nucleare per le scintigrafie e la Single Photon Emission Tomography (SPET). 33/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Energia di legame del nucleo Average binding energy per nucleon (MeV) 9 8 O 16 C 12 He Li 7 Li 6 H 3 He 3 H 2 H 1 Fe 56 Number of nucleons in nucleus U 235 U L energia di legame del nucleo dipende dal numero di protoni e neutroni. Tipicamente si rappresenta come positiva, ma il realtà dovrebbe essere negativa perché i nuclei sono degli stati legati. Più è alta l energia di legame e più è difficile spaccare il nucleo nei singoli costituenti. 34/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

18 Fusione ed energia di legame Average binding energy per nucleon (MeV) 9 8 O 16 C 12 He Li 7 Li 6 + H 3 He 3 H 2 H 1 Fe 56 ΔE>0 H 3 + ΔE<0 Number of nucleons in nucleus U 235 U Figura: Grafico dell energia di legame per alcuni isotopi comuni [wiki]. Nella fusione si fondono nuclei leggeri per avere nuclei più pesanti, ma non sempre il processo rilascia energia. Fondendo nuclei troppo pesanti è necessario fornire energia al sistema perché l energia di legame del nucleo somma diventa più bassa di quella dei nuclei iniziali. 35/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Fissione ed energia di legame 9 Average binding energy per nucleon (MeV) 8 O 16 C 12 He Li 7 Li 6 H 3 He 3 H 2 H 1 Fe 56 ΔE<0 H 3 ΔE> Number of nucleons in nucleus U 238 U 235 Nella fissione un nucleo si spacca per generare nuclei più leggeri. Quando i nuclei più pesanti si scindono possono liberare energia, mentre per i nuclei più leggeri è necessario fornire energia. Figura: Grafico dell energia di legame per alcuni isotopi comuni [wiki]. 36/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

19 Legge dei decadimenti I Un nucleo instabile ha una probabilità costante nel tempo di decadere. Se la probabilità di vedere un decadimento in un istante di tempo è λ allora la probabilità di vederlo per un insieme di N nuclei è Nλ. Ma un decadimento comporta la variazione del numero di nuclei e quindi la variazione nell istante di tempo è proporzionale al numero di nuclei: dn dt = λn (34) ove abbiamo messo un meno perché si tratta di una riduzione del numero di nuclei. Questa è un equazione differenziale che ha come risultato N(t) = N 0 e λt (35) che rappresenta il numero di nuclei sopravvissuti all istante t. 37/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Legge dei decadimenti II In genere si definisce la vita media τ come τ = 1 λ (36) e quindi la (35) diventa N(t) = N 0 e t τ (37) La vita media rappresenta il tempo che impiega il campione di nuclei instabili a ridursi al 37% del numero iniziale. 38/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

20 Tempo di dimezzamento I Calcoliamo il tempo che impiega il campione a ridursi al 50% dei nuclei iniziali log t N = N 0e τ (38) t 1 12 τ (39) [ = e ] = t 1 2 τ (40) log 2 = t 1 2 τ (41) = τ log 2 (42) t 1 2 t 1 2 è comunemente chiamato tempo di dimezzamento. 39/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017 Tempo di dimezzamento II Invertiamo la relazione τ = t 1 2 log 2 (43) e vediamo cosa succede se mettiamo nella legge dei decadimenti il tempo di dimezzamento N(t) = N 0 e t τ (44) = N 0 e log 2 t t 12 (45) = N 0 2 t t 12 (46) ove abbiamo applicato le proprietà dell esponenziale. Questa è la legge dei decadimenti espressa in termini del tempo di dimezzamento. 40/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017

21 Attività di una sorgente Si definisce attività di una sorgente il numero di decadimenti al secondo, ovvero A = dn dt = λn (47) L attività si misura in Becquerel: 1 Bq = 1 1/s (48) Comunemente si usano anche i Curie: 1 Ci = Bq. (49) 41/41 FISICA PER MEDICINA Lezione 25 - Ottica e Fisica Moderna Dr. Cristiano Fontana 12 dicembre 2017