e L equazione associata a questa disequazione non è risolvibile in maniera analitica, con metodi numerici 2 si trova n 1754, 21

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1 Il file distribuzioni.f90 è strutturato in tre parti. Il primo modulo è necessario per richiedere la precisione desiderata per i real di lavoro module precisione integer,parameter::kr=selected_real_kind(18) end module precisione Nel file pubblicato online la richiesta preimpostata è una precisione con diciotto cifre decimali significative; l ordine di grandezza del massimo numero rappresentabile è , valore sufficiente per lo svolgimento dell esercizio. 1 Le distribuzioni implementate nel programma che potrebbero dare problemi in termini numerici sono la binomiale e quella di Poisson. In queste due compare infatti il fattoriale, sarebbe allora opportuno cercare di capire qual è, con la rappresentazione scelta, il massimo intero di cui è possibile calcolare il fattoriale. Viene qui in aiuto la formula di Stirling, che per n grandi permette di scrivere n! ( n ) n 2πn e Bisogna allora determinare per quale n si ha ( n ) n 2πn e Prendendo il logaritmo in base 10 di entrambi i membri si trova allora log ( n ) n 2πn 4931 e L equazione associata a questa disequazione non è risolvibile in maniera analitica, con metodi numerici 2 si trova n 1754, 21 L ultimo intero con cui il programma dovrebbe lavorare con successo è dunque 1754, come si può verificare per via pratica. Il modulo successivo contiene le subroutines che computano il valore assunto dalle diverse funzioni di distribuzione in corrispondenza dei valori della variabile casuale richiesti durante l esecuzione del programma. 1 Si può verificare questo scrivendo un semplice programma che stampi su schermo il valore della funzione intrinseca range(a), dove a è un numero reale con kind=kr. 2 Si è usato il tool presente su YouMath. 1

2 module distrib use precisione contains subroutine poisson(f,m,k) real(kind=kr),intent(in)::m integer,intent(in)::k f=m**k/gamma((k+1)*1.0_kr)*exp(-m) end subroutine poisson subroutine binomiale(f,n,p,k) real(kind=kr),intent(in)::p integer,intent(in)::n,k f=gamma((n+1)*1.0_kr)/(gamma((k+1)*1.0_kr)* gamma((n-k+1)*1.0_kr))*p**k*(1-p)**(n-k) end subroutine binomiale subroutine gauss(f,x,p,m) real(kind=kr),intent(in)::x,p,m f=1/sqrt(2*acos(-1.0_kr)*p)*exp(-(x-m)**2/(2*p )) end subroutine gauss subroutine chi(f,x,m) real(kind=kr),intent(in)::x,m f=x**(m/2-1)*exp(-x/2)/(2**(m/2)*gamma(m/2)) end subroutine chi end module distrib Si è utilizzata per il calcolo del fattoriale e del coefficiente binomiale la relazione Γ(n + 1) = n! In quanto la gamma di Eulero è una funzione intrinseca del linguaggio Fortran. Per far questo si deve opportunamente convertire l argomento della funzione gamma di modo che sia un numero reale con kind=kr. Veniamo alla terza parte, che contiene le istruzioni relative al programma eseguibile. Il codice è spezzato in due parti al fine di spiegarne meglio le caratteristiche. program grafico use distrib 2

3 implicit none integer::a,b,k,n,i,g,s real(kind=kr)::f,x,m,p character(30)::nome,title character(70)::graph print*, "Indicare il numero di grafici da effettuare" read*, g open(unit=1,file= gp.txt ) write(unit=1,fmt="(a)")"set title Confronti " write(unit=1,fmt="(a)")"set xlabel Variabile casuale " write(unit=1,fmt="(a)")"set ylabel Funzione di distribuzione " write(unit=1,fmt="(a)")"set key noautotitle" write(unit=1,fmt="(a)",advance= no )"plot " do i=1,g graph="" print*, "Scegliere il numero corrispondente al tipo di distribuzione desiderato per il grafico", i print*, "1) Binomiale" print*, "2) Poisson" print*, "3) Gauss" print*, "4) Chi^2" read*, s Il programma innanzitutto richiede il numero di grafici da effettuare, ed esegue un ciclo con un numero di iterazioni opportune per permettere di scegliere ciascuna volta il tipo di grafico desiderato. Viene subito aperto il file gp.txt sul quale verranno scritte le istruzioni necessarie a Gnuplot per mostrare i grafici generati dal programma. Segue adesso una serie di se che permette di eseguire un blocco di istruzioni differenti a seconda della distribuzione scelta. if(s==1) then print*, "Inserire il numero di eventi totali" read*, n print*, "Inserire la probabilita di evento favorevole" read*, p 3

4 write(nome,"(i0,a)")i,"(bin).dat" do k=0,n call binomiale(f,n,p,k) print*, k,f write(unit=2,fmt=*) k,f write(title,"(a,i0,a,f0.2,a)") "binomiale n=, n, p=,p, " write(graph,"(i0,a,a)")i,"(bin).dat w boxes title ",title else if(s==2) then print*, "Inserire gli estremi dell intervallo da graficare" read*, a read*, b print*, "Inserire il valore medio" read*, m write(nome,"(i0,a)")i,"(poi).dat" do k=a,b call poisson(f,m,k) print*, k,f write(unit=2,fmt=*) k,f write(title,"(a,f0.2,a)") "poisson nu=,m, " write(graph,"(i0,a,a)")i,"(poi).dat w boxes title ",title else if(s==3) then print*, "Inserire gli estremi dell intervallo da graficare" read*, a read*, b print*, "Inserire il numero di campionamenti da effettuare" read*, n print*, "Inserire il valore medio" 4

5 read*, m print*, "Inserire la varianza" read*, p write(nome,"(i0,a)")i,"(gau).dat" do k=0,n x=a+k*(b-a)/(n*1.0_kr) call gauss(f,x,p,m) print*, x,f write(unit=2,fmt=*) x,f write(title,"(a,f0.2,a,f0.2,a)") "gauss mu=,m, var=,p, " write(graph,"(i0,a,a)")i,"(gau).dat w l title ",title else if(s==4) then print*, "Inserire gli estremi dell intervallo da graficare" read*, a read*, b print*, "Inserire il numero di campionamenti da effettuare" read*, n print*, "Inserire i gradi di liberta " read*, m write(nome,"(i0,a)")i,"(chi).dat" do k=0,n x=a+k*(b-a)/(n*1.0_kr) call chi(f,x,m) print*, x,f write(unit=2,fmt=*) x,f write(title,"(a,f0.2,a)") "chi^2 n=,m, " write(graph,"(i0,a,a)")i,"(chi).dat w l title ",title end if 5

6 if(i==g)then write(unit=1,fmt="(a)",advance= no )"" else write(unit=1,fmt="(a)",advance= no )", " end if end program grafico I blocchi di istruzioni sono, come è evidente, strutturati con la stessa logica per tutte e quattro le distribuzioni. Dapprima viene richiamata la subroutine relativa alla distribuzione scelta, utilizzando come argomento i parametri immessi da tastiera. Si stampano allora su un file del tipo i(dis).dat 3 Questi file sono utilizzabili indipendentemente da Gnuplot e possono essere eventualmente utilizzati come input per altri scopi. Infine vengono aggiunte sul file che contiene le istruzioni per il plot delle distribuzioni le righe necessarie per la stampa del titolo opportuno sulla legenda, che riporta i parametri caratteristici di ogni distribuzione. Per questo scopo vengono scritte delle stringhe di testo con formato differente a seconda della distribuzione che permettono di memorizzare temporaneamente quanto poi scritto sul file di testo. Notiamo che nel grafico di Gnuplot è mostrato sull asse delle ascisse l intervallo che contiene tutti gli intervalli selezionati dall utente nella scelta delle diverse distribuzioni, in quanto il file è costruito di modo da mostrare le distribuzioni desiderate sovrapposte tra loro, come richiesto dall esercizio. Se si vogliono creare file di istruzioni per Gnuplot che permettano di generare grafici singoli per ognuna delle distribuzioni desiderate, è sufficiente eseguire il programma più volte realizzando, per ognuna di esse, il grafico voluto. Prima della riesecuzione è però necessario rinominare i file gp.txt e 1(dis).dat che altrimenti vengono sovrascritti. Per ottenere il grafico è sufficiente aprire Gnuplot e dare il comando -load gp.txt dalla posizione in cui si è eseguito il programma. 3 Il nome è strutturato di modo che i è l indice progressivo associato al numero di grafico, mentre (dis) è un etichetta che permette di identificare il tipo di distribuzione. 6